Doğrudan orantılı bağımlılık ne anlama geliyor? Ders "Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler"

İki miktara denir doğrudan orantılı Biri birkaç kat arttığında diğeri de aynı oranda artıyorsa. Buna göre biri birkaç kat azaldığında diğeri de aynı miktarda azalır.

Bu miktarlar arasındaki ilişki doğrudan orantılı bir ilişkidir. Doğrudan orantılı bağımlılık örnekleri:

1) sabit bir hızda kat edilen mesafe zamanla doğru orantılıdır;

2) karenin çevresi ve kenarı düzdür orantılı miktarlar;

3) Tek fiyattan satın alınan bir ürünün maliyeti, miktarıyla doğru orantılıdır.

Doğru orantılı bir ilişkiyi ters olandan ayırmak için şu atasözünü kullanabilirsiniz: "Ormana ne kadar uzaksa, o kadar yakacak odun olur."

Orantıları kullanarak doğrudan orantılı büyüklükleri içeren problemleri çözmek uygundur.

1) 10 parça yapmak için 3,5 kg metale ihtiyacınız vardır. Bu tür 12 parçanın yapımına ne kadar metal harcanacak?

(Şöyle mantık yürütüyoruz:

1. Dolu sütuna şu yönde bir ok yerleştirin: Daha daha az.

2. Ne kadar çok parça olursa, bunları yapmak için o kadar çok metal gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.

12 parça yapmak için x kg metale ihtiyaç duyulduğunu varsayalım. Oranı oluşturuyoruz (okun başından sonuna kadar):

12:10=x:3,5

Bulmak için uç terimlerin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir:

Bu, 4,2 kg metalin gerekli olacağı anlamına gelir.

Cevap: 4,2 kg.

2) 15 metre kumaş için 1680 ruble ödediler. Bu kumaşın 12 metre fiyatı ne kadar?

(1. Dolu sütuna en büyük sayıdan en küçüğüne doğru bir ok yerleştirin.

2. Ne kadar az kumaş satın alırsanız, o kadar az ödemeniz gerekir. Bu, bunun doğrudan orantılı bir ilişki olduğu anlamına gelir.

3. Bu nedenle ikinci ok birinciyle aynı yöndedir).

X rublenin 12 metre kumaşa mal olduğunu varsayalım. Orantı yapıyoruz (okun başından sonuna kadar):

15:12=1680:x

Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için orta terimlerin çarpımını oranın bilinen ekstrem terimine bölün:

Bu, 12 metrenin 1344 rubleye mal olduğu anlamına gelir.

Cevap: 1344 ruble.

Örnek

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 vb.

Orantılılık faktörü

Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantı katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.

Doğrudan orantılılık

Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.

Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:

F(X) = AX,A = CÖNST

Ters orantılılık

Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.

Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:

Fonksiyon özellikleri:

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı. 2010.

• Newton'un ikinci yasası
• Coulomb bariyeri

Diğer sözlüklerde “Doğrudan orantısallığın” ne olduğuna bakın:

doğru orantılılık- - [A.S. İngilizce-Rusça enerji sözlüğü. 2006] Genel olarak enerji konuları EN doğrudan oran... Teknik Çevirmen Kılavuzu

doğru orantılılık-tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. doğrudan orantılılık vok. doğrudan Orantılılık, f rus. doğru orantılılık, f pranc. orantılı direkte, f … Fizikos terminų žodynas

ORANTILILIK- (Latince orantısal, orantılı, orantılı). Orantılılık. Rus dilinde yer alan yabancı kelimeler sözlüğü. Chudinov A.N., 1910. ORANTILILIK lat. orantılı, orantılı. Orantılılık. Açıklama 25000... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

ORANTILILIK- ORANTILILIK, orantılılık, çoğul. hayır, kadın (kitap). 1. özet isim orantılıdır. Parçaların orantılılığı. Vücut orantılılığı. 2. Orantılı olduklarında miktarlar arasında böyle bir ilişki (bkz. Orantılı ... Sözlük Uşakova

Orantılılık- Değerlerinin oranı değişmeden kalırsa, karşılıklı olarak bağımlı iki miktara orantılı denir. 1 Örnek 2 Orantılılık katsayısı ... Vikipedi.

ORANTILILIK- ORANTILILIK ve kadın. 1. bkz. orantılı. 2. Matematikte: Birindeki artışın diğerinde aynı miktarda bir değişikliğe yol açtığı nicelikler arasındaki böyle bir ilişki. Düz çizgi (bir değerde artışla kesim ile... ... Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

orantılılık- Ve; Ve. 1. Orantılıya (1 haneli); orantılılık. P. parçalar. P. fiziği. P. parlamentoda temsil. 2. Matematik. Orantılı olarak değişen büyüklükler arasındaki bağımlılık. Orantılılık faktörü. Doğrudan hat (içinde... ... ansiklopedik sözlük

Bugün hangi niceliklere ters orantı denildiğine, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.

Böyle farklı oranlar

Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.

Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler doğrudan ve ters orantılılıkla açıklanmaktadır.

Doğrudan orantılılık– Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalışın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.

Örneğin sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağır olur. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan çaba, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.

Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde (buna argüman denir) orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu işlevsel bir bağımlılıktır. işlev).

örnekleyelim basit örnek. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.

Fonksiyon ve grafiği

Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.

Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
3. Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
4. Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
5. Düzenli olmayan.
6. Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
7. Sıfırları yoktur.
8. Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Argüman arttıkça ( k> 0) negatif değerler fonksiyonlar (-∞; 0) aralığındadır ve pozitif olanlar (0; +∞)'tır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Ters orantı problemleri

Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.

Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine ulaşması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?

Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.

Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V2'yi bulalım: V2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.

Gördüğünüz gibi seyahat süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızın 2 katı daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.

Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı oluşturalım:

↓ 60 km/saat – 6 saat

↓120 km/saat – xsaat

Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?

Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?

Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:

↓ 6 işçi – 4 saat

↓ 3 işçi – x h

Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz. Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.

Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?

Başlangıç ​​olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolma hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.

Bu durum, havuzun ikinci borudan daha yavaş dolduğunu ima ettiğinden su akış hızının daha düşük olduğu anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:

↓ 120 l/dak – 45 dak

↓ x l/dak – 75 dak

Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.

Problemde havuzun dolum hızı saniyede litre cinsinden ifade ediliyor, aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.

Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında çalışarak tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?

Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:

↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat

↓ 48 kartvizit/saat – x saat

Ters orantılı bir ilişkimiz var: Bir matbaa çalışanının saatte kaç kat daha fazla kartvizit bastığı, aynı işi tamamlamak için aynı sayıda daha az zamana ihtiyaç duyacağı. Bunu bilerek bir orantı kuralım:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.

Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.

Çözüm

Bize öyle geliyor ki bu görevler ters orantı gerçekten basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, miktarların ters orantılı bağımlılığı hakkındaki bilginin sizin için gerçekten birden fazla kez yararlı olabileceğidir.

Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.

Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Bu makaleyi paylaşmayı unutmayın sosyal ağlarda böylece arkadaşlarınız ve sınıf arkadaşlarınız da oynayabilir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Tamamlayan: Chepkasov Rodion

6. sınıf öğrencisi

MBOU "53 Nolu Ortaokul"

Barnaul

Başkan: Bulykina O.G.

matematik öğretmeni

MBOU "53 Nolu Ortaokul"

Barnaul

Giriiş. 1

İlişkiler ve oranlar. 3

Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler. 4

Doğrudan ve ters orantı uygulamaları 6

çeşitli problemleri çözerken bağımlılıklar.

Çözüm. on bir

Edebiyat. 12

Giriiş.

Oran kelimesi Latince oran kelimesinden gelir ve genel olarak orantılılık, parçaların hizalanması (parçaların birbirine belirli bir oranı) anlamına gelir. Eski zamanlarda oranlar doktrini Pisagorcular tarafından büyük saygı görüyordu. Doğadaki düzen ve güzellik, müzikteki ünsüz akorlar ve evrendeki uyum hakkındaki düşünceleri orantılarla ilişkilendirdiler. Bazı orantı türlerine müzikal veya armonik adını verdiler.

İnsanoğlu çok eski çağlarda bile doğadaki tüm olayların birbiriyle bağlantılı olduğunu, her şeyin sürekli hareket halinde olduğunu, değiştiğini, sayılarla ifade edildiğinde şaşırtıcı desenler ortaya çıkardığını keşfetmiştir.

Pisagorcular ve onların takipçileri dünyadaki her şey için sayısal bir ifade aradılar. Keşfettiler; müziğin temelinde matematiksel oranların (tel uzunluğunun perdeye oranı, aralıklar arasındaki ilişki, armonik ses veren akorlardaki seslerin oranı) yattığı. Pisagorcular dünyanın birliği fikrini matematiksel olarak doğrulamaya çalıştılar ve evrenin temelinin simetrik geometrik şekiller olduğunu savundular. Pisagorcular güzellik için matematiksel bir temel aradılar.

Pisagorcuları takip eden ortaçağ bilim adamı Augustine, güzelliği "sayısal eşitlik" olarak adlandırdı. Skolastik filozof Bonaventure şunu yazdı: "Orantılılık olmadan güzellik ve zevk yoktur ve orantılılık öncelikle sayılarda vardır. Her şeyin sayılabilir olması gerekir." Leonardo da Vinci, resim üzerine yazdığı incelemesinde sanatta orantı kullanımı hakkında şunları yazmıştı: "Ressam, bilim adamının sayısal yasa biçiminde bildiği, doğada gizli olan aynı kalıpları orantı biçiminde somutlaştırır."

Oranlar hem antik çağda hem de Orta Çağ'da çeşitli sorunların çözümünde kullanılmıştır. Belirli türler oranlar kullanılarak problemler artık kolay ve hızlı bir şekilde çözülüyor. Oranlar ve orantı sadece matematikte değil aynı zamanda mimaride ve sanatta da kullanılmıştır ve kullanılmaktadır. Mimarlıkta ve sanatta orantı, boyutlar arasında belirli ilişkilerin sürdürülmesi anlamına gelir farklı parçalar bina, figür, heykel veya diğer sanat eserleri. Bu gibi durumlarda orantılılık, doğru ve güzel yapım ve tasvirin şartıdır.

Çalışmamda doğrudan ve ters orantısal ilişkilerin kullanımını dikkate almaya çalıştım. Çeşitli bölgelerçevreleyen yaşam, akademik konularla bağlantıları görevler aracılığıyla takip edin.

İlişkiler ve oranlar.

İki sayının bölümüne denir davranış bunlar sayılar.

Tutum gösterileri, ilk sayının ikinciden kaç kat büyük olduğu veya ilk sayının ikincinin ne kadarı olduğu.

Görev.

Mağazaya 2,4 ton armut ve 3,6 ton elma getirildi. Getirilen meyvelerin yüzde kaçı armuttur?

Çözüm . Bakalım ne kadar meyve getirmişler: 2,4+3,6=6(t). Getirilen meyvelerin ne kadarının armut olduğunu bulmak için oranı 2.4:6= yaparız. Cevap ayrıca forma da yazılabilir. ondalık veya yüzde olarak: = 0,4 = %40.

Karşılıklı ters isminde sayılar, çarpımları 1'e eşit olan. Bu nedenle ilişkiye ilişkinin tersi denir.

İki eşit oranı düşünün: 4,5:3 ve 6:4. Aralarına eşittir işareti koyup oranı bulalım: 4.5:3=6:4.

Oran iki ilişkinin eşitliğidir: a : b =c :d veya = a ve d nerede aşırı orantı koşulları, c ve b – ortalama üyeler(orantının tüm koşulları sıfırdan farklıdır).

Oranın temel özelliği:

doğru oranda aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir.

Çarpmanın değişme özelliğini uygulayarak, doğru oranda, uçtaki terimlerin veya ortadaki terimlerin konumlarını değiştirmenin mümkün olduğunu bulduk. Ortaya çıkan oranlar da doğru olacaktır.

Oranın temel özelliğini kullanarak, diğer tüm terimler biliniyorsa bilinmeyen terimini bulabilirsiniz.

Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için ortalama terimleri çarpmanız ve bilinen ekstrem terime bölmeniz gerekir. x : b = c : d , x =

Bir oranın bilinmeyen orta terimini bulmak için uçtaki terimleri çarpmanız ve bilinen orta terime bölmeniz gerekir. a : b =x : d , x = .

Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler.

İki farklı miktarın değerleri karşılıklı olarak birbirine bağlı olabilir. Yani, karenin alanı kenarının uzunluğuna bağlıdır ve bunun tersi de geçerlidir - karenin kenarının uzunluğu alanına bağlıdır.

Artan oranlarda iki çokluğa orantılı denir

biri birkaç kez (azalır), diğeri aynı sayıda artar (azalır).

İki miktar doğru orantılıysa, bu miktarların karşılık gelen değerlerinin oranları eşittir.

Örnek doğrudan orantılı bağımlılık .

Bir benzin istasyonunda 2 litre benzin 1,6 kg ağırlığındadır. Ne kadar ağır olacaklar 5 litre benzin mi?

Çözüm:

Gazyağının ağırlığı hacmiyle orantılıdır.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Cevap: 4 kg.

Burada ağırlık/hacim oranı değişmeden kalır.

İki nicelikten biri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğeri aynı miktarda azalıyorsa (artıyorsa) ters orantılı olarak adlandırılır.

Miktarlar ters orantılı ise, o zaman bir miktarın değerlerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.

P örnekters orantılı ilişki.

İki dikdörtgen aynı alana sahiptir. Birinci dikdörtgenin uzunluğu 3,6 m, genişliği 2,4 m'dir. İkinci dikdörtgenin uzunluğu 4,8 m'dir.

Çözüm:

1 dikdörtgen 3,6 m 2,4 m

2 dikdörtgen 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8m 2,4m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Cevap: 1,8 m.

Gördüğünüz gibi orantısal büyüklüklerle ilgili problemler orantı kullanılarak çözülebilir.

Her iki nicelik doğru orantılı ya da ters orantılı değildir. Örneğin bir çocuğun yaşı arttıkça boyu da artar ancak bu değerler orantılı değildir çünkü yaş iki katına çıktığında çocuğun boyu iki katına çıkmaz.

Pratik kullanım doğrudan ve ters orantılı bağımlılık.

Görev No.1

İÇİNDE okul kütüphanesi 210 matematik ders kitabı, tüm kütüphane koleksiyonunun %15'ini oluşturur. Kütüphane koleksiyonunda kaç kitap var?

Çözüm:

Toplam ders kitabı - ? - 100%

Matematikçiler - 210 -15%

%15 210 akademik.

X = 100* 210 = 1400 ders kitabı

%100 x eh. 15

Cevap: 1400 ders kitabı.

Sorun No. 2

Bir bisikletçi 3 saatte 75 km yol kat etmektedir. Bir bisikletçi aynı hızla 125 km yol kat etmek ne kadar sürer?

Çözüm:

3 saat – 75 km

Y – 125 km

Zaman ve mesafe doğru orantılı büyüklüklerdir, dolayısıyla

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Cevap: 5 saat içinde.

Görev No.3

8 adet aynı boru bir havuzu 25 dakikada dolduruyor. Bir havuzu bu tür 10 boruyla doldurmak kaç dakika sürer?

Çözüm:

8 boru – 25 dakika

10 boru - ? dakika

Boru sayısı zamanla ters orantılı olduğundan

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Cevap: 20 dakika içinde.

Sorun No. 4

8 kişilik bir ekip bu işi 15 günde tamamlıyor. Kaç işçi aynı verimlilikte çalışarak görevi 10 günde tamamlayabilir?

Çözüm:

8 iş günü – 15 gün

İşçiler - 10 gün

Çalışan sayısı gün sayısıyla ters orantılıdır.

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Cevap: 12 işçi.

Sorun No. 5

5,6 kg domatesten 2 litre sos elde edilir. 54 kg domatesten kaç litre sos elde edilebilir?

Çözüm:

5,6 kg – 2 litre

54 kilo - ? ben

Domatesin kilogram sayısı elde edilen sos miktarıyla doğru orantılıdır, dolayısıyla

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Cevap: 19 l.

Sorun No. 6

Okul binasını ısıtmak için kömür 180 gün boyunca tüketim oranında depolandı.

Günde 0,6 ton kömür. Günde 0,5 ton harcanırsa bu arz kaç gün dayanır?

Çözüm:

Gün sayısı

Tüketim oranı

Gün sayısı kömür tüketim oranıyla ters orantılıdır, dolayısıyla

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Cevap: 216 gün.

Sorun No. 7

Demir cevherinde her 7 kısım demire karşılık 3 kısım safsızlık vardır. 73,5 ton demir içeren cevherde kaç ton yabancı madde var?

Çözüm:

Parça sayısı

Ağırlık

Ütü

73,5

Safsızlıklar

Parça sayısı kütleyle doğru orantılıdır, bu nedenle

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Cevap: 31,5 ton

Sorun No. 8

Araba 35 litre benzin kullanarak 500 km yol kat etti. 420 km yol kat etmek için kaç litre benzine ihtiyaç duyulacak?

Çözüm:

Mesafe, km

Benzin, l

Mesafe benzin tüketimiyle doğru orantılıdır, dolayısıyla

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Cevap: 29,4 l

Sorun No. 9

2 saat içinde 12 havuz sazanı yakaladık. 3 saatte kaç tane havuz sazanı yakalanacak?

Çözüm:

Havuz sazanı sayısı zamana bağlı değildir. Bu büyüklükler ne doğru orantılı ne de ters orantılıdır.

Cevap: Cevap yok.

Sorun No. 10

Bir madencilik işletmesinin belirli bir miktar para karşılığında tanesi 12 bin ruble fiyatla 5 yeni makine satın alması gerekiyor. Bir makinenin fiyatı 15 bin ruble olursa, işletme bu makinelerden kaç tane satın alabilir?

Çözüm:

Araba sayısı, adet.

Fiyat, bin ruble

Araç sayısı maliyetle ters orantılıdır.

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Cevap: 4 araba.

Sorun No. 11

Şehirde N, P meydanında, sahibi o kadar katı ki, gecikme için günde 1 gecikme için maaşından 70 ruble kesen bir mağaza var. İki kız Yulia ve Natasha bir bölümde çalışıyor. Onların maaş iş günü sayısına bağlıdır. Yulia 20 günde 4.100 ruble aldı ve Natasha'nın 21 günde daha fazlasını alması gerekiyordu, ancak arka arkaya 3 gün gecikti. Natasha kaç ruble alacak?

Çözüm:

Çalışma günleri

Maaş, ovmak.

Julia

4100

Nataşa

Maaş, çalışma günü sayısıyla doğru orantılıdır, bu nedenle

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 ovmak. Natasha'nın bunu almış olması gerekirdi.

4305 – 3 * 70 = 4095 (ovmak)

Cevap: Natasha 4095 ruble alacak.

Sorun No. 12

Haritadaki iki şehir arası mesafe 6 cm'dir. Harita ölçeği 1:250000 ise bu şehirler arasındaki mesafeyi yerde bulunuz.

Çözüm:

Yerdeki şehirler arasındaki mesafeyi x (santimetre cinsinden) ile gösterelim ve haritadaki parçanın uzunluğunun harita ölçeğine eşit olacak yerdeki mesafeye oranını bulalım: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Cevap: 15 km.

Sorun No. 13

4000 g çözelti 80 g tuz içerir. Bu çözeltideki tuz konsantrasyonu nedir?

Çözüm:

Ağırlık, g

Konsantrasyon, %

Çözüm

4000

Tuz

4000: 80 = 100:x,

x =
,

x = 2.

Cevap: Tuz konsantrasyonu %2'dir.

Sorun No. 14

Banka yıllık yüzde 10 oranında kredi veriyor. 50.000 ruble kredi aldınız. Bir yılda bankaya ne kadar iade etmelisiniz?

Çözüm:

50.000 ovmak.

100%

x ovmak.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 ovmak. %10'dur.

50.000 + 5000=55.000 (rub.)

Cevap: Bir yıl içinde banka 55.000 rubleyi geri alacak.

Çözüm.

Verilen örneklerden de anlaşılacağı üzere doğrudan ve ters orantısal ilişkiler hayatın çeşitli alanlarında uygulanabilir:

Ekonomi,

Ticaret,

Üretimde ve sanayide,

Okul hayatı,

Yemek pişirmek,

İnşaat ve mimarlık.

Spor Dalları,

Hayvancılık,

Topografyalar,

Fizikçiler,

Kimya vb.

Rus dilinde de doğrudan ve ters ilişkiler kuran atasözleri ve sözler vardır:

Geri döndüğünde de karşılık verecektir.

Kütük ne kadar yüksek olursa gölge de o kadar yüksek olur.

Ne kadar çok insan o kadar az oksijen.

Ve hazır ama aptal.

Matematik en eski bilimlerden biridir; insanlığın ihtiyaç ve istekleri temelinde ortaya çıkmıştır. O zamandan bu yana oluşum tarihini yaşamış olan Antik Yunan hala geçerli ve gerekli olmaya devam ediyor Gündelik Yaşam Herhangi bir kişi. Doğrudan ve ters orantı kavramı eski çağlardan beri bilinmektedir, çünkü herhangi bir heykelin inşası veya yaratılması sırasında mimarları motive eden orantı yasalarıdır.

Oranlarla ilgili bilgi insan yaşamının ve faaliyetinin tüm alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır - resim yaparken onsuz yapamazsınız (manzaralar, natürmortlar, portreler vb.), mimarlar ve mühendisler arasında da yaygındır - genel olarak zordur Oranlar ve bunların ilişkileri hakkındaki bilgiyi kullanmadan herhangi bir şey yarattığınızı hayal edin.

Edebiyat.

Matematik-6, N.Ya. Vilenkin ve ark.

Cebir -7, G.V. Dorofeev ve diğerleri.

Matematik-9, GIA-9, F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova

Matematik-6, didaktik materyaller, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

4-5. Sınıflar için matematik problemleri, I.V Baranova ve diğerleri, M. "Prosveshchenie" 1988.

Matematik 5-6. Sınıflarda problemlerin ve örneklerin toplanması, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. “Akvaryum” 1997

Bağımlılık Türleri

Pili şarj etmeye bakalım. İlk miktar olarak şarj olması için gereken süreyi alalım. İkinci değer ise şarj edildikten sonra çalışacağı süredir. Pili ne kadar uzun süre şarj ederseniz, o kadar uzun süre dayanır. Pil tamamen şarj olana kadar işlem devam edecektir.

Pilin çalışma süresinin şarj edildiği zamana bağlı olması

Not 1

Bu bağımlılığa denir dümdüz:

Bir değer arttıkça ikincisi de artar. Bir değer azaldıkça ikinci değer de azalır.

Başka bir örneğe bakalım.

Nasıl daha fazla kitapöğrenci okuyacak, sonra daha az hata bunu dikte ederek yapacak. Veya dağlarda ne kadar yükseğe çıkılırsa atmosfer basıncı o kadar düşük olur.

Not 2

Bu bağımlılığa denir tersi:

Bir değer arttıkça ikincisi azalır. Bir değer azaldıkça ikinci değer artar.

Böylece, şu durumda doğrudan bağımlılık her iki miktar da eşit olarak değişir (hem artar hem de azalır) ve bu durumda ters ilişki – tam tersi (biri artar, diğeri azalır veya tam tersi).

Miktarlar arasındaki bağımlılıkların belirlenmesi

örnek 1

Bir arkadaşı ziyaret etmek için gereken süre 20$ dakikadır. Hız (birinci değer) $2$ kat artarsa, arkadaş yolunda harcanacak zamanın (ikinci değer) nasıl değiştiğini bulacağız.

Açıkçası süre $2$ kat azalacak.

Not 3

Bu bağımlılığa denir orantılı:

Bir çokluğun değişme sayısı, ikinci çokluğun değişme sayısı.

Örnek 2

Mağazadaki 2$ somun ekmek için 80 ruble ödemeniz gerekiyor. 4$'lık somun ekmek almanız gerekiyorsa (ekmek miktarı 2$ kat artar), kaç kat daha fazla ödemeniz gerekir?

Açıkçası, maliyet de 2$ kat artacak. Orantılı bağımlılığa bir örneğimiz var.

Her iki örnekte de orantılı bağımlılıklar dikkate alınmıştır. Ancak ekmek somunları örneğinde miktarlar tek yönde değişir, dolayısıyla bağımlılık şu şekildedir: dümdüz. Bir arkadaşının evine gitme örneğinde hız ile zaman arasındaki ilişki şu şekildedir: tersi. Böylece var doğru orantılı ilişki Ve ters orantılı ilişki.

Doğrudan orantılılık

$2$ orantılı miktarları ele alalım: ekmek somunlarının sayısı ve maliyetleri. 2 dolarlık somun ekmeğin 80 dolarlık rubleye mal olduğunu varsayalım. Çöreklerin sayısı 4$ kat artarsa ​​(8$$ çörek), toplam maliyeti 320$ ruble olacaktır.

Çörek sayısının oranı: $\frac(8)(2)=4$.

Bun maliyet oranı: $\frac(320)(80)=$4.

Gördüğünüz gibi bu ilişkiler birbirine eşittir:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Tanım 1

İki oranın eşitliğine denir oran.

Doğrudan orantılı bir bağımlılıkla, birinci ve ikinci miktarlardaki değişiklik çakıştığında bir ilişki elde edilir:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Tanım 2

İki miktara denir doğrudan orantılı Bunlardan biri değiştiğinde (arttığında veya azaldığında), diğer değer de aynı miktarda değişirse (sırasıyla artar veya azalırsa).

Örnek 3

Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti. Aynı hızla mesafenin $2$ katı kadar mesafe kat edeceği süreyi bulun.

Çözüm.

Zaman mesafeyle doğru orantılıdır:

$t=\frac(S)(v)$.

Sabit bir hızla mesafe kaç kat artarsa, zaman da aynı miktarda artacaktır:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti

Araba $x$ saatte 180 $ \cdot 2=360$ km yol alacak

Araba ne kadar uzağa giderse, o kadar uzun sürecektir. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki doğru orantılıdır.

Orantı kuralım:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Cevap: Arabanın 4$ saate ihtiyacı olacak.

Ters orantılılık

Tanım 3

Çözüm.

Zaman hız ile ters orantılıdır:

$t=\frac(S)(v)$.

Aynı yolda hız kaç kat artarsa ​​zaman da aynı oranda azalır:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Sorunun durumunu tablo şeklinde yazalım:

Araba 6$ saatte 60$ km yol kat etti

Araba $x$ saatte 120$ km yol kat edecek

Araba ne kadar hızlı olursa, o kadar az zaman alır. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki ters orantılıdır.

Orantı kuralım.

Çünkü orantılılık terstir, orandaki ikinci ilişki terstir:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Cevap: Arabanın 3$ saate ihtiyacı olacak.