Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Rastgele değişkenler. Ayrık rastgele değişken.
Bir sonraki en önemli özellik rastgele değişken Matematiksel beklentinin ardından, ortalamadan sapmanın ortalama karesi olarak tanımlanan varyans gelir:
O zamana kadar belirtilirse, VX varyansı beklenen değer olacaktır. Bu, X dağılımının "dağılımının" bir özelliğidir.
Gibi basit örnek Farkı hesaplamak için, bize reddedemeyeceğimiz bir teklif verildiğini varsayalım: Birisi bize bir piyangoya katılım için iki sertifika verdi. Piyango organizatörleri her hafta ayrı bir çekilişe katılarak 100 bilet satıyor. Bir çekilişte, bu biletlerden biri tek tip rastgele bir süreçle seçilir - her biletin eşit seçilme şansı vardır - ve o biletin sahibi mutlu bilet yüz milyon dolar alıyor. Geriye kalan 99 piyango bileti sahibi ise hiçbir şey kazanamıyor.
Hediyeyi iki şekilde kullanabiliriz: Bir piyango için iki bilet satın alın veya iki farklı piyangoya katılmak için birer bilet alın. Hangi strateji daha iyi? Analiz etmeye çalışalım. Bunu yapmak için birinci ve ikinci biletlerdeki kazancımızın büyüklüğünü temsil eden rastgele değişkenlerle belirtelim. Milyon cinsinden beklenen değer
ve aynı şey Beklenen değerler için de geçerlidir, dolayısıyla ortalama toplam getirimiz şöyle olacaktır:
benimsenen stratejiden bağımsız olarak.
Ancak iki strateji farklı görünüyor. Beklenen değerlerin ötesine geçelim ve olasılık dağılımının tamamını inceleyelim
Bir piyangoda iki bilet alırsak, hiçbir şey kazanma şansımız %98 ve %2 olacaktır; yani 100 milyon kazanma şansımız. Farklı çekilişler için bilet alırsak rakamlar şu şekilde olacaktır: %98,01 - hiçbir şey kazanmama şansı, eskisinden biraz daha yüksek; %0,01 - 200 milyon kazanma şansı, yine eskisinden biraz daha fazla; 100 milyon kazanma şansı ise artık %1,98. Dolayısıyla ikinci durumda büyüklük dağılımı biraz daha dağınıktır; Ortadaki değer olan 100 milyon dolar biraz daha az muhtemelken, uç değerler daha muhtemel.
Dağılımın yansıtması amaçlanan şey, rastgele bir değişkenin yayılması kavramıdır. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesi boyunca yayılımı ölçeriz. Böylece, durum 1'de varyans şu şekilde olacaktır:
2. durumda varyans
Beklediğimiz gibi, 2. durumdaki dağılım biraz daha yayılmış olduğundan ikinci değer biraz daha büyüktür.
Varyanslarla çalıştığımızda her şeyin karesi alınır, dolayısıyla sonuç oldukça büyük sayılar olabilir. (Çarpan bir trilyondur, bu etkileyici olmalı
büyük bahislere alışkın oyuncular bile.) Değerleri daha anlamlı bir orijinal ölçeğe dönüştürmek için genellikle Kare kök dağılımdan. Ortaya çıkan sayıya standart sapma denir ve genellikle Yunanca a harfiyle gösterilir:
İki piyango stratejimizin büyüklüğünün standart sapmaları . Bazı açılardan ikinci seçenek yaklaşık 71.247 dolar daha riskli.
Varyans strateji seçiminde nasıl yardımcı olur? Açık değil. Daha yüksek varyansa sahip bir strateji daha risklidir; ama cüzdanımız için hangisi daha iyi; risk mi yoksa güvenli oyun mu? İki değil, yüz biletin tamamını alma fırsatımız olsun. O zaman bir piyango kazanmayı garanti edebiliriz (ve fark sıfır olacaktır); ya da yüzlerce farklı çekilişte oynayabilirsiniz, olasılıkla hiçbir şey elde edemezsiniz, ancak sıfır olmayan bir dolara kadar kazanma şansınız olur. Bu alternatiflerden birini seçmek bu kitabın kapsamı dışındadır; Burada yapabileceğimiz tek şey hesaplamaların nasıl yapılacağını açıklamaktır.
Aslında, varyansı hesaplamanın doğrudan tanımı (8.13) kullanmaktan daha basit bir yolu vardır. (Burada bir tür gizli matematikten şüphelenmek için her türlü neden var; aksi halde, piyango örneklerindeki varyansın neden bir tamsayı katı olduğu ortaya çıksın?
o zamandan beri - sabit; buradan,
“Varyans, karenin ortalaması eksi ortalamanın karesidir.”
Örneğin piyango probleminde ortalama değer çıkıyor veya Çıkarma (ortalamanın karesi) daha önce elde ettiğimiz sonuçları daha zor bir şekilde veriyor.
Ancak bağımsız X ve Y'yi hesaplarken uygulanan daha basit bir formül de vardır.
çünkü bildiğimiz gibi bağımsız rastgele değişkenler için Dolayısıyla,
"Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir." Yani, örneğin bir piyango biletiyle kazanılabilecek miktarın varyansı şuna eşittir:
Bu nedenle, iki farklı (bağımsız) piyangodaki iki piyango bileti için toplam kazancın dağılımı şöyle olacaktır: Bağımsız piyango biletleri için karşılık gelen dağılım değeri şu şekilde olacaktır:
İki zardan atılan puanların toplamının varyansı, iki bağımsız rastgele değişkenin toplamı olduğundan aynı formül kullanılarak elde edilebilir. Sahibiz
doğru küp için; bu nedenle, yer değiştirmiş bir kütle merkezi durumunda
bu nedenle, her iki küpün de yer değiştirmiş bir kütle merkezi varsa. İkinci durumda, normal zarlara göre daha sık ortalama 7 değeri almasına rağmen varyansın daha büyük olduğuna dikkat edin. Amacımız daha fazla şanslı yedili atmaksa, o zaman farklılık başarının en iyi göstergesi değildir.
Tamam, varyansın nasıl hesaplanacağını belirledik. Ancak varyansın neden hesaplanması gerektiği sorusuna henüz cevap veremedik. Herkes bunu yapıyor ama neden? Bunun ana nedeni, dağılımın önemli bir özelliğini oluşturan Chebyshev eşitsizliğidir:
(Bu eşitsizlik, Bölüm 2'de karşılaştığımız toplamlar için Chebyshev eşitsizliklerinden farklıdır.) Niteliksel düzeyde, (8.17), X rastgele değişkeninin, VX varyansı küçükse nadiren ortalamasından uzak değerler aldığını belirtir. Kanıt
yönetimi olağanüstü derecede basittir. Gerçekten mi,
ile bölmek ispatı tamamlar.
Matematiksel beklentiyi bir ile belirtirsek standart sapma- a aracılığıyla ve (8.17)'deki yerine bu koşul dönüşecektir, dolayısıyla (8.17)'den elde ederiz
Bu nedenle, X, olasılığın aşmadığı durumlar haricinde - ortalamasının standart sapmasının - katı dahilinde olacaktır. Rastgele değişken, denemelerin en az %75'inin 2a dahilinde olacaktır; en azından %99'a kadar. Bunlar Chebyshev eşitsizliğinin örnekleridir.
Bir kez birkaç zar atarsanız, tüm atışlardaki toplam puanların toplamı neredeyse her zaman birbirine yakın olacaktır. Bunun nedeni şudur: Bağımsız atışların varyansı, her şeyin standart sapması anlamına gelir.
Bu nedenle Chebyshev eşitsizliğinden puanların toplamının arasında olacağını elde ederiz.
en azından tüm doğru zar atışlarının %99'u için. Örneğin %99'un üzerinde olasılıkla bir milyon atışın sonucu 6.976 milyon ile 7.024 milyon arasında olacaktır.
Genel olarak X, olasılık uzayı Π üzerinde sonlu bir matematiksel beklentiye ve sonlu bir standart sapmaya sahip herhangi bir rastgele değişken olsun. Daha sonra, temel olayların her birinin -dizi olduğu ve olasılığın şu şekilde tanımlandığı Pn olasılık uzayını dikkate alabiliriz:
Şimdi rastgele değişkenleri formülle tanımlarsak
o zaman değer
X değerinin P üzerinde bağımsız gerçekleşmelerinin toplanması sürecine karşılık gelen bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı olacaktır. Matematiksel beklenti şuna eşit olacaktır: ve standart sapma - ; dolayısıyla gerçekleşmelerin ortalama değeri,
zaman periyodunun en az %99'unda ila arasında değişecektir. Başka bir deyişle, yeterince büyük bir tane seçerseniz, bağımsız testlerin aritmetik ortalaması neredeyse her zaman beklenen değere çok yakın olacaktır (Olasılık teorisi ders kitaplarında, büyük sayıların güçlü yasası adı verilen daha da güçlü bir teorem kanıtlanmıştır; ancak bizim için Chebyshev eşitsizliğinin basit doğal sonucu, bunu az önce çıkardık.)
Bazen olasılık uzayının özelliklerini bilmiyoruz, ancak bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisini, değerinin tekrarlanan gözlemlerini kullanarak tahmin etmemiz gerekir. (Örneğin, San Francisco'daki ortalama Ocak öğle sıcaklığı isteyebiliriz veya sigorta acentelerinin hesaplamalarını temel alması gereken ortalama yaşam süresini bilmek isteyebiliriz.) Eğer elimizde bağımsız ampirik gözlemler varsa, şunu varsayabiliriz: gerçek matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir
Formülü kullanarak varyansı da tahmin edebilirsiniz.
Bu formüle baktığınızda yazım hatası olduğunu düşünebilirsiniz; Dağılımın gerçek değeri (8.15)'te beklenen değerler aracılığıyla belirlendiğinden, (8.19)'daki gibi olması gerektiği görülmektedir. Bununla birlikte, burayı ile değiştirmek daha iyi bir tahmin elde etmemizi sağlar, çünkü tanım (8.20)'den şu sonuç çıkmaktadır:
İşte kanıtı:
(Bu hesaplamada yerine gözlemlerin bağımsızlığını esas alıyoruz)
Uygulamada, X rastgele değişkeni ile yapılan bir deneyin sonuçlarını değerlendirmek için genellikle ampirik ortalama ve ampirik standart sapma hesaplanır ve ardından cevap şu forma yazılır. Burada örneğin bir çift zar atmanın sonuçları verilmiştir: muhtemelen doğrudur.
Rastgele değişken Değişken, her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık Ve sürekli.
Ayrık rassal değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayacak, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik derken, bir rastgele değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceğini kastediyoruz.
örnek 1 . Ayrık rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır:
a) $n$ atışla hedefe yapılan isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.
b) Yazı tura atıldığında düşen amblem sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.
c) gemiye gelen gemilerin sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).
d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).
1. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu.
Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırı $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini gösteren ve ikinci satırı karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarını içeren bir tablo kullanılarak belirtilir. bu değerler.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$
Örnek 2 . Rastgele değişken $X$ atış sırasında düşen puanların sayısı olsun zar. Böyle bir rastgele değişken $X$ şu değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. O zaman $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı yasası:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(dizi)$
Yorum. Ayrık bir rastgele değişken $X$'in dağılım yasasında $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ olayları tam bir olay grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $ \sum(p_i)=1$.
2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.
Rastgele bir değişkenin beklentisi“merkezi” anlamını belirler. Ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır; yani : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz dili literatüründe başka bir gösterim $E\left(X\right)$ kullanılır.
Matematiksel beklentinin özellikleri$M\sol(X\sağ)$:
- $M\left(X\right)$ en küçük ile arasında bulunur en yüksek değerler rastgele değişken $X$.
- Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
- Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Örnek 3 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$
$M\left(X\right)$ öğesinin, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük ($6$) değerleri arasında yer aldığını fark edebiliriz.
Örnek 4 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.
Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.
Örnek 5 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. $2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.
Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.
3. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.
Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin iki öğrenci grubunda olasılık teorisi sınavının ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenci çıktı, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler vardı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımını gösterecek sayısal bir karakteristiğe ihtiyaç vardır. Bu özellik dağılımdır.
Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı$X$ şuna eşittir:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$
İngiliz edebiyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. $D\left(X\right)$ varyansı sıklıkla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülü kullanılarak hesaplanır. left(X \right)\right))^2$.
Dispersiyon özellikleri$D\sol(X\sağ)$:
- Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir; $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
- Sabitin varyansı sıfırdır, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
- Sabit faktör, karesi olması koşuluyla dağılımın işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Bağımsız rastgele değişkenler arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Örnek 6 . Örnek $2$'dan $X$ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\yaklaşık 2,92.$$
Örnek 7 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.
Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.
Örnek 8 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.
Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= değerini buluruz. 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.
4. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.
Ayrık bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi biçiminde temsil etme yöntemi tek yöntem değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır: dağıtım fonksiyonu.
Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$
Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - azalmayan.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.
Örnek 9 . $2$ örneğinden $X$ ayrık rastgele değişkeninin dağıtım yasası için $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$
Eğer $x\le 1$ ise, o zaman açıkça $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X dahil) olur< 1\right)=0$).
1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Eğer $x > 6$ ise, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.
Yani $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ 2'de< x\le 3,\\
1/2,\3'te< x\le 4,\\
2/3,\ 4'te< x\le 5,\\
5/6,\ 4'te< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrix)\right.$
Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımı, topluluk entropisi, matematiksel beklenti ve dağılımı hakkında bilgi sahibi olma ihtimalinden korkmuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. En önemlilerinden birkaçına göz atalım temel konseptler bu bilim dalı.
Temelleri hatırlayalım
Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlasanız bile yazının ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Önemli olan şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan aşağıda tartışılan formüllerle çalışamazsınız.
Yani bazı rastgele olaylar meydana gelir, bazı deneyler olur. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, toplam sayısı olası. Yalnızca bu kavramın klasik tanımını bilerek, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.
Ortalama
Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Bizim için asıl önemli olan şu an bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacağımızdır.
Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.
Dağılım
Bilimsel açıdan dağılım, bir özelliğin elde edilen değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Tek büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.
Dispersiyonun aynı zamanda problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat arttığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). Hiçbir zaman sıfırdan küçük değildir ve değerlerin eşit miktarlarda yukarı veya aşağı kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.
Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.
Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?
Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.
Deney sayısına bağımlılık
Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?
Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız. Birim cinsinden ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.
Görev
Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.
Beklenen değer
Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm problem için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.
Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemleri gerçekleştirmenize izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı - şimdi pratik yapma zamanı.
Bir örnek daha
50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Rastgele bir değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti problemini çözmeye yönelik bir örnek sunalım.
Aritmetik ortalamayı ilkokuldan hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz: 50/10 = 5.
Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9 elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.
90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin, muhtemelen her şey yerine oturacaktır.
Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.
Sapma
Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. Latin harfleri sd veya Yunanca küçük harf “sigma” ile gösterilir. Bu kavram, değerlerin merkezi özellikten ortalama ne kadar saptığını gösterir. Değerini bulmak için varyansın karekökünü hesaplamanız gerekir.
Normal bir dağılım grafiği çiziyorsanız ve sapmanın karesini doğrudan onun üzerinde görmek istiyorsanız, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), elde edilen rakamların alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksen üzerindeki sonuç projeksiyonu arasındaki bölümün boyutu standart sapmayı temsil edecektir.
Yazılım
Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretimde kullanılan programı kullanmak mantıklıdır. Eğitim Kurumları- buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.
Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nihayet
Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.
Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta, günde yarım saat pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.
Beklenen değer
Dağılım Olası değerleri Ox ekseninin tamamına ait olan sürekli rastgele değişken X, eşitlikle belirlenir: 
Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi, aşağıdaki durumlardan herhangi birinin meydana geldiği sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmanız gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, grafik fonksiyonları f(x) ve F(x).
Talimatlar. Kaynak veri türünü seçin: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x).
Dağıtım yoğunluğu f(x) verilir: 
F(x) dağılım fonksiyonu verilir: 
Sürekli bir rastgele değişken olasılık yoğunluğuyla belirtilir 
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.
Rastgele değişken X denir sürekli
, eğer dağıtım fonksiyonu F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmaması önemli değildir:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Dağıtım yoğunluğu
sürekli bir rastgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F’(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.
Dağıtım yoğunluğunun özellikleri
1. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu, x'in tüm değerleri için negatif değildir (f(x) ≥ 0).2. Normalleştirme koşulu:
Normalleştirme koşulunun geometrik anlamı: Dağılım yoğunluk eğrisinin altındaki alan birliğe eşittir.
3. X rastgele değişkeninin α ile β aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Geometrik olarak, sürekli bir rastgele değişken X'in (α, β) aralığına düşme olasılığı, bu aralığa dayalı dağılım yoğunluk eğrisi altındaki eğrisel yamuğun alanına eşittir.
4. Dağılım fonksiyonu yoğunluk cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilir:
Dağılım yoğunluğunun x noktasındaki değeri bu değeri kabul etme olasılığına eşit değildir; sürekli bir rastgele değişken için yalnızca belirli bir aralığa düşme olasılığından bahsedebiliriz. İzin vermek )