Oscilaciones. Vibraciones armónicas. Ecuación armónica
Vibraciones armónicas
Gráficos de funciones F(X) = pecado( X) Y gramo(X) = porque( X) en el plano cartesiano.
Oscilación armónica- oscilaciones en las que una cantidad física (o cualquier otra) cambia con el tiempo según una ley sinusoidal o coseno. La ecuación cinemática de oscilaciones armónicas tiene la forma.
,Dónde X- desplazamiento (desviación) del punto oscilante desde la posición de equilibrio en el momento t; A- amplitud de oscilaciones, este es el valor que determina la desviación máxima del punto de oscilación de la posición de equilibrio; ω - frecuencia cíclica, valor que indica el número de oscilaciones completas que ocurren en 2π segundos - fase completa de oscilaciones, - fase inicial de oscilaciones.
Oscilación armónica generalizada en forma diferencial.
(Cualquier solución no trivial a este ecuación diferencial- hay una oscilación armónica con una frecuencia cíclica)
Tipos de vibraciones
Evolución temporal del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en movimiento armónico.
- vibraciones libres se cometen bajo la influencia fuerzas internas sistema después de que el sistema ha sido retirado de su posición de equilibrio. Para que las oscilaciones libres sean armónicas, es necesario que el sistema oscilatorio sea lineal (descrito ecuaciones lineales movimiento), y no hubo disipación de energía (esto último causaría atenuación).
- Vibraciones forzadas se realizan bajo la influencia de una fuerza periódica externa. Para que sean armónicos, basta con que el sistema oscilatorio sea lineal (descrito por ecuaciones lineales de movimiento), y la fuerza externa misma cambie con el tiempo como una oscilación armónica (es decir, que la dependencia temporal de esta fuerza sea sinusoidal) .
Solicitud
Las vibraciones armónicas se distinguen de todos los demás tipos de vibraciones por las siguientes razones:
ver también
Notas
Literatura
- Física. Libro de texto elemental de física / Ed. GS Lansberg. - 3ª edición. - M., 1962. - T.3.
- Khaikin S.E. Fundamentos físicos de la mecánica. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Fundamentos físicos de la mecánica. - Ed. MSTU soy. Bauman, 2006.
- Gorelik G.S. Oscilaciones y ondas. Introducción a la acústica, la radiofísica y la óptica. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 p.
Fundación Wikimedia. 2010.
Vea qué son las “oscilaciones armónicas” en otros diccionarios:
enciclopedia moderna
Vibraciones armónicas- VIBRACIONES ARMÓNICAS, cambios periódicos de una cantidad física que se producen según la ley del seno. Gráficamente, las oscilaciones armónicas se representan mediante una curva sinusoide. Vibraciones armónicas la forma mas simple movimientos periódicos, caracterizados por... Diccionario enciclopédico ilustrado
Oscilaciones en las que una cantidad física cambia con el tiempo según la ley del seno o el coseno. Gráficamente, los GK se representan mediante una onda sinusoidal curva o una onda coseno (ver figura); se pueden escribir en la forma: x = Asen (ωt + φ) o x... Gran enciclopedia soviética
VIBRACIONES ARMÓNICAS, movimientos periódicos como el movimiento de un PÉNDULO, vibraciones atómicas o vibraciones en circuito eléctrico. Un cuerpo realiza oscilaciones armónicas no amortiguadas cuando oscila a lo largo de una recta, moviéndose la misma... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico.
Oscilaciones con las que el físico (o cualquier otra) cantidad cambia con el tiempo de acuerdo con una ley sinusoidal: x=Asin(wt+j), donde x es el valor de la cantidad fluctuante en un momento dado. momento de tiempo t (para G.K. mecánico, por ejemplo, desplazamiento o velocidad, para ... ... Enciclopedia física
vibraciones armónicas - Vibraciones mecánicas, en el que la coordenada generalizada y (o) la velocidad generalizada cambian en proporción al seno con un argumento linealmente dependiente del tiempo. [Colección de términos recomendados. Número 106. Vibraciones mecánicas. Academia de Ciencias… Guía del traductor técnico
Oscilaciones con las que el físico (o cualquier otra) cantidad cambia con el tiempo de acuerdo con una ley sinusoidal, donde x es el valor de la cantidad oscilante en el tiempo t (para sistemas hidráulicos mecánicos, por ejemplo, desplazamiento y velocidad, para voltaje eléctrico e intensidad de corriente) ... Enciclopedia física
VIBRACIONES ARMÓNICAS- (ver), en qué físico. una cantidad cambia con el tiempo de acuerdo con la ley del seno o el coseno (por ejemplo, cambios (ver) y velocidad durante la oscilación (ver) o cambios (ver) y intensidad de la corriente durante los circuitos eléctricos) ... Gran Enciclopedia Politécnica
Se caracterizan por un cambio en el valor oscilante x (por ejemplo, la desviación del péndulo de la posición de equilibrio, el voltaje en el circuito de corriente alterna, etc.) en el tiempo t según la ley: x = Asen (?t + ?), donde A es la amplitud de las oscilaciones armónicas, ? esquina... ... Gran diccionario enciclopédico
Vibraciones armónicas- 19. Oscilaciones armónicas Oscilaciones en las que los valores de la cantidad oscilante cambian con el tiempo según la ley Fuente... Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica.
Periódico fluctuaciones, en las que cambios en el tiempo físico. Las cantidades ocurren de acuerdo con la ley del seno o el coseno (ver figura): s = Аsin(wt+ф0), donde s es la desviación de la cantidad oscilante de su promedio. valor (de equilibrio), A=amplitud constante, w= circular constante... Gran Diccionario Politécnico Enciclopédico
Ecuación de vibración armónica.
La ecuación de oscilación armónica establece la dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo.
La gráfica del coseno en el momento inicial tiene un valor máximo y la gráfica del seno tiene un valor cero en el momento inicial. Si comenzamos a examinar la oscilación desde la posición de equilibrio, entonces la oscilación repetirá una sinusoide. Si comenzamos a considerar la oscilación desde la posición de máxima desviación, entonces la oscilación se describirá mediante un coseno. O tal oscilación puede describirse mediante la fórmula del seno con una fase inicial.
Cambio de velocidad y aceleración durante la oscilación armónica.
No sólo las coordenadas del cuerpo cambian con el tiempo según la ley del seno o el coseno. Pero cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleración también cambian de manera similar. La fuerza y la aceleración son máximas cuando el cuerpo oscilante se encuentra en las posiciones extremas donde el desplazamiento es máximo, y son nulas cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio. La velocidad, por el contrario, en posiciones extremas es cero, y cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio alcanza su valor máximo.
Si la oscilación se describe por la ley del coseno.
Si la oscilación se describe según la ley del seno.
Valores máximos de velocidad y aceleración.
Habiendo analizado las ecuaciones de dependencia v(t) y a(t), podemos suponer que la velocidad y la aceleración toman valores máximos en el caso de que el factor trigonométrico sea igual a 1 o -1. Determinado por la fórmula
Se trata de una oscilación periódica en la que las coordenadas, la velocidad y la aceleración que caracterizan el movimiento cambian según la ley del seno o el coseno. La ecuación de oscilación armónica establece la dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo.
La gráfica del coseno en el momento inicial tiene un valor máximo y la gráfica del seno tiene un valor cero en el momento inicial. Si comenzamos a examinar la oscilación desde la posición de equilibrio, entonces la oscilación repetirá una sinusoide. Si comenzamos a considerar la oscilación desde la posición de máxima desviación, entonces la oscilación se describirá mediante un coseno. O tal oscilación puede describirse mediante la fórmula del seno con una fase inicial.
Péndulo matemático
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Oscilaciones de un péndulo matemático. |
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Péndulo matemático – un punto material suspendido de un hilo ingrávido e inextensible (modelo físico). |
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Consideraremos el movimiento del péndulo bajo la condición de que el ángulo de deflexión sea pequeño, entonces, si medimos el ángulo en radianes, la siguiente afirmación es cierta: . |
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La fuerza de gravedad y la tensión del hilo actúan sobre el cuerpo. La resultante de estas fuerzas tiene dos componentes: tangencial, que cambia la aceleración en magnitud, y normal, que cambia la aceleración en dirección ( aceleración centrípeta, el cuerpo se mueve formando un arco). |
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Porque el ángulo es pequeño, entonces la componente tangencial es igual a la proyección de la gravedad sobre la tangente a la trayectoria: . El ángulo en radianes es igual a la relación entre la longitud del arco y el radio (longitud del hilo), y la longitud del arco es aproximadamente igual al desplazamiento (): | |
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x ≈ s Comparemos la ecuación resultante con la ecuación del movimiento oscilatorio. | |
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Se puede ver que o es la frecuencia cíclica durante las oscilaciones de un péndulo matemático. |
Período de oscilación o (fórmula de Galileo). |
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la fórmula de galileo | |
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La conclusión más importante: ¡el período de oscilación de un péndulo matemático no depende de la masa del cuerpo! Se pueden hacer cálculos similares utilizando la ley de conservación de la energía. |
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Tengamos en cuenta que la energía potencial de un cuerpo en un campo gravitacional es igual a , y la energía mecánica total es igual a la energía potencial o cinética máxima: Escribamos la ley de conservación de la energía y tomemos la derivada de los lados izquierdo y derecho de la ecuación: . Porque | |
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la derivada de un valor constante es igual a cero, entonces . | |
.
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La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas: y. Por lo tanto: , y por lo tanto. |
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Ecuación de estado del gas ideal (Ecuación de Mendeleev-Clapeyron). Una ecuación de estado es una ecuación que relaciona los parámetros de un sistema físico y determina de forma única su estado. En 1834, el físico francés B. Clapeyron, que trabajó durante mucho tiempo en San Petersburgo, dedujo la ecuación de estado de un gas ideal para una masa constante de gas. En 1874 | |
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D. I. Mendeleev derivó una ecuación para un número arbitrario de moléculas. | |
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. Por eso,. Teniendo en cuenta que |
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El producto de cantidades constantes es una cantidad constante, por lo tanto: - constante universal de los gases (universal, porque es la misma para todos los gases). | |
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Así tenemos: |
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Ecuación de estado (ecuación de Mendeleev-Clapeyron). Otras formas de escribir la ecuación de estado de un gas ideal. 1. Ecuación para 1 mol de sustancia. Si n=1 mol, entonces, denotando el volumen de un mol V m, obtenemos: . Para |
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2. Escribir la ecuación a través de la densidad: - ¡la densidad depende de la temperatura y la presión! | |
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3. La ecuación de Clapeyron. A menudo es necesario investigar una situación en la que el estado de un gas cambia mientras su cantidad permanece sin cambios (m=const) y en ausencia reacciones químicas(M=constante). Esto significa que la cantidad de sustancia n=const. Entonces: | |
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Esta entrada significa que para una masa dada de un gas dado la igualdad es cierta: | |
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Para una masa constante de un gas ideal, la relación entre el producto de la presión y el volumen y la temperatura absoluta en este estado hay un valor constante: . | |
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Leyes de los gases. |
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1. La ley de Avogadro. En volúmenes iguales de diferentes gases al mismo tiempo. Condiciones externas hay el mismo número de moléculas (átomos). Condición: V 1 =V 2 =...=V n; p 1 =p 2 =…=p norte ; T 1 =T 2 =…=T norte | |
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Prueba: Por lo tanto, cuando las mismas condiciones(presión, volumen, temperatura) el número de moléculas no depende de la naturaleza del gas y es el mismo. | |
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2. La ley de Dalton. La presión de una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones parciales (privadas) de cada gas. Demuestre: p=p 1 +p 2 +…+p n Prueba: | |
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3. La ley de Pascal. La presión ejercida sobre un líquido o gas se transmite en todas direcciones sin cambios. | |
En MCT y termodinámica de gases ideales, los parámetros macroscópicos son: p, V, T, m. 
Lo sabemos
, obtenemos:.
Ecuación de estado de un gas ideal. Leyes de los gases.
Número de grados de libertad: Este es el número de variables independientes (coordenadas) que determinan completamente la posición del sistema en el espacio. En algunos problemas, una molécula de un gas monoatómico (Fig. 1, a) se considera como un punto material, al que se le dan tres grados de libertad de movimiento de traslación. En este caso, no se tiene en cuenta la energía del movimiento de rotación. En mecánica, se considera que una molécula de un gas diatómico, en una primera aproximación, es un conjunto de dos puntos materiales que están conectados rígidamente por un enlace indeformable (Fig. 1, b). Además de tres grados de libertad de movimiento de traslación, este sistema tiene dos grados más de libertad de movimiento de rotación. La rotación alrededor de un tercer eje que pasa por ambos átomos no tiene sentido. Esto significa que un gas diatómico tiene cinco grados de libertad ( i= 5). Una molécula no lineal triatómica (Fig. 1, c) y poliatómica tiene seis grados de libertad: tres traslacionales y tres rotacionales. Es natural suponer que no existe una conexión rígida entre los átomos. Por tanto, para las moléculas reales también es necesario tener en cuenta los grados de libertad del movimiento vibratorio.
Para cualquier número de grados de libertad de una molécula determinada, tres grados de libertad siempre son traslacionales. Ninguno de los grados de libertad de traslación tiene ventaja sobre los demás, lo que significa que cada uno de ellos representa en promedio la misma energía, igual a 1/3 del valor.<ε 0 >(energía del movimiento de traslación de moléculas): 
En física estadística se deriva Ley de Boltzmann sobre la distribución uniforme de la energía entre los grados de libertad de las moléculas.: para un sistema estadístico que se encuentra en un estado de equilibrio termodinámico, cada grado de libertad traslacional y rotacional tiene una energía cinética promedio igual a kT/2, y cada grado de libertad vibracional tiene una energía promedio igual a kT. El grado vibratorio tiene el doble de energía, porque representa tanto la energía cinética (como en el caso de los movimientos de traslación y rotación) como la potencial, y los valores promedio de la energía potencial y cinética son los mismos. Esto significa que la energía promedio de una molécula 
Dónde i- la suma del número de grados de libertad traslacionales, rotacionales y dos veces el número vibracional de la molécula: i=i publicar + i rotar +2 i vibraciones En la teoría clásica se consideran moléculas con enlaces rígidos entre átomos; para ellos i coincide con el número de grados de libertad de la molécula. Dado que en un gas ideal la energía potencial mutua de interacción entre moléculas es cero (las moléculas no interactúan entre sí), la energía interna de un mol de gas será igual a la suma de las energías cinéticas N A de las moléculas: (1 ) Energía interna para una masa arbitraria m de gas. donde M - masa molar, ν
- cantidad de sustancia.
Oscilaciones Se denominan movimientos o procesos que se caracterizan por una cierta repetibilidad en el tiempo. Las oscilaciones están muy extendidas en el mundo circundante y pueden tener una naturaleza muy diferente. Pueden ser vibraciones mecánicas (péndulo), electromagnéticas (circuito oscilatorio) y de otro tipo.
Gratis, o propio Las oscilaciones se denominan oscilaciones que ocurren en un sistema abandonado a sí mismo, después de que una influencia externa lo ha desequilibrado. Un ejemplo es la oscilación de una pelota suspendida de una cuerda.
papel especial en procesos oscilatorios tiene la forma más simple de oscilaciones: vibraciones armónicas. Las oscilaciones armónicas subyacen a un enfoque unificado para el estudio de oscilaciones de diversa naturaleza, ya que las oscilaciones que se encuentran en la naturaleza y la tecnología a menudo son cercanas a las armónicas, y los procesos periódicos de otra forma se pueden representar como una superposición de oscilaciones armónicas.
Vibraciones armónicas Se denominan oscilaciones en las que la cantidad oscilante cambia con el tiempo de acuerdo con la ley. seno o coseno.
Ecuación armónicatiene la forma:
donde un - amplitud de vibración (la magnitud de la mayor desviación del sistema desde la posición de equilibrio); -frecuencia circular (cíclica). El argumento del coseno que cambia periódicamente se llama fase de oscilación . La fase de oscilación determina el desplazamiento de la cantidad oscilante desde la posición de equilibrio en este momento tiempo t. La constante φ representa el valor de fase en el tiempo t = 0 y se llama fase inicial de oscilación . El valor de la fase inicial está determinado por la elección del punto de referencia. El valor de x puede tomar valores que van desde -A hasta +A.
El intervalo de tiempo T a lo largo del cual se repiten ciertos estados del sistema oscilatorio, llamado periodo de oscilación . El coseno es una función periódica con un período de 2π, por lo tanto, durante el período de tiempo T, después del cual la fase de oscilación recibirá un incremento igual a 2π, se repetirá el estado del sistema que realiza oscilaciones armónicas. Este período de tiempo T se llama período de oscilaciones armónicas.
El período de oscilaciones armónicas es igual a : T = 2π/ .
El número de oscilaciones por unidad de tiempo se llama frecuencia de vibración
ν.
Frecuencia armónica
es igual a: ν = 1/T. Unidad de frecuencia hercios(Hz): una oscilación por segundo.
La frecuencia circular = 2π/T = 2πν da el número de oscilaciones en 2π segundos.
Gráficamente, las oscilaciones armónicas se pueden representar como una dependencia de x con respecto a t (figura 1.1.A), y método de amplitud de rotación (método de diagrama vectorial)(Figura 1.1.B) .
El método de amplitud de rotación le permite visualizar todos los parámetros incluidos en la ecuación de vibración armónica. De hecho, si el vector de amplitud A ubicado en un ángulo φ con respecto al eje x (ver Figura 1.1. B), entonces su proyección sobre el eje x será igual a: x = Acos(φ). El ángulo φ es la fase inicial. si el vector A poner en rotación con una velocidad angular igual a la frecuencia circular de oscilaciones, entonces la proyección del extremo del vector se moverá a lo largo del eje x y tomará valores que van de -A a +A, y la coordenada de esta proyección será cambian con el tiempo según la ley:
.
Así, la longitud del vector es igual a la amplitud de la oscilación armónica, la dirección del vector en el momento inicial forma un ángulo con el eje x igual a la fase inicial de las oscilaciones φ, y el cambio en el ángulo de dirección con el tiempo es igual a la fase de las oscilaciones armónicas. El tiempo durante el cual el vector de amplitud realiza una revolución completa es igual al período T de las oscilaciones armónicas. El número de revoluciones del vector por segundo es igual a la frecuencia de oscilación ν.
El tipo más simple de oscilaciones son vibraciones armónicas- oscilaciones en las que el desplazamiento del punto oscilante desde la posición de equilibrio cambia con el tiempo según la ley del seno o el coseno.
Así, con una rotación uniforme de la bola en un círculo, su proyección (sombra en rayos de luz paralelos) realiza un movimiento oscilatorio armónico en una pantalla vertical (Fig. 1).
El desplazamiento desde la posición de equilibrio durante las vibraciones armónicas se describe mediante una ecuación (se llama ley cinemática del movimiento armónico) de la forma:
donde x es el desplazamiento: una cantidad que caracteriza la posición del punto oscilante en el momento t con respecto a la posición de equilibrio y medida por la distancia desde la posición de equilibrio hasta la posición del punto en un momento dado; A - amplitud de oscilaciones - desplazamiento máximo del cuerpo desde la posición de equilibrio; T - período de oscilación - tiempo de una oscilación completa; aquellos. el período de tiempo más corto después del cual se repiten los valores Cantidades fisicas, caracterizando la oscilación; - fase inicial;
Fase de oscilación en el instante t. La fase de oscilación es un argumento. función periódica, que, para una amplitud de oscilación determinada, determina el estado del sistema oscilatorio (desplazamiento, velocidad, aceleración) del cuerpo en cualquier momento.
Si en el momento inicial el punto oscilante se desplaza al máximo de la posición de equilibrio, entonces , y el desplazamiento del punto desde la posición de equilibrio cambia de acuerdo con la ley
Si el punto oscilante en está en posición equilibrio estable, entonces el desplazamiento del punto desde la posición de equilibrio cambia según la ley
El valor V, inverso del período e igual al número de oscilaciones completas completadas en 1 s, se llama frecuencia de oscilación:
Si durante el tiempo t el cuerpo hace N oscilaciones completas, entonces
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mostrar cuántas oscilaciones hace un cuerpo en s se llama frecuencia cíclica (circular).
La ley cinemática del movimiento armónico se puede escribir como:
Gráficamente, la dependencia del desplazamiento de un punto oscilante con el tiempo está representada por una onda coseno (u onda sinusoidal).
La Figura 2, a muestra una gráfica de la dependencia temporal del desplazamiento del punto oscilante desde la posición de equilibrio para el caso.
Averigüemos cómo cambia la velocidad de un punto oscilante con el tiempo. Para ello, encontramos la derivada temporal de esta expresión:
donde es la amplitud de la proyección de velocidad sobre el eje x.
Esta fórmula muestra que durante las oscilaciones armónicas, la proyección de la velocidad del cuerpo sobre el eje x también cambia según una ley armónica con la misma frecuencia, con diferente amplitud y está por delante del desplazamiento en fase (Fig. 2, b ).
Para aclarar la dependencia de la aceleración, encontramos la derivada temporal de la proyección de velocidad:
donde es la amplitud de la proyección de la aceleración sobre el eje x.
Con oscilaciones armónicas, la proyección de aceleración está por delante del desplazamiento de fase en k (Fig. 2, c).
De manera similar, puedes construir gráficos de dependencia.
Considerando que, la fórmula de la aceleración se puede escribir
aquellos. con oscilaciones armónicas, la proyección de la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y tiene signo opuesto, es decir La aceleración se dirige en dirección opuesta al desplazamiento.
Entonces, la proyección de la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento, entonces la relación resultante se puede escribir como:
La última igualdad se llama ecuación armónica.
Un sistema físico en el que pueden existir oscilaciones armónicas se llama oscilador armónico, y la ecuación de vibraciones armónicas es ecuación del oscilador armónico.