Beklenti ve varyans formülleri. Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

Bilindiği gibi dağıtım kanunu tamamıyla bir rastgele değişkeni karakterize etmektedir. Ancak çoğu zaman dağıtım kanunu bilinmez ve kişinin kendisini daha az bilgiyle sınırlaması gerekir. Bazen rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olabilir; bu tür numaralara denir sayısal özellikler rastgele değişken. Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.

Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcının attığı sayının matematiksel beklentisinin ikinci atıcıdan daha büyük olduğu biliniyorsa, bu durumda ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve dolayısıyla daha iyi atış yapar. ikincisinden daha. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişken hakkında dağılım yasasından çok daha az bilgi sağlasa da, matematiksel beklentiye ilişkin bilgi, yukarıdaki gibi ve daha birçok problemi çözmek için yeterlidir.

§ 2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi

Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Rastgele değişken olsun X yalnızca değer alabilir X 1 , X 2 , ..., X P , olasılıkları sırasıyla eşit olan R 1 , R 2 , . . ., R P . Daha sonra matematiksel beklenti M(X) rastgele değişken X eşitlikle belirlenir

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .

Ayrık bir rastgele değişken ise X sayılabilir bir dizi olası değeri alır, ardından

M(X)=

Üstelik eşitliğin sağ tarafındaki serinin mutlak yakınsaması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.

Yorum. Tanımdan, ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin rastgele olmayan (sabit) bir miktar olduğu anlaşılmaktadır. Bu ifadeyi daha sonra birçok kez kullanacağımız için hatırlamanızı öneririz. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin de sabit bir değer olduğu daha sonra gösterilecektir.

Örnek 1. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X, dağıtım yasasını bilerek:

Çözüm. Gerekli matematiksel beklenti, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bunların olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Örnek 2. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede olayın olasılığı A eşittir R.

Çözüm. Rastgele değer X - olayın gerçekleşme sayısı A bir testte - yalnızca iki değer alabilir: X 1 = 1 (etkinlik A meydana geldi) olasılıkla R Ve X 2 = 0 (etkinlik A gerçekleşmedi) büyük olasılıkla Q= 1 -R. Gerekli matematiksel beklenti

M(X)= 1* P+ 0* Q= P

Bu yüzden, Bir olayın bir denemede meydana gelme sayısına ilişkin matematiksel beklenti, bu olayın olasılığına eşittir. Bu sonuç aşağıda kullanılacaktır.

§ 3. Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı

Üretilsin P rastgele değişkenin kullanıldığı testler X kabul edilmiş T 1 çarpı değer X 1 , T 2 çarpı değer X 2 ,...,M k çarpı değer X k , Ve T 1 + T 2 + …+t İle = s. Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı X, eşittir

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle .

Aritmetik ortalamayı bulalım bulunan toplamı toplam test sayısına böldüğümüz rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerler:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle)/P,

= X 1 (M 1 / N) + X 2 (M 2 / N) + ... + X İle (T İle /P). (*)

tutumunu fark ederek M 1 / N- göreceli frekans K 1 değerler X 1 , M 2 / N - göreceli frekans K 2 değerler X 2 vb. için ilişkiyi (*) şu şekilde yazarız:

=X 1 K 1 + X 2 K 2 + .. . + X İle K k . (**)

Test sayısının yeterince büyük olduğunu varsayalım. Bu durumda bağıl sıklık, olayın meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşittir (bu, Bölüm IX, § 6'da kanıtlanacaktır):

K 1 P 1 , K 2 P 2 , …, K k P k .

Göreceli frekansları (**) ilişkisindeki karşılık gelen olasılıklarla değiştirerek şunu elde ederiz:

X 1 P 1 + X 2 R 2 + … + X İle R İle .

Bu yaklaşık eşitliğin sağ tarafı M(X). Bu yüzden,

M(X).

Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı şu şekildedir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(ne kadar doğru olursa, test sayısı da o kadar fazla olur) rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.

Açıklama 1. Matematiksel beklentinin mümkün olan en küçük değerden büyük, en büyük değerden küçük olduğunu anlamak kolaydır. Yani sayı doğrusunda olası değerler matematiksel beklentinin solunda ve sağında yer alır. Bu anlamda matematiksel beklenti, dağılımın konumunu karakterize eder ve bu nedenle sıklıkla denir. dağıtım merkezi.

Bu terim mekanikten alınmıştır: eğer kütleler R 1 , R 2 , ..., R P apsis noktalarında bulunur X 1 , X 2 , ..., X N, Ve
daha sonra ağırlık merkezinin apsisi

X C =
.

Hesaba katıldığında
= M (X) Ve
aldık M(X)=x İle .

Dolayısıyla, matematiksel beklenti, apsisleri rastgele değişkenin olası değerlerine eşit olan ve kütleleri olasılıklarına eşit olan bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisidir.

Açıklama 2. “Matematiksel beklenti” teriminin kökeni, uygulama kapsamının kumarla sınırlı olduğu olasılık teorisinin ortaya çıktığı ilk dönem (XVI - XVII yüzyıllar) ile ilişkilidir. Oyuncu, beklenen kazancın ortalama değeriyle, başka bir deyişle kazanmanın matematiksel beklentisiyle ilgileniyordu.

Görev 1. Buğday tohumlarının çimlenme olasılığı 0,9'dur. Ekilen dört tohumdan en az üçünün filizlenme olasılığı nedir?

Çözüm. Hadi olay A– 4 tohumdan en az 3 tohum filizlenecektir; etkinlik İÇİNDE– 4 tohumdan 3 tohum filizlenecek; etkinlik İLE– 4 tohumdan 4 tohum filizlenecektir. Olasılıkların eklenmesi teoremine göre

Olasılıklar
Ve
aşağıdaki durumda uygulanan Bernoulli formülüne göre belirleriz. Seri yapılsın P her biri sırasında olayın meydana gelme olasılığının sabit ve eşit olduğu bağımsız testler R ve bu olayın gerçekleşmeme olasılığı eşittir
. O halde olayın gerçekleşme olasılığı A V P testler tam olarak görünecek kez Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır

,

Nerede
– kombinasyon sayısı P tarafından elemanlar . Daha sonra

Gerekli olasılık

Görev 2. Buğday tohumlarının çimlenme olasılığı 0,9'dur. Ekilen 400 tohumdan 350 tanesinin filizlenme olasılığını bulunuz.

Çözüm. Gerekli olasılığı hesaplayın
Hesaplamaların zahmetli olması nedeniyle Bernoulli formülünü kullanmak zordur. Bu nedenle Laplace'ın yerel teoremini ifade eden yaklaşık bir formül uyguluyoruz:

,

Nerede
Ve
.

Sorun koşullarından. Daha sonra

.

Bulduğumuz eklerin Tablo 1'inden. Gerekli olasılık eşittir

Görev 3. Buğday tohumları %0,02 oranında yabancı ot içerir. 10.000 tohum rastgele seçildiğinde 6 yabancı ot tohumu bulunma olasılığı nedir?

Çözüm. Düşük olasılık nedeniyle Laplace yerel teoreminin uygulanması
olasılığın kesin değerden önemli ölçüde sapmasına yol açar
. Bu nedenle küçük değerlerde R hesaplamak
asimptotik Poisson formülünü uygulayın

, Nerede .

Bu formül şu durumlarda kullanılır:
ve daha az R ve dahası P sonuç o kadar doğru olur.

Sorunun koşullarına göre
;
. Daha sonra

Görev 4. Buğday tohumlarının çimlenme oranı %90’dır. Ekilen 500 tohumdan 400 ila 440 tanesinin filizlenme olasılığını bulun.

Çözüm. Bir olayın gerçekleşme olasılığı ise A her birinde P testler sabit ve eşittir R, o zaman olasılık
olay A bu tür testlerde daha az olmayacak bir kez ve artık yok Laplace integral teoremine göre aşağıdaki formülle belirlenen zamanlar:

, Nerede

,
.

İşlev
Laplace fonksiyonu denir. Ekler (Tablo 2) bu fonksiyonun değerlerini vermektedir.
. Şu tarihte:
işlev
. Şu tarihte: negatif değerler X Laplace fonksiyonunun tuhaflığından dolayı
. Laplace fonksiyonunu kullanarak şunu elde ederiz:

Görevin koşullarına göre. Bulduğumuz yukarıdaki formülleri kullanarak
Ve :

Görev 5. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verilmiştir X:

2. Bulgular: 1) matematiksel beklenti; 2) dağılım; 3) standart sapma.

Çözüm. 1) Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası tablo tarafından verilmişse

2. İlk satırın rastgele değişken x'in değerlerini içerdiği ve ikinci satırın bu değerlerin olasılıklarını içerdiği durumda, matematiksel beklenti formül kullanılarak hesaplanır.

2) Farklılık
Ayrık rassal değişken X bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır;

Bu değer karesel sapmanın ortalama beklenen değerini karakterize eder X itibaren
. Elimizdeki son formülden

Varyans
aşağıdaki özelliğine göre başka bir şekilde bulunabilir: dağılım
rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisi arasındaki farka eşit X ve matematiksel beklentinin karesi
, yani

Hesaplamak
miktarın aşağıdaki dağılım yasasını çizelim
:

3) Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılımını karakterize etmek için standart sapma tanıtılır
rastgele değişken X, eşit kare kök varyanstan
, yani

.

Bu formülden şunu elde ederiz:

Görev 6. Sürekli rastgele değişken X kümülatif dağılım fonksiyonu tarafından verilir

Bul: 1) diferansiyel dağılım fonksiyonu
; 2) matematiksel beklenti
; 3) varyans
.

Çözüm. 1) Diferansiyel dağılım fonksiyonu
sürekli rastgele değişken X kümülatif dağılım fonksiyonunun türevi denir
, yani

.

Aranan diferansiyel fonksiyon aşağıdaki forma sahiptir:

2) Sürekli bir rastgele değişken ise X fonksiyon tarafından verilen
, o zaman matematiksel beklentisi formülle belirlenir

Fonksiyondan beri
en
ve
sıfıra eşitse, elimizdeki son formülden yola çıkarak

.

3) Farklılık
formülle belirleyeceğiz

Görev 7. Parçanın uzunluğu, matematiksel beklentisi 40 mm ve standart sapması 3 mm olan normal dağılımlı bir rastgele değişkendir. Bul: 1) keyfi olarak alınan bir parçanın uzunluğunun 34 mm'den fazla ve 43 mm'den az olma olasılığı; 2) parçanın uzunluğunun matematiksel beklentiden 1,5 mm'den fazla sapmama olasılığı.

Çözüm. 1) izin ver X– parçanın uzunluğu. Rastgele değişken ise X bir diferansiyel fonksiyon tarafından verilir
, o zaman olasılık X segmente ait değerleri alacak
, formülle belirlenir

.

Kesin eşitsizliklerin olasılığı
aynı formülle belirlenir. Rastgele değişken ise X normal yasaya göre dağıtılır, o zaman

, (1)

Nerede
– Laplace fonksiyonu,
.

Sorunda. Daha sonra

2) Sorunun koşullarına göre, nerede
. (1)'i yerine koyarsak,

. (2)

Formül (2)'den elimizde.

Matematiksel beklenti kavramı, fırlatma örneği kullanılarak düşünülebilir. zar. Her atışta düşen puanlar kaydedilir. Bunları ifade etmek için 1 – 6 aralığındaki doğal değerler kullanılır.

Belirli sayıda atıştan sonra basit hesaplamalar kullanarak atılan puanların aritmetik ortalamasını bulabilirsiniz.

Aralıktaki değerlerden herhangi birinin oluşması gibi bu değer de rastgele olacaktır.

Atış sayısını birkaç kat artırırsanız ne olur? Şu tarihte: Büyük miktarlar Atıldığında noktaların aritmetik ortalaması, olasılık teorisinde matematiksel beklenti olarak adlandırılan belirli bir sayıya yaklaşacaktır.

Yani matematiksel beklenti ile rastgele bir değişkenin ortalama değerini kastediyoruz. Bu gösterge aynı zamanda olası değer değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak da sunulabilir.

Bu kavramın birkaç eşanlamlısı vardır:

• ortalama değer;
• ortalama değer;
• merkezi eğilim göstergesi;
• ilk an.

Başka bir deyişle, bir rastgele değişkenin değerlerinin etrafına dağıldığı bir sayıdan başka bir şey değildir.

İnsan faaliyetinin farklı alanlarında, matematiksel beklentiyi anlamaya yönelik yaklaşımlar biraz farklı olacaktır.

Şu şekilde düşünülebilir:

• teorik açıdan bakıldığında böyle bir kararın verilmesinden elde edilen ortalama fayda büyük sayılar;
• olası kazanma veya kaybetme miktarı (teori kumar), her bahis için ortalama olarak hesaplanır. Argoda, "oyuncunun avantajı" (oyuncu için olumlu) veya "kumarhane avantajı" (oyuncu için olumsuz) gibi görünürler;
• kazançlardan elde edilen kârın yüzdesi.

Beklenti kesinlikle tüm rastgele değişkenler için zorunlu değildir. Karşılık gelen toplam veya integralde tutarsızlık olanlar için mevcut değildir.

Matematiksel beklentinin özellikleri

Herhangi bir istatistiksel parametre gibi, matematiksel beklenti de aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Matematiksel beklenti için temel formüller

Matematiksel beklentinin hesaplanması, hem süreklilik (formül A) hem de ayrıklık (formül B) ile karakterize edilen rastgele değişkenler için gerçekleştirilebilir:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi rastgele değişkenin değerleridir, pi ise olasılıklardır:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilen olasılık yoğunluğudur.

Matematiksel beklentiyi hesaplama örnekleri

Örnek A.

Öğrenmek mümkün mü ortalama yükseklik Pamuk Prenses masalındaki cüceler. 7 cücenin her birinin belirli bir boya sahip olduğu biliniyor: 1.25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ve 0,81 m.

Hesaplama algoritması oldukça basittir:

• büyüme göstergesinin tüm değerlerinin toplamını buluyoruz (rastgele değişken):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Ortaya çıkan miktarı cüce sayısına bölün:
  6,31:7=0,90.

Yani bir masaldaki cücelerin ortalama boyu 90 cm'dir. Yani cücelerin büyümesinin matematiksel beklentisi budur.

Çalışma formülü - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Matematiksel beklentinin pratik uygulaması

Hesaplamaya doğru istatistiksel gösterge Matematiksel beklenti çeşitli alanlarda kullanılmaktadır pratik aktiviteler. Öncelikle ticari alandan bahsediyoruz. Sonuçta, Huygens'in bu göstergeyi tanıtması, bazı olaylar için olumlu veya tam tersi olumsuz olabilecek şansların belirlenmesiyle ilişkilidir.

Bu parametre, özellikle finansal yatırımlar söz konusu olduğunda riskleri değerlendirmek için yaygın olarak kullanılır.
Dolayısıyla iş dünyasında matematiksel beklentinin hesaplanması, fiyatları hesaplarken riskin değerlendirilmesi için bir yöntem görevi görür.

Bu gösterge, örneğin işgücünün korunması gibi belirli önlemlerin etkinliğini hesaplamak için de kullanılabilir. Bu sayede bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Bu parametrenin bir diğer uygulama alanı da yönetimdir. Ürün kalite kontrolü sırasında da hesaplanabilir. Örneğin mat kullanmak. Beklentilerinize göre üretilen hatalı parça sayısını hesaplayabilirsiniz.

Süreç boyunca elde edilen sonuçların istatistiksel işlenmesini gerçekleştirirken de matematiksel beklentinin yeri doldurulamaz olduğu ortaya çıkıyor. bilimsel araştırma sonuçlar. Hedefe ulaşma düzeyine bağlı olarak bir deneyin veya çalışmanın istenen veya istenmeyen sonucunun olasılığını hesaplamanıza olanak tanır. Sonuçta, başarısı kazanç ve faydayla ilişkilendirilebilir, başarısızlığı ise kayıp veya kayıpla ilişkilendirilebilir.

Forex'te matematiksel beklentiyi kullanmak

Bu istatistiksel parametrenin pratik uygulaması döviz piyasasında işlem yaparken mümkündür. Onun yardımıyla ticari işlemlerin başarısını analiz edebilirsiniz. Ayrıca beklenti değerinin artması başarının da arttığını gösterir.

Matematiksel beklentinin, bir yatırımcının performansını analiz etmek için kullanılan tek istatistiksel parametre olarak değerlendirilmemesi gerektiğini de unutmamak gerekir. Ortalama değerle birlikte birçok istatistiksel parametrenin kullanılması analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırır.

Bu parametre, ticari hesapların gözlemlerinin izlenmesinde kendini kanıtlamıştır. Bu sayede mevduat hesabında yapılan çalışmaların hızlı bir değerlendirmesi yapılmaktadır. Yatırımcının faaliyetinin başarılı olduğu ve kayıplardan kaçındığı durumlarda, yalnızca matematiksel beklenti hesaplamasının kullanılması önerilmez. Bu durumlarda riskler dikkate alınmaz ve bu da analizin etkinliğini azaltır.

Tüccarların taktikleri üzerine yapılan çalışmalar şunları göstermektedir:

• En etkili taktikler rastgele girişe dayalı olanlardır;
• En az etkili olanı ise yapılandırılmış girdilere dayanan taktiklerdir.

Olumlu sonuçlara ulaşmada daha az önemli olmayanlar şunlardır:

• para yönetimi taktikleri;
• çıkış stratejileri.

Matematiksel beklenti gibi bir göstergeyi kullanarak 1 dolar yatırım yaparken kar veya zararın ne olacağını tahmin edebilirsiniz. Casinoda oynanan tüm oyunlar için hesaplanan bu göstergenin işletme lehine olduğu bilinmektedir. Para kazanmanızı sağlayan şey budur. Uzun bir oyun serisi durumunda müşterinin para kaybetme olasılığı önemli ölçüde artar.

Profesyonel oyuncuların oynadığı oyunların kısa sürelerle sınırlı olması kazanma olasılığını artırırken kaybetme riskini de azaltır. Yatırım işlemleri yapılırken de aynı tablo gözlenmektedir.

Bir yatırımcı, olumlu beklenti ve uygulama ile önemli miktarda kazanabilir. büyük miktar Kısa bir süre içinde işlemler.

Beklenti, kâr yüzdesinin (PW) ortalama kârla (AW) çarpımı ile zarar olasılığının (PL) ortalama zararın (AL) çarpımı arasındaki fark olarak düşünülebilir.

Örnek olarak şunu düşünebiliriz: pozisyon – 12,5 bin dolar, portföy – 100 bin dolar, mevduat riski – %1. İşlemlerin karlılığı, ortalama% 20 karla vakaların% 40'ıdır. Kayıp durumunda ortalama kayıp %5’tir. İşlemin matematiksel beklentisinin hesaplanması 625$ değerini verir.

Matematiksel beklentinin tanımı

Şah mat beklemek biri en önemli kavramlar matematiksel istatistik ve olasılık teorisinde, değerlerin dağılımını karakterize eden veya olasılıklar rastgele değişken. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Yaygın olarak kullanılan teknik Analiz, araştırma sayı serisi sürekli ve uzun vadeli süreçlerin incelenmesi. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve stratejiler ve oyun taktikleri yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır. kumar teorileri.

Şah mat bekliyor- Bu rastgele bir değişkenin ortalama değeri, dağılım olasılıklar Olasılık teorisinde rastgele değişken dikkate alınır.

Şah mat beklemek Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisini kontrol edin X ile gösterilir M(x).

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Şah mat beklemek

Şah mat beklemek olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Şah mat beklemek bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Şah mat beklemek Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.

Şah mat beklemek Kumar teorisinde, bir spekülatörün her bahiste ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumarın dilinde spekülatörler buna bazen "avantaj" denir spekülatör" (spekülatör için pozitifse) veya "ev avantajı" (spekülatör için negatifse).

Matematiksel beklenti (Nüfus ortalaması)

Web Sitesinin En İyi Sunumu için Çerezleri Kullanın. Web sitenizi bir kez daha ziyaret ettiğinizde, onları harekete geçirin. TAMAM

Beklenen değer

Dağılım Olası değerleri Ox ekseninin tamamına ait olan sürekli rastgele değişken X, eşitlikle belirlenir:

Hizmetin amacı. Cevrimici hesap makinesi ya da sorunları çözmek için tasarlanmıştır dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmanız gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, grafik fonksiyonları f(x) ve F(x).

Talimatlar. Kaynak veri türünü seçin: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x).

Dağıtım yoğunluğu f(x) verilmiştir Dağıtım fonksiyonu F(x) verilmiştir

Dağıtım yoğunluğu f(x) verilir:

F(x) dağılım fonksiyonu verilir:

Sürekli bir rastgele değişken olasılık yoğunluğuyla belirtilir
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.

Rastgele değişken X denir sürekli , eğer dağıtım fonksiyonu F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmaması önemli değildir:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Dağıtım yoğunluğu sürekli bir rastgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F’(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.

Dağıtım yoğunluğunun özellikleri

1. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).
2. Normalleştirme koşulu:

Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: Dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan birliğe eşittir.
3. X rastgele değişkeninin α ile β aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Geometrik olarak, sürekli bir rastgele değişken X'in (α, β) aralığına düşme olasılığı, bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki eğrisel yamuğun alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu yoğunluk cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilir:

Dağılım yoğunluğunun x noktasındaki değeri bu değeri kabul etme olasılığına eşit değildir; sürekli bir rastgele değişken için yalnızca belirli bir aralığa düşme olasılığından bahsedebiliriz. İzin vermek )