Turli tomonlari bo'lgan uchburchakning maydoni. Uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Uchburchak - bu hamma uchun tanish figura. Va bu uning shakllarining boy xilma-xilligiga qaramay. To'rtburchak, teng tomonli, o'tkir, teng yonli, o'tmas. Ularning har biri qaysidir ma'noda farq qiladi. Ammo har kim uchun siz uchburchakning maydonini topishingiz kerak.

Tomonlar yoki balandliklar uzunligini ishlatadigan barcha uchburchaklar uchun umumiy formulalar

Ularda qabul qilingan belgilar: tomonlar - a, b, c; a, n in, n bilan mos keladigan tomonlardagi balandliklar.

1. Uchburchakning maydoni ½, tomon va undan ayirib tashlangan balandlikning mahsuloti sifatida hisoblanadi. S = ½ * a * n a. Boshqa ikki tomon uchun formulalar xuddi shunday yozilishi kerak.

2. Yarim perimetr paydo bo'lgan Heron formulasi (u odatda to'liq perimetrdan farqli ravishda kichik p harfi bilan belgilanadi). Yarim perimetrni quyidagicha hisoblash kerak: barcha tomonlarni qo'shing va ularni 2 ga bo'ling. Yarim perimetr formulasi: p = (a+b+c) / 2. Keyin ​​rasm quyidagicha ko'rinadi: S = √ (p * (p - a) * ( r - v) * (r - s)).

3. Agar siz yarim perimetrdan foydalanishni xohlamasangiz, unda faqat tomonlarning uzunligini o'z ichiga olgan formula foydali bo'ladi: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bu avvalgisidan bir oz uzunroq, ammo agar siz yarim perimetrni qanday topishni unutgan bo'lsangiz, yordam beradi.

Uchburchak burchaklarining umumiy formulalari

Formulalarni o'qish uchun zarur belgilar: a, b, g - burchaklar. Ular mos ravishda a, b, c tomonlariga qarama-qarshi yotadi.

1. Unga ko'ra, ikki tomonning yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi uchburchakning maydoniga teng. Ya'ni: S = ½ a * b * sin g. Qolgan ikkita holat uchun formulalar xuddi shunday yozilishi kerak.

2. Uchburchakning maydonini bir tomondan va uchta ma'lum burchakdan hisoblash mumkin. S = (a 2 * sin b * sin g) / (2 sin a).

3. Bir tomoni ma'lum va ikkita qo'shni burchakli formula ham mavjud. Bu shunday ko'rinadi: S = c 2 / (2 (ctg a + ctg b)).

Oxirgi ikkita formula eng oddiy emas. Ularni eslab qolish juda qiyin.

Chizilgan yoki chegaralangan doiralarning radiuslari ma'lum bo'lgan holatlar uchun umumiy formulalar

Qo'shimcha belgilar: r, R - radiuslar. Birinchisi chizilgan doira radiusi uchun ishlatiladi. Ikkinchisi tasvirlangani uchun.

1. Uchburchakning maydoni hisoblangan birinchi formula yarim perimetr bilan bog'liq. S = r * r. Uni yozishning yana bir usuli: S = ½ r * (a + b + c).

2. Ikkinchi holda, siz uchburchakning barcha tomonlarini ko'paytirishingiz va ularni aylana radiusini to'rt barobarga bo'lishingiz kerak bo'ladi. To'g'ridan-to'g'ri ifodada u quyidagicha ko'rinadi: S = (a * b * c) / (4R).

3. Uchinchi holat tomonlarni bilmasdan qilish imkonini beradi, lekin sizga har uch burchakning qiymatlari kerak bo'ladi. S = 2 R 2 * sin a * sin b * sin g.

Maxsus holat: to'g'ri burchakli uchburchak

Bu eng oddiy holat, chunki faqat ikkala oyoqning uzunligi talab qilinadi. Ular lotin a va b harflari bilan belgilanadi. To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni unga qo'shilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.

Matematik jihatdan u quyidagicha ko'rinadi: S = ½ a * b. Bu eslash eng oson. To'rtburchakning maydoni formulasiga o'xshab ko'rinadiganligi sababli, yarmini ko'rsatadigan faqat kasr paydo bo'ladi.

Maxsus holat: teng yonli uchburchak

Uning ikkita teng tomoni borligi sababli, uning maydoni uchun ba'zi formulalar biroz soddalashtirilgan ko'rinadi. Masalan, teng yonli uchburchakning maydonini hisoblaydigan Heron formulasi quyidagi shaklni oladi:

S = ½ in √((a + ½ dyuym)*(a - ½ dyuym)).

Agar siz uni o'zgartirsangiz, u qisqaroq bo'ladi. Bu holda, teng yonli uchburchak uchun Heron formulasi quyidagicha yoziladi:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Agar tomonlar va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, maydon formulasi ixtiyoriy uchburchakka qaraganda biroz soddaroq ko'rinadi. S = ½ a 2 * sin b.

Maxsus holat: teng qirrali uchburchak

Odatda muammolarda uning tomoni ma'lum yoki uni qandaydir tarzda aniqlash mumkin. Keyin bunday uchburchakning maydonini topish formulasi quyidagicha:

S = (a 2 √3) / 4.

Agar uchburchak katakli qog'ozda tasvirlangan bo'lsa, maydonni topish muammolari

Eng oddiy holat - to'g'ri burchakli uchburchak chizilgan bo'lsa, uning oyoqlari qog'ozning chiziqlariga to'g'ri keladi. Keyin faqat oyoqlarga mos keladigan hujayralar sonini hisoblashingiz kerak. Keyin ularni ko'paytiring va ikkiga bo'ling.

Uchburchak o'tkir yoki o'tkir bo'lsa, uni to'rtburchakka chizish kerak. Keyin olingan rasmda 3 ta uchburchak bo'ladi. Ulardan biri muammoda berilgan. Va qolgan ikkitasi yordamchi va to'rtburchaklardir. Oxirgi ikkita maydonni yuqorida tavsiflangan usul yordamida aniqlash kerak. Keyin to'rtburchakning maydonini hisoblang va undan yordamchilar uchun hisoblanganlarni ayiring. Uchburchakning maydoni aniqlanadi.

Uchburchakning birorta tomoni qog'ozning chiziqlariga to'g'ri kelmagan vaziyat ancha murakkabroq bo'lib chiqadi. Keyin uni to'rtburchaklar ichiga yozish kerak, shunda asl figuraning uchlari uning yon tomonlarida yotadi. Bunday holda, uchta yordamchi to'g'ri burchakli uchburchak bo'ladi.

Heron formulasidan foydalangan holda muammoga misol

Vaziyat. Ba'zi uchburchakning ma'lum tomonlari bor. Ular 3, 5 va 6 sm ga teng, siz uning maydonini topishingiz kerak.

Endi yuqoridagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin. Kvadrat ildiz ostida to'rtta raqamning mahsuloti: 7, 4, 2 va 1. Ya'ni, maydon √(4 * 14) = 2 √(14) ga teng.

Agar kattaroq aniqlik talab qilinmasa, u holda siz 14 ning kvadrat ildizini olishingiz mumkin. U 3,74 ga teng. Keyin maydon 7,48 bo'ladi.

Javob. S = 2 √14 sm 2 yoki 7,48 sm 2.

To'g'ri uchburchak bilan bog'liq misol muammosi

Vaziyat. To'g'ri burchakli uchburchakning bir oyog'i ikkinchisidan 31 sm kattaroq, agar uchburchakning maydoni 180 sm 2 bo'lsa, ularning uzunligini bilishingiz kerak.
Yechim. Biz ikkita tenglamalar tizimini yechishimiz kerak. Birinchisi hudud bilan bog'liq. Ikkinchisi, muammoda berilgan oyoqlarning nisbati bilan.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Birinchidan, "a" qiymati birinchi tenglamaga almashtirilishi kerak. Ma'lum bo'lishicha: 180 = ½ (+ 31 da) * in. U faqat bitta noma'lum miqdorga ega, shuning uchun uni hal qilish oson. Qavslarni ochgandan so'ng biz olamiz kvadrat tenglama: in 2 + 31 in - 360 = 0. U "in" uchun ikkita qiymatni beradi: 9 va - 40. Ikkinchi raqam javob sifatida mos emas, chunki uchburchak tomonining uzunligi manfiy bo'lishi mumkin emas. qiymat.

Ikkinchi oyog'ini hisoblash qoladi: natijada olingan raqamga 31 ni qo'shing 40. Bular muammoda qidirilayotgan miqdorlar.

Javob. Uchburchakning oyoqlari 9 va 40 sm.

Uchburchakning maydoni, tomoni va burchagi orqali tomonni topish masalasi

Vaziyat. Muayyan uchburchakning maydoni 60 sm 2 ga teng. Agar ikkinchi tomoni 15 sm va ular orasidagi burchak 30º bo'lsa, uning tomonlaridan birini hisoblash kerak.

Yechim. Qabul qilingan belgiga asoslanib, kerakli tomon "a", ma'lum tomon "b", berilgan burchak "g" dir. Keyin maydon formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

60 = ½ a * 15 * gunoh 30º. Bu erda 30 daraja sinus 0,5 ga teng.

O'zgarishlardan so'ng "a" 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ga teng bo'ladi. Ya'ni 16.

Javob. Kerakli tomoni 16 sm.

To‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan kvadrat haqidagi masala

Vaziyat. Tomoni 24 sm bo‘lgan kvadratning tepasi uchburchakning to‘g‘ri burchagiga to‘g‘ri keladi. Qolgan ikkitasi yon tomonlarda yotadi. Uchinchisi gipotenuzaga tegishli. Oyoqlardan birining uzunligi 42 sm. Toʻgʻri burchakli uchburchakning maydoni qancha?

Yechim. Ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Birinchisi, vazifada ko'rsatilgan. Ikkinchisiga asoslanadi mashhur oyoq asl uchburchak. Ular o'xshashdir, chunki ular umumiy burchakka ega va parallel chiziqlar bilan hosil bo'ladi.

Keyin ularning oyoqlarining nisbati teng bo'ladi. Kichikroq uchburchakning oyoqlari 24 sm (kvadrat tomoni) va 18 sm ga teng (berilgan oyog'i 42 sm kvadratning yon tomonini 24 sm ayiradi). Katta uchburchakning mos keladigan oyoqlari 42 sm va x sm ni tashkil qiladi, bu uchburchakning maydonini hisoblash uchun kerak bo'ladi.

18/42 = 24 / x, ya'ni x = 24 * 42 / 18 = 56 (sm).

Keyin maydon 56 va 42 ning ikkiga bo'lingan ko'paytmasiga teng, ya'ni 1176 sm 2.

Javob. Kerakli maydon 1176 sm 2 ni tashkil qiladi.

Ko'rsatmalar

Partiyalar burchaklar esa asosiy elementlar hisoblanadi A. Uchburchak to'liq uning quyidagi asosiy elementlaridan birortasi bilan belgilanadi: yoki uchta tomon, yoki bir tomon va ikkita burchak yoki ikki tomon va ular orasidagi burchak. Borliq uchun uchburchak a, b, c uch tomoni berilgan bo'lsa, tengsizliklar deb ataladigan tengsizliklarni qondirish uchun zarur va etarli. uchburchak:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Qurilish uchun uchburchak a, b, c uch tomonida CB = a segmentining C nuqtasidan kompas bilan b radiusli doira chizish kerak. Keyin xuddi shunday tarzda B nuqtadan radiusli aylana chiziladi tomoniga teng c. Ularning kesishish nuqtasi A - kerakli uchinchi cho'qqi uchburchak ABC, bu yerda AB=c, CB=a, CA=b - tomonlar uchburchak. Muammo a, b, c tomonlari tengsizliklarni qanoatlantirsa uchburchak 1-bosqichda belgilangan.

S maydoni shu tarzda qurilgan uchburchak A, b, c tomonlari ma'lum bo'lgan ABC, Heron formulasi yordamida hisoblanadi:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
Bu erda a, b, c tomonlar uchburchak, p - yarim perimetr.
p = (a+b+c)/2

Agar uchburchak teng yonli bo'lsa, ya'ni uning barcha tomonlari teng bo'ladi (a=b=c).Maydon uchburchak formula bo'yicha hisoblanadi:
S=(a^2 v3)/4

Agar uchburchak to'g'ri burchakli bo'lsa, ya'ni uning burchaklaridan biri 90 ° ga teng bo'lsa va uni hosil qiluvchi tomonlar oyoqlar bo'lsa, uchinchi tomon gipotenuzadir. IN Ushbu holatda kvadrat ikkiga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng.
S=ab/2

Topmoq kvadrat uchburchak, siz ko'plab formulalardan birini ishlatishingiz mumkin. Qaysi ma'lumotlar allaqachon ma'lum bo'lganiga qarab formulani tanlang.

Sizga kerak bo'ladi

• uchburchakning maydonini topish formulalarini bilish

Ko'rsatmalar

Agar siz tomonlardan birining o'lchamini va unga qarama-qarshi burchakdan bu tomonga tushirilgan balandlikning qiymatini bilsangiz, u holda maydonni quyidagidan foydalanib topishingiz mumkin: S = a*h/2, bu erda S - maydon. uchburchakning a - uchburchak tomonlaridan biri, h - balandligi, a tomoniga.

Uchburchakning uch tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini aniqlashning ma'lum usuli mavjud. Bu Heron formulasi. Uning yozilishini soddalashtirish uchun oraliq qiymat kiritiladi - yarim perimetr: p = (a+b+c)/2, bu yerda a, b, c - . U holda Heron formulasi quyidagicha: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ darajali ko’rsatkich.

Faraz qilaylik, siz uchburchakning bir tomoni va uchta burchagini bilasiz. Keyin uchburchakning maydonini topish oson: S = a²sina sing / (2sinb), bu erda b - a tomoniga qarama-qarshi burchak, va a va g - yon tomonga ulashgan burchaklar.

Mavzu bo'yicha video

Eslatma

Barcha holatlarga mos keladigan eng umumiy formula Heron formulasidir.

Manbalar:

3-maslahat: Uch tomoniga asoslangan uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Uchburchakning maydonini topish maktab planimetriyasidagi eng keng tarqalgan muammolardan biridir. Har qanday uchburchakning maydonini aniqlash uchun uchburchakning uch tomonini bilish kifoya. Teng tomonli uchburchaklarning alohida holatlarida mos ravishda ikki va bir tomonning uzunliklarini bilish kifoya.

Sizga kerak bo'ladi

• uchburchaklar tomonlarining uzunliklari, Geron formulasi, kosinuslar teoremasi

Ko'rsatmalar

Uchburchakning maydoni uchun Heron formulasi quyidagicha: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Agar yarim perimetr p ni yozsak, biz quyidagilarga erishamiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Mulohazalardan, masalan, kosinus teoremasini qo'llash orqali siz uchburchakning maydoni uchun formulani olishingiz mumkin.

Kosinus teoremasi bo'yicha AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kiritilgan belgilardan foydalanib, ularni quyidagi shaklda yozish mumkin: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Demak, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Uchburchakning maydoni S = a*c*sin(ABC)/2 formulasi boʻyicha ham ikki tomon va ular orasidagi burchak yordamida topiladi. ABC burchak sinusini asosiy yordamida u bilan ifodalash mumkin trigonometrik identifikatsiya: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Sinusni maydon formulasiga qoʻyish va uni yozish orqali siz ABC uchburchak maydoni formulasiga kelishingiz mumkin.

Mavzu bo'yicha video

Uchun ta'mirlash ishlari o'lchash kerak bo'lishi mumkin kvadrat devorlar Hisoblash osonroq kerakli miqdor bo'yoq yoki devor qog'ozi. O'lchovlar uchun lenta o'lchovi yoki o'lchov lentasidan foydalanish yaxshidir. O'lchovlar keyin amalga oshirilishi kerak devorlar tekislandi.

Sizga kerak bo'ladi

• -ruletka;
• - narvon.

Ko'rsatmalar

Hisoblash uchun kvadrat devorlar uchun siz shiftlarning aniq balandligini bilishingiz kerak, shuningdek, zamin bo'ylab uzunlikni o'lchashingiz kerak. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: santimetrni oling va taglik taxtasi ustiga qo'ying. Odatda santimetr butun uzunlik uchun etarli emas, shuning uchun uni burchakda mahkamlang, so'ngra uni maksimal uzunlikka eching. Shu nuqtada, qalam bilan belgi qo'ying, olingan natijani yozing va oxirgi o'lchov nuqtasidan boshlab xuddi shu tarzda keyingi o'lchovlarni bajaring.

Standart shiftlar tipik bo'lganlarda - uyga qarab 2 metr 80 santimetr, 3 metr va 3 metr 20 santimetr. Agar uy 50-yillardan oldin qurilgan bo'lsa, unda haqiqiy balandlik ko'rsatilganidan biroz pastroq bo'lishi mumkin. Agar siz hisoblasangiz kvadrat ta'mirlash ishlari uchun, keyin kichik ta'minot zarar qilmaydi - standart asosida ko'rib chiqing. Agar siz hali ham haqiqiy balandlikni bilishingiz kerak bo'lsa, o'lchovlarni bajaring. Printsip uzunlikni o'lchashga o'xshaydi, lekin sizga zinapoya kerak bo'ladi.

Olingan ko'rsatkichlarni ko'paytiring - bu kvadrat sizniki devorlar. To'g'ri, qachon rasm ishlari yoki buning uchun ayirish kerak kvadrat eshik va deraza teshiklari. Buning uchun ochilish bo'ylab bir santimetr yotqiz. Agar siz keyinchalik o'zgartirmoqchi bo'lgan eshik haqida gapiradigan bo'lsak, uni olib tashlang eshik ramkasi, faqat hisobga olgan holda kvadrat to'g'ridan-to'g'ri ochilishning o'ziga. Deraza maydoni uning ramkasining perimetri bo'ylab hisoblanadi. Keyin kvadrat oyna va eshik hisoblangan, natijani xonaning umumiy maydonidan olib tashlang.

E'tibor bering, xonaning uzunligi va kengligini o'lchash ikki kishi tomonidan amalga oshiriladi, bu santimetr yoki lenta o'lchovini tuzatishni osonlashtiradi va shunga mos ravishda aniqroq natijaga erishadi. Olingan raqamlarning to'g'riligiga ishonch hosil qilish uchun bir xil o'lchovni bir necha marta bajaring.

Mavzu bo'yicha video

Uchburchakning hajmini topish haqiqatan ham ahamiyatsiz ishdir. Gap shundaki, uchburchak ikki o'lchovli figuradir, ya'ni. u butunlay bitta tekislikda yotadi, ya'ni u shunchaki hajmga ega emas. Albatta, mavjud bo'lmagan narsani topa olmaysiz. Ammo taslim bo'lmaylik! Quyidagi taxminni qabul qilishimiz mumkin: ikki o'lchovli figuraning hajmi uning maydoni. Biz uchburchakning maydonini qidiramiz.

Sizga kerak bo'ladi

• qog'oz varag'i, qalam, o'lchagich, kalkulyator

Ko'rsatmalar

O'lchagich va qalam yordamida qog'oz varag'iga chizing. Uchburchakni diqqat bilan o'rganib chiqib, unda haqiqatan ham uchburchak yo'qligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin, chunki u tekislikda chizilgan. Uchburchakning tomonlarini belgilang: bir tomoni "a", ikkinchi tomoni "b", uchinchi tomoni "c" bo'lsin. Uchburchakning uchlarini "A", "B" va "C" harflari bilan belgilang.

Uchburchakning istalgan tomonini o'lchagich bilan o'lchab, natijani yozing. Shundan so'ng, o'lchangan tomonga perpendikulyarni unga qarama-qarshi tomondan tiklang, bunday perpendikulyar uchburchakning balandligi bo'ladi. Rasmda ko'rsatilgan holatda, perpendikulyar "h" "A" cho'qqisidan "c" tomoniga tiklanadi. Olingan balandlikni o'lchagich bilan o'lchang va o'lchov natijasini yozing.

Siz uchun aniq perpendikulyarni tiklash qiyin bo'lishi mumkin. Bunday holda, siz boshqa formuladan foydalanishingiz kerak. Uchburchakning barcha tomonlarini o'lchagich bilan o'lchang. Shundan so'ng, tomonlarning hosil bo'lgan uzunliklarini qo'shib, ularning yig'indisini yarmiga bo'lish orqali "p" uchburchakning yarim perimetrini hisoblang. Yarim perimetrning qiymati sizning ixtiyoringizda bo'lsa, siz Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun siz ekstraktsiya qilishingiz kerak Kvadrat ildiz quyidagilardan: p(p-a)(p-b)(p-c).

Siz uchburchakning kerakli maydonini oldingiz. Uchburchakning hajmini topish masalasi hal etilmagan, lekin yuqorida aytib o'tilganidek, hajm yo'q. Siz uch o'lchovli dunyoda asosan uchburchak bo'lgan hajmni topishingiz mumkin. Agar biz asl uchburchakmiz uch o'lchamli piramidaga aylangan deb tasavvur qilsak, bunday piramidaning hajmi uning poydevori uzunligining biz olgan uchburchakning maydoniga ko'paytirilishi bo'ladi.

Eslatma

Qanchalik ehtiyotkorlik bilan o'lchasangiz, hisob-kitoblaringiz shunchalik aniq bo'ladi.

Manbalar:

• Kalkulyator "Hammasi hamma narsaga" - mos yozuvlar qiymatlari portali
• 2019 yilda uchburchak hajmi

Uchburchakni noyob tarzda belgilaydigan uchta nuqta Dekart tizimi koordinatalari uning uchlaridir. Koordinata o'qlarining har biriga nisbatan ularning o'rnini bilib, buning istalgan parametrlarini hisoblashingiz mumkin tekis shakl, shu jumladan va uning perimetri bilan cheklangan kvadrat. Bu bir necha usulda amalga oshirilishi mumkin.

Ko'rsatmalar

Maydonni hisoblash uchun Heron formulasidan foydalaning uchburchak. Bu raqamning uch tomonining o'lchamlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun hisob-kitoblarni bilan boshlang. Har bir tomonning uzunligi uning koordinata o'qlariga proyeksiyalari uzunliklari kvadratlari yig'indisining ildiziga teng bo'lishi kerak. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) va C(X₃,Y₃,Z₃) koordinatalarini belgilasak, ularning tomonlari uzunliklarini quyidagicha ifodalash mumkin: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun yordamchi o'zgaruvchini - yarim perimetrni (P) kiriting. Bu barcha tomonlar uzunligi yig'indisining yarmi ekanligidan: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Uchburchakning maydoni - formulalar va masalani yechish misollari

Quyida ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish uchun formulalar xususiyatlari, burchaklari yoki o'lchamlaridan qat'i nazar, har qanday uchburchakning maydonini topish uchun javob beradi. Formulalar rasm ko'rinishida, ularni qo'llash uchun tushuntirishlar yoki ularning to'g'riligini asoslash bilan taqdim etiladi. Shuningdek, yozishmalar alohida raqamda ko'rsatilgan harf belgilari formulalarda va chizmadagi grafik belgilarda.

Eslatma . Agar uchburchak bo'lsa maxsus xususiyatlar(izoseller, to'rtburchaklar, teng yonli), siz quyida keltirilgan formulalardan, shuningdek, faqat ushbu xususiyatlarga ega uchburchaklar uchun amal qiladigan qo'shimcha maxsus formulalardan foydalanishingiz mumkin:

• "Teng tomonli uchburchakning maydoni uchun formulalar"

Uchburchak maydoni formulalari

Formulalar uchun tushuntirishlar:
a, b, c- maydonini topmoqchi bo'lgan uchburchak tomonlarining uzunliklari
r- uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi
R- uchburchak atrofida aylana radiusi
h- yon tomonga tushirilgan uchburchakning balandligi
p- uchburchakning yarim perimetri, uning tomonlari yig'indisining 1/2 qismi (perimetri)
α - uchburchakning a tomoniga qarama-qarshi burchak
β - uchburchakning b tomoniga qarama-qarshi burchak
γ - uchburchakning c tomoniga qarama-qarshi burchak
h a, h b , h c- a, b, c tomoniga tushirilgan uchburchakning balandligi

E'tibor bering, berilgan yozuvlar yuqoridagi rasmga mos keladi, shuning uchun haqiqiy geometriya masalasini echishda vizual ravishda almashtirish osonroq bo'ladi. to'g'ri joylar formulalar to'g'ri qiymatlardir.

• Uchburchakning maydoni uchburchak balandligining yarmi mahsuloti va bu balandlik tushirilgan tomonning uzunligi(Formula 1). Ushbu formulaning to'g'riligini mantiqan tushunish mumkin. Poydevorga tushirilgan balandlik ixtiyoriy uchburchakni ikkita to'rtburchakka bo'ladi. Agar siz ularning har birini b va h o'lchamlari bo'lgan to'rtburchaklar shaklida qursangiz, bu uchburchaklar maydoni to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng bo'ladi (Spr = bh)
• Uchburchakning maydoni uning ikki tomonining yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi(Formula 2) (quyida ushbu formuladan foydalangan holda muammoni hal qilish misoliga qarang). Garchi u avvalgisidan farqli bo'lsa ham, uni osongina aylantirish mumkin. Agar balandlikni B burchakdan b tomoniga tushirsak, sinusning xususiyatlariga ko'ra, a tomonning ko'paytmasi va g burchak sinusi chiqadi. to'g'ri uchburchak biz chizgan uchburchakning balandligiga teng, bu bizga oldingi formulani beradi
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini topish mumkin orqali ish uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi bilan yozilgan doiraning yarmi radiusi(Formula 3), sodda qilib aytganda, siz uchburchakning yarim perimetrini chizilgan doira radiusiga ko'paytirishingiz kerak (buni eslab qolish osonroq)
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning barcha tomonlari ko'paytmasini atrofida aylananing 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin (Formula 4)
• Formula 5 - bu uchburchakning yuzini uning tomonlari va yarim perimetri (barcha tomonlari yig'indisi) orqali topish.
• Heron formulasi(6) bir xil formulaning yarim perimetr tushunchasidan foydalanmasdan, faqat tomonlarning uzunliklari orqali ifodalanishi.
• O'zboshimchalik bilan uchburchakning maydoni uchburchak tomonining kvadrati va bu tomonga ulashgan burchaklar sinuslari ko'paytmasiga teng, bu tomonga qarama-qarshi burchakning qo'sh sinusiga bo'linadi (Formula 7)
• Ixtiyoriy uchburchakning maydonini uning har bir burchagining sinuslari bilan chegaralangan doiraning ikkita kvadratining mahsuloti sifatida topish mumkin. (Formula 8)
• Agar bir tomonning uzunligi va ikkita qo'shni burchakning qiymatlari ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning maydoni bu tomonning kvadratini ushbu burchaklarning kotangentlarining ikki barobar yig'indisiga bo'lingan holda topish mumkin (Formula 9)
• Agar uchburchakning har bir balandligining uzunligi ma'lum bo'lsa (Formula 10), unda bunday uchburchakning maydoni Heron formulasiga ko'ra, bu balandliklarning uzunliklariga teskari proportsionaldir.
• Formula 11 hisoblash imkonini beradi uchburchakning uchlari koordinatalari asosida uning maydoni, ular har bir cho'qqi uchun (x; y) qiymatlar sifatida ko'rsatilgan. E'tibor bering, natijada olingan qiymat modul bo'yicha olinishi kerak, chunki alohida (yoki hatto barcha) cho'qqilarning koordinatalari salbiy qiymatlar hududida bo'lishi mumkin.

Eslatma. Quyida uchburchakning maydonini topish uchun geometriya masalalarini echish misollari keltirilgan. Agar siz bu erda o'xshash bo'lmagan geometriya masalasini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Yechimlarda “kvadrat ildiz” belgisi o‘rniga sqrt() funksiyasidan foydalanish mumkin, bunda sqrt kvadrat ildiz belgisidir, radikal ifoda esa qavs ichida ko‘rsatilgan..Ba'zan oddiy radikal iboralar uchun belgidan foydalanish mumkin √

Vazifa. Ikki tomon berilgan maydonni va ular orasidagi burchakni toping

Uchburchakning tomonlari 5 va 6 sm, ular orasidagi burchak 60 daraja. Uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Ushbu muammoni hal qilish uchun biz darsning nazariy qismidagi ikkinchi formuladan foydalanamiz.
Uchburchakning maydonini ikki tomonning uzunligi va ular orasidagi burchakning sinusi orqali topish mumkin va unga teng bo'ladi.
S=1/2 ab sin g

Yechish uchun barcha kerakli ma'lumotlarga ega bo'lganligimiz sababli (formula bo'yicha), biz faqat muammo shartlaridagi qiymatlarni formulaga almashtirishimiz mumkin:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Qiymatlar jadvalida trigonometrik funktsiyalar Ifodaga sinusning 60 gradus qiymatini topamiz va almashtiramiz. Bu uch karra ikkining ildiziga teng bo'ladi.
S = 15 √3 / 2

Javob: 7,5 √3 (o'qituvchining talablariga qarab, siz 15 √3/2 qoldirishingiz mumkin)

Vazifa. Teng tomonli uchburchakning maydonini toping

Tomoni 3 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydonini toping.

Yechim.

Uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida topish mumkin:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c bo'lgani uchun, teng qirrali uchburchakning maydoni formulasi quyidagi shaklni oladi:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Javob: 9 √3 / 4.

Vazifa. Yonlarning uzunligini o'zgartirganda maydonni o'zgartiring

Tomonlari 4 marta oshirilsa, uchburchakning maydoni necha marta oshadi?

Yechim.

Uchburchak tomonlarining o'lchamlari bizga noma'lum bo'lganligi sababli, masalani hal qilish uchun tomonlarning uzunliklari mos ravishda a, b, c ixtiyoriy sonlarga teng deb faraz qilamiz. Keyin, muammoli savolga javob berish uchun, maydonni topamiz berilgan uchburchak, so'ngra tomonlari to'rt marta katta bo'lgan uchburchakning maydonini toping. Bu uchburchaklar maydonlarining nisbati bizga muammoga javob beradi.

Quyida muammoning yechimini bosqichma-bosqich matnli tushuntirishni beramiz. Biroq, oxirida, xuddi shu yechim qulayroq grafik shaklda taqdim etiladi. Qiziqqanlar darhol yechimlarni pastga tushirishlari mumkin.

Yechish uchun biz Heron formulasidan foydalanamiz (darsning nazariy qismida yuqoriga qarang). Bu shunday ko'rinadi:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning birinchi qatoriga qarang)

Ixtiyoriy uchburchak tomonlarining uzunliklari a, b, c o'zgaruvchilari bilan belgilanadi.
Agar tomonlar 4 marta oshirilsa, yangi c uchburchakning maydoni quyidagicha bo'ladi:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(quyidagi rasmdagi ikkinchi qatorga qarang)

Ko'rib turganingizdek, 4 umumiy koeffitsient bo'lib, unga ko'ra barcha to'rtta iboradan qavs ichidan chiqarilishi mumkin umumiy qoidalar matematika.
Keyin

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - rasmning uchinchi qatorida
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - to'rtinchi qator

256 raqamining kvadrat ildizi mukammal tarzda chiqariladi, shuning uchun uni ildiz ostidan chiqaramiz
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(quyidagi rasmning beshinchi qatoriga qarang)

Muammoda qo'yilgan savolga javob berish uchun biz paydo bo'lgan uchburchakning maydonini asl uchburchakning maydoniga bo'lishimiz kerak.
Ifodalarni bir-biriga bo'lish va hosil bo'lgan kasrni kamaytirish yo'li bilan maydon nisbatlarini aniqlaymiz.

Qarama-qarshi tepadan) va olingan mahsulotni ikkiga bo'ling. Bu shunday ko'rinadi:

S = ½ * a * h,

Qayerda:
S - uchburchakning maydoni,
a - uning tomonining uzunligi,
h - bu tomonga tushirilgan balandlik.

Yon uzunligi va balandligi bir xil o'lchov birliklarida ko'rsatilishi kerak. Bunday holda, uchburchakning maydoni tegishli "" birliklarida olinadi.

Misol.
20 sm uzunlikdagi skalen uchburchakning bir tomonida qarama-qarshi cho'qqidan 10 sm uzunlikdagi perpendikulyar tushiriladi.
Uchburchakning maydoni talab qilinadi.
Yechim.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (sm²).

Agar masshtabli uchburchakning istalgan ikki tomonining uzunligi va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, formuladan foydalaning:

S = ½ * a * b * sing,

Bu yerda: a, b - ikkita ixtiyoriy tomonning uzunliklari, g - ular orasidagi burchak.

Amalda, masalan, o'lchashda yer uchastkalari, yuqoridagi formulalardan foydalanish ba'zan qiyin, chunki u qo'shimcha konstruktsiyalar va burchak o'lchovlarini talab qiladi.

Agar siz masshtabli uchburchakning uch tomonining uzunligini bilsangiz, Heron formulasidan foydalaning:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,
p – yarim perimetri: p = (a+b+c)/2.

Agar barcha tomonlarning uzunligiga qo'shimcha ravishda uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi ma'lum bo'lsa, unda quyidagi ixcham formuladan foydalaning:

bu yerda: r – chizilgan aylana radiusi (r – yarim perimetr).

Masshtabli uchburchakning maydonini va uning tomonlari uzunligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

bu yerda: R – aylana radiusi.

Agar uchburchakning tomonlaridan birining uzunligi va uchta burchagi ma'lum bo'lsa (asosan, ikkitasi etarli - uchinchisining qiymati uchburchakning uchta burchagi yig'indisining tengligidan hisoblanadi - 180º), keyin foydalaning formula:

S = (a² * sinb * sing)/2sina,

bu yerda a - a tomoniga qarama-qarshi burchakning qiymati;
b, g - uchburchakning qolgan ikki burchagining qiymatlari.

Turli elementlarni, shu jumladan maydonni topish zarurati uchburchak, miloddan avvalgi ko'p asrlar orasida paydo bo'lgan olimlar astronomlar Qadimgi Gretsiya. Kvadrat uchburchak hisoblash mumkin turli yo'llar bilan turli formulalar yordamida. Hisoblash usuli qaysi elementlarga bog'liq uchburchak ma'lum.

Ko'rsatmalar

Agar shartdan biz ikki tomonning b, c va ular hosil qilgan burchakning qiymatlarini bilsak, u holda maydon uchburchak ABC quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = (bcsin?)/2.

Agar shartdan biz a, b tomonlarning qiymatlarini va ular hosil qilmaydigan burchakni bilsak, u holda maydon uchburchak ABC quyidagicha topiladi:
Burchakni topish?, gunoh? = bsin?/a, keyin burchakning o'zini aniqlash uchun jadvaldan foydalaning.
Burchakni topish?, ? = 180°-?-?.
Biz maydonning o'zini S = (absin?)/2 topamiz.

Agar shartdan biz faqat uchta tomonning qiymatlarini bilsak uchburchak a, b va c, keyin maydon uchburchak ABC quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , bu yerda p yarim perimetr p = (a+b+c)/2

Agar muammoli sharoitlardan biz balandlikni bilsak uchburchak h va bu balandlik tushirilgan tomon, keyin maydon uchburchak ABC formula bo'yicha:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Agar tomonlarning ma'nolarini bilsak uchburchak a, b, c va bu haqda tasvirlangan radius uchburchak R, keyin buning maydoni uchburchak ABC quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = abc/4R.
Agar uchta tomon a, b, c va chizilgan radiusi ma'lum bo'lsa, u holda maydon uchburchak ABC quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = pr, bu erda p - yarim perimetr, p = (a+b+c)/2.

Agar ABC teng yonli bo'lsa, maydon quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = (a^2v3)/4.
Agar ABC uchburchagi teng yonli bo'lsa, maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, bu erda c - uchburchak.
Agar ABC uchburchagi to'g'ri burchakli bo'lsa, u holda maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = ab/2, bu erda a va b - oyoqlar uchburchak.
Agar ABC uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u holda maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, bu erda c - gipotenuza uchburchak, a=b – oyoq.

Mavzu bo'yicha video

Manbalar:

• uchburchakning maydonini qanday o'lchash kerak

Maslahat 3: Agar burchak ma'lum bo'lsa, uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Hududni topish uchun faqat bitta parametrni (burchakni) bilish etarli emas tre kvadrat . Agar qo'shimcha o'lchamlar mavjud bo'lsa, u holda maydonni aniqlash uchun burchak qiymati ma'lum o'zgaruvchilardan biri sifatida ishlatiladigan formulalardan birini tanlashingiz mumkin. Eng ko'p ishlatiladigan bir nechta formulalar quyida keltirilgan.

Ko'rsatmalar

Agar ikki tomon tomonidan hosil qilingan burchakning (g) o'lchamiga qo'shimcha ravishda tre kvadrat , bu tomonlarning (A va B) uzunliklari ham ma'lum, keyin kvadrat Shaklning (S) ni tomonlarning uzunliklari va ma'lum burchak sinusining yarmi ko'paytmasi sifatida aniqlash mumkin: S=½×A×B×sin(g).