Y = xn, y = x-n gdje je n zadani prirodni broj. Prirodni broj
Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u Svakidašnjica za brojanje objekte, tj. izračunati njihov broj i redoslijed.
Što je prirodni broj: prirodni brojevi imenovati brojeve koji se koriste brojanje predmeta ili za označavanje serijskog broja bilo kojeg predmeta iz svih homogenih stavke.
Cijeli brojevi - ovo su brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.
Najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Pri prebrojavanju broja Nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.
Nizovi prirodnih brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Zapisivanje prirodnih brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
U prirodnom nizu svaki je broj jedan za jedan veći od prethodnog.
Koliko brojeva ima prirodni niz? Prirodni niz je beskonačan; najveći prirodni broj ne postoji.
Decimala budući da 10 jedinica bilo koje znamenke čini 1 jedinicu najviše znamenke. Pozicijski tako kako značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju, tj. iz kategorije u kojoj je napisano.
Klase prirodnih brojeva.
Bilo koji prirodni broj može se napisati s 10 arapskih brojeva:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Za čitanje prirodnih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke. 3 prva brojevi s desne strane su klasa jedinica, sljedeća 3 su klasa tisućica, zatim klase milijuna, milijardi iitd. Svaka od znamenki klase naziva se njezinapražnjenje.
Usporedba prirodnih brojeva.
Od 2 prirodna broja manji je onaj broj koji se prije zove prilikom brojanja. Na primjer, broj 7 manje 11 (piši ovako:7 < 11 ). Kada je jedan broj veći od drugog, piše se ovako:386 > 99 .
Tablica znamenki i klase brojeva.
|
jedinica 1. razreda |
1. znamenka jedinice 2. znamenka desetica 3. mjesto stotinke |
|
2. klasa tisuća |
1. znamenka jedinice tisućica 2. znamenka desetaka tisuća 3. kategorija stotine tisuća |
|
Milijuni 3. klase |
1. znamenka jedinice milijuna 2. kategorija deseci milijuna 3. kategorija stotine milijuna |
|
milijarde 4. klase |
1. znamenka jedinice milijardi 2. kategorija deseci milijardi 3. kategorija stotine milijardi |
|
Brojevi od 5. razreda naviše odnose se na veliki brojevi. Jedinice 5. razreda su bilijuni, 6 klasa - kvadrilijuni, 7. klasa - kvintilijuni, 8. klasa - sekstilijuni, 9. klasa - eptilioni. Osnovna svojstva prirodnih brojeva.
Operacije s prirodnim brojevima. 4. Dijeljenje prirodnih brojeva je operacija obratna od množenja. Ako b ∙ c = a, To
Formule za dijeljenje: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Brojevni izrazi i brojevne jednakosti. Zapis gdje su brojevi povezani znakovima radnje je brojčani izraz. Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Zapisi u kojima su 2 numerička izraza kombinirana sa znakom jednakosti su brojčane jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu. Redoslijed izvođenja računskih operacija. Zbrajanje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stupnja, dok su množenje i dijeljenje operacije drugog stupnja. Kada se numerički izraz sastoji od radnji samo jednog stupnja, one se izvode sekvencijalno s lijeva na desno. Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stupnja, tada se radnje izvode prve drugi stupanj, a zatim - radnje prvog stupnja. Kada u izrazu postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama. Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Matematika je nastala iz opće filozofije oko šestog stoljeća pr. e., i od tog trenutka je započeo njen pobjednički hod svijetom. Svaka faza razvoja donosila je nešto novo - elementarno brojanje je evoluiralo, transformiralo se u diferencijalni i integralni račun, stoljeća su prolazila, formule su postajale sve zbunjujuće i došao je trenutak kada je "počela najsloženija matematika - iz nje su nestali svi brojevi." Ali što je bila osnova?
Početak vremena
Prirodni brojevi pojavili su se zajedno s prvim matematičkim operacijama. Jedna bodlja, dvije bodlje, tri bodlje... Pojavile su se zahvaljujući indijskim znanstvenicima koji su razvili prvi položajni
Riječ "pozicionalnost" znači da je mjesto svake znamenke u broju strogo definirano i odgovara njegovom rangu. Na primjer, brojevi 784 i 487 su isti brojevi, ali brojevi nisu ekvivalentni, jer prvi uključuje 7 stotica, a drugi samo 4. Indijsku su inovaciju preuzeli Arapi, koji su brojeve doveli u oblik koje sada znamo.
U antičko doba brojevima se pridavalo mistično značenje; Pitagora je vjerovao da je broj u osnovi stvaranja svijeta uz osnovne elemente – vatru, vodu, zemlju, zrak. Ako sve promatramo samo s matematičke strane, što je onda prirodni broj? Polje prirodnih brojeva označava se s N i beskonačan je niz brojeva koji su cijeli i pozitivni: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je isključena. Koristi se prvenstveno za brojanje stavki i označavanje redoslijeda.
Što je to u matematici? Peanovi aksiomi
Polje N je osnovno na kojem se temelji elementarna matematika. Tijekom vremena, polja cijelih brojeva, racionalnih,
Djelo talijanskog matematičara Giuseppea Peana omogućilo je daljnje strukturiranje aritmetike, postiglo njezinu formalnost i pripremilo put za daljnje zaključke koji su nadilazili terensko područje N.
Što je prirodni broj razjašnjeno je ranije jednostavnim jezikom, u nastavku ćemo razmotriti matematičku definiciju temeljenu na Peanovim aksiomima.
- Jedan se smatra prirodnim brojem.
- Broj koji slijedi iza prirodnog broja je prirodan broj.
- Prije jedan nema prirodnog broja.
- Ako broj b slijedi i iza broja c i iza broja d, tada je c=d.
- Aksiom indukcije, koji pak pokazuje što je prirodni broj: ako je neka tvrdnja koja ovisi o parametru istinita za broj 1, tada pretpostavljamo da vrijedi i za broj n iz polja prirodnih brojeva N. Tada tvrdnja vrijedi i za n =1 iz polja prirodnih brojeva N.
Osnovne operacije za polje prirodnih brojeva
Budući da je polje N bilo prvo za matematičke izračune, njemu pripadaju i domene definicije i rasponi vrijednosti niza operacija u nastavku. Zatvoreni su i nisu. Glavna razlika je u tome što zatvorene operacije zajamčeno ostavljaju rezultat unutar skupa N, bez obzira o kojim se brojevima radi. Dovoljno je da su prirodni. Ishod drugih numeričkih interakcija više nije tako jasan i izravno ovisi o vrsti brojeva koji su uključeni u izraz, budući da može proturječiti glavnoj definiciji. Dakle, zatvorene operacije:
- zbrajanje - x + y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
- množenje - x * y = z, gdje su x, y, z uključeni u polje N;
- stepenovanje - x y, gdje su x, y uključeni u polje N.
Preostale operacije, čiji rezultat možda ne postoji u kontekstu definicije "što je prirodni broj", su sljedeće:
Svojstva brojeva koji pripadaju polju N
Sva daljnja matematička razmišljanja temeljit će se na sljedećim svojstvima, najtrivijalnijim, ali ne manje važnim.
- Komutativno svojstvo zbrajanja je x + y = y + x, gdje su brojevi x, y uključeni u polje N. Ili dobro poznato "zbroj se ne mijenja promjenom mjesta članova."
- Komutativno svojstvo množenja je x * y = y * x, gdje su brojevi x, y uključeni u polje N.
- Kombinacijsko svojstvo zbrajanja je (x + y) + z = x + (y + z), gdje su x, y, z uključeni u polje N.
- Svojstvo podudaranja množenja je (x * y) * z = x * (y * z), gdje su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
- distributivno svojstvo - x (y + z) = x * y + x * z, gdje su brojevi x, y, z uključeni u polje N.
Pitagorina tablica
Jedan od prvih koraka učenika u upoznavanju cjelokupne strukture elementarne matematike nakon što su sami shvatili koji se brojevi nazivaju prirodnim brojevima je Pitagorina tablica. Može se smatrati ne samo sa stajališta znanosti, već i najvrjednijim znanstvenim spomenikom.
Ova tablica množenja je tijekom vremena doživjela niz promjena: iz nje je uklonjena nula, a brojevi od 1 do 10 predstavljaju sami sebe, ne vodeći računa o redoslijedu (stotice, tisuće...). To je tablica u kojoj su naslovi redaka i stupaca brojevi, a sadržaj ćelija u kojima se sijeku jednak je njihovom umnošku.
U praksi poučavanja posljednjih desetljeća javlja se potreba za učenjem Pitagorine tablice napamet “po redu”, odnosno učenje napamet dolazi na prvo mjesto. Množenje s 1 bilo je isključeno jer je rezultat bio množitelj 1 ili veći. U međuvremenu, u tablici golim okom možete primijetiti uzorak: umnožak brojeva povećava se za jedan korak, što je jednako naslovu retka. Dakle, drugi faktor nam pokazuje koliko puta trebamo uzeti prvi da bismo dobili željeni proizvod. Ovaj je sustav puno praktičniji od onog koji se prakticirao u srednjem vijeku: čak i shvaćajući što je prirodni broj i koliko je trivijalan, ljudi su uspjeli zakomplicirati svoje svakodnevno brojanje korištenjem sustava koji se temeljio na potencijama dvojke.
Podskup kao kolijevka matematike
Na ovaj trenutak polje prirodnih brojeva N smatra se samo jednim od podskupova kompleksnih brojeva, ali to ih ne čini manje vrijednima u znanosti. Prirodni broj je prva stvar koju dijete nauči proučavajući sebe i svijet. Jedan prst, dva prsta... Zahvaljujući njemu čovjek se razvija logično mišljenje, kao i sposobnost utvrđivanja uzroka i izvođenja posljedica, utirući put velikim otkrićima.
Prirodni brojevi jedan su od najstarijih matematičkih pojmova.
U dalekoj prošlosti ljudi nisu poznavali brojeve, a kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe i sl.), radili su to drugačije nego mi sada.
Broj predmeta uspoređivali su s dijelovima tijela, na primjer, s prstima na ruci i govorili: "Imam onoliko oraha koliko ima prstiju na ruci."
S vremenom su ljudi shvatili da imaju pet oraha, pet koza i pet zečeva zajedničko vlasništvo- njihov broj je pet.
Zapamtiti!
Cijeli brojevi- to su brojevi, počevši od 1, dobiveni prebrojavanjem predmeta.
1, 2, 3, 4, 5…
Najmanji prirodni broj — 1 .
Najveći prirodni broj ne postoji.
Pri brojanju se ne koristi broj nula. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.
Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su prikazivati jedan s jednim štapom, zatim s dva štapa - broj 2, s tri - broj 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Zatim su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - prethodnika modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva potječu iz Indije prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Europu, po čemu se i zovu arapski brojevi.
Ukupno ima deset brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pomoću ovih brojeva možete napisati bilo koji prirodni broj.
Zapamtiti!
Prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog za 1.
Prirodni niz je beskonačan, u njemu ne postoji najveći prirodni broj.
Sustav brojanja koji koristimo zove se decimalni položajni.
Decimala jer 10 jedinica svake znamenke čini 1 jedinicu najznačajnije znamenke. Pozicijski jer značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u zapisu broja, odnosno o znamenki kojom je zapisana.
Važno!
Klase iza milijarde nazvane su prema latinskim nazivima brojeva. Svaka sljedeća jedinica sadrži tisuću prethodnih.
- 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilijun ("tri" je latinski za "tri")
- 1.000 trilijuna = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijun ("quadra" je latinski za "četiri")
- 1.000 kvadrilijuna = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijun ("kvinta" je latinski za "pet")
Međutim, fizičari su pronašli brojku koja premašuje broj svih atoma (najsitnijih čestica materije) u cijelom Svemiru.
Ovaj broj je dobio posebno ime - googol. Googol je broj sa 100 nula.
“Kvadratna funkcija” - Svojstva: -Intervali monotonosti za a > 0 za a< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение kvadratna funkcija 2 Svojstva funkcije 3 Grafovi funkcije 4 Kvadratne nejednadžbe 5 Zaključak. Kvadratne funkcije se koriste dugi niz godina.
“Ocjena funkcije snage 9” - Poznajemo funkcije. Funkcija snage. U. 0. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... Indikator je paran prirodan broj (2n). Y = x. Parabola. Kubična parabola. Funkcija y=x2n je parna, jer (–x)2n = x2n.
“Kvadratna funkcija 8. razreda” - 1) Konstruirati vrh parabole. -1. Konstruirajte graf funkcije. 2) Konstruirajte os simetrije x=-1. g. Algebra 8. razred Učiteljica 496 Bovina T.V. Grafičko prikaz kvadratne funkcije. x. -7. Plan izgradnje.
“Graf funkcije Y X” - Graf funkcije y=x2 + n je parabola s vrhom u točki (0; n). Graf funkcije y=(x - m)2 je parabola s vrhom u točki (m; 0). Da biste vidjeli grafikone, kliknite mišem. Stranica se prikazuje na klik. Iz navedenog proizlazi da je graf funkcije y=(x - m)2 + n parabola s vrhom u točki (m; n).
“Prirodni logaritam” - 0,1. "Logaritamski pikado" 0,04. 121. Prirodni logaritmi. 7. 4.
“Kvadratna funkcija i njezin graf” - Autor: Ilya Granov. Rješavanje zadataka: Rješenje.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-pripada. 4. Je li graf funkcije y=4x točka: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4)? Kada je a=1, formula y=ax ima oblik.
U temi je ukupno 25 prezentacija