Jedinični vektori. Orty. Kartezijev koordinatni sustav. Križni produkt - definicije, svojstva, formule, primjeri i rješenja

7.1. Definicija unakrsnog umnoška

Tri nekomplanarna vektora a, b i c, uzeta naznačenim redoslijedom, tvore desni trostruk ako se od kraja trećeg vektora c vidi najkraći zavoj od prvog vektora a do drugog vektora b biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a ljevoruki triplet ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sl. 16).

Vektorski produkt vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b ;

2. Ima duljinu numerički jednaku površini paralelograma konstruiranog na vektorima a ib kao na stranama (vidi sl. 17), t.j.

3. Vektori a, b i c tvore desnu trojku.

Vektorsko umjetničko djelo označeno s a x b ili [a,b]. Sljedeći odnosi između jediničnih vektora izravno slijede iz definicije vektorskog produkta, j I k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, da i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektori i, j i k tvore desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Svojstva križnog umnoška

1. Pri preslagivanju faktora vektorski produkt mijenja predznak, tj. i xb =(b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(b xa).

2. Vektorski produkt ima svojstvo kombiniranja u odnosu na skalarni faktor, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b također je okomit na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravnini). To znači da vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearni. Očito je da im se smjerovi poklapaju. Imaju istu dužinu:

Zato l(a xb)= l a xb. Slično se dokazuje za l<0.

3. Dva vektora a i različita od nule b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski produkt jednak nultom vektoru, tj. a ||b<=>i xb =0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski produkt ima svojstvo distribucije:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Prihvatit ćemo bez dokaza.

7.3. Izražavanje umnoška preko koordinata

Koristit ćemo tablicu unakrsnog produkta vektora i, j i k:

ako se smjer najkraćeg puta od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je umnožak jednak trećem vektoru; ako se ne poklapa, treći vektor se uzima s predznakom minus.

Neka su dana dva vektora a =a x i +a y j+a z k i b =b x ja+b g j+b z k. Nađimo vektorski produkt ovih vektora množenjem kao polinoma (prema svojstvima vektorskog produkta):

Dobivena formula može se napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda. Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene križnog umnoška

Utvrđivanje kolinearnosti vektora

Određivanje površine paralelograma i trokuta

Prema definiciji vektorskog produkta vektora A i b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parova = |a x b |. I, prema tome, D S =1/2|a x b |.

Određivanje momenta sile oko točke

Neka na točku A djeluje sila F = AB Pusti to OKO- neka točka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na točku OKO naziva vektor M, koja prolazi točkom OKO I:

1) okomito na ravninu koja prolazi kroz točke O, A, B;

2) brojčano jednak umnošku sile po kraku

3) tvori desnu trojku s vektorima OA i A B.

Stoga je M = OA x F.

Određivanje linearne brzine rotacije

Ubrzati v točka M krutog tijela koje rotira kutnom brzinom w oko fiksne osi, određuje se Eulerovom formulom v =w xr, gdje je r =OM, gdje je O neka fiksna točka osi (vidi sliku 21).

Definicija Uređena zbirka od (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih brojeva naziva se n-dimenzionalni vektor, i brojevi x i (i = ) - komponente, ili koordinate,

Primjer. Ako, na primjer, neka tvornica automobila mora u smjeni proizvesti 50 automobila, 100 kamiona, 10 autobusa, 50 kompleta rezervnih dijelova za automobile i 150 kompleta za kamione i autobuse, tada se proizvodni program te tvornice može napisati kao vektor (50, 100, 10, 50, 150), koji ima pet komponenti.

Notacija. Vektori se označavaju podebljanim malim slovima ili slovima s trakom ili strelicom na vrhu, npr. a ili. Dva vektora se nazivaju jednak, ako imaju isti broj komponenata i ako su im odgovarajuće komponente jednake.

Vektorske komponente se ne mogu zamijeniti, na primjer, (3, 2, 5, 0, 1) i (2, 3, 5, 0, 1) različiti vektori.
Operacije na vektorima. Posao x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) realnim brojemλ nazvan vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Iznosx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) i g= (y 1 , y 2 , ... ,y n) naziva se vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektorski prostor. N -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kao skup svih n-dimenzionalnih vektora za koje su definirane operacije množenja realnim brojevima i zbrajanja.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnog vektorskog prostora: prostor robe (roba). Pod, ispod roba shvatit ćemo neku robu ili uslugu koja je puštena u prodaju u određeno vrijeme na određenom mjestu. Pretpostavimo da postoji konačan broj n dostupnih dobara; količine svake od njih koje kupuje potrošač karakterizira skup dobara

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

gdje x i označava količinu i-tog dobra koje je kupio potrošač. Pretpostavit ćemo da sva dobra imaju svojstvo proizvoljne djeljivosti, tako da se svaka nenegativna količina svakog od njih može kupiti. Tada su svi mogući skupovi dobara vektori prostora dobara C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna neovisnost. Sustav e 1 , e 2 , ... , e m n-dimenzionalni vektori nazivaju se linearno ovisna, ako postoje takvi brojeviλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od kojih je barem jedan različit od nule, tako da je jednakostλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; inače se ovaj sustav vektora naziva linearno neovisni, odnosno naznačena jednakost moguća je samo u slučaju kada su svi . Geometrijsko značenje linearne ovisnosti vektora u R 3, interpretirani kao usmjereni segmenti, objašnjavaju sljedeće teoreme.

Teorem 1. Sustav koji se sastoji od jednog vektora linearno je ovisan ako i samo ako je taj vektor nula.

Teorem 2. Da bi dva vektora bila linearno ovisna, potrebno je i dovoljno da su kolinearni (paralelni).

Teorem 3 . Da bi tri vektora bila linearno ovisna, potrebno je i dovoljno da su komplanarni (leže u istoj ravnini).

Lijeva i desna trojka vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c nazvao pravo, ako promatrač iz njihovog zajedničkog ishodišta zaobilazi krajeve vektora a, b, c danim redoslijedom izgleda da se događa u smjeru kazaljke na satu. Inače a, b, c -lijevo tri. Sve desne (ili lijeve) trojke vektora nazivaju se isto orijentiran.

Osnova i koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarna vektora u R 3 se zove osnova, i sami vektori e 1, e 2 , e 3 - Osnovni, temeljni. Bilo koji vektor a mogu se jedinstveno proširiti u bazne vektore, odnosno prikazati u obliku

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

nazivaju se brojevi x 1 , x 2 , x 3 u proširenju (1.1). koordinatea u osnovi e 1, e 2 , e 3 i označeni su a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormirana baza. Ako vektori e 1, e 2 , e 3 su po paru okomite i duljina svakog od njih jednaka je jedinici, tada se osnovica naziva ortonormalno, i koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravokutan. Bazisni vektori ortonormirane baze bit će označeni sa ja, j, k.

Pretpostavit ćemo da u svemiru R 3 odabran je desni sustav kartezijskih pravokutnih koordinata (0, ja, j, k}.

Vektorsko umjetničko djelo. Vektorsko umjetničko djelo A vektorirati b nazvan vektor c, što je određeno sljedeća tri uvjeta:

1. Duljina vektora c brojčano jednaka površini paralelograma izgrađenog na vektorima a I b, tj.
c= |a||b| grijeh( a^b).

2. Vektor c okomito na svaki od vektora a I b.

3. Vektori a, b I c, uzeti navedenim redoslijedom, čine pravu trojku.

Za unakrsni proizvod c uvodi se oznaka c =[ab] ili
c = a × b.

Ako vektori a I b su kolinearni, tada sin( a^b) = 0 i [ ab] = 0, posebno [ aa] = 0. Vektorski produkti jediničnih vektora: [ i J]=k, [jk] = ja, [ki]=j.

Ako vektori a I b navedeno u osnovi ja, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), zatim

Mješoviti rad. Ako je vektorski umnožak dva vektora A I b skalarno pomnožen trećim vektorom c, onda se takav umnožak triju vektora naziva mješoviti rad i označen je simbolom a b c.

Ako vektori a, b I c u osnovi ja, j, k dane njihovim koordinatama
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), zatim

.

Mješoviti proizvod ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju - to je skalar, jednak u apsolutnoj vrijednosti volumenu paralelopipeda izgrađenog na tri zadana vektora.

Ako vektori tvore desnu trojku, tada je njihov mješoviti umnožak pozitivan broj jednak naznačenom volumenu; ako je trojka a, b, c - lijevo, dakle a b c<0 и V = - a b c, dakle V =|a b c|.

Pretpostavlja se da su koordinate vektora koji se susreću u problemima prvog poglavlja dane u odnosu na pravu ortonormiranu bazu. Jedinični vektor susmjeran s vektorom A, označen simbolom A O. Simbol r=OM označen radijus vektorom točke M, simbolima a, AB ili|a|, | AB|označeni su moduli vektora A I AB.

Primjer 1.2. Nađi kut između vektora a= 2m+4n I b= m-n, Gdje m I n- jedinični vektori i kut između m I n jednako 120 o.

Riješenje. Imamo: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, što znači a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, što znači b = . Na kraju imamo: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Primjer 1.3.Poznavanje vektora AB(-3, -2,6) i prije Krista(-2,4,4),izračunajte duljinu visine AD trokuta ABC.

Riješenje. Označavajući površinu trokuta ABC sa S, dobivamo:
S = 1/2 godine prije Krista. Zatim AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, što znači vektor A.C. ima koordinate
. .

Primjer 1.4 . Zadana su dva vektora a(11,10,2) i b(4,0,3). Pronađite jedinični vektor c, ortogonalno na vektore a I b a usmjerena tako da uređena trojka vektora a, b, c bio u pravu.

Riješenje.Označimo koordinate vektora c s obzirom na danu pravu ortonormiranu bazu u smislu x, y, z.

Jer c ⊥ a, c ⊥b, To ca= 0,cb= 0. Prema uvjetima zadatka traži se da je c = 1 i a b c >0.

Imamo sustav jednadžbi za pronalaženje x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iz prve i druge jednadžbe sustava dobivamo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Zamjenom y i z u treću jednadžbu, imamo: x 2 = 36/125, odakle
x =± . Korištenje stanja a b c > 0, dobivamo nejednakost

Uzimajući u obzir izraze za z i y, dobivenu nejednakost prepisujemo u obliku: 625/6 x > 0, što implicira da je x>0. Dakle, x = , y = - , z =- .

Definicija. Vektorski umnožak vektora a (množnik) i nekolinearnog vektora (množnik) je treći vektor c (umnožak), koji se konstruira na sljedeći način:

1) njegov modul je numerički jednako površini paralelogram na sl. 155), izgrađen na vektorima, tj. jednak je pravcu okomitom na ravninu spomenutog paralelograma;

3) u ovom slučaju odabire se smjer vektora c (od dva moguća) tako da vektori c čine desni sustav (§ 110).

Oznaka: ili

Dodatak definiciji. Ako su vektori kolinearni, smatrajući lik (uvjetno) paralelogramom, prirodno je dodijeliti nultu površinu. Stoga se vektorski produkt kolinearnih vektora smatra jednakim nultom vektoru.

Budući da se nultom vektoru može dodijeliti bilo koji smjer, ovaj sporazum nije u suprotnosti s paragrafima 2 i 3 definicije.

Primjedba 1. U izrazu “vektorski produkt” prva riječ označava da je rezultat radnje vektor (za razliku od skalarnog produkta; usp. § 104, opaska 1).

Primjer 1. Naći vektorski umnožak gdje su glavni vektori desnog koordinatnog sustava (slika 156).

1. Budući da su duljine glavnih vektora jednake jednoj jedinici ljestvice, površina paralelograma (kvadrata) brojčano je jednaka jedinici. To znači da je modul vektorskog umnoška jednak jedinici.

2. Kako je okomica na ravninu os, željeni vektorski produkt je vektor kolinearan na vektor k; a budući da oba imaju modul 1, željeni vektorski umnožak jednak je ili k ili -k.

3. Od ova dva moguća vektora treba odabrati prvi, budući da vektori k čine desni sustav (a vektori ljevoruki).

Primjer 2. Pronađite umnožak

Riješenje. Kao u primjeru 1, zaključujemo da je vektor jednak ili k ili -k. Ali sada trebamo odabrati -k, budući da vektori tvore desni sustav (a vektori tvore ljevoruki sustav). Tako,

Primjer 3. Vektori imaju duljine jednake 80, odnosno 50 cm i tvore kut od 30°. Uzimajući metar kao jedinicu duljine, pronađite duljinu vektorskog umnoška a

Riješenje. Površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka je Duljina željenog vektorskog umnoška jednaka je

Primjer 4. Odredite duljinu vektorskog umnoška istih vektora, uzimajući centimetre kao jedinicu duljine.

Riješenje. Budući da je površina paralelograma konstruiranog na vektorima jednaka, duljina vektorskog produkta jednaka je 2000 cm, tj.

Iz usporedbe primjera 3 i 4 jasno je da duljina vektora ne ovisi samo o duljinama faktora nego i o izboru jedinice za duljinu.

Fizičko značenje vektorskog produkta. Od mnogih fizikalne veličine, predstavljen vektorskim produktom, razmatramo samo moment sile.

Neka je A točka primjene sile. Moment sile u odnosu na točku O naziva se vektorski produkt, budući da je modul ovog vektorskog proizvoda brojčano jednak površini paralelograma. modul momenta jednak je umnošku baze i visine, tj. sile pomnožene s udaljenosti od točke O do pravca duž kojeg sila djeluje.

U mehanici je dokazano da je za ravnotežu krutog tijela potrebno da ne samo zbroj vektora koji predstavljaju sile koje djeluju na tijelo bude jednak nuli, već i zbroj momenata sila. U slučaju kada su sve sile paralelne s jednom ravninom, zbrajanje vektora koji predstavljaju momente može se zamijeniti zbrajanjem i oduzimanjem njihovih veličina. Ali kod proizvoljnih smjerova sila takva je zamjena nemoguća. U skladu s tim, vektorski produkt je definiran upravo kao vektor, a ne kao broj.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski produkt vektora I mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, osim toga skalarni produkt vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. To je pogrešno. U ovom dijelu više matematike uglavnom ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - teško da je kompliciraniji od istog skalarni proizvod, čak tipični zadaci bit će manje. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, jest NE POGRIJEŠITI U RAČUNANJU. Ponavljajte kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munje na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama; pokušao sam prikupiti što cjelovitiju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Što će vas odmah razveseliti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije ili čak tri lopte. Dobro je ispalo. Sada uopće nećete morati žonglirati, jer ćemo razmisliti samo prostorni vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se rodile ove akcije - vektor i mješoviti umnožak vektora definirani su i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni umnožak, uključuje dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označen sa na sljedeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao vektorski produkt vektora označavati na ovaj način, u uglatim zagradama s križićem.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni produkt vektora uključena su dva vektora, a ovdje se također množe dva vektora koja je razlika? Očita razlika je prije svega u REZULTATU:

Rezultat skalarnog produkta vektora je BROJ:

Rezultat umnoška vektora je VEKTOR: , tj. množimo vektore i opet dobivamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, odatle i potječe naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati;

Definicija unakrsnog umnoška

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearni vektori, uzeti ovim redom, pod nazivom VEKTOR, duljinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, a usmjeren je tako da baza ima pravu orijentaciju:

Razdvojimo definiciju, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaknuti sljedeće značajne točke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, prema definiciji nije kolinearna. Bit će prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Uzimaju se vektori po strogo određenom redoslijedu: – "a" se množi s "be", a ne "biti" s "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako vektore pomnožimo obrnutim redoslijedom, dobivamo vektor jednake duljine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je istinita .

3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog produkta. Ovo je vrlo važna točka! DULJINA plavog vektora (a time i grimiznog vektora) brojčano je jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram osjenčan crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna duljina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jednog od geometrijske formule: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih. Stoga, na temelju gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DULJINE vektorskog produkta:

Naglašavam da se formula odnosi na DUŽINU vektora, a ne na sam vektor. Koje je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijmo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena točkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trokuta. Stoga se područje trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Barem važna činjenica je da je vektor okomit na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (malinasta strelica) također je okomit na izvorne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnova Ima pravo orijentacija. U lekciji o prijelaz na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti što je prostorna orijentacija. Objasnit ću ti na prstima desna ruka . Mentalno kombinirajte kažiprst s vektorom i srednji prst s vektorom. Prstenjak i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat palac – vektorski produkt će izgledati gore. Ovo je desno orijentirana baza (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat će se palac okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također desno orijentirana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? "Dodijeliti" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobiti lijevu bazu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze “uvijaju” ili orijentiraju prostor različite strane. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentacija prostora mijenja se najobičnijim zrcalom, a ako "izvučete reflektirani objekt iz zrcala", onda u općem slučaju to neće biti moguće kombinirati s "originalom". Usput, držite tri prsta do ogledala i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro da sada znaš desno i lijevo orijentirani baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Umnožak kolinearnih vektora

Definicija je detaljno raspravljena, ostaje nam otkriti što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerirati paralelogram je jednak nuli. Isto slijedi iz formule - sinus nula ili 180 stupnjeva jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda . Strogo govoreći, sam vektorski umnožak jednak je nultom vektoru, no u praksi se to često zanemaruje i piše da je jednostavno jednak nuli.

Poseban slučaj– vektorski produkt vektora sa samim sobom:

Pomoću vektorskog umnoška možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo između ostalog analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tablica pronaći vrijednosti sinusa iz njega.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora ako

b) Odredite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Ne, ovo nije tipfeler, namjerno sam napravio iste početne podatke u rečenicama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema stanju, trebate pronaći duljina vektor (križni produkt). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Ako ste upitani o duljini, tada u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema stanju, trebate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka duljini vektorskog proizvoda:

Odgovor:

Napominjemo da se u odgovoru uopće ne govori o vektorskom produktu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvijek gledamo ŠTO trebamo pronaći prema stanju i na temelju toga formuliramo čisto odgovor. Možda se čini kao bukvalizam, ali među nastavnicima ima dosta bukvalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako se ne radi o nekoj pretjeranoj zamjerki - ako je odgovor netočan, stječe se dojam da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije shvatila bit zadatka. Ovu točku uvijek treba držati pod kontrolom pri rješavanju bilo kojeg problema iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu se moglo dodatno priložiti rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to napravio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za neovisna odluka:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod navedena je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je doista vrlo čest; trokuti vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog produkta vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog produkta, ali ću ih uključiti u ovaj popis.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Pa neka bude.

2) – svojstvo se također raspravlja gore, ponekad se zove antikomutativnost. Drugim riječima, bitan je redoslijed vektora.

3) – asocijativni odn asocijativni zakoni vektorskog produkta. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog produkta. Stvarno, što bi tamo trebali raditi?

4) – raspodjela odn distributivni zakoni vektorskog produkta. Nema problema ni s otvaranjem zagrada.

Za demonstraciju, pogledajmo kratki primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Riješenje: Uvjet ponovno zahtijeva pronalaženje duljine vektorskog produkta. Naslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog produkta.

(2) Konstantu pomaknemo izvan modula, a modul “pojede” znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovor:

Vrijeme je da dodamo još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Pronađite površinu trokuta pomoću formule . Kvaka je u tome što su sami vektori "tse" i "de" predstavljeni kao zbrojevi vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 lekcije Točkasti umnožak vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski umnožak kroz vektorski umnožak, zapravo, izrazimo vektor pomoću vektora. Još nema riječi o duljinama!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći zakone distribucije otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomičemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, koraci 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i zadnji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom članu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta:

(5) Predstavljamo slične uvjete.

Kao rezultat toga, ispostavilo se da je vektor izražen kroz vektor, što je trebalo postići:

2) U drugom koraku pronalazimo duljinu vektorskog produkta koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja mogle su se napisati u jednom redu.

Odgovor:

Razmatrani problem prilično je čest u testovi, evo primjera za neovisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Umnožak vektora u koordinatama

, navedeno u ortonormalnoj bazi, izražen formulom:

Formula je doista jednostavna: u gornji red determinante upišemo koordinatne vektore, u drugi i treći red “stavimo” koordinate vektora, te stavimo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, zatim koordinate vektora “double-ve”. Ako vektore treba pomnožiti drugačijim redoslijedom, redove treba zamijeniti:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Riješenje: Provjera se temelji na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, tada je njihov vektorski produkt jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski produkt:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski produkt:

Odgovor: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su možda sve osnovne informacije o vektorskom produktu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, budući da postoji nekoliko problema u kojima se koristi mješoviti umnožak vektora. Zapravo, sve će ovisiti o definiciji, geometrijsko značenje i par radnih formula.

Mješoviti umnožak vektora je umnožak tri vektora:

Pa su se poredali kao vlak i jedva čekaju da ih se identificira.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redom, nazvao volumen paralelopipeda, izgrađen na tim vektorima, opremljen znakom “+” ako je baza desna, i znakom “–” ako je baza lijevo.

Napravimo crtež. Nama nevidljive linije nacrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Uzimaju se vektori određenim redoslijedom, odnosno preuređivanje vektora u umnošku, kao što pretpostavljate, ne događa se bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti umnožak vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji; ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat izračuna slovom "pe".

A-priorat mješoviti umnožak je obujam paralelopipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak volumenu danog paralelopipeda.

Bilješka : Crtež je shematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se glasnoći može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti umnožak može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelopipeda izgrađenog na vektorima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije nego damo koncept vektorskog produkta, okrenimo se pitanju orijentacije uređene trojke vektora a →, b →, c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak ostavimo po strani vektore a → , b → , c → iz jedne točke. Orijentacija trojke a → , b → , c → može biti desna ili lijeva, ovisno o smjeru samog vektora c →. Tip trojke a → , b → , c → odredit ćemo iz smjera u kojem je napravljen najkraći zavoj od vektora a → do b → od kraja vektora c → .

Ako se najkraći zaokret izvede u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva pravo, ako u smjeru kazaljke na satu – lijevo.

Zatim, uzmimo dva kolinearni vektor a → i b → . Nacrtajmo zatim vektore A B → = a → i A C → = b → iz točke A. Konstruirajmo vektor A D → = c →, koji je istovremeno okomit na A B → i A C →. Stoga, kada konstruiramo sam vektor A D → = c →, možemo učiniti dvije stvari, dajući mu jedan ili suprotan smjer (vidi sliku).

Uređena trojka vektora a → , b → , c → može biti, kako smo saznali, desna ili lijeva ovisno o smjeru vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog produkta. Ova definicija dana je za dva vektora definirana u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski produkt dva vektora a → i b → nazvat ćemo takav vektor definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora tako da je:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, bit će nula;
• bit će okomit na vektor a → ​​​​ i na vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• duljina mu je određena formulom: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• trojka vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao zadani koordinatni sustav.

Vektorski produkt vektora a → i b → ima sljedeću oznaku: a → × b →.

Koordinate vektorskog umnoška

Budući da svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sustavu, možemo uvesti drugu definiciju vektorskog produkta, koja će nam omogućiti da pronađemo njegove koordinate pomoću zadanih koordinata vektora.

Definicija 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora vektorski produkt dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) naziva se vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdje su i → , j → , k → koordinatni vektori.

Vektorski umnožak može se prikazati kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, pri čemu prvi red sadrži vektorske vektore i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći redak sadrži koordinate vektora b → u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu, to je determinanta matrice koja izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Proširujući ovu determinantu na elemente prvog retka, dobivamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Svojstva križnog umnoška

Poznato je da se vektorski umnožak u koordinatama predstavlja kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , tada na temelju svojstva determinante matrice prikazuju se sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b →, gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva imaju jednostavne dokaze.

Kao primjer, možemo dokazati antikomutativno svojstvo vektorskog produkta.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva retka matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotnu, dakle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , što i dokazuje da je vektorski produkt antikomutativan.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste problema.

U zadacima prvog tipa obično su zadane duljine dvaju vektora i kut između njih, a potrebno je pronaći duljinu vektorskog umnoška. U ovom slučaju upotrijebite sljedeću formulu c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora a → i b → ako znate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Riješenje

Određivanjem duljine vektorskog umnoška vektora a → i b → rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Odgovor: 15 2 2 .

Problemi drugog tipa povezani su s koordinatama vektora, u njima vektorski produkt, njegova duljina itd. pretražuju se kroz poznate koordinate zadanih vektora a → = (a x; a y; a z) I b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu problema možete riješiti puno opcija zadataka. Na primjer, ne mogu se zadati koordinate vektora a → i b →, već njihova proširenja u koordinatne vektore oblika b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ili se vektori a → i b → mogu odrediti koordinatama njihovog početka i krajnje točke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

U pravokutnom koordinatnom sustavu zadana su dva vektora: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Pronađite njihov unakrsni umnožak.

Riješenje

Po drugoj definiciji nalazimo vektorski produkt dvaju vektora u zadanim koordinatama: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako vektorski umnožak napišemo preko determinante matrice, tada je rješenje ovaj primjer izgleda ovako: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odredite duljinu vektorskog produkta vektora i → - j → i i → + j → + k →, gdje su i →, j →, k → jedinični vektori pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava.

Riješenje

Najprije pronađimo koordinate zadanog vektorskog umnoška i → - j → × i → + j → + k → u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1; - 1; 0), odnosno (1; 1; 1). Nađimo duljinu vektorskog produkta pomoću determinante matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Stoga vektorski produkt i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u zadanom koordinatnom sustavu.

Duljinu vektorskog produkta nalazimo pomoću formule (pogledajte odjeljak o pronalaženju duljine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

U pravokutnom kartezijevom koordinatnom sustavu zadane su koordinate tri točke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Pronađite neki vektor okomit na A B → i A C → istodobno.

Riješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) odnosno (0 ; 4 ; 1). Nakon što smo pronašli vektorski umnožak vektora A B → i A C →, očito je da je on po definiciji okomit vektor na A B → i A C →, odnosno da je to rješenje našeg problema. Nađimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . - jedan od okomitih vektora.

Problemi treće vrste usmjereni su na korištenje svojstava vektorskog umnoška vektora. Nakon čije primjene ćemo dobiti rješenje zadanog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i duljine su im 3 odnosno 4. Odredite duljinu vektorskog produkta 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Riješenje

Svojstvom distributivnosti vektorskog produkta možemo pisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti numeričke koeficijente izuzimamo iz predznaka vektorskih umnožaka u zadnjem izrazu: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski produkti a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da je a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 i b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, tada je 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog produkta slijedi - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog umnoška, ​​dobivamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prema uvjetu, vektori a → i b → su okomiti, odnosno kut između njih je jednak π 2. Sada sve što preostaje je zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Duljina vektorskog umnoška vektora po definiciji je jednaka a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Budući da je već poznato (iz školski tečaj) da je površina trokuta jednaka polovici umnoška duljina njegovih dviju stranica pomnoženih sa sinusom kuta između tih stranica. Prema tome, duljina vektorskog produkta jednaka je površini paralelograma - dvostrukog trokuta, odnosno produkta stranica u obliku vektora a → i b →, položenih iz jedne točke, sinusom kut između njih sin ∠ a →, b →.

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog produkta.

Fizičko značenje vektorskog produkta

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na točku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → primijenjenom na točku B, u odnosu na točku A, razumjet ćemo sljedeći vektorski produkt A B → × F →.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter