Números. Enteros
“Función cuadrática” - Propiedades: -Intervalos de monotonicidad para a > 0 para a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение función cuadrática 2 Propiedades de una función 3 Gráficas de una función 4 Desigualdades cuadráticas 5 Conclusión. Las funciones cuadráticas se utilizan desde hace muchos años.
“Función de potencia grado 9” - Estamos familiarizados con las funciones. Función de potencia. U. 0. Maestra de noveno grado Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... El indicador es un número natural par (2n). Y = x. Parábola. Parábola cúbica. La función y=x2n es par, porque (–x)2n = x2n.
“Función cuadrática de octavo grado” - 1) Construir el vértice de una parábola. -1. Construye una gráfica de la función. 2) Construya el eje de simetría x=-1. y. Álgebra Profesora 8vo grado 496 Bovina T.V. Graficar una función cuadrática. X. -7. Plan de construcción.
“Gráfica de la función Y X” - La gráfica de la función y=x2 + n es una parábola con el vértice en el punto (0; n). La gráfica de la función y=(x - m)2 es una parábola con su vértice en el punto (m; 0). Para ver los gráficos, haga clic con el mouse. La página se muestra al hacer clic. De lo anterior se deduce que la gráfica de la función y=(x - m)2 + n es una parábola con su vértice en el punto (m; n).
“Logaritmo natural” - 0,1. "Dardos logarítmicos" 0,04. 121. Logaritmos naturales. 7. 4.
“Función cuadrática y su gráfica” - Autor: Ilya Granov. Resolución de problemas: Solution.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-pertenece. 4. ¿La gráfica de la función y=4x es el punto: A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4)? Cuando a=1, la fórmula y=ax toma la forma.
Hay un total de 25 presentaciones en el tema.
Liceo MBOU No. 000
Ensayo de matemáticas sobre el tema.
"Enteros"
Terminado:
estudiante de 5to grado
Morozov Vanya
Comprobado:
profesor de matematicas
Novosibirsk, 2012
Introducción – 3
¿Por qué necesitamos números naturales? 4
Tipos de números naturales - 5
Conclusión – 6
Literatura usada – 7
Introducción
Hoy en día la gente no puede prescindir de los números. Los números nos rodean en todas partes, los encontramos en cada minuto de nuestra vida. De la gran variedad de números, el grupo más simple es números enteros, con el que comenzamos nuestro conteo.
Objetivo: descubrir en qué tipos se pueden dividir los números naturales.
¿Por qué necesitamos números naturales?
Los números naturales se utilizan para contar objetos. Cualquier número natural se puede escribir con diez dígitos: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Los números son los “bloques de construcción” para construir números. Se pueden usar uno o más dígitos para escribir un número. Esta notación de números se llama decimal porque sólo se utilizan 10 dígitos diferentes.
La secuencia de todos los números naturales se llama natural al lado de: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Serie natural es infinito, tiene principio, pero no fin, es decir, no existe el mayor número natural, siempre se puede encontrar un número natural que será mayor.
El número natural más pequeño es uno (1), y cada siguiente numero 1 más que el anterior.
El significado de un dígito depende de su lugar en el registro numérico. Por ejemplo, el número 4 significa: 4 unidades, si está en el último lugar del registro numérico (en el lugar de las unidades): 4 decenas, si está en el penúltimo lugar (en el lugar de las decenas), 4 centenas, si está en el tercer lugar desde el final (en el lugar de las centenas).
El número 0 significa que no hay unidades de este dígito en la notación decimal del número. También sirve para designar el número “cero”. Este número significa "ninguno". Puntuación 0: 3 partido de fútbol Indica que el primer equipo no marcó ni un solo gol al rival.
Debes recordar que el cero no es un número natural. Esto significa que el cero en sí no es un número natural, pero a menudo se usa para escribir números naturales para indicar que el número no contiene unidades, decenas, centenas,...
Tipos de números naturales.
Si la grabación de un número natural consta de un signo, un dígito, entonces se llama inequívoco. Por ejemplo, los números 1, 5, 8 son de un solo dígito.
Si un número consta de dos caracteres, dos dígitos, entonces se llama doble digito. Por ejemplo, los números 14, 33, 28, 95 son números de dos dígitos.
Además, según la cantidad de caracteres de un número determinado, dan nombres a otros números: números 386, 555, 951 - tres dígitos; números 1346, 5787, 9999 - cuatro dígitos etc.
Los números de dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, cinco dígitos, etc. se llaman polisemántico. Para facilitar la percepción y la lectura. números de varios dígitos se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de tres dígitos cada uno (el grupo más a la izquierda puede constar de uno o dos dígitos). Por ejemplo: , 1.250.
Estos grupos se llaman clases. Los primeros tres dígitos de la derecha forman la clase de unidades, los tres siguientes son la clase de miles, luego vienen las clases de millones, miles de millones, etc.
Mil son mil unidades (1.000). Se anota como 1 mil o 1.000.
Un millón son mil mil (1000 mil). Está escrito: 1 millón o 1
Mil millones son mil millones (1000 millones). Está escrito: mil millones o mil.
considere el numero
Este número tiene 286 unidades en la clase de unidades, n unidades en la clase de millones y 15 unidades en la clase de miles de millones.
No pronuncian el nombre de la clase de unidades, ni tampoco el nombre de una clase cuyos tres dígitos son todos ceros.
15 mil millones 389 millones 286. (los miles son cero, por eso no los pronunciamos).
Conclusión.
Ahora podemos decir con seguridad que los números naturales se pueden dividir en varios tipos. Y al leer números naturales, debes tener mucho cuidado.
Referencias:
2. http://www. *****/lecciones/5/1.html
Hay dos enfoques para definir los números naturales:
- contar (numerar) elementos ( primero, segundo, tercero, cuatro, quinto…);
- Los números naturales son números que surgen cuando designación de cantidad elementos ( 0 artículos, 1 articulo, 2 artículos, 3 artículos, 4 artículos, 5 artículos…).
En el primer caso, la serie de números naturales comienza con uno, en el segundo, con cero. No hay consenso entre la mayoría de los matemáticos sobre si es preferible el primer o el segundo enfoque (es decir, si el cero debe considerarse un número natural o no). La inmensa mayoría de las fuentes rusas tradicionalmente adoptan el primer enfoque. El segundo enfoque se adopta, por ejemplo, en las obras de Nicolas Bourbaki, donde los números naturales se definen como cardinalidades de conjuntos finitos.
El hecho fundamental es que estos axiomas definen esencialmente de manera única los números naturales (la naturaleza categórica del sistema de axiomas de Peano). Es decir, se puede probar (ver, así como una breve prueba) que si (norte, 1, S) (\displaystyle (\mathbb (N),1,S)) Y (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- dos modelos para el sistema de axiomas de Peano, entonces son necesariamente isomórficos, es decir, hay un mapeo invertible (biyección) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tal que f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) Y f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) para todos x ∈ norte (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).
Por tanto, basta con fijar un modelo específico de un conjunto de números naturales como cualquiera.
Cero como número natural
A veces, especialmente en la literatura extranjera y traducida, uno se reemplaza por cero en el primer y tercer axioma de Peano. En este caso, el cero se considera un número natural. Cuando se define a través de clases de conjuntos iguales, el cero es un número natural por definición. Sería antinatural rechazarlo deliberadamente. Además, esto complicaría significativamente la construcción y aplicación de la teoría, ya que en la mayoría de las construcciones el cero, como el conjunto vacío, no es algo separado. Otra ventaja de tratar el cero como un número natural es que norte (\displaystyle \mathbb (N) ) forma un monoide.
En la literatura rusa, el cero suele estar excluido de la lista de números naturales ( 0 ∉ norte (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), y el conjunto de números naturales con cero se denota como norte 0 (\displaystyle \mathbb (N)_(0)). Si el cero está incluido en la definición de números naturales, entonces el conjunto de números naturales se escribe como norte (\displaystyle \mathbb (N) ), y sin cero - como norte ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).
En la literatura matemática internacional, teniendo en cuenta lo anterior y para evitar ambigüedades, existen muchos ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) generalmente llamado conjunto de números enteros positivos y denotado Z + (\displaystyle \mathbb (Z)_(+)). Un montón de ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) a menudo se le llama conjunto de números enteros no negativos y denota Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z)_(\geqslant 0)).
Así, los números naturales también se introducen a partir del concepto de conjunto, según dos reglas:
Los números definidos de esta manera se llaman ordinales.
Describamos los primeros números ordinales y los números naturales correspondientes:
Magnitud del conjunto de los números naturales.
El tamaño de un conjunto infinito se caracteriza por el concepto de "cardinalidad de un conjunto", que es una generalización del número de elementos de un conjunto finito a conjuntos infinitos. En magnitud (es decir, cardinalidad), el conjunto de números naturales es mayor que cualquier conjunto finito, pero menor que cualquier intervalo, por ejemplo, el intervalo (0, 1) (\displaystyle (0,1)). El conjunto de los números naturales tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números racionales. Un conjunto con la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales se llama conjunto contable. Por tanto, el conjunto de términos de cualquier secuencia es contable. Al mismo tiempo, existe una secuencia en la que cada número natural aparece un número infinito de veces, ya que el conjunto de números naturales se puede representar como una unión contable de conjuntos contables disjuntos (por ejemplo, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ copa grande \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).
Operaciones con números naturales
Las operaciones cerradas (operaciones que no derivan un resultado del conjunto de números naturales) sobre números naturales incluyen las siguientes operaciones aritméticas:
Además, se consideran dos operaciones más (desde un punto de vista formal, no son operaciones sobre números naturales, ya que no están definidas para todos pares de números (a veces existen, a veces no)):
Cabe destacar que las operaciones de suma y multiplicación son fundamentales. En particular, el anillo de números enteros se define precisamente mediante las operaciones binarias de suma y multiplicación.
Propiedades básicas
- Conmutatividad de la suma:
- Conmutatividad de la multiplicación:
- Asociatividad de suma:
- Asociatividad de multiplicación:
- Distributividad de la multiplicación relativa a la suma:
estructura algebraica
La suma convierte el conjunto de números naturales en un semigrupo con unidad, el papel de unidad lo desempeñan 0 . La multiplicación también convierte el conjunto de números naturales en un semigrupo con identidad, siendo el elemento identidad 1 . Utilizando cierres respecto de las operaciones de suma-resta y multiplicación-división se obtienen grupos de números enteros Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) y racional numeros positivos Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) respectivamente.
Definiciones de la teoría de conjuntos
Usemos la definición de números naturales como clases de equivalencia de conjuntos finitos. Si denotamos la clase de equivalencia de un conjunto A, generado por biyecciones, usando corchetes: [ A], las operaciones aritméticas básicas se definen de la siguiente manera:
Se puede demostrar que las operaciones resultantes sobre clases se introducen correctamente, es decir, no dependen de la elección de los elementos de clase y coinciden con definiciones inductivas.
ver también
Notas
Literatura
- Vygodsky M. Ya. Manual de Matemáticas Elementales. - M.: Nauka, 1978.
- Reimpresión: M.: AST, 2006,
Las matemáticas surgieron de la filosofía general alrededor del siglo VI a.C. e., y a partir de ese momento comenzó su marcha victoriosa alrededor del mundo. Cada etapa del desarrollo introdujo algo nuevo: el conteo elemental evolucionó, se transformó en cálculo diferencial e integral, pasaron los siglos, las fórmulas se volvieron cada vez más confusas y llegó el momento en que "comenzaron las matemáticas más complejas: todos los números desaparecieron de ellas". Pero ¿cuál fue la base?
El comienzo de los tiempos
Los números naturales aparecieron junto con las primeras operaciones matemáticas. Una espina, dos espinas, tres espinas... Aparecieron gracias a los científicos indios que desarrollaron el primer posicional
La palabra "posicionalidad" significa que la ubicación de cada dígito en un número está estrictamente definida y corresponde a su rango. Por ejemplo, los números 784 y 487 son los mismos números, pero los números no son equivalentes, ya que el primero incluye 7 centenas, mientras que el segundo solo 4. La innovación india fue recogida por los árabes, quienes llevaron los números a la forma que sabemos ahora.
En la antigüedad, a los números se les daba un significado místico; Pitágoras creía que los números son la base de la creación del mundo junto con los elementos básicos: fuego, agua, tierra, aire. Si consideramos todo sólo desde el punto de vista matemático, ¿qué es un número natural? El cuerpo de los números naturales se denota como N y es una serie infinita de números enteros y positivos: 1, 2, 3,… + ∞. Se excluye el cero. Se utiliza principalmente para contar artículos e indicar el orden.
¿Qué es en matemáticas? axiomas de peano
El campo N es el básico en el que se basan las matemáticas elementales. Con el tiempo, los campos de números enteros, racionales,
El trabajo del matemático italiano Giuseppe Peano hizo posible una mayor estructuración de la aritmética, logró su formalidad y preparó el camino para futuras conclusiones que iban más allá del área de campo N.
¿Qué es un número natural se aclaró anteriormente? en lenguaje sencillo, a continuación consideraremos una definición matemática basada en los axiomas de Peano.
- Uno se considera un número natural.
- El número que sigue a un número natural es un número natural.
- No hay ningún número natural antes del uno.
- Si el número b sigue tanto al número c como al número d, entonces c=d.
- Un axioma de inducción, que a su vez muestra qué es un número natural: si alguna afirmación que depende de un parámetro es verdadera para el número 1, entonces asumimos que también funciona para el número n del campo de los números naturales N. Entonces la afirmación también es cierta para n =1 del campo de los números naturales N.
Operaciones básicas para el campo de los números naturales.
Dado que el campo N fue el primero en realizar cálculos matemáticos, le pertenecen tanto los dominios de definición como los rangos de valores de una serie de operaciones siguientes. Están cerrados y no. La principal diferencia es que se garantiza que las operaciones cerradas dejarán el resultado dentro del conjunto N, independientemente de los números involucrados. Basta con que sean naturales. El resultado de otras interacciones numéricas ya no es tan claro y depende directamente de qué números están involucrados en la expresión, ya que puede contradecir la definición principal. Entonces, operaciones cerradas:
- suma - x + y = z, donde x, y, z están incluidos en el campo N;
- multiplicación - x * y = z, donde x, y, z están incluidos en el campo N;
- exponenciación - x y, donde x, y están incluidos en el campo N.
El resto de operaciones, cuyo resultado puede no existir en el contexto de la definición de “qué es un número natural”, son las siguientes:
Propiedades de los números pertenecientes al campo N.
Todo razonamiento matemático posterior se basará en las siguientes propiedades, las más triviales, pero no menos importantes.
- La propiedad conmutativa de la suma es x + y = y + x, donde los números x, y se incluyen en el campo N. O el conocido “la suma no cambia cambiando los lugares de los términos”.
- La propiedad conmutativa de la multiplicación es x * y = y * x, donde los números x, y están incluidos en el campo N.
- La propiedad combinacional de la suma es (x + y) + z = x + (y + z), donde x, y, z están incluidos en el campo N.
- La propiedad coincidente de la multiplicación es (x * y) * z = x * (y * z), donde los números x, y, z se incluyen en el campo N.
- propiedad distributiva - x (y + z) = x * y + x * z, donde los números x, y, z están incluidos en el campo N.
mesa pitagórica
Uno de los primeros pasos en el conocimiento de toda la estructura de las matemáticas elementales por parte de los estudiantes, después de haber comprendido por sí mismos qué números se llaman números naturales, es la tabla de Pitágoras. Puede considerarse no sólo desde el punto de vista científico, sino también como un monumento científico de gran valor.
Esta tabla de multiplicar ha sufrido una serie de cambios a lo largo del tiempo: se le ha eliminado el cero y los números del 1 al 10 se representan a sí mismos, sin tener en cuenta órdenes (centenas, miles...). Es una tabla en la que los encabezados de filas y columnas son números, y el contenido de las celdas donde se cruzan es igual a su producto.
En la práctica de la enseñanza en las últimas décadas, ha surgido la necesidad de memorizar la tabla pitagórica “en orden”, es decir, la memorización era lo primero. Se excluyó la multiplicación por 1 porque el resultado era un multiplicador de 1 o mayor. Mientras tanto, en la tabla a simple vista se puede notar un patrón: el producto de los números aumenta en un paso, lo que es igual al título de la línea. Así, el segundo factor nos muestra cuántas veces debemos tomar el primero para obtener el producto deseado. Este sistema es mucho más cómodo que el que se practicaba en la Edad Media: incluso entendiendo qué es un número natural y cuán trivial es, la gente logró complicar su conteo cotidiano utilizando un sistema basado en potencias de dos.
Subconjunto como cuna de las matemáticas.
En este momento El campo de los números naturales N se considera sólo como uno de los subconjuntos de números complejos, pero esto no los hace menos valiosos en la ciencia. El número natural es lo primero que aprende un niño cuando se estudia a sí mismo y el mundo. Un dedo, dos dedos... Gracias a él, una persona se desarrolla. pensamiento lógico, así como la capacidad de determinar causa y deducir efecto, allanando el camino para grandes descubrimientos.
El número más simple es número natural. Se utilizan en La vida cotidiana para contar objetos, es decir para calcular su número y orden.
¿Qué es un número natural? números naturales Nombra los números que se utilizan para contar artículos o indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneos elementos.
Enteros- estos son números que comienzan desde uno. Se forman de forma natural al contar.Por ejemplo, 1,2,3,4,5... -primeros números naturales.
Número natural más pequeño- uno. No existe un mayor número natural. Al contar el número El cero no se utiliza, por lo que el cero es un número natural.
Serie de números naturales es la secuencia de todos los números naturales. Escribir números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
En la serie natural cada número es mayor que el anterior en uno.
¿Cuántos números hay en la serie natural? La serie natural es infinita; el mayor número natural no existe.
Decimal ya que 10 unidades de cualquier dígito forman 1 unidad del dígito más alto. Posicionalmente así cómo el significado de un dígito depende de su lugar en el número, es decir, de la categoría donde está escrito.
Clases de números naturales.
Cualquier número natural se puede escribir utilizando 10 números arábigos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para leer los números naturales, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de 3 dígitos cada uno. 3 primero los números de la derecha son la clase de unidades, los 3 siguientes son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones yetc. Cada uno de los dígitos de una clase se llamadescargar.
Comparación de números naturales.
De 2 números naturales, el menor es el número que se llama antes al contar. Por ejemplo, número 7 menos 11 (escribe así:7 < 11 ). Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .
Tabla de dígitos y clases de números.
|
unidad de primera clase |
1er dígito de la unidad decenas de segundo dígito 3er lugar cientos |
|
mil de segunda clase |
1er dígito de la unidad de miles 2do dígito decenas de miles 3ª categoría cientos de miles |
|
millones de tercera clase |
1er dígito de la unidad de millones 2da categoría decenas de millones 3ª categoría cientos de millones |
|
miles de millones de cuarta clase |
1er dígito de la unidad de miles de millones 2da categoría decenas de miles de millones 3ª categoría cientos de miles de millones |
|
Los números de 5to grado y superiores se refieren a números grandes. Las unidades de quinta clase son billones, sexta clase - cuatrillones, séptima clase - quintillones, octava clase - sextillones, novena clase - eptilliones. Propiedades básicas de los números naturales.
Operaciones con números naturales. 4. La división de números naturales es la operación inversa de la multiplicación. Si segundo ∙ c = un, Eso
Fórmulas para la división: una: 1 = una a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Expresiones numéricas e igualdades numéricas. Una notación donde los números están conectados por signos de acción es expresión numérica. Por ejemplo, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Los registros donde se combinan 2 expresiones numéricas con un signo igual son igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdo y derecho. El orden de realización de operaciones aritméticas. La suma y la resta de números son operaciones de primer grado, mientras que la multiplicación y la división son operaciones de segundo grado. Cuando una expresión numérica consta de acciones de un solo grado, se realizan de forma secuencial de izquierda a derecha. Cuando las expresiones consisten en acciones sólo de primer y segundo grado, entonces las acciones se realizan primero. segundo grado, y luego - acciones de primer grado. Cuando hay paréntesis en una expresión, las acciones entre paréntesis se realizan primero. Por ejemplo, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
