Doğru orantı nedir? Doğrudan ve ters orantılı bağımlılığın pratik uygulaması
Doğrudan ve ters orantılılık
Yayanın hareket süresi (saat cinsinden), s kat edilen mesafe (kilometre cinsinden) ise ve 4 km/saat hızla düzgün bir şekilde hareket ediyorsa, bu büyüklükler arasındaki ilişki s = formülü ile ifade edilebilir. 4t. Her t değeri tek bir s değerine karşılık geldiğinden, bir fonksiyonun s = 4t formülü kullanılarak tanımlandığını söyleyebiliriz. Buna doğru orantılılık denir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.
Tanım. Doğru orantılılık, k'nin sıfır olmayan bir gerçek sayı olduğu y=kx formülü kullanılarak belirtilebilen bir fonksiyondur.
Y = k x fonksiyonunun adı, y = k x formülünde büyüklük değerleri olabilen x ve y değişkenlerinin bulunmasından kaynaklanmaktadır. Ve eğer iki büyüklüğün oranı sıfırdan farklı bir sayıya eşitse, bunlara denir. doğrudan orantılı . Bizim durumumuzda = k (k≠0). Bu numara denir orantılılık katsayısı.
y = k x fonksiyonu, ilk matematik dersinde halihazırda ele alınan birçok gerçek durumun matematiksel bir modelidir. Bunlardan biri yukarıda anlatılmıştır. Başka bir örnek: Bir torba un 2 kg içeriyorsa ve bu tür torbalar x satın alındıysa, satın alınan unun tüm kütlesi (y ile gösterilir) y = 2x formülüyle temsil edilebilir, yani. Torba sayısı ile satın alınan unun toplam kütlesi arasındaki ilişki k=2 katsayısı ile doğru orantılıdır.
Okul matematik dersinde incelenen doğru orantılılığın bazı özelliklerini hatırlayalım.
1. Y = k x fonksiyonunun tanım alanı ve değerlerinin aralığı gerçek sayılar kümesidir.
2. Doğru orantı grafiği orijinden geçen düz bir çizgidir. Bu nedenle doğru orantılı bir grafik oluşturmak için, kendisine ait olan ve koordinatların orijini ile çakışmayan tek bir noktayı bulup, bu nokta ve koordinatların orijini boyunca düz bir çizgi çizmek yeterlidir.
Örneğin, y = 2x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, koordinatları (1, 2) olan bir noktaya sahip olmak ve ardından bunun üzerinden ve koordinatların kökeninden düz bir çizgi çizmek yeterlidir (Şekil 7).
3. k > 0 için, y = khx fonksiyonu tüm tanım kümesinde artar; k'de< 0 - убывает на всей области определения.
4. Eğer f fonksiyonu doğru orantılılık ise ve (x 1, y 1), (x 2, y 2), x ve y değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin çiftleri ve x 2 ≠0 ise.
Aslında, eğer f fonksiyonu doğru orantılı ise, o zaman y = khx ve sonra y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 formülüyle verilebilir. x 2 ≠0 ve k≠0 olduğundan y 2 ≠0 olur. Bu yüzden 
ve bu demek ki .
X ve y değişkenlerinin değerleri pozitif gerçek sayılar ise, doğru orantılılığın kanıtlanmış özelliği aşağıdaki gibi formüle edilebilir: x değişkeninin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında), y değişkeninin karşılık gelen değeri aynı miktarda artar (azalır).
Bu özellik yalnızca doğru orantılılığın doğasında vardır ve doğrudan orantılı büyüklüklerin dikkate alındığı sözlü problemleri çözerken kullanılabilir.
Problem 1. Bir tornacı 8 saatte 16 parça üretti. Bir torna operatörü aynı verimlilikte çalışırsa 48 parçayı kaç saatte üretir?
Çözüm. Problem şu miktarları dikkate almaktadır: tornacının çalışma süresi, yaptığı parça sayısı ve üretkenlik (yani, tornacı tarafından 1 saatte üretilen parça sayısı), son değer sabittir ve diğer ikisi üstlenir. farklı değerler. Ayrıca yapılan parça sayısı ve çalışma süresi doğru orantılı büyüklüklerdir, çünkü bunların oranı sıfıra eşit olmayan belirli bir sayıya, yani bir tornacı tarafından 1 saatte yapılan parça sayısına eşittir. üretilen parçaların sayısı y harfiyle gösterilir, çalışma süresi x'tir ve üretkenlik k'dir, o zaman şunu elde ederiz: = k veya y = khx, yani. Problemde sunulan durumun matematiksel modeli doğru orantılılıktır.
Problem iki aritmetik yöntemle çözülebilir:
1. yol: 2. yol:
1) 16:8 = 2 (çocuklar) 1) 48:16 = 3 (kez)
2) 48:2 = 24 (sa) 2) 8-3 = 24 (sa)
Problemi ilk yoldan çözerek önce k orantı katsayısını bulduk, yani 2'ye eşit, sonra y = 2x olduğunu bilerek y = 48 olması koşuluyla x'in değerini bulduk.
Sorunu ikinci şekilde çözerken doğru orantı özelliğini kullandık: Bir torna makinesinin ürettiği parça sayısı ne kadar artarsa, bunların üretim süresi de aynı miktarda artar.
Şimdi ters orantı adı verilen bir fonksiyonu ele almaya geçelim.
Eğer t yayanın hareket süresi (saat), v hızı (km/saat) ve 12 km yürüdüyse, bu büyüklükler arasındaki ilişki v∙t = 20 veya v = formülüyle ifade edilebilir.
Her t değeri (t ≠ 0) tek bir hız değerine v karşılık geldiğinden, bir fonksiyonun v = formülü kullanılarak belirtildiğini söyleyebiliriz. Buna ters orantı denir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım. Ters orantı, y = formülü kullanılarak belirlenebilen bir fonksiyondur; burada k, sıfıra eşit olmayan bir gerçek sayıdır.
Bu fonksiyonun adı şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır: y = miktarların değerleri olabilen x ve y değişkenleri vardır. Ve eğer iki miktarın çarpımı sıfırdan farklı bir sayıya eşitse, bunlara ters orantılı denir. Bizim durumumuzda xy = k(k ≠0). Bu k sayısına orantı katsayısı denir.
İşlev y = zaten ilk matematik dersinde ele alınan birçok gerçek durumun matematiksel modelidir. Ters orantı tanımından önce bunlardan bir tanesi anlatılmıştır. Başka bir örnek: 12 kg un alıp her birini l:y kg'lık kutulara koyarsanız, bu miktarlar arasındaki ilişki şu şekilde gösterilebilir: x-y formunda= 12, yani k=12 katsayısı ile ters orantılıdır.
Ters orantılılığın bilinen bazı özelliklerini hatırlayalım. okul kursu matematik.
1.Fonksiyon tanımının alanı y = ve değerlerinin aralığı x, sıfır dışındaki gerçek sayılar kümesidir.
2. Ters orantı grafiği bir hiperboldür.
3. k > 0 için hiperbolün dalları 1. ve 3. çeyrekte yer alır ve fonksiyon y = x'in tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır (Şekil 8).
Pirinç. 8 Şekil 9
K'da< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = x'in tanım alanının tamamında artmaktadır (Şekil 9).
4. f fonksiyonu ise ters orantı ve (x 1, y 1), (x 2, y 2) - x ve y değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin çiftleri.
Aslında, eğer f fonksiyonu ters orantılı ise, o zaman formülle verilebilir. y =
,ve daha sonra 
. x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0 olduğuna göre, 
X ve y değişkenlerinin değerleri pozitif gerçek sayılar ise, ters orantılılığın bu özelliği şu şekilde formüle edilebilir: x değişkeninin değerinde birkaç kez bir artış (azalış) ile, değişkenin karşılık gelen değeri y aynı miktarda azalır (artar).
Bu özellik yalnızca ters orantılılığın doğasında vardır ve ters orantılı büyüklüklerin dikkate alındığı sözlü problemleri çözerken kullanılabilir.
Problem 2. 10 km/saat hızla giden bir bisikletçi A noktasından B noktasına 20 km/saat hızla giderse geri dönüşte ne kadar zaman harcar?
Çözüm. Problem şu nicelikleri dikkate alıyor: bisikletçinin hızı, hareket süresi ve A'dan B'ye olan mesafe; son nicelik sabittir, diğer ikisi ise farklı değerler alır. Ayrıca hız ve hareket süresi ters orantılı büyüklüklerdir, çünkü bunların çarpımı belirli bir sayıya, yani kat edilen mesafeye eşittir. Bisikletçinin hareket süresi y harfiyle, hızı x ile ve AB mesafesi k ile gösterilirse, o zaman xy = k veya y = elde ederiz, yani. Problemde sunulan durumun matematiksel modeli ters orantılılıktır.
Sorunu çözmenin iki yolu vardır:
1. yol: 2. yol:
1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (kat)
2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)
Problemi ilk yoldan çözerek önce 60'a eşit olan k orantı katsayısını bulduk, sonra y = olduğunu bilerek x = 20 olmak şartıyla y'nin değerini bulduk.
Sorunu ikinci şekilde çözerken ters orantı özelliğini kullandık: Hareket hızı arttıkça, aynı mesafeyi kat etme süresi aynı oranda azalır.
Çözerken şunu unutmayın özel görevler ters orantılı veya doğrudan orantılı büyüklüklerde x ve y'ye bazı kısıtlamalar getirilir, özellikle bunlar gerçek sayılar kümesinin tamamında değil alt kümelerinde düşünülebilir.
Problem 3. Lena x kalem aldı ve Katya 2 kat daha fazla kalem aldı. Katya'nın satın aldığı kalem sayısını y ile belirtin, y'yi x ile ifade edin ve x≤5 olması koşuluyla kurulan yazışmaların bir grafiğini oluşturun. Bu yazışma bir fonksiyon mudur? Tanım alanı ve değer aralığı nedir?
Çözüm. Katya = 2 kalem aldı. Y=2x fonksiyonunu çizerken, x değişkeninin kalem sayısını gösterdiğini ve x≤5 değişkeninin yalnızca 0, 1, 2, 3, 4 değerlerini alabileceği anlamına geldiğini hesaba katmak gerekir. 5. Bu, bu fonksiyonun tanım alanı olacaktır. Bu fonksiyonun değer aralığını elde etmek için, tanım aralığındaki her x değerini 2 ile çarpmanız gerekir, yani. bu küme (0, 2, 4, 6, 8, 10) olacaktır. Dolayısıyla y = 2x fonksiyonunun tanım tanım kümesindeki (0, 1, 2, 3, 4, 5) grafiği Şekil 10'da gösterilen noktalar kümesi olacaktır. Tüm bu noktalar y = 2x düz çizgisine aittir. .
§ 129. Ön açıklamalar.
Bir kişi sürekli olarak çok çeşitli miktarlarla ilgilenir. Bir çalışan ve bir işçi belirli bir saatte işe gitmeye çalışıyor, bir yaya ise acele ediyor ünlü mekan Kısacası buharlı ısıtıcı stokçu, kazan içindeki sıcaklığın yavaş yavaş yükselmesinden endişe ediyor, işletme yöneticisi üretim maliyetini düşürmeye yönelik planlar yapıyor vb.
Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Zaman, mesafe, sıcaklık, maliyet; bunların hepsi çeşitli büyüklüklerdir. Bu kitabın birinci ve ikinci bölümlerinde özellikle yaygın olan bazı büyüklüklerle tanıştık: alan, hacim, ağırlık. Fizik ve diğer bilimleri incelerken birçok nicelikle karşılaşırız.
Bir trende seyahat ettiğinizi hayal edin. Arada sırada saatinize bakarsınız ve ne kadar süredir yolda olduğunuzu fark edersiniz. Mesela treninizin kalkmasından bu yana 2, 3, 5, 10, 15 saat geçti vs. diyorsunuz. Bu rakamlar farklı zaman dilimlerini temsil ediyor; bunlara bu miktarın (zaman) değerleri denir. Veya treninizin kat ettiği mesafeyi görmek için pencereden dışarı bakıp yol direklerini takip edersiniz. Önünüzde 110, 111, 112, 113, 114 km sayıları yanıp sönüyor. Bu sayılar trenin kalkış noktasından itibaren kat ettiği farklı mesafeleri temsil etmektedir. Bunlara, bu sefer farklı büyüklükteki değerler de denir (iki nokta arasındaki yol veya mesafe). Böylece zaman, mesafe, sıcaklık gibi tek bir nicelik, aynı sayıda niceliği üstlenebilir. Farklı anlamlar.
Bir kişinin neredeyse hiçbir zaman tek bir niceliği dikkate almadığını, onu her zaman başka niceliklerle ilişkilendirdiğini lütfen unutmayın. Aynı anda iki, üç veya daha fazla nicelikle uğraşmak zorundadır. Saat 9'da okula gitmeniz gerektiğini düşünün. Saatinize bakıyorsunuz ve 20 dakikanız olduğunu görüyorsunuz. Daha sonra tramvaya mı bineceğinize yoksa okula yürüyerek mi gideceğinize hemen karar verirsiniz. Düşündükten sonra yürümeye karar verirsin. Düşünürken bir problemi çözdüğünüze dikkat edin. Bu tür sorunları her gün çözdüğünüz için bu görev basit ve tanıdık hale geldi. İçinde birkaç miktarı hızlı bir şekilde karşılaştırdınız. Saate bakan sizdiniz, yani zamanı hesaba kattınız, sonra evinizden okula olan mesafeyi zihinsel olarak hayal ettiniz; son olarak iki niceliği karşılaştırdınız: adımınızın hızı ve tramvayın hızı ve şu sonuca vardınız: verilen zaman(20 dk.) Yürümek için zamanınız olacak. Bu basit örnekten, uygulamamızda bazı niceliklerin birbiriyle bağlantılı olduğunu, yani birbirlerine bağlı olduklarını görebilirsiniz.
On ikinci bölümde homojen niceliklerin ilişkisinden bahsedildi. Örneğin bir bölüm 12 m, diğeri 4 m ise bu bölümlerin oranı 12:4 olacaktır.
Bunun iki homojen miktarın oranı olduğunu söylemiştik. Bunu söylemenin başka bir yolu da iki sayının oranıdır bir isim.
Artık niceliklere daha aşina olduğumuza ve bir niceliğin değeri kavramını tanıttığımıza göre, oranın tanımını yeni bir şekilde ifade edebiliriz. Aslında 12 m ve 4 m'lik iki segmenti düşündüğümüzde tek bir değerden bahsediyorduk; uzunluk ve 12 m ve 4 m yalnızca iki değerdi. Farklı anlamlar Bu değer.
Bu nedenle gelecekte oranlar hakkında konuşmaya başladığımızda, bir miktarın iki değerini ele alacağız ve bir miktarın bir değerinin aynı miktardaki başka bir değere oranına, ilk değere bölünme bölümü adı verilecektir. ikinci olarak.
§ 130. Değerler doğrudan orantılıdır.
Durumu iki nicelik içeren bir problemi ele alalım: mesafe ve zaman.
Görev 1. Doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket eden bir cisim saniyede 12 cm yol alır. Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyin.
Zaman ve mesafedeki değişiklikleri takip etmek için kullanılabilecek bir tablo oluşturalım.
Tablo bize bu iki değer serisini karşılaştırma fırsatı veriyor. Buradan görüyoruz ki, birinci niceliğin (zaman) değerleri kademeli olarak 2, 3,..., 10 kat arttığında, ikinci niceliğin (mesafe) değerleri de 2, 3, ..., 10 kat artıyor, ..., 10 kere. Böylece bir büyüklüğün değeri birkaç kat arttığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda artar, bir büyüklüğün değeri birkaç kat azaldığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda azalır. aynı numara.
Şimdi bu tür iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: Madde miktarı ve maliyeti.
Görev 2. 15 m kumaşın maliyeti 120 ruble. Tabloda belirtilen diğer birkaç metre miktarı için bu kumaşın maliyetini hesaplayın.
Bu tabloyu kullanarak bir ürünün maliyetinin, miktarındaki artışa bağlı olarak nasıl yavaş yavaş arttığını takip edebiliriz. Bu problemin tamamen farklı miktarlar içermesine rağmen (ilk problemde - zaman ve mesafe ve burada - malların miktarı ve değeri), yine de bu miktarların davranışlarında büyük benzerlikler bulunabilir.
Hatta tablonun en üst satırında kumaşın metre sayısını belirten rakamlar var; her birinin altında ise ilgili mal miktarının maliyetini ifade eden bir rakam var. Bu tabloya kısa bir bakış bile hem üst hem de alt sıralardaki sayıların arttığını gösteriyor; Tablonun daha yakından incelenmesi ve bireysel sütunların karşılaştırılması sırasında, her durumda ikinci miktarın değerlerinin, birincinin değerleriyle aynı sayıda arttığı, yani; birinci nicelik diyelim 10 kat arttı, sonra ikinci niceliğin değeri de 10 kat arttı.
Tabloyu sağdan sola incelediğimizde miktarların belirtilen değerlerinin aynı oranda azalacağını göreceğiz. Bu anlamda birinci görev ile ikincisi arasında koşulsuz bir benzerlik vardır.
Birinci ve ikinci problemlerde karşılaştığımız büyüklük çiftlerine denir. doğrudan orantılı.
Dolayısıyla, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kat arttığında (azaldığında) diğerinin değeri aynı miktarda artacak (azalacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere doğru orantılı nicelikler denir. .
Bu tür niceliklerin birbirleriyle doğrudan orantılı bir ilişkiyle ilişkili olduğu da söylenir.
Doğada ve çevremizdeki yaşamda buna benzer pek çok nicelik bulunur. İşte bazı örnekler:
1. Zaman iş (gün, iki gün, üç gün vb.) ve kazanç, bu süre zarfında yevmiyeyle birlikte alındı.
2. Hacim homojen bir malzemeden yapılmış herhangi bir nesne ve ağırlık bu ürün.
§ 131. Mülkiyet doğrudandır orantılı miktarlar.
Aşağıdaki iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: çalışma zamanı ve kazanç. Günlük kazanç 20 ruble ise 2 günlük kazanç 40 ruble vb. olacaktır. Belirli sayıda günün belirli bir kazanca karşılık geleceği bir tablo oluşturmak en uygunudur.
Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de 10 farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci değerin her değeri, ikinci değerin belirli bir değerine karşılık gelir, örneğin 2 gün, 40 rubleye karşılık gelir; 5 gün 100 rubleye karşılık geliyor. Tabloda bu sayılar alt alta yazılmıştır.
İki miktarın doğru orantılı olması durumunda, değişim sürecinde her birinin diğerinin artması kadar arttığını zaten biliyoruz. Hemen bundan şu sonuç çıkıyor: Birinci miktarın herhangi iki değerinin oranını alırsak, bu, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşit olacaktır. Aslında:
Bu neden oluyor? Ancak bu değerler doğru orantılı olduğundan yani biri (zaman) 3 kat arttığında diğeri (kazanç) 3 kat arttı.
Bu nedenle şu sonuca vardık: Birinci miktarın iki değerini alıp bunları birbirine bölersek ve ardından ikinci miktarın karşılık gelen değerlerini bire bölersek, o zaman her iki durumda da şunu elde ederiz: aynı sayı, yani aynı ilişki. Bu, yukarıda yazdığımız iki ilişkinin eşittir işaretiyle bağlanabileceği anlamına gelir;
Hiç şüphe yok ki, eğer bu ilişkileri değil de diğerlerini, bu sırayla değil, tam tersi sırayla alırsak, ilişkilerde eşitliği de elde ederiz. Aslında miktarlarımızın değerlerini soldan sağa doğru ele alıp üçüncü ve dokuzuncu değerleri alacağız:
60:180 = 1 / 3 .
Yani şunu yazabiliriz:
Bu, şu sonuca varır: eğer iki miktar doğrudan orantılıysa, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
§ 132. Doğru orantılılık formülü.
Maliyet tablosu oluşturalım çeşitli miktarlar tatlılar, eğer 1 kg'ın maliyeti 10,4 ruble ise.
Şimdi bunu şu şekilde yapalım. İkinci satırdaki herhangi bir sayıyı alın ve onu ilk satırdaki karşılık gelen sayıya bölün. Örneğin:
Bölümde her zaman aynı sayının elde edildiğini görüyorsunuz. Sonuç olarak, belirli bir doğrudan orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değerine bölünmesi oranı sabit bir sayıdır (yani değişmez). Örneğimizde bu bölüm 10,4'tür. Bu sabit sayıya orantı faktörü denir. İÇİNDE bu durumda bir ölçü biriminin, yani bir kilogram malın fiyatını ifade eder.
Orantılılık katsayısı nasıl bulunur veya hesaplanır? Bunu yapmak için, bir miktarın herhangi bir değerini alıp diğerinin karşılık gelen değerine bölmeniz gerekir.
Bir miktarın bu keyfi değerini harfle gösterelim. en ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri - harf X , sonra orantılılık katsayısı (bunu belirtiyoruz) İLE) bölme işlemine göre buluruz:
Bu eşitlikte en - bölünebilir, X - bölen ve İLE- bölüm ve bölme özelliği gereği, temettü, bölenin bölümle çarpımına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:
y = k X
Ortaya çıkan eşitliğe denir Doğru orantılılık formülü. Bu formülü kullanarak, diğer niceliğin karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısını biliyorsak, doğru orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıdaki değerini hesaplayabiliriz.
Örnek. Fizikten ağırlığı biliyoruz R herhangi bir cismin özgül ağırlığına eşittir D bu cismin hacmiyle çarpılır V yani R = D V.
Farklı hacimlerde beş demir çubuk alalım; bilmek spesifik yer çekimi demir (7.8), bu boşlukların ağırlıklarını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
R = 7,8 V.
Bu formülün formülle karşılaştırılması en = İLE X , bunu görüyoruz y = R, x = V ve orantılılık katsayısı İLE= 7,8. Formül aynı sadece harfler farklı.
Bu formülü kullanarak bir tablo yapalım: 1. boşluğun hacmi 8 metreküp olsun. cm ise ağırlığı 7,8 8 = 62,4 (g) olur. 2. boşluğun hacmi 27 metreküptür. cm Ağırlığı 7,8 27 = 210,6 (g). Tablo şöyle görünecek:
Formülü kullanarak bu tabloda eksik olan sayıları hesaplayın R= D V.
§ 133. Doğrudan orantılı büyüklüklerle problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta, durumu doğru orantılı büyüklükler içeren bir problemi çözdük. Bu amaçla öncelikle doğru orantı formülünü türettik ve daha sonra bu formülü uyguladık. Şimdi benzer sorunları çözmenin iki yolunu daha göstereceğiz.
Bir önceki paragrafta tabloda verilen sayısal verileri kullanarak bir problem oluşturalım.
Görev. 8 metreküp hacimli boş. cm ağırlığı 62,4 gr. Hacmi 64 metreküp olan bir boşluğun ağırlığı ne kadardır? santimetre?
Çözüm. Bilindiği gibi demirin ağırlığı hacmiyle orantılıdır. 8 cu ise. cm ağırlığı 62,4 g, ardından 1 cu. cm 8 kat daha az ağırlığa sahip olacak, yani.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 metreküp hacimli boş. cm, 1 metreküp boşluktan 64 kat daha ağır olacaktır. cm, yani
7,864 = 499,2(g).
Sorunumuzu birliğe indirgeyerek çözdük. Bu ismin anlamı, ilk soruda bunu çözmek için hacim biriminin ağırlığını bulmamız gerektiği gerçeğiyle doğrulanmaktadır.
2. Orantı yöntemi. Aynı problemi orantı yöntemini kullanarak çözelim.
Demirin ağırlığı ve hacmi doğru orantılı miktarlar olduğundan, bir miktarın (hacim) iki değerinin oranı, başka bir miktarın (ağırlık) karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir, yani.
(mektup R ham parçanın bilinmeyen ağırlığını belirledik). Buradan:
(G).
Problem orantı yöntemi kullanılarak çözüldü. Bu, sorunu çözmek için koşulda yer alan sayılardan bir oran derlendiği anlamına gelir.
§ 134. Değerler ters orantılıdır.
Şu problemi düşünün: “Beş mason toplayabilir. Tuğla duvar 168 gün içinde evde. 10, 8, 6 vb. duvar ustalarının aynı işi kaç günde tamamlayabileceklerini belirleyin.”
Bir evin duvarlarını 5 duvarcı 168 günde örerse, o zaman (aynı emek verimliliğiyle) 10 duvarcı bunu yarı sürede yapabilir, çünkü ortalama 10 kişi 5 kişiden iki kat daha fazla iş yapar.
İşçi sayısı ve çalışma saatlerindeki değişiklikleri takip edebileceğimiz bir tablo çizelim.
Örneğin 6 işçinin kaç gün sürdüğünü bulmak için önce bir işçinin kaç gün sürdüğünü (168 5 = 840), daha sonra 6 işçinin kaç gün sürdüğünü (840: 6 = 140) hesaplamanız gerekir. Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de altı farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci büyüklüğün her değeri belirli bir değere karşılık gelir; ikinci değerin değeri, örneğin 10, 84'e karşılık gelir, 8 sayısı, 105 sayısına karşılık gelir, vb.
Her iki büyüklüğün değerlerini soldan sağa doğru düşünürsek üst miktarın değerlerinin arttığını, alt miktarın değerlerinin ise azaldığını görürüz. Artış ve azalışlar şu kanuna tabidir: Harcanan çalışma süresinin değerleri azaldıkça, işçi sayısı değerleri de aynı oranda artar. Bu fikir daha da basit bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: İşçiler herhangi bir göreve ne kadar çok bağlanırsa, belirli bir işi tamamlamak için o kadar az zamana ihtiyaç duyarlar. Bu problemde karşılaştığımız iki niceliğe denir ters orantı.
Dolayısıyla iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kat artarken (azalırken), diğerinin değeri aynı miktarda azalacak (artacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere ters orantılı nicelikler denir. .
Hayatta buna benzer pek çok nicelik vardır. Örnekler verelim.
1. 150 ruble için ise. Birkaç kilogram şeker almanız gerekiyorsa, şeker miktarı bir kilogramın fiyatına bağlı olacaktır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, bu parayla o kadar az mal satın alabilirsiniz; bu tablodan görülebilir:
Şekerin fiyatı birkaç kat arttıkça 150 rubleye alınabilecek kilogram şeker sayısı da aynı oranda azalıyor. Bu durumda iki miktar (ürünün ağırlığı ve fiyatı) ters orantılıdır.
2. İki şehir arası mesafe 1.200 km ise hareket hızına bağlı olarak farklı sürelerde katedilebilir. Var olmak Farklı yollar ulaşım: yürüyerek, at sırtında, bisikletle, tekneyle, arabayla, trenle, uçakla. Hız ne kadar düşük olursa, hareket etmek o kadar fazla zaman alır. Bu tablodan görülebilir:
Hızın birkaç kez artmasıyla seyahat süresi aynı miktarda azalır. Bu, bu koşullar altında hız ve zamanın ters orantılı büyüklükler olduğu anlamına gelir.
§ 135. Ters orantılı büyüklüklerin özelliği.
Önceki paragrafta incelediğimiz ikinci örneği ele alalım. Orada iki nicelikle ilgilendik; hız ve zaman. Bu büyüklüklerin değer tablosuna soldan sağa bakarsak, birinci büyüklüğün (hız) değerlerinin arttığını, ikinci (zaman) değerlerinin azaldığını ve Zaman azaldıkça hız aynı oranda artar. Bir miktarın bazı değerlerinin oranını yazarsanız, bunun başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olmayacağını anlamak zor değildir. Hatta üst değerin dördüncü değerinin yedinci değere oranını (40:80) alırsak bu durumda alt değerin dördüncü ve yedinci değerlerinin oranına (30:80) eşit olmayacaktır. 15). Bu şekilde yazılabilir:
40:80, 30:15'e veya 40:80 =/=30:15'e eşit değildir.
Ancak bu ilişkilerden biri yerine tam tersini alırsak eşitlik elde ederiz, yani bu ilişkilerden bir orantı oluşturmak mümkün olacaktır. Örneğin:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Yukarıdakilere dayanarak, şu sonuca varabiliriz: eğer iki miktar ters orantılıysa, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.
§ 136. Ters orantılılık formülü.
Problemi düşünün: “6 parça ipek kumaş var farklı boyutlar Ve farklı çeşitler. Tüm parçaların maliyeti aynıdır. Tek parça 20 ruble fiyatında 100 m kumaş içerir. Metre başına Bu parçalardaki kumaşın bir metresi sırasıyla 25, 40, 50, 80, 100 rubleye mal oluyorsa diğer beş parçanın her birinde kaç metre vardır?” Bu sorunu çözmek için bir tablo oluşturalım:
Bu tablonun üst satırındaki boş hücreleri doldurmamız gerekiyor. Öncelikle ikinci parçada kaç metre olduğunu belirlemeye çalışalım. Bu şöyle yapılabilir. Sorunun koşullarından tüm parçaların maliyetinin aynı olduğu bilinmektedir. İlk parçanın maliyetini belirlemek kolaydır: 100 metre içerir ve her metrenin maliyeti 20 rubledir, bu da ilk ipek parçasının 2.000 ruble değerinde olduğu anlamına gelir. İkinci ipek parçası aynı miktarda ruble içerdiğinden, 2.000 rubleyi bölüyoruz. bir metre yani 25 fiyatına ikinci parçanın ölçüsünü buluyoruz: 2.000: 25 = 80 (m). Aynı şekilde diğer tüm parçaların boyutunu da bulacağız. Tablo şöyle görünecek:
Metre sayısı ile fiyat arasında ters orantılı bir ilişkinin olduğunu görmek kolaydır.
Gerekli hesaplamaları kendiniz yaparsanız, her seferinde 2.000 sayısını 1 m fiyatına bölmeniz gerektiğini fark edeceksiniz. Tam tersine, parçanın metre cinsinden boyutunu 1 m fiyatıyla çarpmaya başlarsanız. Her zaman 2.000 sayısını alacaksınız ve her parça 2.000 rubleye mal olduğu için beklemek gerekiyordu.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: belirli bir ters orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değeriyle çarpımı sabit bir sayıdır (yani değişmez).
Bizim problemimizde bu çarpım 2.000'e eşit. Hareket hızından ve bir şehirden diğerine gitmek için gereken zamandan bahseden önceki problemde, o problem için de sabit bir sayının (1.200) olduğunu kontrol edin.
Her şeyi hesaba katarak ters orantı formülünü elde etmek kolaydır. Bir miktarın belirli bir değerini harfle gösterelim X ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri harfle temsil edilir en . Daha sonra yukarıdakilere dayanarak çalışma X Açık en harfiyle gösterdiğimiz sabit bir değere eşit olmalıdır İLE, yani
xy = İLE.
Bu eşitlikte X - çarpma en - çarpan ve k- iş. Çarpma özelliğine göre çarpan, çarpımın çarpıma bölünmesine eşittir. Araç,
Bu ters orantı formülüdür. Bunu kullanarak, diğerinin değerlerini ve sabit sayıyı bilerek, ters orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıda değerini hesaplayabiliriz. İLE.
Başka bir sorunu ele alalım: “Bir makalenin yazarı, kitabı normal formatta ise 96 sayfa olacağını, cep formatı ise 300 sayfa olacağını hesapladı. Denedi farklı varyantlar 96 sayfayla başladı ve daha sonra sayfa başına 2.500 mektup yazdı. Daha sonra aşağıdaki tabloda gösterilen sayfa numaralarını aldı ve sayfada kaç harf olacağını tekrar hesapladı.”
Kitabın 100 sayfa olması durumunda sayfada kaç harf olacağını hesaplamaya çalışalım.
2.500 96 = 240.000 olduğundan kitabın tamamında 240.000 harf vardır.
Bunu dikkate alarak ters orantı formülünü kullanıyoruz ( en - sayfadaki harf sayısı, X - sayfa sayısı):
Örneğimizde İLE= 240.000 dolayısıyla
Yani sayfada 2.400 harf var.
Benzer şekilde, bir kitabın 120 sayfa olması durumunda sayfadaki harf sayısının şöyle olacağını öğreniyoruz:
Masamız şöyle görünecek:
Kalan hücreleri kendiniz doldurun.
§ 137. Ters orantılı büyüklüklerle ilgili problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta koşulları ters orantılı büyüklükler içeren problemleri çözdük. Önce ters orantı formülünü çıkardık, sonra bu formülü uyguladık. Şimdi bu tür problemler için iki çözüm daha göstereceğiz.
1. Birliğe indirgeme yöntemi.
Görev. 5 tornacı bir işi 16 günde yapabiliyor. Bu işi 8 işçi kaç günde tamamlayabilir?
Çözüm. Tornacı sayısı ile çalışma saatleri arasında ters bir ilişki vardır. Eğer 5 tornacı bir işi 16 günde yaparsa, bir kişinin bunun için 5 kat daha fazla zamana ihtiyacı olacaktır, yani.
5 tornacı işi 16 günde tamamlıyor,
1 tornacı bu işi 16 5 = 80 günde tamamlar.
Problemde 8 tornanın işi kaç günde tamamlayacağı sorulmaktadır. Açıkçası, 1 turner'dan 8 kat daha hızlı işle başa çıkacaklar, yani.
80: 8 = 10 (gün).
Sorunun birliğe indirgenerek çözümü budur. Burada öncelikle bir işçinin işi tamamlaması için gereken süreyi belirlemek gerekiyordu.
2. Orantı yöntemi. Aynı sorunu ikinci şekilde çözelim.
İşçi sayısı ile çalışma süresi arasında ters orantılı bir ilişki olduğu için şöyle yazabiliriz: 5 tornacının çalışma süresi yeni tornacı sayısı (8) 8 tornacının çalışma süresi önceki tornacı sayısı (5) mektupla gerekli çalışma süresi X ve onu kelimelerle ifade edilen orana koyun, gerekli sayılar:
Aynı problem oranlar yöntemiyle de çözülür. Bunu çözmek için problem tanımında yer alan sayılardan bir orantı oluşturmamız gerekiyordu.
Not.Önceki paragraflarda doğrudan ve ters orantı konusunu inceledik. Doğa ve yaşam bize doğrudan ve tersine birçok örnek verir. orantılı bağımlılık miktarları Ancak bu iki bağımlılık türünün yalnızca en basiti olduğunu belirtmek gerekir. Bunların yanı sıra nicelikler arasında daha karmaşık başka bağımlılıklar da vardır. Ayrıca herhangi iki nicelik aynı anda artıyorsa aralarında mutlaka doğru bir orantı olduğu düşünülmemelidir. Doğrudan çok uzak. Örneğin geçiş ücretleri demiryolu mesafeye bağlı olarak artar: ne kadar uzağa gidersek o kadar fazla öderiz ancak bu, ödemenin mesafeyle orantılı olduğu anlamına gelmez.
I. Doğru orantılı büyüklükler.
Değere izin ver sen boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda artarsa bu değerler X Ve en doğru orantılı denir.
Örnekler.
1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma fiyatı (bir birim mal için sabit fiyatla - 1 adet veya 1 kg vb.) Ne kadar çok mal alındıysa o kadar çok para ödendi.
2 . Kat edilen mesafe ve bu yolda harcanan süre (sabit hızda). Yol kaç kat daha uzun, kaç kat daha fazla zaman alacak.
3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır)
II. Büyüklüklerin doğru orantılılık özelliği.
İki miktar doğrudan orantılı ise, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
Görev 1. Ahududu reçeli için aldık 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Eğer alırsan ne kadar şekere ihtiyacın olacak? 9 kg Ahududu?
Çözüm.
Şöyle mantık yürütüyoruz: gerekli olsun x kg için şeker 9 kg Ahududu Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılı miktarlardır: ahududu kaç kat daha azsa, aynı sayıda daha az şekere ihtiyaç vardır. Bu nedenle alınan ahududu oranı (ağırlıkça) ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı elde ediyoruz:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Cevap: Açık 9 kg ahududu alınması gerekiyor 6 kg Sahra.
Sorunun çözümü Bu şu şekilde yapılabilir:
Sezdirmek 9 kg ahududu alınması gerekiyor x kg Sahra.
(Şekilde oklar tek yöne yönelik olup yukarı aşağı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katıdır 12 daha fazla sayı 9 , aynı sayıda 8 daha fazla sayı X yani burada doğrudan bir ilişki var).
Cevap: Açık 9 kg Biraz ahududu almam lazım 6 kg Sahra.
Görev 2. Araba için 3 saat mesafe kat etti 264 km. Seyahat etmesi ne kadar sürer? 440 kilometre, aynı hızda sürerse?
Çözüm.
izin ver x saat araba mesafeyi kat edecek 440 km.
Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.
Bugün hangi niceliklere ters orantı denildiğine, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl faydalı olabileceğine bakacağız.
Böyle farklı oranlar
Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.
Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler doğrudan ve ters orantılılıkla açıklanmaktadır.
Doğrudan orantılılık– Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalışın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.
Örneğin, sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağırlaşır. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan çaba, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.
Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu (buna argüman denir) fonksiyonel bir bağımlılıktır. işlev).
örnekleyelim basit örnek. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.
Fonksiyon ve grafiği
Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.
Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
- Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
- Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
- Düzenli olmayan.
- Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
- Sıfırları yoktur.
- Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argüman arttıkça ( k> 0) negatif değerler fonksiyonlar (-∞; 0) aralığındadır ve pozitif olanlar (0; +∞)'tır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
Ters orantı problemleri
Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.
Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine ulaşması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?
Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.
Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V2'yi bulalım: V2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.
Gördüğünüz gibi yolculuk süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızın 2 katı daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.
Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı oluşturalım:
↓ 60 km/saat – 6 saat
↓120 km/saat – xsaat
Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?
Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?
Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:
↓ 6 işçi – 4 saat
↓ 3 işçi – x h
Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz. Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.
Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?
Başlangıç olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolum hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.
Bu durum, havuzun ikinci borudan daha yavaş dolduğunu ima ettiğinden su akış hızının daha düşük olduğu anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:
↓ 120 l/dak – 45 dak
↓ x l/dak – 75 dak
Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.
Problemde havuzun doluluk oranı litre/saniye cinsinden ifade ediliyor; aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.
Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında çalışarak tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?
Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:
↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat
↓ 48 kartvizit/saat – x saat
Ters orantılı bir ilişkimiz var: Bir matbaa çalışanının saatte ne kadar çok kartvizit bastığı, aynı işi tamamlamak için aynı sayıda daha az zamana ihtiyaç duyacağı. Bunu bilerek bir orantı kuralım:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.
Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.
Çözüm
Bize öyle geliyor ki bu ters orantı problemleri aslında çok basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, miktarların ters orantılı bağımlılığı hakkındaki bilginin sizin için gerçekten birden fazla kez yararlı olabileceğidir.
Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.
Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Bu makaleyi paylaşmayı unutmayın sosyal ağlarda böylece arkadaşlarınız ve sınıf arkadaşlarınız da oynayabilir.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Örnek
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 vb.Orantılılık faktörü
Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.
Doğrudan orantılılık
Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.
Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:
F(X) = AX,A = CÖNST
Ters orantılılık
Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.
Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:
Fonksiyon özellikleri:
Kaynaklar
Wikimedia Vakfı. 2010.