Modulli kompleks tengsizliklarni yechish. Modulli tengsizliklar. Yechimga yangi qarash

Modullar bilan tengsizliklarni aniqlash usullari (qoidalari) submodulyar funktsiyalarning doimiy belgisi intervallaridan foydalangan holda modullarni ketma-ket ochishdan iborat. Yakuniy versiyada bir nechta tengsizliklar olinadi, ulardan masalaning shartlarini qanoatlantiradigan intervallar yoki intervallar topiladi.

Keling, amaliyotda keng tarqalgan misollarni echishga o'tamiz.

Modulli chiziqli tengsizliklar

Chiziqli deganda biz o'zgaruvchi tenglamaga chiziqli kiruvchi tenglamalarni tushunamiz.

1-misol. Tengsizlikning yechimini toping

Yechim:
Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, modullar x=-1 va x=-2 da nolga aylanadi. Bu nuqtalar son qatorini intervallarga ajratadi

Bu oraliqlarning har birida berilgan tengsizlikni yechamiz. Buning uchun, birinchi navbatda, submodulyar funktsiyalarning doimiy belgisi bo'lgan maydonlarning grafik chizmalarini tuzamiz. Ular har bir funktsiyaning belgilari bo'lgan maydonlar sifatida tasvirlangan

yoki barcha funksiyalarning belgilariga ega intervallar.

Birinchi oraliqda biz modullarni kengaytiramiz

Ikkala tomonni minus birga ko'paytiramiz va tengsizlikdagi belgi teskari tomonga o'zgaradi. Agar ushbu qoidaga ko'nikish qiyin bo'lsa, minusdan xalos bo'lish uchun har bir qismni belgi orqasiga ko'chirishingiz mumkin. Oxirida siz olasiz

Tenglamalar yechilgan maydon bilan x>-3 to'plamning kesishishi (-3;-2) oraliq bo'ladi. Yechimlarni topish osonroq bo'lganlar uchun siz ushbu hududlarning kesishishini grafik tarzda chizishingiz mumkin

Hududlarning umumiy kesishishi yechim bo'ladi. Agar qat'iy notekis bo'lsa, qirralar qo'shilmaydi. Agar qat'iy bo'lmasa, almashtirish orqali tekshiring.

Ikkinchi intervalda biz olamiz

Kesma interval (-2; -5/3) bo'ladi. Grafik jihatdan yechim shunday ko'rinadi

Uchinchi intervalda biz olamiz

Bu holat kerakli mintaqada yechimlarni ta'minlamaydi.

Ikki yechim topilgan (-3;-2) va (-2;-5/3) nuqtaning chegarasi x=-2 bo'lgani uchun uni ham tekshiramiz.

Shunday qilib, x=-2 nuqta yechim hisoblanadi. Umumiy qaror buni hisobga olsak (-3;5/3) kabi ko'rinadi.

2-misol. Tengsizlikning yechimini toping
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Yechim:
Submodulyar funksiyalarning nollari x=2, x=3, x=4 nuqtalari bo'ladi. Ushbu nuqtalardan kamroq argument qiymatlari uchun submodulyar funktsiyalar salbiy, kattaroq qiymatlar uchun esa ijobiydir.

Nuqtalar haqiqiy o'qni to'rtta intervalgacha ajratadi. Biz modullarni doimiy ishorali intervallarga ko'ra kengaytiramiz va tengsizliklarni echamiz.

1) Birinchi oraliqda barcha submodulyar funktsiyalar manfiy, shuning uchun modullarni kengaytirishda biz belgini teskarisiga o'zgartiramiz.

Topilgan x qiymatlarining ko'rib chiqilgan interval bilan kesishishi nuqtalar to'plami bo'ladi

2) x=2 va x=3 nuqtalar orasidagi intervalda birinchi submodulyar funksiya musbat, ikkinchi va uchinchisi manfiy. Modullarni kengaytirib, biz olamiz

biz yechayotgan oraliq bilan kesishganda bitta yechimni beradigan tengsizlik – x=3.

3) x=3 va x=4 nuqtalar orasidagi intervalda birinchi va ikkinchi submodul funksiyalar musbat, uchinchisi esa manfiy. Bunga asoslanib, biz olamiz

Bu holat butun interval modullar bilan tengsizlikni qondirishini ko'rsatadi.

4) x>4 qiymatlari uchun barcha funksiyalar ijobiy belgilarga ega. Modullarni kengaytirishda biz ularning belgisini o'zgartirmaymiz.

Interval bilan kesishgan joydagi topilgan shart quyidagi yechimlar to‘plamini beradi

Tengsizlik barcha intervallarda yechilganligi sababli, barcha topilgan x qiymatlarining umumiy qiymatini topish qoladi. Yechim ikki intervalli bo'ladi

Bu misolni yakunlaydi.

3-misol. Tengsizlikning yechimini toping
||x-1|-5|>3-2x

Yechim:
Bizda moduldan modul bilan tengsizlik mavjud. Bunday tengsizliklar chuqurroq joylashgan modullardan boshlab, modullarni joylashtirish natijasida aniqlanadi.

X-1 submodul funksiyasi x=1 da nolga aylantiriladi. 1 dan kattaroq kichikroq qiymatlar uchun u salbiy va x>1 uchun ijobiy hisoblanadi. Bunga asoslanib, biz ichki modulni kengaytiramiz va intervallarning har birida tengsizlikni ko'rib chiqamiz.

Birinchidan, minus cheksizlikdan birgacha bo'lgan intervalni ko'rib chiqing

Submodulyar funksiya x=-4 da nolga teng. Kichikroq qiymatlarda u ijobiy, kattaroq qiymatlarda esa salbiy. X uchun modulni kengaytiramiz<-4:

Biz ko'rib chiqayotgan maydon bilan kesishgan joyda biz yechimlar to'plamini olamiz

Keyingi qadam modulni (-4;1) oraliqda kengaytirishdir.

Modulning kengayish maydonini hisobga olgan holda, biz yechim oralig'ini olamiz

Esda tuting: agar modullar bilan bunday tartibsizliklarda siz umumiy nuqta bilan chegaradosh ikkita intervalga ega bo'lsangiz, unda, qoida tariqasida, bu ham yechimdir.

Buning uchun siz shunchaki tekshirishingiz kerak.

Bunda x=-4 nuqtani almashtiramiz.

Demak, x=-4 yechimdir.
X>1 uchun ichki modulni kengaytiramiz

X uchun submodulyar funksiya manfiy<6.
Biz olgan modulni kengaytiramiz

(1;6) intervalli kesimdagi bu shart yechimlarning bo'sh to'plamini beradi.

x>6 uchun tengsizlikni olamiz

Shuningdek, biz bo'sh to'plamga ega bo'ldik.
Yuqoridagilarning barchasini hisobga olgan holda, yagona yechim modulli tengsizliklar keyingi interval bo'ladi.

Kvadrat tenglamalarni o'z ichiga olgan modulli tengsizliklar

4-misol. Tengsizlikning yechimini toping
|x^2+3x|>=2-x^2

Yechim:
Submodulyar funksiya x=0, x=-3 nuqtalarda yo‘qoladi. Minus birni oddiy almashtirish

(-3;0) oraliqda noldan kichik va undan tashqarida musbat ekanligini aniqlaymiz.
Keling, modulni submodulyar funksiya ijobiy bo'lgan sohalarda kengaytiraylik

Qayerda joylashgan hududlarni aniqlash qoladi kvadrat funksiyasi ijobiy. Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlaymiz

Qulaylik uchun (-2;1/2) intervalga tegishli x=0 nuqtani almashtiramiz. Funktsiya bu oraliqda manfiy, ya'ni yechim quyidagi x to'plamlar bo'ladi

Bu erda yechimlari bo'lgan joylarning qirralari qavslar bilan ko'rsatilgan, bu quyidagi qoidani hisobga olgan holda ataylab qilingan;

ESDA OLING: Agar modulli tengsizlik yoki oddiy tengsizlik qat'iy bo'lsa, topilgan maydonlarning qirralari yechim emas, lekin tengsizliklar qat'iy bo'lmasa (), u holda qirralarning yechimlari (kvadrat qavslar bilan belgilanadi).

Ushbu qoida ko'plab o'qituvchilar tomonidan qo'llaniladi: agar qat'iy tengsizlik berilsa va hisob-kitoblar paytida siz yechimga kvadrat qavs ([,]) yozsangiz, ular avtomatik ravishda buni noto'g'ri javob deb hisoblashadi. Bundan tashqari, sinov paytida, agar modullar bilan qat'iy bo'lmagan tengsizlik berilgan bo'lsa, u holda echimlar orasida kvadrat qavsli joylarni qidiring.

(-3;0) oraliqda modulni kengaytirib, biz funktsiya belgisini teskarisiga o'zgartiramiz.

Tengsizlikni oshkor qilish sohasini hisobga olgan holda, yechim shaklga ega bo'ladi

Oldingi maydon bilan birgalikda bu ikki yarim intervalni beradi

5-misol. Tengsizlikning yechimini toping
9x^2-|x-3|>=9x-2

Yechim:
X=3 nuqtada submodulyar funksiyasi nolga teng bo'lgan qat'iy bo'lmagan tengsizlik berilgan. Kichikroq qiymatlar uchun bu salbiy, kattaroq qiymatlar uchun esa ijobiy. Modulni x oralig'ida kengaytiring<3.

Tenglamaning diskriminantini topish

va ildizlar

Nolinchi nuqtani almashtirsak, [-1/9;1] oraliqda kvadratik funktsiya manfiy ekanligini, shuning uchun interval yechim ekanligini aniqlaymiz. Keyin modulni x>3 da kengaytiramiz

Bugun, do'stlar, snot yoki sentimentallik bo'lmaydi. Buning o'rniga, men sizni hech qanday savolsiz, 8-9-sinf algebra kursidagi eng dahshatli raqiblardan biri bilan jangga yuboraman.

Ha, siz hamma narsani to'g'ri tushundingiz: biz modulli tengsizliklar haqida gapiramiz. Biz to'rtta asosiy texnikani ko'rib chiqamiz, ular yordamida siz bunday muammolarning 90% ni hal qilishni o'rganasiz. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Xo'sh, biz ular haqida alohida darsda gaplashamiz. :)

Biroq, har qanday texnikani tahlil qilishdan oldin, siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan ikkita faktni eslatib o'tmoqchiman. Aks holda, bugungi dars materialini umuman tushunmaslik xavfi bor.

Siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan narsa

Kapitan Obviousness modulli tengsizliklarni hal qilish uchun siz ikkita narsani bilishingiz kerakligini ko'rsatmoqda:

1. Tengsizliklar qanday hal qilinadi;
2. Modul nima?

Ikkinchi nuqtadan boshlaylik.

Modul ta'rifi

Bu erda hamma narsa oddiy. Ikkita ta'rif mavjud: algebraik va grafik. Boshlash uchun - algebraik:

Ta'rif. $x$ sonining moduli yoki agar u noanfiy bo'lsa, uning o'zi yoki agar asl $x$ hali ham manfiy bo'lsa, unga qarama-qarshi sondir.

Bu shunday yozilgan:

\[\chap| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \o'ng.\]

Gapirmoqda oddiy tilda, modul "minussiz son" dir. Va aynan shu ikkilik (ba'zi joylarda siz asl raqam bilan hech narsa qilishingiz shart emas, boshqalarida esa qandaydir minusni olib tashlashingiz kerak), bu erda boshlang'ich talabalar uchun barcha qiyinchilik yotadi.

Geometrik ta'rif ham mavjud. Buni bilish ham foydalidir, lekin biz unga faqat murakkab va ba'zi maxsus holatlarda murojaat qilamiz, bu erda geometrik yondashuv algebraikdan ko'ra qulayroqdir (spoiler: bugungi kunda emas).

Ta'rif. Raqamlar qatorida $a$ nuqtasi belgilansin. Keyin modul $\left| x-a \right|$ - bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtagacha bo'lgan masofa.

Agar siz rasm chizsangiz, siz shunga o'xshash narsani olasiz:

Grafik modul ta'rifi

Qanday bo'lmasin, modul ta'rifidan u darhol kelib chiqadi asosiy xususiyat: sonning moduli har doim manfiy bo'lmagan miqdordir. Bu haqiqat bizning bugungi hikoyamiz orqali qizil ip bo'ladi.

Tengsizliklarni yechish. Intervalli usul

Endi tengsizliklarni ko'rib chiqaylik. Ularning ko'pi bor, ammo bizning vazifamiz hech bo'lmaganda ulardan eng oddiyini hal qilishdir. Pastga tushadiganlar chiziqli tengsizliklar, shuningdek, interval usuliga.

Menda ushbu mavzu bo'yicha ikkita katta dars bor (Aytgancha, juda, JUDA foydali - men ularni o'rganishni tavsiya qilaman):

1. Tengsizliklar uchun intervalli usul (ayniqsa, videoni tomosha qiling);
2. Kasrli ratsional tengsizliklar - bu juda keng ko'lamli dars, ammo undan keyin sizda hech qanday savol bo'lmaydi.

Agar siz bularning barchasini bilsangiz, agar "tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz" iborasi o'zingizni devorga urish istagini uyg'otmasa, unda siz tayyorsiz: darsning asosiy mavzusiga do'zaxga xush kelibsiz :).

1. “Modul funksiyadan kichik” shaklidagi tengsizliklar

Bu modullar bilan bog'liq eng keng tarqalgan muammolardan biridir. Shaklning tengsizligini yechish uchun talab qilinadi:

\[\chap| f\o'ng| \ltg\]

$f$ va $g$ funktsiyalari har qanday bo'lishi mumkin, lekin odatda ular polinomlardir. Bunday tengsizliklarga misollar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \o'ng| \lt x+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]

Ularning barchasini quyidagi sxema bo'yicha bir qatorda tom ma'noda hal qilish mumkin:

\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(tekislang) \o'ng.\o'ng)\]

Biz moduldan xalos bo'lganimizni ko'rish oson, lekin buning evaziga biz qo'sh tengsizlikni olamiz (yoki bu bir xil narsa, ikkita tengsizlik tizimi). Ammo bu o'tish mutlaqo hamma narsani hisobga oladi mumkin bo'lgan muammolar: modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; salbiy bo'lsa, u hali ham ishlaydi; va $f$ yoki $g$ oʻrniga eng noadekvat funksiya bilan ham usul ishlaydi.

Tabiiyki, savol tug'iladi: oddiyroq bo'lishi mumkin emasmi? Afsuski, bu mumkin emas. Bu modulning butun nuqtasi.

Biroq, falsafalash bilan kifoya. Keling, bir nechta muammolarni hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\]

Yechim. Shunday qilib, bizning oldimizda "modul kamroq" shaklidagi klassik tengsizlik bor - hatto o'zgartirish uchun hech narsa yo'q. Biz algoritmga muvofiq ishlaymiz:

\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3 \o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hizalang)\]

Oldindan "minus" qo'yilgan qavslarni ochishga shoshilmang: shoshqaloqlik tufayli siz haqoratli xatoga yo'l qo'yishingiz mumkin.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

Muammo ikkita elementar tengsizlikka qisqartirildi. Parallel sonlar toʻgʻrida ularning yechimlarini koʻrsatamiz:

Ko'pchilikning kesishishi

Bu to'plamlarning kesishishi javob bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]

Yechim. Bu vazifa biroz qiyinroq. Birinchidan, ikkinchi atamani o'ngga siljitish orqali modulni ajratib olaylik:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Shubhasiz, bizda yana "modul kichikroq" ko'rinishidagi tengsizlik mavjud, shuning uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan algoritm yordamida moduldan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi e'tibor bering: kimdir mana shu qavslar bilan men biroz buzuqman, deb aytadi. Lekin yana bir bor eslatib o'tamanki, bizning asosiy maqsadimiz tengsizlikni to‘g‘ri yeching va javobini oling. Keyinchalik, ushbu darsda tasvirlangan hamma narsani mukammal o'zlashtirganingizdan so'ng, uni o'zingiz xohlaganingizcha buzishingiz mumkin: qavslarni oching, minuslar qo'shing va hokazo.

Boshlash uchun biz chap tarafdagi ikkita minusdan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi juft tengsizlikdagi barcha qavslarni ochamiz:

Keling, qo'sh tengsizlikka o'tamiz. Bu safar hisob-kitoblar jiddiyroq bo'ladi:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]

Ikkala tengsizlik kvadratik bo'lib, intervalli usul yordamida yechilishi mumkin (shuning uchun men aytaman: agar bu nima ekanligini bilmasangiz, modullarni hali qabul qilmaganingiz ma'qul). Birinchi tengsizlikdagi tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \o'ng)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, chiqish to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama bo'lib, uni elementar usulda echish mumkin. Endi sistemaning ikkinchi tengsizligini ko'rib chiqamiz. U erda siz Vyeta teoremasini qo'llashingiz kerak bo'ladi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end (tekislash)\]

Olingan raqamlarni ikkita parallel chiziqda belgilaymiz (birinchi tengsizlik uchun alohida, ikkinchisi uchun alohida):

Shunga qaramay, biz tengsizliklar tizimini yechayotganimiz sababli, bizni soyali to'plamlarning kesishishi qiziqtiradi: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu javob.

Javob: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Menimcha, ushbu misollardan keyin yechim sxemasi juda aniq:

1. Boshqa barcha shartlarni tengsizlikning qarama-qarshi tomoniga o'tkazish orqali modulni ajratib oling. Shunday qilib, $\left| ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz f\o'ng| \ltg$.
2. Ushbu tengsizlikni yuqorida tavsiflangan sxema bo'yicha moduldan qutulish orqali hal qiling. Bir nuqtada, qo'shaloq tengsizlikdan ikkita mustaqil ifoda tizimiga o'tish kerak bo'ladi, ularning har biri allaqachon alohida yechilishi mumkin.
3. Va nihoyat, bu ikkita mustaqil iboraning yechimlarini kesishish qoladi - va biz yakuniy javobni olamiz.

Modul funktsiyadan katta bo'lsa, xuddi shunday algoritm quyidagi turdagi tengsizliklar uchun mavjud. Biroq, bir nechta jiddiy "lekin" bor. Biz hozir bu "lekin" haqida gaplashamiz.

2. “Moduli funksiyadan katta” shaklidagi tengsizliklar.

Ular shunday ko'rinadi:

\[\chap| f\o'ng| \gtg\]

Avvalgisiga o'xshashmi? Ga o'xshaydi. Va shunga qaramay, bunday muammolar butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi. Rasmiy ravishda, sxema quyidagicha:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizalang) \o'ng.\]

Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz:

1. Birinchidan, biz oddiygina modulni e'tiborsiz qoldiramiz va odatdagi tengsizlikni hal qilamiz;
2. Keyin, mohiyatiga ko'ra, biz modulni minus belgisi bilan kengaytiramiz va keyin tengsizlikning ikkala tomonini -1 ga ko'paytiramiz, menda belgi bor.

Bunday holda, variantlar kvadrat qavs bilan birlashtiriladi, ya'ni. Bizning oldimizda ikkita talabning kombinatsiyasi mavjud.

Yana bir bor e'tibor bering: bu tizim emas, balki butunlikdir javobda to'plamlar kesishgan emas, balki birlashtirilgan. Bu avvalgi nuqtadan tubdan farq qiladi!

Umuman olganda, ko'plab talabalar kasaba uyushmalari va chorrahalar bilan aralashib ketishadi, shuning uchun keling, bu masalani bir marta va umuman hal qilaylik:

• "∪" - ittifoq belgisi. Aslida, bu bizga kelgan stilize "U" harfi inglizchada va "Union" ning qisqartmasi, ya'ni. "Assotsiatsiyalar".
• "∩" - kesishish belgisi. Bu axlat hech qayerdan kelmadi, balki shunchaki "∪" ga qarshi nuqta sifatida paydo bo'ldi.

Eslab qolish osonroq bo'lishi uchun ko'zoynak yasash uchun oyoqlarini shu belgilarga torting (meni endi giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda ayblamang: agar siz ushbu darsni jiddiy o'rganayotgan bo'lsangiz, demak siz allaqachon giyohvandsiz):

To'plamlarning kesishishi va birlashuvi o'rtasidagi farq

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu quyidagilarni anglatadi: birlashma (jami) ikkala to'plamning elementlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun u ularning har biridan kam emas; lekin kesishma (tizim) faqat birinchi to'plamda ham, ikkinchisida ham bir vaqtning o'zida bo'lgan elementlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun to'plamlarning kesishishi hech qachon manba to'plamlaridan katta bo'lmaydi.

Shunday qilib, aniqroq bo'ldimi? Bu ajoyib. Keling, amaliyotga o'tamiz.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]

Yechim. Biz sxema bo'yicha harakat qilamiz:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \begin(hizala) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\\end(hizalang) \ to'g'ri.\]

Populyatsiyadagi har bir tengsizlikni hal qilamiz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizalang) \o'ngga.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Biz har bir natija to'plamini raqamlar qatorida belgilaymiz va keyin ularni birlashtiramiz:

To'plamlar ittifoqi

Javob $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ bo'lishi aniq.

Javob: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\]

Yechim. Nima bopti? Hech narsa - hammasi bir xil. Biz modulli tengsizlikdan ikkita tengsizliklar to'plamiga o'tamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(hizala) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Biz har bir tengsizlikni hal qilamiz. Afsuski, u erda ildizlar juda yaxshi bo'lmaydi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end (tekislash)\]

Ikkinchi tengsizlik ham biroz yovvoyi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end (tekislash)\]

Endi siz bu raqamlarni ikkita o'qda belgilashingiz kerak - har bir tengsizlik uchun bitta o'q. Biroq, nuqtalarni to'g'ri tartibda belgilashingiz kerak: dan kattaroq raqam, qanchalik uzoqroq bo'lsa, biz nuqtani o'ngga siljitamiz.

Va bu erda bizni sozlash kutmoqda. Agar $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlari bilan hamma narsa aniq bo'lsa (birinchi raqamdagi shartlar) kasr sekundning numeratoridagi hadlardan kichik, shuning uchun yig'indi ham kichik bo'ladi), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) raqamlari bilan (21))(2)$ ham hech qanday qiyinchiliklar bo'lmaydi (ijobiy raqam aniqroq salbiy), keyin oxirgi juftlik bilan hamma narsa unchalik aniq emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raqamli chiziqlardagi nuqtalarning joylashishi va aslida javob bu savolga javobga bog'liq bo'ladi.

Shunday qilib, keling, taqqoslaylik:

\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]

Biz ildizni ajratib oldik, tengsizlikning ikkala tomonida manfiy bo'lmagan raqamlarni oldik, shuning uchun biz ikkala tomonni kvadratga solish huquqiga egamiz:

\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]

Menimcha, $4\sqrt(13) \gt 3$, shuning uchun $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$ bo'lsa, o'qlardagi yakuniy nuqtalar quyidagicha joylashtiriladi:

Xunuk ildizlar ishi

Sizga eslatib o'tamanki, biz to'plamni hal qilyapmiz, shuning uchun javob soyali to'plamlarning kesishmasi emas, balki birlashma bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Ko'rib turganingizdek, bizning sxemamiz ikkalasi uchun ham juda yaxshi ishlaydi oddiy vazifalar, va juda qiyin bo'lganlar uchun. yagona narsa " zaiflik"Ushbu yondashuvda siz to'g'ri taqqoslashingiz kerak irratsional sonlar(va menga ishoning: bu faqat ildizlar emas). Ammo taqqoslash masalalariga alohida (va juda jiddiy) dars ajratiladi. Va biz davom etamiz.

3. Salbiy bo'lmagan "dumlar" bilan tengsizliklar

Endi biz eng qiziqarli qismga o'tamiz. Bu shakldagi tengsizliklar:

\[\chap| f\o'ng| \gt\left| g\o'ng|\]

Umuman olganda, biz hozir gaplashadigan algoritm faqat modul uchun to'g'ri. U chap va o'ngda kafolatlangan salbiy bo'lmagan ifodalar mavjud bo'lgan barcha tengsizliklarda ishlaydi:

Bu vazifalar bilan nima qilish kerak? Faqat esda tuting:

Salbiy bo'lmagan "quyruq" bilan tengsizliklarda ikkala tomon ham har qanday tabiiy kuchga ko'tarilishi mumkin. Hech qanday qo'shimcha cheklovlar bo'lmaydi.

Avvalo, biz kvadratlashtirishga qiziqamiz - u modullar va ildizlarni yoqib yuboradi:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ chap (\ sqrt (f) \ o'ng)) ^ (2)) = f. \\\end (tekislash)\]

Buni kvadratning ildizini olish bilan adashtirmang:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]

Talaba modul o'rnatishni unutganida son-sanoqsiz xatolarga yo'l qo'yildi! Ammo bu butunlay boshqacha hikoya (bular, go'yo irratsional tenglamalar), shuning uchun biz hozir bunga kirmaymiz. Keling, bir nechta muammolarni yaxshiroq hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]

Yechim. Keling, darhol ikkita narsaga e'tibor beraylik:

1. Bu qat'iy tengsizlik emas. Raqam chizig'idagi nuqtalar teshiladi.
2. Tengsizlikning ikkala tomoni ham manfiy emas (bu modulning xususiyati: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Shunday qilib, moduldan xalos bo'lish va muammoni odatiy interval usuli yordamida hal qilish uchun biz tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga olamiz:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\\end (tekislash)\]

Oxirgi bosqichda men biroz aldadim: modulning tengligidan foydalanib, atamalar ketma-ketligini o'zgartirdim (aslida $1-2x$ ifodasini -1 ga ko'paytirdim).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\chap(x+2 \ o'ng)\o'ng)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli yordamida hal qilamiz. Tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end (tekislash)\]

Topilgan ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz. Yana bir bor: barcha nuqtalar soyali, chunki asl tengsizlik qat'iy emas!

Modul belgisidan qutulish

Ayniqsa, o'jar bo'lganlar uchun eslatib o'taman: biz tenglamaga o'tishdan oldin yozilgan oxirgi tengsizlikdan belgilarni olamiz. Va biz bir xil tengsizlikda talab qilinadigan maydonlarni bo'yab qo'yamiz. Bizning holatda bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, endi hammasi tugadi. Muammo hal qilindi.

Javob: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]

Yechim. Biz hamma narsani xuddi shunday qilamiz. Men izoh bermayman - faqat harakatlar ketma-ketligiga qarang.

Kvadrati:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Interval usuli:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz bor:

Javob butun intervaldir

Javob: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Oxirgi vazifa haqida kichik eslatma. Mening talabalarimdan biri aniq ta'kidlaganidek, ushbu tengsizlikdagi ikkala submodulli iboralar ham ijobiydir, shuning uchun modul belgisi sog'likka zarar bermasdan qoldirilishi mumkin.

Ammo bu butunlay boshqacha fikrlash darajasi va boshqa yondashuv - uni shartli ravishda oqibatlar usuli deb atash mumkin. Bu haqda - alohida darsda. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz va har doim ishlaydigan universal algoritmni ko'rib chiqamiz. Oldingi barcha yondashuvlar kuchsiz bo'lsa ham :)

4. Variantlarni sanab o'tish usuli

Agar bu usullarning barchasi yordam bermasa-chi? Agar tengsizlikni salbiy bo'lmagan quyruqlarga qisqartirish mumkin bo'lmasa, modulni izolyatsiya qilishning iloji bo'lmasa, umuman olganda og'riq, qayg'u, melankolik bo'lsa?

Keyin barcha matematikaning "og'ir artilleriyasi" sahnaga chiqadi - shafqatsiz kuch usuli. Modulli tengsizliklarga nisbatan quyidagicha ko'rinadi:

1. Barcha submodulli ifodalarni yozing va ularni nolga tenglashtiring;
2. Olingan tenglamalarni yeching va bitta son qatorida topilgan ildizlarni belgilang;
3. To'g'ri chiziq bir nechta bo'limlarga bo'linadi, ularning ichida har bir modul o'zgarmas belgiga ega va shuning uchun noyob tarzda namoyon bo'ladi;
4. Har bir bunday bo'lim bo'yicha tengsizlikni yeching (ishonchlilik uchun 2-bosqichda olingan ildiz-chegaralarni alohida ko'rib chiqishingiz mumkin). Natijalarni birlashtiring - bu javob bo'ladi. :)

Qanday? Zaifmi? Osonlik bilan! Faqat uzoq vaqt. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]

Yechim. Bu ahmoqlik $\left| kabi tengsizliklarga tushmaydi f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt \chap| g \right|$, shuning uchun biz oldinga harakat qilamiz.

Biz submodulyar iboralarni yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va ildizlarni topamiz:

\[\boshlang(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \\ & x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\\end (tekislash)\]

Hammasi bo'lib, bizda raqamlar chizig'ini uchta bo'limga ajratadigan ikkita ildiz bor, ular ichida har bir modul o'ziga xos tarzda ochiladi:

Submodulyar funksiyalarning raqamlar qatorini nolga bo'lish

Keling, har bir bo'limni alohida ko'rib chiqaylik.

1. $x \lt -2$ bo'lsin. Keyin ikkala submodulli ibora ham manfiy bo'lib, asl tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizala)\]

Bizda juda oddiy cheklov bor. Keling, uni $x \lt -2$ degan dastlabki taxmin bilan kesishamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Shubhasiz, $x$ o'zgaruvchisi bir vaqtning o'zida -2 dan kichik va 1,5 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bu sohada hech qanday yechim yo'q.

1.1. Chegaraviy holatni alohida ko'rib chiqaylik: $x=-2$. Keling, bu raqamni asl tengsizlikka almashtiramiz va tekshiramiz: bu to'g'rimi?

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \chap| -3\o'ng|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng ko'rsatkich \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Ko'rinib turibdiki, hisob-kitoblar zanjiri bizni noto'g'ri tengsizlikka olib keldi. Demak, asl tengsizlik ham noto'g'ri va $x=-2$ javobga kiritilmagan.

2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bo'lsin. Chap modul allaqachon "ortiqcha" bilan ochiladi, lekin o'ng modul hali ham "minus" bilan ochiladi. Bizda ... bor:

\[\boshlang(hatlang) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end (tekislash)\]

Biz yana asl talab bilan kesishamiz:

\[\chap\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Va yana, yechimlar to'plami bo'sh, chunki ikkalasi ham -2,5 dan kichik va -2 dan katta bo'lgan raqamlar yo'q.

2.1. Va yana maxsus holat: $x=1$. Biz asl tengsizlikni almashtiramiz:

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \left| 3\o'ng| \lt \chap| 0\o'ng|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Oldingi "maxsus holat"ga o'xshab, javobda $x=1$ raqami aniq kiritilmagan.

3. Qatorning oxirgi qismi: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan ochiladi:

\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]

Va yana topilgan to'plamni asl cheklov bilan kesib o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty \o'ng)\ ]

Va nihoyat! Biz javob bo'ladigan intervalni topdik.

Javob: $x\in \left(4.5;+\infty \right)$

Va nihoyat, haqiqiy muammolarni hal qilishda sizni ahmoqona xatolardan qutqarishi mumkin bo'lgan bir eslatma:

Modulli tengsizliklarni hal qilish odatda raqamlar chizig'idagi uzluksiz to'plamlarni - intervallarni va segmentlarni ifodalaydi. Izolyatsiya qilingan nuqtalar kamroq tarqalgan. Va hatto kamroq hollarda, yechimning chegarasi (segmentning oxiri) ko'rib chiqilayotgan diapazonning chegarasiga to'g'ri keladi.

Binobarin, agar javobda chegaralar (xuddi shu "maxsus holatlar") qo'shilmagan bo'lsa, bu chegaralarning chap va o'ng tomonidagi joylar javobga deyarli kiritilmaydi. Va aksincha: chegara javobga kirdi, ya'ni uning atrofidagi ba'zi joylar ham javoblar bo'ladi.

Yechimlaringizni ko'rib chiqishda buni yodda saqlang.

Raqamlar moduli bu raqamning o'zi manfiy bo'lmasa, yoki manfiy bo'lsa, qarama-qarshi belgisi bilan bir xil raqam deyiladi.

Masalan, 6 sonining moduli 6 ga, -6 sonining moduli ham 6 ga teng.

Ya'ni, sonning moduli deganda, uning belgisini hisobga olmagan holda, bu sonning mutlaq qiymati, mutlaq qiymati tushuniladi.

U quyidagicha belgilanadi: |6|, | X|, |A| va hokazo.

("Raqam moduli" bo'limida batafsil ma'lumot).

Modulli tenglamalar.

1-misol . Tenglamani yeching|10 X - 5| = 15.

Yechim.

Qoidaga ko'ra, tenglama ikkita tenglamaning kombinatsiyasiga ekvivalentdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Biz qaror qilamiz:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Javob: X 1 = 2, X 2 = -1.

2-misol . Tenglamani yeching|2 X + 1| = X + 2.

Yechim.

Modul manfiy bo'lmagan son bo'lgani uchun X+ 2 ≥ 0. Shunga koʻra:

X ≥ -2.

Keling, ikkita tenglama tuzamiz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Biz qaror qilamiz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ikkala raqam ham -2 dan katta. Demak, ikkalasi ham tenglamaning ildizidir.

Javob: X 1 = -1, X 2 = 1.

3-misol . Tenglamani yeching

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Yechim.

Agar maxraj nol bo'lmasa, tenglama mantiqiy bo'ladi - bu agar bo'lsa X≠ 1. Keling, ushbu shartni hisobga olamiz. Bizning birinchi harakatimiz oddiy - biz faqat kasrdan xalos bo'lmaymiz, balki modulni sof shaklda olish uchun uni o'zgartiramiz:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Endi biz tenglamaning chap tomonida modul ostida faqat ifodaga egamiz. Davom etishga ruxsat.
Raqamning moduli manfiy bo'lmagan son - ya'ni u noldan katta yoki nolga teng bo'lishi kerak. Shunga ko'ra, biz tengsizlikni hal qilamiz:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Shunday qilib, bizda ikkinchi shart mavjud: tenglamaning ildizi kamida 3/4 bo'lishi kerak.

Qoidaga muvofiq, biz ikkita tenglama to'plamini tuzamiz va ularni yechamiz:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Biz ikkita javob oldik. Keling, ular asl tenglamaning ildizlari ekanligini tekshiramiz.

Bizda ikkita shart bor edi: tenglamaning ildizi 1 ga teng bo'lishi mumkin emas va u kamida 3/4 bo'lishi kerak. Ya'ni X ≠ 1, X≥ 3/4. Bu shartlarning ikkalasi ham olingan ikkita javobdan faqat bittasiga mos keladi - 2 raqami. Demak, faqat shu asl tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob: X = 2.

Modulli tengsizliklar.

1-misol . Tengsizlikni yeching| X - 3| < 4

Yechim.

Modul qoidasi quyidagilarni bildiradi:

|A| = A, Agar A ≥ 0.

|A| = -A, Agar A < 0.

Modulda manfiy bo'lmagan va manfiy raqamlar bo'lishi mumkin. Shunday qilib, biz ikkala holatni ham ko'rib chiqishimiz kerak: X- 3 ≥ 0 va X - 3 < 0.

1) Qachon X- 3 ≥ 0 bo'lsa, bizning dastlabki tengsizligimiz avvalgidek qoladi, faqat modul belgisisiz:
X - 3 < 4.

2) Qachon X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Qavslarni ochib, biz quyidagilarni olamiz:

-X + 3 < 4.

Shunday qilib, ushbu ikki shartdan biz ikkita tengsizlik tizimini birlashtirishga keldik:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Keling, ularni hal qilaylik:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Shunday qilib, bizning javobimiz ikkita to'plamning birlashmasi:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Eng kichigini aniqlang va eng yuqori qiymat. Bular -1 va 7. Bundan tashqari X-1 dan katta, lekin 7 dan kichik.
Bundan tashqari, X≥ 3. Bu tengsizlikning yechimi -1 dan 7 gacha bo'lgan barcha sonlar to'plami ekanligini anglatadi, bu ekstremal raqamlar bundan mustasno.

Javob: -1 < X < 7.

Yoki: X ∈ (-1; 7).

Qo'shimchalar.

1) oddiyroq va bor qisqa yo'l Bizning tengsizligimiz uchun echimlar - grafik. Buning uchun siz gorizontal o'qni chizishingiz kerak (1-rasm).

Ifoda | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3-bandga to'rt birlikdan kam. Biz o'qda 3 raqamini belgilaymiz va uning chap va o'ng tomonida 4 ta bo'linmani hisoblaymiz. Chap tomonda -1 nuqtaga, o'ngda - 7 nuqtaga kelamiz. Shunday qilib, nuqtalar X biz ularni hisoblamasdan ko'rdik.

Bundan tashqari, tengsizlik shartiga ko'ra, -1 va 7 ning o'zi echimlar to'plamiga kirmaydi. Shunday qilib, biz javob olamiz:

1 < X < 7.

2) Lekin grafik usuldan ham oddiyroq bo'lgan yana bir yechim bor. Buning uchun tengsizligimiz quyidagi shaklda taqdim etilishi kerak:

4 < X - 3 < 4.

Axir modul qoidasiga ko'ra shunday bo'ladi. Manfiy bo'lmagan 4 va shunga o'xshash manfiy raqam -4 tengsizlikni yechish chegaralari hisoblanadi.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

2-misol . Tengsizlikni yeching| X - 2| ≥ 5

Yechim.

Ushbu misol avvalgisidan sezilarli darajada farq qiladi. Chap tomoni 5 dan katta yoki 5 ga teng. C geometrik nuqta Nuqtai nazardan, tengsizlikning yechimi 2-banddan 5 birlik yoki undan ortiq masofada joylashgan barcha raqamlardir (2-rasm). Grafik shuni ko'rsatadiki, bularning barchasi -3 dan kichik yoki teng bo'lgan va 7 dan katta yoki teng bo'lgan raqamlardir. Bu biz allaqachon javobni olganimizni anglatadi.

Javob: -3 ≥ X ≥ 7.

Yo'l davomida biz bir xil tengsizlikni teskari belgi bilan bo'sh atamani chapga va o'ngga o'zgartirish orqali hal qilamiz:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Javob bir xil: -3 ≥ X ≥ 7.

Yoki: X ∈ [-3; 7]

Misol hal qilindi.

3-misol . Tengsizlikni yeching 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Yechim.

Raqam X balki ijobiy raqam, ham salbiy, ham nol. Shuning uchun biz uchta holatni hisobga olishimiz kerak. Ma'lumki, ular ikkita tengsizlikda hisobga olinadi: X≥ 0 va X < 0. При X≥ 0 bo'lsa, biz dastlabki tengsizlikni faqat modul belgisisiz qayta yozamiz:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Endi ikkinchi holat haqida: agar X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Qavslarni kengaytirish:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Shunday qilib, biz ikkita tenglama tizimini oldik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Biz tizimlardagi tengsizliklarni echishimiz kerak - bu ikkita kvadrat tenglamaning ildizlarini topishimiz kerakligini anglatadi. Buning uchun tengsizliklarning chap tomonlarini nolga tenglashtiramiz.

Birinchisidan boshlaylik:

6X 2 - X - 2 = 0.

Kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin - "bo'limga qarang" Kvadrat tenglama" Biz darhol javobni nomlaymiz:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Birinchi tengsizliklar tizimidan biz dastlabki tengsizlikning yechimi -1/2 dan 2/3 gacha bo'lgan barcha sonlar to'plami ekanligini bilib olamiz. Biz yechimlar birlashmasini yozamiz X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Endi ikkinchi kvadrat tenglamani yechamiz:

6X 2 + X - 2 = 0.

Uning ildizlari:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Xulosa: qachon X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Keling, ikkita javobni birlashtiramiz va yakuniy javobni olamiz: yechim -2/3 dan 2/3 gacha bo'lgan barcha raqamlar to'plami, shu jumladan bu ekstremal raqamlar.

Javob: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Yoki: X ∈ [-2/3; 2/3].

Matematika ilm-fan hikmatining ramzidir,

ilmiy qat'iylik va soddalik modeli,

ilm-fandagi mukammallik va go'zallik standarti.

Rus faylasufi, professor A.V. Voloshinov

Modulli tengsizliklar

Maktab matematikasida yechish eng qiyin masalalar tengsizlikdir, modul belgisi ostida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan. Bunday tengsizliklarni muvaffaqiyatli yechish uchun siz modulning xususiyatlarini yaxshi bilishingiz va ulardan foydalanish malakasiga ega bo'lishingiz kerak.

Asosiy tushunchalar va xususiyatlar

Haqiqiy sonning moduli (mutlaq qiymati). bilan belgilanadi va quyidagicha aniqlanadi:

Modulning oddiy xususiyatlari quyidagi munosabatlarni o'z ichiga oladi:

VA .

Eslatma, oxirgi ikki xususiyat har qanday juft daraja uchun amal qiladi.

Bundan tashqari, agar, qaerda, keyin va

Keyinchalik murakkab modul xususiyatlari, modulli tenglama va tengsizliklarni yechishda unumli foydalanish mumkin, quyidagi teoremalar orqali ifodalanadi:

Teorema 1.Har qanday analitik funktsiyalar uchun Va tengsizlik haqiqatdir.

Teorema 2. Tenglik tengsizlikka teng.

Teorema 3. Tenglik tengsizlikka teng.

Maktab matematikasida eng ko'p uchraydigan tengsizliklar, modul belgisi ostida noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi, shakldagi tengsizliklardir va qayerda ba'zi ijobiy doimiy.

Teorema 4. Tengsizlik ikki barobar tengsizlikka teng, va tengsizlikning yechimitengsizliklar to‘plamini yechishgacha kamaytiradi Va .

Bu teorema 6 va 7 teoremalarning maxsus holatidir.

Murakkab tengsizliklar, modulni o'z ichiga olgan shakl tengsizliklari, Va .

Bunday tengsizliklarni yechish usullarini quyidagi uchta teorema yordamida shakllantirish mumkin.

Teorema 5. Tengsizlik ikki tengsizliklar sistemasining birikmasiga teng

Men (1)

Isbot. O'shandan beri

Bu (1) ning haqiqiyligini bildiradi.

Teorema 6. Tengsizlik tengsizliklar sistemasiga ekvivalentdir

Isbot. Chunki, keyin tengsizlikdan shunga amal qiladi . Bu shartda tengsizlikva bu holda ikkinchi tengsizliklar tizimi (1) mos kelmaydigan bo'lib chiqadi.

Teorema isbotlangan.

Teorema 7. Tengsizlik bir tengsizlik va ikkita tengsizliklar tizimining birikmasiga teng

Men (3)

Isbot. dan boshlab, keyin tengsizlik har doim bajarilgan, Agar .

Keling, keyin tengsizliktengsizlikka teng bo'ladi, undan ikkita tengsizliklar to'plami kelib chiqadi Va .

Teorema isbotlangan.

Keling, “Tengsizliklar, modul belgisi ostida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan."

Modulli tengsizliklarni yechish

Ko'pchilik oddiy usul modulli tengsizliklarni yechish usuli, modulni kengaytirishga asoslangan. Ushbu usul universaldir, ammo, umumiy holatda, uni ishlatish juda og'ir hisob-kitoblarga olib kelishi mumkin. Shuning uchun talabalar bunday tengsizliklarni yechishning boshqa (samarali) usullari va usullarini bilishlari kerak. Ayniqsa, teoremalarni qo'llash ko'nikmalariga ega bo'lish kerak, ushbu maqolada berilgan.

1-misol.Tengsizlikni yeching

. (4)

Yechim.Biz tengsizlikni (4) "klassik" usul - modullarni ochish usuli yordamida hal qilamiz. Shu maqsadda biz son o'qini ajratamiz nuqta va intervallarga ajrating va uchta holatni ko'rib chiqing.

1. Agar , u holda , , , tengsizlik (4) shaklni oladi yoki .

Bu erda masala ko'rib chiqilganligi sababli, u tengsizlikning yechimidir (4).

2. Agar, u holda (4) tengsizlikdan olamiz yoki . Intervallarning kesishmasidan boshlab Va bo'sh, u holda ko'rib chiqilayotgan yechimlar oralig'ida tengsizlik (4) bo'lmaydi.

3. Agar, u holda (4) tengsizlik shaklni oladi yoki . Bu aniq tengsizlikning yechimi hamdir (4).

Javob: , .

2-misol. Tengsizlikni yeching.

Yechim. Buni taxmin qilaylik. Chunki, u holda berilgan tengsizlik shaklni oladi yoki . O'shandan beri va bu erdan kelib chiqadi yoki .

Biroq, shuning uchun yoki.

3-misol. Tengsizlikni yeching

. (5)

Yechim. Chunki, u holda (5) tengsizlik tengsizliklarga ekvivalent bo'ladi yoki . Bu yerdan, 4-teoremaga muvofiq, bizda tengsizliklar to'plami mavjud Va .

Javob: , .

4-misol.Tengsizlikni yeching

. (6)

Yechim. belgilaylik. U holda (6) tengsizlikdan , yoki tengsizliklarni olamiz.

Bu yerdan, interval usuli yordamida, olamiz. Chunki, u holda bizda tengsizliklar tizimi mavjud

(7) sistemaning birinchi tengsizligi yechimi ikkita intervalning birlashuvidir Va, ikkinchi tengsizlikning yechimi esa qo‘sh tengsizlikdir. Bu shuni anglatadiki, (7) tengsizliklar sistemasining yechimi ikki intervalning birlashmasi ekanligini Va .

Javob: ,

5-misol.Tengsizlikni yeching

. (8)

Yechim. (8) tengsizlikni quyidagicha o'zgartiramiz:

Yoki .

Interval usulidan foydalanish, tengsizlikning yechimini olamiz (8).

Javob: .

Eslatma. Agar va 5-teorema shartlariga qo'ysak, ni olamiz.

6-misol. Tengsizlikni yeching

. (9)

Yechim. Tengsizlikdan (9) kelib chiqadi. (9) tengsizlikni quyidagicha aylantiramiz:

Yoki

O'shandan beri, keyin yoki.

Javob: .

7-misol.Tengsizlikni yeching

. (10)

Yechim. Buyon va , keyin yoki .

Ushbu munosabatda va tengsizlik (10) shaklni oladi

Yoki

. (11)

Buning ortidan yoki . Chunki, u holda (11) tengsizlik yoki ni ham bildiradi.

Javob: .

Eslatma. Agar biz 1-teoremani tengsizlikning chap tomoniga qo'llasak (10), keyin olamiz . Bundan va (10) tengsizlikdan kelib chiqadi, nima yoki . Chunki, u holda (10) tengsizlik shaklni oladi yoki .

8-misol. Tengsizlikni yeching

. (12)

Yechim. O'shandan beri (12) tengsizlikdan kelib chiqadi yoki . Biroq, shuning uchun yoki. Bu yerdan biz yoki .

Javob: .

9-misol. Tengsizlikni yeching

. (13)

Yechim. 7-teoremaga asosan (13) tengsizlikning yechimi yoki .

Hozir bo'lsin. Unday bo `lsa tengsizlik (13) shaklni oladi yoki .

Agar siz intervallarni birlashtirsangiz Va, u holda shaklning (13) tengsizligi yechimini olamiz.

10-misol. Tengsizlikni yeching

. (14)

Yechim.(14) tengsizlikni ekvivalent shaklda qayta yozamiz: . Agar biz 1-teoremani ushbu tengsizlikning chap tomoniga qo'llasak, tengsizlikka erishamiz.

Bundan va 1-teoremadan kelib chiqadi, har qanday qiymatlar uchun (14) tengsizlik bajariladi.

Javob: har qanday raqam.

11-misol. Tengsizlikni yeching

. (15)

Yechim. 1-teoremani tengsizlikning chap tomoniga qo‘llash (15), olamiz . Bu va tengsizlik (15) tenglamani beradi, shaklga ega bo'lgan.

3-teoremaga muvofiq, tenglama tengsizlikka teng. Bu erdan olamiz.

12-misol.Tengsizlikni yeching

. (16)

Yechim. (16) tengsizlikdan 4-teoremaga asosan tengsizliklar sistemasini olamiz

Tengsizlikni yechishda6-teoremadan foydalanamiz va tengsizliklar sistemasini olamizundan kelib chiqadi.

Tengsizlikni ko'rib chiqing. 7-teoremaga muvofiq, tengsizliklar to'plamini olamiz Va . Ikkinchi aholi tengsizligi har qanday real uchun amal qiladi.

Demak, (16) tengsizlikning yechimi.

13-misol.Tengsizlikni yeching

. (17)

Yechim. 1-teoremaga binoan biz yozishimiz mumkin

(18)

Tengsizlikni (17) hisobga olib, biz ikkala tengsizlik (18) tenglikka aylanadi degan xulosaga kelamiz, ya'ni. tenglamalar tizimi mavjud

3-teoremaga ko'ra, bu tenglamalar tizimi tengsizliklar tizimiga ekvivalentdir

yoki

14-misol.Tengsizlikni yeching

. (19)

Yechim. O'shandan beri. Keling, tengsizlikning ikkala tomonini (19) ifodaga ko'paytiramiz, bu har qanday qiymat uchun faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Keyin shaklning (19) tengsizligiga ekvivalent tengsizlikni olamiz

Bu yerdan biz yoki, qaerdan olamiz. O'shandan beri va u holda (19) tengsizlikning yechimi Va .

Javob: , .

Modulli tengsizliklarni echish usullarini chuqurroq o'rganish uchun darsliklarga murojaat qilishni tavsiya etamiz., tavsiya etilgan adabiyotlar roʻyxatida keltirilgan.

1. Kollejlarga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Tinchlik va ta'lim, 2013. – 608 b.

2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: tengsizliklarni yechish va isbotlash usullari. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 b.

3. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: nostandart usullar muammoni hal qilish. – M.: CD "Librocom" / URSS, 2017. – 296 b.

Hali ham savollaringiz bormi?

Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.