Cómo multiplicar fracciones correctamente. Elaboración de un sistema de ecuaciones.

En el siglo V a.C. filósofo griego antiguo Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía de “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no salte a recíprocos. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Para el próximo intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga gateará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Aplicable teoría matemática conjuntos para los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...

Y ahora tengo más interés preguntar: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. seleccionamos estadios de futbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos, con la ayuda del cual escribimos números y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de números. numero dado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. CON un número grande 12345 No quiero engañarme, veamos el número 26 del artículo sobre . Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlos, significa que no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

firmar en la puerta Abre la puerta y dice:

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en sistema hexadecimal Estimación. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

Otra operación que se puede realizar con fracciones ordinarias es la multiplicación. Intentaremos explicar sus reglas básicas a la hora de resolver problemas, mostrar cómo se multiplica una fracción ordinaria por un número natural y cómo multiplicar correctamente tres fracciones ordinarias o más.

Primero escribamos la regla básica:

Definición 1

Si multiplicamos una fracción ordinaria, entonces el numerador de la fracción resultante será igual al producto de los numeradores de las fracciones originales y el denominador será igual al producto de sus denominadores. En forma literal, para dos fracciones a/b y c/d, esto se puede expresar como a b · c d = a · c b · d.

Veamos un ejemplo de cómo aplicar correctamente esta regla. Digamos que tenemos un cuadrado cuyo lado es igual a una unidad numérica. Entonces el área de la figura será 1 cuadrado. unidad. Si dividimos el cuadrado en rectángulos iguales con lados iguales a 1 4 y 1 8 unidades numéricas, obtenemos que ahora consta de 32 rectángulos (porque 8 4 = 32). En consecuencia, el área de cada uno de ellos será igual a 1 32 del área de toda la figura, es decir 1 32 m2. unidades.

Tenemos un fragmento sombreado con lados iguales a 5 8 unidades numéricas y 3 4 unidades numéricas. En consecuencia, para calcular su área, debes multiplicar la primera fracción por la segunda. Será igual a 5 8 · 3 4 cuadrados. unidades. Pero simplemente podemos contar cuántos rectángulos se incluyen en el fragmento: hay 15, lo que significa área total es 15 32 unidades cuadradas.

Como 5 3 = 15 y 8 4 = 32, podemos escribir la siguiente igualdad:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Confirma la regla que formulamos para multiplicar fracciones ordinarias, que se expresa como a b · c d = a · c b · d. Funciona igual tanto para fracciones propias como impropias; se puede utilizar para multiplicar fracciones con diferentes y diferentes mismos denominadores.

Veamos soluciones a varios problemas que involucran la multiplicación de fracciones ordinarias.

Ejemplo 1

Multiplica 7 11 por 9 8.

Solución

Primero, calculemos el producto de los numeradores de las fracciones indicadas multiplicando 7 por 9. Tenemos 63. Luego calculamos el producto de los denominadores y obtenemos: 11 · 8 = 88. Compongamos dos números y la respuesta es: 63 88.

Toda la solución se puede escribir así:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Respuesta: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Si obtenemos una fracción reducible en nuestra respuesta, debemos completar el cálculo y realizar su reducción. Si obtenemos una fracción impropia, debemos separar la parte entera.

Ejemplo 2

Calcular producto de fracciones. 4 15 y 55 6.

Solución

De acuerdo con la regla estudiada anteriormente, necesitamos multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. El registro de solución se verá así:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Obtuvimos una fracción reducible, es decir uno que es divisible por 10.

Reduzcamos la fracción: 220 90 mcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Como resultado, obtuvimos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera y obtenemos un número mixto: 22 9 = 2 4 9.

Respuesta: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Para facilitar el cálculo, también podemos reducir las fracciones originales antes de realizar la operación de multiplicación, para lo cual necesitamos reducir la fracción a la forma a · c b · d. Descompongamos los valores de las variables en factores simples y reduzcamos los mismos.

Expliquemos cómo se ve esto usando datos de una tarea específica.

Ejemplo 3

Calcula el producto 4 15 55 6.

Solución

Anotemos los cálculos basados ​​​​en la regla de la multiplicación. Obtendremos:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Como 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 y 6 = 2 3, entonces 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Respuesta: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Una expresión numérica en la que se multiplican fracciones ordinarias tiene una propiedad conmutativa, es decir, si es necesario, podemos cambiar el orden de los factores:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Cómo multiplicar una fracción por un número natural

Anotemos la regla básica de inmediato y luego intentemos explicarla en la práctica.

Definición 2

Para multiplicar una fracción común por un número natural, debes multiplicar el numerador de esa fracción por ese número. En este caso, el denominador de la fracción final será igual al denominador de la fracción ordinaria original. La multiplicación de una determinada fracción a b por un número natural n se puede escribir como la fórmula a b · n = a · n b.

Es fácil entender esta fórmula si recuerdas que cualquier número natural se puede representar como una fracción ordinaria con denominador igual a uno, es decir:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Expliquemos nuestra idea con ejemplos específicos.

Ejemplo 4

Calcula el producto 2 27 por 5.

Solución

Como resultado de multiplicar el numerador de la fracción original por el segundo factor, obtenemos 10. En virtud de la regla expuesta anteriormente, obtendremos como resultado 10 27. La solución completa se proporciona en esta publicación:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Respuesta: 2 27 5 = 10 27

Cuando multiplicamos un número natural por una fracción, muchas veces tenemos que abreviar el resultado o representarlo como un número mixto.

Ejemplo 5

Condición: calcular el producto 8 por 5 12.

Solución

Según la regla anterior, multiplicamos el número natural por el numerador. Como resultado, obtenemos que 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. La fracción final tiene signos de divisibilidad entre 2, por lo que debemos reducirla:

MCM (40, 12) = 4, entonces 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Ahora todo lo que tenemos que hacer es seleccionar la parte completa y escribir la respuesta lista: 10 3 = 3 1 3.

En esta entrada puedes ver la solución completa: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

También podríamos reducir la fracción factorizando el numerador y el denominador en factores primos, y el resultado sería exactamente el mismo.

Respuesta: 5 12 8 = 3 1 3.

Una expresión numérica en la que se multiplica un número natural por una fracción también tiene la propiedad de desplazamiento, es decir, el orden de los factores no afecta el resultado:

a b · n = n · a b = a · n b

Cómo multiplicar tres o más fracciones comunes

Podemos extender a la acción de multiplicar fracciones ordinarias las mismas propiedades que son características de la multiplicación de números naturales. Esto se desprende de la definición misma de estos conceptos.

Gracias al conocimiento de las propiedades combinatorias y conmutativas, puedes multiplicar tres o más fracciones ordinarias. Es aceptable reorganizar los factores para mayor comodidad o disponer los paréntesis de manera que sea más fácil contarlos.

Demostremos con un ejemplo cómo se hace esto.

Ejemplo 6

Multiplica las cuatro fracciones comunes 1 20, 12 5, 3 7 y 5 8.

Solución: primero, registremos el trabajo. Obtenemos 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Necesitamos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores juntos: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Antes de comenzar a multiplicar, podemos facilitarnos un poco las cosas y factorizar algunos números en factores primos para reducirlos aún más. Esto será más fácil que reducir la fracción resultante que ya está lista.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

Respuesta: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

Ejemplo 7

Multiplica 5 números 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Solución

Por comodidad, podemos agrupar la fracción 7 8 con el número 8 y el número 12 con la fracción 5 36, ya que las abreviaturas futuras nos resultarán obvias. Como resultado, obtendremos:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Respuesta: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

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Consideraremos la multiplicación de fracciones ordinarias en varias opciones posibles.

Multiplicar una fracción común por una fracción

Este es el caso más simple en el que necesita utilizar lo siguiente reglas para multiplicar fracciones.

A multiplicar fracción por fracción, necesario:

• multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y escribe su producto en el numerador de la nueva fracción;
• multiplica el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y escribe su producto en el denominador de la nueva fracción;

Antes de multiplicar numeradores y denominadores, verifica si las fracciones se pueden reducir. Reducir fracciones en los cálculos hará que tus cálculos sean mucho más fáciles.



Multiplicar una fracción por un número natural

para hacer una fraccion multiplicar por un número natural Debes multiplicar el numerador de la fracción por este número y dejar el denominador de la fracción sin cambios.

Si el resultado de la multiplicación es una fracción impropia, no olvides convertirla en un número mixto, es decir, resaltar la parte entera.



Multiplicar números mixtos

Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicarlos según la regla para multiplicar fracciones ordinarias.



Otra forma de multiplicar una fracción por un número natural.

A veces, al realizar cálculos, es más conveniente utilizar otro método para multiplicar una fracción común por un número.

Para multiplicar una fracción por un número natural, debes dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador igual.



Como puede verse en el ejemplo, esta versión de la regla es más conveniente de usar si el denominador de la fracción es divisible por un número natural sin resto.

Operaciones con fracciones

Sumar fracciones con denominadores iguales

Hay dos tipos de suma de fracciones:

• Sumar fracciones con denominadores iguales
• Sumar fracciones con diferentes denominadores

Primero, aprendamos la suma de fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, sumemos las fracciones y . Suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:



Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si agregas pizza a pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 2. Suma fracciones y .

Nuevamente sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:



La respuesta resultó ser una fracción impropia. Cuando llega el final de la tarea, se acostumbra deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debes seleccionar la parte completa. En nuestro caso, la parte entera se aísla fácilmente: dos divididos por dos son uno:



Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos una pizza que está dividida en dos partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes una pizza entera:

Ejemplo 3. Suma fracciones y .



Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.

Como puedes ver, no hay nada complicado en sumar fracciones con el mismo denominador. Basta entender las siguientes reglas:

1. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador igual;
2. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, entonces debes resaltar la parte completa.

Sumar fracciones con diferentes denominadores

Ahora aprendamos a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.

Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.

Pero las fracciones no se pueden sumar de inmediato, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy veremos sólo uno de ellos, ya que los demás métodos pueden parecer complicados para un principiante.

La esencia de este método es que primero buscamos el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el MCM se divide por el denominador de la primera fracción para obtener el primer factor adicional. Se hace lo mismo con la segunda fracción: el MCM se divide por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional.

Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones.

Ejemplo 1. Sumemos las fracciones y

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes reducirlas al mismo denominador (común).

En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6

MCM (2 y 3) = 6

Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, divide el MCM por el denominador de la primera fracción y obtén el primer factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 6 entre 3 y obtenemos 2.

El número resultante 2 es el primer multiplicador adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, traza una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribe el factor adicional que se encuentra encima:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Dividimos 6 entre 2 y obtenemos 3.

El número 3 resultante es el segundo multiplicador adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, trazamos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y anotamos el factor adicional que se encuentra encima:

Ahora tenemos todo listo para sumar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales:



Mire atentamente a dónde hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:



Esto completa el ejemplo. Resulta sumar .

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza, obtienes una pizza entera y otra sexta parte de una pizza:

La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo las fracciones y a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por los mismos trozos de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).



El primer dibujo representa una fracción (cuatro piezas de seis) y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Sumando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es impropia, por eso resaltamos la parte completa. Como resultado, obtuvimos (una pizza entera y otra sexta pizza).

Tenga en cuenta que hemos descrito este ejemplo demasiado detallado. EN Instituciones educacionales No es costumbre escribir con tanto detalle. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Mientras estamos en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:



Pero también hay parte trasera medallas. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces empiezan a aparecer preguntas de este tipo. “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.

Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puedes utilizar las siguientes instrucciones paso a paso:

3. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
4. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción;
5. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
6. Suma fracciones que tengan los mismos denominadores;
7. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. .

Usemos el diagrama que proporcionamos arriba.

Paso 1. Encuentra el MCM para los denominadores de las fracciones.

Encuentra el MCM para los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4. Necesitas encontrar el MCM para estos números:

Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción

Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2 y obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la primera fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3 y obtenemos 4. Obtenemos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4 y obtenemos 3. Obtenemos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la tercera fracción:

Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales.

Multiplicamos los numeradores y denominadores por sus factores adicionales:

Paso 4. Suma fracciones con los mismos denominadores

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Ya sólo queda sumar estas fracciones. Agrégalo:



La suma no cabía en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se pasa a la siguiente línea, y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio de la nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que se trata de una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.

Paso 5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, resalta su parte completa.

Nuestra respuesta resultó ser una fracción impropia. Tenemos que resaltar toda una parte de ello. Resaltamos:



Recibimos una respuesta

Restar fracciones con denominadores iguales

Hay dos tipos de resta de fracciones:

8. Restar fracciones con denominadores iguales
9. Restar fracciones con diferentes denominadores

Primero, aprendamos a restar fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, pero dejar el mismo denominador.

Por ejemplo, encontremos el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual. Hagámoslo:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.

Nuevamente, del numerador de la primera fracción, resta el numerador de la segunda fracción y deja el denominador igual:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción debes restar los numeradores de las fracciones restantes:

La respuesta fue una fracción impropia. Si se completa el ejemplo, se acostumbra deshacerse de la fracción impropia. Eliminemos la fracción impropia en la respuesta. Para ello, seleccionemos su parte completa:

Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Basta entender las siguientes reglas:

Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual;

Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, entonces debes resaltar su parte completa.

Restar fracciones con diferentes denominadores

Por ejemplo, puedes restar una fracción de una fracción porque las fracciones tienen los mismos denominadores. Pero no se puede restar una fracción de una fracción, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

El denominador común se encuentra usando el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe encima de la primera fracción. De manera similar, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, que se escribe encima de la segunda fracción.

Luego las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones.

Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:

Primero encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12

MCM (3 y 4) = 12

Ahora volvamos a las fracciones y

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divide 12 entre 3 y obtenemos 4. Escribe un cuatro encima de la primera fracción:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divide 12 entre 4 y obtenemos 3. Escribe un tres sobre la segunda fracción:

Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:

Recibimos una respuesta

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si cortas pizza de una pizza, obtienes pizza.

Esta es la versión detallada de la solución. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo en menos tiempo. Una solución de este tipo se vería así:

La reducción de fracciones a un denominador común también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo estas fracciones a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez divididas en partes iguales (reducidas al mismo denominador):

La primera imagen muestra una fracción (ocho piezas de doce) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes reducirlas al mismo denominador (común).

Encontremos el MCM de los denominadores de estas fracciones.

Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de cada fracción.

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos 30 entre 10 y obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la primera fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 30 entre 3 y obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividimos 30 entre 5 y obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la tercera fracción:

Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Terminemos este ejemplo.

La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que la movemos a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:

La respuesta resultó ser una fracción regular, y todo parece convenirnos, pero es demasiado engorroso y feo. Sería necesario hacerlo más sencillo y estéticamente más agradable. ¿Qué se puede hacer? Puedes acortar esta fracción. Recuerde que reducir una fracción es la división del numerador y denominador por el mayor común divisor numerador y denominador.

Para reducir correctamente una fracción, debes dividir su numerador y denominador por el máximo común divisor (MCD) de los números 20 y 30.

GCD no debe confundirse con NOC. El error más común de muchos principiantes. MCD es el máximo común divisor. Encontramos que reduce una fracción.

Y MCM es el mínimo común múltiplo. Lo encontramos para llevar fracciones al mismo denominador (común).

Ahora encontraremos el máximo común divisor (MCD) de los números 20 y 30.

Entonces, encontramos MCD para los números 20 y 30:

MCD (20 y 30) = 10

Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y denominador de la fracción entre 10:

Recibimos una hermosa respuesta.

Multiplicar una fracción por un número

Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por ese número y dejar el denominador igual.

Ejemplo 1. Multiplica una fracción por el número 1.

Multiplica el numerador de la fracción por el número 1.

Se puede entender que la grabación toma la mitad del tiempo. Por ejemplo, si tomas pizzas 1 vez, obtienes pizzas.

Por las leyes de la multiplicación sabemos que si se intercambian el multiplicando y el factor, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:

Esta notación puede entenderse como tomar la mitad de uno. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y le quitamos la mitad, entonces nos quedará pizza:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la fracción por 4.

La expresión puede entenderse como tomar dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas 4 pizzas, obtendrás dos pizzas enteras.

Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:

Multiplicar fracciones

Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, debes resaltar la parte completa.

Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.

Recibimos una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:

La expresión puede entenderse como sacar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:

¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:

Y toma dos de estas tres piezas:

Haremos pizza. Recuerda cómo se ve la pizza dividida en tres partes:

Un trozo de esta pizza y los dos trozos que cogimos tendrán las mismas dimensiones:

Es decir, estamos hablando de pizza del mismo tamaño. Por lo tanto el valor de la expresión es

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.

La respuesta resultó ser una fracción regular, pero sería bueno si la acortaran. Para reducir esta fracción se debe dividir por el mcd del numerador y denominador. Entonces, encontremos el mcd de los números 105 y 450:

MCD para (105 y 150) es 15

Ahora dividimos el numerador y denominador de nuestra respuesta por mcd:

Representar un número entero como una fracción

Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. Esto no cambiará el significado de cinco, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y este, como sabemos, es igual a cinco:

Números recíprocos

Ahora nos familiarizaremos con muy tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".

Definición. Invertir al número a es un número que multiplicado por a da uno.

Sustituyamos en esta definición en lugar de la variable a número 5 e intenta leer la definición:

Invertir al número 5 es un número que multiplicado por 5 da uno.

¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé uno? Resulta que es posible. Imaginemos cinco como fracción:

Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multiplica una fracción por sí misma, sólo que al revés:

¿Qué pasará como resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:

Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número , ya que al multiplicar 5 por se obtiene uno.

El recíproco de un número también se puede encontrar para cualquier otro número entero.

• el recíproco de 3 es una fracción
• el recíproco de 4 es una fracción

También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, simplemente déle la vuelta.

§ 87. Suma de fracciones.

Sumar fracciones tiene muchas similitudes con sumar números enteros. La suma de fracciones es una acción que consiste en combinar varios números (términos) dados en un número (suma), que contiene todas las unidades y fracciones de las unidades de los términos.

Consideraremos tres casos secuencialmente:

1. Suma de fracciones con igual denominador.
2. Suma de fracciones con distintos denominadores.
3. Suma de números mixtos.

1. Suma de fracciones con igual denominador.

Considere un ejemplo: 1/5 + 2/5.

Tomemos el segmento AB (Fig.17), lo tomamos como uno y lo dividimos en 5 partes iguales, entonces la parte AC de este segmento será igual a 1/5 del segmento AB, y la parte del mismo segmento CD será igual a 2/5AB.

Del dibujo se ve que si tomamos el segmento AD, será igual a 3/5 AB; pero el segmento AD es precisamente la suma de los segmentos AC y CD. Entonces podemos escribir:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Considerando estos términos y la suma resultante, vemos que el numerador de la suma se obtuvo sumando los numeradores de los términos, y el denominador permaneció sin cambios.

De esto obtenemos la siguiente regla: Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el mismo denominador.

Veamos un ejemplo:

2. Suma de fracciones con distintos denominadores.

Sumemos las fracciones: 3/4 + 3/8 Primero hay que reducirlas al mínimo común denominador:

No se pudo escribir el enlace intermedio 6/8 + 3/8; lo hemos escrito aquí para mayor claridad.

Por lo tanto, para sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes reducirlas al mínimo común denominador, sumar sus numeradores y etiquetar el denominador común.

Veamos un ejemplo (escribiremos factores adicionales encima de las fracciones correspondientes):

3. Suma de números mixtos.

Sumemos los números: 2 3/8 + 3 5/6.

Primero llevemos las partes fraccionarias de nuestros números a un denominador común y reescribámoslas nuevamente:

Ahora sumamos las partes enteras y fraccionarias de forma secuencial:

§ 88. Resta de fracciones.

La resta de fracciones se define de la misma manera que la resta de números enteros. Se trata de una acción mediante la cual, dada la suma de dos términos y uno de ellos, se encuentra otro término. Consideremos tres casos sucesivamente:

1. Restar fracciones con denominadores iguales.
2. Restar fracciones con diferentes denominadores.
3. Resta de números mixtos.

1. Restar fracciones con denominadores iguales.

Veamos un ejemplo:

13 / 15 - 4 / 15

Tomemos el segmento AB (Fig. 18), tomémoslo como una unidad y dividámoslo en 15 partes iguales; entonces la parte AC de este segmento representará 1/15 de AB, y la parte AD del mismo segmento corresponderá a 13/15 AB. Apartamos otro segmento ED igual a 4/15 AB.

Necesitamos restar la fracción 4/15 de 13/15. En el dibujo, esto significa que el segmento ED debe restarse del segmento AD. Como resultado, quedará el segmento AE, que es 9/15 del segmento AB. Entonces podemos escribir:

El ejemplo que hicimos muestra que el numerador de la diferencia se obtuvo restando los numeradores, pero el denominador siguió siendo el mismo.

Por lo tanto, para restar fracciones con denominadores iguales, debes restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y dejar el mismo denominador.

2. Restar fracciones con diferentes denominadores.

Ejemplo. 3/4 - 5/8

Primero, reduzcamos estas fracciones al mínimo común denominador:

El intermedio 6/8 - 5/8 está escrito aquí para mayor claridad, pero puede omitirse más adelante.

Por lo tanto, para restar una fracción de una fracción, primero debes reducirlas al mínimo común denominador, luego restar el numerador del minuendo del numerador del minuendo y firmar el denominador común debajo de su diferencia.

Veamos un ejemplo:

3. Resta de números mixtos.

Ejemplo. 10 3/4 - 7 2/3.

Reduzcamos las partes fraccionarias del minuendo y sustraendo al mínimo común denominador:

Restamos un entero de un entero y una fracción de una fracción. Pero hay casos en los que la parte fraccionaria de lo que se resta es mayor que la parte fraccionaria de lo que se reduce. En tales casos, es necesario tomar una unidad de la parte entera del minuendo, dividirla en aquellas partes en las que se expresa la parte fraccionaria y agregarla a la parte fraccionaria del minuendo. Y luego la resta se realizará de la misma forma que en el ejemplo anterior:

§ 89. Multiplicación de fracciones.

Al estudiar la multiplicación de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:

1. Multiplicar una fracción por un número entero.
2. Encontrar la fracción de un número dado.
3. Multiplicar un número entero por una fracción.
4. Multiplicar una fracción por una fracción.
5. Multiplicación de números mixtos.
6. El concepto de interés.
7. Encontrar el porcentaje de un número determinado. Considerémoslos secuencialmente.

1. Multiplicar una fracción por un número entero.

Multiplicar una fracción por un número entero tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por un número entero. Multiplicar una fracción (multiplicando) por un número entero (factor) significa crear una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicando.

Esto significa que si necesitas multiplicar 1/9 por 7, puedes hacerlo así:

Obtuvimos fácilmente el resultado, ya que la acción se redujo a sumar fracciones con los mismos denominadores. Por eso,

La consideración de esta acción muestra que multiplicar una fracción por un número entero equivale a aumentar esta fracción tantas veces como unidades hay en el número entero. Y dado que aumentar una fracción se consigue aumentando su numerador

o reduciendo su denominador , entonces podemos multiplicar el numerador por un número entero o dividir el denominador por él, si dicha división es posible.

De aquí obtenemos la regla:

Para multiplicar una fracción por un número entero, multiplicas el numerador por ese número entero y dejas el denominador igual o, si es posible, divides el denominador por ese número, dejando el numerador sin cambios.

Al multiplicar, son posibles abreviaturas, por ejemplo:

2. Encontrar la fracción de un número dado. Hay muchos problemas en los que hay que encontrar o calcular parte de un número determinado. La diferencia entre estos problemas de otros es que dan el número de algunos objetos o unidades de medida y es necesario encontrar una parte de este número, que aquí también se indica mediante una determinada fracción. Para facilitar la comprensión, primero daremos ejemplos de dichos problemas y luego presentaremos un método para resolverlos.

Tarea 1. Yo tenía 60 rublos; Gasté 1/3 de este dinero en comprar libros. ¿Cuánto costaron los libros?

Tarea 2. El tren debe recorrer una distancia entre las ciudades A y B igual a 300 km. Ya ha recorrido 2/3 de esta distancia. ¿Cuántos kilómetros es esto?

Tarea 3. Hay 400 casas en el pueblo, 3/4 de ellas son de ladrillo y el resto de madera. cuanto en total casas de ladrillo?

Estos son algunos de los muchos problemas que encontramos para encontrar una parte de un número determinado. Suelen denominarse problemas para encontrar la fracción de un número determinado.

Solución al problema 1. Desde 60 frotar. Gasté 1/3 en libros; Esto significa que para encontrar el costo de los libros necesitas dividir el número 60 entre 3:

Resolviendo el problema 2. El quid del problema es que necesitas encontrar 2/3 de 300 km. Primero calculemos 1/3 de 300; esto se consigue dividiendo 300 km entre 3:

300: 3 = 100 (eso es 1/3 de 300).

Para encontrar dos tercios de 300, debes duplicar el cociente resultante, es decir, multiplicar por 2:

100 x 2 = 200 (eso es 2/3 de 300).

Resolviendo el problema 3. Aquí necesitas determinar la cantidad de casas de ladrillo que componen 3/4 de 400. Primero encontremos 1/4 de 400,

400: 4 = 100 (eso es 1/4 de 400).

Para calcular tres cuartos de 400, hay que triplicar el cociente resultante, es decir, multiplicarlo por 3:

100 x 3 = 300 (eso es 3/4 de 400).

De la solución a estos problemas podemos derivar la siguiente regla:

Para encontrar el valor de una fracción de un número dado, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el cociente resultante por su numerador.

3. Multiplicar un número entero por una fracción.

Anteriormente (§ 26) se estableció que la multiplicación de números enteros debe entenderse como la suma de términos idénticos (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). En este párrafo (punto 1) se estableció que multiplicar una fracción por un número entero significa encontrar la suma de términos idénticos iguales a esta fracción.

En ambos casos, la multiplicación consistió en encontrar la suma de términos idénticos.

Ahora pasamos a multiplicar un número entero por una fracción. Aquí nos encontraremos, por ejemplo, con la multiplicación: 9 2/3. Está claro que la definición anterior de multiplicación no se aplica a este caso. Esto es evidente por el hecho de que no podemos reemplazar dicha multiplicación sumando números iguales.

Debido a esto, tendremos que dar una nueva definición de multiplicación, es decir, en otras palabras, responder a la pregunta de qué se debe entender por multiplicación por una fracción, cómo se debe entender esta acción.

El significado de multiplicar un número entero por una fracción queda claro a partir de la siguiente definición: multiplicar un número entero (multiplicando) por una fracción (multiplicando) significa encontrar esta fracción del multiplicando.

Es decir, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nueve unidades. En el párrafo anterior se resolvieron tales problemas; entonces es fácil saber que terminaremos con 6.

Pero ahora surge una pregunta interesante e importante: ¿por qué tales varias acciones¿Cómo es encontrar la suma de números iguales y encontrar la fracción de un número llamado con la misma palabra “multiplicación” en aritmética?

Esto sucede porque la acción anterior (repetir varias veces un número con términos) y la nueva acción (hallar la fracción de un número) dan respuestas a preguntas homogéneas. Esto significa que partimos aquí de la consideración de que cuestiones o tareas homogéneas se resuelven con la misma acción.

Para entender esto, consideremos el siguiente problema: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 4 m de esa tela?

Este problema se resuelve multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (4), es decir, 50 x 4 = 200 (rublos).

Tomemos el mismo problema, pero en él la cantidad de tela se expresará como una fracción: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 3/4 m de esa tela?

Este problema también debe resolverse multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (3/4).

Puede cambiar los números varias veces más sin cambiar el significado del problema, por ejemplo, tomar 9/10 mo 2 3/10 m, etc.

Dado que estos problemas tienen el mismo contenido y difieren solo en números, llamamos a las acciones utilizadas para resolverlos la misma palabra: multiplicación.

¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción?

Tomemos los números encontrados en el último problema:

Según la definición, debemos encontrar 3/4 de 50. Primero encontremos 1/4 de 50 y luego 3/4.

1/4 de 50 es 50/4;

3/4 del número 50 es .

Por eso.

Consideremos otro ejemplo: 12 5 / 8 =?

1/8 del número 12 es 12/8,

5/8 del número 12 es .

Por eso,

De aquí obtenemos la regla:

Para multiplicar un número entero por una fracción, debes multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de esta fracción como denominador.

Escribamos esta regla usando letras:

Para que esta regla quede completamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para multiplicar un número por un cociente, que se establece en el § 38.

Es importante recordar que antes de realizar la multiplicación, debes hacer (si es posible) reducciones, Por ejemplo:

4. Multiplicar una fracción por una fracción. Multiplicar una fracción por una fracción tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por una fracción, es decir, al multiplicar una fracción por una fracción, necesitas encontrar la fracción que está en el factor de la primera fracción (el multiplicando).

Es decir, multiplicar 3/4 por 1/2 (la mitad) significa encontrar la mitad de 3/4.

¿Cómo se multiplica una fracción por una fracción?

Pongamos un ejemplo: 3/4 multiplicado por 5/7. Esto significa que necesitas encontrar 5/7 de 3/4. Primero encontremos 1/7 de 3/4 y luego 5/7.

1/7 del número 3/4 se expresará de la siguiente manera:

5/7 números 3/4 se expresarán de la siguiente manera:

De este modo,

Otro ejemplo: 5/8 multiplicado por 4/9.

1/9 de 5/8 es ,

4/9 del número 5/8 es .

De este modo,

De estos ejemplos se puede deducir la siguiente regla:

Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador, y convertir el primer producto en el numerador y el segundo producto en el denominador del producto.

Esta es la regla en vista general se puede escribir así:

Al multiplicar, es necesario hacer (si es posible) reducciones. Veamos ejemplos:

5. Multiplicación de números mixtos. Dado que los números mixtos pueden sustituirse fácilmente por fracciones impropias, esta circunstancia se suele utilizar al multiplicar números mixtos. Esto significa que en los casos en que el multiplicando, o el multiplicador, o ambos factores se expresan como números mixtos, se reemplazan por fracciones impropias. Multipliquemos, por ejemplo, números mixtos: 2 1/2 y 3 1/5. Convirtamos cada uno de ellos en una fracción impropia y luego multipliquemos las fracciones resultantes de acuerdo con la regla para multiplicar una fracción por una fracción:

Regla. Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicarlos según la regla para multiplicar fracciones por fracciones.

Nota. Si uno de los factores es un número entero, entonces la multiplicación se puede realizar según la ley de distribución de la siguiente manera:

6. El concepto de interés. Al resolver problemas y realizar diversos cálculos prácticos, utilizamos todo tipo de fracciones. Pero hay que tener en cuenta que muchas cantidades no permiten divisiones cualquiera, sino naturales. Por ejemplo, puede tomar una centésima (1/100) de rublo, será un kopeck, dos centésimas son 2 kopeks, tres centésimas son 3 kopeks. Puedes tomar 1/10 de rublo, serán "10 kopeks, o una pieza de diez kopeks. Puedes tomar un cuarto de rublo, es decir, 25 kopeks, medio rublo, es decir, 50 kopeks (cincuenta kopeks). Pero prácticamente no aceptan, por ejemplo, 2/7 de rublo porque el rublo no se divide en séptimos.

La unidad de peso, es decir, el kilogramo, permite principalmente divisiones decimales, por ejemplo 1/10 kg o 100 g. Y fracciones de kilogramo como 1/6, 1/11, 1/13 no son comunes.

En general, nuestras medidas (métricas) son decimales y permiten divisiones decimales.

Sin embargo, cabe señalar que es extremadamente útil y conveniente en una amplia variedad de casos utilizar el mismo método (uniforme) para subdividir cantidades. Muchos años de experiencia han demostrado que una división tan bien justificada es la "centésima". Consideremos varios ejemplos relacionados con las más diversas áreas de la práctica humana.

1. El precio de los libros ha bajado un 12/100 del precio anterior.

Ejemplo. El precio anterior del libro era de 10 rublos. Disminuyó en 1 rublo. 20 kopeks

2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes 2/100 del monto depositado para ahorros durante el año.

Ejemplo. Se depositan 500 rublos en la caja registradora, el ingreso de esta cantidad para el año es de 10 rublos.

3. El número de graduados de una escuela fue 5/100 del número total de estudiantes.

EJEMPLO En la escuela sólo había 1.200 estudiantes, de los cuales 60 se graduaron.

La centésima parte de un número se llama porcentaje..

La palabra "porcentaje" proviene de latín y su raíz "cent" significa cien. Junto con la preposición (pro centum), esta palabra significa "por cien". El significado de tal expresión se deriva del hecho de que inicialmente en antigua roma El interés era el dinero que el deudor pagaba al prestamista “por cada cien”. La palabra "cent" se escucha en palabras tan familiares: centner (cien kilogramos), centímetro (digamos centímetro).

Por ejemplo, en lugar de decir que durante el último mes la planta produjo 1/100 de todos los productos producidos por ella eran defectuosos, diremos esto: durante el último mes la planta produjo el uno por ciento de los defectos. En lugar de decir: la planta produjo 4/100 productos más que el plan establecido, diremos: la planta superó el plan en un 4 por ciento.

Los ejemplos anteriores se pueden expresar de manera diferente:

1. El precio de los libros ha disminuido un 12 por ciento respecto al precio anterior.

2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes un 2 por ciento anual sobre el monto depositado en ahorros.

3. El número de graduados de una escuela fue el 5 por ciento de todos los estudiantes de la escuela.

Para acortar la letra, se acostumbra escribir el símbolo % en lugar de la palabra “porcentaje”.

Sin embargo, es necesario recordar que en los cálculos el signo % generalmente no se escribe; puede escribirse en el enunciado del problema y en el resultado final. Al realizar cálculos, debes escribir una fracción con un denominador de 100 en lugar de un número entero con este símbolo.

Necesitas poder reemplazar un número entero con el ícono indicado por una fracción con denominador 100:

Por el contrario, debes acostumbrarte a escribir un número entero con el símbolo indicado en lugar de una fracción con un denominador de 100:

7. Encontrar el porcentaje de un número determinado.

Tarea 1. La escuela recibió 200 metros cúbicos. m de leña, representando el 30% la leña de abedul. ¿Cuánta leña de abedul había?

El significado de este problema es que la leña de abedul constituía sólo una parte de la leña que se entregaba a la escuela, y esta parte se expresa en la fracción 30/100. Esto significa que tenemos la tarea de encontrar una fracción de un número. Para resolverlo debemos multiplicar 200 por 30/100 (los problemas de encontrar la fracción de un número se resuelven multiplicando el número por la fracción).

Esto significa que el 30% de 200 es igual a 60.

La fracción 30/100 encontrada en este problema se puede reducir en 10. Esta reducción sería posible hacer desde el principio; la solución al problema no habría cambiado.

Tarea 2. En el campamento había 300 niños de distintas edades. Los niños de 11 años representaron el 21%, los niños de 12 años representaron el 61% y finalmente los niños de 13 años representaron el 18%. ¿Cuántos niños de cada edad había en el campamento?

En este problema es necesario realizar tres cálculos, es decir, encontrar secuencialmente el número de niños de 11 años, luego de 12 años y finalmente de 13 años.

Esto significa que aquí necesitarás encontrar la fracción del número tres veces. Vamos a hacerlo:

1) ¿Cuántos niños de 11 años había?

2) ¿Cuántos niños de 12 años había?

3) ¿Cuántos niños de 13 años había?

Después de resolver el problema, es útil sumar los números encontrados; su suma debe ser 300:

63 + 183 + 54 = 300

También cabe señalar que la suma de los porcentajes dados en el planteamiento del problema es 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Esto sugiere que numero total Los niños en el campamento fueron tomados al 100%.

3 a d a h a 3. El trabajador recibía 1.200 rublos al mes. De ello, gastó el 65% en comida, el 6% en apartamentos y calefacción, el 4% en gas, electricidad y radio, el 10% en necesidades culturales y el 15% en ahorros. ¿Cuánto dinero se gastó en las necesidades indicadas en el problema?

Para resolver este problema necesitas encontrar la fracción de 1200 5 veces.

1) ¿Cuánto dinero se gastó en comida? El problema dice que este gasto es el 65% de los ingresos totales, es decir, el 65/100 del número 1.200.

2) ¿Cuánto dinero pagaste por un apartamento con calefacción? Razonando de manera similar al anterior, llegamos al siguiente cálculo:

3) ¿Cuánto dinero pagaste por el gas, la electricidad y la radio?

4) ¿Cuánto dinero se gastó en necesidades culturales?

5) ¿Cuánto dinero ahorró el trabajador?

Para comprobarlo, es útil sumar los números que se encuentran en estas 5 preguntas. La cantidad debe ser de 1200 rublos. Todas las ganancias se toman como 100%, lo cual es fácil de verificar sumando los porcentajes indicados en el enunciado del problema.

Resolvimos tres problemas. A pesar de que estas tareas se referían a varias cosas(entrega de leña para la escuela, número de niños de diferentes edades, gastos del trabajador), se resolvieron de la misma manera. Esto sucedió porque en todos los problemas era necesario encontrar varios porcentajes de los números dados.

§ 90. División de fracciones.

Mientras estudiamos la división de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:

1. Dividir un número entero por un número entero.
2. Dividir una fracción por un número entero
3. Dividir un número entero por una fracción.
4. Dividir una fracción por una fracción.
5. División de números mixtos.
6. Encontrar un número a partir de su fracción dada.
7. Encontrar un número por su porcentaje.

Considerémoslos secuencialmente.

1. Dividir un número entero por un número entero.

Como se indicó en el departamento de números enteros, la división es la acción que consiste en que dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de estos factores (divisor), se encuentra otro factor.

Vimos cómo dividir un número entero entre un número entero en la sección sobre números enteros. Allí encontramos dos casos de división: división sin resto, o “enteramente” (150: 10 = 15), y división con resto (100: 9 = 11 y 1 resto). Por tanto, podemos decir que en el campo de los números enteros la división exacta no siempre es posible, porque el dividendo no siempre es el producto del divisor por el número entero. Después de introducir la multiplicación por una fracción, podemos considerar posible cualquier caso de división de números enteros (solo se excluye la división por cero).

Por ejemplo, dividir 7 entre 12 significa encontrar un número cuyo producto por 12 sería igual a 7. Tal número es la fracción 7/12 porque 7/12 12 = 7. Otro ejemplo: 14: 25 = 14 / 25, porque 14 / 25 25 = 14.

Por lo tanto, para dividir un número entero entre un número entero, es necesario crear una fracción cuyo numerador sea igual al dividendo y el denominador sea igual al divisor.

2. Dividir una fracción por un número entero.

Divide la fracción 6/7 entre 3. Según la definición de división dada anteriormente, tenemos aquí el producto (6/7) y uno de los factores (3); se requiere encontrar un segundo factor que, multiplicado por 3, dé el producto dado 6/7. Evidentemente, debería ser tres veces más pequeño que este producto. Esto significa que la tarea que teníamos ante nosotros era reducir la fracción 6/7 en 3 veces.

Ya sabemos que la reducción de una fracción se puede hacer disminuyendo su numerador o aumentando su denominador. Por lo tanto puedes escribir:

EN en este caso El numerador de 6 es divisible por 3, por lo que el numerador debe dividirse por la mitad.

Tomemos otro ejemplo: 5/8 dividido por 2. Aquí el numerador 5 no es divisible por 2, lo que significa que habrá que multiplicar el denominador por este número:

En base a esto se puede formular una regla: Para dividir una fracción por un número entero, debes dividir el numerador de la fracción por ese número entero.(si es posible), dejando el mismo denominador, o multiplicar el denominador de la fracción por este número, dejando el mismo numerador.

3. Dividir un número entero por una fracción.

Sea necesario dividir 5 por 1/2, es decir, encontrar un número que, multiplicado por 1/2, dé como resultado 5. Obviamente, este número debe ser mayor que 5, ya que 1/2 es una fracción propia. , y al multiplicar un número el producto de una fracción propia debe ser menor que el producto que se multiplica. Para que esto quede más claro, escribamos nuestras acciones de la siguiente manera: 5: 1 / 2 = X , lo que significa x 1/2 = 5.

Debemos encontrar tal número. X , que, si se multiplica por 1/2, daría 5. Dado que multiplicar un determinado número por 1/2 significa encontrar la mitad de este número, entonces, por lo tanto, la mitad del número desconocido X es igual a 5 y el numero entero X el doble, es decir, 5 2 = 10.

Entonces 5: 1/2 = 5 2 = 10

Vamos a revisar:

Veamos otro ejemplo. Digamos que quieres dividir 6 entre 2/3. Primero intentemos encontrar el resultado deseado usando el dibujo (Fig. 19).

Fig.19

Dibujemos un segmento AB igual a 6 unidades y dividamos cada unidad en 3 partes iguales. En cada unidad, tres tercios (3/3) de todo el segmento AB son 6 veces más grandes, es decir 18/3. Usando pequeños paréntesis, conectamos los 18 segmentos resultantes de 2; Sólo habrá 9 segmentos. Esto significa que la fracción 2/3 está contenida en 6 unidades 9 veces o, en otras palabras, la fracción 2/3 es 9 veces menor que 6 unidades enteras. Por eso,

¿Cómo obtener este resultado sin un dibujo utilizando únicamente cálculos? Razonemos así: necesitamos dividir 6 entre 2/3, es decir, debemos responder a la pregunta de cuántas veces 2/3 está contenido en 6. Averigüemos primero: ¿cuántas veces 1/3 está contenido en 6? En una unidad entera hay 3 tercios, y en 6 unidades hay 6 veces más, es decir, 18 tercios; para encontrar este número debemos multiplicar 6 por 3. Esto significa que 1/3 está contenido en b unidades 18 veces, y 2/3 está contenido en b unidades no 18 veces, sino la mitad de veces, es decir, 18: 2 = 9 Por tanto, al dividir 6 entre 2/3 hicimos lo siguiente:

De aquí obtenemos la regla para dividir un número entero por una fracción. Para dividir un número entero por una fracción, debes multiplicar este número entero por el denominador de la fracción dada y, haciendo de este producto el numerador, dividirlo por el numerador de la fracción dada.

Escribamos la regla usando letras:

Para que esta regla quede completamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para dividir un número por un cociente, que se establece en el § 38. Tenga en cuenta que allí se obtuvo la misma fórmula.

Al dividir, son posibles abreviaturas, por ejemplo:

4. Dividir una fracción por una fracción.

Digamos que necesitamos dividir 3/4 entre 3/8. ¿Qué significará el número que resulta de la división? Responderá a la pregunta cuántas veces la fracción 3/8 está contenida en la fracción 3/4. Para entender este problema, hagamos un dibujo (Fig. 20).

Tomemos un segmento AB, lo tomamos como uno, lo dividimos en 4 partes iguales y marcamos 3 de esas partes. El segmento AC será igual a 3/4 del segmento AB. Dividamos ahora cada uno de los cuatro segmentos originales por la mitad, luego el segmento AB se dividirá en 8 partes iguales y cada una de esas partes será igual a 1/8 del segmento AB. Conectemos 3 de esos segmentos con arcos, entonces cada uno de los segmentos AD y DC será igual a 3/8 del segmento AB. El dibujo muestra que un segmento igual a 3/8 está contenido en un segmento igual a 3/4 exactamente 2 veces; Esto significa que el resultado de la división se puede escribir de la siguiente manera:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Veamos otro ejemplo. Digamos que necesitamos dividir 15/16 entre 3/32:

Podemos razonar así: necesitamos encontrar un número que, después de multiplicarlo por 3/32, dé un producto igual a 15/16. Escribamos los cálculos así:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 número desconocido X son 15/16

1/32 de un número desconocido X es ,

32 / 32 números X constituir .

Por eso,

Por lo tanto, para dividir una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, y convertir el primer producto en el numerador. y el segundo el denominador.

Escribamos la regla usando letras:

Al dividir, son posibles abreviaturas, por ejemplo:

5. División de números mixtos.

Al dividir números mixtos, primero se deben convertir en fracciones impropias y luego las fracciones resultantes se deben dividir de acuerdo con las reglas para dividir fracciones. Veamos un ejemplo:

Convertimos números mixtos a fracciones impropias:

Ahora dividamos:

Por lo tanto, para dividir números mixtos, debes convertirlos en fracciones impropias y luego dividirlos usando la regla para dividir fracciones.

6. Encontrar un número a partir de su fracción dada.

Entre los diversos problemas con fracciones, a veces hay aquellos en los que se da el valor de alguna fracción de un número desconocido y es necesario encontrar este número. Este tipo de problema será el inverso del problema de encontrar la fracción de un número determinado; allí se dio un número y se pidió encontrar alguna fracción de este número, aquí se dio una fracción de un número y se pidió encontrar este número mismo. Esta idea quedará aún más clara si nos centramos en solucionar este tipo de problemas.

Tarea 1. El primer día, los vidrieros vidriaron 50 ventanas, lo que representa 1/3 de todas las ventanas de la casa construida. ¿Cuántas ventanas hay en esta casa?

Solución. El problema dice que 50 ventanas acristaladas constituyen 1/3 de todas las ventanas de la casa, lo que significa que hay 3 veces más ventanas en total, es decir.

La casa tenía 150 ventanas.

Tarea 2. La tienda vendió 1.500 kg de harina, que es 3/8 del total de existencias de harina que tenía la tienda. ¿Cuál fue el suministro inicial de harina de la tienda?

Solución. De las condiciones del problema se desprende claramente que 1.500 kg de harina vendidos constituyen 3/8 del stock total; Esto significa que 1/8 de esta reserva será 3 veces menor, es decir, para calcularlo es necesario reducir 1500 en 3 veces:

1.500: 3 = 500 (esto es 1/8 de la reserva).

Evidentemente, la oferta total será 8 veces mayor. Por eso,

500 8 = 4.000 (kg).

El stock inicial de harina en el almacén era de 4.000 kg.

De la consideración de este problema se puede derivar la siguiente regla.

Para encontrar un número a partir de un valor dado de su fracción, basta con dividir este valor por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción.

Resolvimos dos problemas para encontrar un número dada su fracción. Estos problemas, como queda especialmente claro en el último, se resuelven mediante dos acciones: división (cuando se encuentra una parte) y multiplicación (cuando se encuentra el número entero).

Sin embargo, una vez que hayamos aprendido la división de fracciones, los problemas anteriores se pueden resolver con una sola acción, a saber: dividir por una fracción.

Por ejemplo, la última tarea se puede resolver con una acción como esta:

En el futuro, resolveremos los problemas de encontrar un número a partir de su fracción con una sola acción: la división.

7. Encontrar un número por su porcentaje.

En estos problemas necesitarás encontrar un número conociendo un pequeño porcentaje de ese número.

Tarea 1. A principios de este año recibí 60 rublos de la Caja de Ahorros. ingresos de la cantidad que ahorré hace un año. ¿Cuánto dinero he puesto en la caja de ahorros? (Las cajas dan a los depositantes un rendimiento del 2% anual).

El problema es que puse una cierta cantidad de dinero en una caja de ahorros y permanecí allí durante un año. Después de un año, recibí de ella 60 rublos. ingresos, que son 2/100 del dinero que deposité. ¿Cuánto dinero puse?

En consecuencia, conociendo parte de este dinero, expresado de dos maneras (en rublos y fracciones), debemos encontrar la cantidad total, aún desconocida. Este es un problema común de encontrar un número dada su fracción. Los siguientes problemas se resuelven por división:

Esto significa que se depositaron 3.000 rublos en la caja de ahorros.

Tarea 2. Los pescadores cumplieron el plan mensual en un 64% en dos semanas, capturando 512 toneladas de pescado. ¿Cuál era su plan?

Por las condiciones del problema se sabe que los pescadores cumplieron parte del plan. Esta parte equivale a 512 toneladas, lo que representa el 64% del plan. No sabemos cuántas toneladas de pescado hay que preparar según el plan. Encontrar este número será la solución al problema.

Estos problemas se resuelven mediante división:

Esto significa que, según el plan, es necesario preparar 800 toneladas de pescado.

Tarea 3. El tren iba de Riga a Moscú. Al pasar el kilómetro 276, uno de los pasajeros preguntó al conductor que pasaba cuánto tiempo había recorrido ya. A esto el conductor respondió: “Ya hemos recorrido el 30% de todo el viaje”. ¿Cuál es la distancia entre Riga y Moscú?

De las condiciones problemáticas se desprende claramente que el 30% de la ruta de Riga a Moscú tiene una longitud de 276 km. Necesitamos encontrar la distancia completa entre estas ciudades, es decir, para esta parte, encontrar el total:

§ 91. Números recíprocos. Reemplazo de división por multiplicación.

Tomemos la fracción 2/3 y reemplacemos el numerador en lugar del denominador, obtenemos 3/2. Obtenemos el inverso de esta fracción.

Para obtener el inverso de una fracción dada, debes colocar su numerador en lugar del denominador y el denominador en lugar del numerador. De esta forma podemos obtener el recíproco de cualquier fracción. Por ejemplo:

3/4, revertir 4/3; 5/6, revertir 6/5

Dos fracciones que tienen la propiedad de que el numerador de la primera es el denominador de la segunda, y el denominador de la primera es el numerador de la segunda, se llaman mutuamente inversas.

Ahora pensemos en qué fracción será el recíproco de 1/2. Obviamente, será 2/1, o simplemente 2. Al buscar la fracción inversa de la dada, obtuvimos un número entero. Y este caso no es aislado; por el contrario, para todas las fracciones con numerador 1 (uno), los recíprocos serán números enteros, por ejemplo:

1/3, revertir 3; 1/5, revertir 5

Dado que al encontrar fracciones recíprocas también encontramos números enteros, en lo que sigue no hablaremos de fracciones recíprocas, sino de números recíprocos.

Averigüemos cómo escribir el inverso de un número entero. Para las fracciones, esto se puede resolver de manera simple: debes colocar el denominador en lugar del numerador. De la misma manera, puedes obtener el inverso de un número entero, ya que cualquier número entero puede tener un denominador de 1. Esto significa que el inverso de 7 será 1/7, porque 7 = 7/1; para el número 10 la inversa será 1/10, ya que 10 = 10/1

Esta idea se puede expresar de otra manera: el recíproco de un número dado se obtiene dividiendo uno por un número dado. Esta afirmación es cierta no sólo para los números enteros, sino también para las fracciones. De hecho, si necesitamos escribir la inversa de la fracción 5/9, entonces podemos tomar 1 y dividirlo entre 5/9, es decir

Ahora señalemos una cosa propiedad números recíprocos, que nos serán de utilidad: el producto de números recíprocos es igual a uno. En efecto:

Usando esta propiedad, podemos encontrar números recíprocos de la siguiente manera. Digamos que necesitamos encontrar el inverso de 8.

Denotémoslo con la letra. X , entonces 8 X = 1, por lo tanto X = 1/8. Busquemos otro número que sea el inverso de 7/12 y denotémoslo con la letra X , luego 7/12 X = 1, por lo tanto X = 1: 7 / 12 o X = 12 / 7 .

Introducimos aquí el concepto de números recíprocos para complementar ligeramente la información sobre la división de fracciones.

Cuando dividimos el número 6 entre 3/5, hacemos lo siguiente:

Presta especial atención a la expresión y compárala con la dada: .

Si tomamos la expresión por separado, sin conexión con la anterior, entonces es imposible resolver la cuestión de dónde vino: de dividir 6 por 3/5 o de multiplicar 6 por 5/3. En ambos casos sucede lo mismo. Por lo tanto podemos decir que dividir un número por otro se puede sustituir multiplicando el dividendo por el inverso del divisor.

Los ejemplos que damos a continuación confirman plenamente esta conclusión.

En los cursos de secundaria y preparatoria, los estudiantes cubrieron el tema “Fracciones”. Sin embargo, este concepto es mucho más amplio que lo que se da en el proceso de aprendizaje. Hoy en día, el concepto de fracción se encuentra con bastante frecuencia y no todo el mundo puede calcular ninguna expresión, por ejemplo, multiplicar fracciones.

¿Qué es una fracción?

Históricamente, los números fraccionarios surgieron de la necesidad de medir. Como muestra la práctica, a menudo hay ejemplos de cómo determinar la longitud de un segmento y el volumen de un rectángulo rectangular.

Inicialmente, se presenta a los estudiantes el concepto de acción. Por ejemplo, si divides una sandía en 8 partes, cada persona recibirá un octavo de la sandía. Esta parte de ocho se llama acción.

Una acción igual a la mitad de cualquier valor se llama mitad; ⅓ - tercero; ¼ - un cuarto. Los registros de la forma 5/8, 4/5, 2/4 se llaman fracciones ordinarias. Una fracción común se divide en numerador y denominador. Entre ellos se encuentra la barra de fracciones, o barra de fracciones. La línea fraccionaria se puede dibujar como una línea horizontal u oblicua. En este caso, denota el signo de división.

El denominador representa en cuántas partes iguales se divide la cantidad u objeto; y el numerador es cuántas acciones idénticas se toman. El numerador se escribe encima de la línea de fracción y el denominador debajo.

Lo más conveniente es mostrar fracciones ordinarias en un rayo de coordenadas. Si un solo segmento se divide en 4 partes iguales, cada parte se designa con una letra latina, el resultado puede ser una excelente ayuda visual. Entonces, el punto A muestra una participación igual a 1/4 de todo el segmento unitario, y el punto B marca 2/8 de un segmento dado.

Tipos de fracciones

Las fracciones pueden ser números ordinarios, decimales y mixtos. Además, las fracciones se pueden dividir en propias e impropias. Esta clasificación es más adecuada para fracciones ordinarias.

Una fracción propia es un número cuyo numerador es menor que su denominador. En consecuencia, una fracción impropia es un número cuyo numerador es mayor que su denominador. El segundo tipo suele escribirse como un número mixto. Esta expresión consta de un número entero y una parte fraccionaria. Por ejemplo, 1½. 1 es una parte entera, ½ es una parte fraccionaria. Sin embargo, si es necesario realizar algunas manipulaciones con la expresión (dividir o multiplicar fracciones, reducirlas o convertirlas), el número mixto se convierte en una fracción impropia.

Una expresión fraccionaria correcta siempre es menor que uno y una incorrecta siempre es mayor o igual a 1.

En cuanto a esta expresión, nos referimos a un registro en el que se representa cualquier número, cuyo denominador de expresión fraccionaria se puede expresar en términos de uno con varios ceros. Si la fracción es propia, entonces la parte entera en notación decimal será igual a cero.

Para escribir una fracción decimal, primero debes escribir la parte entera, separarla de la fracción usando una coma y luego escribir la expresión de la fracción. Hay que recordar que después del punto decimal el numerador debe contener tantos caracteres digitales como ceros en el denominador.

Ejemplo. Expresa la fracción 7 21 / 1000 en notación decimal.

Algoritmo para convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa

Es incorrecto escribir una fracción impropia en la respuesta a un problema, por lo que es necesario convertirla a un número mixto:

• dividir el numerador por el denominador existente;
• V ejemplo específico cociente incompleto - entero;
• y el resto es el numerador de la parte fraccionaria, permaneciendo el denominador sin cambios.

Ejemplo. Convertir fracción impropia a número mixto: 47/5.

Solución. 47: 5. El cociente parcial es 9, el resto = 2. Entonces, 47/5 = 9 2/5.

A veces es necesario representar un número mixto como una fracción impropia. Entonces necesitas usar el siguiente algoritmo:

• la parte entera se multiplica por el denominador de la expresión fraccionaria;
• el producto resultante se suma al numerador;
• el resultado se escribe en el numerador, el denominador permanece sin cambios.

Ejemplo. Presentar el número en forma mixta como fracción impropia: 9 8 / 10.

Solución. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 es el numerador.

Respuesta: 98 / 10.

Multiplicar fracciones

Se pueden realizar varias operaciones algebraicas con fracciones ordinarias. Para multiplicar dos números, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. Además, multiplicar fracciones con diferentes denominadores no es diferente de multiplicar fracciones con los mismos denominadores.

Sucede que después de encontrar el resultado es necesario reducir la fracción. EN obligatorio necesitas simplificar la expresión resultante tanto como sea posible. Por supuesto, no se puede decir que una fracción impropia en una respuesta sea un error, pero también es difícil llamarla respuesta correcta.

Ejemplo. Encuentra el producto de dos fracciones ordinarias: ½ y 20/18.

Como puede verse en el ejemplo, después de encontrar el producto, se obtiene una notación fraccionaria reducible. Tanto el numerador como el denominador en este caso se dividen entre 4, y el resultado es la respuesta 5/9.

Multiplicar fracciones decimales

El producto de fracciones decimales es bastante diferente del producto de fracciones ordinarias en su principio. Entonces, multiplicar fracciones es la siguiente:

• se deben escribir dos fracciones decimales una debajo de la otra de modo que los dígitos más a la derecha estén uno debajo del otro;
• es necesario multiplicar los números escritos, a pesar de las comas, es decir, como números naturales;
• cuente el número de dígitos después del punto decimal en cada número;
• en el resultado obtenido después de la multiplicación, es necesario contar desde la derecha tantos símbolos digitales como estén contenidos en la suma en ambos factores después del punto decimal, y poner un signo de separación;
• Si hay menos números en el producto, entonces debes escribir tantos ceros delante de ellos para cubrir este número, poner una coma y sumar la parte entera igual a cero.

Ejemplo. Calcula el producto de dos fracciones decimales: 2,25 y 3,6.

Solución.

Multiplicar fracciones mixtas

Para calcular el producto de dos fracciones mixtas, debes usar la regla para multiplicar fracciones:

• convertir números mixtos en fracciones impropias;
• encontrar el producto de los numeradores;
• encontrar el producto de denominadores;
• anota el resultado;
• simplifica la expresión tanto como sea posible.

Ejemplo. Encuentra el producto de 4½ y 6 2/5.

Multiplicar un número por una fracción (fracciones por un número)

Además de encontrar el producto de dos fracciones y números mixtos, hay tareas en las que debes multiplicar por una fracción.

Entonces, para encontrar el producto decimal y un número natural, necesitas:

• escriba el número debajo de la fracción de modo que los dígitos del extremo derecho queden uno encima del otro;
• busque el producto a pesar de la coma;
• en el resultado resultante, separe la parte entera de la parte fraccionaria mediante una coma, contando desde la derecha el número de dígitos que se ubican después del punto decimal en la fracción.

Para multiplicar una fracción común por un número, necesitas encontrar el producto del numerador y el factor natural. Si la respuesta da como resultado una fracción que se puede reducir, se debe convertir.

Ejemplo. Calcula el producto de 5/8 y 12.

Solución. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Respuesta: 7 1 / 2.

Como puedes ver en el ejemplo anterior, fue necesario reducir el resultado resultante y convertir la expresión fraccionaria incorrecta en un número mixto.

La multiplicación de fracciones también implica encontrar el producto de un número mixto y un factor natural. Para multiplicar estos dos números, debes multiplicar la parte entera del factor mixto por el número, multiplicar el numerador por el mismo valor y dejar el denominador sin cambios. Si es necesario, es necesario simplificar el resultado tanto como sea posible.

Ejemplo. Encuentra el producto de 9 5/6 y 9.

Solución. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Respuesta: 88 1 / 2.

Multiplicación por factores de 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0.001

La siguiente regla se desprende del párrafo anterior. Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., debes mover el punto decimal hacia la derecha tantos dígitos como ceros haya en el factor después del uno.

Ejemplo 1. Encuentra el producto de 0,065 y 1000.

Solución. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Respuesta: 65.

Ejemplo 2. Encuentra el producto de 3,9 y 1000.

Solución. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Respuesta: 3900.

Si necesitas multiplicar un número natural por 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., debe mover la coma en el producto resultante hacia la izquierda tantos dígitos como ceros haya antes del uno. Si es necesario, antes número natural Se registra un número suficiente de ceros.

Ejemplo 1. Encuentra el producto de 56 y 0,01.

Solución. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Respuesta: 0,56.

Ejemplo 2. Calcula el producto de 4 y 0,001.

Solución. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Respuesta: 0,004.

Por lo tanto, encontrar el producto de diferentes fracciones no debería causar ninguna dificultad, excepto quizás calcular el resultado; en este caso, simplemente no puede prescindir de una calculadora.