Comment trouver le plus grand commun multiple de deux nombres. Plus petit commun multiple (LCM)

Considérons la résolution du problème suivant. Le pas du garçon est de 75 cm et celui de la fille est de 60 cm. Il faut trouver la plus petite distance à laquelle ils font tous les deux un nombre entier de pas.

Solution. L'ensemble du chemin que parcourront les gars doit être divisible par 60 et 70, puisqu'ils doivent chacun faire un nombre entier de pas. En d’autres termes, la réponse doit être un multiple de 75 et de 60.

Tout d’abord, nous allons écrire tous les multiples du nombre 75. Nous obtenons :

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Écrivons maintenant les nombres qui seront des multiples de 60. Nous obtenons :

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nous trouvons maintenant les nombres qui se trouvent dans les deux lignes.

• Les multiples courants de nombres seraient 300, 600, etc.

Le plus petit d'entre eux est le nombre 300. Il est en dans ce cas sera appelé le plus petit commun multiple de 75 et 60.

Revenant à l'état du problème, la plus petite distance à laquelle les gars feront un nombre entier de pas sera de 300 cm. Le garçon parcourra ce chemin en 4 pas, et la fille devra faire 5 pas.

Détermination du plus petit commun multiple

• Plus petit commun multiple de deux nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel multiple de a et b.

Afin de trouver le plus petit commun multiple de deux nombres, il n'est pas nécessaire d'écrire tous les multiples de ces nombres d'affilée.

Vous pouvez utiliser la méthode suivante.

Comment trouver le plus petit commun multiple

Vous devez d’abord prendre en compte ces nombres en facteurs premiers.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Écrivons maintenant tous les facteurs qui sont dans le développement du premier nombre (2,2,3,5) et ajoutons-y tous les facteurs manquants dans le développement du deuxième nombre (5).

En conséquence, nous obtenons une série de nombres premiers : 2,2,3,5,5. Le produit de ces nombres sera le facteur le moins commun de ces nombres. 2*2*3*5*5 = 300.

Schéma général pour trouver le plus petit commun multiple

• 1. Divisez les nombres en facteurs premiers.
• 2. Notez les facteurs premiers qui font partie de l'un d'eux.
• 3. Ajoutez à ces facteurs tous ceux qui sont dans l'expansion des autres, mais pas dans celui sélectionné.
• 4. Trouvez le produit de tous les facteurs notés.

Cette méthode est universelle. Il peut être utilisé pour trouver le plus petit commun multiple d’un nombre quelconque de nombres naturels.

Examinons trois façons de trouver le plus petit commun multiple.

Recherche par factorisation

La première méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple en factorisant les nombres donnés en facteurs premiers.

Disons que nous devons trouver le LCM des nombres : 99, 30 et 28. Pour ce faire, factorisons chacun de ces nombres en facteurs premiers :

Pour que le nombre souhaité soit divisible par 99, 30 et 28, il faut et suffisant qu'il comprenne tous les facteurs premiers de ces diviseurs. Pour ce faire, nous devons prendre tous les facteurs premiers de ces nombres à la plus grande puissance possible et les multiplier entre eux :

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Ainsi, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Aucun autre nombre inférieur à 13 860 n’est divisible par 99, 30 ou 28.

Pour trouver le plus petit commun multiple de nombres donnés, vous les intégrez à leurs facteurs premiers, puis prenez chaque facteur premier avec le plus grand exposant dans lequel il apparaît et multipliez ces facteurs ensemble.

Puisque les nombres relativement premiers n’ont pas de facteurs premiers communs, leur plus petit commun multiple est égal au produit de ces nombres. Par exemple, trois nombres : 20, 49 et 33 sont premiers entre eux. C'est pourquoi

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

La même chose doit être faite pour trouver le plus petit commun multiple de différents nombres premiers. Par exemple, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Recherche par sélection

La deuxième méthode consiste à trouver le plus petit commun multiple par sélection.

Exemple 1. Lorsque le plus grand des nombres donnés est divisé par un autre nombre donné, alors le LCM de ces nombres est égal au plus grand d'entre eux. Par exemple, étant donné quatre nombres : 60, 30, 10 et 6. Chacun d'eux est divisible par 60, donc :

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Dans d'autres cas, pour trouver le plus petit commun multiple, la procédure suivante est utilisée :

1. Déterminez le plus grand nombre parmi les nombres donnés.
2. Ensuite, nous trouvons les nombres qui sont des multiples du plus grand nombre en le multipliant par des nombres naturels dans l'ordre croissant et en vérifiant si le produit obtenu est divisible par les nombres donnés restants.

Exemple 2. Étant donné trois nombres 24, 3 et 18. Nous déterminons le plus grand d'entre eux - c'est le nombre 24. Ensuite, nous trouvons les nombres multiples de 24, en vérifiant si chacun d'eux est divisible par 18 et 3 :

24 · 1 = 24 - divisible par 3, mais non divisible par 18.

24 · 2 = 48 - divisible par 3, mais non divisible par 18.

24 · 3 = 72 - divisible par 3 et 18.

Ainsi, LCM (24, 3, 18) = 72.

Recherche en trouvant séquentiellement le LCM

La troisième méthode consiste à trouver le multiple le plus petit commun en trouvant séquentiellement le LCM.

Le LCM de deux nombres donnés est égal au produit de ces nombres divisé par leur plus grand diviseur commun.

Exemple 1. Trouvez le LCM de deux nombres donnés : 12 et 8. Déterminez leur plus grand diviseur commun : PGCD (12, 8) = 4. Multipliez ces nombres :

Nous divisons le produit par leur pgcd :

Ainsi, LCM (12, 8) = 24.

Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, utilisez la procédure suivante :

1. Tout d’abord, trouvez le LCM de deux de ces nombres.
2. Ensuite, LCM du plus petit commun multiple trouvé et du troisième nombre donné.
3. Ensuite, le LCM du plus petit commun multiple résultant et du quatrième nombre, etc.
4. Ainsi, la recherche du LCM se poursuit tant qu’il y a des chiffres.

Exemple 2. Trouvons le LCM de trois nombres donnés : 12, 8 et 9. Nous avons déjà trouvé le LCM des nombres 12 et 8 dans l'exemple précédent (c'est le nombre 24). Il reste à trouver le plus petit commun multiple du nombre 24 et du troisième nombre donné - 9. Déterminer leur plus grand commun diviseur : PGCD (24, 9) = 3. Multiplier le LCM par le nombre 9 :

Nous divisons le produit par leur pgcd :

Ainsi, LCM (12, 8, 9) = 72.

Le plus petit commun multiple de deux nombres est directement lié au plus grand commun diviseur de ces nombres. Ce connexion entre GCD et NOC est déterminé par le théorème suivant.

Théorème.

Le plus petit commun multiple de deux entiers positifs a et b est égal au produit de a et b divisé par le plus grand commun diviseur de a et b, c'est-à-dire : LCM(a, b)=ab:PGCD(a, b).

Preuve.

Laisser M est un multiple des nombres a et b. Autrement dit, M est divisible par a, et par la définition de la divisibilité, il existe un entier k tel que l'égalité M=a.k est vraie. Mais M est aussi divisible par b, alors a·k est divisible par b.

Notons pgcd(a, b) par d. Alors nous pouvons écrire les égalités a=a 1 ·d et b=b 1 ·d, et a 1 =a:d et b 1 =b:d seront des nombres relativement premiers. Par conséquent, la condition obtenue au paragraphe précédent selon laquelle a · k est divisible par b peut être reformulée comme suit : a 1 · d · k est divisé par b 1 · d , et ceci, en raison des propriétés de divisibilité, est équivalent à la condition que a 1 · k est divisible par b 1 .

Vous devez également écrire deux corollaires importants du théorème considéré.

Les multiples communs de deux nombres sont les mêmes que les multiples de leur plus petit commun multiple.

C'est bien le cas, puisque tout commun multiple de M des nombres a et b est déterminé par l'égalité M=LMK(a, b)·t pour une valeur entière t.

Le plus petit commun multiple de premier nombres positifs a et b sont égaux à leur produit.

La raison de ce fait est tout à fait évidente. Puisque a et b sont premiers entre eux, alors pgcd(a, b)=1, donc, PGCD(a, b)=ab: PGCD(a, b)=ab:1=ab.

Plus petit commun multiple de trois nombres ou plus

La recherche du plus petit commun multiple de trois nombres ou plus peut être réduite à la recherche séquentielle du LCM de deux nombres. La façon dont cela est fait est indiquée dans le théorème suivant. a 1 , a 2 , …, a k coïncident avec les multiples communs des nombres m k-1 et a k coïncident donc avec les multiples communs du nombre m k . Et puisque le plus petit multiple positif du nombre m k est le nombre m k lui-même, alors le plus petit multiple commun des nombres a 1, a 2, ..., a k est m k.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya. et d'autres. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général.
• Vinogradov I.M. Fondamentaux de la théorie des nombres.
• Mikhelovich Sh.H. La théorie du nombre.
• Kulikov L.Ya. et autres. Recueil de problèmes d'algèbre et de théorie des nombres : Didacticiel pour les étudiants en physique et en mathématiques. spécialités des instituts pédagogiques.

Plus grand diviseur commun

Définition 2

Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$ et $a$ est appelé un multiple de $b$.

Soit $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé le diviseur commun de $a$ et de $b$.

L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisqu'aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y en a un plus grand, qui est appelé le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$ et est noté par la notation suivante :

$PGCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$

Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, il vous faut :

1. Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

Exemple 1

Trouvez le pgcd des nombres $121$ et $132.$

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Choisissez les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

242$=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=2\cdot 11=22$

Exemple 2

Trouvez le pgcd des monômes $63$ et $81$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça:

Factorisons les nombres en facteurs premiers

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres

63$=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.

$PGCD=3\cdot 3=9$

Vous pouvez trouver le pgcd de deux nombres d’une autre manière, en utilisant un ensemble de diviseurs de nombres.

Exemple 3

Trouvez le pgcd des nombres 48$ et 60$.

Solution:

Trouvons l'ensemble des diviseurs du nombre $48$ : $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. Le plus grand élément dans ensemble donné le numéro sera de 12$. Cela signifie que le plus grand diviseur commun des nombres 48$ et 60$ est 12$.

Définition du NPL

Définition 3

Multiples communs de nombres naturels$a$ et $b$ sont un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.

Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par les nombres d'origine sans reste. Par exemple, pour les nombres 25$ et 50$, les multiples communs seront les nombres 50,100,150,200$, etc.

Le plus petit commun multiple sera appelé plus petit commun multiple et sera noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$

Pour trouver le LCM de deux nombres, vous devez :

1. Factoriser les nombres en facteurs premiers
2. Notez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier.

Exemple 4

Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.

Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça

Factoriser les nombres en facteurs premiers

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Notez les facteurs inclus dans le premier

ajoutez-y des multiplicateurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier

Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compiler des listes de diviseurs de nombres est souvent une tâche très laborieuse. Il existe un moyen de trouver GCD appelé algorithme euclidien.

Énoncés sur lesquels est basé l'algorithme euclidien :

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels et $a\vdots b$, alors $D(a;b)=b$

Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b

En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut réduire successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun souhaité pour les nombres $a$ et $b$.

Propriétés de GCD et LCM

1. Tout multiple commun de $a$ et $b$ est divisible par K$(a;b)$
2. Si $a\vdots b$ , alors К$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ et $m$ est un nombre naturel, alors K$(am;bm)=km$

Si $d$ est un diviseur commun pour $a$ et $b$, alors K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d )$

Si $a\vdots c$ et $b\vdots c$ , alors $\frac(ab)(c)$ est le multiple commun de $a$ et $b$

Pour tout nombre naturel $a$ et $b$, l'égalité est vraie

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Tout diviseur commun des nombres $a$ et $b$ est un diviseur du nombre $D(a;b)$

Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.

Par exemple:

Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;

Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.

Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .

Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.

Multiples communs plusieurs nombres est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, dans ce cas il s'agit de 90. Ce nombre s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).

Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.

Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.

Commutativité:

Associativité :

En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :

Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples de LCM ( m, n).

Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.

Donc, Fonction Chebyshev. Et:

Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).

Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.

Recherche du plus petit commun multiple (LCM).

CNP ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :

1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :

2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :

Où p 1 ,...,p k- divers nombres premiers, et d 1 ,...,dk Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).

Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :

En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.

Exemple:

Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :

Règle. Pour trouver le LCM d’une série de nombres, il vous faut :

- décomposer les nombres en facteurs premiers ;

- transférer la plus grande expansion (le produit des facteurs du produit souhaité) dans les facteurs du produit souhaité grand nombreà partir de ceux donnés), puis ajoutez les facteurs du développement d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y sont plus petit nombre une fois;

— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.

Deux nombres naturels ou plus ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.

Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.

Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Il s'agit du plus petit produit possible (150, 250, 300...) qui est un multiple de tous les nombres donnés.

Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.

Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.

Une autre option:

Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :

1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;

4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;

5) multiplier ces pouvoirs.

Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.

Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :

CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.