Математическое ожидание примеры. Примеры решения задач

Математическим ожиданием случайной величины X называется среднее значение .

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), где C = const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4.Если случайные величины X и Y независимы, то M(XY) = M(X)·M(Y)

Дисперсия

Дисперсией случайной величины X называется

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Дисперсия представляет собой мерой отклонения значений случайной величины от своего среднего значения.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(СX) = C 2 D(X), где C = const

4. Для независимых случайных величин

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется средним квадратичным отклонением .

@ Задача 3: Пусть случайная величина X принимает всего два значения (0 или 1) с вероятностями q, p, где p + q = 1. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

M(X) = 1·p + 0·q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@ Задача 4: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны 8. Найти математическое ожидание и дисперсия случайных величин: а) X – 4; б) 3X – 4.

Решение: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ Задача 5: Совокупность семей имеет следующее распределение по числу детей:

x i x 1 x 2 p i 0,1 p 2 0,4 0,35

Определить x 1, x 2 и p 2, если известно, что M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Решение: Вероятность p 2 равна p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Неизвестные x находятся из уравнений: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Генеральная совокупность и выборка. Оценки параметров

Выборочное наблюдение

Статистическое наблюдение можно организовать сплошное и не сплошное. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности (генеральной совокупности). Генеральная совокупность это множество физических или юридических лиц, которую исследователь изучает согласно своей задачи. Это часто экономически невыгодно, а иногда и невозможно. В связи с этим изучается только часть генеральной совокупности – выборочная совокупность.

Результаты, полученные на основе выборочной совокупности, можно распространить на генеральную совокупность, если следовать следующим принципам:

1. Выборочная совокупность должна определяться случайным образом.

2. Число единиц выборочной совокупности должно быть достаточным.

3. Должна обеспечиваться репрезентативность (представительность) выборки. Репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру, но точную модель той генеральной совокупности, которую она должна отражать.

Типы выборок

В практике применяются следующие типы выборок:

а) собственно-случайная, б) механическая, в) типическая, г) серийная, д) комбинированная.

Собственно-случайная выборка

При собственно-случайной выборке отбор единиц выборочной совокупности производится случайным образом, например, посредством жеребьевки или генератора случайных чисел.

Выборки бывают повторные и бесповторные. При повторной выборке единица, попавшая в выборку, возвращается и сохраняет равную возможность снова попасть в выборку. При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в дальнейшем в выборке не участвует.

Ошибкиприсущие выборочному наблюдению, возникающие в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную совокупность, называются стандартными ошибками. Они представляют собой среднее квадратичное расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими значениями показателей генеральной совокупности.

Расчетные формулы стандартной ошибки при случайном повторном отборе следующая: , а при случайном бесповторном отборе следующая: , где S 2 – дисперсия выборочной совокупности, n/N –доля выборки, n, N— количества единиц в выборочной и генеральной совокупности. При n = N стандартная ошибка m = 0.

Механическая выборка

При механической выборке генеральная совокупность разбивается на равные интервалы и из каждого интервала случайным образом отбирается по одной единице.

Например, при 2%-ной доли выборки из списка генеральной совокупности отбирается каждая 50-я единица.

Стандартная ошибка механической выборки определяется как ошибка собственно-случайной бесповторной выборки.

Типическая выборка

При типической выборке генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы, затем из каждой группы случайным образом производится отбор единиц.

Типической выборкой пользуются в случае неоднородной генеральной совокупности. Типическая выборка дает более точные результаты, потому что обеспечивается репрезентативность.

Например, учителя, как генеральная совокупность, разбиваются на группы по следующим признакам: пол, стаж, квалификация, образование, городские и сельские школы и т.д.

Стандартные ошибки типической выборки определяются как ошибки собственно-случайной выборки, с той лишь разницей, что S 2заменяется средней величиной от внутригрупповых дисперсий.

Серийная выборка

При серийной выборке генеральная совокупность разбивается на отдельные группы (серии), затем случайным образом выбранные группы подвергаются сплошному наблюдению.

Стандартные ошибки серийной выборки определяются как ошибки собственно-случайной выборки, с той лишь разницей, что S 2 заменяется средней величиной от межгрупповых дисперсий.

Комбинированная выборка

Комбинированная выборка является комбинацией двух или более типов выборок.

Точечная оценка

Конечной целью выборочного наблюдения является нахождение характеристик генеральной совокупности. Так как этого невозможно сделать непосредственно, то на генеральную совокупность распространяют характеристики выборочной совокупности.

Принципиальная возможность определения средней арифметической генеральной совокупности по данным средней выборки доказывается теоремой Чебышева. При неограниченном увеличении n вероятность того, что отличие выборочной средней от генеральной средней будет сколь угодно мало, стремится к 1.

Это означает, что характеристика генеральной совокупности с точностью . Такая оценка называется точечной.

Интервальная оценка

Базисом интервальной оценки является центральная предельная теорема.

Интервальная оценка позволяет ответить на вопрос: внутри какого интервала и с какой вероятностью находится неизвестное, искомое значение параметра генеральной совокупности?

Обычно говорят о доверительной вероятности p = 1 – a, с которой будет находиться в интервале – D t крm > 0 предельная ошибка выборки, a — уровень значимости (вероятность того, что неравенство будет неверным), t кр — критическое значение, которое зависит от значений n и a. При малой выборке n t кр задается с помощью критического значения t-распределения Стъюдента для двустороннего критиерия с n – 1 степенями свободы с уровнем значимости a (t кр(n –1, a) находится из таблицы «Критические значения t–распределения Стъюдента», приложение 2). При n > 30, t кр — это квантиль нормального закона распределения (t кр находится из таблицы значений функции Лапласа F(t) = (1 – a)/2 как аргумент). При p = 0,954 критическое значение t кр = 2 при p = 0,997 критическое значение t кр = 3. Это означает, что предельная ошибка обычно больше стандартной ошибки в 2-3 раза.

Таким образом, суть метода выборки заключается в том, что на основании статистических данных некоторой малой части генеральной совокупности удается найти интервал, в котором с доверительной вероятностью p находится искомая характеристика генеральной совокупности (средняя численность рабочих, средний балл, средняя урожайность, среднее квадратичное отклонение и т.д.).

@ Задача 1.Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням ( = 22) со стандартным отклонением 6 дней (S = 6). С вероятностью p = 0,954 определить предельнуюошибку выборочной средней и доверительный интервал средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.

Решение: Предельнаяошибка выборочной средней согласно(1) равнаD = 2·0,6 = 1,2, а доверительный интервал определяется как (22 – 1,2; 22 + 1,2), т.е. (20,8; 23,2).

§6.5 Корреляция и регрессия

Математическое ожидание и дисперсия — чаще всего применяемые числовые характеристикислучайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степеньразбросанности. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины- закон распределения — или вообще не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаяхограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины.Дисперсия случайной величины — характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около еёматематического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Подойдём к понятию математического ожидания, сначала исходя из механическойинтерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть единичная масса распределена между точкамиоси абсцисс x1, x2, …, xn,причём каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу из p1, p2, …, pn.Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек,с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Этоесть среднее взвешенное значение случайной величины X, в которое абсцисса каждой точкиxi входит с «весом», равным соответствующейвероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется еёматематическим ожиданием.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведенийвсех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея.Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 — по 20 руб. 200 — по 100 руб. и 100 -по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей,которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общаясумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчётасреднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша являетсяслучайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. свероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемыйсредний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгуон собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 — книжный магазин и 30 — автор. В таблицедана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина «прибыль» равна разности доходов от продажи и стоимости затрат.Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, азатраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующейтаблице обобщены ожидаемые значения случайной величины — прибыли:

ЧислоПрибыль xiВероятность pixipi500-1250000,20-250001000-500000,40-2000020001000000,252500030002500000,102500040004000000,0520000Всего:1,0025000

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

.

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2.Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали досих пор, выражаем x — расход снарядов:

.

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величиныx числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попаданияпри каждом выстреле p = 0,4.

Подсказка: вероятность значений случайной величины найти поформуле Бернулли .

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1.Математическое ожидание постояннойвеличины равно этой постоянной:

Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знакматематического ожидания:

Свойство 3.Математическое ожидание суммы (разности)случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4.Математическое ожидание произведения случайныхвеличин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5.Если все значения случайной величиныX уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то еёматематическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев только математическое ожидание не может вдостаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданыследующими законами распределения:

Значение XВероятность -0,1 0,1 -0,01 0,2 0 0,4 0,01 0,2 0,1 0,1Значение YВероятность -20 0,3 -10 0,1 0 0,2 10 0,1 20 0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы — равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величинаX может принимать только значения, мало отличающиеся от математическогоожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительноотклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная платане даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих.Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклоненияот него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называетсяматематическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонениемслучайной величины X называется арифметическое значение квадратного корняеё дисперсии:

.

Пример 5.Вычислить дисперсии и средниеквадратические отклонения случайных величин X и Y, законыраспределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y,как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е(х)=Е(y)=0получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Yсоставляют

.

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсияслучайной величины X очень мала, а случайной величины Y -значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблицеобобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Проект 1Проект 2Проект 3Проект 4500, P=11000, P=0,5500, P=0,5500, P=0,50, P=0,51000, P=0,2510500, P=0,250, P=0,259500, P=0,25

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическоеотклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочномпериоде у всех — одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измеренияриска — чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберетпроект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтениериску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением -проект 4.

Свойства дисперсии

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1.Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить зазнак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

.

Свойство 3.Дисперсия случайной величины равнаматематическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

,

где .

Свойство 4.Дисперсия суммы (разности) случайных величинравна сумме (разности) их дисперсий:

Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина Xпринимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание:E(X) = 4. Найти дисперсию дискретной случайнойвеличины.

Решение. Обозначим через p вероятность, скоторой случайная величина принимает значение x1 = −3.Тогда вероятностью значения x2 = 7будет 1 − p. Выведем уравнение для математическогоожидания:

E(X) = x1p + x2(1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4,

откуда получаем вероятности: p = 0,3 и1 − p = 0,7.

Закон распределения случайной величины:

X−37p0,30,7

Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21.

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Дискретная случайная величина Xпринимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того,известна дисперсия случайной величины D(X) = 6. Найтиматематическое ожидание случайной величины.

Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара.Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X.Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X может приниматьзначения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей .Закон распределения случайной величины:

X0123p1/303/101/21/6

Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8.

Дисперсия данной случайной величины:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математическогоожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на осиабсцисс с плотностью f(x). В отличие от дискретной случайной величиной, у которойаргумент функции xi изменяетсяскачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожиданиенепрерывной случайной величины также связано с её средним значением.

Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины,нужно находить определённые интегралы. Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, тоона непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то,дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайнойвеличины называется её математическим ожиданием, обозначаемымили .

Решение:

6.1.2 Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пример: M(X) = 5, M(Y) = 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, применив свойства математического ожидания, если известно, что Z=2X + 3Y.

Решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий

2) постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания

Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Тогда имеет место следующая теорема:

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

6.1.3 Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М 2 (Х) – величины постоянные, можно записать:

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.

Х Х 2 р 0.2 0.3 0.1 0.4

Решение: .

6.1.4 Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

Пример: Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в 2-х независимых испытаниях, если вероятность появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X) = 1,2.

Применим теорему из п. 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n = 2. Найдём p:

1,2 = 2∙p

p = 1,2/2

q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4

Найдём дисперсию по формуле :

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

(25)

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

6.1.6 Мода и медиана дискретной случайной величины

Модой M o ДСВ называется наиболее вероятное значение случайной величины (т.е. значение, которое имеет наибольшую вероятность)

Медианой M e ДСВ называется значение случайной величины, которое делит ряд распределения пополам. Если число значений случайной величины чётное, то медиана находится как среднее арифметическое двух средних значений.

Пример: Найти моду и медиану ДСВ Х:

X p 0.2 0.3 0.1 0.4

M e = = 5,5

Ход работы

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

6.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

1. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану ДСВ X, заданной законом распределения.

X P 0.1 0.6 0.2 0.1

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 1.

4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3

Вариант №2

X P 0.3 0.1 0.2 0.4

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 0,9.

x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 10, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.

Вариант №3

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения.

X P 0.5 0.1 0.2 0.3

2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Найти дисперсию ДСВ Х – числа появлений события А в четырёх независимых испытаниях, если вероятности появления событий в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (х) = 1,2.

4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 5, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: , . Найти вероятности , , , соответствующие возможным значениям , , и составить закон распределения ДСВ.

Вариант №4

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X, заданной законом распределения.

Как уже известно,закон распределения полностьюхарактеризует случайную величину.Однако часто закон распределениянеизвестен и приходится ограничиватьсяменьшими сведениями. Иногда даже выгоднеепользоваться числами, которые описываютслучайную величину суммарно; такиечисла называют числовымихарактеристиками случайной величины.К числуважных числовых характеристик относитсяматематическое ожидание.

Математическоеожидание, как будет показано далее,приближенно равно среднему значениюслучайной величины. Для решения многихзадач достаточно знать математическоеожидание. Например, если известно, чтоматематическое ожидание числа выбиваемыхочков у первого стрелка больше, чем увторого, то первый стрелок в среднемвыбивает больше очков, чем второй, и,следовательно, стреляет лучше второго.Хотя математическое ожидание дает ослучайной величине значительно меньшесведений, чем закон ее распределения,но для решения задач, подобных приведеннойи многих других, знание математическогоожидания оказывается достаточным.

§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическиможиданиемдискретнойслучайной величины называют суммупроизведений всех ее возможных значенийна их вероятности.

Пусть случайнаявеличина Xможетпринимать только значения х 1 ,х 2 ,…, х п ,вероятностикоторых соответственно равны р 1 , р 2 ,. . ., р п .Тогдаматематическое ожидание М(X)случайнойвеличины Xопределяетсяравенством

М(X)=х 1 р 1 +х 2 р 2 + … +x n p n .

Если дискретнаяслучайная величина Xпринимаетсчетное множество возможных значений,то

М(Х)=

причем математическоеожидание существует, если ряд в правойчасти равенства сходится абсолютно.

Замечание. Изопределения следует, что математическоеожидание дискретной случайной величиныесть неслучайная (постоянная) величина.Рекомендуем запомнить это утверждение,так как далее оно используется многократно.В дальнейшем будет показано, чтоматематическое ожидание непрерывнойслучайной величины также есть постояннаявеличина.

Пример 1.Найтиматематическое ожидание случайнойвеличины X,зная законее распределения:

Решение. Искомоематематическое ожидание равно суммепроизведений всех возможных значенийслучайной величины на их вероятности:

M(X)=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Пример 2.Найтиматематическое ожидание числа появленийсобытия Аводном испытании, если вероятностьсобытия Аравна р.

Решение. Случайнаявеличина X— числопоявлений события Ав одномиспытании — может принимать только двазначения: х 1 =1(событие Анаступило)с вероятностью ри х 2 =0(событие Ане наступило)с вероятностью q=1 —р.Искомоематематическое ожидание

M(X)=1*p+0*q=p

Итак, математическоеожидание числа появлений события водном испытании равно вероятности этогособытия.Этотрезультат будет использован ниже.

§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведенописпытаний,в которых случайная величина Xприняла т 1 раз значениех 1 ,т 2 раз значениех 2 ,…,m k раз значениеx k ,причем т 1 + т 2 +…+т к = п.Тогдасумма всех значений, принятых X,равна

х 1 т 1 +х 2 т 2 + … +х к т к .

Найдем среднееарифметическоевсех значений,принятых, случайной величиной, для чегоразделим найденную сумму на общее числоиспытаний:

=(х 1 т 1 +х 2 т 2 +… +х к т к)/п,

=х 1 (m 1 /n)+х 2 (m 2 / n)+ … +х к (т к /п).(*)

Заметив, чтоотношение m 1 /n— относительная частота W 1 значениях 1 ,m 2 /n— относительнаячастота W 2 значения х 2 и т. д., запишемсоотношение (*) так:

=х 1 W 1 +x 2 W 2 + ... + х к W k .(**)

Допустим, что числоиспытаний достаточно велико. Тогдаотносительная частота приближенноравна вероятности появления события(это будет доказано в гл. IX,§ 6):

W 1 p 1 ,W 2 p 2 ,…,W k p k .

Заменив в соотношении(**) относительные частоты соответствующимивероятностями, получим

x 1 p 1 +х 2 р 2 + … +х к р к .

Правая часть этогоприближенного равенства есть М(X).Итак,

М(X).

Вероятностныйсмысл полученного результата таков:математическоеожидание приближенно равно(темточнее, чем больше число испытаний)среднемуарифметическому наблюдаемых значенийслучайной величины.

Замечание 1. Легкосообразить, что математическое ожиданиебольше наименьшего и меньше наибольшеговозможных значений. Другими словами,на числовой оси возможные значениярасположены слева и справа отматематического ожидания. В этом смыслематематическое ожидание характеризуетрасположение распределения и поэтомуего часто называют центромраспределения.

Этот терминзаимствован из механики: если массыр 1 ,р 2 ,…, р п расположеныв точках с абсциссами x 1 , х 2 ,…,х n ,причемто абсцисса центра тяжести

x c =.

Учитывая, что =M(X)иполучим М(Х)= х с .

Итак, математическоеожидание есть абсцисса центра тяжестисистемы материальных точек, абсциссыкоторых равны возможным значениямслучайной величины, а массы — ихвероятностям.

Замечание 2.Происхождение термина «математическоеожидание» связано с начальным периодомвозникновения теории вероятностей (XVI- XVIIвв.), когда область ее примененияограничивалась азартными играми. Игрокаинтересовало среднее значение ожидаемоговыигрыша, или, иными словами, математическоеожидание выигрыша.

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

Определение 7.1.Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п.(7.1)

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1.Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2.Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3.Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная(постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х — числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х — числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Х…п…р0,5(0,5) 2…(0,5) п…

+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С) = С.(7.2)

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С?1 = С.

2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х). (7.3)

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

Тогда М(СХ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п) = СМ(Х).

Определение 7.2.Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение 7.3.Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

Следовательно, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Замечание 1.Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение 7.4.Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Yявляются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М(Х+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Yпримет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность — р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,

M(X + Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М(Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М(Х)=

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Х р0,10,80,1 Y p0,50,5

Найдем М(Х) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение 7.5.Дисперсией (рассеянием)случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D(X) = M (X — M(X))². (7.6)

Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:

(1 — 2,4) 2 = 1,96; (2 — 2,4) 2 = 0,16; (3 — 2,4) 2 = 0,36. Следовательно,

Замечание 1.В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2.Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3.Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

Теорема 7.1.D(X) = M(X²) — M²(X). (7.7)

Доказательство.

Используя то, что М(Х) — постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:

D(X) = M(X — M(X))² = M(X² — 2X?M(X) + M²(X)) = M(X²) — 2M(X)?M(X) + M²(X) =

= M(X²) — 2M²(X) + M²(X) = M(X²) — M²(X), что и требовалось доказать.

Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этого раздела. М(Х) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) — 50 2 = 2500,2 — 2500 = 0,2.

М(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) — 50² = 5000 — 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0. (7.8)

Доказательство. D(C) = M((C — M(C))²) = M((C — C)²) = M(0) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X). (7.9)

Доказательство. D(CX) = M((CX — M(CX))²) = M((CX — CM(X))²) = M(C²(X — M(X))²) =

= C²D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) — (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) +

+ M(Y²) — M²(X) — 2M(X)M(Y) — M²(Y) = (M(X²) — M²(X)) + (M(Y²) — M²(Y)) = D(X) + D(Y).

Следствие 1.Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2.Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X — Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Доказательство. D(X — Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение 7.6.Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно