ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள். வரிகளின் ஒப்பீட்டு நிலை. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

இந்த பொருள்இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் போன்ற ஒரு கருத்துக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் பத்தியில் அது என்ன என்பதை விளக்கி அதை விளக்கப்படங்களில் காண்பிப்போம். இந்த கோணத்தின் சைன், கோசைன் மற்றும் கோணத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கும் வழிகளைப் பார்ப்போம் (ஒரு விமானம் மற்றும் முப்பரிமாண இடத்துடன் கூடிய வழக்குகளை நாங்கள் தனித்தனியாகக் கருதுவோம்), தேவையான சூத்திரங்களைக் கொடுத்து எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரியாகக் காண்பிப்போம். அவை நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

Yandex.RTB R-A-339285-1

இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் போது உருவாகும் கோணம் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, கோணம், செங்குத்தாக மற்றும் வெட்டும் புள்ளியின் வரையறையை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வரையறை 1

இரண்டு கோடுகளுக்கு ஒரு பொதுவான புள்ளி இருந்தால், அவற்றை வெட்டும் என்று அழைக்கிறோம். இந்த புள்ளி இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு நேர் கோடும் ஒரு வெட்டு புள்ளியால் கதிர்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு நேர் கோடுகளும் 4 கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, அவற்றில் இரண்டு செங்குத்து மற்றும் இரண்டு அருகில் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்றின் அளவை நாம் அறிந்தால், மீதமுள்ளவற்றை நாம் தீர்மானிக்க முடியும்.

கோணங்களில் ஒன்று α க்கு சமம் என்று நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வழக்கில், செங்குத்தாக இருக்கும் கோணமும் α க்கு சமமாக இருக்கும். மீதமுள்ள கோணங்களைக் கண்டுபிடிக்க, 180 ° - α வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட வேண்டும். α 90 டிகிரிக்கு சமமாக இருந்தால், அனைத்து கோணங்களும் சரியான கோணங்களாக இருக்கும். செங்குத்து கோணங்களில் வெட்டும் கோடுகள் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன (ஒரு தனி கட்டுரை செங்குத்துத்தன்மையின் கருத்துக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது).

படத்தைப் பாருங்கள்:

முக்கிய வரையறையை உருவாக்குவதற்கு செல்லலாம்.

வரையறை 2

இரண்டு வெட்டும் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணம் இந்த இரண்டு கோடுகளை உருவாக்கும் 4 கோணங்களில் சிறிய அளவாகும்.

வரையறையிலிருந்து ஒரு முக்கியமான முடிவு எடுக்கப்பட வேண்டும்: இந்த வழக்கில் கோணத்தின் அளவு இடைவெளியில் உள்ள எந்த உண்மையான எண்ணாலும் வெளிப்படுத்தப்படும் (0, 90]. கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் எந்த வகையிலும் இருக்கும். 90 டிகிரிக்கு சமம்.

இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் அளவைக் கண்டறியும் திறன் பல நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். தீர்வு முறையை பல விருப்பங்களிலிருந்து தேர்வு செய்யலாம்.

தொடங்குவதற்கு, நாம் வடிவியல் முறைகளை எடுக்கலாம். நமக்கு ஏதாவது தெரிந்தால் கூடுதல் கோணங்கள், சமமான அல்லது ஒத்த உருவங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றை நமக்குத் தேவையான கோணத்தில் இணைக்கலாம். உதாரணமாக, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களை நாம் அறிந்திருந்தால், இந்த பக்கங்கள் அமைந்துள்ள கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை கணக்கிட வேண்டும் என்றால், கோசைன் தேற்றம் நமது தீர்வுக்கு ஏற்றது. நமக்கு நிபந்தனை இருந்தால் வலது முக்கோணம், பின்னர் கணக்கீடுகளுக்கு சைன், கோசைன் மற்றும் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு பற்றிய அறிவும் நமக்குத் தேவைப்படும்.

இந்த வகை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு ஒருங்கிணைப்பு முறை மிகவும் வசதியானது. அதை எவ்வாறு சரியாகப் பயன்படுத்துவது என்பதை விளக்குவோம்.

எங்களிடம் ஒரு செவ்வக (கார்டீசியன்) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y உள்ளது, இதில் இரண்டு நேர்கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றை a மற்றும் b எழுத்துக்களால் குறிப்போம். நேர்கோடுகளை சில சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம். அசல் கோடுகள் ஒரு வெட்டுப்புள்ளி எம். இந்த நேர்கோடுகளுக்கு இடையே தேவையான கோணத்தை (அதைக் குறிக்கலாம் α) எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான அடிப்படைக் கொள்கையை உருவாக்குவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்.

ஒரு நேர் கோட்டின் கருத்து ஒரு திசை திசையன் மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் போன்ற கருத்துகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது என்பதை நாம் அறிவோம். ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டின் சமன்பாடு இருந்தால், அதிலிருந்து இந்த வெக்டார்களின் ஆயத்தொலைவுகளை எடுக்கலாம். ஒரே நேரத்தில் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு இதைச் செய்யலாம்.

இரண்டு வெட்டும் கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட கோணத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

• திசை திசையன்களுக்கு இடையே கோணம்;
• சாதாரண திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்;
• ஒரு வரியின் சாதாரண திசையன் மற்றும் மற்றொன்றின் திசை திசையன் இடையே உள்ள கோணம்.

இப்போது ஒவ்வொரு முறையையும் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு திசை திசையன் a → = (a x, a y) ஒரு கோடு a மற்றும் ஒரு திசை திசையன் b → (b x, b y) கொண்ட ஒரு வரி b என்று வைத்துக்கொள்வோம். இப்போது இரண்டு திசையன்கள் a → மற்றும் b → வெட்டும் புள்ளியிலிருந்து வரைவோம். இதற்குப் பிறகு அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த நேர்கோட்டில் அமைந்திருப்பதைக் காண்போம். பின்னர் அவர்களின் உறவினர் ஏற்பாட்டிற்கு நான்கு விருப்பங்கள் உள்ளன. விளக்கப்படத்தைப் பார்க்கவும்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கியதாக இல்லாவிட்டால், அது வெட்டும் கோடுகளான a மற்றும் b இடையே நமக்குத் தேவையான கோணமாக இருக்கும். அது மழுங்கலாக இருந்தால், விரும்பிய கோணம் a →, b → ^ கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, α = a → , b → ^ என்றால் a → , b → ^ ≤ 90 ° , மற்றும் α = 180 ° - a → , b → ^ என்றால் a → , b → ^ > 90 ° .

சம கோணங்களின் கோசைன்கள் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில், விளைவான சமத்துவங்களை நாம் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்: cos α = cos a →, b → ^, a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, a →, b → ^ > 90 °.

இரண்டாவது வழக்கில், குறைப்பு சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. இதனால்,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

கடைசி சூத்திரத்தை வார்த்தைகளில் எழுதுவோம்:

வரையறை 3

இரண்டு வெட்டும் நேர் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் கோசைன் அதன் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனின் மாடுலஸுக்கு சமமாக இருக்கும்.

a → = (a x , a y) மற்றும் b → = (b x , b y) ஆகிய இரு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தின் பொதுவான வடிவம் இதுபோல் தெரிகிறது:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தை அதிலிருந்து நாம் பெறலாம்:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் காணலாம்:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

இங்கே a → = (a x , a y) மற்றும் b → = (b x , b y) ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட வரிகளின் திசை திசையன்கள்.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு உதாரணம் தருவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு விமானத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், இரண்டு வெட்டும் கோடுகள் a மற்றும் b கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R மற்றும் x 5 = y - 6 - 3 என்ற அளவுரு சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படலாம். இந்த வரிகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

எங்கள் நிலையில் ஒரு அளவுரு சமன்பாடு உள்ளது, அதாவது இந்த வரிக்கு அதன் திசை திசையன் ஆயங்களை உடனடியாக எழுதலாம். இதைச் செய்ய, அளவுருவின் குணகங்களின் மதிப்புகளை நாம் எடுக்க வேண்டும், அதாவது. நேர்கோட்டில் x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R திசை திசையன் a → = (4, 1) இருக்கும்.

இரண்டாவது வரி x 5 = y - 6 - 3 என்ற நியமன சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கே நாம் வகுப்பிலிருந்து ஆயங்களை எடுக்கலாம். எனவே, இந்த வரியில் திசை திசையன் b → = (5 , - 3) .

அடுத்து, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு நேரடியாகச் செல்கிறோம். இதைச் செய்ய, இரண்டு திசையன்களின் தற்போதைய ஆயங்களை மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் மாற்றவும் α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

பதில்: இந்த நேர்கோடுகள் 45 டிகிரி கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சாதாரண திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிவதன் மூலம் இதேபோன்ற சிக்கலை நாம் தீர்க்க முடியும். நம்மிடம் ஒரு சாதாரண திசையன் n a → = (n a x , n a y) மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் n b → = (n b x , n b y) உடன் ஒரு கோடு இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் n a → மற்றும் இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும். n b → அல்லது n a → , n b → ^ க்கு அருகில் இருக்கும் கோணம். இந்த முறை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையில் உள்ள கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் சாதாரண திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி இந்த கோணம் இதுபோல் இருக்கும்:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c காஸ் n x + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

இங்கே n a → மற்றும் n b → இரண்டு கொடுக்கப்பட்ட வரிகளின் இயல்பான திசையன்களைக் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், 3 x + 5 y - 30 = 0 மற்றும் x + 4 y - 17 = 0 ஆகிய சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டு நேர் கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைன் மற்றும் இந்த கோணத்தின் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

அசல் கோடுகள் A x + B y + C = 0 வடிவத்தின் சாதாரண வரி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகின்றன. சாதாரண வெக்டரை n → = (A, B) எனக் குறிப்பிடுகிறோம். ஒரு வரிக்கான முதல் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டுபிடித்து அவற்றை எழுதுவோம்: n a → = (3, 5) . இரண்டாவது வரி x + 4 y - 17 = 0 க்கு, சாதாரண திசையன் n b → = (1, 4) ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும். இப்போது பெறப்பட்ட மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் சேர்த்து மொத்தத்தை கணக்கிடுவோம்:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ஒரு கோணத்தின் கோசைன் நமக்குத் தெரிந்தால், அடிப்படையைப் பயன்படுத்தி அதன் சைனைக் கணக்கிடலாம் முக்கோணவியல் அடையாளம். நேர்கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணம் α மழுங்கலாக இல்லாததால், sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

இந்த வழக்கில், α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

பதில்: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

கடைசி வழக்கை பகுப்பாய்வு செய்வோம் - ஒரு நேர் கோட்டின் திசை திசையன் மற்றும் மற்றொன்றின் இயல்பான திசையன் ஆகியவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் நமக்குத் தெரிந்தால் நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிதல்.

நேர் கோட்டில் a திசை திசையன் a → = (a x , a y) , மற்றும் நேர் கோடு b ஒரு சாதாரண திசையன் n b → = (n b x , n b y) என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த திசையன்களை வெட்டும் புள்ளியில் இருந்து ஒதுக்கி வைத்து, அவற்றின் தொடர்புடைய நிலைகளுக்கான அனைத்து விருப்பங்களையும் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். படத்தில் காண்க:

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் 90 டிகிரிக்கு மேல் இல்லை என்றால், அது a மற்றும் b க்கு இடையே உள்ள கோணத்தை சரியான கோணத்தில் பூர்த்தி செய்யும் என்று மாறிவிடும்.

a → , n b → ^ = 90 ° - α என்றால் a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

இது 90 டிகிரிக்கு குறைவாக இருந்தால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

a → , n b → ^ > 90 ° , பின்னர் a → , n b → ^ = 90 ° + α

சம கோணங்களின் கொசைன்களின் சமத்துவ விதியைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α for a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α for a → , n b → ^ > 90 ° .

இதனால்,

சின் a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

ஒரு முடிவை உருவாக்குவோம்.

வரையறை 4

ஒரு விமானத்தில் வெட்டும் இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் சைனைக் கண்டுபிடிக்க, முதல் வரியின் திசை திசையன் மற்றும் இரண்டாவது சாதாரண திசையன் இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனின் மாடுலஸை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்.

தேவையான சூத்திரங்களை எழுதுவோம். ஒரு கோணத்தின் சைனைக் கண்டறிதல்:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

கோணத்தையே கண்டறிதல்:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

இங்கே a → என்பது முதல் வரியின் திசை திசையன் மற்றும் n b → என்பது இரண்டாவது வரியின் இயல்பான திசையன் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

x - 5 = y - 6 3 மற்றும் x + 4 y - 17 = 0 ஆகிய சமன்பாடுகளால் இரண்டு வெட்டும் கோடுகள் வழங்கப்படுகின்றன. வெட்டும் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளிலிருந்து வழிகாட்டி மற்றும் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இது ஒரு → = (- 5, 3) மற்றும் n → b = (1, 4) ஆக மாறும். α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 என்ற சூத்திரத்தை எடுத்து கணக்கிடுகிறோம்:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

முந்தைய சிக்கலில் இருந்து சமன்பாடுகளை எடுத்து, அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் வேறு வழியில் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பதில்:α = a rc sin 7 2 34

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகளின் கோண குணகங்களைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய கோணத்தைக் கண்டறிய மற்றொரு வழியை முன்வைப்போம்.

எங்களிடம் ஒரு கோடு உள்ளது, இது செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = k 1 x + b 1 சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு வரி b, y = k 2 x + b 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இவை சரிவுகளுடன் கூடிய நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகள். வெட்டும் கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, இதில் k 1 மற்றும் k 2 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட வரிகளின் சரிவுகளாகும். இந்த பதிவைப் பெற, சாதாரண திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் கோணத்தை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன.

எடுத்துக்காட்டு 4

y = - 3 5 x + 6 மற்றும் y = - 1 4 x + 17 4 ஆகிய சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தில் இரண்டு கோடுகள் வெட்டப்படுகின்றன. வெட்டு கோணத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

எங்கள் கோடுகளின் கோண குணகங்கள் k 1 = - 3 5 மற்றும் k 2 = - 1 4 க்கு சமம். அவற்றை α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 சூத்திரத்தில் சேர்த்து கணக்கிடுவோம்:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

பதில்:α = a rc cos 23 2 34

இந்தப் பத்தியின் முடிவுகளில், கோணத்தைக் கண்டறிவதற்காக இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்கள் இதயப்பூர்வமாகக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டியதில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதைச் செய்ய, வழிகாட்டிகள் மற்றும்/அல்லது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளின் இயல்பான திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைத் தெரிந்துகொள்வது போதுமானது மற்றும் அவற்றை தீர்மானிக்க முடியும் பல்வேறு வகையானசமன்பாடுகள். ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வது அல்லது எழுதுவது நல்லது.

விண்வெளியில் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

அத்தகைய கோணத்தின் கணக்கீடு திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை கணக்கிடுவதற்கும் இந்த திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் அளவை தீர்மானிப்பதற்கும் குறைக்கப்படலாம். அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு, நாம் முன்பு கூறிய அதே நியாயம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது ஒரு குறுக்குவெட்டு புள்ளி M உடன் இரண்டு நேர்கோடுகளை a மற்றும் b கொண்டுள்ளது. திசை திசையன்களின் ஆயங்களை கணக்கிட, இந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகளை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். திசை திசையன்கள் a → = (a x , a y , a z) மற்றும் b → = (b x , b y , b z) . அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிட, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b

கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நமக்கு இந்த சூத்திரம் தேவை:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

எடுத்துக்காட்டு 5

x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 என்ற சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு கோடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இது O z அச்சுடன் வெட்டுகிறது என்று அறியப்படுகிறது. இடைமறிக்கும் கோணத்தையும் அந்த கோணத்தின் கொசைனையும் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

α என்ற எழுத்தால் கணக்கிடப்பட வேண்டிய கோணத்தைக் குறிப்போம். முதல் நேர்கோட்டிற்கான திசை வெக்டரின் ஆயங்களை எழுதுவோம் – a → = (1, - 3, - 2) . பயன்பாட்டு அச்சுக்கு, ஆய திசையன் k → = (0, 0, 1) வழிகாட்டியாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். தேவையான தரவை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், அதை விரும்பிய சூத்திரத்தில் சேர்க்கலாம்:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

இதன் விளைவாக, நமக்குத் தேவையான கோணம் r c cos 1 2 = 45 ° க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

பதில்: cos α = 1 2, α = 45 °.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

வரையறை.இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டால் y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, பின்னர் கூர்மையான மூலைஇந்த நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் என வரையறுக்கப்படும்

k 1 = k 2 எனில் இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும். k 1 = -1/ k 2 எனில் இரண்டு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கும்.

தேற்றம். Ax + Bу + C = 0 மற்றும் A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ஆகிய கோடுகள் A 1 = λA, B 1 = λB ஆகிய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்கும்போது இணையாக இருக்கும். C 1 = λC என்றால், கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன. இந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கு தீர்வாக இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் காணப்படுகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக

வரையறை.புள்ளி M 1 (x 1, y 1) மற்றும் y = kx + b என்ற நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக செல்லும் ஒரு நேர்கோடு சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது:

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

தேற்றம்.ஒரு புள்ளி M(x 0, y 0) கொடுக்கப்பட்டால், Ax + Bу + C = 0 என்ற கோட்டிற்கான தூரம் இவ்வாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

.

ஆதாரம்.புள்ளி M 1 (x 1, y 1) ஒரு செங்குத்தாக M புள்ளியில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டிற்கு அடிப்பாக இருக்கட்டும். பின்னர் புள்ளிகள் M மற்றும் M 1 இடையே உள்ள தூரம்:

(1)

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் x 1 மற்றும் y 1 ஒருங்கிணைப்புகளைக் காணலாம்:

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாடு கடந்து செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 0 கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றினால்:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

பின்னர், தீர்க்கும், நாம் பெறுகிறோம்:

இந்த வெளிப்பாடுகளை சமன்பாடு (1) இல் மாற்றுவதன் மூலம், நாம் காண்கிறோம்:

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணமாக. கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை தீர்மானிக்கவும்: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

கே 1 = -3; கே 2 = 2; tgφ = ; φ= ப /4.

உதாரணமாக. 3x – 5y + 7 = 0 மற்றும் 10x + 6y – 3 = 0 கோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதைக் காட்டுங்கள்.

தீர்வு. நாம் காண்கிறோம்: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, எனவே, கோடுகள் செங்குத்தாக உள்ளன.

உதாரணமாக. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) முக்கோணத்தின் முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. சி உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட உயரத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. AB பக்கத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம்: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

தேவையான உயரச் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: Ax + By + C = 0 அல்லது y = kx + b. k = . பின்னர் y = . ஏனெனில் உயரம் புள்ளி C வழியாக செல்கிறது, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கின்றன: எங்கிருந்து b = 17. மொத்தம்: .

பதில்: 3 x + 2 y – 34 = 0.

கொடுக்கப்பட்ட திசையில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு. இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். இரண்டு நேர் கோடுகளின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக நிலை. இரண்டு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியை தீர்மானித்தல்

1. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு ஏ(எக்ஸ் 1 , ஒய் 1) கொடுக்கப்பட்ட திசையில், சாய்வால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது கே,

ஒய் - ஒய் 1 = கே(எக்ஸ் - எக்ஸ் 1). (1)

இந்த சமன்பாடு ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோடுகளின் பென்சிலை வரையறுக்கிறது ஏ(எக்ஸ் 1 , ஒய் 1), இது பீம் சென்டர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2. இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு: ஏ(எக்ஸ் 1 , ஒய் 1) மற்றும் பி(எக்ஸ் 2 , ஒய் 2), இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் கோண குணகம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

3. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஏமற்றும் பிமுதல் நேர்கோட்டை சுழற்ற வேண்டிய கோணம் ஏஇந்த கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை சுற்றி எதிரெதிர் திசையில் அது இரண்டாவது வரியுடன் இணையும் வரை பி. இரண்டு நேர்கோடுகள் ஒரு சாய்வுடன் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால்

ஒய் = கே 1 எக்ஸ் + பி 1 ,

ஒய் = கே 2 எக்ஸ் + பி 2 , (4)

பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையில், முதல் வரியின் சாய்வு இரண்டாவது வரியின் சாய்விலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் பொதுவான பார்வை

ஏ 1 எக்ஸ் + பி 1 ஒய் + சி 1 = 0,

ஏ 2 எக்ஸ் + பி 2 ஒய் + சி 2 = 0, (6)

அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

4. இரண்டு வரிகளின் இணையான நிலைகள்:

அ) கோடுகள் சமன்பாடுகளால் (4) ஒரு கோண குணகத்துடன் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் இணையான தன்மைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை அவற்றின் கோண குணகங்களின் சமத்துவமாகும்:

கே 1 = கே 2 . (8)

b) கோடுகள் பொதுவான வடிவத்தில் (6) சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் இணைநிலைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அவற்றின் சமன்பாடுகளில் தொடர்புடைய தற்போதைய ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்கும், அதாவது.

5. இரண்டு நேர் கோடுகளின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான நிபந்தனைகள்:

அ) கோடுகள் ஒரு கோணக் குணகத்துடன் (4) சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான அவசியமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அவற்றின் கோணக் குணகங்கள் அளவு மற்றும் எதிரெதிர் அடையாளத்தில் இருக்கும், அதாவது.

இந்த நிபந்தனையை படிவத்திலும் எழுதலாம்

கே 1 கே 2 = -1. (11)

b) கோடுகளின் சமன்பாடுகள் பொது வடிவத்தில் (6) கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் செங்குத்தாக (தேவையான மற்றும் போதுமானது) நிபந்தனை சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்வதாகும்.

ஏ 1 ஏ 2 + பி 1 பி 2 = 0. (12)

6. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் இரண்டு கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் கண்டறியப்படுகின்றன (6). கோடுகள் (6) என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே வெட்டுகின்றன

1. புள்ளி M ஐக் கடந்து செல்லும் கோடுகளின் சமன்பாடுகளை எழுதவும், அதில் ஒன்று இணையாகவும் மற்றொன்று l கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாகவும் இருக்கும்.

வழிமுறைகள்

குறிப்பு

காலம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுதொடுகோடு 180 டிகிரிக்கு சமம், அதாவது நேர் கோடுகளின் சாய்வு கோணங்கள், முழுமையான மதிப்பில், இந்த மதிப்பை மீற முடியாது.

பயனுள்ள ஆலோசனை

கோண குணகங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால், அத்தகைய கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் 0 ஆகும், ஏனெனில் அத்தகைய கோடுகள் ஒன்றிணைகின்றன அல்லது இணையாக இருக்கும்.

வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்க, இரண்டு கோடுகளையும் (அல்லது அவற்றில் ஒன்று) இணை மொழிபெயர்ப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி புதிய நிலைக்கு நகர்த்துவது அவசியம். இதற்குப் பிறகு, இதன் விளைவாக வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையில் உள்ள கோணத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• ஆட்சியாளர், வலது முக்கோணம், பென்சில், புரோட்ராக்டர்.

வழிமுறைகள்

எனவே, திசையன் V = (a, b, c) மற்றும் விமானம் A x + B y + C z = 0 ஆகியவற்றைக் கொடுக்கலாம், இதில் A, B மற்றும் C ஆகியவை சாதாரண N இன் ஆயத்தொலைவுகளாகும். பின்னர் கோணத்தின் கோசைன் V மற்றும் N ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையில் α சமம்: cos α = (a + b + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில் கோணத்தைக் கணக்கிட, நீங்கள் விளைந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து தலைகீழ் கோசைன் செயல்பாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், அதாவது. arccosine:α = arsсos ((a + b + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

உதாரணம்: கண்டுபிடி மூலையில்இடையே திசையன்(5, -3, 8) மற்றும் விமானம், பொது சமன்பாடு 2 x – 5 y + 3 z = 0 மூலம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தீர்வு: விமானத்தின் N = (2, -5, 3) இன் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை எழுதவும். எல்லாவற்றையும் மாற்றவும் அறியப்பட்ட மதிப்புகள்கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தில்: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

தலைப்பில் வீடியோ

ஒரு வட்டத்துடன் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு வட்டத்துடன் தொடுகோடு உள்ளது. தொடுகோட்டின் மற்றொரு அம்சம் என்னவென்றால், அது எப்போதும் தொடர்பு புள்ளியில் வரையப்பட்ட ஆரத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும், அதாவது, தொடுகோடு மற்றும் ஆரம் ஒரு நேர் கோட்டை உருவாக்குகின்றன. மூலையில். AB மற்றும் AC என்ற வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் A புள்ளியில் இருந்து வரையப்பட்டால், அவை எப்போதும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும். தொடுகோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை தீர்மானித்தல் ( மூலையில்ஏபிசி) பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்டது.

வழிமுறைகள்

கோணத்தைத் தீர்மானிக்க, OB மற்றும் OS வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து தொடுகோடுகளின் தொடக்கப் புள்ளியின் தூரம் ஆகியவற்றை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும் - O. எனவே, ABO மற்றும் ASO கோணங்கள் சமம், OB ஆரம், எடுத்துக்காட்டாக, 10 செ.மீ., மற்றும் AO வட்டத்தின் மையத்திற்கான தூரம் 15 செ.மீ ஆகும். சதுர வேர் AO2 இலிருந்து – OB2 அல்லது 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

கோணம்விண்வெளியில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் தரவுக்கு இணையான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி மூலம் வரையப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளால் உருவாகும் அருகிலுள்ள கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அழைப்போம்.

விண்வெளியில் இரண்டு வரிகளை கொடுக்கலாம்:

வெளிப்படையாக, நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் φ அவற்றின் திசை திசையன்கள் மற்றும் . பின்னர், திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்

இரண்டு நேர் கோடுகளின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலைகள் அவற்றின் திசை திசையன்களின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலைமைகளுக்கு சமமானவை:

இரண்டு நேராக இணையானஅவற்றின் தொடர்புடைய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது. எல் 1 இணை எல் 2 என்றால் மற்றும் இணையாக இருந்தால் மட்டும் .

இரண்டு நேராக செங்குத்தாகதொடர்புடைய குணகங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே: .

யு கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான இலக்கு

நேராக இருக்கட்டும் ஈ- θ விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இல்லை;
ஈ′− ஒரு கோட்டின் கணிப்பு ஈθ விமானத்திற்கு;
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள சிறிய கோணம் ஈமற்றும் ஈ"நாங்கள் அழைப்போம் ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம்.
அதை φ=( என குறிப்போம் ஈ,θ)
என்றால் ஈ⊥θ, பின்னர் ( ஈ,θ)=π/2

ஓய்→ஜே→கே→− செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு.
விமானச் சமன்பாடு:

θ: கோடாரி+மூலம்+Cz+டி=0

நேர் கோடு ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை திசையன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்: ஈ[எம் 0,ப→]
திசையன் n→(ஏ,பி,சி)⊥θ
திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிய இது உள்ளது n→ மற்றும் ப→, அதை γ=( என குறிப்போம் n→,ப→).

கோணம் என்றால் γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

கோணம் γ>π/2 எனில், விரும்பிய கோணம் φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

பிறகு, நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ ஏப் 1+பிபி 2+Cp 3∣ ∣ √ஏ 2+பி 2+சி 2√ப 21+ப 22+ப 23

கேள்வி29. இருபடி வடிவத்தின் கருத்து. இருபடி வடிவங்களின் அடையாளம்.

இருபடி வடிவம் j (x 1, x 2, ..., x n) n உண்மையான மாறிகள் x 1, x 2, ..., x nபடிவத்தின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது
, (1)

எங்கே ஒரு ij - குணகங்கள் எனப்படும் சில எண்கள். பொதுத்தன்மையை இழக்காமல், நாம் அதைக் கொள்ளலாம் ஒரு ij = ஒரு ஜி.

இருபடி வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது செல்லுபடியாகும்,என்றால் ஒரு ij Î ஜி.ஆர். இருபடி வடிவத்தின் அணிஅதன் குணகங்களால் ஆன அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருபடி வடிவம் (1) ஒரே சமச்சீர் அணிக்கு ஒத்திருக்கிறது
அது A T = A. இதன் விளைவாக, இருபடி வடிவத்தை (1) அணி வடிவத்தில் எழுதலாம் j ( எக்ஸ்) = x டி ஆ, எங்கே x டி = (எக்ஸ் 1 எக்ஸ் 2 … x n). (2)

மேலும், மாறாக, ஒவ்வொரு சமச்சீர் அணியும் (2) மாறிகளின் குறியீடு வரை தனித்துவமான இருபடி வடிவத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

இருபடி வடிவத்தின் தரவரிசைஅதன் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருபடி வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சிதையாத,அதன் அணி ஒருமையற்றதாக இருந்தால் ஏ. (அணி என்று நினைவு ஏஅதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், சிதைவடையாதது என்று அழைக்கப்படுகிறது). இல்லையெனில், இருபடி வடிவம் சிதைந்துவிடும்.

நேர்மறை திட்டவட்டமான(அல்லது கண்டிப்பாக நேர்மறை) என்றால்

j ( எக்ஸ்) > 0 , யாருக்கும் எக்ஸ் = (எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, x n), தவிர எக்ஸ் = (0, 0, …, 0).

மேட்ரிக்ஸ் ஏநேர்மறை திட்டவட்ட இருபடி வடிவம் j ( எக்ஸ்) நேர்மறை உறுதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, ஒரு நேர்மறை திட்டவட்டமான இருபடி வடிவம் ஒரு தனிப்பட்ட நேர்மறை திட்டவட்டமான அணி மற்றும் நேர்மாறாகவும் ஒத்துள்ளது.

இருபடி வடிவம் (1) அழைக்கப்படுகிறது எதிர்மறையாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது(அல்லது கண்டிப்பாக எதிர்மறை) என்றால்

j ( எக்ஸ்) < 0, для любого எக்ஸ் = (எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, x n), தவிர எக்ஸ் = (0, 0, …, 0).

மேலே உள்ளதைப் போலவே, எதிர்மறை திட்டவட்டமான இருபடி வடிவத்தின் மேட்ரிக்ஸ் எதிர்மறை நிச்சயமானது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

இதன் விளைவாக, நேர்மறை (எதிர்மறை) திட்டவட்டமான இருபடி வடிவம் j ( எக்ஸ்) குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) மதிப்பை அடையும் j ( எக்ஸ்*) = 0 மணிக்கு எக்ஸ்* = (0, 0, …, 0).

பெரும்பாலான இருபடி வடிவங்கள் அடையாளம்-நிச்சயமானவை அல்ல, அதாவது அவை நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையானவை அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. இத்தகைய இருபடி வடிவங்கள் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்தில் மட்டுமல்ல, மற்ற புள்ளிகளிலும் மறைந்துவிடும்.

எப்பொழுது n> 2, இருபடி வடிவத்தின் அடையாளத்தை சரிபார்க்க சிறப்பு அளவுகோல்கள் தேவை. அவற்றைப் பார்ப்போம்.

பெரிய சிறார்இருபடி வடிவங்கள் மைனர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

அதாவது, இவர்கள் 1, 2, ..., என்ற வரிசையின் மைனர்கள் nமெட்ரிக்குகள் ஏ, இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது மேல் மூலையில், அவற்றில் கடைசியானது மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பாளருடன் ஒத்துப்போகிறது ஏ.

நேர்மறை உறுதியான அளவுகோல் (சில்வெஸ்டர் அளவுகோல்)

எக்ஸ்) = x டி ஆநேர்மறை திட்டவட்டமாக இருந்தது, மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து முக்கிய சிறார்களும் அவசியம் மற்றும் போதுமானது ஏநேர்மறையானவை, அதாவது: எம் 1 > 0, எம் 2 > 0, …, Mn > 0. எதிர்மறை உறுதியான அளவுகோல் இருபடி வடிவத்திற்காக j ( எக்ஸ்) = x டி ஆஎதிர்மறையானது திட்டவட்டமாக இருந்தது, அதன் முக்கிய சிறார்களான சம வரிசை நேர்மறையாகவும், ஒற்றைப்படை வரிசையில் - எதிர்மறையாகவும் இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, அதாவது: எம் 1 < 0, எம் 2 > 0, எம் 3 < 0, …, (–1)n

நான் சுருக்கமாக சொல்கிறேன். இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமம். எனவே, திசை திசையன்கள் a = (x 1; y 1; z 1) மற்றும் b = (x 2; y 2; z 2) ஆகியவற்றின் ஆயங்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், நீங்கள் கோணத்தைக் கண்டறியலாம். இன்னும் துல்லியமாக, சூத்திரத்தின்படி கோணத்தின் கொசைன்:

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

பணி. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தில், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

கனசதுரத்தின் விளிம்பு குறிப்பிடப்படாததால், AB = 1 ஐ அமைப்போம். நாங்கள் ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x, y, z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 உடன் இயக்கப்படுகின்றன. யூனிட் பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். இப்போது நமது கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்.

திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதற்கு A = (0; 0; 0) மற்றும் E = (0.5; 0; 1) புள்ளிகள் தேவை. புள்ளி E என்பது A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி என்பதால், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் முனைகளின் ஆய எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். திசையன் AE இன் தோற்றம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே AE = (0.5; 0; 1).

இப்போது BF வெக்டரைப் பார்ப்போம். இதேபோல், B = (1; 0; 0) மற்றும் F = (1; 0.5; 1) புள்ளிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், ஏனெனில் F என்பது B 1 C 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. எங்களிடம் உள்ளது:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

எனவே, திசை திசையன்கள் தயாராக உள்ளன. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் ஆகும், எனவே எங்களிடம் உள்ளது:

பணி. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் ABCA 1 B 1 C 1 இல், அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், D மற்றும் E புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AD மற்றும் BE கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x அச்சு AB, z - AA 1 உடன் இயக்கப்படுகிறது. OXY விமானம் ABC விமானத்துடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் y- அச்சை இயக்குவோம். அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். தேவையான கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

முதலில், திசையன் AD இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்: A = (0; 0; 0) மற்றும் D = (0.5; 0; 1), ஏனெனில் D - A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. திசையன் AD இன் தொடக்கமானது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதால், நாம் AD = (0.5; 0; 1) ஐப் பெறுகிறோம்.

இப்போது திசையன் BE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளி B = (1; 0; 0) கணக்கிட எளிதானது. புள்ளி E உடன் - C 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி - இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது. எங்களிடம் உள்ளது:

கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

பணி. ஒரு வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸத்தில் ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , இதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், K மற்றும் L புள்ளிகள் முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன. . AK மற்றும் BL கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு ப்ரிஸத்திற்கான நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: கீழ் அடித்தளத்தின் மையத்தில் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தை வைக்கிறோம், x அச்சு FC வழியாக இயக்கப்படுகிறது, y அச்சு AB மற்றும் DE மற்றும் z பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக இயக்கப்படுகிறது. அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. யூனிட் பிரிவு மீண்டும் AB = 1 க்கு சமம். நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:

புள்ளிகள் K மற்றும் L ஆகியவை முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கணித சராசரி மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்களான AK மற்றும் BL இன் ஆயங்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:

இப்போது கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பணி. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD இல், அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே SB மற்றும் SC பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் புள்ளி A இல் உள்ளது, x மற்றும் y அச்சுகள் முறையே AB மற்றும் AD உடன் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் z அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம்.

புள்ளிகள் E மற்றும் F ஆகியவை முறையே SB மற்றும் SC பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கள் எண்கணித சராசரியாகக் காணப்படுகின்றன. எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:
A = (0; 0; 0); பி = (1; 0; 0)

புள்ளிகளை அறிந்து, திசை திசையன்களான AE மற்றும் BF இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்:

திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளி E இன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனெனில் புள்ளி A என்பது தோற்றம். கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது: