Vektörler arasındaki açıyı tanımlayın. Vektörlerin nokta çarpımı

İsteğin üzerine!

1. Paydadaki mantıksızlığı ortadan kaldırın:

3. Üstel denklemi çözün:

4. Eşitsizliği çözün:

Aritmetik Kare kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve her zaman negatif olmayan bir sayı olarak ifade edilir dolayısıyla bu eşitsizlik herkes için geçerli olacaktır X, koşulu karşılayan: 2-х≥0. Buradan şunu elde ederiz: x≤2. Cevabı sayısal aralık şeklinde yazıyoruz: (-∞; 2).

5. Eşitsizliği çözün: 7 x > -1.

A-tarikatı: y = a x biçimindeki bir fonksiyona üstel denir; burada a >0, a≠1, x herhangi bir sayıdır. Değer aralığı üstel fonksiyon tüm pozitif sayıların kümesidir, Çünkü pozitif sayı her bakımdan olumlu olacaktır. Bu nedenle herhangi bir x için 7 x >0 ve hatta daha da fazlası 7 x > -1, yani. eşitsizlik tüm x ∈ (-∞; +∞) için doğrudur.

6. Ürüne dönüştür:

Sinüslerin toplamı için formülü uygulayalım: iki açının sinüslerinin toplamı, bu açıların yarı toplamının sinüsü ile yarı farklarının kosinüsünün çarpımının iki katına eşittir.

8. f(x) = -15x+3 olduğu biliniyor. Hangi x değerleri için f(x)=0 olur?

f(x) yerine 0 sayısını yazın ve denklemi çözün:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . Birinci ve ikinci alaşımlarda bakır ve çinko 5:2 ve 3:4 oranlarındadır. Eşit miktarda bakır ve çinko içeren 28 kg yeni bir alaşım elde etmek için her alaşımdan ne kadar alınması gerekir?

Yeni alaşımın 14 kg bakır ve 14 kg çinko içereceğini anlıyoruz. Benzer problemlerin hepsi aynı şekilde çözülür: Sol ve sağ tarafların aynı miktarda madde içerdiği (bakır alalım), farklı yazılmış (problemin belirli koşullarına göre) bir denklem oluştururlar. Yeni alaşımdaki 14 kg bakırımız, bu alaşımların her ikisinden de elde edilen bakırdan oluşacak. İlk alaşımın kütlesi olsun X kg ise ikinci alaşımın kütlesi ( 28'ler)kilogram. Birinci alaşım 5 kısım bakır ve 2 kısım çinko içerdiğinden bakır x kg'dan (5/7) olacaktır. Bir sayının kesirini bulmak için kesri verilen sayıyla çarpmanız gerekir. İkinci alaşım 3 kısım bakır ve 4 kısım çinko içerir; bakır (28) kg'dan (3/7) içerir. Bu yüzden:

12. Denklemi çözün: log 2 8 x = -1.

Logaritmanın tanımı gereği:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. f(x) = -ln cosx 2 fonksiyonunun türevini bulun.

20. İfadenin anlamını bulun:

Bir sayının modülü yalnızca negatif olmayan bir sayı olarak ifade edilebilir. Modül işaretinin altında negatif bir ifade varsa modüler parantez açıldığında tüm terimler zıt işaretlerle yazılır.

22. Eşitsizlik sistemini çözün:

Öncelikle her eşitsizliği ayrı ayrı çözüyoruz.

Bu işlevler için en küçük ortak periyodun şu şekilde olacağını unutmayın: 2π, bu nedenle hem sol hem de sağ atfedildi 2πn. Cevap C).

23. y=3-|x-3| fonksiyonunun grafiğinin sınırladığı şeklin alanını bulun. ve düz çizgi y=0.

Bu fonksiyonun grafiği bir noktadan çıkan iki yarım çizgiden oluşacaktır. Doğruların denklemlerini yazalım. x≥3 için modüler parantezleri açarız ve şunu elde ederiz: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. x'te<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Bir fonksiyonun grafiği ve Ox ekseninin bir parçası ile sınırlanan üçgen, alanının bulunması gereken bir şekildir. Elbette burada integraller olmadan da yapabiliriz. Bir üçgenin alanını, tabanı ile bu tabana çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı kadar bulalım. Tabanımız 6 birim parçaya, bu tabana çizilen yükseklik ise 3 birim parçaya eşittir. Alan 9 metrekare olacak. birimler

24. Köşeleri A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2) noktalarında olan bir üçgenin A açısının kosinüsünü bulun.

Uçlarının koordinatları ile verilen bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıcın koordinatlarını sonun koordinatlarından çıkarmanız gerekir.

A açısı vektörler tarafından oluşturulur:

25. Bir kutuda 23 top vardır: kırmızı, beyaz ve siyah. Kırmızı toplardan 11 kat daha fazla beyaz top vardır. Kaç tane siyah top var?

Kutunun içinde kalmasına izin ver X kırmızı toplar. Sonra beyaz 11x toplar.

Kırmızı ve beyaz x+11x= 12x toplar. Bu nedenle siyah toplar 23-12x. Bu bir tamsayı top sayısı olduğundan mümkün olan tek değer x=1. Ortaya çıkıyor: 1 kırmızı top, 11 beyaz top ve 11 siyah toplar.

İki vektör arasındaki açı:

İki vektör arasındaki açı dar ise, bunların skaler çarpımı pozitiftir; vektörler arasındaki açı genişse, bu vektörlerin skaler çarpımı negatiftir. Sıfırdan farklı iki vektörün skaler çarpımı, ancak ve ancak bu vektörlerin dik olması durumunda sıfıra eşittir.

Egzersiz yapmak. Vektörler arasındaki açıyı bulun ve

Çözüm.İstenilen açının kosinüsü

16. Düz çizgiler, düz çizgi ve düzlem arasındaki açının hesaplanması

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı Bu çizgiyle kesişen ve ona dik olmayan açı, çizgi ile onun bu düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır.

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının belirlenmesi, bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının kesişen iki çizgi arasındaki açı olduğu sonucuna varmamızı sağlar: düz çizginin kendisi ve onun düzlem üzerindeki izdüşümü. Bu nedenle düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı dar açıdır.

Dik bir düz çizgi ile bir düzlem arasındaki açının eşit olduğu kabul edilir ve paralel bir düz çizgi ile bir düzlem arasındaki açı ya hiç belirlenmez ya da eşit kabul edilir.

§ 69. Düz çizgiler arasındaki açının hesaplanması.

Uzayda iki düz çizgi arasındaki açının hesaplanması sorunu, düzlemde olduğu gibi çözülür (§ 32). Çizgiler arasındaki açının büyüklüğünü φ ile gösterelim. ben 1 ve ben 2 ve ψ'ya kadar - yön vektörleri arasındaki açının büyüklüğü A Ve B bu düz çizgiler.

O zaman eğer

ψ 90° (Şekil 206.6), o zaman φ = 180° - ψ. Açıkçası, her iki durumda da cos φ = |cos ψ| eşitliği doğrudur. Formül (1) § 20'ye göre elimizde

buradan,

Doğrular kanonik denklemleriyle verilsin

Daha sonra çizgiler arasındaki φ açısı formül kullanılarak belirlenir.

Çizgilerden biri (veya her ikisi) kanonik olmayan denklemlerle verilmişse, açıyı hesaplamak için bu çizgilerin yön vektörlerinin koordinatlarını bulmanız ve ardından formül (1)'i kullanmanız gerekir.

17. Paralel Doğrular, Paralel Doğrular Üzerine Teoremler

Tanım. Düzlemdeki iki doğruya denir paralel ortak noktaları yoksa.

Üç boyutlu uzayda iki doğruya ne denir paralel, eğer aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve ortak noktaları yoksa.

İki vektör arasındaki açı.

Nokta çarpımın tanımından:

.

İki vektörün diklik koşulu:

İki vektörün eşdoğrusallık koşulu:

.

Tanım 5 -'den gelir. Gerçekten de, bir vektör ile bir sayının çarpımının tanımından şu sonuç çıkar. Bu nedenle, vektörlerin eşitliği kuralına dayanarak, , , yazıyoruz; bu şu anlama gelir: . Ancak vektörün sayıyla çarpılmasından elde edilen vektör, vektörle eşdoğrusaldır.

Vektörün vektör üzerine izdüşümü:

.

Örnek 4. Verilen noktalar , , , .

Nokta çarpımını bulun.

Çözüm. koordinatlarına göre belirtilen vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanarak buluruz. Çünkü

, ,

Örnek 5. Verilen noktalar , , , .

Projeksiyonu bulun.

Çözüm. Çünkü

, ,

Projeksiyon formülüne dayanarak,

.

Örnek 6. Verilen noktalar , , , .

Ve vektörleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Vektörlerin

, ,

Koordinatları orantılı olmadığından eşdoğrusal değildir:

.

Bu vektörler de skaler çarpımları olduğundan dik değildir.

Bulalım

Köşe formülden buluyoruz:

.

Örnek 7. Hangi vektörlerde olduğunu belirleyin ve doğrusal.

Çözüm. Doğrusallık durumunda, vektörlerin karşılık gelen koordinatları ve orantılı olmalıdır, yani:

.

Dolayısıyla ve.

Örnek 8. Vektörün hangi değerinde olduğunu belirleyin Ve dik.

Çözüm. Vektör ve eğer skaler çarpımları sıfır ise diktirler. Bu koşuldan şunu elde ederiz: . Yani, .

Örnek 9. Bulmak , Eğer , , .

Çözüm. Skaler çarpımın özelliklerinden dolayı elimizde:

Örnek 10. Ve vektörleri arasındaki açıyı bulun, nerede ve - birim vektörler ve vektörler arasındaki açı 120°'ye eşittir.

Çözüm. Sahibiz: , ,

Sonunda elimizde: .

5 B. vektör çizimleri.

Tanım 21.vektör çizimleri vektöre göre vektöre bir vektör denir veya aşağıdaki üç koşulla tanımlanır:

1) Vektörün modülü eşittir, burada vektörler arasındaki açıdır, yani. .

Bundan, vektör çarpımının modülünün, vektörler ve her iki taraf üzerinde oluşturulan bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşit olduğu sonucu çıkar.

2) Vektör, vektörlerin her birine diktir ve ( ; ), yani. ve vektörleri üzerine inşa edilen bir paralelkenarın düzlemine dik.

3) Vektör, ucundan bakıldığında, vektörden vektöre en kısa dönüş saat yönünün tersine olacak şekilde yönlendirilmiştir (vektörler, sağ üçlü oluşturur).

Vektörler arasındaki açılar nasıl hesaplanır?

Geometri çalışırken vektörler konusunda birçok soru ortaya çıkar. Öğrenci, vektörler arasındaki açıları bulmak gerektiğinde özellikle zorluklarla karşılaşır.

Temel kurallar

Vektörler arasındaki açılara bakmadan önce, bir vektörün tanımına ve vektörler arasındaki açı kavramına aşina olmak gerekir.

Bir vektör, bir yönü olan, yani başlangıcı ve bitişi tanımlanmış bir parçadır.

Ortak bir orijine sahip bir düzlem üzerindeki iki vektör arasındaki açı, açılardan, vektörlerden birinin, yönleri çakışana kadar ortak nokta etrafında hareket ettirilmesi gereken miktar kadar küçüktür.

Çözüm formülü

Bir vektörün ne olduğunu ve açısının nasıl belirlendiğini anladıktan sonra vektörler arasındaki açıyı hesaplayabilirsiniz. Bunun çözüm formülü oldukça basittir ve uygulamasının sonucu açının kosinüsünün değeri olacaktır. Tanıma göre, vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına oranına eşittir.

Vektörlerin skaler çarpımı, faktör vektörlerinin karşılık gelen koordinatlarının toplamının birbiriyle çarpılmasıyla hesaplanır. Bir vektörün uzunluğu veya modülü, koordinatlarının karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanır.

Açının kosinüsünün değerini aldıktan sonra, açının değerini bir hesap makinesi veya trigonometrik bir tablo kullanarak hesaplayabilirsiniz.

Örnek

Vektörler arasındaki açının nasıl hesaplanacağını öğrendikten sonra ilgili problemin çözümü basit ve net hale gelecektir. Örnek olarak, bir açının değerini bulma gibi basit bir problemi ele almaya değer.

Öncelikle vektör uzunluklarının değerlerini ve bunların çözüm için gerekli skaler çarpımını hesaplamak daha uygun olacaktır. Yukarıda sunulan açıklamayı kullanarak şunları elde ederiz:

Elde edilen değerleri formülde değiştirerek istenen açının kosinüsünün değerini hesaplıyoruz:

Bu sayı beş ortak kosinüs değerinden biri değildir, dolayısıyla açıyı elde etmek için bir hesap makinesi veya Bradis trigonometrik tablosunu kullanmanız gerekecektir. Ancak vektörler arasındaki açıyı bulmadan önce formül, fazladan negatif işaretten kurtulmak için basitleştirilebilir:

Doğruluğu korumak için son cevap olduğu gibi bırakılabilir veya açının değerini derece cinsinden hesaplayabilirsiniz. Bradis tablosuna göre değeri yaklaşık 116 derece 70 dakika olacak ve hesap makinesi 116,57 derece değerini gösterecektir.

N boyutlu uzayda bir açının hesaplanması

Üç boyutlu uzayda iki vektör ele alındığında aynı düzlemde yer almıyorlarsa hangi açıdan bahsettiğimizi anlamak çok daha zordur. Algıyı basitleştirmek için aralarında en küçük açıyı oluşturan iki kesişen parça çizebilirsiniz; bu istenen olacaktır. Vektörde üçüncü bir koordinat bulunsa bile vektörler arasındaki açıların hesaplanma süreci değişmeyecektir. Vektörlerin skaler çarpımını ve modüllerini hesaplayın; bölümlerinin ark kosinüsü bu sorunun cevabını verecektir.

Geometride genellikle üçten fazla boyuta sahip uzaylarla ilgili problemler vardır. Ancak onlar için cevabı bulma algoritması benzer görünüyor.

0 ile 180 derece arasındaki fark

Vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için tasarlanan bir problemin cevabını yazarken yapılan yaygın hatalardan biri, vektörlerin paralel olduğunu yani istenen açının 0 veya 180 dereceye eşit olduğunu yazmaya karar vermektir. Bu cevap yanlış.

Çözüm sonucunda açı değeri 0 derece alındığında doğru cevap, vektörleri eş yönlü olarak belirlemek yani vektörler aynı yöne sahip olacaktır. 180 derece elde edilirse vektörler zıt yönlü olacaktır.

Belirli vektörler

Vektörler arasındaki açıları bulduktan sonra yukarıda açıklanan eş yönlü ve zıt yönlü olanlara ek olarak özel türlerden birini bulabilirsiniz.

• Bir düzleme paralel birkaç vektöre eş düzlemli denir.
• Uzunluğu ve yönü aynı olan vektörlere eşit denir.
• Yönü ne olursa olsun aynı düz çizgi üzerinde yer alan vektörlere eşdoğrusal denir.
• Bir vektörün uzunluğu sıfırsa, yani başlangıcı ve sonu çakışıyorsa buna sıfır, bir ise birim denir.

Vektörler arasındaki açı nasıl bulunur?

bana yardım et lütfen! Formülü biliyorum ama hesaplayamıyorum ((
vektör a (8; 10; 4) vektör b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Koordinatlarıyla belirlenen vektörler arasındaki açı, standart bir algoritma kullanılarak bulunur. Öncelikle a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulmanız gerekir: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Bu vektörlerin koordinatlarını burada yerine koyarız ve hesaplarız:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Daha sonra her vektörün uzunluğunu belirliyoruz. Bir vektörün uzunluğu veya modülü, koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküdür:
|bir| = (x1^2 + y1^2 + z1^2)'nin kökü = (8^2 + 10^2 + 4^2)'nin kökü = (64 + 100 + 16)'nın kökü = 180'in kökü = 6'nın kökü 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2)'nin kökü = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2)'nin kökü = (25 + 400 + 100)'ün kökü = kök 525 üzerinden = 21 üzerinden 5 kök.
Bu uzunlukları çarpıyoruz. 105 kökten 30 kök alıyoruz.
Ve son olarak vektörlerin skaler çarpımını bu vektörlerin uzunluklarının çarpımına bölüyoruz. -200/(105'in 30 kökü) veya
- (105'in 4 kökü) / 63. Bu, vektörler arasındaki açının kosinüsüdür. Ve açının kendisi de bu sayının ark kosinüsüne eşittir
f = arccos(105'in -4 kökü) / 63.
Her şeyi doğru saymışsam.

Vektörlerin koordinatlarını kullanarak vektörler arasındaki açının sinüsünü hesaplama

Mihail Tkaçev

Bu vektörleri çarpalım. Bunların skaler çarpımı, bu vektörlerin uzunluklarının çarpımına ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.
Açı bizim için bilinmiyor, ancak koordinatlar biliniyor.
Bunu matematiksel olarak şu şekilde yazalım.
a(x1;y1) ve b(x2;y2) vektörleri verilsin
Daha sonra

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hadi Konuşalım.
Vektörlerin a*b-skaler çarpımı, bu vektörlerin koordinatlarının karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir, yani x1*x2+y1*y2'ye eşittir

|a|*|b|-vektör uzunluklarının çarpımı √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)'ye eşittir.

Bu, vektörler arasındaki açının kosinüsünün şuna eşit olduğu anlamına gelir:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Bir açının kosinüsünü bildiğimizde sinüsünü hesaplayabiliriz. Bunu nasıl yapacağımızı tartışalım:

Bir açının kosinüsü pozitifse, bu açı 1 veya 4 çeyrekte yer alır, bu da sinüsünün pozitif veya negatif olduğu anlamına gelir. Ancak vektörler arasındaki açı 180 dereceden küçük veya ona eşit olduğundan sinüsü pozitiftir. Kosinüsün negatif olması durumunda da benzer şekilde mantık yürütürüz.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

İşte bu)))) bunu çözmede iyi şanslar)))

Dmitri Levişçev

Doğrudan sinüsün imkansız olduğu gerçeği doğru değil.
Formüle ek olarak:
(a,b)=|a|*|b|*çünkü A
Bir de bu var:
||=|a|*|b|*sin A
Yani skaler çarpım yerine vektör çarpımının modülünü alabilirsiniz.

Vektörlerin nokta çarpımı

Vektörlerle uğraşmaya devam ediyoruz. İlk derste Aptallar için vektörler Vektör kavramına, vektörlerle yapılan işlemlere, vektör koordinatlarına ve vektörlerle ilgili en basit problemlere baktık. Bu sayfaya ilk kez bir arama motorundan geldiyseniz, yukarıdaki giriş makalesini okumanızı şiddetle tavsiye ederim, çünkü materyale hakim olmak için kullandığım terim ve gösterimlere aşina olmanız, vektörler ve vektörler hakkında temel bilgiye sahip olmanız gerekir. temel problemleri çözebilir. Bu ders konunun mantıksal bir devamıdır ve vektörlerin skaler çarpımını kullanan tipik görevleri ayrıntılı olarak analiz edeceğim. Bu ÇOK ÖNEMLİ bir faaliyettir.. Örnekleri atlamamaya çalışın; faydalı bir bonusla birlikte gelirler; pratik yapmak, kapsadığınız konuyu pekiştirmenize ve analitik geometride sık karşılaşılan problemleri çözmede daha iyi olmanıza yardımcı olacaktır.

Vektörlerin toplanması, bir vektörün bir sayıyla çarpılması... Matematikçilerin başka bir şey bulmadıklarını düşünmek saflık olur. Halihazırda tartışılan eylemlere ek olarak, vektörlerle yapılan bir dizi başka işlem de vardır: vektörlerin nokta çarpımı, vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı. Vektörlerin skaler çarpımı bize okuldan tanıdıktır; diğer iki çarpım geleneksel olarak yüksek matematik dersine aittir. Konular basit, birçok problemin çözümüne yönelik algoritma basit ve anlaşılır. Sadece bir şey. Yeterli miktarda bilgi var, bu nedenle HER ŞEYE BİR ANDA hakim olmaya ve çözmeye çalışmak istenmez. Bu özellikle aptallar için geçerli; inanın bana, yazar kesinlikle matematikten gelen Chikatilo gibi hissetmek istemiyor. Tabii matematikten de değil =) Daha hazırlıklı öğrenciler materyalleri seçici olarak kullanabilir, bir anlamda eksik bilgiyi “alabilir”; sizin için ben zararsız bir Kont Drakula olacağım =)

Sonunda kapıyı açalım ve iki vektör karşılaştığında neler olacağını heyecanla izleyelim….

Vektörlerin skaler çarpımının tanımı.
Skaler çarpımın özellikleri. Tipik görevler

Nokta çarpım kavramı

Hakkında ilk vektörler arasındaki açı. Sanırım herkes sezgisel olarak vektörler arasındaki açının ne olduğunu anlıyor, ancak her ihtimale karşı biraz daha ayrıntı. Sıfırdan farklı serbest vektörleri ele alalım ve . Bu vektörleri rastgele bir noktadan çizerseniz, birçok kişinin zaten zihinsel olarak hayal ettiği bir resim elde edersiniz:

İtiraf ediyorum, burada durumu sadece anlayış düzeyinde anlattım. Vektörler arasındaki açının kesin bir tanımına ihtiyacınız varsa, pratik problemler için lütfen ders kitabına bakın, prensip olarak bunun bizim için hiçbir faydası yoktur. Ayrıca BURADA VE BURADA, pratik önemlerinin düşük olması nedeniyle yerlerdeki sıfır vektörleri göz ardı edeceğim. Daha sonraki bazı açıklamaların teorik eksikliği nedeniyle beni suçlayabilecek ileri düzey site ziyaretçileri için özel olarak rezervasyon yaptırdım.

0'dan 180 dereceye kadar (0'dan radyana kadar) değerler alabilir. Analitik olarak bu gerçek ikili eşitsizlik şeklinde yazılır: veya (radyan cinsinden).

Literatürde açı sembolü sıklıkla atlanır ve basitçe yazılır.

Tanım:İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit bir SAYIdır:

Şimdi bu oldukça katı bir tanım.

Temel bilgilere odaklanıyoruz:

Tanım: skaler çarpım veya basitçe gösterilir.

İşlemin sonucu bir NUMBER: Vektör, vektörle çarpılır ve sonuç bir sayıdır. Aslında, eğer vektörlerin uzunlukları sayı ise, bir açının kosinüsü bir sayıdır, o zaman bunların çarpımı aynı zamanda bir sayı olacaktır.

Sadece birkaç ısınma örneği:

örnek 1

Çözüm: Formülü kullanıyoruz . İÇİNDE bu durumda:

Cevap:

Kosinüs değerleri şurada bulunabilir: trigonometrik tablo. Yazdırmanızı öneririm - kulenin hemen hemen tüm bölümlerinde buna ihtiyaç duyulacak ve birçok kez ihtiyaç duyulacaktır.

Tamamen matematiksel açıdan bakıldığında, skaler çarpım boyutsuzdur, yani bu durumda sonuç sadece bir sayıdır ve hepsi bu. Fizik problemleri açısından bakıldığında, skaler bir çarpımın her zaman belirli bir fiziksel anlamı vardır, yani sonuçtan sonra bir veya başka bir fiziksel birimin belirtilmesi gerekir. Bir kuvvetin işini hesaplamanın kanonik bir örneğini herhangi bir ders kitabında bulabilirsiniz (formül tam olarak skaler bir üründür). Bir kuvvetin işi Joule cinsinden ölçülür, bu nedenle cevap oldukça spesifik olarak yazılacaktır, örneğin, .

Örnek 2

Eğer varsa bul ve vektörler arasındaki açı eşittir.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.

Vektörler ile nokta çarpım değeri arasındaki açı

Örnek 1'de skaler çarpım pozitif çıktı ve Örnek 2'de negatif çıktı. Skaler çarpımın işaretinin neye bağlı olduğunu bulalım. Formülümüze bakalım: . Sıfır olmayan vektörlerin uzunlukları her zaman pozitiftir: yani işaret yalnızca kosinüs değerine bağlı olabilir.

Not: Aşağıdaki bilgileri daha iyi anlamak için kılavuzdaki kosinüs grafiğini incelemek daha iyidir. Fonksiyon grafikleri ve özellikleri. Kosinüsün segmentte nasıl davrandığını görün.

Daha önce belirtildiği gibi, vektörler arasındaki açı, ve aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğer köşe vektörler arasında baharatlı: (0'dan 90 dereceye kadar), ardından , Ve nokta çarpımı pozitif olacak ortak yönetmen, o zaman aralarındaki açı sıfır olarak kabul edilir ve skaler çarpım da pozitif olacaktır. 'den bu yana formül basitleştirir: .

2) Eğer köşe vektörler arasında köreltmek: (90'dan 180 dereceye kadar), ardından ve buna bağlı olarak, nokta çarpımı negatif: . Özel durum: eğer vektörler zıt yönler, daha sonra aralarındaki açı dikkate alınır genişletilmiş: (180 derece). Skaler çarpım da negatiftir, çünkü

Bunun tersi ifadeler de doğrudur:

1) Eğer ise bu vektörler arasındaki açı dardır. Alternatif olarak vektörler eş yönlüdür.

2) Eğer ise bu vektörler arasındaki açı geniştir. Alternatif olarak vektörler zıt yönlerdedir.

Ancak üçüncü durum özellikle ilgi çekicidir:

3) Eğer köşe vektörler arasında dümdüz: (90 derece), ardından skaler çarpım sıfırdır: . Bunun tersi de doğrudur: if ,then . Bu ifade kısaca şu şekilde formüle edilebilir: İki vektörün skaler çarpımı ancak ve ancak vektörler dikse sıfırdır. Kısa matematik gösterimi:

! Not : Tekrar edelim matematiksel mantığın temelleri: Çift taraflı bir mantıksal sonuç simgesi genellikle "eğer ve ancak eğer", "eğer ve ancak eğer" olarak okunur. Gördüğünüz gibi, oklar her iki yöne de yönlendiriliyor - "bundan bunu takip eder ve tam tersi - bundan bunu takip eder." Bu arada tek yönlü takip ikonundan farkı nedir? Simge durumları Sadece bu, "bundan şu çıkar" ve bunun tersinin doğru olduğu bir gerçek değil. Örneğin: , ancak her hayvan panter değildir, dolayısıyla bu durumda simgeyi kullanamazsınız. Aynı zamanda simge yerine Olabilmek tek taraflı simgeyi kullanın. Örneğin problemi çözerken vektörlerin dik olduğu sonucuna vardık: - böyle bir giriş doğru ve hatta daha uygun olacaktır. .

Üçüncü durumun büyük pratik önemi varçünkü vektörlerin dik olup olmadığını kontrol etmenizi sağlar. Bu problemi dersin ikinci bölümünde çözeceğiz.

Nokta çarpımın özellikleri

İki vektörün olduğu duruma dönelim ortak yönetmen. Bu durumda aralarındaki açı sıfırdır ve skaler çarpım formülü şu şekli alır: .

Bir vektör kendisiyle çarpılırsa ne olur? Vektörün kendisiyle hizalı olduğu açıktır, bu nedenle yukarıdaki basitleştirilmiş formülü kullanırız:

Numara aranır skaler kare vektördür ve ile gösterilir.

Böylece, bir vektörün skaler karesi, verilen vektörün uzunluğunun karesine eşittir:

Bu eşitlikten vektörün uzunluğunu hesaplamak için bir formül elde edebiliriz:

Şu ana kadar belirsiz görünüyor, ancak dersin hedefleri her şeyi yerli yerine koyacaktır. İhtiyacımız olan sorunları çözmek için de nokta çarpımın özellikleri.

Rasgele vektörler ve herhangi bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) – değişmeli veya değişmeli Skaler çarpım kanunu.

2) – dağıtım veya dağıtıcı Skaler çarpım kanunu. Basitçe parantezleri açabilirsiniz.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal Skaler çarpım kanunu. Sabit, skaler çarpımdan türetilebilir.

Çoğu zaman, her türlü özellik (ki bunların da kanıtlanması gerekir!) Öğrenciler tarafından gereksiz çöpler olarak algılanır ve bunların yalnızca sınavdan hemen sonra ezberlenmesi ve güvenli bir şekilde unutulması gerekir. Görünüşe göre burada önemli olan, faktörlerin yeniden düzenlenmesinin sonucu değiştirmediğini birinci sınıftan itibaren herkes biliyor: . Yüksek matematikte böyle bir yaklaşımla işleri karıştırmanın kolay olduğu konusunda sizi uyarmalıyım. Yani örneğin değişme özelliği şu durumlarda geçerli değildir: cebirsel matrisler. için de doğru değil vektörlerin vektör çarpımı. Bu nedenle, en azından, ne yapabileceğinizi ve ne yapamayacağınızı anlamak için yüksek matematik dersinde karşılaştığınız herhangi bir özelliği araştırmak daha iyidir.

Örnek 3

.

Çözüm:Öncelikle vektör ile durumu netleştirelim. Bu da ne? Vektörlerin toplamı iyi tanımlanmış bir vektördür ve ile gösterilir. Makalede vektörlerle eylemlerin geometrik bir yorumu bulunabilir. Aptallar için vektörler. Bir vektör ile aynı maydanoz, ve vektörlerinin toplamıdır.

Yani koşula göre skaler çarpımın bulunması gerekmektedir. Teorik olarak çalışma formülünü uygulamanız gerekir ama sorun şu ki vektörlerin uzunluklarını ve aralarındaki açıyı bilmiyoruz. Ancak koşul vektörler için benzer parametreler verdiğinden farklı bir yol izleyeceğiz:

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Polinomları çarpma kuralına göre parantezleri açıyoruz; makalede kaba bir tekerleme bulunabilir; Karışık sayılar veya Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu. Kendimi tekrarlamayacağım =) Bu arada skaler çarpımın dağılma özelliği parantezleri açmamıza olanak sağlıyor. Hakkımız var.

(3) İlk ve son terimlerde vektörlerin skaler karelerini kompakt bir şekilde yazıyoruz: . İkinci terimde skaler çarpımın değiştirilebilirliğini kullanıyoruz: .

(4) Benzer terimleri sunuyoruz: .

(5) Birinci dönemde, çok uzun zaman önce sözü edilmeyen skaler kare formülünü kullanıyoruz. Buna göre son dönemde de aynı şey işe yarıyor: . İkinci terimi standart formüle göre genişletiyoruz .

(6) Bu koşulları değiştirin ve son hesaplamaları DİKKATLİCE gerçekleştirin.

Cevap:

Skaler çarpımın negatif değeri, vektörler arasındaki açının geniş olduğunu belirtir.

Sorun tipiktir, işte bunu kendiniz çözmek için bir örnek:

Örnek 4

Vektörlerin skaler çarpımını bulun ve biliniyorsa .

Şimdi bir vektörün uzunluğunun yeni formülü için başka bir ortak görev. Buradaki notasyon biraz örtüşecek, bu yüzden netlik sağlamak için onu farklı bir harfle yeniden yazacağım:

Örnek 5

Eğer vektörün uzunluğunu bulun .

Çözüm aşağıdaki gibi olacaktır:

(1) Vektörün ifadesini sağlıyoruz.

(2) Uzunluk formülünü kullanırız: ve ifadesinin tamamı “ve” vektörü gibi davranır.

(3) Toplamın karesi için okul formülünü kullanırız. Burada bunun nasıl ilginç bir şekilde çalıştığına dikkat edin: – bu aslında farkın karesidir ve aslında bu böyledir. Dileyenler vektörleri yeniden düzenleyebilirler: - Terimlerin yeniden düzenlenmesine kadar aynı şey olur.

(4) Aşağıdakiler önceki iki sorundan zaten tanıdıktır.

Cevap:

Uzunluktan bahsettiğimiz için boyutu - “birimleri” belirtmeyi unutmayın.

Örnek 6

Eğer vektörün uzunluğunu bulun .

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Nokta çarpımdan faydalı şeyleri sıkıştırmaya devam ediyoruz. Formülümüze tekrar bakalım . Orantı kuralını kullanarak vektörlerin uzunluklarını sol taraftaki paydaya sıfırlarız:

Parçaları değiştirelim:

Bu formülün anlamı nedir? İki vektörün uzunlukları ve bunların skaler çarpımı biliniyorsa, bu vektörler arasındaki açının kosinüsünü ve dolayısıyla açının kendisini hesaplayabiliriz.

Nokta çarpımı bir sayı mıdır? Sayı. Vektör uzunlukları sayı mıdır? Sayılar. Bu, kesrin aynı zamanda bir sayı olduğu anlamına gelir. Ve eğer açının kosinüsü biliniyorsa: , o zaman ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır: .

Örnek 7

Vektörler arasındaki açıyı bulun ve biliniyorsa.

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

Hesaplamaların son aşamasında paydadaki irrasyonelliği ortadan kaldıran teknik bir teknik kullanıldı. İrrasyonelliği ortadan kaldırmak için pay ve paydayı ile çarptım.

Yani eğer , O:

Ters trigonometrik fonksiyonların değerleri şu şekilde bulunabilir: trigonometrik tablo. Bu nadiren olmasına rağmen. Analitik geometri problemlerinde, çok daha sık olarak bazı beceriksizler gibi davranırlar ve açının değerinin bir hesap makinesi kullanılarak yaklaşık olarak bulunması gerekir. Aslında böyle bir resmi birden çok kez göreceğiz.

Cevap:

Yine boyutları - radyan ve derece - belirtmeyi unutmayın. Kişisel olarak, açıkça "tüm soruları çözmek" için her ikisini de belirtmeyi tercih ediyorum (tabii ki koşul, cevabın yalnızca radyan veya yalnızca derece cinsinden sunulmasını gerektirmediği sürece).

Artık daha karmaşık bir görevle bağımsız olarak başa çıkabilirsiniz:

Örnek 7*

Vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açı verilmiştir. Vektörler arasındaki açıyı bulun.

Görev çok adımlı olduğu için o kadar da zor değil.
Çözüm algoritmasına bakalım:

1) Koşula göre vektörler arasındaki açıyı bulmanız ve formülü kullanmanız gerekir. .

2) Skaler çarpımı bulun (bkz. Örnekler No. 3, 4).

3) Vektörün uzunluğunu ve vektörün uzunluğunu bulun (bkz. Örnekler No. 5, 6).

4) Çözümün sonu Örnek 7 ile örtüşmektedir - sayıyı biliyoruz, bu da açının kendisini bulmanın kolay olduğu anlamına gelir:

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Dersin ikinci bölümü aynı skaler çarpıma ayrılmıştır. Koordinatlar. İlk bölüme göre daha da kolay olacak.

Vektörlerin nokta çarpımı,
ortonormal bazda koordinatlarla verilir

Cevap:

Koordinatlarla uğraşmanın çok daha keyifli olduğunu söylemeye gerek yok.

Örnek 14

Vektörlerin skaler çarpımını bulun ve eğer

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Burada işlemin ilişkilendirilebilirliğini kullanabilirsiniz, yani saymayın, ancak hemen skaler çarpımın dışındaki üçlüyü alıp sonuncuyla çarpabilirsiniz. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Paragrafın sonunda bir vektörün uzunluğunun hesaplanmasına ilişkin kışkırtıcı bir örnek:

Örnek 15

Vektörlerin uzunluklarını bulun , Eğer

Çözüm:Önceki bölümün yöntemi yine kendini gösteriyor: ancak başka bir yol daha var:

Vektörü bulalım:

Ve önemsiz formüle göre uzunluğu:

Skaler çarpım burada hiç alakalı değil!

Bir vektörün uzunluğunu hesaplarken de kullanışlı değildir:
Durmak. Vektör uzunluğunun bariz özelliğinden faydalanmamız gerekmez mi? Vektörün uzunluğu hakkında ne söyleyebilirsiniz? Bu vektör vektörden 5 kat daha uzundur. Yön ters ama bunun bir önemi yok çünkü uzunluktan bahsediyoruz. Açıkçası, vektörün uzunluğu ürüne eşittir modül vektör uzunluğu başına sayılar:
– modül işareti sayının olası eksisini “yiyor”.

Böylece:

Cevap:

Koordinatlarla belirtilen vektörler arasındaki açının kosinüsü formülü

Artık vektörler arasındaki açının kosinüsü için önceden türetilmiş formülü kullanmak için gerekli tüm bilgilere sahibiz vektör koordinatları aracılığıyla ifade edin:

Düzlem vektörler arasındaki açının kosinüsü ve ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:
.

Uzay vektörleri arasındaki açının kosinüsü ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:

Örnek 16

Bir üçgenin üç köşesi verilmiştir. Bul (köşe açısı).

Çözüm: Koşullara göre çizim gerekli değildir, ancak yine de:

Gerekli açı yeşil bir yay ile işaretlenmiştir. Bir açının okuldaki tanımını hemen hatırlayalım: – açıya özel dikkat ortalama mektup - bu ihtiyacımız olan açının tepe noktasıdır. Kısa olması açısından basitçe de yazabilirsiniz.

Çizimden üçgenin açısının vektörler arasındaki açıyla örtüştüğü oldukça açıktır ve başka bir deyişle: .

Analizin zihinsel olarak nasıl gerçekleştirileceğini öğrenmeniz tavsiye edilir.

Vektörleri bulalım:

Skaler çarpımı hesaplayalım:

Ve vektörlerin uzunlukları:

Açının kosinüsü:

Bu tam olarak aptallar için önerdiğim görevi tamamlama sırasıdır. Daha ileri düzey okuyucular hesaplamaları "tek satırda" yazabilirler:

İşte "kötü" kosinüs değerinin bir örneği. Ortaya çıkan değer nihai değildir, dolayısıyla paydadaki irrasyonellikten kurtulmanın pek bir anlamı yoktur.

Açının kendisini bulalım:

Çizime bakarsanız sonuç oldukça makul. Kontrol etmek için açı bir iletki ile de ölçülebilir. Monitör kapağına zarar vermeyin =)

Cevap:

Cevapta şunu unutmuyoruz üçgenin açısını sordu(ve vektörler arasındaki açı hakkında değil), kesin cevabı ve açının yaklaşık değerini belirtmeyi unutmayın: , hesap makinesi kullanılarak bulundu.

Süreci beğenenler açıları hesaplayabilir ve kanonik eşitliğin geçerliliğini doğrulayabilirler.

Örnek 17

Bir üçgen uzayda köşelerinin koordinatlarıyla tanımlanır. Kenarlar arasındaki açıyı bulun ve

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap

Kısa bir son bölüm, aynı zamanda bir skaler çarpımı da içeren projeksiyonlara ayrılacaktır:

Bir vektörün bir vektör üzerine izdüşümü. Bir vektörün koordinat eksenlerine izdüşümü.
Bir vektörün yön kosinüsleri

Vektörleri göz önünde bulundurun ve:

Bunu yapmak için vektörün başından ve sonundan itibaren vektörü vektörün üzerine izdüşümleyelim; dikler vektöre (yeşil noktalı çizgiler). Işık ışınlarının vektöre dik olarak düştüğünü hayal edin. Daha sonra segment (kırmızı çizgi) vektörün “gölgesi” olacaktır. Bu durumda vektörün vektör üzerine izdüşümü parçanın UZUNLUĞU kadardır. Yani PROJEKSİYON BİR SAYIDIR.

Bu SAYI şu şekilde gösterilir: “büyük vektör” vektörü belirtir HANGİ proje, “küçük alt simge vektörü” vektörü belirtir AÇIK ki bu öngörülüyor.

Girişin kendisi şu şekilde okunur: "a" vektörünün "be" vektörüne izdüşümü."

"Be" vektörü "çok kısa" ise ne olur? “Be” vektörünü içeren düz bir çizgi çiziyoruz. Ve “a” vektörü zaten yansıtılacak "olmak" vektörünün yönüne, basitçe - “be” vektörünü içeren düz çizgiye. Aynı şey, "a" vektörü otuzuncu krallıkta ertelenirse de olacaktır - yine de "be" vektörünü içeren düz çizgiye kolayca yansıtılacaktır.

Eğer açı vektörler arasında baharatlı(resimde olduğu gibi), ardından

Eğer vektörler dikey, o zaman (izdüşüm, boyutları sıfır olarak kabul edilen bir noktadır).

Eğer açı vektörler arasında köreltmek(şekilde, vektör okunu zihinsel olarak yeniden düzenleyin), sonra (aynı uzunlukta, ancak eksi işaretiyle alınmıştır).

Bu vektörleri bir noktadan çizelim:

Açıkçası, bir vektör hareket ettiğinde izdüşümü değişmez

Geometri çalışırken vektörler konusunda birçok soru ortaya çıkar. Öğrenci, vektörler arasındaki açıları bulmak gerektiğinde özellikle zorluklarla karşılaşır.

Temel kurallar

Vektörler arasındaki açılara bakmadan önce, bir vektörün tanımına ve vektörler arasındaki açı kavramına aşina olmak gerekir.

Bir vektör, bir yönü olan, yani başlangıcı ve bitişi tanımlanmış bir parçadır.

Ortak bir orijine sahip bir düzlem üzerindeki iki vektör arasındaki açı, açılardan, vektörlerden birinin, yönleri çakışana kadar ortak nokta etrafında hareket ettirilmesi gereken miktar kadar küçüktür.

Çözüm formülü

Bir vektörün ne olduğunu ve açısının nasıl belirlendiğini anladıktan sonra vektörler arasındaki açıyı hesaplayabilirsiniz. Bunun çözüm formülü oldukça basittir ve uygulamasının sonucu açının kosinüsünün değeri olacaktır. Tanıma göre, vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına oranına eşittir.

Vektörlerin skaler çarpımı, faktör vektörlerinin karşılık gelen koordinatlarının toplamının birbiriyle çarpılmasıyla hesaplanır. Bir vektörün uzunluğu veya modülü, koordinatlarının karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanır.

Açının kosinüsünün değerini aldıktan sonra, açının değerini bir hesap makinesi veya trigonometrik bir tablo kullanarak hesaplayabilirsiniz.

Örnek

Vektörler arasındaki açının nasıl hesaplanacağını öğrendikten sonra ilgili problemin çözümü basit ve net hale gelecektir. Örnek olarak, bir açının değerini bulma gibi basit bir problemi ele almaya değer.

Öncelikle vektör uzunluklarının değerlerini ve bunların çözüm için gerekli skaler çarpımını hesaplamak daha uygun olacaktır. Yukarıda sunulan açıklamayı kullanarak şunları elde ederiz:

Elde edilen değerleri formülde değiştirerek istenen açının kosinüsünün değerini hesaplıyoruz:

Bu sayı beş ortak kosinüs değerinden biri değildir, dolayısıyla açıyı elde etmek için bir hesap makinesi veya Bradis trigonometrik tablosunu kullanmanız gerekecektir. Ancak vektörler arasındaki açıyı bulmadan önce formül, fazladan negatif işaretten kurtulmak için basitleştirilebilir:

Doğruluğu korumak için son cevap olduğu gibi bırakılabilir veya açının değerini derece cinsinden hesaplayabilirsiniz. Bradis tablosuna göre değeri yaklaşık 116 derece 70 dakika olacak ve hesap makinesi 116,57 derece değerini gösterecektir.

N boyutlu uzayda bir açının hesaplanması

Üç boyutlu uzayda iki vektör ele alındığında aynı düzlemde yer almıyorlarsa hangi açıdan bahsettiğimizi anlamak çok daha zordur. Algıyı basitleştirmek için aralarında en küçük açıyı oluşturan iki kesişen parça çizebilirsiniz; bu istenen olacaktır. Vektörde üçüncü bir koordinat bulunsa bile vektörler arasındaki açıların hesaplanma süreci değişmeyecektir. Vektörlerin skaler çarpımını ve modüllerini hesaplayın; bölümlerinin ark kosinüsü bu sorunun cevabını verecektir.

Geometride genellikle üçten fazla boyuta sahip uzaylarla ilgili problemler vardır. Ancak onlar için cevabı bulma algoritması benzer görünüyor.

0 ile 180 derece arasındaki fark

Vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için tasarlanan bir problemin cevabını yazarken yapılan yaygın hatalardan biri, vektörlerin paralel olduğunu yani istenen açının 0 veya 180 dereceye eşit olduğunu yazmaya karar vermektir. Bu cevap yanlış.

Çözüm sonucunda açı değeri 0 derece alındığında doğru cevap, vektörleri eş yönlü olarak belirlemek yani vektörler aynı yöne sahip olacaktır. 180 derece elde edilirse vektörler zıt yönlü olacaktır.

Belirli vektörler

Vektörler arasındaki açıları bulduktan sonra yukarıda açıklanan eş yönlü ve zıt yönlü olanlara ek olarak özel türlerden birini bulabilirsiniz.

• Bir düzleme paralel birkaç vektöre eş düzlemli denir.
• Uzunluğu ve yönü aynı olan vektörlere eşit denir.
• Yönü ne olursa olsun aynı düz çizgi üzerinde yer alan vektörlere eşdoğrusal denir.
• Bir vektörün uzunluğu sıfırsa, yani başlangıcı ve sonu çakışıyorsa buna sıfır, bir ise birim denir.