Kako pronaći točku sjecišta dviju linija. Sjecište dviju ravnih linija - definicija (metodički razvoj)

Neka su zadane dvije linije i treba pronaći njihovu točku sjecišta. Budući da ta točka pripada svakom od dva zadana pravca, njezine koordinate moraju zadovoljavati i jednadžbu prvog i jednadžbu drugog pravca.

Dakle, da bi se odredile koordinate točke presjeka dviju linija, potrebno je riješiti sustav jednadžbi

Primjer 1. Pronađite točku sjecišta pravaca i

Riješenje. Koordinate željene sjecišne točke pronaći ćemo rješavanjem sustava jednadžbi

Sjecišna točka M ima koordinate

Pokažimo kako konstruirati ravnu liniju pomoću njezine jednadžbe. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je poznavati njezine dvije točke. Da bismo konstruirali svaku od ovih točaka, specificiramo proizvoljnu vrijednost za jednu od njenih koordinata, a zatim iz jednadžbe nalazimo odgovarajuću vrijednost za drugu koordinatu.

Ako u općoj jednadžbi ravne linije oba koeficijenta na trenutnim koordinatama nisu jednaka nuli, tada je za konstrukciju ove ravne crte najbolje pronaći točke njezina sjecišta s koordinatnim osima.

Primjer 2. Konstruirajte ravnu liniju.

Riješenje. Nalazimo točku sjecišta ove linije s osi apscisa. Da bismo to učinili, zajedno rješavamo njihove jednadžbe:

i dobivamo. Tako je nađena točka M (3; 0) presjecišta ovog pravca s osi apscisa (slika 40).

Zatim zajedno rješavamo jednadžbu ovog pravca i jednadžbu ordinatne osi

nalazimo sjecište pravca s osi ordinata. Na kraju konstruiramo ravnu liniju iz njegove dvije točke M i

Nije prošla ni minuta prije nego što sam napravio novi Verdov fajl i nastavio tako fascinantnu temu. Treba uhvatiti trenutke radnog raspoloženja, pa neće biti lirskog uvoda. Bit će prozaičnog batinanja =)

Dva ravna razmaka mogu:

1) križati se;

2) sijeku se u točki ;

3) biti paralelan;

4) utakmica.

Slučaj broj 1 bitno se razlikuje od ostalih slučajeva. Dvije se prave sijeku ako ne leže u istoj ravnini. Podignite jednu ruku prema gore, a drugu ispružite naprijed - evo primjera križanja linija. U točkama br. 2-4 moraju ležati ravne linije u jednoj ravnini.

Kako saznati međusobne položaje linija u prostoru?

Razmotrimo dva izravna prostora:

- ravna crta, dano točkom i vektor smjera;
– pravac određen točkom i vektorom smjera.

Za bolje razumijevanje, napravimo shematski crtež:

Na crtežu su kao primjer prikazane ravne linije koje se sijeku.

Kako se nositi s tim ravnim linijama?

Budući da su točke poznate, lako je pronaći vektor.

Ako je ravno križati, zatim vektori nije komplanarna(vidi lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora), pa je stoga determinanta sastavljena od njihovih koordinata različita od nule. Ili, što je zapravo ista stvar, neće biti nula: .

U slučajevima br. 2-4 naša struktura “pada” u jednu ravninu, a vektori komplanarni, a mješoviti produkt je linearan ovisni vektori jednako nuli: .

Proširimo dalje algoritam. Hajdemo to pretvarati Dakle, pravci se ili sijeku, paralelni su ili se podudaraju.

Ako su vektori smjera kolinearni, onda su pravci ili paralelni ili podudarni. Za konačni čavao predlažem sljedeću tehniku: uzmite bilo koju točku na jednoj liniji i zamijenite njene koordinate u jednadžbu druge linije; ako se koordinate "slažu", onda se linije poklapaju; ako "ne odgovaraju", onda su linije paralelne.

Algoritam je jednostavan, ali praktični primjeri ipak ne bi škodili:

Primjer 11

Odredi međusobni položaj dviju linija

Riješenje: kao i u mnogim geometrijskim problemima, zgodno je formulirati rješenje točku po točku:

1) Iz jednadžbi izdvajamo točke i vektore smjera:

2) Pronađite vektor:

Dakle, vektori su komplanarni, što znači da pravci leže u istoj ravnini i mogu se sijeći, biti paralelni ili koincidirati.

4) Provjerimo kolinearnost vektora smjera.

Kreirajmo sustav od odgovarajućih koordinata ovih vektora:

Iz svatko jednadžbi slijedi da je, dakle, sustav konzistentan, odgovarajuće koordinate vektora proporcionalne, a vektori kolinearni.

Zaključak: linije su paralelne ili se podudaraju.

5) Utvrdite imaju li pravci zajedničke točke. Uzmimo točku koja pripada prvoj liniji i zamijenimo njene koordinate u jednadžbe linije:

Dakle, pravci nemaju zajedničkih točaka i nemaju izbora nego biti paralelni.

Odgovor:

Zanimljiv primjer Za neovisna odluka:

Primjer 12

Odredi međusobne položaje linija

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Imajte na umu da drugi red ima slovo kao parametar. Logično. U općem slučaju radi se o dvije različite linije, pa svaka linija ima svoj parametar.

I opet vas pozivam da ne preskačete primjere, zadaci koje predlažem nisu nasumični ;-)

Problemi s linijom u prostoru

U završnom dijelu lekcije pokušat ću razmotriti najveći broj različitih problema s prostornim linijama. U ovom slučaju će se poštovati izvorni redoslijed priče: prvo ćemo razmotriti probleme s križanjem, zatim s križanjem, a na kraju ćemo govoriti o paralelnostima u prostoru. Međutim, moram reći da se neki zadaci ove lekcije mogu formulirati za nekoliko slučajeva položaja redaka odjednom, te je u tom smislu podjela odjeljka na odlomke pomalo proizvoljna. Ima još jednostavni primjeri, ima još složeni primjeri, i nadam se da će svatko pronaći ono što mu treba.

Prelaženje granica

Podsjećam vas da se pravci sijeku ako ne postoji ravnina u kojoj obje leže. Dok sam razmišljao o praksi, pao mi je na pamet problem s čudovištem, a sada mi je drago predstaviti vam zmaja s četiri glave:

Primjer 13

Zadane ravne linije. Potreban:

a) dokazati da se pravci sijeku;

b) naći jednadžbe pravca koji prolazi kroz točku okomitu na zadane pravce;

c) sastaviti jednadžbe pravca koji sadrži zajednička okomica prelaženje granica;

d) pronaći udaljenost između pravaca.

Riješenje: Tko hoda, svladat će cestu:

a) Dokažimo da se pravci sijeku. Nađimo točke i vektore smjerova ovih pravaca:

Nađimo vektor:

Izračunajmo mješoviti proizvod vektora:

Dakle, vektori nije komplanarna, što znači da se pravci sijeku, što je i trebalo dokazati.

Vjerojatno su svi odavno primijetili da je za križanje linija algoritam provjere najkraći.

b) Nađite jednadžbe pravca koji prolazi točkom i okomit je na pravce. Napravimo shematski crtež:

Za promjenu sam objavio izravnu IZA ravno, pogledajte kako je malo izbrisano na mjestima križanja. Križanje? Da, općenito, ravna linija "de" će se križati s izvornim ravnim linijama. Iako ovaj trenutak To nas još ne zanima, samo trebamo napraviti okomitu liniju i to je to.

Što se zna o izravnom "de"? Točka koja mu pripada je poznata. Nema dovoljno vektora vodiča.

Prema uvjetu pravac mora biti okomit na pravce, što znači da će njegov vektor smjera biti okomit na vektore smjera. Već upoznati iz primjera br. 9, pronađimo vektorski produkt:

Sastavimo jednadžbe ravne linije "de" koristeći točku i vektor smjera:

Spreman. U principu, možete promijeniti predznake u nazivnicima i upisati odgovor u obrazac , ali nema potrebe za ovim.

Da biste provjerili, trebate zamijeniti koordinate točke u rezultirajuće jednadžbe ravnih linija, a zatim koristiti skalarni produkt vektora uvjerite se da je vektor stvarno pravokutan na vektore smjera "pe jedan" i "pe dva".

Kako pronaći jednadžbe pravca koji sadrži zajedničku okomicu?

c) Ovaj će problem biti teži. Preporučam glupanima da preskoče ovu točku, ne želim ohladiti vaše iskrene simpatije prema analitičkoj geometriji =) Usput, možda bi bilo bolje i za spremnije čitatelje da pričekaju, činjenica je da u smislu složenosti primjer trebao bi biti postavljen zadnji u članku, ali bi po logici izlaganja trebao biti ovdje.

Dakle, trebate pronaći jednadžbe pravca koji sadrži zajedničku okomicu kosih pravaca.

- ovo je segment koji povezuje ove linije i okomit na ove linije:

Evo našeg zgodnog tipa: - zajednička okomica linija koje se sijeku. On je jedini. Nema druge takve. Moramo izraditi jednadžbe za liniju koja sadrži ovaj segment.

Što se zna o izravnom "hm"? Njegov vektor smjera je poznat, nalazi se u prethodnom paragrafu. No, nažalost, ne poznajemo niti jednu točku koja pripada pravoj crti “em”, niti znamo krajeve okomice – točke . Gdje ta okomita linija siječe dvije izvorne crte? U Africi, na Antarktici? Iz prvog pregleda i analize stanja uopće nije jasno kako riješiti problem... Ali postoji lukav trik povezan s upotrebom parametarskih jednadžbi ravne linije.

Odluku ćemo formulirati točku po točku:

1) Prepišimo jednadžbe prvog retka u parametarskom obliku:

Razmotrimo poantu. Ne znamo koordinate. ALI. Ako točka pripada zadanoj liniji, tada njezine koordinate odgovaraju , označimo je s . Tada će koordinate točke biti zapisane u obliku:

Život ide na bolje, jedna nepoznanica još uvijek nisu tri nepoznanice.

2) Isti bijes mora se izvršiti u drugoj točki. Prepišimo jednadžbe druge linije u parametarskom obliku:

Ako točka pripada zadanom pravcu, tada s vrlo specifičnim značenjem njegove koordinate moraju zadovoljavati parametarske jednadžbe:

Ili:

3) Vektor će, kao i prethodno pronađeni vektor, biti usmjeravajući vektor pravca. O tome kako konstruirati vektor iz dvije točke raspravljalo se u pamtivijeku u razredu Vektori za lutke. Sada je razlika u tome što su koordinate vektora zapisane s nepoznatim vrijednostima parametara. Pa što? Nitko ne zabranjuje oduzimanje odgovarajućih koordinata početka vektora od koordinata kraja vektora.

Postoje dvije točke: .

Traženje vektora:

4) Budući da su vektori smjera kolinearni, jedan vektor se linearno izražava kroz drugi s određenim koeficijentom proporcionalnosti "lambda":

Ili koordinatno:

Ispalo je najobičnije sustav linearnih jednadžbi s tri nepoznanice, što je standardno rješivo, npr. Cramerova metoda. Ali ovdje je moguće izaći s malim gubitkom; iz treće jednadžbe ćemo izraziti "lambda" i zamijeniti je u prvu i drugu jednadžbu:

Tako: , i ne treba nam "lambda". Činjenica da su se vrijednosti parametara pokazale istima je čista nesreća.

5) Nebo se potpuno razvedrilo, zamijenimo pronađene vrijednosti na naše bodove:

Vektor smjera nije posebno potreban, budući da je njegov pandan već pronađen.

Uvijek je zanimljivo provjeriti nakon dugog putovanja.

:

Dobivene su točne jednakosti.

Zamijenimo koordinate točke u jednadžbe :

Dobivene su točne jednakosti.

6) Završni akord: stvorimo jednadžbe ravne crte pomoću točke (možete je uzeti) i vektora smjera:

U načelu, možete odabrati "dobru" točku s netaknutim koordinatama, ali to je kozmetičko.

Kako pronaći udaljenost između linija koje se sijeku?

d) Odsjekli smo četvrtu glavu zmaju.

Metoda jedan. Čak ni način, nego mali poseban slučaj. Udaljenost između križnih pravaca jednaka je duljini njihove zajedničke okomice: .

Ekstremne točke zajednička okomica nalazi se u prethodnom paragrafu, a zadatak je elementaran:

Druga metoda. U praksi su najčešće krajevi zajedničke okomice nepoznati, pa se koristi drugačiji pristup. Kroz dvije prave koje se sijeku mogu se povući paralelne ravnine, a udaljenost između tih ravnina jednaka je udaljenosti između tih ravnina. Konkretno, zajednička okomica strši između tih ravnina.

U tijeku analitičke geometrije, iz gornjih razmatranja, izvodi se formula za pronalaženje udaljenosti između ravnih linija koje se sijeku:
(umjesto naših točaka "hm jedan, dva" možete uzeti proizvoljne točke pravaca).

Mješoviti umnožak vektora već se nalazi u točki "a": .

Vektorski produkt vektora nalazi se u odlomku "be": , izračunajmo njegovu duljinu:

Tako:

Ponosno izložimo trofeje u jednom redu:

Odgovor:
A) , što znači da se prave sijeku, što je i trebalo dokazati;
b) ;
V) ;
G)

Što još možete reći o križanju linija? Između njih postoji određeni kut. Ali razmotrit ćemo formulu univerzalnog kuta u sljedećem odlomku:

Ravni prostori koji se sijeku nužno leže u istoj ravnini:

Prva pomisao je da se svom snagom oslonite na točku raskrižja. I odmah sam pomislio, zašto sebi uskraćivati ​​prave želje?! Idemo odmah na nju!

Kako pronaći točku sjecišta prostornih linija?

Primjer 14

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Prepišimo jednadžbe linija u parametarskom obliku:

Ovaj zadatak je detaljno razmatran u primjeru br. 7 ove lekcije (vidi. Jednadžbe pravca u prostoru). I usput, uzeo sam same ravne crte iz primjera br. 12. Neću lagati, previše sam lijen da smislim nove.

Rješenje je standardno i već smo ga susreli kada smo pokušavali shvatiti jednadžbe za zajedničku okomicu pravaca koji se sijeku.

Sjecište pravaca pripada pravcu, stoga njegove koordinate zadovoljavaju parametarske jednadžbe ovog pravca i odgovara im vrlo specifična vrijednost parametra:

Ali ta ista točka također pripada drugom retku, dakle:

Izjednačavamo odgovarajuće jednadžbe i provodimo pojednostavljenja:

Primljeno sustav od tri linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice. Ako se pravci sijeku (što je dokazano u primjeru br. 12), tada je sustav nužno konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Može se riješiti Gaussova metoda, ali nećemo griješiti s takvim vrtićkim fetišizmom, učinit ćemo to jednostavnije: iz prve jednadžbe izrazimo "te nula" i zamijenimo je u drugu i treću jednadžbu:

Posljednje dvije jednadžbe pokazale su se u biti iste, a iz njih slijedi da je . Zatim:

Zamijenimo pronađenu vrijednost parametra u jednadžbe:

Odgovor:

Za provjeru zamijenimo pronađenu vrijednost parametra u jednadžbe:
Dobivene su iste koordinate koje je trebalo provjeriti. Pažljivi čitatelji mogu zamijeniti koordinate točke u izvorne kanonske jednadžbe pravaca.

Usput, bilo je moguće učiniti suprotno: pronaći točku kroz "es zero" i provjeriti je kroz "te zero".

Poznato matematičko praznovjerje kaže: gdje se govori o sjecištima pravaca, uvijek miriše okomica.

Kako konstruirati prostorni pravac okomit na zadani?

(crte se sijeku)

Primjer 15

a) Napišite jednadžbe pravca koji prolazi točkom okomitom na pravac (pravci se sijeku).

b) Odredi udaljenost točke od pravca.

Bilješka : klauzula “pravci se sijeku” – značajan. Kroz točku
možete nacrtati beskonačan broj okomitih linija koje će se presijecati s ravnom linijom "el". Jedino rješenje javlja se u slučaju da se povuče pravac okomit na zadanu točku dva zadan ravnom linijom (vidi Primjer br. 13, točka “b”).

A) Riješenje: Nepoznati pravac označavamo sa . Napravimo shematski crtež:

Što se zna o ravnoj liniji? Prema uvjetu se daje bod. Da bi se sastavile jednadžbe pravca, potrebno je pronaći vektor smjera. Vektor je sasvim prikladan kao takav vektor, pa ćemo se njime baviti. Točnije, uzmimo nepoznati kraj vektora za skut.

1) Izdvojimo njegov vektor smjera iz jednadžbi pravca "el" i prepišimo same jednadžbe u parametarskom obliku:

Mnogi su pretpostavili da će sada mađioničar dobiti treći put tijekom lekcije bijeli labud iz šešira. Razmotrimo točku s nepoznatim koordinatama. Budući da je točka , njezine koordinate zadovoljavaju parametarske jednadžbe pravca “el” i odgovaraju određenoj vrijednosti parametra:

Ili u jednom redu:

2) Prema uvjetu, pravci moraju biti okomiti, dakle, njihovi vektori smjera su ortogonalni. A ako su vektori ortogonalni, onda su njihovi skalarni proizvod jednako nuli:

Što se dogodilo? Najjednostavnija linearna jednadžba s jednom nepoznatom:

3) Vrijednost parametra je poznata, pronađimo točku:

I vektor smjera:
.

4) Sastavimo jednadžbe pravca pomoću točke i vektora smjera :

Pokazalo se da su nazivnici udjela razlomci, a to je upravo slučaj kada je prikladno riješiti se razlomaka. Samo ću ih pomnožiti s -2:

Odgovor:

Bilješka : stroži završetak rješenja je formaliziran na sljedeći način: sastavimo jednadžbe ravne crte koristeći točku i vektor smjera . Doista, ako je vektor vodeći vektor ravne crte, tada će kolinearni vektor , naravno, također biti vodeći vektor te ravne crte.

Provjera se sastoji od dvije faze:

1) provjeriti ortogonalnost vektora smjera linija;

2) zamijenimo koordinate točke u jednadžbe svake linije, one bi trebale "stati" i tamo i tamo.

Bilo je dosta govora o tipičnim akcijama, pa sam provjerio na nacrtu.

Usput, zaboravio sam još jednu točku - konstruirati točku "zyu" simetričnu točki "en" u odnosu na ravnu liniju "el". Međutim, postoji dobar "ravni analog", koji se može naći u članku Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Ovdje će jedina razlika biti u dodatnoj koordinati "Z".

Kako pronaći udaljenost od točke do pravca u prostoru?

b) Riješenje: Nađimo udaljenost od točke do pravca.

Metoda jedan. Ta je udaljenost točno jednaka duljini okomice: . Rješenje je očito: ako su točke poznate , to:

Druga metoda. U praktičnim problemima, baza okomice često je zapečaćena tajna, pa je racionalnije koristiti gotovu formulu.

Udaljenost od točke do pravca izražava se formulom:
, gdje je vektor usmjeravanja prave “el”, i – besplatno točka koja pripada zadanoj liniji.

1) Iz jednadžbi pravca izvadimo vektor smjera i najdostupniju točku.

2) Točka je poznata iz uvjeta, izoštri vektor:

3) Pronađimo vektorski proizvod i izračunaj njegovu duljinu:

4) Izračunajte duljinu vektora vodiča:

5) Dakle, udaljenost od točke do linije:

Ako je ravno

leže u istoj ravnini, dakle

ili u vektorskom obliku

Obrnuto, ako je uvjet (3) zadovoljen, tada pravci leže u istoj ravnini.

Obrazloženje. Ako pravci (1) i (2) leže u istoj ravnini, tada pravac leži u potonjoj (sl. 177), tj. vektori su komplanarni (i obrnuto). To izražava jednadžba (3) (vidi § 120).

Komentar. Ako je (u ovom slučaju (3) nužno zadovoljeno), tada su pravci paralelni. U suprotnom, pravci koji zadovoljavaju uvjet (3) se sijeku.

Primjer. Odredite sijeku li se pravci

i ako da, u kojem trenutku.

Riješenje. Pravci (1) i (2) leže u istoj ravnini, budući da je determinanta (3), jednaka, jednaka nuli. Ove linije nisu paralelne (koeficijenti smjera nisu proporcionalni). Da biste pronašli točku sjecišta, trebate riješiti sustav od četiri jednadžbe (1), (2) s tri nepoznanice. Takav sustav u pravilu nema rješenja, ali u u ovom slučaju(zbog ispunjenja uvjeta (3)) postoji rješenje. Nakon što smo riješili sustav bilo koje tri jednadžbe, dobivamo Četvrta jednadžba je zadovoljena. Sjecište (1; 2; 3).

Prilikom rješavanja nekih geometrijskih problema koordinatnom metodom morate pronaći koordinate točke sjecišta pravaca. Najčešće morate tražiti koordinate točke sjecišta dviju linija na ravnini, ali ponekad postoji potreba za određivanjem koordinata točke sjecišta dviju linija u prostoru. U ovom članku bavit ćemo se pronalaženjem koordinata točke u kojoj se dva pravca sijeku.

Navigacija po stranici.

Točka presjeka dviju linija je definicija.

Najprije odredimo točku sjecišta dviju linija.

U odjeljku o međusobnom položaju pravaca na ravnini pokazano je da se dva pravca na ravnini mogu ili podudarati (i imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka), ili biti paralelna (a dva pravca nemaju zajedničkih točaka), ili se sijeći , koji imaju jednu zajedničku točku. Postoji više mogućnosti međusobnog položaja dviju linija u prostoru - mogu se podudarati (imati beskonačno mnogo zajedničkih točaka), mogu biti paralelne (tj. ležati u istoj ravnini i ne sijeku se), mogu se sijeći (ne leže u istoj ravnini), a mogu imati i jednu zajedničku točku, odnosno sijeći se. Dakle, dva pravca i u ravnini i u prostoru nazivaju se sijekućima ako imaju jednu zajedničku točku.

Iz definicije sjecišta linija slijedi određivanje točke sjecišta linija: Točka u kojoj se sijeku dva pravca naziva se sjecištem tih pravaca. Drugim riječima, jedina zajednička točka dviju linija koje se sijeku je točka presjeka tih linija.

Radi jasnoće prikazujemo grafički prikaz točke presjeka dviju ravnih linija na ravnini iu prostoru.

Vrh stranice

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca na ravnini.

Prije pronalaženja koordinata sjecišta dviju ravnina na ravnini koristeći njihove poznate jednadžbe, razmotrite pomoćni problem.

Oxy a I b. Pretpostavit ćemo to ravno a odgovara općoj jednadžbi ravne linije oblika , i ravne crte b– tip . Neka je neka točka na ravnini, a mi moramo saznati je li točka M 0 sjecište zadanih pravaca.

Idemo riješiti problem.

Ako M0 a I b, onda po definiciji također pripada liniji a i ravno b, odnosno njegove koordinate moraju zadovoljavati i jednadžbu i jednadžbu. Stoga moramo zamijeniti koordinate točke M 0 u jednadžbe zadanih redaka i vidjeti da li to rezultira dvjema točnim jednakostima. Ako su koordinate točke M 0 zadovoljavaju obje jednadžbe i , tada je točka presjeka linija a I b, inače M 0 .

Je li poanta M 0 s koordinatama (2, -3) točka sjecišta linija 5x-2y-16=0 I 2x-5y-19=0?

Ako M 0 je doista točka presjeka zadanih pravaca, tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbe pravaca. Provjerimo to zamjenom koordinata točke M 0 u date jednadžbe:

Dobili smo dvije prave jednakosti, dakle, M 0 (2, -3)- točka sjecišta linija 5x-2y-16=0 I 2x-5y-19=0.

Radi jasnoće, predstavljamo crtež koji prikazuje ravne linije i koordinate njihovih sjecišta su vidljive.

da, točka M 0 (2, -3) je točka sjecišta linija 5x-2y-16=0 I 2x-5y-19=0.

Da li se linije sijeku? 5x+3y-1=0 I 7x-2y+11=0 u točki M 0 (2, -3)?

Zamijenimo koordinate točke M 0 u jednadžbe ravnih linija, ova radnja će provjeriti pripada li točka M 0 obje ravne linije u isto vrijeme:

Od druge jednadžbe, kada u nju zamijenimo koordinate točke M 0 nije pretvorio u istinsku jednakost, onda točka M 0 ne pripada liniji 7x-2y+11=0. Iz ove činjenice možemo zaključiti da je točka M 0 nije sjecište zadanih pravaca.

Crtež također jasno pokazuje da je točka M 0 nije točka sjecišta linija 5x+3y-1=0 I 7x-2y+11=0. Očito je da se zadani pravci sijeku u točki s koordinatama (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nije točka sjecišta linija 5x+3y-1=0 I 7x-2y+11=0.

Sada možemo prijeći na zadatak pronalaženja koordinata točke presjeka dviju pravaca pomoću zadanih jednadžbi pravaca na ravnini.

Neka pravokutnik Kartezijanski sustav koordinate Oxy a date su dvije crte koje se sijeku a I b jednadžbe odnosno. Označimo točku presjeka zadanih pravaca kao M 0 te riješiti sljedeći zadatak: pronaći koordinate točke presjeka dviju pravaca a I b prema poznatim jednadžbama ovih pravaca i .

Točka M0 pripada svakom od pravaca koji se sijeku a I b a-priorat. Zatim koordinate točke sjecišta linija a I b zadovoljavaju i jednadžbu i jednadžbu . Dakle, koordinate točke presjeka dviju linija a I b su rješenje sustava jednadžbi (vidi članak rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi).

Dakle, da biste pronašli koordinate točke presjeka dviju ravnina definiranih na ravnini općim jednadžbama, trebate riješiti sustav sastavljen od jednadžbi zadanih ravnina.

Pogledajmo primjer rješenja.

Pronađite sjecište dviju linija definiranih u pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini pomoću jednadžbi x-9y+14=0 I 5x-2y-16=0.

Date su nam dvije opće jednadžbe pravaca, sastavimo sustav od njih: . Rješenja rezultirajućeg sustava jednadžbi lako se pronalaze rješavanjem njegove prve jednadžbe s obzirom na varijablu x i zamijenite ovaj izraz u drugu jednadžbu:

Nađeno rješenje sustava jednadžbi daje nam tražene koordinate točke presjeka dviju pravaca.

M 0 (4, 2)– točka sjecišta linija x-9y+14=0 I 5x-2y-16=0.

Dakle, pronalaženje koordinata točke presjeka dviju ravnina, definiranih općim jednadžbama na ravnini, svodi se na rješavanje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznate varijable. Ali što ako pravci na ravnini nisu dani općim jednadžbama, već jednadžbama drugog tipa (vidi vrste jednadžbi pravca na ravnini)? U tim slučajevima, možete najprije reducirati jednadžbe linija na Opća pojava, a nakon toga pronaći koordinate sjecišta.

Prije nalaženja koordinata sjecišta zadanih pravaca, njihove jednadžbe svedemo na opći oblik. Prijelaz s parametarskih jednadžbi linije na opću jednadžbu ove linije izgleda ovako:

Sada izvršimo potrebne radnje s kanonskom jednadžbom pravca:

Dakle, željene koordinate točke presjeka pravaca su rješenje sustava jednadžbi oblika . Za rješavanje problema koristimo Cramerovu metodu:

M 0 (-5, 1)

Postoji još jedan način za pronalaženje koordinata točke presjeka dviju linija na ravnini. Pogodno je koristiti kada je jedna od linija zadana parametarskim jednadžbama oblika, a druga jednadžbom linije drugog tipa. U ovom slučaju, u drugoj jednadžbi umjesto varijabli x I g možete zamijeniti izraze i , odakle možete dobiti vrijednost koja odgovara sjecištu zadanih linija. U ovom slučaju točka sjecišta linija ima koordinate.

Nađimo ovom metodom koordinate točke presjeka pravaca iz prethodnog primjera.

Odredite koordinate sjecišta pravaca i .

Zamijenimo pravolinijski izraz u jednadžbu:

Rješavanjem dobivene jednadžbe dobivamo . Ova vrijednost odgovara zajedničkoj točki pravaca i . Izračunavamo koordinate sjecišta zamjenom ravne linije u parametarske jednadžbe:
.

M 0 (-5, 1).

Da bismo upotpunili sliku, treba raspraviti još jednu točku.

Prije pronalaženja koordinata sjecišta dviju pravaca na ravnini, korisno je uvjeriti se da se zadani pravci stvarno sijeku. Ako se ispostavi da se izvorne linije podudaraju ili su paralelne, tada ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke sjecišta takvih linija.

Možete, naravno, bez takve provjere, ali odmah napravite sustav jednadžbi oblika i riješite ga. Ako sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje, tada ono daje koordinate točke u kojoj se izvorni pravci sijeku. Ako sustav jednadžbi nema rješenja, onda možemo zaključiti da su izvorne linije paralelne (budući da ne postoji takav par realnih brojeva x I g, što bi istovremeno zadovoljilo obje jednadžbe zadanih pravaca). Iz postojanja beskonačnog broja rješenja sustava jednadžbi proizlazi da izvorne ravne linije imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka, odnosno da se podudaraju.

Pogledajmo primjere koji odgovaraju ovim situacijama.

Utvrdite da li se pravci i sijeku, a ako se sijeku, onda odredite koordinate sjecišta.

Zadane jednadžbe pravaca odgovaraju jednadžbama i . Riješimo sustav sastavljen od ovih jednadžbi.

Očito je da se jednadžbe sustava linearno izražavaju jedna kroz drugu (druga jednadžba sustava dobiva se iz prve množenjem oba njegova dijela s 4 ), dakle, sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja. Dakle, jednadžbe definiraju isti pravac i ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta tih pravaca.

jednadžbe i definirane su u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy iste ravne linije, pa ne možemo govoriti o pronalasku koordinata sjecišne točke.

Pronađite koordinate točke presjeka linija i , ako je moguće.

Uvjet zadatka dopušta da se pravci ne sijeku. Kreirajmo sustav od ovih jednadžbi. Za njegovo rješavanje primijenimo Gaussovu metodu, jer nam ona omogućuje da utvrdimo kompatibilnost ili nekompatibilnost sustava jednadžbi, a ako je kompatibilan, pronađemo rješenje:

Posljednja jednadžba sustava nakon izravnog prolaska Gaussove metode pretvorila se u netočnu jednakost, stoga sustav jednadžbi nema rješenja. Iz ovoga možemo zaključiti da su izvorni pravci paralelni, a ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta tih pravaca.

Drugo rješenje.

Utvrdimo sijeku li se zadani pravci.

Normalni vektor je pravac, a vektor je normalni vektor pravca. Provjerimo da je uvjet kolinearnosti vektora i : jednakost istinita, budući da su, dakle, normalni vektori zadanih ravnina kolinearni. Tada su ti pravci paralelni ili podudarni. Dakle, ne možemo pronaći koordinate sjecišta izvornih linija.

nemoguće je pronaći koordinate sjecišta zadanih pravaca jer su ti pravci paralelni.

Odredite koordinate točke presjeka pravaca 2x-1=0 i , ako se sijeku.

Sastavimo sustav jednadžbi koje su opće jednadžbe zadanih pravaca: . Determinanta glavne matrice ovog sustava jednadžbi je različita od nule, stoga sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje, koje označava sjecište zadanih pravaca.

Da bismo pronašli koordinate točke sjecišta pravaca, moramo riješiti sustav:

Dobiveno rješenje daje nam koordinate sjecišta pravaca, odnosno sjecišta pravaca 2x-1=0 i .

Vrh stranice

Određivanje koordinata sjecišta dviju pravaca u prostoru.

Koordinate točke sjecišta dviju linija u trodimenzionalnom prostoru nalaze se na sličan način.

Neka presječne linije a I b naveden u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku, odnosno pravca a određena je sustavom oblika , a pravac b- . Neka M 0– točka sjecišta linija a I b. Zatim točka M 0 po definiciji također pripada liniji a i ravno b, stoga njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbe obiju linija. Dakle, koordinate točke sjecišta linija a I b predstavljaju rješenje sustava linearnih jednadžbi oblika . Ovdje će nam trebati podaci iz odjeljka o rješavanju sustava linearnih jednadžbi u kojima se broj jednadžbi ne poklapa s brojem nepoznatih varijabli.

Pogledajmo rješenja primjera.

Odredite koordinate sjecišta dviju pravaca definiranih u prostoru jednadžbama i .

Sastavimo sustav jednadžbi od jednadžbi zadanih pravaca: . Rješenje ovog sustava dat će nam željene koordinate točke presjeka pravaca u prostoru. Pronađimo rješenje pisanog sustava jednadžbi.

Glavna matrica sustava ima oblik , a proširena - .

Odredimo rang matrice A i rang matrice T. Koristimo metodu graničnih minora, ali nećemo detaljno opisivati ​​izračun determinanti (ako je potrebno, pogledajte članak Izračun determinante matrice):

Dakle, rang glavne matrice jednak je rangu proširene matrice i jednak je tri.

Prema tome, sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

Determinantu ćemo uzeti kao bazni minor, stoga posljednju jednadžbu treba isključiti iz sustava jednadžbi, jer ne sudjeluje u formiranju baznog minora. Tako,

Rješenje dobivenog sustava lako je pronaći:

Dakle, točka sjecišta linija ima koordinate (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Treba napomenuti da sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje ako i samo ako su ravne linije a I b presijecati. Ako je ravno A I b paralelni ili križni, tada posljednji sustav jednadžbi nema rješenja, jer u ovom slučaju pravci nemaju zajedničkih točaka. Ako je ravno a I b podudaraju, onda imaju beskonačan broj zajedničkih točaka, dakle, navedeni sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja. Međutim, u tim slučajevima ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata sjecišta pravaca, jer se pravci ne sijeku.

Dakle, ako unaprijed ne znamo da li se dani pravci sijeku a I b ili ne, onda je razumno izraditi sustav jednadžbi oblika i riješiti ga Gaussovom metodom. Ako dobijemo jedinstveno rješenje, ono će odgovarati koordinatama sjecišta linija a I b. Ako se sustav pokaže nekonzistentnim, onda izravni a I b ne sijeku se. Ako sustav ima beskonačan broj rješenja, tada su prave linije a I b podudarati se.

Možete učiniti bez korištenja Gaussove metode. Alternativno, možete izračunati rangove glavne i proširene matrice ovog sustava, te na temelju dobivenih podataka i Kronecker-Capellijevog teorema izvesti zaključak o postojanju jedino rješenje, ili postojanje mnogo rješenja, ili nepostojanje rješenja. To je stvar ukusa.

Ako se pravci sijeku, odredite koordinate sjecišta.

Napravimo sustav od zadanih jednadžbi: . Riješimo ga Gaussovom metodom u matričnom obliku:

Postalo je jasno da sustav jednadžbi nema rješenja, stoga se zadane linije ne sijeku i ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke presjeka tih linija.

ne možemo pronaći koordinate sjecišta zadanih pravaca, jer se ti pravci ne sijeku.

Kada su pravci koji se sijeku zadani kanonskim jednadžbama pravca u prostoru ili parametarskim jednadžbama pravca u prostoru, tada treba prvo dobiti njihove jednadžbe u obliku dviju ravnina koje se sijeku, a tek nakon toga pronaći koordinate sjecišta.

U pravokutnom koordinatnom sustavu definirane su dvije crte koje se sijeku Oxyz jednadžbe i . Odredite koordinate sjecišta ovih pravaca.

Definirajmo početne pravce jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku:

Da bismo pronašli koordinate točke sjecišta linija, ostaje riješiti sustav jednadžbi. Rang glavne matrice ovog sustava jednak je rangu proširene matrice i jednak je tri (preporučamo da provjerite ovu činjenicu). Uzmimo kao bazni minor, dakle, možemo eliminirati posljednju jednadžbu iz sustava. Rješavanjem dobivenog sustava bilo kojom metodom (na primjer Cramerovom metodom) dobivamo rješenje. Dakle, točka sjecišta linija ima koordinate (-2, 3, -5) .