Λεπτομερής επεξήγηση λογαρίθμου και παραδείγματα με λύση. Τύποι λογαρίθμων. Παραδείγματα λογαρίθμων λύσεων

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο. Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία θα πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

Η βάση ενός λογάριθμου του x είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί το a για να ληφθεί x.

Ονομασία: log a x = b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι αυτό με το οποίο ισούται πραγματικά ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Με το ίδιο αρχείο καταγραφής επιτυχίας 2 64 = 6, αφού 2 6 = 64.

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται λογάριθμος. Λοιπόν, ας προσθέσουμε μια νέα γραμμή στον πίνακα μας:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ημερολόγιο 2 2 = 1	ημερολόγιο 2 4 = 2	ημερολόγιο 2 8 = 3	ημερολόγιο 2 16 = 4	ημερολόγιο 2 32 = 5	ημερολόγιο 2 64 = 6

Δυστυχώς, δεν υπολογίζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, δοκιμάστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5 . Ο αριθμός 5 δεν βρίσκεται στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο τμήμα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' άπειρον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε έτσι: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (τη βάση και το όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά δείτε την εικόνα:

Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογάριθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι δύναμη, στην οποία πρέπει να ενσωματωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στην εικόνα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω στους μαθητές μου αυτόν τον υπέροχο κανόνα στο πρώτο μάθημα - και δεν δημιουργείται σύγχυση.

Καταλάβαμε τον ορισμό - το μόνο που μένει είναι να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:

1. Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό ενός βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός ενός λογάριθμου.
2. Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μία, αφού η μία σε οποιοδήποτε βαθμό παραμένει μία. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται εύρος αποδεκτών τιμών(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (την τιμή του λογάριθμου). Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 = −1, επειδή 0,5 = 2 −1.

Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το VA του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους συντάκτες των προβλημάτων. Αλλά όταν οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες μπουν στο παιχνίδι, οι απαιτήσεις DL θα γίνουν υποχρεωτικές. Άλλωστε, η βάση και το επιχείρημα μπορεί να περιέχουν πολύ ισχυρές κατασκευές που δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.

Τώρα ας δούμε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

1. Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με την ελάχιστη δυνατή βάση μεγαλύτερη από το ένα. Στην πορεία, είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά.
2. Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
3. Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα είναι ορατό ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σημαντική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Είναι το ίδιο με τα δεκαδικά κλάσματα: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε συνηθισμένα, θα υπάρξουν πολύ λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Λάβαμε την απάντηση: 2.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Λάβαμε την απάντηση: 3.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Λάβαμε την απάντηση: 0.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του επτά, αφού το 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν μετράει.
3. Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Είναι πολύ απλό - απλώς βάλτε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν η επέκταση έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικούς παράγοντες, ο αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.

Εργο. Μάθετε αν οι αριθμοί είναι ακριβείς δυνάμεις: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ακριβής βαθμός, γιατί υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - δεν είναι ακριβής δύναμη, αφού υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 · 5 - και πάλι δεν είναι ακριβής ισχύς.
14 = 7 · 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.

Σημειώστε επίσης ότι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί είναι πάντα ακριβείς δυνάμεις του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδικό όνομα και σύμβολο.

Ο δεκαδικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος στη βάση του 10, δηλ. Η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός 10 για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: lg x.

Για παράδειγμα, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως "Find lg 0.01" σε ένα σχολικό βιβλίο, να ξέρετε ότι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Αυτό δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτόν τον συμβολισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς λογάριθμους.

Φυσικός λογάριθμος

Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του ονομασία. Κατά κάποιο τρόπο, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Μιλάμε για τον φυσικό λογάριθμο.

Ο φυσικός λογάριθμος του x είναι ο λογάριθμος στη βάση του e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x .

Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος είναι ο αριθμός e; Αυτό παράλογος αριθμός, η ακριβής αξία του είναι αδύνατο να βρεθεί και να γραφτεί. Θα δώσω μόνο τα πρώτα στοιχεία:
e = 2,718281828459...

Δεν θα αναφερθούμε σε λεπτομέρειες σχετικά με το τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x

Έτσι ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητού αριθμού είναι παράλογος. Εκτός, φυσικά, από την ενότητα: ln 1 = 0.

Για φυσικούς λογάριθμουςισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b *a c = a b+c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους εκθέτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου χρειάζεται να απλοποιήσετε τον περίπλοκο πολλαπλασιασμό με απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Σε απλή και προσιτή γλώσσα.

Ορισμός στα μαθηματικά

Ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή, ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" στη βάση του "a" θεωρείται ότι είναι η δύναμη "c ” στην οποία πρέπει να αυξηθεί η βάση “a” για να ληφθεί τελικά η τιμή “b”. Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρείτε μια ισχύ τέτοια ώστε από το 2 στην απαιτούμενη ισχύ να παίρνετε 8. Αφού κάνετε κάποιους υπολογισμούς στο κεφάλι σας, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και αυτό είναι αλήθεια, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει την απάντηση ως 8.

Τύποι λογαρίθμων

Για πολλούς μαθητές αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρία μεμονωμένα είδηλογαριθμικές εκφράσεις:

1. Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
2. Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
3. Λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.

Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με έναν τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν μόνο λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να λάβετε τις σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμάστε τις ιδιότητές τους και τη σειρά των ενεργειών κατά την επίλυσή τους.

Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί

Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι η αλήθεια. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρεθούν οι αριθμοί με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να εξαχθεί η ζυγή ρίζα των αρνητικών αριθμών. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:

• Η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και όχι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
• εάν a > 0, τότε a b >0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Πώς να λύσετε λογάριθμους;

Για παράδειγμα, δίνεται η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x = 100. Αυτό είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια δύναμη αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο λαμβάνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 = 100.

Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση σε λογαριθμική μορφή. Παίρνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν για να βρούμε την ισχύ στην οποία είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε τη βάση του λογαρίθμου για να λάβουμε έναν δεδομένο αριθμό.

Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή ενός άγνωστου βαθμού, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με έναν πίνακα βαθμών. Μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνικό μυαλό και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, για μεγαλύτερες τιμές θα χρειαστείτε ένα τραπέζι τροφοδοσίας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και από εκείνους που δεν γνωρίζουν απολύτως τίποτα για πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), πάνω σειράαριθμοί είναι η τιμή της δύναμης c στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στη διασταύρωση, τα κελιά περιέχουν τις αριθμητικές τιμές που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η ​​οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!

Εξισώσεις και ανισώσεις

Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική ισότητα. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο βασικός 3 λογάριθμος του 81 ίσος με τέσσερα (log 3 81 = 4). Για τις αρνητικές δυνάμεις οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 το γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα δούμε παρακάτω, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.

Δίνεται μια έκφραση της ακόλουθης μορφής: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή «x» βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές στην απάντηση, ενώ κατά την επίλυση μιας ανισότητας, τόσο το εύρος των αποδεκτών οι τιμές και τα σημεία προσδιορίζονται σπάζοντας αυτή τη συνάρτηση. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση σε μια εξίσωση, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.

Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους

Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών εύρεσης των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα δούμε παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, ας δούμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.

1. Η κύρια ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο όταν το α είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα και το Β είναι μεγαλύτερο από μηδέν.
2. Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Στην περίπτωση αυτή, η υποχρεωτική συνθήκη είναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον λογαριθμικό τύπο, με παραδείγματα και λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2, μετά a f1 = s 1, a f2 = s 2. Λαμβάνουμε ότι s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες του μοίρες ), και μετά εξ ορισμού: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
3. Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογάριθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά βασίζονται σε φυσικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.

Έστω log a b = t, προκύπτει t =b. Αν υψώσουμε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;

αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n, επομένως log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προβλημάτων στους λογάριθμους είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία και αποτελούν επίσης υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων των μαθηματικών. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να επιλύσετε σωστά τέτοιες εργασίες.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, αλλά ορισμένοι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να οδηγήσει σε γενική εμφάνιση. Μπορείτε να απλοποιήσετε μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις εάν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητές τους. Ας τους γνωρίσουμε γρήγορα.

Όταν αποφασίζει λογαριθμικές εξισώσεις, θα πρέπει να καθορίσουμε ποιον τύπο λογάριθμου έχουμε: μια παράσταση παραδείγματος μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.

Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να καθορίσουν την ισχύ στην οποία η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για να λύσετε φυσικούς λογάριθμους, πρέπει να εφαρμόσετε λογαριθμικές ταυτότητες ή τις ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις

Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των βασικών θεωρημάτων για τους λογαρίθμους.

1. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να επεκταθεί μεγάλης σημασίαςτους αριθμούς β σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα της λογαριθμικής ισχύος, καταφέραμε να λύσουμε μια φαινομενικά πολύπλοκη και άλυτη έκφραση. Απλά πρέπει να συνυπολογίσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές εκθέτη από το πρόσημο του λογαρίθμου.

Εργασίες από την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως, αυτές οι εργασίες υπάρχουν όχι μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο τεστ της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (οι πιο περίπλοκες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση απαιτεί ακριβή και τέλεια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».

Παραδείγματα και λύσεις στα προβλήματα λαμβάνονται από επίσημους Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.

Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2, με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4, άρα 2x = 17. x = 8,5.

• Είναι καλύτερο να μειώσετε όλους τους λογάριθμους στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι δυσκίνητη και μπερδεμένη.
• Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν ο εκθέτης μιας παράστασης που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και ως βάση της αφαιρείται ως πολλαπλασιαστής, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.

\(a^(b)=c\) \(\αριστερό βέλος\) \(\log_(a)(c)=b\)

Ας το εξηγήσουμε πιο απλά. Για παράδειγμα, το \(\log_(2)(8)\) ισούται με την ισχύ στην οποία πρέπει να αυξηθεί το \(2\) για να ληφθεί \(8\). Από αυτό είναι σαφές ότι \(\log_(2)(8)=3\).

Παραδείγματα:		\(\log_(5)(25)=2\)		επειδή \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		επειδή \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		επειδή \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Επιχείρημα και βάση λογάριθμου

Οποιοσδήποτε λογάριθμος έχει την ακόλουθη «ανατομία»:

Το όρισμα ενός λογαρίθμου γράφεται συνήθως στο επίπεδό του και η βάση γράφεται σε δείκτη πιο κοντά στο σύμβολο του λογάριθμου. Και αυτό το λήμμα έχει ως εξής: «λογάριθμος του είκοσι πέντε στη βάση του πέντε».

Πώς να υπολογίσετε τον λογάριθμο;

Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο, πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση: σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί το όρισμα;

Για παράδειγμα, υπολογίστε τον λογάριθμο: α) \(\log_(4)(16)\) β) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) γ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) δ) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

α) Σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί το \(4\) για να πάρει το \(16\); Προφανώς το δεύτερο. Να γιατί:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

γ) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(\sqrt(5)\) για να ληφθεί το \(1\); Ποια δύναμη κάνει οποιοδήποτε νούμερο ένα; Μηδέν, φυσικά!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

δ) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(\sqrt(7)\) για να ληφθεί το \(\sqrt(7)\); Πρώτον, οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ε) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(3\) για να ληφθεί \(\sqrt(3)\); Από γνωρίζουμε ότι είναι μια κλασματική δύναμη, που σημαίνει ότι η τετραγωνική ρίζα είναι η δύναμη του \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Παράδειγμα : Υπολογισμός λογάριθμου \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Λύση :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Πρέπει να βρούμε την τιμή του λογάριθμου, ας τη συμβολίσουμε ως x. Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λογάριθμου: \(\log_(a)(c)=b\) \(\αριστερό βέλος\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Τι συνδέει τα \(4\sqrt(2)\) και \(8\); Δύο, επειδή και οι δύο αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με δύο: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Στα αριστερά χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του βαθμού: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) και \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Οι βάσεις είναι ίσες, προχωράμε στην ισότητα των δεικτών
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \(\frac(2)(5)\)
		Η ρίζα που προκύπτει είναι η τιμή του λογάριθμου

Απάντηση : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Γιατί εφευρέθηκε ο λογάριθμος;

Για να το καταλάβουμε αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση: \(3^(x)=9\). Απλώς αντιστοιχίστε το \(x\) για να λειτουργήσει η ισότητα. Φυσικά, \(x=2\).

Λύστε τώρα την εξίσωση: \(3^(x)=8\). Με τι ισούται το x; Αυτό είναι το νόημα.

Οι πιο έξυπνοι θα πουν: «Το X είναι λίγο λιγότερο από δύο». Πώς ακριβώς γράφεται αυτός ο αριθμός; Για να απαντηθεί αυτή η ερώτηση, εφευρέθηκε ο λογάριθμος. Χάρη σε αυτόν, η απάντηση εδώ μπορεί να γραφτεί ως \(x=\log_(3)(8)\).

Θέλω να τονίσω ότι \(\log_(3)(8)\), όπως οποιοσδήποτε λογάριθμος είναι απλώς ένας αριθμός. Ναι, φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά είναι σύντομο. Γιατί αν θέλαμε να το γράψουμε στη φόρμα δεκαδικός, τότε θα μοιάζει με αυτό: \(1.892789260714.....\)

Παράδειγμα : Λύστε την εξίσωση \(4^(5x-4)=10\)

Λύση :

\(4^(5x-4)=10\)		Τα \(4^(5x-4)\) και \(10\) δεν μπορούν να μεταφερθούν στην ίδια βάση. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς λογάριθμο. Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λογάριθμου: \(a^(b)=c\) \(\αριστερό βέλος\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Ας αναστρέψουμε την εξίσωση έτσι ώστε το Χ να βρίσκεται στα αριστερά
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Πριν από εμάς. Ας μετακινηθούμε \(4\) προς τα δεξιά. Και μην φοβάστε τον λογάριθμο, αντιμετώπισέ τον σαν έναν συνηθισμένο αριθμό.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Διαιρέστε την εξίσωση με το 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Αυτή είναι η ρίζα μας. Ναι, φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά δεν επιλέγουν την απάντηση.

Απάντηση : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι

Όπως αναφέρεται στον ορισμό ενός λογάριθμου, η βάση του μπορεί να είναι οποιαδήποτε θετικός αριθμός, εκτός από τη μονάδα \((a>0, a\neq1)\). Και μεταξύ όλων των πιθανών βάσεων, υπάρχουν δύο που εμφανίζονται τόσο συχνά που εφευρέθηκε μια ειδική σύντομη σημειογραφία για τους λογάριθμους με αυτές:

Φυσικός λογάριθμος: ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο αριθμός του Euler \(e\) (ίσος με περίπου \(2.7182818…\)), και ο λογάριθμος γράφεται ως \(\ln(a)\).

Αυτό είναι, Το \(\ln(a)\) είναι το ίδιο με το \(\log_(e)(a)\)

Δεκαδικός λογάριθμος: Ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι 10 γράφεται \(\lg(a)\).

Αυτό είναι, Το \(\lg(a)\) είναι το ίδιο με το \(\log_(10)(a)\), όπου \(a\) είναι κάποιος αριθμός.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Οι λογάριθμοι έχουν πολλές ιδιότητες. Ένα από αυτά ονομάζεται «Βασική Λογαριθμική Ταυτότητα» και μοιάζει με αυτό:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό. Ας δούμε πώς ακριβώς προέκυψε αυτή η φόρμουλα.

Ας θυμηθούμε μια σύντομη σημειογραφία του ορισμού του λογάριθμου:

αν \(a^(b)=c\), τότε \(\log_(a)(c)=b\)

Δηλαδή, το \(b\) είναι το ίδιο με το \(\log_(a)(c)\). Τότε μπορούμε να γράψουμε \(\log_(a)(c)\) αντί για \(b\) στον τύπο \(a^(b)=c\). Αποδείχθηκε \(a^(\log_(a)(c))=c\) - η κύρια λογαριθμική ταυτότητα.

Μπορείτε να βρείτε άλλες ιδιότητες των λογαρίθμων. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να απλοποιήσετε και να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων με λογάριθμους, οι οποίοι είναι δύσκολο να υπολογιστούν άμεσα.

Παράδειγμα : Βρείτε την τιμή της παράστασης \(36^(\log_(6)(5))\)

Λύση :

Απάντηση : \(25\)

Πώς να γράψετε έναν αριθμό ως λογάριθμο;

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οποιοσδήποτε λογάριθμος είναι απλώς ένας αριθμός. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως λογάριθμος. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι το \(\log_(2)(4)\) είναι ίσο με δύο. Στη συνέχεια, μπορείτε να γράψετε \(\log_(2)(4)\) αντί για δύο.

Αλλά το \(\log_(3)(9)\) είναι επίσης ίσο με \(2\), που σημαίνει ότι μπορούμε επίσης να γράψουμε \(2=\log_(3)(9)\) . Ομοίως με το \(\log_(5)(25)\), και με το \(\log_(9)(81)\), κ.λπ. Δηλαδή αποδεικνύεται

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Έτσι, αν χρειαζόμαστε, μπορούμε να γράψουμε δύο ως λογάριθμο με οποιαδήποτε βάση οπουδήποτε (είτε σε μια εξίσωση, σε μια έκφραση ή σε μια ανισότητα) - γράφουμε απλώς τη βάση στο τετράγωνο ως όρισμα.

Είναι το ίδιο με το τριπλό – μπορεί να γραφτεί ως \(\log_(2)(8)\), ή ως \(\log_(3)(27)\), ή ως \(\log_(4)( 64) \)... Εδώ γράφουμε τη βάση στον κύβο ως όρισμα:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Και με τέσσερα:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Και με μείον ένα:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Και με το ένα τρίτο:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Οποιοσδήποτε αριθμός \(a\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος με βάση \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Παράδειγμα : Βρείτε το νόημα της έκφρασης \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Λύση :

Απάντηση : \(1\)

Τι είναι ο λογάριθμος;

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τι είναι ο λογάριθμος; Πώς να λύσετε λογάριθμους; Αυτά τα ερωτήματα μπερδεύουν πολλούς απόφοιτους. Παραδοσιακά, το θέμα των λογαρίθμων θεωρείται περίπλοκο, ακατανόητο και τρομακτικό. Ειδικά εξισώσεις με λογάριθμους.

Αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Απολύτως! Δεν με πιστεύεις; Πρόστιμο. Τώρα, σε μόλις 10-20 λεπτά:

1. Κατανοήστε τι είναι λογάριθμος.

2. Μάθετε να λύνετε μια ολόκληρη τάξη εκθετικές εξισώσεις. Ακόμα κι αν δεν έχετε ακούσει τίποτα για αυτούς.

3. Μάθετε να υπολογίζετε απλούς λογάριθμους.

Επιπλέον, για αυτό θα χρειαστεί μόνο να γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού και πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε δύναμη...

Νιώθω ότι έχετε αμφιβολίες... Λοιπόν, εντάξει, σημειώστε την ώρα! Πηγαίνω!

Πρώτα, λύστε αυτή την εξίσωση στο κεφάλι σας:

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Λογαριθμική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος (x) και οι εκφράσεις μαζί του βρίσκονται κάτω από το πρόσημο λογαριθμική συνάρτηση. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων προϋποθέτει ότι είστε ήδη εξοικειωμένοι με και .
Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις;

Η απλούστερη εξίσωση είναι log a x = b, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί, το x είναι ένας άγνωστος.
Επίλυση λογαριθμικής εξίσωσηςείναι x = a b παρέχεται: a > 0, a 1.

Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν το x βρίσκεται κάπου εκτός του λογάριθμου, για παράδειγμα log 2 x = x-2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ήδη μικτή και χρειάζεται ειδική προσέγγιση για την επίλυσή της.

Η ιδανική περίπτωση είναι όταν συναντήσετε μια εξίσωση στην οποία μόνο αριθμοί βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου, για παράδειγμα x+2 = log 2 2. Εδώ αρκεί να γνωρίζετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων για να την λύσετε. Αλλά τέτοια τύχη δεν συμβαίνει συχνά, οπότε ετοιμαστείτε για πιο δύσκολα πράγματα.

Αλλά πρώτα, ας ξεκινήσουμε με απλές εξισώσεις. Για να τα λύσετε, είναι επιθυμητό να έχετε τα περισσότερα γενική ιδέασχετικά με τον λογάριθμο.

Επίλυση απλών λογαριθμικών εξισώσεων

Αυτές περιλαμβάνουν εξισώσεις του τύπου log 2 x = log 2 16. Με γυμνό μάτι μπορεί να δει ότι παραλείποντας το πρόσημο του λογάριθμου παίρνουμε x = 16.

Για να λυθεί μια πιο σύνθετη λογαριθμική εξίσωση, συνήθως ανάγεται στην επίλυση της συνήθους αλγεβρική εξίσωσηή στη λύση της απλούστερης λογαριθμικής εξίσωσης log a x = b. Στις απλούστερες εξισώσεις αυτό συμβαίνει με μια κίνηση, γι' αυτό ονομάζονται απλούστερες.

Η παραπάνω μέθοδος απόρριψης λογαρίθμων είναι ένας από τους κύριους τρόπους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Στα μαθηματικά, αυτή η λειτουργία ονομάζεται ενίσχυση. Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες ή περιορισμοί για αυτόν τον τύπο λειτουργίας:

• Οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες αριθμητικές βάσεις
• Οι λογάριθμοι και στις δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ελεύθεροι, δηλ. χωρίς κανέναν συντελεστή ή άλλου είδους εκφράσεις.

Ας πούμε στην εξίσωση log 2 x = 2log 2 (1 - x) η ενίσχυση δεν ισχύει - ο συντελεστής 2 στα δεξιά δεν το επιτρέπει. Στο παρακάτω παράδειγμα, το log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) επίσης δεν ικανοποιεί έναν από τους περιορισμούς - υπάρχουν δύο λογάριθμοι στα αριστερά. Αν υπήρχε μόνο ένα, θα ήταν τελείως διαφορετικό θέμα!

Γενικά, μπορείτε να αφαιρέσετε λογάριθμους μόνο εάν η εξίσωση έχει τη μορφή:

log a (...) = log a (...)

Απολύτως οποιεσδήποτε εκφράσεις μπορούν να τοποθετηθούν σε αγκύλες, αυτό δεν έχει καμία απολύτως επίδραση στη λειτουργία ενίσχυσης. Και μετά την εξάλειψη των λογαρίθμων, θα παραμείνει μια απλούστερη εξίσωση - γραμμική, τετραγωνική, εκθετική κ.λπ., την οποία, ελπίζω, γνωρίζετε ήδη πώς να λύσετε.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Εφαρμόζουμε την ενίσχυση, παίρνουμε:

ημερολόγιο 3 (2x-1) = 2

Με βάση τον ορισμό ενός λογάριθμου, δηλαδή, ότι ένας λογάριθμος είναι ο αριθμός στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί μια έκφραση που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου, δηλ. (4x-1), παίρνουμε:

Και πάλι λάβαμε μια όμορφη απάντηση. Εδώ κάναμε χωρίς να καταργήσουμε τους λογάριθμους, αλλά η ενίσχυση είναι επίσης εφαρμόσιμη εδώ, επειδή ένας λογάριθμος μπορεί να γίνει από οποιονδήποτε αριθμό, και ακριβώς αυτόν που χρειαζόμαστε. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ιδιαίτερα ανισώσεων.

Ας λύσουμε τη λογαριθμική μας εξίσωση log 3 (2x-1) = 2 χρησιμοποιώντας την ενίσχυση:

Ας φανταστούμε τον αριθμό 2 ως λογάριθμο, για παράδειγμα, αυτό το ημερολόγιο 3 9, επειδή 3 2 =9.

Τότε log 3 (2x-1) = log 3 9 και πάλι παίρνουμε την ίδια εξίσωση 2x-1 = 9. Ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα.

Εξετάσαμε λοιπόν πώς να λύσουμε τις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις, οι οποίες είναι στην πραγματικότητα πολύ σημαντικές, γιατί επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, ακόμα και τα πιο τρομερά και στρεβλά, στο τέλος καταλήγει πάντα στην επίλυση των πιο απλών εξισώσεων.

Σε ό,τι κάναμε παραπάνω, μας έλειψε πολύ ένα σημαντικό σημείο, που θα παίξει καθοριστικό ρόλο στο μέλλον. Γεγονός είναι ότι η λύση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης, ακόμη και της πιο στοιχειώδους, αποτελείται από δύο ίσα μέρη. Το πρώτο είναι η λύση της ίδιας της εξίσωσης, το δεύτερο λειτουργεί με το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών (APV). Αυτό είναι ακριβώς το πρώτο μέρος που έχουμε κατακτήσει. Στα παραπάνω παραδείγματα, το ODZ δεν επηρεάζει την απάντηση με κανέναν τρόπο, επομένως δεν το λάβαμε υπόψη.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Εξωτερικά, αυτή η εξίσωση δεν διαφέρει από μια στοιχειώδη, η οποία μπορεί να λυθεί με μεγάλη επιτυχία. Δεν είναι όμως έτσι. Όχι, θα το λύσουμε φυσικά, αλλά πιθανότατα λανθασμένα, γιατί περιέχει μια μικρή ενέδρα στην οποία πέφτουν αμέσως μέσα και οι μαθητές της Γ τάξης και οι αριστούχοι. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης ή το άθροισμα των ριζών, αν υπάρχουν πολλές από αυτές:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Χρησιμοποιούμε ενίσχυση, είναι αποδεκτό εδώ. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση.

Εύρεση των ριζών της εξίσωσης:

Αποδείχτηκε δύο ρίζες.

Απάντηση: 3 και -1

Με την πρώτη ματιά όλα είναι σωστά. Αλλά ας ελέγξουμε το αποτέλεσμα και ας το αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση.

Ας ξεκινήσουμε με x 1 = 3:

ημερολόγιο 3 6 = ημερολόγιο 3 6

Ο έλεγχος ήταν επιτυχής, τώρα η ουρά είναι x 2 = -1:

ημερολόγιο 3 (-2) = ημερολόγιο 3 (-2)

Εντάξει, σταμάτα! Εξωτερικά όλα είναι τέλεια. Ένα πράγμα - δεν υπάρχουν λογάριθμοι από αρνητικούς αριθμούς! Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα x = -1 δεν είναι κατάλληλη για να λύσουμε την εξίσωσή μας. Και επομένως η σωστή απάντηση θα είναι 3, όχι 2, όπως γράψαμε.

Εδώ έπαιξε η ODZ τον μοιραίο ρόλο της, τον οποίο είχαμε ξεχάσει.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το εύρος των αποδεκτών τιμών περιλαμβάνει εκείνες τις τιμές του x που επιτρέπονται ή έχουν νόημα για το αρχικό παράδειγμα.

Χωρίς ODZ, οποιαδήποτε λύση, ακόμη και απολύτως σωστή, οποιασδήποτε εξίσωσης μετατρέπεται σε λαχειοφόρο αγορά - 50/50.

Πώς θα μπορούσαμε να μας πιάσουν να λύνουμε ένα φαινομενικά στοιχειώδες παράδειγμα; Αλλά ακριβώς τη στιγμή της ενίσχυσης. Οι λογάριθμοι εξαφανίστηκαν και μαζί τους όλοι οι περιορισμοί.

Τι να κάνετε σε αυτή την περίπτωση; Αρνηθείτε να εξαλείψετε τους λογάριθμους; Και να αρνηθεί εντελώς να λύσει αυτή την εξίσωση;

Όχι, απλά, σαν πραγματικοί ήρωες από ένα διάσημο τραγούδι, θα κάνουμε μια παράκαμψη!

Πριν αρχίσουμε να λύνουμε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση, θα γράψουμε το ODZ. Αλλά μετά από αυτό, μπορείτε να κάνετε ό,τι θέλει η καρδιά σας με την εξίσωσή μας. Έχοντας λάβει την απάντηση, απλώς πετάμε εκείνες τις ρίζες που δεν περιλαμβάνονται στο ODZ μας και γράφουμε την τελική έκδοση.

Τώρα ας αποφασίσουμε πώς να καταγράψουμε το ODZ. Για να γίνει αυτό, εξετάζουμε προσεκτικά την αρχική εξίσωση και αναζητούμε ύποπτες θέσεις σε αυτήν, όπως διαίρεση με x, άρτια ρίζα κ.λπ. Μέχρι να λύσουμε την εξίσωση, δεν ξέρουμε με τι ισούται με το x, αλλά γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι αυτά τα x που, όταν αντικατασταθούν, δίνουν διαίρεση με το 0 ή την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, προφανώς δεν είναι κατάλληλα ως απάντηση. . Επομένως, τέτοια x είναι απαράδεκτα, ενώ τα υπόλοιπα θα αποτελούν ODZ.

Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά την ίδια εξίσωση:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει διαίρεση με το 0, τετραγωνικές ρίζεςεπίσης όχι, αλλά υπάρχουν εκφράσεις με x στο σώμα του λογάριθμου. Ας θυμηθούμε αμέσως ότι η έκφραση μέσα στον λογάριθμο πρέπει να είναι πάντα >0. Γράφουμε αυτή τη συνθήκη με τη μορφή ODZ:

Εκείνοι. Δεν έχουμε αποφασίσει τίποτα ακόμα, αλλά το έχουμε ήδη γράψει απαιτούμενη προϋπόθεσηγια ολόκληρη την υπολογαριθμική έκφραση. Το σγουρό στήριγμα σημαίνει ότι αυτές οι συνθήκες πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα.

Το ODZ είναι γραμμένο, αλλά είναι επίσης απαραίτητο να λύσουμε το προκύπτον σύστημα ανισοτήτων, το οποίο θα κάνουμε. Παίρνουμε την απάντηση x > v3. Τώρα ξέρουμε σίγουρα ποιο x δεν θα μας ταιριάζει. Και τότε αρχίζουμε να λύνουμε την ίδια τη λογαριθμική εξίσωση, κάτι που κάναμε παραπάνω.

Έχοντας λάβει τις απαντήσεις x 1 = 3 και x 2 = -1, είναι εύκολο να δούμε ότι μόνο το x1 = 3 μας ταιριάζει και το γράφουμε ως τελική απάντηση.

Για το μέλλον, είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε τα εξής: λύνουμε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση σε 2 στάδια. Το πρώτο είναι να λυθεί η ίδια η εξίσωση, το δεύτερο είναι να λυθεί η συνθήκη ODZ. Και τα δύο στάδια εκτελούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και συγκρίνονται μόνο κατά τη σύνταξη της απάντησης, δηλ. πετάξτε όλα τα περιττά και σημειώστε τη σωστή απάντηση.

Για να ενισχύσετε το υλικό, συνιστούμε ανεπιφύλακτα να παρακολουθήσετε το βίντεο:

Το βίντεο δείχνει άλλα παραδείγματα επίλυσης ημερολογίου. εξισώσεις και επεξεργασία της μεθόδου διαστήματος στην πράξη.

Σε αυτή την ερώτηση, πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις, αυτα για τωρα. Αν κάτι αποφασιστεί από το ημερολόγιο. Οι εξισώσεις παραμένουν ασαφείς ή ακατανόητες, γράψτε τις ερωτήσεις σας στα σχόλια.

Σημείωση: Η Ακαδημία Κοινωνικής Αγωγής (ΑΣΑ) είναι έτοιμη να δεχθεί νέους φοιτητές.