Površina trokuta s različitim stranicama. Kako pronaći površinu trokuta

Trokut je lik poznat svima. I to unatoč bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravokutan, jednakostraničan, šiljast, jednakokračan, tup. Svaki od njih je drugačiji na neki način. Ali za svakoga morate saznati područje trokuta.

Formule zajedničke za sve trokute koje koriste duljine stranica ili visine

Oznake usvojene u njima: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n sa.

1. Površina trokuta izračunava se kao umnožak ½, strane i visine oduzete od toga. S = ½ * a * n a. Formule za druge dvije strane treba napisati na sličan način.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluopseg (obično se označava malim slovom p, za razliku od punog oboda). Poluopseg se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve stranice i podijelite ih s 2. Formula za poluopseg je: p = (a+b+c) / 2. Tada vrijedi jednakost za površinu ​​figura izgleda ovako: S = √ (p * (p - a) * ( r - v) * (r - s)).

3. Ako ne želite koristiti poluopseg, tada će formula koja sadrži samo duljine stranica biti korisna: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluopseg.

Opće formule koje uključuju kutove trokuta

Oznake potrebne za čitanje formula: α, β, γ - kutovi. Leže nasuprot stranicama a, b, c.

1. Prema njemu, polovica proizvoda dviju strana i sinusa kuta između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trokuta može se izračunati iz jedne strane i tri poznata kuta. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula s jednom poznatom stranom i dva susjedna kuta. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situaciju kada su poznati polumjeri upisane ili opisane kružnice

Dodatne oznake: r, R - radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula kojom se izračunava površina trokuta odnosi se na poluopseg. S = r * r. Drugi način za pisanje je: S = ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve stranice trokuta i podijeliti ih s četiri puta polumjerom opisane kružnice. U doslovnom izrazu to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućuje da ne znate strane, ali će vam trebati vrijednosti sva tri kuta. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najjednostavnija situacija, jer je potrebna samo duljina obje noge. Označavaju se latiničnim slovima a i b. Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici površine pravokutnika koja mu je dodana.

Matematički to izgleda ovako: S = ½ a * b. Najlakše ga je zapamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokračni trokut

Budući da ima dvije jednake strane, neke formule za njegovu površinu izgledaju pomalo pojednostavljene. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokračnog trokuta, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga transformirate, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokračni trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljni trokut ako su poznate stranice i kut između njih. S = ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima strana o tome zna ili se može saznati na neki način. Tada je formula za pronalaženje područja takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemi s pronalaženjem područja ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada je pravokutni trokut nacrtan tako da se njegove noge podudaraju s linijama papira. Zatim samo trebate prebrojati broj stanica koje stanu u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite s dva.

Kada je trokut šiljasti ili tupokutni, potrebno ga je nacrtati u pravokutnik. Tada će rezultirajuća figura imati 3 trokuta. Jedan je onaj dan u zadatku. A druga dva su pomoćna i pravokutna. Područja zadnja dva potrebno je odrediti gore opisanom metodom. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i od njega oduzmite one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Situacija u kojoj se niti jedna stranica trokuta ne poklapa s linijama papira pokazuje se mnogo kompliciranijom. Zatim ga treba upisati u pravokutnik tako da vrhovi izvorne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju bit će tri pomoćna pravokutna trokuta.

Primjer problema s Heronovom formulom

Stanje. Neki trokut ima poznate stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm. Trebate saznati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta pomoću gornje formule. Pod kvadratnim korijenom nalazi se umnožak četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √(4 * 14) = 2 √(14).

Ako nije potrebna veća točnost, tada možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je jednako 3,74. Tada će površina biti 7,48.

Odgovor. S = 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer problema s pravokutnim trokutom

Stanje. Jedna kateta pravokutnog trokuta je 31 cm veća od druge. Trebate saznati njihove duljine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Riješenje. Morat ćemo riješiti sustav dviju jednadžbi. Prvi se odnosi na područje. Drugi je s omjerom nogu, koji je dan u problemu.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Prvo, vrijednost "a" mora se zamijeniti u prvoj jednadžbi. Ispada: 180 = ½ (in + 31) * in. Postoji samo jedna nepoznata veličina, pa ju je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobivamo kvadratna jednadžba: in 2 + 31 in - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor, budući da duljina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugu nogu: dobivenom broju dodajte 31. Ispada 40. To su količine koje se traže u problemu.

Odgovor. Kraci trokuta su 9 i 40 cm.

Problem određivanja stranice kroz površinu, stranicu i kut trokuta

Stanje. Površina određenog trokuta je 60 cm 2. Potrebno je izračunati jednu njegovu stranicu ako je druga stranica 15 cm, a kut između njih 30º.

Riješenje. Na temelju prihvaćene oznake, željena stranica je "a", poznata stranica je "b", zadani kut je "γ". Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stupnjeva 0,5.

Nakon transformacija, "a" se ispostavlja da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovor. Tražena stranica je 16 cm.

Zadatak o kvadratu upisanom u pravokutni trokut

Stanje. Vrh kvadrata sa stranicom 24 cm poklapa se s pravim kutom trokuta. Druga dva leže sa strane. Trećina pripada hipotenuzi. Duljina jednog od krakova je 42 cm. Kolika je površina pravokutnog trokuta?

Riješenje. Promotrimo dva pravokutna trokuta. Prva je ona navedena u zadatku. Drugi se temelji na poznata noga originalni trokut. Slični su jer imaju zajednički kut i tvore ih paralelni pravci.

Tada su im omjeri kateta jednaki. Kraci manjeg trokuta jednaki su 24 cm (stranica kvadrata) i 18 cm (od datog kraka 42 cm oduzmite stranicu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm je potrebno za izračunavanje površine trokuta.

18/42 = 24/x, odnosno x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Tada je površina jednaka umnošku 56 i 42 podijeljenom s dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovor. Tražena površina je 1176 cm 2.

upute

Stranke a kutovi se smatraju osnovnim elementima A. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od njegovih sljedećih osnovnih elemenata: tri stranice, ili jedna stranica i dva kuta, ili dvije stranice i kut između njih. Za postojanje trokut dana s tri strane a, b, c, potrebno je i dovoljno zadovoljiti nejednakosti koje se nazivaju nejednadžbe trokut:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnju trokut na tri strane a, b, c, potrebno je šestarom nacrtati kružnicu polumjera b iz točke C odsječka CB=a. Zatim na sličan način nacrtajte krug iz točke B s polumjerom jednaka strani c. Njihova sjecišna točka A je treći vrh traženog trokut ABC, gdje su AB=c, CB=a, CA=b - stranice trokut. Problem ima , ako stranice a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trokut navedeno u koraku 1.

Ovako izgrađeno područje S trokut ABC s poznatim stranicama a, b, c izračunava se pomoću Heronove formule:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c strane trokut, p – poluopseg.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, odnosno sve su mu stranice jednake (a=b=c).Površina trokut izračunava se formulom:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravokutan, odnosno jedan od njegovih kutova iznosi 90°, a stranice koje ga tvore su katete, treća stranica je hipotenuza. U u ovom slučaju kvadrat jednak je proizvodu kateta podijeljenom s dva.
S=ab/2

Pronaći kvadrat trokut, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebat će vam

• poznavanje formula za određivanje površine trokuta

upute

Ako znate veličinu jedne od stranica i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz kuta suprotnog od nje, tada možete pronaći površinu pomoću sljedećeg: S = a*h/2, gdje je S površina trokuta, a je jedna od stranica trokuta, a h - visina, do stranice a.

Poznata je metoda za određivanje površine trokuta ako su poznate njegove tri strane. To je Heronova formula. Radi pojednostavljenja njegovog snimanja uvodi se međuvrijednost - poluopseg: p = (a+b+c)/2, gdje su a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ stepenovanje.

Pretpostavimo da poznajete jednu od stranica trokuta i tri kuta. Tada je lako pronaći područje trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β kut nasuprot strani a, a α i γ su kutovi uz stranu.

Video na temu

Bilješka

Najopćenitija formula koja je prikladna za sve slučajeve je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta na temelju triju stranica

Određivanje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje triju stranica trokuta dovoljno je za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnog trokuta dovoljno je znati duljine dviju, odnosno jedne stranice.

Trebat će vam

• duljine stranica trokuta, Heronova formula, kosinusni teorem

upute

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako napišemo poluopseg p, dobivamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Formulu za površinu trokuta možete izvesti iz razmatranja, na primjer, primjenom kosinusnog teorema.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene oznake, oni se također mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prema tome, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta također se nalazi formulom S = a*c*sin(ABC)/2 kroz dvije stranice i kut između njih. Sinus kuta ABC može se izraziti preko njega pomoću osnove trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem, možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Za popravci možda će biti potrebno izmjeriti kvadrat zidova Lakše je izračunati potreban iznos boja ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti metar ili metar. Mjerenja treba izvršiti nakon zidova bili izravnani.

Trebat će vam

• -rulet;
• -ljestve.

upute

Brojati kvadrat zidova, morate znati točnu visinu stropova, a također izmjeriti duljinu duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar i položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu duljinu, pa ga pričvrstite u kutu, a zatim ga odmotajte do maksimalne duljine. Tu točku označite olovkom, zapišite dobiveni rezultat i provedite daljnja mjerenja na isti način, počevši od zadnje točke mjerenja.

Standardni stropovi u tipičnim - 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih, tada je najvjerojatnije stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulirate kvadrat za popravak, tada mala zaliha neće naškoditi - razmislite na temelju standarda. Ako ipak trebate znati pravu visinu, izmjerite. Princip je sličan mjerenju duljine, ali trebat će vam ljestve.

Pomnožite dobivene pokazatelje - to je kvadrat tvoje zidova. Istina, kada slikarski radovi ili za to je potrebno oduzeti kvadrat otvori za vrata i prozore. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako govorimo o vratima koja ćete naknadno mijenjati, onda izvedite s uklonjenim okvir vrata, uzimajući u obzir samo kvadrat izravno na sam otvor. Površina prozora izračunava se duž perimetra njegovog okvira. Nakon kvadrat izračunati prozor i vrata, oduzmite rezultat od ukupne dobivene površine prostorije.

Imajte na umu da mjerenje duljine i širine prostorije provode dvije osobe, što olakšava fiksiranje centimetra ili mjerne trake i, prema tome, dobivanje točnijeg rezultata. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje ste dobili točni.

Video na temu

Pronalaženje volumena trokuta uistinu je netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži potpuno u jednoj ravnini, što znači da jednostavno nema volumena. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali nemojmo odustati! Možemo prihvatiti sljedeću pretpostavku: volumen dvodimenzionalne figure je njezina površina. Tražit ćemo područje trokuta.

Trebat će vam

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

upute

Crtajte na komadu papira pomoću ravnala i olovke. Pažljivim ispitivanjem trokuta možete se uvjeriti da on stvarno nema trokut, jer je nacrtan na ravnini. Označite stranice trokuta: neka jedna stranica bude stranica "a", druga stranica "b", a treća stranica "c". Označite vrhove trokuta slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranicu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga, vratite okomicu na izmjerenu stranu iz vrha nasuprot njoj, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomica "h" se vraća na stranicu "c" iz vrha "A". Izmjerite dobivenu visinu ravnalom i zapišite rezultat mjerenja.

Možda će vam biti teško vratiti točnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve stranice trokuta ravnalom. Nakon toga izračunajte poluopseg trokuta "p" zbrajanjem dobivenih duljina stranica i dijeljenjem njihovog zbroja na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, morate izdvojiti Korijen od sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste potrebnu površinu trokuta. Problem pronalaženja volumena trokuta nije riješen, ali kao što je gore spomenuto, volumen nije. Možete pronaći volumen koji je u biti trokut u trodimenzionalnom svijetu. Ako zamislimo da je naš izvorni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti umnožak duljine njezine baze s površinom trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Što pažljivije mjerite, to će vaši izračuni biti točniji.

Izvori:

• Kalkulator “Sve za sve” - portal za referentne vrijednosti
• volumen trokuta u 2019

Tri točke koje jedinstveno određuju trokut u Kartezijanski sustav koordinate su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osi, možete izračunati sve parametre ovoga ravna figura, uključujući i ograničeno svojim opsegom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

upute

Za izračun površine upotrijebite Heronovu formulu trokut. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa započnite svoje izračune s . Duljina svake stranice mora biti jednaka korijenu zbroja kvadrata duljina njezinih projekcija na koordinatne osi. Označimo li koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y3,Z₃), duljine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X3)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Kako bismo pojednostavili izračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovica zbroja duljina svih stranica: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z3)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z3) ²).

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili veličine. Formule su prikazane u obliku slike, s objašnjenjima njihove primjene ili obrazloženjem njihove ispravnosti. Korespondencije su također naznačene na zasebnoj slici slovne oznake u formulama i grafičkim simbolima na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva(istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti dolje navedene formule, kao i dodatne posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer kružnice opisane oko trokuta
h- visina trokuta spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta spuštena na stranice a, b, c

Imajte na umu da dane oznake odgovaraju gornjoj slici, tako da ćete prilikom rješavanja stvarnog geometrijskog problema lakše vizualno zamijeniti prava mjesta formule su točne vrijednosti.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice za koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih sastavite u pravokutnik s dimenzijama b i h, onda će očito površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Iako se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutni trokut jednaka visini trokuta koji smo nacrtali, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga koji mu je upisan zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), jednostavno rečeno, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (ovo je lakše zapamtiti)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 polumjera kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta kroz duljine njegovih stranica i poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga koji su oko njega opisani sinusima svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznate duljina jedne stranice i vrijednosti dvaju susjednih kutova, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice podijeljen dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutova (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao prema Heronovoj formuli
• Formula 11 omogućuje izračunavanje površina trokuta na temelju koordinata njegovih vrhova, koje su navedene kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja geometrijskih problema za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije sličan ovdje, pišite o tome na forumu. U rješenjima se umjesto simbola "kvadratni korijen" može koristiti funkcija sqrt() u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se za jednostavne radikalne izraze može koristiti simbol √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo se formulom broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uvjeta zadatka:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

U tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije Pronađimo i zamijenimo vrijednost sinusa 60 stupnjeva u izraz. To će biti jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima učitelja, vjerojatno možete ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a = b = c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta ima oblik:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice povećaju 4 puta?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, kako bismo odgovorili na problemsko pitanje, hajdemo pronaći područje zadani trokut, a zatim pronaći površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

U nastavku donosimo tekstualno objašnjenje rješenja problema korak po korak. No, na samom kraju, to isto rješenje je prikazano u prikladnijem grafičkom obliku. Oni koji žele mogu odmah sići rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta zadane su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvući iz zagrada iz sva četiri izraza prema Opća pravila matematika.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Kvadratni korijen broja 256 savršeno je izvađen, pa ga izvadimo ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte peti redak slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, samo trebamo podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Odredimo omjere površina tako da izraze podijelimo jedan s drugim i smanjimo dobiveni razlomak.

Iz suprotnog vrha) i dobiveni umnožak podijelite s dva. Ovo izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

Gdje:
S – površina trokuta,
a je duljina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Duljina i visina stranice moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".

Primjer.
Na jednu stranicu skalenskog trokuta duljine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha duljine 10 cm.
Potrebno je područje trokuta.
Riješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako su poznate duljine bilo koje dvije stranice razmjernog trokuta i kut između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b duljine dviju proizvoljnih stranica, a γ kut između njih.

U praksi npr. kod mjerenja zemljišne parcele, korištenje gornjih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje kutova.

Ako znate duljine sve tri stranice razmjernog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – duljine stranica trokuta,
p – poluopseg: p = (a+b+c)/2.

Ako je uz duljine svih stranica poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, upotrijebite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r – radijus upisane kružnice (r – poluopseg).

Za izračun površine razmjernog trokuta i duljine njegovih stranica upotrijebite formulu:

gdje je: R – polumjer opisane kružnice.

Ako znate duljinu jedne od stranica trokuta i tri kuta (u načelu su dovoljna dva - vrijednost trećeg izračunava se iz jednakosti zbroja triju kutova trokuta - 180º), tada upotrijebite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost kuta nasuprot stranici a;
β, γ – vrijednosti preostala dva kuta trokuta.

Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trokut, pojavio se mnogo stoljeća prije Krista među znanstvenici astronomi Drevna grčka. Kvadrat trokut može se izračunati različiti putevi koristeći različite formule. Način izračuna ovisi o tome koji elementi trokut znan.

upute

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica b, c i kut koji one čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica a, b i kut koji one ne čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje kuta?, sin? = bsin?/a, zatim pomoću tablice odredite sam kut.
Pronalaženje kuta?, ? = 180°-?-?.
Nalazimo samu površinu S = (absin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti samo triju strana trokut a, b i c, zatim područje trokut ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , gdje je p – poluopseg p = (a+b+c)/2

Ako iz uvjeta problema znamo visinu trokut h i strana na koju je ta visina spuštena, zatim površina trokut ABC prema formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo značenja strana trokut a, b, c i radijus opisan u vezi s tim trokut R, zatim područje ovoga trokut ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri stranice a, b, c i polumjer upisane, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluopseg, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostraničan, tada se površina nalazi prema formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje c – trokut.
Ako je trokut ABC pravokutan, tada se površina određuje formulom:
S = ab/2, gdje su a i b kraci trokut.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokračni trokut, tada se površina određuje formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trokut, a=b – krak.

Video na temu

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trokuta

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako je kut poznat

Za određivanje površine nije dovoljno znati samo jedan parametar (kut). tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost kuta također koristi kao jedna od poznatih varijabli. U nastavku je navedeno nekoliko najčešće korištenih formula.

upute

Ako osim veličine kuta (γ) koji čine dvije stranice tre kvadrat , poznate su i duljine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure može se definirati kao polovica umnoška duljina stranica i sinusa ovog poznatog kuta: S=½×A×B×sin(γ).