Контакты
Главная / Карниз

Что такое следует за числом. Обозначение натуральных чисел — Гипермаркет знаний

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

1, 2, 3, 4, 5…

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

  • 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
  • 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
  • 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.

Натуральные числа – натуральные числа это числа которые используются для счета предметов. Множество всех натуральных чисел иногда называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, и т.д.

Для записи натуральных чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью них, можно записать любое натуральное число. Такая запись чисел называется десятичной.

Натуральный ряд чисел можно продолжать бесконечно. Нет такого числа, которые было бы последнее, потому что к последнему числу всегда можно прибавить единицу и получится число, уже большее искомого. В таком случае говорят, что в натуральном ряду нет наибольшего числа.

Разряды натуральных чисел

В записи любого числа с помощью цифр, место на котором цифра стоит в числе имеет решающее значение. Например, цифра 3 означает: 3 единицы, если она будет стоять в числе на последнем месте; 3 десятка, если она будет стоять в числе на предпоследнем месте; 4 сотни, если она будет стоять в числе на третьем месте с конца.

Последняя цифра означает разряд единиц, предпоследняя – разряд десятков, 3 с конца –разряд сотен.

Однозначные и многозначные цифры

Если в каком-либо разряде числа стоит цифра 0, это означает, что в данном разряде нет единиц.

С помощью цифры 0 обозначается число ноль. Ноль это «ни одного».

Нуль не относится к натуральным числам. Хотя некоторые математики считаю иначе.

Если число состоит из одной цифры его называют однозначным, из двух – двузначным, из трех – трехзначными, и т.д.

Числа которые не являются однозначными еще называют многозначными.

Классы из цифр для чтения больших натуральных чисел

Для чтения больших натуральных чисел, число разбивают на группы из трех цифр, начиная с правого края. Эти группы называются классы.

Первые три цифры с правого края составляют класс единиц, следующие три – класс тысяч, следующие три – класс миллионов.

Миллион – тысяча тысяч, для записи используют сокращение млн. 1 млн. = 1 000 000.

Миллиард = это тысяча миллионов. Для записи используют сокращение млрд. 1 млрд. = 1 000 000 000.

Пример записи и чтения

Это число имеет в классе миллиардов 15 единиц, 389 единиц в классе миллионов, нуль единиц в классе тысяч и 286 единиц в ласе единиц.

Данное число читается так: 15 миллиардов 389 миллионов 286.

Читают числа слева направо. По очереди называют число единиц каждого класса и потом добавляют название класса.

1.1.Определение

Числа, применяемые людьми при счете, называются натуральными (например, один, два, три,…, сто, сто один,…, три тысячи двести двадцать один,…) Для записи натуральных чисел используют специальные знаки (символы), называемые цифрами .

В наше время принята десятичная система записи чисел . В десятичной системе (или способе) записи чисел используются арабские цифры. Это десять различных символов-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Наименьшее натуральное число - это число один, оно записывается при помощи десятичной цифры - 1. Следующее натуральное число получается из предыдущего (кроме единицы) добавлением 1 (единицы). Такое добавление можно делать много раз (бесконечное число раз). Это означает, что нет наибольшего натурального числа. Поэтому говорят, что ряд натуральных чисел неограничен или бесконечен, так как он не имеет конца. Натуральные числа записывают при помощи десятичных цифр.

1.2. Число «ноль»

Для обозначения отсутствия чего-либо используют число "ноль " или "нуль ". Его записывают при помощи цифры 0 (ноль). Например, в коробке все шары красные. Сколько среди них зеленых? - Ответ: ноль. Значит, зеленых шаров в коробке нет! Число 0 может означать, что что-то закончилось. Например, у Маши было 3 яблока. Двумя она поделилась с друзьями, одно съела сама. Значит, у неё осталось 0 (ноль) яблок, т.е. ни одного не осталось. Число 0 может означать, что что-то не случилось. Например, хоккейный матч Сборная России - Сборная Канады закончился со счетом 3:0 (читаем "три - ноль") в пользу сборной России. Значит, сборная России забила 3 гола, а сборная Канады 0 голов, не смогла забить ни одного гола. Надо помнить, что число ноль не является натуральным.

1.3. Запись натуральных чисел

В десятичном способе записи натурального числа каждая цифра может означать различные числа. Это зависит от места этой цифры в записи числа. Определённое место в записи натурального числа называется позицией. Поэтому десятичная система записи чисел называется позиционной. Рассмотрим десятичную запись 7777 числа семь тысяч семьсот семьдесят семь. В этой записи семь тысяч, семь сотен, семь десятков и семь единиц.

Каждое из мест (позиций) в десятичной записи числа называется разрядом . Каждые три разряда объединены в класс. Это объединение производится справа налево (с конца записи числа). Различные разряды и классы имеют собственные названия. Ряд натуральных чисел неограничен. Поэтому количество разрядов и классов также не ограничено (бесконечно ). Рассмотрим названия разрядов и классов на примере числа с десятичной записью

38 001 102 987 000 128 425:

Классы и разряды

квинтиллионы

сотни квинтиллионов

десятки квинтиллионов

квинтиллионы

квадриллионы

сотни квадриллионов

десятки квадриллионов

квадриллионы

триллионы

сотни триллионов

десятки триллионов

триллионы

миллиарды

сотни миллиардов

десятки миллиардов

миллиарды

миллионы

сотни миллионов

десятки миллионов

миллионы

сотни тысяч

десятки тысяч

Итак, классы, начиная с младшего, имеют названия: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.

1.4. Разрядные единицы

Каждый из классов в записи натуральных чисел состоит из трёх разрядов. Каждый разряд имеет разрядные единицы . Следующие числа называются разрядными единицами:

1 - разрядная единица разряда единиц,

10 - разрядная единица разряда десятков,

100 - разрядная единица разряда сотен,

1 000 - разрядная единица разряда тысяч,

10 000 - разрядная единица разряда десятков тысяч,

100 000 - разрядная единица разряда сотен тысяч,

1 000 000 - разрядная единица разряда миллионов, и т. д.

Цифра в каком-либо из разрядов показывает количество единиц данного разряда. Так, цифра 9, в разряде сотен миллиардов, означает, что в состав числа 38 001 102 987 000 128 425 входит девять миллиардов (т.е. 9 раз по 1 000 000 000 или 9 разрядных единиц разряда миллиардов). Пустой разряд сотен квинтиллионов означает, что в данном числе отсутствуют сотни квинтиллионов или их количество равно нулю. При этом число 38 001 102 987 000 128 425 можно записать так: 038 001 102 987 000 128 425.

Можно записать иначе: 000 038 001 102 987 000 128 425. Нули в начале числа указывают на пустые старшие разряды. Обычно их не пишут в отличие от нулей внутри десятичной записи, которыми обязательно отмечают пустые разряды. Так, три нуля в классе миллионов означает, что пусты разряды сотен миллионов, десятков миллионов и единиц миллионов.

1.5. Сокращения в записи чисел

При записи натуральных чисел используются сокращения. Приведём примеры:

1 000 = 1 тыс. (одна тысяча)

23 000 000 = 23 млн. (двадцать три миллиона)

5 000 000 000 = 5 млрд. (пять миллиардов)

203 000 000 000 000 = 203 трлн. (двести три триллиона)

107 000 000 000 000 000 = 107 квдр. (сто семь квадриллионов)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 квнт. (один квинтиллион)

Блок 1.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из §1. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите для каждого определения номер термина из списка.

Блок 1.2. Самоподготовка

В мире больших чисел

Экономика .

  1. Бюджет России на следующий год составит: 6328251684128 рублей.
  2. На этот год запланировано расходов: 5124983252134 рублей.
  3. Доходы страны превысили расходы на 1203268431094 рублей.

Вопросы и задания

  1. Прочитайте все три указанных числа
  2. Запишите цифры в классе миллионов каждого из трех чисел

  1. К какому разделу в каждом из чисел относится цифра, стоящая на седьмой позиции от конца записи чисел?
  2. Число каких разрядных единиц показывает цифра 2 в записи первого числа?... в записях второго и третьего числа?
  3. Назовите разрядную единицу для восьмой позиции от конца в записи трех чисел.

География (длина)

  1. Экваториальный радиус Земли: 6378245 м
  2. Длина окружности экватора: 40075696 м
  3. Наибольшая глубина мирового океана (Марианская впадина в Тихом океане) 11500 м

Вопросы и задания

  1. Переведите все три величины в сантиметры и прочитайте полученные числа.
  2. Для первого числа (в см) запишите цифры, стоящие разделах:

сотни тысяч _______

десятки миллионов _______

тысячи _______

миллиарды _______

сотни миллионов _______

  1. Для второго числа (в см) запишите разрядные единицы, соответствующие цифрам 4, 7, 5, 9 в записи числа

  1. Переведите третью величину в миллиметры, прочитайте полученное число.
  2. Для всех позиций в записи третьего числа (в мм) укажите в таблице разряды и разрядные единицы:

География (площадь)

  1. Площадь всей поверхности Земли составляет 510083 тысяч квадратных километров.
  2. Площадь поверхности сумм на Земле составляет 148628 тысяч квадратных километров.
  3. Площадь водной поверхности Земли составляет 361455 тысяч квадратных километров.

Вопросы и задания

  1. Переведите все три величины в квадратные метры и прочитайте полученные числа.
  2. Назовите классы и разряды, соответствующие отличным от нуля цифрам в записи этих чисел (в кв. м).
  3. В записи третьего числа (в кв. м) назовите разрядные единицы, соответствующие цифрам 1, 3, 4, 6.
  4. В двух записях второй величины (в кв. км. и кв. м) укажите, к каким разрядам относится цифра 2.
  5. Запишите разрядные единицы для цифры 2 в записях второй величины.

Блок 1.3. Диалог с компьютером.

Известно, что большие числа часто используются в астрономии. Приведем примеры. Среднее расстояние Луны от Земли равно 384 тыс. км. Расстояние Земли от Солнца (среднее) составляет 149504 тыс. км, Земли от Марса 55 млн. км. На компьютере с помощью текстового редактора Word создайте таблицы так, чтобы каждая цифра в записи указанных чисел была в отдельной клеточке (ячейке). Для этого выполните команды на панели инструментов: таблица → добавить таблицу → число строк (с помощью курсора ставим «1») → число столбцов (посчитайте сами). Создайте таблицы и для других чисел (блока «Самоподготовка»).

Блок 1.4. Эстафета больших чисел


В первой строке таблицы записано большое число. Прочитайте его. Затем выполните задания: передвигая цифры в записи числа вправо или влево, получайте следующие числа и читайте их. (Нули в конце числа не передвигайте!). В классе эстафету можно проводить, передавая её друг другу.

Строка 2 . Все цифры числа в первой строке переместите влево через две клетки. Цифры 5 замените следующей за ней цифрой. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 3 . Все цифры числа во второй строке переместите вправо через три клетки. Цифры 3 и 4 в записи числа замените следующими цифрами. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте число.

Строка 4. Все цифры числа в строке 3 переместите на одну клетку влево. Цифру 6 в классе триллионов замените на предыдущую, а в классе миллиардов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 5 . Все цифры числа в строке 4 переместите через одну клетку вправо. Цифру 7 в разряде «десятки тысяч» замените на предыдущую, а в разряде «десятки миллионов» на последующую. Прочитайте полученное число.

Строка 6 . Все цифры числа в строке 5 переместите влево через 3 клетки. Цифру 8 в разряде сотен миллиардов замените на предыдущую, а цифру 6 в разряде сотен миллионов на последующую цифру. Пустые клетки заполните нулями. Просчитайте полученное число.

Строка 7 . Все цифры числа в строке 6 переместите вправо на одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах десятков квадриллионов и десятков миллиардов. Прочитайте полученное число.

Строка 8 . Все цифры числа в строке 7 переместите влево через одну клетку. Поменяйте местами цифры в разрядах квинтиллионов и квадриллионов. Пустые клетки заполните нулями. Прочитайте полученное число.

Строка 9 . Все цифры числа в строке 8 переместите вправо через три клетки. Поменяйте местами две стоящие рядом в числовом ряду цифры из классов миллионов и триллионов. Прочитайте полученное число.

Строка 10 . Все цифры числа в строке 9 переместите на одну клетку вправо. Прочитайте полученное число. Выделите цифры, обозначающие год Московской олимпиады.

Блок 1.5. Давайте поиграем

Зажги огонек

Игровое поле - это рисунок новогодней ёлки. На ней 24 лампочки. Но подключены к электросети только 12 из них. Чтобы выбрать подключённые лампы, надо верно ответить на вопросы словами «Да» или «Нет». Эту же игру можно выполнить на компьютере верный ответ «зажигает» лампочку.

  1. Верно ли, что цифры - это специальные знаки для записи натуральных чисел? (1 - да, 2 - нет)
  2. Верно ли, что число 0 -это наименьшее натуральное число? (3 - да, 4 - нет)
  3. Верно ли, что в позиционной системе счисления одна и та же цифра может обозначать различные числа? (5 - да, 6 - нет)
  4. Верно ли, что определенное место в десятичной записи чисел называется разрядом? (7 - да, 8 - нет)
  5. Дано число 543 384. Верно ли, что в нем число самых старших разрядных единиц равно 543, а самых младших 384? (9 - да, 10 - нет)
  6. Верно ли, что в классе миллиардов самая старшая из разрядных единиц - это сто миллиардов, а самая младшая - один миллиард? (11 - да, 12 - нет)
  7. Дано число 458 121. Верно ли, что сумма числа самых старших разрядных единиц и числа самых младших равна 5? (13 - да, 14 - нет)
  8. Верно ли, что самая старшая из разрядных единиц класса триллионов в миллион раз больше самой старшей из разрядных единиц класса миллионов? (15 - да, 16 - нет)
  9. Даны два числа 637 508 и 831. Верно ли, что самая старшая разрядная единица первого числа в 1000 раз больше самой старшей разрядной единицы второго числа? (17 - да, 18 - нет)
  10. Дано число 432. Верно ли, что самая старшая разрядная единица этого числа в 2 раза больше самой младшей? (19 - да, 20 - нет)
  11. Дано число 100 000 000. Верно ли, что в нем число разрядных единиц, составляющих 10 000, равно 1000? (21 - да, 22 - нет)
  12. Верно ли, что перед классом триллионов находится класс квадриллионов, а перед этим классом - класс квинтиллионов? (23 - да, 24 - нет)

1.6. Из истории чисел

С древних времен человек сталкивался с необходимостью подсчитывать количество вещей, сравнивать количества объектов (например, пять яблок, семь стрел…; в племени 20 мужчин и тридцать женщин, …). Была также необходимость устанавливать порядок внутри некоторого количества объектов. Например, на охоте первым идет вождь племени, вторым самый сильный воин племени и т.д. Для этих целей использовались числа. Для них были придуманы специальные названия. В речи они называются числительными: один, два, три и т. д. - это количественные числительные, а первый, второй, третий - порядковые числительные. Записывались числа при помощи специальных знаков - цифр.

Со временем появились системы счисления. Это системы, включающие способы записи чисел и различных действий над ними. Самые древние из известных систем счисления - это египетская, вавилонская, римская системы счисления. На Руси в старину для написания цифр использовались буквы алфавита со специальным знаком ~ (титло). В настоящее время наибольшее распространение получила десятичная система счисления. Широко используются, особенно в компьютерном мире, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Итак, для записи одного и того же числа можно использовать различные знаки - цифры. Так, число четыреста двадцать пять можно записать египетскими цифрами - иероглифами:

Это египетский способ записи чисел. Это же число римскими цифрами: CDXXV (римский способ записи чисел) или десятичными цифрами 425 (десятичная система записи чисел). В двоичной системе записи оно выглядит так: 110101001 (двоичная или бинарная система записи чисел), а в восьмеричной - 651 (восьмеричная система записи чисел). В шестнадцатеричной системе счисления оно запишется: 1А9 (шестнадцатеричная система записи чисел). Можно поступить совсем просто: сделать, подобно Робинзону Крузо, четыреста двадцать пять зарубок (или штрихов) на деревянном столбе - IIIIIIIII …... IIII . Это самые первые изображения натуральных чисел.

Итак, в десятичной системе записи чисел (в десятичном способе записи чисел) используются арабские цифры. Это десять различных символов - цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . В двоичной - две двоичные цифры: 0, 1; в восьмеричной - восемь восьмеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в шестнадцатеричной - шестнадцать различных шестнадцатеричных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; в шестидесятеричной (вавилонской) - шестьдесят различных символов - цифр и т.д.)

Десятичные цифры пришли в страны Европы из стран Ближнего Востока, Арабских стран. Отсюда название - арабские цифры . Но к арабам они попали из Индии, где были изобретены примерно в середине первого тысячелетия.

1.7. Римская система счисления

Одна из древних систем счисления, которая используется в наши дни, - это римская система. Приведем в таблице основные цифры римской системы счисления и соответствующие числа десятичной системы.

Римская цифра
C

50 пятьдесят

500 пятьсот

1000 тысяча

Римская система счисления является системой сложения. В ней в отличие от позиционных систем (например, десятичной) каждая цифра обозначает одно и то же число. Так, запись II - обозначает число два (1 + 1 = 2), запись III - число три (1 + 1 + 1 = 3), запись XXX - число тридцать (10 + 10 + 10 = 30) и т.д. Для записи чисел применяются следующие правила.

  1. Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: VII - число семь (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII - число семнадцать (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL - число одна тысяча сто пятьдесят (1000 + 100 + 50 = 1150).
  2. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей: IX - число девять (9 = 10 - 1), LM - число девятьсот пятьдесят (1000 - 50 = 950).

Для записи больших чисел приходится использовать (придумывать) новые символы - цифры. При этом записи чисел получаются громоздкими, производить вычисления с римскими цифрами очень сложно. Так год запуска первого искусственного спутника Земли (1957 г.) в римской записи имеет вид MCMLVII .

Блок 1. 8. Перфокарта

Чтение натуральных чисел

Эти задания проверяются при помощи карты с окружностями. Поясним ее применение. Выполнив все задания и найдя верные ответы (они обозначены буквами А, Б, В, и т.д.), наложите на карту лист прозрачной бумаги. Знаками «X» отметьте на нем правильные ответы, а также метку совмещения « + ». Затем наложите прозрачный лист на страницу так, чтобы совпали метки совмещения. Если все знаки «X» попали в серые кружочки на этой странице, значит, задания выполнены верно.

1.9. Порядок чтения натуральных чисел

При чтении натурального числа поступают следующим образом.

  1. Мысленно разбивают число на тройки (классы) справа - налево, с конца записи числа.
  1. Начиная с младшего класса, справа - налево (с конца записи числа) записывают названия классов: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы.
  2. Читают число, начиная со старших классов. При этом называют число разрядных единиц и название класса.
  3. Если в разряде стоит ноль (разряд пуст), то его не называют. Если же все три разряда называемого класса - нули (разряды пусты), то данный класс не называется.

Прочтем (назовем) число, записанное в таблице (см.§1), согласно шагам 1 - 4. Мысленно разбиваем число 38001102987000128425 на классы справа - налево: 038 001 102 987 000 128 425. Укажем названия классов в этом числе, начиная с конца его записи: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы. Теперь можно прочитать число, начиная со старшего класса. Называем трехзначные, двузначные и однозначные числа, добавляя название соответствующего класса. Пустые классы не называем. Получаем следующее число:

  • 038 - тридцать восемь квинтиллионов
  • 001 - один квадриллион
  • 102 - сто два триллиона
  • 987 - девятьсот восемьдесят семь миллиардов
  • 000 - не называем (не читаем)
  • 128 - сто двадцать восемь тысяч
  • 425 - четыреста двадцать пять

В результате натуральное число 38 001 102 987 000 128 425 прочтем так: "тридцать восемь квинтиллионов один квадриллион сто два триллиона девятьсот восемьдесят семь миллиардов сто двадцать восемь тысяч четыреста двадцать пять".

1.9. Порядок записи натуральных чисел

Запись натуральных чисел выполняют в следующем порядке.

  1. Записывают по три цифры каждого класса, начиная со старшего класса до разряда единиц. При этом для старшего класса цифр может быть две или одна.
  2. Если класс или разряд не назван, то в соответствующих разрядах записывают нули.

Например, число двадцать пять миллионов триста два записано в виде: 25 000 302 (класс тысяч не назван, поэтому во всех разрядах класса тысяч записаны нули).

1.10. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Приведём пример: 7 563 429 - это десятичная запись числа семь миллионов пятьсот шестьдесят три тысячи четыреста двадцать девять. Данное число содержит семь миллионов, пять сотен тысяч, шесть десятков тысяч, три тысячи, четыре сотни, два десятка и девять единиц. Его можно представить как сумму: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Такая запись называется представлением натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Блок 1.11. Давайте поиграем

Сокровища подземелья

На игровом поле рисунок к сказке Киплинга «Маугли». На пяти сундуках навесные замки. Чтобы открыть их, надо решить задачи. При этом, открыв деревянный сундук, вы получаете одно очко. Открыв оловянный сундук, получаете два очка, медный - три очка, серебряный - четыре, золотой - пять. Выигрывает тот, кто быстрее откроет все сундуки. Эту же игру можно выполнить на компьютере.

  1. Деревянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) находится в этом сундуке. Для этого надо найти общее число самых младших разрядных единиц класса миллионов для числа: 125308453231.

  1. Оловянный сундук

Найдите, сколько денег (в тыс. рублей) в этом сундуке. Для этого в числе 12530845323 найдите число самых младших разрядных единиц класса единиц и число самых младших разрядных единиц класса миллионов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите число, стоящее в разряде десятков миллионов.

  1. Медный сундук

Чтобы найти деньги этого сундука (в тыс. рублей), надо в числе 751305432198203 найдите число самых младших разрядных единиц в классе триллионов и число самых младших единиц в классе миллиардов. Затем найдите сумму этих чисел и справа припишите натуральные числа класса единиц этого числа в порядке их расположения.

  1. Серебряный сундук

Деньги этого сундука (в млн. рублей) покажет сумма двух чисел: числа самых младших разрядных единиц класса тысяч и средних разрядных единиц класса миллиардов для числа 481534185491502.

  1. Золотой сундук

Дано число 800123456789123456789. Если перемножить числа в самых старших разрядах всех классов этого числа, то получим деньги этого сундука в млн. рублей.

Блок 1.12. Установите соответствие

Запись натуральных чисел. Представление натуральных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Каждому заданию в левой колонке подберите решение из правой колонки. Ответ запишите в виде: 1а; 2г; 3б…

Запишите цифрами число: пять миллионов двадцать пять тысяч

Запишите цифрами число: пять миллиардов двадцать пять миллионов

Запишите цифрами число: пять триллионов двадцать пять

Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьдесят семь тысяч семьсот семьдесят семь

Запишите цифрами число: семьдесят семь триллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь

Запишите цифрами число: семьдесят семь миллионов семьсот семьдесят семь тысяч семь

Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиарда четыреста пятьдесят шесть миллионов семьсот восемьдесят девять тысяч

Запишите цифрами число: сто двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять

Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать

Запишите цифрами число: три миллиарда одиннадцать миллионов

Вариант 2

тридцать два миллиарда сто семьдесят пять миллионов двести девяносто восемь тысяч триста сорок один

100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: триста двадцать один миллион сорок один

30000000000 + 2000000000 +

100000000 + 70000000 + 5000000 +

200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 321000175298341

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 101010101

Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число: 11111

300000000 + 20000000 + 1000000 +

5000000 + 300000 + 20000 + 1000

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 5000000 + 300 + 20 + 1

30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

10000000000 + 2000000000 + 100000000 +

10000000 + 9000000

Запишите десятичной записью число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9

10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Блок 1.13. Фасетный тест

Название теста происходит от слова «фасеточный глаз насекомых». Это сложный глаз, состоящий из отдельных «глазков». Задания фасетного теста образуются из отдельных элементов, обозначенных цифрами. Обычно фасетные тесты содержат большое число заданий. Но в этом тесте задач всего четыре, но они составляются из большого числа элементов. Это сделано для того, чтобы научить вас «собирать» задачи теста. Если вы сможете их составить, то легко справитесь с другими фасетными тестами.

Как составляются задачи, поясним на примере третьей задачи. Она составляется из элементов теста под номерами: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

«Если » 1) из таблицы взять цифры (цифру); 4) 7; 7) поместить её в разряд; 11) миллиардов; 1) из таблицы взять цифру; 5) 8; 7) поместить её в разряды; 9) десятки миллионов; 10) сотни миллионов; 16) сотни тысяч; 17) десятки тысяч; 22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6. 21) остальные разряды заполнить нулями; «ТО » 26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с); «Это число равно »: 7880889600 с. В ответах оно обозначено буквой «в».

Решая задачи, карандашом записывайте цифры в ячейки таблицы.

Фасетный тест. Составьте число

В таблице записаны цифры:

Если

1) из таблицы взять цифру (цифры):

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) поместить эту цифру (цифры) в разряд (разряды);

8) сотни квадриллионов и десятки квадриллионов;

9) десятки миллионов;

10) сотни миллионов;

11) миллиардов;

12) квинтиллионов;

13) десятки квинтиллионов;

14) сотни квинтиллионов;

15) триллионов;

16) сотен тысяч;

17) десятки тысяч;

18) заполнить ею (ими) класс (классы);

19) квинтиллионов;

20) миллиардов;

21) остальные разряды заполнить нулями;

22) в разряды тысяч и сотен поместить цифры 9 и 6;

23) получим число, равное массе Земли в десятках тонн;

24) получим число, примерно равное объему Земли в куб.м;

25) получим число, равное расстоянию (в метрах) от Солнца до самой дальней планеты солнечной системы Плутона;

26) получим число, равное времени (периоду) обращения планеты Плутон вокруг Солнца в секундах (с);

Это число равно:

а) 5929000000000

б) 999990000000000000000

г) 598000000000000000000

Решите задачи:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Ответы

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - г

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - б

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - в

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - а

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную

Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N.

Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

  • Единица считается натуральным числом.
  • Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
  • Перед единицей нет никакого натурального числа.
  • Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
  • Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

  • сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
  • умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
  • возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:


Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

  • Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
  • Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
  • Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
  • Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
  • распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.

Натуральные числа – числа, которые применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков); 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен).

Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль ». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нуль не относят к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.

Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным. Т.е. однозначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из одного знака – одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.

Двузначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.

Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:

числа 326, 532, 893 – трехзначные;

числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные и т.д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.

Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)

Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).

Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.