"¿Por qué el cero no es un número natural?" Enteros. Serie de números naturales
A la pregunta: ¿Es el 0 un número natural? dado por el autor botos777 la mejor respuesta es Hay dos enfoques para definir los números naturales, que se diferencian en sumar cero a los números naturales. En ruso programas escolares En matemáticas, no es costumbre atribuir el cero a un número natural.
Fuente: (número)
Respuesta de rostra[gurú]
No.
Respuesta de Serega[experto]
No
Respuesta de Neurosis[novato]
Los números naturales son números que surgen naturalmente al contar (tanto en el sentido de enumeración como en el de cálculo) de objetos. Hay dos enfoques para definir los números naturales, que se diferencian en sumar cero a los números naturales. En consecuencia, los números naturales se definen como
* números utilizados al enumerar (numerar) elementos: 1, 2, 3, ... (primero, segundo, tercero, etc.). Esta definición es generalmente aceptada en la mayoría de los países, incluida Rusia.
* números utilizados para indicar el número de artículos: 0, 1, 2, ... (ningún artículo, un artículo, dos artículos, etc.). Esta definición se popularizó en los trabajos de Bourbaki, donde los números naturales se definen como cardinalidades de conjuntos finitos.
Los números negativos y no enteros no son números naturales. El conjunto de los números naturales suele denotarse mediante matemáticas.
Hay infinitos números naturales. Para cualquier número natural existe un número natural mayor que él.
Respuesta de autoconservación[novato]
Respuesta de Iuslan Garayev[novato]
no 0 no es un número natural
Respuesta de Artem Artemenko[novato]
No
Respuesta de Oliya Nikulina[novato]
No
Respuesta de Matvey Sokolov[activo]
si, natural
Respuesta de lena[novato]
no pero
Respuesta de Madina Mikailova[novato]
0 no es un número natural
Respuesta de Pavel Mishchenko[novato]
En la tradición francesa, que se remonta a las obras de N. Bourbaki, a diferencia de otras escuelas matemáticas, los números que expresan el número de objetos de un grupo se consideran naturales. Por lo tanto, en esta tradición, el número natural más pequeño se considera cero ("0"), y no uno, y, en consecuencia, los matemáticos franceses, a diferencia de otros, reconocen el cero como un número natural. Este enfoque también está motivado por el modelo de teoría de conjuntos de la serie natural, en el que el cero se identifica con el conjunto vacío (O), y la operación de pasar al siguiente produce un conjunto que consta de todos los números naturales anteriores (representados por conjuntos):
0 ? oh
3? (O, (O), (O, (O)))
4 ? (O, (O), (O, (O)), (O, (O), (O, (O))))
etc. P.D. EN Federación Rusa El cero no se considera un número natural.
Respuesta de alejandra[novato]
cero no es un número natural
Respuesta de Antón Yashagin[novato]
no, no es
Respuesta de Dima Kovelin[novato]
Hay 2 enfoques para los números naturales.
contar (numerar) elementos (primero, segundo, tercero, ...);
designación del número de artículos (ningún artículo, un artículo, dos artículos, ...).
En el primer caso, el cero no será un número natural.
en el segundo caso lo será.
Respuesta de Olesya Makushchenko[novato]
Por tanto, los números naturales comienzan con uno, y el más pequeño de ellos es el número 1. De ello se deduce que el cero no es un número natural. Enteros necesario para la cuenta. Nadie cuenta ceros. En cuanto a Rusia, se acepta generalmente que el cero no es un número natural, ya que no se utiliza para contar. El número natural más pequeño es uno.
ENTEROS
Estos números expresan las medidas de un número finito de objetos individuales y también expresan el orden del conteo unidireccional uniforme (cada número natural tiene su "propio" lugar: un número único). En la literatura matemática rusa, el cero no suele estar incluido en el conjunto de los números naturales. Los números naturales están completamente ordenados: cualquier subconjunto de ellos tendrá un elemento mínimo. Ya para los números enteros, esta definición se viola exactamente en la “otra mitad de los casos”, cuando se resta el negativo, dando un número mayor que el primero.
Para leer los números naturales, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de 3 dígitos cada uno.
Cero en el sentido de que no contiene información. 0 1 es un bit de información.
El concepto de número natural en matemáticas es uno de los básicos. ¿Qué números se llaman números naturales? Primeros números naturales: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11, etc
Al contar, no se utiliza el número cero. La serie natural es infinita; no existe en ella el mayor número natural.
Las unidades de quinta clase son billones, las unidades de sexta clase son cuatrillones, las unidades de séptima clase son quintillones, las unidades de octava clase son sextillones, las unidades de novena clase son etilllones.
Caminar cero kilómetros significa no moverse. Correr a cero kilómetros por hora significa quedarse quieto. Sí, en general no supone ninguna dificultad. Sumar o restar cero significa no sumar ni restar nada.
Grande Diccionario Kuznetsova (2009) cita ambas formas: cero, cero - como equivalentes.
Esto se debe a que la función de dos variables en un punto tiene una discontinuidad inamovible.
Plan de trabajo: Busca en el diccionario qué es “número”. 2. La puntuación más baja y mala (prerrevolucionaria. Para usted, tal vez, sea una nulidad, un cero. Chéjov. Dos ceros (broma coloquial): un baño. Diccionario de Dahl. Cero - m. cero; un signo numérico que significa nada, nada (0); pero colocado después de otro dígito (a la derecha), lo aumenta por diez, lo multiplica por diez.
Perteneciente a los números naturales
Si alguien piensa que el cero pertenece a los números naturales, está bien. Si un número se desmorona en unidades sin ruido ni polvo, ese número es natural. Poder un número fraccionario¿se Natural? Estas son matemáticas para rubias y deben ser a) precisas, b) accesibles. En Rusia, el cero no suele incluirse en el conjunto de los números naturales, a menos que se especifique lo contrario. Ya en la antigüedad el 0 se consideraba un número. Pero el 0 no es un número. 0 – la ausencia de un número, y no sólo, sino el Todo-Todo. Es solo que en matemáticas usan 0 como un número de acuerdo con la lógica de las matemáticas, porque cualquier resultado de una operación matemática puede tomarse como un número y puede tratarse como un número.
En general, esta pregunta no vale la pena: son solo sutilezas de terminología. Interesante. ¿Y para quién es lógico contar desde cero?
Conmutatividad de la multiplicación.
La ausencia de cualquier cantidad, el vacío, el comienzo y el infinito: la actitud filosófica hacia estos conceptos fue diferente en diferentes eras, en diferentes sistemas de cosmovisión. Estos sistemas se denominan posicionales: el significado de los dígitos al escribir números está determinado por su posición o dígito. Por lo tanto, el significado moderno de la pregunta "¿qué número es 0" era inalcanzable para Arquímedes, Pitágoras o Euclides, aunque en las tablas del gran astrónomo Ptolomeo se encuentra un símbolo similar al cero? Por lo tanto, el cero en las ecuaciones de los antiguos científicos indios finalmente se convirtió no solo en un símbolo de la ausencia de unidades en el dígito correspondiente, sino también en un número natural que influye en el resultado de los cálculos. La escritura misma de los números del 1 al 0 adquirió su forma final también gracias a los antiguos tratados matemáticos indios, y los símbolos que en Europa se suelen llamar árabes, los propios árabes los llaman indios.
La serie natural está construida de tal manera que cada siguiente numero 1 (unidad) más que el anterior. La serie natural de números se puede representar visualmente fácilmente. Para ello acceda a la página “Tabla de Números Naturales”, donde se presentan los números naturales del 1 (uno) al 120 (ciento veinte). Si sumas los dedos de los pies, brazos y piernas de tus vecinos para contarlos, obtienes una cifra muy un gran número de números, y todos estos números serán números naturales. ¿Por qué los números negativos no son números naturales?
El conjunto de todos los números naturales suele denotarse con un símbolo (del latín naturalis - natural). Esto complicaría significativamente la construcción y aplicación de la teoría, ya que en la mayoría de las construcciones el cero, como el conjunto vacío, no es algo separado. Una de las ventajas del cero natural es que forma un semigrupo con el uno. Si la base y el exponente son naturales, entonces el resultado será un número natural.
Si a(\displaystyle a) y b(\displaystyle b) son números naturales, entonces el resultado será un número natural.
EN Antigua Grecia el número 0 no era conocido. En las tablas astronómicas de Claudio Ptolomeo, las celdas vacías se designaban con el símbolo ο (la letra omicrón, del griego antiguo. Sin el cero, la notación posicional decimal de los números, inventada en la India, habría sido imposible. Se encontró el primer código cero en el registro indio de 876, tiene la forma que nos resulta familiar en Europa. por mucho tiempo El 0 se consideraba un símbolo convencional y no se reconocía como un número; Incluso en el siglo XVII, Wallis escribió: “El cero no es un número”.
El número más simple es número natural. Se utilizan en La vida cotidiana para contar objetos, es decir para calcular su número y orden.
¿Qué es un número natural? números naturales Nombra los números que se utilizan para contar artículos o indicar el número de serie de cualquier artículo de todos los homogéneos elementos.
Enteros- estos son números que comienzan desde uno. Se forman de forma natural al contar.Por ejemplo, 1,2,3,4,5... -primeros números naturales.
Número natural más pequeño- uno. No existe un mayor número natural. Al contar el número El cero no se utiliza, por lo que el cero es un número natural.
Serie de números naturales es la secuencia de todos los números naturales. Escribir números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
En la serie natural cada número es mayor que el anterior en uno.
¿Cuántos números hay en la serie natural? La serie natural es infinita; el mayor número natural no existe.
Decimal ya que 10 unidades de cualquier dígito forman 1 unidad del dígito más alto. Posicionalmente así cómo el significado de un dígito depende de su lugar en el número, es decir, de la categoría donde está escrito.
Clases de números naturales.
Cualquier número natural se puede escribir utilizando 10 números arábigos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Para leer los números naturales, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de 3 dígitos cada uno. 3 primero los números de la derecha son la clase de unidades, los 3 siguientes son la clase de miles, luego las clases de millones, miles de millones yetc. Cada uno de los dígitos de una clase se llamadescargar.
Comparación de números naturales.
De 2 números naturales, el menor es el número que se llama antes al contar. Por ejemplo, número 7 menos 11 (escribe así:7 < 11 ). Cuando un número es mayor que el segundo, se escribe así:386 > 99 .
Tabla de dígitos y clases de números.
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unidad de primera clase |
1er dígito de la unidad decenas de segundo dígito 3er lugar cientos |
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mil de segunda clase |
1er dígito de la unidad de miles 2do dígito decenas de miles 3ª categoría cientos de miles |
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millones de tercera clase |
1er dígito de la unidad de millones 2da categoría decenas de millones 3ª categoría cientos de millones |
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miles de millones de cuarta clase |
1er dígito de la unidad de miles de millones 2da categoría decenas de miles de millones 3ª categoría cientos de miles de millones |
|
Los números de 5to grado y superiores se refieren a números grandes. Las unidades de quinta clase son billones, sexta clase - cuatrillones, séptima clase - quintillones, octava clase - sextillones, novena clase - eptilliones. Propiedades básicas de los números naturales.
Operaciones con números naturales. 4. La división de números naturales es la operación inversa de la multiplicación. Si segundo ∙ c = un, Eso
Fórmulas para la división: una: 1 = una a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Expresiones numéricas e igualdades numéricas. Una notación donde los números están conectados por signos de acción es expresión numérica. Por ejemplo, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Los registros donde se combinan 2 expresiones numéricas con un signo igual son igualdades numéricas. La igualdad tiene lados izquierdo y derecho. El orden de realización de operaciones aritméticas. La suma y la resta de números son operaciones de primer grado, mientras que la multiplicación y la división son operaciones de segundo grado. Cuando una expresión numérica consta de acciones de un solo grado, se realizan de forma secuencial de izquierda a derecha. Cuando las expresiones consisten en acciones sólo de primer y segundo grado, entonces las acciones se realizan primero. segundo grado, y luego - acciones de primer grado. Cuando hay paréntesis en una expresión, las acciones entre paréntesis se realizan primero. Por ejemplo, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Natural nombrar los números utilizados para contar (numerar, enumerar) objetos. En otras palabras, estos son completos. numeros positivos. Los números negativos y no enteros no se consideran números naturales.
Una serie natural de números se construye a partir de un número natural inicial llamado uno (designado “1”) y la operación de pasar al siguiente. Esta operación es aplicable a cualquier número natural, y su resultado se considera un número natural posterior al inicial.
Para cualquier número natural sólo hay un sucesor. Uno es el número natural mínimo, ya que no existe ningún número natural similar del que sería posterior. No existe número natural mayor, ya que para cualquier número natural es posible construir uno posterior. Formalmente, la estructura de una gran cantidad de números naturales viene dada por los cinco axiomas de Peano.
Existe un desacuerdo entre los matemáticos sobre qué número se considera mínimo en la serie natural . En la tradición francesa, Remontándose a las obras de N. Bourbaki, a diferencia de otras escuelas matemáticas, los números que expresan el número de objetos en un grupo se consideran naturales. Porque en esta tradición hay un mínimo El cero se considera un número natural.(“0”), no uno y, en consecuencia, los aritméticos franceses, a diferencia de otros, reconocen el cero como un número natural. Este enfoque también está motivado por el modelo de teoría de conjuntos de la serie natural, en el que el cero se identifica con la abundancia vacía (Ø), y la operación de pasar a la siguiente se identifica con la formación de una enorme cantidad formada por todas las cantidades anteriores. números naturales (representados por cantidades enormes):
2 ≡ (ø, (ø))
3 ≡ (ø, (ø), (ø, (ø)))
4 ≡ (ø, (ø), (ø, (ø)), (ø, (ø), (ø, (ø))))
Hay que destacar que en esta construcción cada número natural coincide con la potencia de la cantidad enorme correspondiente.
Orden. En una gran cantidad de números naturales, se define una relación del orden "menor que", denotada por el emblema " Suma. En base a la operación de transición a la siguiente, se determina la operación de suma, denotada por el emblema “+”. La suma M+N de 2 números naturales M y N es el número K obtenido del número M como resultado de la implementación N veces de la operación de transición a la siguiente. La suma de 2 números naturales es siempre un número natural.
Sustracción. A partir de la operación de suma se determina la operación de resta, denotada por el emblema "-". Diferencia MN se llama un número K que, sumado a N, da M. La diferencia no existe para ningún número natural M y N, sino sólo para números similares que están relacionados por la relación “menor que”: N
Multiplicación. A partir de la operación de suma de una gran cantidad de números naturales, se introduce la operación de multiplicación, denotada por el emblema “·”. El producto M·N de 2 números naturales M y N es el número K obtenido del número M como resultado de la suma (N-1) veces del número M. El producto de 2 números naturales cualesquiera es un natural. número.
División. A partir de la operación de multiplicación se define una operación de división, denotada por el símbolo “/”. El M/N personal de dos números naturales M y N es el número K que multiplicado por N da M. No para ningún par de números naturales existe un número natural personal. En los casos en que existe, se dice que dos números naturales son divisibles entre sí.
Fuentes:
Además en la base de datos del sitio:
Historia
números naturales y varios sistemas fueron utilizados para designarlos en civilizaciones antiguas: la Antigua Mesopotamia, Antiguo Egipto, Antigua China, en las tribus mayas. El concepto del número "cero" aparentemente apareció más tarde que el concepto de números naturales en la Babilonia tardía y los mayas.
Nota 1
En la antigüedad se utilizaban palos para contar. Este método de registro se conservó en el cálculo romano. El número en esta grabación era la suma o diferencia de los palos, que estaba escrito sin ningún signo.
Con el desarrollo de los sistemas numéricos, ciertos números comenzaron a designarse mediante letras del alfabeto. EN sistemas modernos En notación, el valor de cada dígito de un número determina su lugar en la notación del número. Los primeros sistemas numéricos de este tipo fueron el babilónico (sexagesimal) y el indio (decimal).
versión india sistema decimal El sistema numérico es el sistema árabe moderno, con la diferencia de que el sistema indio no tenía cero. El número $0$ fue inventado por los árabes, tras lo cual el sistema numérico adoptó su forma moderna.
Para calcular el tiempo se utiliza el sistema sexagesimal (basado en el número $60$): $1$ hora contiene $60$ minutos, $1$ minuto contiene $60$ segundos.
Los trabajos del matemático Pierre de Fermat sentaron las bases de la teoría de números o de la aritmética superior como ciencia independiente que estudia las propiedades puras y formales de los números naturales.
Enteros. Conjunto de números naturales
Los números naturales $1, 2, 3, \dots$ se utilizan para contar (una pera, dos peras, tres peras, etc.) o para indicar el número de serie de un objeto entre otros similares.
Los números naturales generalmente se escriben usando números arábigos: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Foto 1.
Definición 1
Enteros(o números naturales) son números que surgen de forma natural al contar algo.
Ejemplo 1
Los números naturales serán: $3, 48, 157, 1089, $25556.
Si ordenamos todos los números naturales en orden ascendente obtenemos serie natural.
Hay dos enfoques para determinar los números naturales:
Números que surgen al contar (numerar) objetos (por ejemplo, primero, segundo, etc.).
Números utilizados para indicar la cantidad de elementos (ninguna silla, una silla, dos sillas, etc.).
En el primer enfoque, la serie natural comienza desde uno, en el segundo, desde cero.
Los matemáticos no han llegado a una conclusión unánime sobre si el cero debe considerarse un número natural. En la mayoría de las fuentes rusas, el primer enfoque es tradicional. El segundo enfoque se usa ampliamente en programación (por ejemplo, al indexar matrices, numerar bits de código de máquina, etc.).
Nota 2
Los números naturales no incluyen números negativos o no enteros.
Definición 2
El conjunto de todos los números naturales. se denota por $N=\left\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots ,\ n,\ \dots \right\)$ y se caracteriza por su infinito, porque para cualquier número natural $n$ existe un número natural que será mayor que $n$.
Ejemplo 2
¿Qué números son números naturales?
\[-6;\ \ 5;\ \ 0.6;\ \ \ \frac(1)(2);\ \ \ \sqrt(5);\ \ 38;\ \ \ -38;\ \ 12, 5; \\\4.\]
Respuesta: $5;\ \ 38;\ \ \ 4.$
Al formular y demostrar muchos teoremas en la aritmética de los números naturales, es conveniente utilizar el cero, por lo que el primer enfoque utiliza el concepto. conjunto extendido de números naturales, que contiene cero y se denota $N_0$ o $Z_0$.
Cero como número natural
En la literatura rusa, se acostumbra excluir el cero del número de números naturales ($0\notin N$), y el conjunto de números naturales con cero se denota por $N_0$.
En la literatura matemática internacional, el conjunto $\left\(1,\ \ 2,\ \ 3,\ \dots \right\)$ suele denominarse conjunto de números enteros positivos y denota $Z+$. El conjunto $\left\(0,\ \ 1,\ \ 2,\ \dots \right\)$ generalmente se llama conjunto de números enteros no negativos y denota $Z(\ge 0)$.
Divide el número de derecha a izquierda en grupos de $3$ dígitos.
El nombre de la clase se omite si el grupo de números es todo ceros.
Figura 2.
Cada dígito de clase se llama el rango de clase.
El número natural menor es el que se utiliza primero en el cálculo. Por ejemplo, el número $9$ es menor que $20$ (escrito $9 55$.
Axiomas de Peano para números naturales.
Llamaremos al conjunto $N$ conjunto de números naturales, si alguna unidad de elemento $1\in N$ y la siguiente función $S:N\to N$ se fijan de modo que se cumplan las siguientes condiciones:
$1\in N$: uno es un número natural.
Si $x\in N$, entonces $S\left(x\right)\in N$: Si un número es un número natural, entonces el siguiente número después de él también es un número natural).
$\nexists x\in N\ \left(S\left(x\right)=1\right)$: No existe un número natural que venga antes del uno).
Si $S\left(b\right)=a$ y $S\left(c\right)=a$, entonces $b=c$: Si un número natural $a$ sigue a un número $b$ y a un número $c$, luego $b=c$.
Axioma de inducción. Sea $P\left(n\right)$ un predicado unario que depende del número natural $n$. Entonces:
Si $P\left(1\right)$ y $\forall n\left(P\left(n\right)\Longrightarrow P\left(S\left(n\right)\right)\right)$, entonces $\forall n\ P\left(n\right)$:
Si alguna declaración$P$ es cierto para $n=1$ y para cualquier $n$ la verdad de $P\left(n\right)$ implica la verdad de $P\left(n+1\right)$, entonces $P \left(n \right)$ es verdadero para cualquier entero positivo $n$.
Todos los axiomas reflejan la idea de la serie natural y la recta numérica.
Definición teórica de conjuntos de números naturales (definición de Frege-Russell)
Según la teoría de conjuntos, el único objeto para construir cualquier sistema matemático es un conjunto.
Así, partiendo del concepto de conjunto, los números naturales se introducen según dos reglas:
- $0=\conjuntovacío $
$S\left(n\right)=n\cup \left\(n\right\)$
Los números dados de esta manera se llaman ordinal o ordinal.
Los primeros números ordinales y los números naturales que les corresponden se describen a continuación:
$1=\izquierda\(0\derecha\)=\izquierda\(\emptyset \derecha\)$
$2=\left\(0,\ \ 1\right\)=\left\(\emptyset ,\ \ \left\(\emptyset \right\)\right\)$
$3=\left\(0,\ \ 1,\ \ 2\right\)=\left\(\emptyset ,\ \ \left\(\emptyset \right\),\ \ \left\(\emptyset ,\ \ \left\(\emptyset \right\)\right\)\right\)$