Разложение в ряд маклорена на примерах. Ряд маклорена и разложение некоторых функций -

Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена и Лорана на сайт для тренировки практических навыков. Это разложение функции в ряд дает представление математикам оценить приближенное значение функции в некоторой точки области ее определения. Намного проще вычислить такое значение функции, по сравнению с применением таблицы Бредиса, так неактуальной в век вычислительной техники. В ряд Тейлора разложить функцию означает вычислить коэффициенты перед линейными функциями этого ряда и записать это в правильном виде. Путают студенты эти два ряда, не понимая, что является общим случаем, а что частным случаем второго. Напоминаем раз и навсегда, ряд Маклорена — частный случай Тейлоровского ряда, то есть это и есть ряд Тейлора, но в точке x = 0. Все краткие записи разложения известных функций, таких как e^x, Sin(x), Cos(x) и другие, это и есть разложения в ряд Тейлора, но в точке 0 для аргумента. Для функций комплексного аргумента ряд Лорана является наиболее частой задачей в ТФКП, так как представляет двусторонний бесконечный ряд. Он и является суммой двух рядов. Мы предлагаем вам посмотреть пример разложения прямо на сайте сайт, это сделать очень просто, нажав на «Пример» с любым номером, а затем кнопку «Решение». Именно такому разложению функции в ряд сопоставлен мажорирующий ряд, ограничивающий функцию исходную в некоторой области по оси ординат, если переменная принадлежит области абсцисс. Векторному анализу поставляется в сравнение другая интересная дисциплина в математике. Поскольку исследовать нужно каждое слагаемое, то необходимо достаточно много времени на процесс. Всякому ряду Тейлора можно сопоставить ряд Маклорена, заменив x0 на нуль, а вот по ряду Маклорена порой не очевидно представление ряда Тейлора обратно. Как бы это и не требуется делать в чистом виде, но интересно для общего саморазвития. Всякому ряду Лорана соответствует двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням z-a, другими словами ряд вида того же Тейлора, но немного отличающегося вычислением коэффициентов. Про область сходимости ряда Лорана расскажем чуть позже, после нескольких теоретических выкладок. Как и в прошлом веке, поэтапного разложения функции в ряд вряд ли можно достичь только лишь приведением слагаемых к общему знаменателю, так как функции в знаменателях нелинейные. Приближенное вычисление функционального значения требует постановка задач. Задумайтесь над тем, что когда аргумент ряда Тейлора есть линейная переменная, то разложение происходит в несколько действий, но совсем другая картина, когда в качестве аргумента раскладываемой функции выступает сложная или нелинейная функция, тогда очевиден процесс представления такой функции в степенной ряд, поскольку, таким образом, легко вычислить, пусть и приближенное, но значение в любой точке области определения, с минимальной погрешностью, мало влияющей на дальнейшие расчеты. Это касается и ряда Маклорена. когда необходимо вычислить функция в нулевой точке. Однако сам ряд Лорана здесь представлен разложением на плоскости с мнимыми единицами. Также не без успеха будет правильное решение задачи в ходе общего процесса. В математике такого подхода не знают, но он объективно существует. В результате вы можете прийти к выводу так называемых поточечных подмножеств, и в разложении функции в ряд нужно применять известные для этого процесса методы, таких как применение теории производных. Лишний раз убеждаемся в правоте учителя, который сделал свои предположения на счет итогов пост вычислительных выкладок. Давайте отметим, что ряд Тейлора, полученный по всем канонам математики, существует и определен на всей числовой оси, однако, уважаемые пользователи сервиса сайт, не забывайте вид исходной функции, ведь может получиться так, что изначально необходимо установит область определения функции, то есть выписать и исключить из дальнейших рассмотрений те точки, при которых функция не определена в области действительных чисел. Так сказать это покажет вашу расторопность при решении задачи.Не исключением высказанного будет и построение ряда Маклорена с нулевым значением аргумента. Процесс нахождения области определения функции никто при этом не отменял, и вы обязаны подойти со всей серьезностью к этому математическому действию. В случае содержания рядом Лорана главной части, параметр «a» будет называться изолированной особой точкой, и ряд Лорана будет разложен в кольце — это пересечение областей сходимости его частей, отсюда будет следовать соответствующая теорема. Но не все так сложно как может показаться на первый взгляд неопытному студенту. Изучив как раз ряд Тейлора, можно с легкостью понять ряд Лорана — обобщенный случай на расширение пространства чисел. Любое разложение функции в ряд можно производить только в точке области определения функции. Следует учитывать свойства таких функций, например, как периодичность или бесконечная дифференцируемость. Также предлагаем вам воспользоваться таблицей готовых разложений в ряд Тейлора элементарных функций, поскольку одна функция может быть представлена до десятков отличных от друг друга степенных рядов, что можно видеть из применения нашего калькулятора онлайн. Онлайн ряд Маклорена проще простого определить, если воспользоваться уникальным сервисом сайт, вам достаточно только ввести правильную записанную функцию и представленный ответ получите в считанные секунды, он будет гарантированно точным и в стандартно записанном виде. Можете переписать результат сразу в чистовик на сдачу преподавателю. Правильно бы сначала определить аналитичность рассматриваемой функции в кольцах, а затем однозначно утверждать, что она разложима в ряд Лорана во всех таких кольцах. Важен момент чтобы не упустить из вида содержащие отрицательных степеней членов ряда Лорана. На этом сосредоточьтесь как можно сильнее. Применяйте с пользой теорему Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням.

В теории функциональныхрядов центральное место занимает раздел,посвященный разложению функции в ряд.

Таким образом,ставится задача: по заданной функциитребуетсянайти такой степенной ряд

который на некотороминтервале сходился и его сумма быларавна,т.е.

=..

Эта задача называетсязадачейразложения функции в степенной ряд.

Необходимымусловием разложимости функции в степеннойрядявляетсяеё дифференцируемость бесконечноечисло раз – это следует из свойствсходящихся степенных рядов. Такоеусловие выполняется, как правило, дляэлементарных функций в их областиопределения.

Итак, предположим,что функцияимеет производные любого порядка. Можноли её разложить в степенной ряд, еслиможно, то как найти этот ряд? Прощерешается вторая часть задачи, с неё иначнем.

Допустим, чтофункциюможно представить в виде суммы степенногоряда, сходящегося в интервале, содержащемточкух 0 :

=..(*)

где а 0 ,а 1 ,а 2 ,…,а п ,…– неопределенные(пока) коэффициенты.

Положим в равенстве(*) значение х= х 0 ,тогда получим

Продифференцируемстепенной ряд (*) почленно

=..

и полагая здесьх = х 0 ,получим

При следующемдифференцировании получим ряд

=..

полагая х= х 0 ,получим, откуда.

После п-кратногодифференцирования получим

Полагая в последнемравенстве х= х 0 ,получим,откуда

Итак, коэффициентынайдены

,,,…,,….,

подставляя которыев ряд (*), получим

Полученныйряд называется рядомТейлорадля функции.

Таким образом, мыустановили, что еслифункцию можно разложить в степеннойряд по степеням (х — х 0 ),то это разложение единственно и полученныйряд обязательно является рядом Тейлора.

Заметим,что ряд Тейлора можно получить для любойфункции, имеющей производные любогопорядка в точке х= х 0 .Но это ещене означает, что между функцией иполученным рядом можно поставить знакравенства, т.е. что сумма ряда равнаисходной функции. Во-первых, такоеравенство может иметь смысл только вобласти сходимости, а полученный дляфункции ряд Тейлора может и расходиться,во-вторых, если ряд Тейлора будетсходиться, то его сумма может не совпадатьс исходной функцией.

3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Сформулируемутверждение, с помощью которого будетрешена поставленная задача.

Если функцияв некоторойокрестности точки х 0 имеет производные до (n+1)-гопорядка включительно, то в этой окрестностиимеет местоформулаТейлора

гдеR n (х)-остаточныйчлен формулы Тейлора – имеет вид (формаЛагранжа)

гдеточкаξлежит междух и х 0 .

Отметим, что междурядом Тейлора и формулой Тейлора имеетсяразличие: формула Тейлора представляетсобой конечную сумму, т.е. п- фиксированноечисло.

Напомним, что суммаряда S(x)может бытьопределена как предел функциональнойпоследовательности частичных суммS п (x)на некоторомпромежутке Х:

Согласно этому,разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого хX

Запишем формулуТейлора в виде,где

Заметим, что определяет туошибку, которую мы получаем, заменяйфункцию f(x)многочленомS n (x).

Если,то,т.е. функцияразлагается в рядТейлора. Инаоборот,если,то.

Тем самыммы доказаликритерийразложимости функции в ряд Тейлора.

Для того, чтобыв некотором промежутке функцияf(х)разлагалась в ряд Тейлора, необходимои достаточно, чтобы на этом промежутке,гдеR n (x)- остаточный член ряда Тейлора.

С помощьюсформулированного критерия можнополучить достаточныеусловияразложимости функции в ряд Тейлора.

Если внекоторойокрестности точки х 0 абсолютные величины всех производныхфункции ограничены одним и тем же числомМ≥ 0,т.е.

,то в этойокрестности функция разлагается в рядТейлора.

Из вышеизложенногоследует алгоритмразложенияфункцииf(x)в ряд Тейлоравокрестности точки х 0 :

1.Находимпроизводные функции f(x):

f(x),f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Вычисляем значениефункции и значения её производных вточке х 0

f(x 0 ),f’(x 0 ),f”(x 0 ),f’”(x 0 ),f (n) (x 0 ),…

3. Формальнозаписываем ряд Тейлора и находим областьсходимости полученного степенногоряда.

4. Проверяемвыполнение достаточных условий, т.е.устанавливаем, для каких хиз областисходимости, остаточный член R n (x)стремитсяк нулю приили.

Разложение функцийв ряд Тейлора по данному алгоритмуназывают разложениемфункции в ряд Тейлора по определениюилинепосредственнымразложением.

«Найти разложение в ряд Маклорена функци f(x)» — именно так звучит задание по высшей математике, которое одним студентам по силам, а другие не могут справиться с примерами. Есть несколько способов разложения ряда по степенях, здесь будет дана методика разложения функций в ряд Маклорена. При развитии функции в ряд нужно хорошо уметь вычислять производные.

Пример 4.7 Разложить функцию в ряд по степеням x

Вычисления: Выполняем разложение функции согласно формуле Маклорена. Сначала разложим в ряд знаменатель функции напоследок умножим разложение на числитель. Первое слагаемое — значение функции в нуле f (0) = 1/3. Найдем производные функции первого и высших порядков f (x) и значение этих производных в точке x=0 Далее с закономерности изменения значения производных в 0 записываем формулу для n-й производной Итак, знаменатель представим в виде разложения в ряд Маклорена Умножаем на числитель и получаем искомое разложение функции в ряд по степеням х Как видите ничего сложного здесь нет. Все ключевые моменты базируются на умении вычислять производные и быстрому обобщении значение производной старших порядков в нуле. Следующие примеры помогут Вам научиться быстро раскладывать функцию в ряд.

Пример 4.10 Найти разложение в ряд Маклорена функцииВычисления: Как Вы возможно догадались раскладывать в ряд будем косинус в числителе. Для этого можете использовать формулы для бесконечно малых величин, или же вывести разложение косинуса через производные. В результате придем к следующему ряду по степеням x Как видите имеем минимум вычислений и компактную запись разложения в ряд.

Пример 4.16 Разложить функцию в ряд по степеням x: 7/(12-x-x^2)Вычисления: В подобного рода примерах необходимо дробь разложить через сумму простейших дробей. Как это делать мы сейчас не будем показывать, но с помощью неопределенных коэффициентов придем к сумме дох дробей. Далее записываем знаменатели в показательной форме Осталось разложить слагаемые с помощью формулы Маклорена. Подытоживая слагаемые при одинаковых степенях «икс» составляем формулу общего члена разложения функции в ряд Последнюю часть перехода к ряду в начале трудно реализовать, поскольку сложно объединить формулы для парных и непарных индексов (степеней), но с практикой у Вас это будет получаться все лучше.

Пример 4.18 Найти разложение в ряд Маклорена функцииВычисления: Найдем производную этой функции: Разложим функцию в ряд, воспользовавшись одной из формул Макларена: Ряды почленно суммируем на основе того, что оба абсолютно совпадающие. Проинтегрировав почленно весь ряд получим разложение функции в ряд по степеням x Между последними двумя строками разложения имеется переход который в начале у Вас будет забирать много времени. Обобщение формулы ряда не всем дается легко, поэтому не переживайте по поводу того что не можете достать красивой и компактной формулы.

Пример 4.28 Найти разложение в ряд Маклорена функции: Запишем логарифм следующим образом По формуле Маклорена раскладываем в ряд по степеням x логарифм функцию Конечное свертывания на первый взгляд сложное, однако при чередовании знаков Вы всегда получите нечто подобное. Входной урок по теме расписания функций в ряд завершено. Другие не менее интересные схемы разложения будут подробно рассмотрены в следующих материалах.

16.1. Разложение элементарныхфункций в ряды Тейлора иМаклорена

Покажем,что если произвольная функциязадана на множестве, в окрестности точкиимеет множество производных и являетсясуммой степенного ряда:

томожно найти коэффициенты этого ряда.

Подставимв степенной ряд.Тогда.

Найдемпервую производную функции:

При:.

Длявторой производной получим:

При:.

Продолжаяэту процедуру nраз получим:.

Такимобразом, получили степенной ряд вида:

которыйназывается рядом Тейлорадля функциив окресности точки.

Частнымслучаем ряда Тейлора является рядМаклоренапри:

Остатокряда Тейлора (Маклорена) получаетсяотбрасыванием от основных рядов nпервых членов и обозначается как.Тогда функциюможно записать как суммуnпервых членов рядаи остатка:,

Остатокобычновыражают разными формулами.

Однаиз них в форме Лагранжа:

, где..

Заметим,что на практике чаще используетсяряд Маклорена. Такимобразом, для того, чтобы записать функциюв виде суммыстепенного ряданеобходимо:

1)найти коэффициенты ряда Маклорена(Тейлора);

2)найти область сходимости полученногостепенногоряда;

3)доказать, что данный ряд сходитсяк функции.

Теорема1(необходимое и достаточное условиесходимости ряда Маклорена). Пусть радиуссходимости ряда.Для того, чтобы этот ряд сходилсяв интервалек функции,необходимои достаточно, чтобы выполнялось условие:в указанном интервале.

Теорема2.Если производные любого порядкафункциив некотором промежуткеограниченны по абсолютной величинеодним и тем же числомM,то есть,то в этом промежутке функциюможно разложитьв рядМаклорена.

Пример1.Разложить вряд Тейлора вокрестноститочкифункцию.

Решение.

………………………………………………………………………………………………………………………

Область сходимости.

Пример2.Разложитьфункциюв ряд Тейлора вокрестноститочки.

Решение:

Находимзначение функции и ее производных при.

………..……………………………

Подставляемэти значения в ряд. Получаем:

или.

Найдемобласть сходимости этого ряда. Попризнаку Даламбера ряд сходится,если

Следовательно,при любомэтот пределменее 1, апотому область сходимости ряда будет:.

Рассмотримнесколько примеров разложенияв ряд Маклорена основных элементарныхфункций. Напомним, что ряд Маклорена:

сходитсянаинтервалек функции.

Отметим,что для разложенияфункциив ряд необходимо:

а)найти коэффициенты ряда Маклорена дляданной функции;

б)вычислить радиус сходимостидля полученного ряда;

в)доказать, что полученный ряд сходитсяк функции.

Пример3.Рассмотримфункцию.

Решение.

Вычислимзначение функции и ее производных при.

Тогда числовые коэффициенты рядаимеют вид:

длялюбого n.Подставим найденныекоэффициенты в ряд Маклорена и получим:

Найдемрадиус сходимости полученного ряда, аименно:

Следовательно,ряд сходитсянаинтервале.

Этотряд сходитсяк функциипри любых значениях,потому чтоналюбомпромежуткефункцияиее производныепоабсолютной величинеограничены числом.

Пример4.Рассмотримфункцию.

Решение.

Нетруднозаметить, что производные четногопорядка,а производные нечетногопорядка.Подставим найденные коэффициенты в рядМаклорена иполучимразложение:

Найдеминтервал сходимости данного ряда. Попризнаку Даламбера:

длялюбого.Следовательно, ряд сходитсянаинтервале.

Этотряд сходитсяк функции,потому что все ее производныеограничены единицей.

Пример5..

Решение.

Найдемзначение функции и ее производных при:

Такимобразом, коэффициенты данного ряда:и,следовательно:

Аналогичнос предыдущим рядом область сходимости.Ряд сходитсяк функции,потому что все еепроизводные ограничены единицей.

Обратимвнимание, что функциянечетнаяи разложениев рядпо нечетнымстепеням, функция– четная и разложение в ряд по четнымстепеням.

Пример6.Биномиальныйряд:.

Решение.

Найдемзначение функции и ее производных при:

Отсюдавидно, что:

Подставимэти значения коэффициентов в рядМаклорена и получим разложение даннойфункции в степенной ряд:

Найдемрадиус сходимости этого ряда:

Следовательно,ряд сходится на интервале.В предельных точках прииряд может сходится или нет в зависимостиот показателя степени.

Исследованныйряд сходится на интервалек функции,то есть суммарядапри.

Пример7.Разложим вряд Маклорена функцию.

Решение.

Дляразложенияв ряд этойфункции используем биномиальный рядпри.Получим:

Наоснове свойства степенных рядов(степенной ряд можно интегрировать вобласти его сходимости) найдем интегралот левой и правой частей данного ряда:

Найдемобласть сходимости данного ряда:,

тоесть областью сходимости данного рядаявляется интервал. Определим сходимость ряда на концахинтервала. При.Этот ряд является гармоничным рядом,то есть расходится. Приполучим числовой ряд с общим членом.

Рядпо признаку Лейбница сходится. Такимобразом, областью сходимости данногоряда является промежуток.

16.2. Применениестепенных рядов степеней в приближенныхвычислениях

Вприближенных вычислениях степенныеряды играют исключительно большую роль.С их помощью составлены таблицытригонометрических функций, таблицылогарифмов, таблицы значений другихфункций, которые используют в разныхобластях знаний, например в теориивероятностей и математической статистике.Кроме того, разложениефункций в степенной ряд полезно для ихтеоретического исследования. Главнымвопросом при использовании степенныхрядов в приближенных вычисленияхявляется вопрос оценки погрешности призамене суммы ряда суммой его первыхnчленов.

Рассмотримдва случая:

функция разложена в знакочередующийся ряд;

функция разложена в знакопостоянный ряд.

Вычисление с помощью знакочередующихсярядов

Пустьфункцияразложена в знакочередующийся степеннойряд. Тогда при вычислении этой функциидля конкретного значенияполучаем числовой ряд, к которому можноприменить признак Лейбница. В соответствиис этим признаком, если сумму ряда заменитьсуммой его первыхnчленов, тоабсолютная погрешность не превышаетпервого члена остатка этого ряда, тоесть:.