Cómo descubrir la base de un sistema numérico. Conversión de números a sistemas numéricos binario, hexadecimal, decimal y octal. Conversión de números: de binario a decimal

Conversión al sistema numérico decimal

Ejercicio 1.¿A qué número corresponde 24 16 en el sistema decimal?

Solución.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Respuesta. 24 16 = 36 10

Tarea 2. Se sabe que X = 12 4 + 4 5 + 101 2. ¿A qué es igual el número X en notación decimal?

Solución.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Encuentra el número: X = 6 + 4 + 5 = 15

Respuesta. X = 15 10

Tarea 3. Calcula el valor de la suma 10 2 + 45 8 + 10 16 en notación decimal.

Solución.

Convirtamos cada término al sistema numérico decimal:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
La suma es: 2 + 37 + 16 = 55

Conversión al sistema numérico binario

Ejercicio 1.¿Cuál es el número 37 en binario?

Solución.

Puedes convertir dividiendo por 2 y combinando los restos en orden inverso.

Otra forma es descomponer el número en la suma de potencias de dos, comenzando por el mayor, cuyo resultado calculado es menor que el número dado. Al realizar la conversión, las potencias faltantes de un número deben reemplazarse con ceros:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Respuesta. 37 10 = 100101 2 .

Tarea 2.¿Cuántos ceros significativos hay en notación binaria del número decimal 73?

Solución.

Descompongamos el número 73 en la suma de potencias de dos, comenzando por la más alta y posteriormente multiplicando las potencias que faltan por ceros y las potencias existentes por uno:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Respuesta. La representación binaria del número decimal 73 tiene cuatro ceros significativos.

Tarea 3. Calcula la suma de los números x e y para x = D2 16, y = 37 8. Presente el resultado en el sistema numérico binario.

Solución.

Recordemos que cada dígito de un número hexadecimal está formado por cuatro dígitos binarios, cada dígito de un número octal por tres:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Sumemos los números resultantes:

11010010 11111 -------- 11110001

Respuesta. La suma de los números D2 16 e y = 37 8, representados en el sistema numérico binario, es 11110001.

Tarea 4. Dado: a= D7 16, b= 331 8 . Cúal número C, escrito en el sistema numérico binario, cumple la condición a< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Solución.

Convirtamos los números al sistema numérico binario:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Los primeros cuatro dígitos de todos los números son iguales (1101). Por lo tanto, la comparación se simplifica comparando los cuatro dígitos inferiores.

El primer número de la lista es igual al número b, por tanto, no es adecuado.

El segundo número es mayor que b. El tercer numero es a.

Sólo el cuarto número es adecuado: 0111< 1000 < 1001.

Respuesta. La cuarta opción (11011000) cumple la condición. a< c < b .

Tareas para determinar valores en varios sistemas numéricos y sus bases.

Ejercicio 1. Para codificar los caracteres @, $, &, %, se utilizan números binarios secuenciales de dos dígitos. El primer carácter corresponde al número 00. A partir de estos caracteres se codificó la siguiente secuencia: $%&&@$. Decodifica esta secuencia y convierte el resultado al sistema numérico hexadecimal.

Solución.

1. Comparemos los números binarios con los caracteres que codifican:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Convierta el número binario al sistema numérico hexadecimal:
0111 1010 0001 = 7A1

Respuesta. 7A1 16.

Tarea 2. En el jardín 100 x árboles frutales, de los cuales 33 x son manzanos, 22 x son peras, 16 x son ciruelas, 17 x son cerezas. ¿Cuál es la base del sistema numérico (x)?

Solución.

1. Tenga en cuenta que todos los términos son números de dos dígitos. En cualquier sistema numérico se pueden representar de la siguiente manera:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, donde a y b son los dígitos de los dígitos correspondientes del número.
Para número de tres dígitos será así:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = hacha 2 + bx + c

2. La condición del problema es:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Sustituyamos los números en las fórmulas:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Decidamos ecuación cuadrática:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Raíz cuadrada de D es 11.
Raíces de una ecuación cuadrática:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 o x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Un número negativo no puede ser la base de un sistema numérico. Por lo tanto x sólo puede ser igual a 9.

Respuesta. La base requerida del sistema numérico es 9.

Tarea 3. En un sistema numérico con alguna base, el número decimal 12 se escribe como 110. Encuentra esta base.

Solución.

Primero, escribiremos el número 110 mediante la fórmula para escribir números en sistemas numéricos posicionales para encontrar el valor en el sistema numérico decimal, y luego encontraremos la base por fuerza bruta.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Necesitamos obtener 12. Probemos 2: 2 2 + 2 = 6. Pruebe 3: 3 2 + 3 = 12.

Esto significa que la base del sistema numérico es 3.

Respuesta. La base requerida del sistema numérico es 3.

Tarea 4.¿En qué sistema numérico el número decimal 173 se representaría como 445?

Solución.
Denotamos la base desconocida como X. Escribimos la siguiente ecuación:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
considerando que cualquier numero positivo a la potencia cero es igual a 1, reescribiremos la ecuación (no indicaremos la base 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Por supuesto, una ecuación cuadrática de este tipo se puede resolver utilizando un discriminante, pero existe una solución más sencilla. Restamos 4 de los lados derecho e izquierdo.
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 o 13 2 = (2*X+1) 2
De aquí obtenemos 2*X +1 = 13 (descartamos la raíz negativa). O X = 6.
Respuesta: 173 10 = 445 6

Problemas para encontrar varias bases de sistemas numéricos.

Hay un grupo de problemas en los que es necesario enumerar (en orden ascendente o descendente) todas las bases de los sistemas numéricos en los que la representación de un número determinado termina en un dígito determinado. Este problema se resuelve de forma bastante sencilla. Primero debes restar el dígito dado del número original. El número resultante será la primera base del sistema numérico. Y todas las demás bases sólo pueden ser divisoras de este número. (Esta afirmación se prueba basándose en la regla para convertir números de un sistema numérico a otro; consulte el párrafo 4). Solo recuerda eso la base del sistema numérico no puede ser menor que un dígito dado!

Ejemplo
Separar con comas, en orden ascendente, indicar todas las bases de los sistemas numéricos en los que el número 24 termina en 3.

Solución
24 – 3 =21 es la primera base (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 es divisible entre 3 y 7. El número 3 no es adecuado, porque No hay ningún dígito 3 en el sistema numérico de base 3.
Respuesta: 7, 21

En los cursos de informática, independientemente de la escuela o la universidad, se concede un lugar especial a conceptos como los sistemas numéricos. Como regla general, se le asignan varias lecciones o ejercicios prácticos. El objetivo principal no es sólo dominar los conceptos básicos del tema, estudiar los tipos de sistemas numéricos, sino también familiarizarse con la aritmética binaria, octal y hexadecimal.

¿Qué significa?

Empecemos por definir el concepto básico. Como señala el libro de texto "Informática", un sistema numérico es un registro de números que utiliza un alfabeto especial o un conjunto específico de números.

Dependiendo de si el valor de un dígito cambia dependiendo de su posición en el número, existen dos: sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

En los sistemas posicionales, el significado de un dígito cambia junto con su posición en el número. Entonces, si tomamos el número 234, entonces el número 4 significa unidades, pero si consideramos el número 243, entonces ya significará decenas, no unidades.

En los sistemas no posicionales, el significado de un dígito es estático, independientemente de su posición en el número. El ejemplo más llamativo es el sistema de palanca, donde cada unidad está indicada por un guión. No importa dónde coloques el palo, el valor del número solo cambiará en uno.

Sistemas no posicionales

Los sistemas numéricos no posicionales incluyen:

1. Un sistema de unidades que se considera uno de los primeros. Usó palos en lugar de números. Cuanto más eran, mayor era el valor del número. Puedes encontrar un ejemplo de números escritos de esta manera en películas donde se habla de personas perdidas en el mar, prisioneros que marcan cada día con la ayuda de muescas en una piedra o un árbol.
2. Romano, en el que se utilizaban letras latinas en lugar de números. Utilizándolos, puedes escribir cualquier número. Además, su valor se determinaba mediante la suma y diferencia de los dígitos que componían el número. Si a la izquierda del número había número más pequeño, luego el dígito de la izquierda se restaba del derecho, y si el dígito de la derecha era menor o igual que el dígito de la izquierda, entonces se sumaban sus valores. Por ejemplo, el número 11 se escribió como XI y el 9 como IX.
3. Alfabético, en el que los números se designaban utilizando el alfabeto de un idioma en particular. Uno de ellos es el sistema eslavo, en el que varias letras no sólo tenían un significado fonético, sino también numérico.
4. en el que sólo se utilizaban dos notaciones para escribir: cuñas y flechas.
5. Egipto también utilizó símbolos especiales para representar números. Al escribir un número, cada símbolo no se puede utilizar más de nueve veces.

Sistemas de posición

En informática se presta mucha atención a los sistemas numéricos posicionales. Estos incluyen lo siguiente:

• binario;
• octal;
• decimal;
• hexadecimal;
• sexagesimal, usado para contar el tiempo (por ejemplo, hay 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora).

Cada uno de ellos tiene su propio alfabeto para escribir, reglas para traducir y realizar operaciones aritméticas.

Sistema decimal

Este sistema es el más familiar para nosotros. Utiliza los números del 0 al 9 para escribir números. También se les llama árabe. Dependiendo de la posición del dígito en el número, puede representar diferentes dígitos: unidades, decenas, centenas, miles o millones. Lo usamos en todas partes, conocemos las reglas básicas mediante las cuales se realizan las operaciones aritméticas con números.

Sistema binario

Uno de los principales sistemas numéricos en informática es el binario. Su simplicidad permite que la computadora realice cálculos engorrosos varias veces más rápido que en el sistema decimal.

Para escribir números, solo se utilizan dos dígitos: 0 y 1. Además, dependiendo de la posición de 0 o 1 en el número, su valor cambiará.

Inicialmente, fue con la ayuda de computadoras que recibieron toda la información necesaria. En este caso, uno significaba la presencia de una señal transmitida mediante voltaje y cero significaba su ausencia.

sistema octal

Otro conocido sistema numérico informático, que utiliza números del 0 al 7. Se utilizó principalmente en aquellas áreas del conocimiento que están relacionadas con dispositivos digitales. Pero en Últimamente se utiliza con mucha menos frecuencia, ya que fue reemplazado por el sistema numérico hexadecimal.

sistema decimal binario

Representar grandes números en binario es un proceso bastante complicado para los humanos. Para simplificarlo, se desarrolló habitualmente en relojes y calculadoras electrónicas. En este sistema, no se convierte todo el número del sistema decimal a binario, sino que cada dígito se convierte a su correspondiente conjunto de ceros y unos en el sistema binario. La conversión de binario a decimal se produce de forma similar. Cada dígito, representado como un conjunto de cuatro dígitos de ceros y unos, se convierte en un dígito del sistema numérico decimal. En principio, no hay nada complicado.

Para trabajar con números en en este caso Será útil una tabla de sistemas numéricos, que indicará la correspondencia entre los números y su código binario.

sistema hexadecimal

Recientemente, el sistema numérico hexadecimal se ha vuelto cada vez más popular en programación e informática. Utiliza no solo números del 0 al 9, sino también varias letras latinas: A, B, C, D, E, F.

Al mismo tiempo, cada una de las letras tiene su propio significado, por lo que A=10, B=11, C=12 y así sucesivamente. Cada número se representa como un conjunto de cuatro caracteres: 001F.

Conversión de números: de decimal a binario

La traducción en sistemas numéricos se produce de acuerdo con ciertas reglas. La conversión más común es del sistema binario al decimal y viceversa.

Para convertir un número del sistema decimal al sistema binario, es necesario dividirlo secuencialmente por la base del sistema numérico, es decir, el número dos. En este caso se deberá registrar el resto de cada división. Esto sucederá hasta que el resto de la división sea menor o igual a uno. Lo mejor es realizar los cálculos en una columna. Los restos de la división resultantes se escriben en la línea en orden inverso.

Por ejemplo, conviertamos el número 9 a binario:

Dividimos 9, ya que el número no es divisible por un entero, luego tomamos el número 8, el resto será 9 - 1 = 1.

Después de dividir 8 entre 2, obtenemos 4. Divídalo nuevamente, ya que el número es divisible por un número entero; obtenemos un resto de 4 - 4 = 0.

Realizamos la misma operación con 2. El resto es 0.

Como resultado de la división obtenemos 1.

Independientemente del sistema numérico final, la conversión de números de decimal a cualquier otro se producirá según el principio de dividir el número por la base del sistema posicional.

Conversión de números: de binario a decimal

Es bastante fácil convertir números al sistema numérico decimal desde binario. Para ello, basta con conocer las reglas para elevar números a potencias. En este caso, elevado a dos.

El algoritmo de traducción es el siguiente: cada dígito del código de un número binario debe multiplicarse por dos, y los dos primeros serán elevados a m-1, el segundo a m-2 y así sucesivamente, donde m es el número de dígitos del código. Luego suma los resultados de la suma para obtener un número entero.

Para los escolares, este algoritmo se puede explicar de forma más sencilla:

Para empezar, tomamos y anotamos cada dígito multiplicado por dos, luego ponemos la potencia de dos desde el final, comenzando desde cero. Luego sumamos el número resultante.

Como ejemplo, analizaremos el número 1001 obtenido anteriormente, convirtiéndolo al sistema decimal, y al mismo tiempo comprobaremos la exactitud de nuestros cálculos.

Se verá así:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Al estudiar este tema es conveniente utilizar una tabla con potencias de dos. Esto reducirá significativamente la cantidad de tiempo necesario para realizar los cálculos.

Otras opciones de traducción

En algunos casos, la traducción se puede realizar entre sistemas numéricos binarios y octales, binarios y hexadecimales. En este caso, puede utilizar tablas especiales o iniciar una aplicación de calculadora en su computadora seleccionando la opción "Programador" en la pestaña Ver.

Operaciones aritmeticas

Independientemente de la forma en que se presente el número, con él se pueden realizar cálculos que nos resultan familiares. Esto puede ser división y multiplicación, resta y suma en el sistema numérico que haya elegido. Por supuesto, cada uno de ellos tiene sus propias reglas.

Así que para el sistema binario se han desarrollado tablas propias para cada una de las operaciones. Las mismas tablas se utilizan en otros sistemas posicionales.

No es necesario memorizarlos, simplemente imprímalos y téngalos a mano. También puedes utilizar una calculadora en tu PC.

Uno de los temas más importantes en informática: un sistema numérico. El conocimiento de este tema, la comprensión de los algoritmos para convertir números de un sistema a otro es la clave para que pueda comprender más. temas dificiles, como algoritmización y programación, y usted mismo podrá escribir su primer programa.

Objeto del servicio. El servicio está diseñado para convertir números de un sistema numérico a otro en modo en línea. Para hacer esto, seleccione la base del sistema desde el cual desea convertir el número. Puede ingresar tanto números enteros como números con comas.

Puede ingresar tanto números enteros, por ejemplo 34, como números fraccionarios, por ejemplo, 637,333. Para números fraccionarios Se indica la precisión de la traducción después del punto decimal.

Lo siguiente también se utiliza con esta calculadora:

Formas de representar números.

Binario Números (binarios): cada dígito significa el valor de un bit (0 o 1), el bit más significativo siempre se escribe a la izquierda, la letra "b" se coloca después del número. Para facilitar la percepción, los cuadernos se pueden separar por espacios. Por ejemplo, 1010 0101b.
hexadecimal números (hexadecimales): cada tétrada está representada por un símbolo 0...9, A, B, ..., F. Esta representación se puede designar de diferentes maneras, aquí solo se usa el símbolo “h” después del último hexadecimal; dígito. Por ejemplo, A5h. En los textos de programas, el mismo número puede designarse como 0xA5 o 0A5h, dependiendo de la sintaxis del lenguaje de programación. Se agrega un cero (0) a la izquierda del dígito hexadecimal más significativo representado por la letra para distinguir entre números y nombres simbólicos.
Decimal números (decimales): cada byte (palabra, doble palabra) se representa como un número regular y el signo de representación decimal (la letra “d”) generalmente se omite. El byte en los ejemplos anteriores tiene un valor decimal de 165. A diferencia de la notación binaria y hexadecimal, en la notación decimal es difícil determinar mentalmente el valor de cada bit, lo cual a veces es necesario.
octal Números (octales): cada triplete de bits (la división comienza desde el menos significativo) se escribe como un número del 0 al 7, con una "o" al final. El mismo número se escribiría como 245o. El sistema octal es inconveniente porque el byte no se puede dividir en partes iguales.

Algoritmo para convertir números de un sistema numérico a otro

La conversión de números decimales enteros a cualquier otro sistema numérico se realiza dividiendo el número por la base. nuevo sistema numeración hasta que el resto siga siendo un número menor que la base del nuevo sistema numérico. El nuevo número se escribe como restos de división, empezando por el último.
traducción de la correcta decimal a otro PSS se lleva a cabo multiplicando solo la parte fraccionaria del número por la base del nuevo sistema numérico hasta que todos los ceros permanezcan en la parte fraccionaria o hasta que se logre la precisión de traducción especificada. Como resultado de cada operación de multiplicación, se forma un dígito de un nuevo número, comenzando por el más alto.
La traducción de fracciones incorrectas se realiza de acuerdo con las reglas 1 y 2. Las partes enteras y fraccionarias se escriben juntas, separadas por una coma.

Ejemplo No. 1.



Conversión del sistema numérico del 2 al 8 al 16.
Estos sistemas son múltiplos de dos, por lo que la traducción se realiza mediante una tabla de correspondencia (ver más abajo).

Para convertir un número del sistema numérico binario al sistema numérico octal (hexadecimal), es necesario dividir el número binario desde el punto decimal a derecha e izquierda en grupos de tres (cuatro para hexadecimal) dígitos, complementando los grupos externos. con ceros si es necesario. Cada grupo se reemplaza por el dígito octal o hexadecimal correspondiente.

Ejemplo No. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
aquí 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Al convertir al sistema hexadecimal, debes dividir el número en partes de cuatro dígitos, siguiendo las mismas reglas.
Ejemplo No. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEXAGONAL
aquí 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

La conversión de números del 2, 8 y 16 al sistema decimal se realiza dividiendo el número en unidades individuales y multiplicándolo por la base del sistema (de donde se traduce el número) elevado a la potencia correspondiente a su número de serie en el número que se está convirtiendo. En este caso, los números se numeran a la izquierda del punto decimal (el primer número tiene el número 0) con un aumento y hacia la derecha con un decrecimiento (es decir, con un signo negativo). Los resultados obtenidos se suman.

Ejemplo No. 4.
Un ejemplo de conversión de un sistema numérico binario a decimal.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Un ejemplo de conversión del sistema numérico octal a decimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Un ejemplo de conversión de un sistema numérico hexadecimal a decimal. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Una vez más repetimos el algoritmo para convertir números de un sistema numérico a otro PSS

1. Del sistema numérico decimal:
   • dividir el número por la base del sistema numérico que se está traduciendo;
   • encontrar el resto al dividir una parte entera de un número;
   • anote todos los restos de la división en orden inverso;
2. Del sistema numérico binario
   • Para convertir al sistema numérico decimal, es necesario encontrar la suma de los productos de base 2 por el grado de dígito correspondiente;
   • Para convertir un número a octal, debes dividir el número en tríadas.
     Por ejemplo, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Para convertir un número de binario a hexadecimal, debes dividir el número en grupos de 4 dígitos.
     Por ejemplo, 1000110 = 100 0110 = 46 16

El sistema se llama posicional., para lo cual el significado o peso de un dígito depende de su ubicación en el número. La relación entre los sistemas se expresa en una tabla.
Tabla de correspondencia del sistema numérico:

SS binario	SS hexadecimal
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	mi
1111	F

Tabla de conversión al sistema numérico octal.

Ejemplo No. 2. Convierte el número 100,12 del sistema numérico decimal al sistema numérico octal y viceversa. Explique las razones de las discrepancias.
Solución.
Nivel 1. .

El resto de la división lo escribimos en orden inverso. Obtenemos el número en el octavo sistema numérico: 144
100 = 144 8

Para convertir la parte fraccionaria de un número, multiplicamos secuencialmente la parte fraccionaria por base 8. Como resultado, cada vez escribimos la parte entera del producto.
0,12*8 = 0,96 (parte entera 0 )
0,96*8 = 7,68 (parte entera 7 )
0,68*8 = 5,44 (parte entera 5 )
0,44*8 = 3,52 (parte entera 3 )
Obtenemos el número en el octavo sistema numérico: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Etapa 2. Convertir un número del sistema numérico decimal al sistema numérico octal.
Conversión inversa del sistema numérico octal a decimal.

Para traducir una parte entera, debes multiplicar el dígito del número por el grado correspondiente del dígito.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Para convertir la parte fraccionaria, debes dividir el dígito del número por el grado correspondiente del dígito.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
La diferencia de 0,0001 (100,12 - 100,1199) se explica por un error de redondeo al convertir al sistema numérico octal. Este error se puede reducir si tomamos numero mayor dígitos (por ejemplo, no 4, sino 8).

Conceptos básicos de los sistemas numéricos.

Un sistema numérico es un conjunto de reglas y técnicas para escribir números utilizando un conjunto de caracteres digitales. La cantidad de dígitos necesarios para escribir un número en un sistema se llama base del sistema numérico. La base del sistema está escrita en el lado derecho del número en el subíndice: ; ; etc.

Hay dos tipos de sistemas numéricos:

posicional, cuando el valor de cada dígito de un número está determinado por su posición en el registro numérico;

no posicional, cuando el valor de un dígito en un número no depende de su lugar en la notación del número.

Un ejemplo de sistema numérico no posicional es el romano: números IX, IV, XV, etc. Un ejemplo de sistema numérico posicional es el sistema decimal que se utiliza todos los días.

Cualquier número entero del sistema posicional se puede escribir en forma polinómica:

donde S es la base del sistema numérico;

Dígitos de un número escrito en un sistema numérico determinado;

n es el número de dígitos del número.

Ejemplo. Número se escribirá en forma polinómica de la siguiente manera:

Tipos de sistemas numéricos

El sistema de números romanos es un sistema no posicional. Utiliza letras del alfabeto latino para escribir números. En este caso, la letra I siempre significa uno, la letra V significa cinco, X significa diez, L significa cincuenta, C significa cien, D significa quinientos, M significa mil, etc. Por ejemplo, el número 264 se escribe como CCLXIV. Al escribir números en el sistema numérico romano, el valor de un número es la suma algebraica de los dígitos incluidos en él. En este caso, los dígitos en el registro numérico, por regla general, están en orden descendente de sus valores y no está permitido escribir más de tres dígitos idénticos uno al lado del otro. Cuando a un dígito con un valor mayor le sigue un dígito con un valor menor, su contribución al valor del número en su conjunto es negativa. Ejemplos típicos que ilustran reglas generales Los registros de números en el sistema de numeración romana se dan en la tabla.

Tabla 2. Escritura de números en el sistema de numeración romana.

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXIII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

La desventaja del sistema romano es la falta de reglas formales para escribir números y, en consecuencia, operaciones aritméticas con números de varios dígitos. Por sus inconvenientes y gran complejidad, el sistema de números romanos se utiliza actualmente donde es realmente conveniente: en literatura (numeración de capítulos), en la preparación de documentos (series de pasaportes, valores, etc.), en fines decorativos en la esfera del reloj y en muchos otros casos.

El sistema numérico decimal es actualmente el más conocido y utilizado. La invención del sistema numérico decimal es uno de los principales logros del pensamiento humano. Sin él difícilmente podría haber existido y mucho menos surgido. tecnología moderna. La razón por la que el sistema numérico decimal fue generalmente aceptado no es en absoluto matemática. La gente está acostumbrada a contar en el sistema numérico decimal porque tiene 10 dedos en las manos.

La antigua imagen de los dígitos decimales (Fig. 1) no es casual: cada dígito representa un número por el número de ángulos que contiene. Por ejemplo, 0 - sin esquinas, 1 - una esquina, 2 - dos esquinas, etc. La escritura de números decimales ha sufrido cambios importantes. La forma que utilizamos se estableció en el siglo XVI.

El sistema decimal apareció por primera vez en la India alrededor del siglo VI. nueva era. La numeración india utilizaba nueve caracteres numéricos y un cero para indicar una posición vacía. En los primeros manuscritos indios que nos han llegado, los números se escribían en orden inverso: el número más significativo se colocaba a la derecha. Pero pronto se convirtió en regla colocar ese número en el lado izquierdo. Significado especial Se le dio un símbolo cero, que se introdujo para el sistema de notación posicional. La numeración india, incluido el cero, ha sobrevivido hasta el día de hoy. En Europa, los métodos hindúes de aritmética decimal se generalizaron a principios del siglo XIII. gracias al trabajo del matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci). Los europeos tomaron prestado el sistema numérico indio de los árabes y lo llamaron árabe. Este nombre histórico inapropiado continúa hasta el día de hoy.

El sistema decimal utiliza diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), así como los símbolos “+” y “–” para indicar el signo de un número, y un coma o punto para separar las partes enteras y decimales.

EN ordenadores Se utiliza un sistema numérico binario, su base es el número 2. Para escribir números en este sistema, solo se utilizan dos dígitos: 0 y 1. Contrariamente a la idea errónea popular, el sistema numérico binario no fue inventado por ingenieros de diseño informático, sino por matemáticos y filósofos mucho antes de la llegada de las computadoras, allá por los siglos XVII y XIX. La primera discusión publicada sobre el sistema numérico binario es del sacerdote español Juan Caramuel Lobkowitz (1670). La atención general sobre este sistema atrajo la atención de un artículo del matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, publicado en 1703. Explicaba las operaciones binarias de suma, resta, multiplicación y división. Leibniz no recomendó el uso de este sistema para cálculos prácticos, pero destacó su importancia para la investigación teórica. Con el tiempo, el sistema numérico binario se vuelve bien conocido y se desarrolla.

Seleccionar un sistema binario para usar en tecnologia computacional se explica por el hecho de que elementos electronicos- Los disparadores que componen los chips de computadora solo pueden estar en dos estados operativos.

Utilizando el sistema de codificación binaria, puede capturar cualquier dato y conocimiento. Esto es fácil de entender si recordamos el principio de codificar y transmitir información mediante código Morse. Un operador de telégrafo, utilizando solo dos símbolos de este alfabeto: puntos y rayas, puede transmitir casi cualquier texto.

El sistema binario es conveniente para una computadora, pero inconveniente para una persona: los números son largos y difíciles de escribir y recordar. Por supuesto, puede convertir el número al sistema decimal y escribirlo de esta forma, y ​​luego, cuando necesite volver a convertirlo, pero todas estas traducciones requieren mucha mano de obra. Por lo tanto, se utilizan sistemas numéricos relacionados con el binario: octal y hexadecimal. Para escribir números en estos sistemas se requieren 8 y 16 dígitos, respectivamente. En 16-terase, los primeros 10 dígitos son comunes y luego se usan letras latinas mayúsculas. El dígito hexadecimal A corresponde al número decimal 10, el hexadecimal B al número decimal 11, etc. El uso de estos sistemas se explica por el hecho de que la transición a la escritura de un número en cualquiera de estos sistemas a partir de su notación binaria es muy sencilla. A continuación se muestra una tabla de correspondencia entre números escritos en diferentes sistemas.

Tabla 3. Correspondencia de números escritos en varios sistemas navegación a estima

Decimal	Binario	octal	hexadecimal
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Reglas para convertir números de un sistema numérico a otro.

Convertir números de un sistema numérico a otro es una parte importante de la aritmética mecánica. Consideremos las reglas básicas de traducción.

1. Para convertir un número binario en decimal, es necesario escribirlo en forma de polinomio, formado por el producto de los dígitos del número y la correspondiente potencia de 2, y calcularlo según las reglas de aritmética decimal:

A la hora de traducir conviene utilizar la tabla de potencias de dos:

Tabla 4. Potencias del número 2

norte (grado)
											1024

Ejemplo. Convierte el número al sistema numérico decimal.

2. Para convertir un número octal a decimal, es necesario escribirlo como un polinomio formado por el producto de los dígitos del número y la potencia correspondiente del número 8, y calcularlo según las reglas del decimal. aritmética:

A la hora de traducir conviene utilizar la tabla de potencias de ocho:

Tabla 5. Potencias del número 8

norte (grado)

Problemas sobre el tema "Sistemas numéricos".

Ejemplos de soluciones

Tarea número 1. ¿Cuántos dígitos significativos hay en el número decimal de base 3 357?Solución:Convirtamos el número 35710 al sistema numérico ternario:Entonces, 35710 = 1110203. El número 1110203 contiene 6 dígitos significativos.Respuesta: 6.

Tarea número 2. Dado A=A715, B=2518. ¿Cuál de los números C, escritos en sistema binario, cumple la condición A?1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Solución:Convirtamos los números A=A715 y B=2518 al sistema numérico binario, reemplazando cada dígito del primer número con la tétrada correspondiente, y cada dígito del segundo número con la tríada correspondiente: A715= 1010 01112; 2518 = 010101 0012.Condición a

Tarea número 3. ¿Qué dígito termina con el número decimal 123 en el sistema numérico de base 6?Solución:Convirtamos el número 12310 al sistema numérico de base 6:12310 = 3236. Respuesta: El número 12310 en el sistema numérico de base 6 termina con el número 3.Tareas para realizar operaciones aritméticas con números representados en diferentes sistemas numéricos.

Tarea número 4. Calcula la suma de los números X e Y si X=1101112, Y=1358. Presente el resultado en forma binaria.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Solución:Convertimos el número Y=1358 al sistema numérico binario, reemplazando cada uno de sus dígitos por la tríada correspondiente: 001 011 1012. Realizamos la suma:Respuesta: 100101002 (opción 2).

Tarea número 5. Encuentra la media aritmética de los números 2368, 6С16 y 1110102. Presenta la respuesta en el sistema numérico decimal.Solución:Convirtamos los números 2368, 6С16 y 1110102 al sistema numérico decimal:
Calculemos la media aritmética de los números: (158+108+58)/3 = 10810.Respuesta: la media aritmética de los números 2368, 6C16 y 1110102 es 10810.

Tarea número 6. Calcular el valor de la expresión 2068 + AF16 ? 110010102. Realizar cálculos en el sistema numérico octal. Convierte tu respuesta al sistema decimal.Solución:Convirtamos todos los números al sistema numérico octal:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Sumemos los números:Convirtamos la respuesta al sistema decimal:Respuesta: 51110.

Tareas para encontrar la base de un sistema numérico.

Tarea número 7. Hay 100q árboles frutales en el jardín: 33q de ellos son manzanos, 22q de peras, 16q de ciruelas y 17q de cerezas. Encuentra la base del sistema numérico en el que se cuentan los árboles.Solución:Hay 100q árboles en total en el jardín: 100q = 33q+22q+16q+17q.Numeremos los dígitos y presentemos estos números en forma ampliada:
Respuesta: Los árboles se cuentan en un sistema numérico de base 9.

Tarea número 8. Encuentra la base x del sistema numérico si sabes que 2002x = 13010.Solución:Respuesta:4.

Tarea número 9. En un sistema numérico con alguna base, el número decimal 18 se escribe como 30. Especifique esta base.Solución:Tomemos la base del sistema numérico desconocido como x y construyamos la siguiente igualdad:1810 = 30x;Numeremos los dígitos y escribamos estos números en forma desarrollada:Respuesta: El número decimal 18 se escribe como 30 en el sistema numérico de base 6.