வடிவியல் முன்னேற்ற சூத்திரங்கள்: q ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. வடிவியல் முன்னேற்றம்
வடிவியல் முன்னேற்றம், எண்கணிதத்துடன், முக்கியமானது எண் தொடர், இதில் படிக்கப்படுகிறது பள்ளி படிப்பு 9 ஆம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா. இந்த கட்டுரையில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பையும் அதன் மதிப்பு அதன் பண்புகளை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதையும் பார்ப்போம்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை
முதலில், இந்த எண் தொடரின் வரையறையை வழங்குவோம். ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது பகுத்தறிவு எண்களின் தொடர் ஆகும், இது அதன் முதல் உறுப்பை வகுத்தல் எனப்படும் நிலையான எண்ணால் வரிசையாகப் பெருக்குவதன் மூலம் உருவாகிறது.
எடுத்துக்காட்டாக, தொடரில் உள்ள எண்கள் 3, 6, 12, 24, ... ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், ஏனெனில் நீங்கள் 3 (முதல் உறுப்பு) ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், உங்களுக்கு 6 கிடைக்கும். நீங்கள் 6 ஐ 2 ஆல் பெருக்கினால், உங்களுக்கு கிடைக்கும் 12, மற்றும் பல.
பரிசீலனையில் உள்ள வரிசையின் உறுப்பினர்கள் வழக்கமாக ai என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகின்றன, அங்கு i என்பது தொடரில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு முழு எண்.
முன்னேற்றத்தின் மேலே உள்ள வரையறையை கணித மொழியில் பின்வருமாறு எழுதலாம்: an = bn-1 * a1, b என்பது வகுத்தல். இந்த சூத்திரத்தைச் சரிபார்ப்பது எளிது: n = 1 என்றால், b1-1 = 1, மற்றும் a1 = a1 கிடைக்கும். n = 2 எனில், பின்னர் an = b * a1, மேலும் கேள்விக்குரிய எண்களின் தொடரின் வரையறைக்கு மீண்டும் வருவோம். n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு இதே போன்ற காரணத்தை தொடரலாம்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்
முழு எண் தொடரின் தன்மை என்ன என்பதை b எண் முழுமையாக தீர்மானிக்கிறது. வகுத்தல் b நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது ஒன்றை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம். மேலே உள்ள அனைத்து விருப்பங்களும் வெவ்வேறு வரிசைகளுக்கு வழிவகுக்கும்:
- b > 1. பகுத்தறிவு எண்களின் தொடர் அதிகரித்து வருகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 4, 8, ... உறுப்பு a1 எதிர்மறையாக இருந்தால், முழு வரிசையும் முழுமையான மதிப்பில் மட்டுமே அதிகரிக்கும், ஆனால் எண்களின் அடையாளத்தைப் பொறுத்து குறையும்.
- b = 1. ஒரே மாதிரியான பகுத்தறிவு எண்களின் சாதாரண தொடர் இருப்பதால், பெரும்பாலும் இந்த வழக்கு முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதில்லை. உதாரணமாக, -4, -4, -4.
தொகைக்கான சூத்திரம்
நாம் பார்ப்பதற்கு முன் குறிப்பிட்ட பணிகள்பரிசீலனையில் உள்ள முன்னேற்ற வகையின் வகுப்பினைப் பயன்படுத்தி, அதன் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒரு முக்கியமான சூத்திரம் கொடுக்கப்பட வேண்டும். சூத்திரம் போல் தெரிகிறது: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சுழல்நிலை வரிசையை நீங்கள் கருத்தில் கொண்டால், இந்த வெளிப்பாட்டை நீங்களே பெறலாம். மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க முதல் உறுப்பு மற்றும் வகுப்பினை மட்டும் தெரிந்து கொண்டால் போதும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
முடிவில்லாமல் குறையும் வரிசை
அது என்ன என்பது பற்றிய விளக்கம் மேலே கொடுக்கப்பட்டது. இப்போது, Snக்கான சூத்திரத்தை அறிந்து, அதை இந்த எண் தொடருக்குப் பயன்படுத்துவோம். மாடுலஸ் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லாத எந்த எண்ணும் பெரிய சக்திகளுக்கு உயர்த்தப்படும்போது பூஜ்ஜியமாக மாறும், அதாவது b∞ => 0 என்றால் -1
பிரிவின் மதிப்பைப் பொருட்படுத்தாமல், வேறுபாடு (1 - b) எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதால், முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் S∞ தொகையின் அடையாளம் அதன் முதல் உறுப்பு a1 இன் அடையாளத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
இப்போது பல சிக்கல்களைப் பார்ப்போம், அங்கு குறிப்பிட்ட எண்களில் வாங்கிய அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம்.
சிக்கல் எண் 1. முன்னேற்றம் மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் அறியப்படாத கூறுகளின் கணக்கீடு
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டால், முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் 2, மற்றும் அதன் முதல் உறுப்பு 3. அதன் 7வது மற்றும் 10வது சொற்கள் எதற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் அதன் ஏழு ஆரம்ப உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்ன?
சிக்கலின் நிலை மிகவும் எளிமையானது மற்றும் மேலே உள்ள சூத்திரங்களின் நேரடி பயன்பாட்டை உள்ளடக்கியது. எனவே, உறுப்பு எண் n ஐ கணக்கிட, நாம் ஒரு = bn-1 * a1 என்ற வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். 7 வது உறுப்புக்கு நம்மிடம் உள்ளது: a7 = b6 * a1, அறியப்பட்ட தரவை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்: a7 = 26 * 3 = 192. 10 வது காலத்திற்கு நாங்கள் அதையே செய்கிறோம்: a10 = 29 * 3 = 1536.
கூட்டுத்தொகைக்கான நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் தொடரின் முதல் 7 கூறுகளுக்கு இந்த மதிப்பைத் தீர்மானிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
சிக்கல் எண் 2. ஒரு முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையை தீர்மானித்தல்
-2 என்பது வடிவியல் முன்னேற்றம் bn-1 * 4 இன் வகுப்பிற்குச் சமமாக இருக்கட்டும், இங்கு n என்பது ஒரு முழு எண். இந்தத் தொடரின் 5 முதல் 10 வது உறுப்பு வரையிலான தொகையை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.
அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி முன்வைக்கப்படும் சிக்கலை நேரடியாக தீர்க்க முடியாது. அதை 2 வழிகளில் தீர்க்கலாம் பல்வேறு முறைகள். தலைப்பின் முழுமைக்காக, நாங்கள் இரண்டையும் வழங்குகிறோம்.
முறை 1. யோசனை எளிதானது: முதல் சொற்களின் இரண்டு தொடர்புடைய தொகைகளை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும், பின்னர் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க வேண்டும். சிறிய தொகையை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. இப்போது நாம் பெரிய தொகையை கணக்கிடுகிறோம்: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. கடைசி வெளிப்பாட்டில் 4 சொற்கள் மட்டுமே சுருக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, ஏனெனில் சிக்கலின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப கணக்கிட வேண்டிய தொகையில் 5 வது ஏற்கனவே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. இறுதியாக, நாம் வித்தியாசத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
முறை 2. எண்களை மாற்றுவதற்கும் எண்ணுவதற்கும் முன், கேள்விக்குரிய தொடரின் m மற்றும் n விதிமுறைகளுக்கு இடையே உள்ள தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம். முறை 1 இல் உள்ளதைப் போலவே நாங்கள் செய்கிறோம், முதலில் தொகையின் குறியீட்டு பிரதிநிதித்துவத்துடன் மட்டுமே செயல்படுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . நீங்கள் அறியப்பட்ட எண்களை விளைவான வெளிப்பாட்டில் மாற்றலாம் மற்றும் இறுதி முடிவைக் கணக்கிடலாம்: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
பிரச்சனை எண் 3. வகுத்தல் என்றால் என்ன?
a1 = 2, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறியலாம், அதன் முடிவிலாத் தொகை 3 என்று வழங்கினால், இது எண்களின் குறைந்து வரும் தொடர் என்று அறியப்படுகிறது.
சிக்கலின் நிலைமைகளின் அடிப்படையில், அதைத் தீர்க்க எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல. நிச்சயமாக, முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை எண்ணற்ற அளவில் குறைகிறது. எங்களிடம் உள்ளது: S∞ = a1 / (1 - b). நாம் வகுப்பினை வெளிப்படுத்தும் இடத்திலிருந்து: b = 1 - a1 / S∞. எஞ்சியிருப்பது மாற்றீடு செய்வதுதான் அறியப்பட்ட மதிப்புகள்மற்றும் தேவையான எண்ணைப் பெறவும்: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 அல்லது -0.333(3). இந்த வகை வரிசைக்கு மாடுலஸ் b 1 க்கு மேல் செல்லக்கூடாது என்பதை நினைவில் கொண்டால், இந்த முடிவை தரமான முறையில் சரிபார்க்கலாம். பார்க்க முடியும், |-1 / 3|
பணி எண் 4. எண்களின் வரிசையை மீட்டமைத்தல்
ஒரு எண் தொடரின் 2 கூறுகள் கொடுக்கப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, 5வது 30 க்கு சமம் மற்றும் 10வது 60 க்கு சமம். இந்த தரவுகளிலிருந்து முழு தொடரையும் மறுகட்டமைப்பது அவசியம், இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது.
சிக்கலைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் ஒவ்வொரு அறியப்பட்ட சொல்லுக்கும் தொடர்புடைய வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும். எங்களிடம் உள்ளது: a5 = b4 * a1 மற்றும் a10 = b9 * a1. இப்போது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டை முதலில் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. இங்கிருந்து, சிக்கல் அறிக்கையிலிருந்து அறியப்பட்ட சொற்களின் விகிதத்தின் ஐந்தாவது மூலத்தை எடுத்து, b = 1.148698 மூலம் வகுப்பினைத் தீர்மானிக்கிறோம். அறியப்பட்ட உறுப்புக்கான வெளிப்பாடுகளில் ஒன்றின் விளைவாக வரும் எண்ணை மாற்றுகிறோம், நமக்கு கிடைக்கிறது: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
இவ்வாறு, முன்னேற்றம் bn இன் வகுப்பினையும், வடிவியல் முன்னேற்றம் bn-1 * 17.2304966 = an, b = 1.148698 ஐயும் கண்டறிந்தோம்.
வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
இந்த எண் தொடரின் நடைமுறை பயன்பாடு இல்லை என்றால், அதன் ஆய்வு முற்றிலும் தத்துவார்த்த ஆர்வமாக குறைக்கப்படும். ஆனால் அத்தகைய பயன்பாடு உள்ளது.
மிகவும் பிரபலமான 3 எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே:
- ஜீனோவின் முரண்பாடு, இதில் வேகமான அகில்லெஸ் பிடிக்க முடியாது மெதுவான ஆமை, எண்களின் முடிவில்லாத குறையும் வரிசையின் கருத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது.
- ஒவ்வொரு கலத்திற்கும் என்றால் சதுரங்கப் பலகைகோதுமை தானியங்களை வைக்கவும், இதனால் 1 வது கலத்தில் 1 தானியம், 2 வது - 2, 3 வது - 3 மற்றும் பலவற்றை வைக்கவும், பின்னர் பலகையின் அனைத்து கலங்களையும் நிரப்ப உங்களுக்கு 18446744073709551615 தானியங்கள் தேவைப்படும்!
- "டவர் ஆஃப் ஹனோய்" விளையாட்டில், வட்டுகளை ஒரு தடியிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகர்த்துவதற்கு, 2n - 1 செயல்பாடுகளைச் செய்வது அவசியம், அதாவது, அவற்றின் எண்ணிக்கை n பயன்படுத்தப்படும் வட்டுகளின் எண்ணிக்கையுடன் அதிவேகமாக வளர்கிறது.
கணிதம் என்றால் என்னமக்கள் இயற்கையையும் தங்களையும் கட்டுப்படுத்துகிறார்கள்.
சோவியத் கணிதவியலாளர், கல்வியாளர் ஏ.என். கோல்மோகோரோவ்
வடிவியல் முன்னேற்றம்.
கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளில் எண்கணித முன்னேற்றங்களில் உள்ள சிக்கல்களுடன், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கருத்து தொடர்பான சிக்கல்களும் பொதுவானவை. இத்தகைய சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் பண்புகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் அவற்றைப் பயன்படுத்துவதில் நல்ல திறன்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.
இந்த கட்டுரை வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை பண்புகளை வழங்குவதற்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. வழக்கமான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளும் இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன., கணிதத்தில் நுழைவுத் தேர்வுகளின் பணிகளில் இருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை பண்புகளை முதலில் கவனிக்கலாம் மற்றும் மிக முக்கியமான சூத்திரங்கள் மற்றும் அறிக்கைகளை நினைவுபடுத்துவோம், இந்த கருத்துடன் தொடர்புடையது.
வரையறை.ஒவ்வொரு எண்ணும், இரண்டாவது எண்ணிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய எண்ணுக்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால், ஒரு எண் வரிசையானது வடிவியல் முன்னேற்றம் எனப்படும். எண் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்குசூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்
, (1)
எங்கே . ஃபார்முலா (1) என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் சூத்திரம் (2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை குறிக்கிறது: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும் அதன் அண்டை சொற்களின் வடிவியல் சராசரியுடன் ஒத்துப்போகிறது.
குறிப்பு, இந்தச் சொத்தின் காரணமாகவே கேள்விக்குரிய முன்னேற்றம் "வடிவியல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.
மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:
, (3)
தொகையை கணக்கிடமுதலில் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்சூத்திரம் பொருந்தும்
நாம் குறிப்பது என்றால், பின்னர்
எங்கே . , சூத்திரம் (6) என்பது சூத்திரத்தின் (5) பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
வழக்கில் எப்போது மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம்முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது. தொகையை கணக்கிடஎல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளிலும், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது
. (7)
உதாரணத்திற்கு , சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (7) காட்டலாம், என்ன
எங்கே . இந்த சமத்துவங்கள் சூத்திரம் (7) இலிருந்து , (முதல் சமத்துவம்) மற்றும் , (இரண்டாவது சமத்துவம்) என்ற நிபந்தனையின் கீழ் பெறப்படுகின்றன.
தேற்றம்.என்றால், பின்னர்
ஆதாரம். என்றால், பின்னர்
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
"வடிவியல் முன்னேற்றம்" என்ற தலைப்பில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.கொடுக்கப்பட்டது: , மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் (5), பிறகு
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 2.இருக்கட்டும். கண்டுபிடி .
தீர்வு.இருந்து மற்றும் , நாம் சூத்திரங்களை (5), (6) பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாடு (9) முதல் ஆல் வகுக்கப்பட்டால், பின்னர் அல்லது. இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு . இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
1. என்றால், பின்னர் கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (9) நம்மிடம் உள்ளது.
2. என்றால் , பிறகு .
எடுத்துக்காட்டு 3.விடு , மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.சூத்திரத்திலிருந்து (2) அது பின்வருமாறு அல்லது . முதல் , பின்னர் அல்லது .
நிபந்தனையின்படி. எனினும், எனவே. முதல் மற்றும் பின்னர் இங்கே சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு முதலில் வகுக்கப்பட்டால், அல்லது .
ஏனெனில், சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான பொருத்தமான மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், இது அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு.
கணக்கு சூத்திரம் (7) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்.
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 4.கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.அப்போதிருந்து.
முதல், பின்னர் அல்லது
சூத்திரத்தின் படி (2) எங்களிடம் உள்ளது. இது சம்பந்தமாக, சமத்துவத்திலிருந்து (10) நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .
இருப்பினும், நிபந்தனையின்படி, எனவே.
உதாரணம் 5.என்பது தெரிந்ததே. கண்டுபிடி .
தீர்வு. தேற்றத்தின்படி, நமக்கு இரண்டு சமத்துவங்கள் உள்ளன
முதல் , பின்னர் அல்லது . ஏனெனில் , அப்போது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 6.கொடுக்கப்பட்டது: மற்றும் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.கணக்கு சூத்திரம் (5) எடுத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்
அப்போதிருந்து. முதல் , மற்றும் , பின்னர் .
எடுத்துக்காட்டு 7.இருக்கட்டும். கண்டுபிடி .
தீர்வு.சூத்திரம் (1) படி நாம் எழுதலாம்
எனவே, எங்களிடம் உள்ளது அல்லது . அது அறியப்படுகிறது மற்றும் , எனவே மற்றும் .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 8.ஒரு எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறிக
மற்றும் .
தீர்வு. சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறுமற்றும் . இங்கிருந்து மற்றும் சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்
கணினியின் முதல் சமன்பாடு சதுரமாக இருந்தால், பின்னர் வரும் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டால் வகுக்கவும், பிறகு நாம் பெறுவோம்
அல்லது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 9.வரிசை , ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாக இருக்கும் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும்.
தீர்வு.விடு , மற்றும் . வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்தை வரையறுக்கும் சூத்திரம் (2) படி, நாம் எழுதலாம் அல்லது .
இங்கிருந்து நாம் இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், யாருடைய வேர்கள்மற்றும் .
சரிபார்ப்போம்: என்றால், பின்னர் , மற்றும்; என்றால் , பின்னர் , மற்றும் .
முதல் வழக்கில் எங்களிடம் உள்ளதுமற்றும் , மற்றும் இரண்டாவது - மற்றும் .
பதில்:,.
எடுத்துக்காட்டு 10.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
, (11)
எங்கே மற்றும்.
தீர்வு. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (11) என்பது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதில் மற்றும் , உட்பட்டது: மற்றும் .
சூத்திரம் (7) இலிருந்து பின்வருமாறு, என்ன . இது சம்பந்தமாக, சமன்பாடு (11) வடிவம் எடுக்கிறதுஅல்லது . பொருத்தமான வேர் இருபடி சமன்பாடுஇருக்கிறது
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 11.பி நிலைத்தன்மையும் நேர்மறை எண்கள் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகிறது, ஏ - வடிவியல் முன்னேற்றம், அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் . கண்டுபிடி .
தீர்வு.ஏனெனில் எண்கணித வரிசை, அந்த (எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கிய சொத்து). ஏனெனில், பின்னர் அல்லது. இது குறிக்கிறது, வடிவியல் முன்னேற்றம் வடிவம் கொண்டது. சூத்திரத்தின்படி (2), பின்னர் அதை எழுதுகிறோம்.
முதல் மற்றும் , பின்னர் . இந்த வழக்கில், வெளிப்பாடுவடிவம் எடுக்கிறது அல்லது. நிபந்தனையின்படி, எனவே Eq இலிருந்து.நாம் பெறுகிறோம் ஒரே முடிவுபரிசீலனையில் உள்ள பிரச்சனை, அதாவது .
பதில்: .
எடுத்துக்காட்டு 12.தொகையைக் கணக்கிடு
. (12)
தீர்வு. சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் (12) 5 ஆல் பெருக்கி பெறவும்
விளைந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து (12) கழித்தால், அந்த
அல்லது .
கணக்கிட, மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் (7) மாற்றுவோம் மற்றும் பெறுவோம். அப்போதிருந்து.
பதில்: .
நுழைவுத் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது, இங்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் விண்ணப்பதாரர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். சிக்கலைத் தீர்க்கும் முறைகள் பற்றிய ஆழமான ஆய்வுக்கு, வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் தொடர்புடையது, உபயோகிக்கலாம் கற்பித்தல் உதவிகள்பரிந்துரைக்கப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியலிலிருந்து.
1. கல்லூரிகளுக்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் சேகரிப்பு / எட். எம்.ஐ. ஸ்கானாவி. – எம்.: மிர் மற்றும் கல்வி, 2013. – 608 பக்.
2. சுப்ருன் வி.பி. உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கான கணிதம்: கூடுதல் பிரிவுகள் பள்ளி பாடத்திட்டம். – எம்.: லெனாண்ட் / யுஆர்எஸ்எஸ், 2014. - 216 பக்.
3. மெடின்ஸ்கி எம்.எம். சிக்கல்கள் மற்றும் பயிற்சிகளில் அடிப்படைக் கணிதத்தின் முழுமையான பாடநெறி. புத்தகம் 2: எண் வரிசைகள் மற்றும் முன்னேற்றங்கள். – எம்.: எடிடஸ், 2015. – 208 பக்.
இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
இந்த எண் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய ஒன்றிலிருந்து q மடங்கு வேறுபடும். (நாம் q ≠ 1 என்று வைத்துக்கொள்வோம், இல்லையெனில் எல்லாம் மிகவும் அற்பமானது). வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான பொதுவான சூத்திரம் b n = b 1 q n – 1 ; b n மற்றும் b m எண்கள் கொண்ட விதிமுறைகள் q n - m நேரங்களால் வேறுபடுகின்றன.ஏற்கனவே உள்ளே பழங்கால எகிப்துஎண்கணிதம் மட்டுமல்ல, வடிவியல் முன்னேற்றமும் தெரிந்தது. உதாரணமாக, இங்கே, ரைண்ட் பாப்பிரஸில் இருந்து ஒரு பிரச்சனை: “ஏழு முகங்களில் ஏழு பூனைகள் உள்ளன; ஒவ்வொரு பூனையும் ஏழு எலிகளைத் தின்னும், ஒவ்வொரு எலியும் ஏழு சோளக் கதிர்களை உண்ணும், ஒவ்வொரு பார்லியும் ஏழு அளவு பார்லியை வளர்க்கும். இந்தத் தொடரில் உள்ள எண்கள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை எவ்வளவு பெரியது?
 |
|
அரிசி. 1. பண்டைய எகிப்திய வடிவியல் முன்னேற்றப் பிரச்சனை |
இந்த பணி மற்ற நேரங்களில் மற்ற மக்களிடையே பல்வேறு மாறுபாடுகளுடன் பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்பட்டது. உதாரணமாக, 13 ஆம் நூற்றாண்டில் எழுதப்பட்டவை. பைசாவின் லியோனார்டோ (பிபோனச்சி) எழுதிய “தி புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்” ஒரு பிரச்சனையில் 7 வயதான பெண்கள் ரோம் செல்லும் வழியில் தோன்றும் (வெளிப்படையாக யாத்ரீகர்கள்), ஒவ்வொருவருக்கும் 7 கழுதைகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் 7 பைகள், ஒவ்வொன்றும் 7 ரொட்டிகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலும் 7 கத்திகள் உள்ளன, ஒவ்வொன்றும் 7 உறைகளைக் கொண்டுள்ளன. எத்தனை பொருள்கள் உள்ளன என்று பிரச்சனை கேட்கிறது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . இந்த சூத்திரத்தை நிரூபிக்க முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
S n உடன் b 1 q n எண்ணைச் சேர்த்து பெறவும்:
|
இங்கிருந்து S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்.
ஏற்கனவே களிமண் மாத்திரைகள் ஒன்றில் பண்டைய பாபிலோன் 6 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தது. கி.மு இ., தொகை 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. உண்மை, பல நிகழ்வுகளைப் போலவே, இந்த உண்மை பாபிலோனியர்களுக்கு எப்படித் தெரிந்தது என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. .
பல கலாச்சாரங்களில், குறிப்பாக இந்தியாவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விரைவான அதிகரிப்பு, பிரபஞ்சத்தின் பரந்த தன்மையின் காட்சி அடையாளமாக மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சதுரங்கத்தின் தோற்றம் பற்றிய புகழ்பெற்ற புராணத்தில், ஆட்சியாளர் அதன் கண்டுபிடிப்பாளருக்கு வெகுமதியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் வாய்ப்பை வழங்குகிறார், மேலும் சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்தில் ஒன்றை வைத்தால் கிடைக்கும் கோதுமை தானியங்களின் எண்ணிக்கையைக் கேட்கிறார். இரண்டாவது, மூன்றில் நான்கு, நான்காவது எட்டு, மற்றும் பல, ஒவ்வொரு முறையும் எண் இரட்டிப்பாகிறது. அதிகபட்சம் நாங்கள் சில பைகளைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்று விளாடிகா நினைத்தார், ஆனால் அவர் தவறாகக் கணக்கிட்டார். சதுரங்கப் பலகையின் அனைத்து 64 சதுரங்களுக்கும் கண்டுபிடிப்பாளர் (2 64 - 1) தானியங்களைப் பெற வேண்டும், இது 20 இலக்க எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது; பூமியின் முழு மேற்பரப்பிலும் நீங்கள் விதைத்தாலும், அதை சேகரிக்க குறைந்தது 8 ஆண்டுகள் ஆகும் தேவையான அளவுதானியங்கள் இந்த புராணக்கதை சில நேரங்களில் சதுரங்க விளையாட்டில் மறைந்திருக்கும் வரம்பற்ற சாத்தியக்கூறுகளைக் குறிப்பதாக விளக்கப்படுகிறது.
இந்த எண் உண்மையில் 20 இலக்கமாக இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙ 10 19 (மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடு 1.84 ∙ 10 19 ஐ அளிக்கிறது). ஆனால் இந்த எண் எந்த இலக்கத்துடன் முடிவடைகிறது என்பதை உங்களால் கண்டுபிடிக்க முடியுமா என்று எனக்கு ஆச்சரியமாக இருக்கிறது?
வகுத்தல் 1 ஐ விட அதிகமாக இருந்தால் வடிவியல் முன்னேற்றம் அதிகரிக்கும் அல்லது ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால் குறையும். பிந்தைய வழக்கில், போதுமான அளவு பெரிய nக்கான எண் q n தன்னிச்சையாக சிறியதாக மாறும். அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றம் எதிர்பாராத விதமாக விரைவாக அதிகரிக்கும் போது, குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் விரைவாக குறைகிறது.
பெரிய n, பலவீனமான எண் q n பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது, மேலும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) எண் S = b 1 / ( 1 - q). (உதாரணமாக, F. Viet இந்த வழியில் நியாயப்படுத்தினார்). எண் S என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், பல நூற்றாண்டுகளாக, முழு வடிவியல் முன்னேற்றத்தையும், அதன் எண்ணற்ற சொற்களுடன் சுருக்கமாகக் கூறுவதன் அர்த்தம் என்ன என்ற கேள்வி, கணிதவியலாளர்களுக்கு போதுமானதாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, ஜீனோவின் அபோரியாஸ் "அரை பிரிவு" மற்றும் "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" ஆகியவற்றில் குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் காணலாம். முதல் வழக்கில், முழு சாலையும் (நீளம் 1 எனக் கருதினால்) 1/2, 1/4, 1/8 போன்ற எண்ணற்ற பிரிவுகளின் கூட்டுத்தொகை என்பது தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகை எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றிய கருத்துகளின் பார்வை. இன்னும் - இது எப்படி இருக்க முடியும்?
|
அரிசி. 2. 1/2 குணகம் கொண்ட முன்னேற்றம் |
அகில்லெஸ் பற்றிய அபோரியாவில், நிலைமை இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது, ஏனெனில் இங்கே முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் 1/2 அல்ல, ஆனால் வேறு சில எண். எடுத்துக்காட்டாக, அகில்லெஸ் v வேகத்தில் ஓடுகிறது, ஆமை u வேகத்தில் நகர்கிறது, அவற்றுக்கிடையேயான ஆரம்ப தூரம் l ஆகும். அகில்லெஸ் இந்த தூரத்தை l/v நேரத்தில் கடக்கும், இந்த நேரத்தில் ஆமை lu/v தூரத்தை நகர்த்தும். அகில்லெஸ் இந்தப் பிரிவை இயக்கும் போது, அவருக்கும் ஆமைக்கும் இடையே உள்ள தூரம் l (u /v) 2, முதலியன சமமாக மாறும். ஆமையைப் பிடிப்பது என்பது முதல் காலத்துடன் முடிவிலா குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். l மற்றும் வகுத்தல் u /v. இந்தக் கூட்டுத்தொகை - அகில்லெஸ் இறுதியாக ஆமையுடன் சந்திக்கும் இடத்திற்குச் செல்லும் பகுதி - l / (1 – u /v) = lv / (v – u) க்கு சமம். ஆனால், மீண்டும், இந்த முடிவை எவ்வாறு விளக்க வேண்டும், அது ஏன் எந்த அர்த்தத்தையும் தருகிறது? நீண்ட காலமாகஅது மிகவும் தெளிவாக இல்லை.
|
அரிசி. 3. 2/3 குணகம் கொண்ட வடிவியல் முன்னேற்றம் |
ஆர்க்கிமிடிஸ் ஒரு பரவளையப் பிரிவின் பரப்பளவைக் கண்டறிய ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தினார். பரவளையத்தின் இந்தப் பகுதியை AB நாண் மூலம் பிரிக்கலாம் மற்றும் பரவளையத்தின் D புள்ளியில் உள்ள தொடுகோடு AB க்கு இணையாக இருக்கட்டும். C என்பது ABயின் நடுப்புள்ளியாகவும், E என்பது ACயின் நடுப்புள்ளியாகவும், F என்பது CBயின் நடுப்புள்ளியாகவும் இருக்கட்டும். A, E, F, B புள்ளிகள் மூலம் DC க்கு இணையான கோடுகளை வரைவோம்; புள்ளி D இல் வரையப்பட்ட தொடுகோடு K, L, M, N புள்ளிகளில் இந்தக் கோடுகளை வெட்டட்டும். AD மற்றும் DB பிரிவுகளையும் வரைவோம். EL கோடு AD கோடு G புள்ளியிலும், பரவளையம் H புள்ளியிலும் வெட்டட்டும்; எஃப்எம் கோடு டிபியை Q புள்ளியிலும், பரவளையத்தை R புள்ளியிலும் வெட்டுகிறது. படி பொது கோட்பாடுகூம்பு பிரிவுகள், DC - பரவளையத்தின் விட்டம் (அதாவது, அதன் அச்சுக்கு இணையான ஒரு பிரிவு); அது மற்றும் புள்ளி D இல் உள்ள தொடுகோடு x மற்றும் y ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளாக செயல்படும், இதில் பரவளையத்தின் சமன்பாடு y 2 = 2px என எழுதப்பட்டுள்ளது (x என்பது D இலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விட்டத்தின் எந்தப் புள்ளிக்கும் உள்ள தூரம், y என்பது நீளம் விட்டம் கொண்ட இந்த புள்ளியிலிருந்து பரவளையத்தின் சில புள்ளிகள் வரை கொடுக்கப்பட்ட தொடுகோடுக்கு இணையான ஒரு பிரிவு).
பரவளைய சமன்பாட்டின் மூலம், DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, மற்றும் DK = 2DL என்பதால், KA = 4LH. ஏனெனில் KA = 2LG, LH = HG. ஒரு பரவளையத்தின் ADB பிரிவின் பரப்பளவு ΔADB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மற்றும் AHD மற்றும் DRB ஆகிய பிரிவுகளின் பகுதிகளுக்கு சமம். இதையொட்டி, AHD பிரிவின் பரப்பளவு முக்கோண AHD மற்றும் மீதமுள்ள AH மற்றும் HD பகுதிகளுக்கு சமமாக இருக்கும், ஒவ்வொன்றிலும் நீங்கள் ஒரே செயல்பாட்டைச் செய்யலாம் - ஒரு முக்கோணமாக (Δ) பிரிக்கவும் மற்றும் மீதமுள்ள இரண்டு பிரிவுகள் (), முதலியன:
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ΔAHD முக்கோணத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் ΔALD (அவை ஒரு பொதுவான அடிப்படை AD, மற்றும் உயரங்கள் 2 மடங்கு வேறுபடுகின்றன), இதையொட்டி, இது பாதி பகுதிக்கு சமம் முக்கோணம் ΔAKD, எனவே முக்கோணத்தின் பாதி பகுதி ΔACD. எனவே, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ΔAHD முக்கோணத்தின் பகுதியின் கால் பகுதிக்கு சமம் ΔACD. அதேபோல், ΔDRB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ΔDFB முக்கோணத்தின் கால் பகுதிக்கு சமம். எனவே, ΔAHD மற்றும் ΔDRB முக்கோணங்களின் பகுதிகள் ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், முக்கோணத்தின் ΔADB பகுதியின் கால் பகுதிக்கு சமம். AH, HD, DR மற்றும் RB ஆகிய பிரிவுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படும்போது இந்தச் செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்வதன் மூலம், அவற்றிலிருந்து முக்கோணங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும், அதன் பரப்பளவு, ஒன்றாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ΔAHD மற்றும் ΔDRB முக்கோணங்களின் பரப்பளவை விட 4 மடங்கு குறைவாக இருக்கும். எனவே முக்கோணத்தின் பரப்பளவை விட 16 மடங்கு குறைவு ΔADB. மற்றும் பல:
எனவே, ஆர்க்கிமிடிஸ் "ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் பரவளையத்திற்கும் இடையில் உள்ள ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரே அடிப்பகுதி மற்றும் சமமான உயரம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்றில் நான்காக உள்ளது" என்று நிரூபித்தார்.
>>கணிதம்: வடிவியல் முன்னேற்றம்
வாசகரின் வசதிக்காக, முந்தைய பத்தியில் நாம் பின்பற்றிய அதே திட்டத்தின்படி இந்தப் பத்தி கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.
1. அடிப்படை கருத்துக்கள்.
வரையறை.ஒரு எண் வரிசை, அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களும் 0 இலிருந்து வேறுபட்டவை மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய உறுப்பினரிடமிருந்து அதே எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், எண் 5 ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
எனவே, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது ஒரு எண் வரிசை (b n) என்பது உறவுகளால் மீண்டும் மீண்டும் வரையறுக்கப்படுகிறது.
ஒரு எண் வரிசையைப் பார்த்து அது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமா என்பதை தீர்மானிக்க முடியுமா? முடியும். வரிசையின் எந்த உறுப்பினருக்கும் முந்தைய உறுப்பினரின் விகிதம் நிலையானது என்று நீங்கள் உறுதியாக நம்பினால், உங்களுக்கு வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
எடுத்துக்காட்டு 2.
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும்
எடுத்துக்காட்டு 3.
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும்
எடுத்துக்காட்டு 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், இதில் b 1 - 8, q = 1.
இந்த வரிசையும் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (§ 15 இல் இருந்து எடுத்துக்காட்டு 3 ஐப் பார்க்கவும்).
உதாரணம் 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், இதில் b 1 = 2, q = -1.
வெளிப்படையாக, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது b 1 > 0, q > 1 எனில் அதிகரிக்கும் வரிசையாகும் (எடுத்துக்காட்டு 1 ஐப் பார்க்கவும்), மற்றும் b 1 > 0, 0 எனில் குறையும் வரிசை< q < 1 (см. пример 2).
வரிசை (b n) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பதைக் குறிக்க, பின்வரும் குறியீடு சில நேரங்களில் வசதியானது:
ஐகான் "வடிவியல் முன்னேற்றம்" என்ற சொற்றொடரை மாற்றுகிறது.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒரு ஆர்வமுள்ள மற்றும் அதே நேரத்தில் மிகவும் வெளிப்படையான சொத்தை நாம் கவனிக்கலாம்:
வரிசை என்றால் 
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம், பின்னர் சதுரங்களின் வரிசை, அதாவது. 
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம்.
இரண்டாவது வடிவியல் முன்னேற்றத்தில், முதல் சொல் q 2 க்கு சமமாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b n க்குப் பின் வரும் அனைத்து சொற்களையும் நிராகரித்தால், நாம் வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பெறுவோம் 
இந்த பிரிவின் மேலும் பத்திகளில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் மிக முக்கியமான பண்புகளை நாம் கருத்தில் கொள்வோம்.
2. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கவனியுங்கள் 
வகுத்தல் q. எங்களிடம் உள்ளது:
எந்த எண்ணுக்கும் சமத்துவம் உண்மையானது என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல
இது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்.
கருத்து.
படித்தால் முக்கியமான குறிப்புமுந்தைய பத்தியில் இருந்து அதைப் புரிந்துகொண்டு, பின்னர் கணிதத் தூண்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்திற்குச் செய்யப்பட்டதைப் போலவே சூத்திரம் (1) ஐ நிரூபிக்க முயற்சிக்கவும்.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்
மற்றும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: நாம் y = mq 2, அல்லது, இன்னும் விரிவாக, 
வாதம் x அதிவேகத்தில் உள்ளது, எனவே இந்த செயல்பாடு ஒரு அதிவேக செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு N இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு அதிவேக செயல்பாடாகக் கருதப்படலாம். படத்தில். 96a செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை படம் காட்டுகிறது. 966 - செயல்பாட்டு வரைபடம் 
இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவில் (அப்சிசாஸ்கள் x = 1, x = 2, x = 3, முதலியன) தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகள் (இரண்டு புள்ளிவிவரங்களும் ஒரே வளைவைக் காட்டுகின்றன, வெவ்வேறு அளவுகளில் மட்டுமே அமைந்துள்ளன மற்றும் சித்தரிக்கப்படுகின்றன). இந்த வளைவு அதிவேக வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் அதன் வரைபடம் பற்றிய கூடுதல் விவரங்கள் 11 ஆம் வகுப்பு அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் விவாதிக்கப்படும்.
முந்தைய பத்தியிலிருந்து 1-5 எடுத்துக்காட்டுகளுக்குத் திரும்புவோம்.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், இதற்கு b 1 = 1, q = 3. nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம் 
2) 
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், இதற்காக nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம் 
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் ஆகும் 
nவது தவணைக்கான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம் 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும், இதற்கு b 1 = 8, q = 1. nth termக்கான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம் 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் இதில் b 1 = 2, q = -1. nவது தவணைக்கான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம் 
எடுத்துக்காட்டு 6.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டது
எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும், தீர்வு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n வது கால சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது
a) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தில் n = 6 ஐ வைத்து, நாம் பெறுகிறோம்
b) எங்களிடம் உள்ளது
512 = 2 9 என்பதால், நாம் n - 1 = 9, n = 10 ஐப் பெறுகிறோம்.
ஈ) எங்களிடம் உள்ளது
எடுத்துக்காட்டு 7.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது மற்றும் ஐந்தாவது சொற்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு 48, முன்னேற்றத்தின் ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகை 48 ஆகும். இந்த முன்னேற்றத்தின் பன்னிரண்டாவது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.
முதல் கட்டம்.ஒரு கணித மாதிரியை வரைதல்.
சிக்கலின் நிலைமைகளை சுருக்கமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது கால சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:
பின்னர் சிக்கலின் இரண்டாவது நிபந்தனை (b 7 - b 5 = 48) என எழுதலாம்
சிக்கலின் மூன்றாவது நிபந்தனை (b 5 + b 6 = 48) என எழுதலாம்
இதன் விளைவாக, b 1 மற்றும் q ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:
மேலே எழுதப்பட்ட நிபந்தனை 1) உடன் இணைந்து, சிக்கலின் கணித மாதிரியைக் குறிக்கிறது.
இரண்டாம் கட்டம்.
தொகுக்கப்பட்ட மாதிரியுடன் பணிபுரிதல். அமைப்பின் இரு சமன்பாடுகளின் இடது பக்கங்களையும் சமன் செய்து, நாம் பெறுகிறோம்:
(பூஜ்ஜியமற்ற வெளிப்பாடு b 1 q 4 மூலம் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரித்தோம்).
q 2 - q - 2 = 0 சமன்பாட்டிலிருந்து q 1 = 2, q 2 = -1 ஐக் காணலாம். கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் q = 2 மதிப்பை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் 
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் q = -1 மதிப்பை மாற்றினால், நாம் b 1 1 0 = 48 ஐப் பெறுகிறோம்; இந்த சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை.
எனவே, b 1 =1, q = 2 - இந்த ஜோடி சமன்பாடுகளின் தொகுக்கப்பட்ட அமைப்புக்கான தீர்வாகும்.
இப்போது நாம் சிக்கலில் விவாதிக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எழுதலாம்: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
மூன்றாம் நிலை.
பிரச்சனை கேள்விக்கு பதில். நீங்கள் b 12 ஐ கணக்கிட வேண்டும். எங்களிடம் உள்ளது
பதில்: b 12 = 2048.
3. வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்.
ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட வேண்டும்
அதன் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை S n ஆல் குறிப்போம், அதாவது.
இந்தத் தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்.
q = 1 ஆக இருக்கும் எளிய வழக்கிலிருந்து ஆரம்பிக்கலாம். பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn ஆனது b 1 க்கு சமமான n எண்களைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. முன்னேற்றம் b 1, b 2, b 3, ..., b 4 போல் தெரிகிறது. இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை nb 1 ஆகும்.
இப்போது q = 1 S n ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் ஒரு செயற்கை நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: S n q என்ற வெளிப்பாட்டின் சில மாற்றங்களைச் செய்கிறோம். எங்களிடம் உள்ளது:
உருமாற்றங்களைச் செய்யும்போது, முதலில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தினோம், அதன்படி (மூன்றாவது வரியைப் பார்க்கவும்); இரண்டாவதாக, அவை சேர்த்தன மற்றும் கழித்தன, அதனால்தான் வெளிப்பாட்டின் பொருள் மாறவில்லை (பகுத்தறிவின் நான்காவது வரியைப் பார்க்கவும்); மூன்றாவதாக, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்:
சூத்திரம் (1) இலிருந்து நாம் காண்கிறோம்:
இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் (q = 1 ஆக இருக்கும் போது).
எடுத்துக்காட்டு 8.
வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றம் கொடுக்கப்பட்டது
a) முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை; b) அதன் விதிமுறைகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை.
b) மேலே (பக். 132ஐப் பார்க்கவும்) ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து விதிமுறைகளும் ஸ்கொயர் செய்யப்பட்டால், முதல் பதம் b 2 மற்றும் q 2 என்ற வகுப்பைக் கொண்டு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பெறுவோம் என்பதை ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளோம். பின்னர் புதிய முன்னேற்றத்தின் ஆறு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்படும்
எடுத்துக்காட்டு 9.
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் 8வது காலத்தைக் கண்டறியவும்
உண்மையில், பின்வரும் தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.
முதல் தேற்றம் (மற்றும் கடைசி, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் விஷயத்தில்) தவிர, அதன் ஒவ்வொரு சொற்களின் வர்க்கமும் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த சொற்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே எண் வரிசை என்பது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமாகும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சிறப்பியல்பு சொத்து).
வழிமுறைகள்
10, 30, 90, 270...
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
தீர்வு:
விருப்பம் 1. முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான காலத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் (உதாரணமாக, 90) மற்றும் அதை முந்தைய (30) ஆல் வகுப்போம்: 90/30=3.
ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பல சொற்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனைத்து சொற்களின் கூட்டுத்தொகை தெரிந்தால், முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கண்டறிய, பொருத்தமான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும்:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), இங்கு Sn என்பது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும்
S = b1/(1-q), இங்கு S என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை (ஒன்றுக்கும் குறைவான வகுப்பினைக் கொண்ட முன்னேற்றத்தின் அனைத்து சொற்களின் கூட்டுத்தொகை).
உதாரணமாக.
குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் ஒன்றுக்கு சமம், மேலும் அதன் அனைத்து சொற்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டுக்கும் சமம்.
இந்த முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.
தீர்வு:
சிக்கலிலிருந்து தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றவும். இது மாறிவிடும்:
2=1/(1-q), எங்கிருந்து – q=1/2.
முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் வரிசை. ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தில், ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் முந்தையதை ஒரு குறிப்பிட்ட எண் q ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, இது முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வழிமுறைகள்
இரண்டு அருகருகே உள்ள வடிவியல் சொற்கள் b(n+1) மற்றும் b(n) தெரிந்தால், வகுப்பினைப் பெற, நீங்கள் எண்ணை பெரிய ஒன்றோடு அதற்கு முந்தைய ஒன்றால் வகுக்க வேண்டும்: q=b(n+1)/b (n). இது முன்னேற்றத்தின் வரையறை மற்றும் அதன் வகுப்பிலிருந்து பின்வருமாறு. ஒரு முக்கியமான நிபந்தனைமுதல் காலத்தின் சமத்துவமின்மை மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கான முன்னேற்றத்தின் வகுப்பாகும், இல்லையெனில் அது காலவரையற்றதாகக் கருதப்படுகிறது.
இவ்வாறு, முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளுக்கு இடையே பின்வரும் உறவுகள் நிறுவப்பட்டுள்ளன: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தச் சொல்லையும், இதில் q மற்றும் கால b1 அறியப்படுகிறது. மேலும், ஒவ்வொரு முன்னேற்றமும் அதன் அண்டை உறுப்பினர்களின் சராசரிக்கு மாடுலஸில் சமமாக இருக்கும்: |b(n)|=√, இதில்தான் முன்னேற்றம் அதன் .
வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அனலாக் எளிமையானது அதிவேக செயல்பாடு y=a^x, இதில் x என்பது ஒரு அடுக்கு, a என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண். இந்த வழக்கில், முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் முதல் காலத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் எண் a க்கு சமமாக இருக்கும். y செயல்பாட்டின் மதிப்பை இவ்வாறு புரிந்து கொள்ளலாம் nவது பதவிக்காலம்வாதம் x என்று எடுத்துக் கொண்டால் முன்னேற்றம் இயற்கை எண் n (கவுண்டர்).