Fórmulas de progresión geométrica: cómo encontrar q. Progresión geométrica
Progresión geométrica, junto con la aritmética, es importante serie de números, que se estudia en curso escolarálgebra en noveno grado. En este artículo veremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.
Definición de progresión geométrica
Primero, demos la definición de esta serie numérica. Una progresión geométrica es una serie de números racionales que se forma multiplicando secuencialmente su primer elemento por un número constante llamado denominador.
Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicas 3 (el primer elemento) por 2, obtienes 6. Si multiplicas 6 por 2, obtienes 12, y así sucesivamente.
Los miembros de la secuencia considerada generalmente se indican con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento de la serie.
La definición anterior de progresión se puede escribir en lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil comprobar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y llegamos nuevamente a la definición de la serie de números en cuestión. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes de n.
Denominador de progresión geométrica
El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo o mayor o menor que uno. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:
- b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, entonces toda la secuencia aumentará solo en valor absoluto, pero disminuirá según el signo de los números.
- b = 1. A menudo, este caso no se llama progresión, ya que existe una serie ordinaria de números racionales idénticos. Por ejemplo, -4, -4, -4.
Fórmula para la cantidad
Antes de que miremos Tareas específicas Utilizando el denominador del tipo de progresión considerado, se debe dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es así: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puedes obtener esta expresión tú mismo si consideras la secuencia recursiva de términos de la progresión. Tenga en cuenta también que en la fórmula anterior basta con conocer sólo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma de un número arbitrario de términos.
Secuencia infinitamente decreciente
Más arriba se dio una explicación de qué es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie numérica. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda de 1 tiende a cero cuando se eleva a potencias grandes, es decir, b∞ => 0 si -1
Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.
Ahora veamos varios problemas donde mostraremos cómo aplicar los conocimientos adquiridos en números específicos.
Tarea No. 1. Cálculo de elementos desconocidos de progresión y suma.
Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2 y su primer elemento es 3. ¿A qué serán iguales sus términos séptimo y décimo y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?
La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el séptimo elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el décimo término: a10 = 29 * 3 = 1536.
Usemos la conocida fórmula para la suma y determinemos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problema número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de una progresión
Sea -2 igual al denominador de la progresión geométrica bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del elemento 5 al 10 de esta serie, inclusive.
El problema planteado no se puede resolver directamente utilizando fórmulas conocidas. Se puede solucionar de 2 maneras varios métodos. Para completar la presentación del tema, presentamos ambos.
Método 1. La idea es simple: necesitas calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar el otro de uno. Calculamos la cantidad menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos la suma mayor: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en la última expresión solo se sumaron 4 términos, ya que el quinto ya está incluido en la cantidad que debe calcularse según las condiciones del problema. Finalmente tomamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos myn de la serie en cuestión. Hacemos exactamente lo mismo que en el método 1, solo que primero trabajamos con la representación simbólica de la cantidad. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puedes sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problema No. 3. ¿Cuál es el denominador?
Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que se trata de una serie de números decrecientes.
Según las condiciones del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, para la suma de la progresión es infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Sólo queda sustituir valores conocidos y obtenga el número requerido: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 o -0,333(3). Podemos comprobar cualitativamente este resultado si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como se puede observar, |-1 / 3|
Tarea número 4. Restaurar una serie de números
Supongamos que se dan 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario reconstruir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que satisface las propiedades de una progresión geométrica.
Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente a cada término conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador sacando la raíz quinta de la razón de los términos conocidos del enunciado del problema, b = 1,148698. Sustituimos el número resultante en una de las expresiones para el elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Así, encontramos el denominador de la progresión bn y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.
¿Dónde se utilizan las progresiones geométricas?
Si no existiera una aplicación práctica de esta serie numérica, su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero tal aplicación existe.
A continuación se muestran los 3 ejemplos más famosos:
- La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzarlo tortuga lenta, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
- Si para cada celda tablero de ajedrez coloque granos de trigo de modo que en la primera celda coloque 1 grano, en la segunda - 2, en la tercera - 3 y así sucesivamente, luego, para llenar todas las celdas del tablero, necesitará 18446744073709551615 granos.
- En el juego "Torre de Hanoi", para mover discos de una varilla a otra, es necesario realizar 2n - 1 operaciones, es decir, su número crece exponencialmente con el número n de discos utilizados.
Las matemáticas son lo quela gente controla la naturaleza y a sí mismos.
El matemático y académico soviético A.N. Kolmogórov
Progresión geométrica.
Además de los problemas sobre progresiones aritméticas, los problemas relacionados con el concepto de progresión geométrica también son habituales en los exámenes de acceso a matemáticas. Para resolver con éxito este tipo de problemas, es necesario conocer las propiedades de las progresiones geométricas y tener buenas habilidades para utilizarlas.
Este artículo está dedicado a la presentación de las propiedades básicas de la progresión geométrica. Aquí también se proporcionan ejemplos de resolución de problemas típicos., tomado de las tareas de los exámenes de ingreso en matemáticas.
Primero observemos las propiedades básicas de la progresión geométrica y recordemos las fórmulas y declaraciones más importantes., relacionado con este concepto.
Definición. Una secuencia numérica se llama progresión geométrica si cada número, comenzando por el segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. El número se llama denominador de una progresión geométrica.
Para progresión geométricalas formulas son validas
, (1)
Dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término general de una progresión geométrica, y la fórmula (2) representa la propiedad principal de una progresión geométrica: cada término de la progresión coincide con la media geométrica de sus términos vecinos y .
Nota, que es precisamente por esta propiedad que la progresión en cuestión se llama “geométrica”.
Las fórmulas anteriores (1) y (2) se generalizan de la siguiente manera:
, (3)
Para calcular la cantidad primero miembros de una progresión geométricase aplica la fórmula
Si denotamos , entonces
Dónde . Dado que , la fórmula (6) es una generalización de la fórmula (5).
En el caso cuando y progresión geométricaes infinitamente decreciente. Para calcular la cantidadde todos los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente, se utiliza la fórmula
. (7)
Por ejemplo , usando la fórmula (7) podemos mostrar, Qué
Dónde . Estas igualdades se obtienen a partir de la fórmula (7) bajo la condición de que , (primera igualdad) y , (segunda igualdad).
Teorema. Si entonces
Prueba. Si entonces
El teorema ha sido demostrado.
Pasemos a considerar ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión geométrica".
Ejemplo 1. Dado: , y . Encontrar .
Solución. Si aplicamos la fórmula (5), entonces
Respuesta: .
Ejemplo 2. Déjalo ser. Encontrar .
Solución. Desde y , usamos las fórmulas (5), (6) y obtenemos un sistema de ecuaciones
Si la segunda ecuación del sistema (9) se divide por la primera, entonces o . De esto se desprende que . Consideremos dos casos.
1. Si, entonces de la primera ecuación del sistema (9) tenemos.
2. Si, entonces.
Ejemplo 3. Deja , y . Encontrar .
Solución. De la fórmula (2) se deduce que o . Desde entonces o .
Por condición. Sin embargo, por lo tanto. Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones
Si la segunda ecuación del sistema se divide por la primera, entonces o .
Desde entonces, la ecuación tiene una única raíz adecuada. En este caso, se desprende de la primera ecuación del sistema.
Teniendo en cuenta la fórmula (7), obtenemos.
Respuesta: .
Ejemplo 4. Dado: y . Encontrar .
Solución. Desde entonces.
Desde entonces o
Según la fórmula (2) tenemos. En este sentido, de la igualdad (10) obtenemos o .
Sin embargo, por condición, por tanto.
Ejemplo 5. Se sabe que . Encontrar .
Solución. Según el teorema, tenemos dos igualdades.
Desde entonces o . Porque entonces .
Respuesta: .
Ejemplo 6. Dado: y . Encontrar .
Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos
Desde entonces. Desde, y, entonces.
Ejemplo 7. Déjalo ser. Encontrar .
Solución. Según la fórmula (1) podemos escribir
Por lo tanto, tenemos o . Se sabe que y , por lo tanto y .
Respuesta: .
Ejemplo 8. Encuentra el denominador de una progresión geométrica infinita decreciente si
Y .
Solución. De la fórmula (7) se deduce Y . De aquí y de las condiciones del problema obtenemos un sistema de ecuaciones
Si la primera ecuación del sistema es al cuadrado, y luego dividir la ecuación resultante por la segunda ecuación, entonces obtenemos
O .
Respuesta: .
Ejemplo 9. Encuentra todos los valores para los cuales la secuencia , , es una progresión geométrica.
Solución. Deja , y . Según la fórmula (2), que define la propiedad principal de una progresión geométrica, podemos escribir o .
De aquí obtenemos la ecuación cuadrática., cuyas raíces son Y .
Comprobemos: si, entonces y ;
si , entonces y . En el primer caso tenemos
y , y en el segundo – y .
Respuesta: , .Ejemplo 10.
, (11)
Resuelve la ecuación
dónde y .
De la fórmula (7) se deduce, Qué Solución. El lado izquierdo de la ecuación (11) es la suma de una progresión geométrica infinita decreciente, en la que y , sujeto a: y .. En este sentido, la ecuación (11) toma la forma o . raíz adecuada ecuación cuadrática
Respuesta: .
es Ejemplo 11. PAG consistencia numeros positivos forma una progresión aritmética , A- progresión geométrica
Solución., ¿qué tiene que ver con ? Encontrar . Porque, Eso (la propiedad principal de la progresión aritmética). Porque el, entonces o . Esto implica , que la progresión geométrica tiene la forma. Según la fórmula (2), luego lo anotamos .
Desde y entonces . En este caso, la expresión toma la forma o . Por condición, entonces de la ecuación.obtenemos única decisión problema bajo consideración, es decir. .
Respuesta: .
Ejemplo 12. Calcular suma
. (12)
Solución. Multipliquemos ambos lados de la igualdad (12) por 5 y obtengamos
Si restamos (12) de la expresión resultante, Eso
o .
Para calcular, sustituimos los valores en la fórmula (7) y obtenemos. Desde entonces.
Respuesta: .
Los ejemplos de resolución de problemas que se ofrecen aquí serán útiles para los solicitantes cuando se preparen para los exámenes de ingreso. Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., relacionado con la progresión geométrica, puede ser usado material didáctico de la lista de literatura recomendada.
1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir y la Educación, 2013. – 608 p.
2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales currículum escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.
3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en problemas y ejercicios. Libro 2: Secuencias numéricas y progresiones. – M.: Editus, 2015. – 208 p.
¿Aún tienes preguntas?
Para obtener ayuda de un tutor, regístrese.
sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.
Este número se llama denominador de una progresión geométrica, es decir, cada término difiere del anterior en q veces. (Asumiremos que q ≠ 1, de lo contrario todo es demasiado trivial). Es fácil ver que la fórmula general para el enésimo término de la progresión geométrica es b n = b 1 q n – 1 ; Los términos con números b n y b m difieren en q n – m veces.Ya estoy en eso Antiguo Egipto No sólo conocía la aritmética, sino también la progresión geométrica. He aquí, por ejemplo, un problema del papiro de Rhind: “Siete caras tienen siete gatos; Cada gato come siete ratones, cada ratón come siete mazorcas de maíz y cada mazorca de cebada puede producir siete medidas de cebada. ¿Qué tan grandes son los números de esta serie y su suma?
 |
|
Arroz. 1. Problema de progresión geométrica del Antiguo Egipto |
Esta tarea se repitió muchas veces con distintas variaciones entre otros pueblos en otras épocas. Por ejemplo, escrito en el siglo XIII. “El Libro del Ábaco” de Leonardo de Pisa (Fibonacci) tiene un problema en el que aparecen 7 ancianas camino a Roma (obviamente peregrinas), cada una de las cuales tiene 7 mulas, cada una de las cuales tiene 7 bolsas, cada una de las cuales Contiene 7 panes, cada uno de los cuales tiene 7 cuchillos, cada uno de los cuales tiene 7 vainas. El problema pregunta cuántos objetos hay.
La suma de los primeros n términos de la progresión geométrica S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Esta fórmula se puede demostrar, por ejemplo, así: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Suma el número b 1 q n a S n y obtienes:
|
De aquí S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), obtenemos la fórmula necesaria.
Ya en una de las tablillas de arcilla. Babilonia antigua que data del siglo VI. antes de Cristo e., contiene la suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Es cierto que, como en muchos otros casos, no sabemos cómo los babilonios conocieron este hecho. .
El rápido aumento de la progresión geométrica en varias culturas, en particular en la India, se utiliza repetidamente como símbolo visual de la inmensidad del universo. En la famosa leyenda sobre la aparición del ajedrez, el gobernante le da a su inventor la oportunidad de elegir él mismo la recompensa, y le pregunta el número de granos de trigo que se obtendrán si se coloca uno en la primera casilla del tablero de ajedrez, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, y etc., cada vez que el número se duplica. Vladyka pensó que, como mucho, se trataba de unas pocas bolsas, pero calculó mal. Es fácil ver que por las 64 casillas del tablero de ajedrez el inventor tendría que recibir (2 · 64 - 1) granos, lo que se expresa como un número de 20 dígitos; incluso si se siembra toda la superficie de la Tierra, se necesitarían al menos 8 años para recolectar cantidad requerida granos A veces se interpreta que esta leyenda indica las posibilidades prácticamente ilimitadas que se esconden en el juego de ajedrez.
Es fácil ver que este número en realidad tiene 20 dígitos:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un cálculo más preciso da 1,84∙10 19). Pero me pregunto si puedes averiguar con qué dígito termina este número.
Una progresión geométrica puede ser creciente si el denominador es mayor que 1 o decreciente si es menor que uno. En el último caso, el número q n para n suficientemente grande puede volverse arbitrariamente pequeño. Mientras que la progresión geométrica creciente aumenta inesperadamente rápidamente, la progresión geométrica decreciente disminuye con la misma rapidez.
Cuanto mayor es n, más débil se diferencia el número q n de cero y más se acerca la suma de n términos de la progresión geométrica S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) al número S = b 1 / ( 1-q). (Por ejemplo, F. Viet razonó de esta manera). El número S se llama suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Sin embargo, durante muchos siglos la cuestión de cuál es el significado de sumar TODA la progresión geométrica, con su número infinito de términos, no fue lo suficientemente clara para los matemáticos.
Se puede ver una progresión geométrica decreciente, por ejemplo, en las aporías de Zenón “Media división” y “Aquiles y la tortuga”. En el primer caso, se muestra claramente que todo el camino (suponiendo una longitud 1) es la suma de un número infinito de segmentos 1/2, 1/4, 1/8, etc. Este es, por supuesto, el caso de el punto de vista de las ideas sobre una progresión geométrica infinita de suma finita. Y, sin embargo, ¿cómo puede ser esto?
|
Arroz. 2. Progresión con un coeficiente de 1/2 |
En la aporía sobre Aquiles la situación es un poco más complicada, porque aquí el denominador de la progresión no es 1/2, sino algún otro número. Supongamos, por ejemplo, que Aquiles corre con velocidad v, la tortuga se mueve con velocidad u y la distancia inicial entre ellos es l. Aquiles cubrirá esta distancia en el tiempo l/v, y durante este tiempo la tortuga se moverá una distancia lu/v. Cuando Aquiles recorre este segmento, la distancia entre él y la tortuga será igual a l (u /v) 2, etc. Resulta que alcanzar a la tortuga significa encontrar la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con la primera término l y el denominador u /v. Esta suma, el segmento que Aquiles finalmente recorrerá hasta el lugar de encuentro con la tortuga, es igual a l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Pero, de nuevo, ¿cómo debería interpretarse este resultado y por qué tiene algún sentido? por mucho tiempo no estaba muy claro.
|
Arroz. 3. Progresión geométrica con un coeficiente de 2/3 |
Arquímedes utilizó la suma de una progresión geométrica para determinar el área de un segmento de parábola. Sea este segmento de la parábola delimitado por la cuerda AB y sea la tangente en el punto D de la parábola paralela a AB. Sea C el punto medio de AB, E el punto medio de AC, F el punto medio de CB. Dibujemos líneas paralelas a DC que pasen por los puntos A, E, F, B; Sea la tangente trazada en el punto D que interseque estas rectas en los puntos K, L, M, N. Dibujemos también los segmentos AD y DB. Dejemos que la recta EL corte a la recta AD en el punto G y a la parábola en el punto H; La recta FM corta a la recta DB en el punto Q y a la parábola en el punto R. De acuerdo a teoria general secciones cónicas, DC – diámetro de la parábola (es decir, un segmento paralelo a su eje); él y la tangente en el punto D pueden servir como ejes de coordenadas x e y, en los que la ecuación de la parábola se escribe como y 2 = 2px (x es la distancia desde D a cualquier punto de un diámetro dado, y es la longitud de un segmento paralelo a una tangente dada desde este punto de diámetro hasta algún punto de la propia parábola).
En virtud de la ecuación de la parábola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, y como DK = 2DL, entonces KA = 4LH. Porque KA = 2LG, LH = HG. El área del segmento ADB de una parábola es igual al área del triángulo ΔADB y las áreas de los segmentos AHD y DRB combinados. A su vez, el área del segmento AHD es igualmente igual al área del triángulo AHD y los segmentos restantes AH y HD, con cada uno de los cuales se puede realizar la misma operación: dividir en un triángulo (Δ) y los dos segmentos restantes (), etc.:
El área del triángulo ΔAHD es igual a la mitad del área del triángulo ΔALD (tienen una base común AD y las alturas difieren 2 veces), que, a su vez, es igual a la mitad del área de el triángulo ΔAKD, y por tanto la mitad del área del triángulo ΔACD. Por tanto, el área del triángulo ΔAHD es igual a un cuarto del área del triángulo ΔACD. Asimismo, el área del triángulo ΔDRB es igual a un cuarto del área del triángulo ΔDFB. Entonces, las áreas de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, tomadas en conjunto, son iguales a un cuarto del área del triángulo ΔADB. Al repetir esta operación cuando se aplica a los segmentos AH, HD, DR y RB, se seleccionarán triángulos de ellos, cuyo área, en conjunto, será 4 veces menor que el área de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, en conjunto, y por tanto 16 veces menor, que el área del triángulo ΔADB. Etcétera:
Así, Arquímedes demostró que “todo segmento comprendido entre una recta y una parábola constituye los cuatro tercios de un triángulo que tiene la misma base y la misma altura”.
>>Matemáticas: Progresión geométrica
Para comodidad del lector, este párrafo está construido exactamente de acuerdo con el mismo plan que seguimos en el párrafo anterior.
1. Conceptos básicos.
Definición. Una secuencia numérica, cuyos miembros son diferentes de 0 y cada miembro, a partir del segundo, se obtiene del miembro anterior multiplicándolo por el mismo número se llama progresión geométrica. En este caso, el número 5 se llama denominador de una progresión geométrica.
Así, una progresión geométrica es una secuencia numérica (b n) definida recurrentemente por las relaciones
¿Es posible observar una secuencia numérica y determinar si es una progresión geométrica? Poder. Si estás convencido de que la proporción entre cualquier miembro de la secuencia y el miembro anterior es constante, entonces tienes una progresión geométrica.
Ejemplo 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
segundo 1 = 1, q = 3.
Ejemplo 2.
Esta es una progresión geométrica que tiene
Ejemplo 3.
Esta es una progresión geométrica que tiene
Ejemplo 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Esta es una progresión geométrica en la que b 1 - 8, q = 1.
Tenga en cuenta que esta secuencia también es una progresión aritmética (ver ejemplo 3 del § 15).
Ejemplo 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Esta es una progresión geométrica en la que b 1 = 2, q = -1.
Obviamente, una progresión geométrica es una secuencia creciente si b 1 > 0, q > 1 (ver ejemplo 1), y una secuencia decreciente si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Para indicar que la secuencia (b n) es una progresión geométrica, a veces es conveniente la siguiente notación:
El icono reemplaza la frase "progresión geométrica".
Observemos una propiedad curiosa y al mismo tiempo bastante obvia de la progresión geométrica:
Si la secuencia 
es una progresión geométrica, entonces la secuencia de cuadrados, es decir 
es una progresión geométrica.
En la segunda progresión geométrica, el primer término es igual e igual a q 2.
Si en una progresión geométrica descartamos todos los términos que siguen a b n, obtenemos una progresión geométrica finita 
En párrafos posteriores de esta sección consideraremos las propiedades más importantes de la progresión geométrica.
2. Fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.
Considere una progresión geométrica 
denominador q. Tenemos:
No es difícil adivinar que para cualquier número n la igualdad es verdadera
Esta es la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.
Comentario.
Si tu lees nota IMPORTANTE del párrafo anterior y comprenderlo, luego intente probar la fórmula (1) usando el método de inducción matemática de la misma manera que se hizo para la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética.
Reescribamos la fórmula para el enésimo término de la progresión geométrica.
e introduzca la notación: Obtenemos y = mq 2, o, con más detalle, 
El argumento x está contenido en el exponente, por lo que esta función se llama función exponencial. Esto significa que una progresión geométrica puede considerarse como una función exponencial definida sobre el conjunto N de números naturales. En la Fig. 96a muestra la gráfica de la función Fig. 966 - gráfico de funciones 
En ambos casos, tenemos puntos aislados (con abscisas x = 1, x = 2, x = 3, etc.) que se encuentran en una determinada curva (ambas figuras muestran la misma curva, solo que ubicadas de manera diferente y representadas en diferentes escalas). Esta curva se llama curva exponencial. Se discutirán más detalles sobre la función exponencial y su gráfica en el curso de álgebra de 11º grado.
Volvamos a los ejemplos 1-5 del párrafo anterior.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Esta es una progresión geométrica para la cual b 1 = 1, q = 3. Creemos la fórmula para el enésimo término 
2) 
Esta es una progresión geométrica para la cual creemos una fórmula para el enésimo término. 
Esta es una progresión geométrica que tiene 
Creemos la fórmula para el enésimo término. 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Esta es una progresión geométrica para la cual b 1 = 8, q = 1. Creemos la fórmula para el enésimo término 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Esta es una progresión geométrica en la que b 1 = 2, q = -1. Creemos la fórmula para el enésimo término. 
Ejemplo 6.
Dada una progresión geométrica
En todos los casos, la solución se basa en la fórmula del enésimo término de la progresión geométrica.
a) Poniendo n = 6 en la fórmula del enésimo término de la progresión geométrica, obtenemos
b) tenemos
Como 512 = 2 9, obtenemos n - 1 = 9, n = 10.
d) tenemos
Ejemplo 7.
La diferencia entre los términos séptimo y quinto de la progresión geométrica es 48, la suma de los términos quinto y sexto de la progresión también es 48. Encuentra el duodécimo término de esta progresión.
Primera etapa. Elaboración de un modelo matemático.
Las condiciones del problema se pueden escribir brevemente de la siguiente manera:
Usando la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica, obtenemos:
Entonces la segunda condición del problema (b 7 - b 5 = 48) se puede escribir como
La tercera condición del problema (b 5 + b 6 = 48) se puede escribir como
Como resultado, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos variables b 1 y q:
que, en combinación con la condición 1) escrita anteriormente, representa un modelo matemático del problema.
Segunda fase.
Trabajando con el modelo compilado. Igualando los lados izquierdos de ambas ecuaciones del sistema, obtenemos:
(dividimos ambos lados de la ecuación por la expresión distinta de cero b 1 q 4).
De la ecuación q 2 - q - 2 = 0 encontramos q 1 = 2, q 2 = -1. Sustituyendo el valor q = 2 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos 
Sustituyendo el valor q = -1 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos b 1 1 0 = 48; esta ecuación no tiene soluciones.
Entonces, b 1 =1, q = 2: este par es la solución al sistema de ecuaciones compilado.
Ahora podemos escribir la progresión geométrica comentada en el problema: 1, 2, 4, 8, 16, 32,....
Tercera etapa.
Respuesta a la pregunta del problema. Necesitas calcular b 12. Tenemos
Respuesta: b 12 = 2048.
3. Fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita.
Sea dada una progresión geométrica finita
Denotemos por S n la suma de sus términos, es decir
Derivemos una fórmula para encontrar esta cantidad.
Comencemos con el caso más simple, cuando q = 1. Entonces la progresión geométrica b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn consta de n números iguales a b 1 , es decir la progresión se parece a b 1, b 2, b 3, ..., b 4. La suma de estos números es nb 1.
Sea ahora q = 1 Para encontrar S n, aplicamos una técnica artificial: realizamos algunas transformaciones de la expresión S n q. Tenemos:
Al realizar transformaciones, en primer lugar, utilizamos la definición de progresión geométrica, según la cual (ver la tercera línea de razonamiento); en segundo lugar, sumaron y restaron, por lo que el significado de la expresión, por supuesto, no cambió (ver la cuarta línea de razonamiento); En tercer lugar, utilizamos la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica:
De la fórmula (1) encontramos:
Esta es la fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica (para el caso en que q = 1).
Ejemplo 8.
Dada una progresión geométrica finita
a) la suma de los términos de la progresión; b) la suma de los cuadrados de sus términos.
b) Arriba (ver p. 132) ya hemos observado que si todos los términos de una progresión geométrica se elevan al cuadrado, obtenemos una progresión geométrica con el primer término b 2 y el denominador q 2. Entonces la suma de los seis términos de la nueva progresión se calculará mediante
Ejemplo 9.
Encuentra el octavo término de la progresión geométrica para el cual
De hecho, hemos demostrado el siguiente teorema.
Una sucesión numérica es una progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primer teorema (y el último, en el caso de una sucesión finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior (un propiedad característica de una progresión geométrica).
Instrucciones
10, 30, 90, 270...
Necesitas encontrar el denominador de una progresión geométrica.
Solución:
Opción 1. Tomemos un término arbitrario de la progresión (por ejemplo, 90) y dividámoslo por el anterior (30): 90/30=3.
Si se conoce la suma de varios términos de una progresión geométrica o la suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente, entonces para encontrar el denominador de la progresión se utilizan las fórmulas apropiadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), donde Sn es la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica y
S = b1/(1-q), donde S es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente (la suma de todos los términos de la progresión con un denominador menor que uno).
Ejemplo.
El primer término de una progresión geométrica decreciente es igual a uno y la suma de todos sus términos es igual a dos.
Es necesario determinar el denominador de esta progresión.
Solución:
Sustituye los datos del problema en la fórmula. Resultará:
2=1/(1-q), de donde – q=1/2.
Una progresión es una secuencia de números. En una progresión geométrica, cada término posterior se obtiene multiplicando el anterior por un determinado número q, llamado denominador de la progresión.
Instrucciones
Si se conocen dos términos geométricos adyacentes b(n+1) y b(n), para obtener el denominador es necesario dividir el número con el mayor por el que le precede: q=b(n+1)/b (norte). Esto se desprende de la definición de progresión y su denominador. Una condición importante es la desigualdad del primer término y el denominador de la progresión a cero, en caso contrario se considera indefinida.
Así, se establecen las siguientes relaciones entre los términos de la progresión: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Usando la fórmula b(n)=b1 q^(n-1), se puede calcular cualquier término de la progresión geométrica en el que se conozcan el denominador q y el término b1. Además, cada una de las progresiones es igual en módulo al promedio de sus miembros vecinos: |b(n)|=√, que es donde la progresión obtuvo su valor.
Un análogo de una progresión geométrica es el más simple. funcion exponencial y = a ^ x, donde x es un exponente, a es un número determinado. En este caso, el denominador de la progresión coincide con el primer término y es igual al número a. El valor de la función y se puede entender como enésimo término progresión si el argumento x se toma como número natural n (contador).