Escribe la ecuación de la tangente en el punto. Tangente a la gráfica de una función en un punto. Ecuación tangente. Significado geométrico de derivada

Ejemplo 1. Dada una función F(X) = 3X 2 + 4X– 5. Escribamos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X) en el punto del gráfico con la abscisa X 0 = 1.

Solución. Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Entonces F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. La ecuación tangente tiene la forma:

y = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),

y = 10(X – 1) + 2,

y = 10X – 8.

Respuesta. y = 10X – 8.

Ejemplo 2. Dada una función F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Escribamos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X), paralela a la recta y = 2X – 11.

Solución. Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Desde la tangente a la gráfica de la función. F(X) en el punto de la abscisa X 0 es paralelo a la recta y = 2X– 11, entonces su pendiente es igual a 2, es decir ( X 0) = 2. Encontremos esta abscisa a partir de la condición de que 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Esta igualdad es válida sólo cuando X 0 = 0 y en X 0 = 2. Ya que en ambos casos F(X 0) = 5, luego directo y = 2X + b toca la gráfica de la función ya sea en el punto (0; 5) o en el punto (2; 5).

En el primer caso, la igualdad numérica 5 = 2×0 + es cierta b, dónde b= 5, y en el segundo caso la igualdad numérica 5 = 2×2 + es verdadera b, dónde b = 1.

entonces hay dos tangentes y = 2X+ 5 y y = 2X+ 1 a la gráfica de la función F(X), paralela a la recta y = 2X – 11.

Respuesta. y = 2X + 5, y = 2X + 1.

Ejemplo 3. Dada una función F(X) = X 2 – 6X+ 7. Escribamos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X), pasando por el punto A (2; –5).

Solución. Porque F(2) –5, luego punto A no pertenece a la gráfica de la función F(X). Dejar X 0 - abscisa del punto tangente.

Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Entonces F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 – 6. La ecuación tangente tiene la forma:

y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Desde el punto A pertenece a la tangente, entonces la igualdad numérica es verdadera

–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,

dónde X 0 = 0 o X 0 = 4. Esto significa que a través del punto A puedes dibujar dos tangentes a la gráfica de la función F(X).

Si X 0 = 0, entonces la ecuación tangente tiene la forma y = –6X+ 7. Si X 0 = 4, entonces la ecuación tangente tiene la forma y = 2X – 9.

Respuesta. y = –6X + 7, y = 2X – 9.

Ejemplo 4. Funciones dadas F(X) = X 2 – 2X+ 2 y gramo(X) = –X 2 – 3. Escribamos la ecuación de la tangente común a las gráficas de estas funciones.

Solución. Dejar X 1 - abscisa del punto de tangencia de la recta deseada con la gráfica de la función F(X), A X 2 - abscisa del punto de tangencia de la misma recta con la gráfica de la función gramo(X).

Derivada de una función F(X) existe para cualquier x R . Encontrémosla:

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Entonces F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 – 2. La ecuación tangente tiene la forma:

y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Encontremos la derivada de la función. gramo(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de empezar a leer el artículo, presta atención a nuestro navegador para conocer más recurso útil Para

¿Sabes ya qué es una derivada? Si no, lea el tema primero. Entonces dices que conoces la derivada. Comprobémoslo ahora. Encuentre el incremento de la función cuando el incremento del argumento es igual a. ¿Lograste? Deberia de funcionar. Ahora encuentra la derivada de la función en un punto. Respuesta: . ¿Sucedió? Si tiene alguna dificultad con alguno de estos ejemplos, le recomiendo encarecidamente que vuelva al tema y lo estudie nuevamente. Sé que el tema es muy grande, pero de lo contrario no tiene sentido ir más allá. Considere la gráfica de alguna función:

Seleccionemos un punto determinado en la línea del gráfico. Sea su abscisa, entonces la ordenada es igual. Luego seleccionamos el punto con la abscisa cerca del punto; su ordenada es:

Dibujemos una línea recta que pase por estos puntos. Se llama secante (como en geometría). Denotamos el ángulo de inclinación de la línea recta al eje como. Como en trigonometría, este ángulo se mide desde la dirección positiva del eje x en sentido antihorario. ¿Qué valores puede tomar el ángulo? No importa cómo inclines esta línea recta, una mitad seguirá sobresaliendo. Por lo tanto, el ángulo máximo posible es y el ángulo mínimo posible es. Medio, . El ángulo no está incluido, ya que la posición de la línea recta en este caso coincide exactamente, y es más lógico elegir un ángulo más pequeño. Tomemos un punto de la figura tal que la recta sea paralela al eje de abscisas y a sea el eje de ordenadas:

De la figura se puede ver que, a. Entonces la relación de incremento es:

(ya que es rectangular).

Reducámoslo ahora. Entonces el punto se acercará al punto. Cuando se vuelve infinitesimal, la razón se vuelve igual a la derivada de la función en el punto. ¿Qué pasará con la secante? El punto estará infinitamente cerca del punto, por lo que pueden considerarse el mismo punto. Pero una recta que sólo tiene un punto común con una curva no es más que tangente(V en este caso esta condición se cumple sólo en Área pequeña- cerca del punto, pero esto es suficiente). Dicen que en este caso la secante toma posición límite.

Llamemos al ángulo de inclinación de la secante al eje. Entonces resulta que la derivada

eso es la derivada es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

Como una tangente es una recta, recordemos ahora la ecuación de una recta:

¿De qué es responsable el coeficiente? Para la pendiente de la recta. Así se llama: pendiente. ¿Qué significa? ¡Y el hecho de que es igual a la tangente del ángulo entre la recta y el eje! Entonces esto es lo que sucede:

Pero obtuvimos esta regla al considerar una función creciente. ¿Qué cambiará si la función es decreciente? Vamos a ver:
Ahora los ángulos son obtusos. Y el incremento de la función es negativo. Consideremos nuevamente: . Por otro lado, . Obtenemos: , es decir, todo sigue igual que la última vez. Dirigamos nuevamente el punto al punto, y la secante tomará una posición límite, es decir, se convertirá en tangente a la gráfica de la función en el punto. Entonces, formulemos la regla final:
La derivada de una función en un punto dado es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función en este punto, o (lo que es lo mismo) la pendiente de esta tangente:

Eso es lo que es significado geométrico de derivada. Bien, todo esto es interesante, pero ¿por qué lo necesitamos? Aquí ejemplo:
La figura muestra una gráfica de una función y una tangente a ella en el punto de abscisa. Encuentra el valor de la derivada de la función en el punto.
Solución.
Como descubrimos recientemente, el valor de la derivada en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la tangente, que a su vez es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta tangente al eje de abscisas: . Esto significa que para encontrar el valor de la derivada necesitamos encontrar la tangente del ángulo tangente. En la figura hemos marcado dos puntos situados en la tangente, cuyas coordenadas conocemos. Así que terminemoslo triángulo rectángulo, pasando por estos puntos, ¡y encuentra la tangente del ángulo tangente!

El ángulo de inclinación de la tangente al eje es. Encontremos la tangente de este ángulo: . Por tanto, la derivada de la función en un punto es igual a.
Respuesta:. Ahora pruébalo tú mismo:

Respuestas:

Conocimiento significado geométrico de derivada, podemos explicar de manera muy simple la regla de que la derivada en el punto de un máximo o mínimo local es igual a cero. De hecho, la tangente a la gráfica en estos puntos es “horizontal”, es decir, paralela al eje x:

¿Cuál es el ángulo entre rectas paralelas? ¡Por supuesto, cero! Y la tangente del cero también es cero. Entonces la derivada es igual a cero:

Lea más sobre esto en el tema “Monotonicidad de funciones. Puntos extremos."

Ahora centrémonos en tangentes arbitrarias. Digamos que tenemos alguna función, por ejemplo. Hemos dibujado su gráfica y queremos trazarle una tangente en algún punto. Por ejemplo, en un punto. Tomamos una regla, la adjuntamos al gráfico y dibujamos:

¿Qué sabemos sobre esta línea? ¿Qué es lo más importante que hay que saber sobre una recta en un plano coordenado? Porque una línea recta es una imagen. función lineal, sería muy conveniente conocer su ecuación. Es decir, los coeficientes en la ecuación.

¡Pero ya lo sabemos! Esta es la pendiente de la tangente, que es igual a la derivada de la función en este punto:

En nuestro ejemplo será así:

Ahora sólo queda encontrarlo. Es tan simple como pelar peras: después de todo, el valor de. Gráficamente, esta es la coordenada de la intersección de la línea con el eje de ordenadas (después de todo, en todos los puntos del eje):

Dibujémoslo (para que sea rectangular). Luego (al mismo ángulo entre la tangente y el eje x). ¿A qué son e iguales? La figura muestra claramente que, a. Entonces obtenemos:

Combinamos todas las fórmulas obtenidas en la ecuación de una línea recta:

Ahora decide por ti mismo:

1. Encontrar ecuación tangente a una función en un punto.
2. La tangente a una parábola corta al eje formando un ángulo. Encuentra la ecuación de esta tangente.
3. La recta es paralela a la tangente a la gráfica de la función. Encuentra la abscisa del punto tangente.
4. La recta es paralela a la tangente a la gráfica de la función. Encuentra la abscisa del punto tangente.

Soluciones y respuestas:

ECUACIÓN DE UNA TANGENTE A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

La derivada de una función en un punto particular es igual a la tangente de la tangente a la gráfica de la función en este punto, o la pendiente de esta tangente:

Ecuación de la tangente a la gráfica de una función en un punto:

Algoritmo para encontrar la ecuación tangente:

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Recordemos significado geométrico de derivada: si se traza una tangente a la gráfica de una función en un punto, entonces el coeficiente de pendiente de la tangente (igual a la tangente del ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje) es igual a la derivada de la función en el punto.

Tomemos un punto arbitrario de la tangente con coordenadas:

Y considere un triángulo rectángulo:

en este triangulo

De aquí

Esta es la ecuación de la tangente trazada a la gráfica de la función en el punto.

Para escribir la ecuación tangente sólo necesitamos conocer la ecuación de la función y el punto en el que se traza la tangente. Entonces podemos encontrar y .

Hay tres tipos principales de problemas de ecuaciones tangentes.

1. Dado un punto de contacto

2. Se da el coeficiente de pendiente tangente, es decir, el valor de la derivada de la función en el punto.

3. Se dan las coordenadas del punto por el que se traza la tangente, pero que no es el punto de tangencia.

Veamos cada tipo de tarea.

1 . Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. en el punto .

.

b) Encuentre el valor de la derivada en el punto . Primero encontremos la derivada de la función.

Sustituyamos los valores encontrados en la ecuación tangente:

Abramos los corchetes en el lado derecho de la ecuación. Obtenemos:

Respuesta: .

2. Encuentra la abscisa de los puntos en los que las funciones son tangentes a la gráfica. paralelo al eje x.

Si la tangente es paralela al eje x, entonces el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje es cero, por lo tanto la tangente del ángulo tangente es cero. Esto significa que el valor de la derivada de la función en los puntos de contacto es cero.

a) Encuentra la derivada de la función. .

b) Igualemos la derivada a cero y encontremos los valores en los que la tangente es paralela al eje:

Igualando cada factor a cero, obtenemos:

Respuesta: 0;3;5

3. Escribir ecuaciones para tangentes a la gráfica de una función. , paralelo derecho .

Una tangente es paralela a una recta. La pendiente de esta recta es -1. Dado que la tangente es paralela a esta recta, la pendiente de la tangente también es -1. Eso es conocemos la pendiente de la tangente, y por lo tanto, valor de la derivada en el punto de tangencia.

Este es el segundo tipo de problema para encontrar la ecuación tangente.

Entonces, se nos da la función y el valor de la derivada en el punto de tangencia.

a) Encuentra los puntos en los que la derivada de la función es igual a -1.

Primero, encontremos la ecuación derivada.

Igualemos la derivada al número -1.

Encontremos el valor de la función en el punto.

(por condición)

.

b) Encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto .

Encontremos el valor de la función en el punto.

(por condición).

Sustituyamos estos valores en la ecuación tangente:

.

Respuesta:

4 . Escribe la ecuación de la tangente a la curva. , pasando por un punto

Primero, comprobemos si el punto es un punto tangente. Si un punto es tangente, entonces pertenece a la gráfica de la función y sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la función. Sustituyamos las coordenadas del punto en la ecuación de la función.

Título="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} no es un punto de contacto.

Este es el último tipo de problema para encontrar la ecuación tangente. Lo primero Necesitamos encontrar la abscisa del punto tangente..

Encontremos el valor.

Sea el punto de contacto. El punto pertenece a la tangente a la gráfica de la función. Si sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación tangente, obtenemos la igualdad correcta:

.

El valor de la función en un punto es .

Encontremos el valor de la derivada de la función en el punto.

Primero, encontremos la derivada de la función. Este .

La derivada en un punto es igual a .

Sustituyamos las expresiones por y en la ecuación tangente. Obtenemos la ecuación para:

Resolvamos esta ecuación.

Reducir el numerador y denominador de la fracción por 2:

Llevemos el lado derecho de la ecuación a un denominador común. Obtenemos:

Simplifiquemos el numerador de la fracción y multipliquemos ambos lados por; esta expresión es estrictamente mayor que cero.

Obtenemos la ecuación

Resolvámoslo. Para ello, cuadremos ambas partes y pasemos al sistema.

Título="delim(lbrace)(matriz(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Resolvamos la primera ecuación.

Vamos a decidir ecuación cuadrática, obtenemos

La segunda raíz no cumple la condición title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Escribamos la ecuación de la tangente a la curva en el punto. Para hacer esto, sustituya el valor en la ecuación. - ya lo grabamos.

Respuesta:
.

El artículo proporciona una explicación detallada de las definiciones, el significado geométrico de la derivada con notaciones gráficas. Se considerará la ecuación de una recta tangente con ejemplos, se encontrarán las ecuaciones de una recta tangente a curvas de segundo orden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

El ángulo de inclinación de la recta y = k x + b se llama ángulo α, que se mide desde la dirección positiva del eje x hasta la recta y = k x + b en la dirección positiva.

En la figura, la dirección x está indicada por una flecha verde y un arco verde, y el ángulo de inclinación por un arco rojo. La línea azul se refiere a la línea recta.

Definición 2

La pendiente de la recta y = k x + b se llama coeficiente numérico k.

El coeficiente angular es igual a la tangente de la recta, es decir k = t g α.

• El ángulo de inclinación de una recta es igual a 0 sólo si es paralela a x y la pendiente es igual a cero, porque la tangente de cero es igual a 0. Esto significa que la forma de la ecuación será y = b.
• Si el ángulo de inclinación de la recta y = k x + b es agudo, entonces se cumplen las condiciones 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается numero positivo, porque el valor de la tangente satisface la condición t g α > 0, y hay un aumento en la gráfica.
• Si α = π 2, entonces la ubicación de la línea es perpendicular a x. La igualdad se especifica por x = c siendo el valor c un número real.
• Si el ángulo de inclinación de la recta y = k x + b es obtuso, entonces corresponde a las condiciones π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает significado negativo, y la gráfica es decreciente.

Definición 3

Una secante es una recta que pasa por 2 puntos de la función f (x). En otras palabras, una secante es una línea recta que pasa por dos puntos cualesquiera en la gráfica de una función determinada.

La figura muestra que A B es una secante y f (x) es una curva negra, α es un arco rojo, que indica el ángulo de inclinación de la secante.

Cuando el coeficiente angular de una línea recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación, está claro que la tangente de un triángulo rectángulo A B C se puede encontrar mediante la relación entre el lado opuesto y el adyacente.

Definición 4

Obtenemos una fórmula para encontrar una secante de la forma:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, donde las abscisas de los puntos A y B son los valores x A, x B y f (x A), f (x B) son las funciones de valores en estos puntos.

Obviamente, el coeficiente angular de la secante se determina mediante la igualdad k = f (x B) - f (x A) x B - x A o k = f (x A) - f (x B) x A - x B , y la ecuación debe escribirse como y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) o
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

La secante divide visualmente la gráfica en 3 partes: a la izquierda del punto A, de A a B, a la derecha de B. La siguiente figura muestra que hay tres secantes que se consideran coincidentes, es decir, se establecen mediante una ecuación similar.

Por definición, está claro que la recta y su secante en este caso coinciden.

Una secante puede intersectar la gráfica de una función determinada varias veces. Si existe una ecuación de la forma y = 0 para una secante, entonces el número de puntos de intersección con la sinusoide es infinito.

Definición 5

Tangente a la gráfica de la función f (x) en el punto x 0 ; f (x 0) es una línea recta que pasa por un punto dado x 0; f (x 0), con presencia de un segmento que tiene muchos valores de x cercanos a x 0.

Ejemplo 1

Echemos un vistazo más de cerca al siguiente ejemplo. Entonces queda claro que la recta definida por la función y = x + 1 se considera tangente a y = 2 x en el punto de coordenadas (1; 2). Para mayor claridad, es necesario considerar gráficas con valores cercanos a (1; 2). La función y = 2 x se muestra en negro, la línea azul es la línea tangente y el punto rojo es el punto de intersección.

Obviamente, y = 2 x se fusiona con la recta y = x + 1.

Para determinar la tangente, debemos considerar el comportamiento de la tangente A B cuando el punto B se acerca infinitamente al punto A. Para mayor claridad, presentamos un dibujo.

La secante A B, indicada por la línea azul, tiende a la posición de la propia tangente, y el ángulo de inclinación de la secante α comenzará a tender al ángulo de inclinación de la propia tangente α x.

Definición 6

La tangente a la gráfica de la función y = f (x) en el punto A se considera la posición límite de la secante A B cuando B tiende a A, es decir, B → A.

Pasemos ahora a considerar el significado geométrico de la derivada de una función en un punto.

Pasemos a considerar la secante A B para la función f (x), donde A y B con coordenadas x 0, f (x 0) y x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), y ∆ x es denotado como el incremento del argumento. Ahora la función tomará la forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para mayor claridad, demos un ejemplo de dibujo.

Considere el triángulo rectángulo resultante A B C. Usamos la definición de tangente para resolver, es decir, obtenemos la relación ∆ y ∆ x = t g α . De la definición de tangente se deduce que lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . De acuerdo con la regla de la derivada en un punto, tenemos que la derivada f (x) en el punto x 0 se llama límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, donde ∆ x → 0 , entonces lo denotamos como f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

De ello se deduce que f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, donde k x se denota como la pendiente de la tangente.

Es decir, obtenemos que f ’ (x) puede existir en el punto x 0 y como la tangente a horario dado función en el punto de tangencia igual a x 0, f 0 (x 0), donde el valor de la pendiente de la tangente en el punto es igual a la derivada en el punto x 0. Entonces obtenemos que k x = f " (x 0).

El significado geométrico de la derivada de una función en un punto es que da el concepto de existencia de una tangente a la gráfica en el mismo punto.

Para escribir la ecuación de cualquier recta en un plano es necesario tener un coeficiente angular con el punto por donde pasa. Su notación se toma como x 0 en la intersección.

La ecuación tangente a la gráfica de la función y = f (x) en el punto x 0, f 0 (x 0) toma la forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Esto significa que el valor final de la derivada f "(x 0) puede determinar la posición de la tangente, es decir, verticalmente, siempre que lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ y lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ o ausencia total bajo la condición lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

La ubicación de la tangente depende del valor de su coeficiente angular k x = f "(x 0). Cuando es paralela al eje o x, obtenemos que k k = 0, cuando es paralela a o y - k x = ∞, y la forma de la ecuación tangente x = x 0 aumenta con k x > 0, disminuye cuando k x< 0 .

Ejemplo 2

Compile una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 en el punto con coordenadas (1; 3) y determine el ángulo de inclinación.

Solución

Por condición, tenemos que la función está definida para todos los números reales. Encontramos que el punto con las coordenadas especificadas por la condición, (1; 3) es un punto de tangencia, entonces x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Es necesario encontrar la derivada en el punto con valor - 1. lo entendemos

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

El valor de f'(x) en el punto de tangencia es la pendiente de la tangente, que es igual a la tangente de la pendiente.

Entonces k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Se deduce que α x = a r c t g 3 3 = π 6

Respuesta: la ecuación tangente toma la forma

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Para mayor claridad, damos un ejemplo en una ilustración gráfica.

El color negro se utiliza para la gráfica de la función original, Color azul– imagen de una tangente, punto rojo – punto de tangencia. La figura de la derecha muestra una vista ampliada.

Ejemplo 3

Determinar la existencia de una tangente a la gráfica de una función dada.
y = 3 · x - 1 5 + 1 en el punto con coordenadas (1 ; 1) . Escribe una ecuación y determina el ángulo de inclinación.

Solución

Por condición, tenemos que se considera que el dominio de definición de una función dada es el conjunto de todos los números reales.

Pasemos a encontrar la derivada.

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Si x 0 = 1, entonces f' (x) no está definido, pero los límites se escriben como lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ y lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , lo que significa que existencia de tangente vertical en el punto (1; 1).

Respuesta: la ecuación tomará la forma x = 1, donde el ángulo de inclinación será igual a π 2.

Para mayor claridad, representémoslo gráficamente.

Ejemplo 4

Encuentra los puntos en la gráfica de la función y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, donde

1. No hay tangente;
2. La tangente es paralela a x;
3. La tangente es paralela a la recta y = 8 5 x + 4.

Solución

Es necesario prestar atención al alcance de la definición. Por condición, tenemos que la función está definida sobre el conjunto de todos los números reales. Ampliamos el módulo y resolvemos el sistema con intervalos x ∈ - ∞ ; 2 y [-2; + ∞) . lo entendemos

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Es necesario diferenciar la función. tenemos eso

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Cuando x = − 2, entonces la derivada no existe porque los límites unilaterales no son iguales en ese punto:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lím x → - 2 + 0 y " (x) = lím x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculamos el valor de la función en el punto x = - 2, donde obtenemos que

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, es decir, la tangente en el punto ( - 2; - 2) no existirá.
2. La tangente es paralela a x cuando la pendiente es cero. Entonces k x = t g α x = f "(x 0). Es decir, es necesario encontrar los valores de tal x cuando la derivada de la función la convierte en cero. Es decir, los valores de f ' (x) serán los puntos de tangencia, donde la tangente es paralela a x.

Cuando x ∈ - ∞ ; - 2, entonces - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, y para x ∈ (- 2; + ∞) obtenemos 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calcular los valores de función correspondientes.

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Por tanto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 se consideran los puntos requeridos del gráfico de funciones.

Consideremos imagen grafica soluciones.

La línea negra es la gráfica de la función, los puntos rojos son los puntos de tangencia.

1. Cuando las rectas son paralelas, los coeficientes angulares son iguales. Luego es necesario buscar puntos en el gráfico de la función donde la pendiente será igual al valor 8 5. Para hacer esto, necesitas resolver una ecuación de la forma y "(x) = 8 5. Entonces, si x ∈ - ∞; - 2, obtenemos que - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, y si x ∈ ( - 2 ; + ∞), entonces 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

La primera ecuación no tiene raíces ya que el discriminante es menor que cero. vamos a escribir eso

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Otra ecuación tiene dos raíces reales, entonces

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Pasemos a encontrar los valores de la función. lo entendemos

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Puntos con valores - 1; 4 15, 5; 8 3 son los puntos en los que las tangentes son paralelas a la recta y = 8 5 x + 4.

Respuesta: línea negra – gráfica de la función, línea roja – gráfica de y = 8 5 x + 4, línea azul – tangentes en puntos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Puede haber un número infinito de tangentes para funciones dadas.

Ejemplo 5

Escribe las ecuaciones de todas las tangentes disponibles de la función y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, que se ubican perpendiculares a la línea recta y = - 2 x + 1 2.

Solución

Para compilar la ecuación tangente, es necesario encontrar el coeficiente y las coordenadas del punto tangente, basándose en la condición de perpendicularidad de las rectas. La definición es la siguiente: el producto de coeficientes angulares que son perpendiculares a rectas es igual a - 1, es decir, se escribe como k x · k ⊥ = - 1. De la condición tenemos que el coeficiente angular se ubica perpendicular a la recta y es igual a k ⊥ = - 2, entonces k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Ahora necesitas encontrar las coordenadas de los puntos de contacto. Necesitas encontrar x y luego su valor para una función determinada. Tenga en cuenta que del significado geométrico de la derivada en el punto
x 0 obtenemos que k x = y "(x 0). De esta igualdad encontramos los valores de x para los puntos de contacto.

lo entendemos

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 pecado 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 pecado 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ pecado 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Este ecuación trigonométrica se utilizará para calcular las ordenadas de los puntos tangentes.

3 2 x 0 - π 4 = a r c pecado - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c pecado - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z es un conjunto de números enteros.

Se han encontrado x puntos de contacto. Ahora debes pasar a buscar los valores de y:

y 0 = 3 porque 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - pecado 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - pecado 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 o y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 o y 0 = - 4 5 + 1 3

De esto obtenemos que 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c pecado 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 son los puntos de tangencia.

Respuesta: las ecuaciones necesarias se escribirán como

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para una representación visual, considere una función y una tangente en una línea de coordenadas.

La figura muestra que la función está ubicada en el intervalo [-10; 10 ], donde la línea negra es la gráfica de la función, las líneas azules son tangentes, que se ubican perpendiculares a la línea dada de la forma y = - 2 x + 1 2. Los puntos rojos son puntos de contacto.

Las ecuaciones canónicas de las curvas de segundo orden no son funciones de un solo valor. Las ecuaciones tangentes para ellos se elaboran según esquemas conocidos.

Tangente a una circunferencia

Para definir un círculo con centro en el punto x c e n t e r ; y c e n t e r y radio R, aplica la fórmula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Esta igualdad se puede escribir como una unión de dos funciones:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

La primera función está ubicada en la parte superior y la segunda en la parte inferior, como se muestra en la figura.

Para compilar la ecuación de un círculo en el punto x 0; y 0 , que se encuentra en el semicírculo superior o inferior, debes encontrar la ecuación de la gráfica de una función de la forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r or y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r en el punto indicado.

Cuando en los puntos x c e n t e r ; y centro + R y x centro; y c e n t e r - R tangentes pueden estar dadas por las ecuaciones y = y c e n t e r + R e y = y c e n t e r - R , y en los puntos x c e n t e r + R ; y centro y
x centro - R ; y c e n t e r será paralelo a o y, entonces obtenemos ecuaciones de la forma x = x c e n t e r + R y x = x c e n t e r - R .

Tangente a una elipse

Cuando la elipse tiene centro en x centro; y c e n t e r con semiejes a y b, entonces se puede especificar usando la ecuación x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Se pueden denotar una elipse y un círculo combinando dos funciones, a saber, la media elipse superior e inferior. Entonces entendemos eso

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Si las tangentes están ubicadas en los vértices de la elipse, entonces son paralelas respecto de x o respecto de y. A continuación, para mayor claridad, considere la figura.

Ejemplo 6

Escribe la ecuación de la tangente a la elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 en puntos con valores de x iguales a x = 2.

Solución

Es necesario encontrar los puntos tangentes que corresponden al valor x = 2. Sustituimos en la ecuación existente de la elipse y encontramos que

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Entonces 2; 5 3 2 + 5 y 2; - 5 3 2 + 5 son los puntos tangentes que pertenecen a la media elipse superior e inferior.

Pasemos a encontrar y resolver la ecuación de la elipse con respecto a y. lo entendemos

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Obviamente, la media elipse superior se especifica usando una función de la forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, y la media elipse inferior y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Apliquemos un algoritmo estándar para crear una ecuación para una tangente a la gráfica de una función en un punto. Escribamos que la ecuación de la primera tangente en el punto 2; 5 3 2 + 5 se verá así

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Encontramos que la ecuación de la segunda tangente con un valor en el punto
2; - 5 3 2 + 5 toma la forma

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Gráficamente, las tangentes se designan de la siguiente manera:

Tangente a la hipérbole

Cuando una hipérbola tiene centro en x centro; y centro y vértices x centro + α ; y centro y x centro - α; y c e n t e r , se produce la desigualdad x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, si con vértices x c e n t e r ; y centro + b y x centro; y c e n t e r - b , entonces se especifica usando la desigualdad x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Una hipérbola se puede representar como dos funciones combinadas de la forma

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r o y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x centro) 2 + a 2 + y centro

En el primer caso tenemos que las tangentes son paralelas a y, y en el segundo son paralelas a x.

De ello se deduce que para encontrar la ecuación de la tangente a una hipérbola, es necesario averiguar a qué función pertenece el punto de tangencia. Para determinar esto, es necesario sustituir en las ecuaciones y verificar la identidad.

Ejemplo 7

Escribe una ecuación para la tangente a la hipérbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 en el punto 7; - 3 3 - 3 .

Solución

Es necesario transformar el registro de solución para encontrar una hipérbola usando 2 funciones. lo entendemos

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 y y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Es necesario identificar a qué función pertenece un determinado punto de coordenadas 7; - 3 3 - 3 .

Obviamente, para comprobar la primera función es necesario y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, entonces el punto no pertenece a la gráfica, ya que la igualdad no se cumple.

Para la segunda función tenemos que y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, lo que significa que el punto pertenece a la gráfica dada. A partir de aquí deberíamos encontrar la pendiente.

lo entendemos

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Respuesta: la ecuación tangente se puede representar como

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Está claramente representado así:

Tangente a una parábola

Para crear una ecuación para la tangente a la parábola y = a x 2 + b x + c en el punto x 0, y (x 0), debes usar un algoritmo estándar, luego la ecuación tomará la forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Tal tangente en el vértice es paralela a x.

Debes definir la parábola x = a y 2 + b y + c como la unión de dos funciones. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación para y. lo entendemos

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Representémoslo gráficamente como:

Para saber si un punto x 0, y (x 0) pertenece a una función, proceda con cuidado según el algoritmo estándar. Tal tangente será paralela a o y con respecto a la parábola.

Ejemplo 8

Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica x - 2 y 2 - 5 y + 3 cuando tengamos un ángulo tangente de 150°.

Solución

Comenzamos la solución representando la parábola como dos funciones. lo entendemos

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49-8x-4

El valor de la pendiente es igual al valor de la derivada en el punto x 0 de esta función y es igual a la tangente del ángulo de inclinación.

Obtenemos:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

A partir de aquí determinamos el valor x para los puntos de contacto.

La primera función se escribirá como

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Obviamente, no existen raíces reales, ya que obtuvimos un valor negativo. Concluimos que no existe una tangente con un ángulo de 150° para tal función.

La segunda función se escribirá como

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Tenemos que los puntos de contacto son 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Respuesta: la ecuación tangente toma la forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Representémoslo gráficamente de esta manera:

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