Kesirler, kesirlerle işlemler. Kesirlerle karmaşık ifadeler. Prosedür
Bu bölüm sıradan kesirlerle yapılan işlemleri kapsar. Karışık sayılarla matematiksel bir işlem yapılması gerekiyorsa tercüme edilmesi yeterlidir. karışık fraksiyon olağanüstü bir duruma dönüştürmek, gerekli işlemleri yapmak ve gerekirse nihai sonucu tekrar karışık sayı şeklinde sunmak. Bu işlem aşağıda anlatılacaktır.
Bir kesirin azaltılması
Matematiksel operasyon. Bir kesirin azaltılması
\frac(m)(n) kesirini azaltmak için pay ve paydasının en büyük ortak bölenini bulmanız gerekir: gcd(m,n) ve sonra kesrin payını ve paydasını bu sayıya bölmeniz gerekir. Eğer OBE(m,n)=1 ise kesir indirgenemez. Örnek: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)
Genellikle, en büyük ortak böleni hemen bulmak zor bir iş gibi görünür ve pratikte, pay ve paydadan bariz ortak faktörler adım adım izole edilerek bir kesir birkaç aşamada azaltılır. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)
Kesirleri ortak paydaya indirgemek
Matematiksel operasyon. Kesirleri ortak paydaya indirgemek
İki kesir \frac(a)(b) ve \frac(c)(d)'yi ortak bir paydaya getirmek için ihtiyacınız olan:
- paydaların en küçük ortak katını bulun: M=LMK(b,d);
- ilk kesrin payını ve paydasını M/b ile çarpın (bundan sonra kesrin paydası M sayısına eşit olur);
- ikinci kesrin payını ve paydasını M/d ile çarpın (bundan sonra kesrin paydası M sayısına eşit olur).
Böylece orijinal kesirleri aynı paydalara sahip (M sayısına eşit olacak) kesirlere dönüştürüyoruz.
Örneğin, \frac(5)(6) ve \frac(4)(9) kesirleri LCM(6,9) = 18'e sahiptir. O halde: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Böylece elde edilen kesirlerin ortak bir paydası vardır.
Uygulamada, paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmak her zaman basit bir iş değildir. Bu nedenle orijinal kesirlerin paydalarının çarpımına eşit bir sayı ortak payda olarak seçilir. Örneğin, \frac(5)(6) ve \frac(4)(9) kesirleri N=6\cdot9 ortak paydasına indirgenir:
\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)
Kesirlerin karşılaştırılması
Matematiksel operasyon. Kesirlerin karşılaştırılması
İki sıradan kesri karşılaştırmak için ihtiyacınız olan:
- elde edilen kesirlerin paylarını karşılaştırın; payı daha büyük olan bir kesir daha büyük olacaktır.
Kesirleri karşılaştırırken birkaç özel durum vardır:
- İki fraksiyondan aynı paydalarla Payı büyük olan kesir daha büyüktür. Örneğin, \frac(3)(15)
- İki fraksiyondan aynı numaralarla Daha büyük olan, paydası daha küçük olan kesirdir. Örneğin, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
- Aynı anda bu kesir daha büyük pay ve daha küçük payda, Daha. Örneğin, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)
Dikkat! Kural 1, ortak paydaları eşit olan tüm kesirler için geçerlidir. pozitif sayı. Kural 2 ve 3 pozitif kesirlere (hem payı hem de paydası sıfırdan büyük olanlar) uygulanır.
Kesirleri toplama ve çıkarma
Matematiksel operasyon. Kesirleri toplama ve çıkarma
İki kesir eklemek için ihtiyacınız olan:
- onları ortak bir paydaya getirin;
- paylarını ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın.
Örnek: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)
Bir kesirden diğerini çıkarmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
- kesirleri ortak bir paydaya indirgemek;
- İkinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın.
Örnek: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)
Orijinal kesirlerin başlangıçta ortak bir paydası varsa, 1. adım (ortak bir paydaya indirgeme) atlanır.
Karışık bir sayıyı bileşik bir kesire dönüştürmek veya tam tersi
Matematiksel operasyon. Karışık bir sayıyı bileşik bir kesire dönüştürmek veya tam tersi
Karışık bir fraksiyonu bileşik bir fraksiyona dönüştürmek için, karışık fraksiyonun tüm kısmını kesir kısmıyla toplamanız yeterlidir. Böyle bir toplamın sonucu, payı, karışık fraksiyonun payı ile fraksiyonun paydası tarafından tüm parçanın çarpımının toplamına eşit olan uygunsuz bir kesir olacaktır ve payda aynı kalacaktır. Örneğin, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+) 6)(11)=\frac(28)(11)
Uygunsuz bir kesri karışık sayıya dönüştürmek için:
- bir kesrin payını paydasına bölmek;
- bölümün geri kalanını paya yazın ve paydayı aynı bırakın;
- bölme işleminin sonucunu tam sayı olarak yazınız.
Örneğin, \frac(23)(4) kesri. 23:4=5.75'e bölündüğünde yani tamamı 5 olduğundan kalan 23-5*4=3 olur. Daha sonra karışık sayı yazılacaktır: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)
Ondalık Sayıyı Kesire Dönüştürme
Matematiksel operasyon. Ondalık Sayıyı Kesire Dönüştürme
Ondalık kesri ortak kesire dönüştürmek için yapmanız gerekenler:
- payda olarak onun n'inci kuvvetini alın (burada n, ondalık basamakların sayısıdır);
- pay olarak, ondalık noktadan sonraki sayıyı alın (eğer orijinal sayının tam sayı kısmı sıfıra eşit değilse, baştaki tüm sıfırları da alın);
- sıfır olmayan tamsayı kısmı payın en başında yazılır; sıfır tamsayı kısmı atlanır.
Örnek 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 ondalık basamak vardır, dolayısıyla payda 10 4 =10000 olur, tamsayı kısmı 0 olduğundan pay, başında sıfır olmadan ondalık noktadan sonraki sayıyı içerir)
Örnek 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (payda virgülden sonraki sayıyı tamamen sıfırlarla yazarız: “0109” ve ondan önce orijinal “31” sayısının tamamını ekleriz”)
Ondalık kesrin tamamı sıfırdan farklıysa, karışık kesire dönüştürülebilir. Bunu yapmak için, sayıyı, sanki tüm kısım sıfıra eşitmiş gibi (1 ve 2 noktaları) sıradan bir kesire dönüştürüyoruz ve tüm kısmı kesirin önüne yeniden yazıyoruz - bu, karışık sayının tam kısmı olacak . Örnek:
3,014=3\frac(14)(100)
Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için payı paydaya bölmeniz yeterlidir. Bazen sonsuz olacak ondalık. Bu durumda istenilen ondalık basamağa yuvarlamak gerekir. Örnekler:
\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\approx0,6667
Kesirlerde Çarpma ve Bölme
Matematiksel operasyon. Kesirlerde Çarpma ve Bölme
İki sıradan kesri çarpmak için kesirlerin pay ve paydalarını çarpmanız gerekir.
\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)
Bir ortak kesri diğerine bölmek için, ilk kesri ikincinin tersiyle çarpmanız gerekir ( karşılıklı kesir- pay ve paydanın yer değiştirdiği kesir.
\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)
Kesirlerden biri doğal sayı ise yukarıdaki çarpma ve bölme kuralları geçerliliğini korur. Sadece bir tam sayının paydası bire eşit olan aynı kesir olduğunu dikkate almanız gerekir. Örneğin: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7
Bu makale hakkındadır ortak kesirler. Burada bir bütünün kesri kavramını tanıtacağız, bu da bizi ortak bir kesrin tanımına götürecektir. Daha sonra sıradan kesirler için kabul edilen gösterim üzerinde duracağız ve kesir örnekleri vereceğiz, diyelim ki bir kesrin payı ve paydası hakkında. Bundan sonra doğru ve yanlış kesirlerin, pozitif ve negatif kesirlerin tanımlarını vereceğiz ve ayrıca kesirli sayıların koordinat ışınındaki konumunu ele alacağız. Sonuç olarak ana işlemleri kesirlerle listeliyoruz.
Sayfada gezinme.
Bütünün payları
İlk önce tanıtıyoruz paylaşma kavramı.
Tamamen aynı (yani eşit) birkaç parçadan oluşan bir nesnemiz olduğunu varsayalım. Netlik sağlamak için, örneğin birkaç eşit parçaya bölünmüş bir elmayı veya birkaç eşit dilimden oluşan bir portakalı hayal edebilirsiniz. Bir cismin bütününü oluşturan bu eşit parçaların her birine ne ad verilir? bütünün parçaları ya da sadece hisseler.
Paylaşımların farklı olduğunu unutmayın. Bunu açıklayalım. İki elmamız olsun. İlk elmayı iki eşit parçaya, ikincisini ise 6 eşit parçaya bölün. Birinci elmanın payının ikinci elmanın payından farklı olacağı açıktır.
Nesnenin tamamını oluşturan paylaşımların sayısına bağlı olarak bu paylaşımların kendi isimleri vardır. Hadi halledelim vuruş isimleri. Bir nesne iki parçadan oluşuyorsa bunlardan herhangi birine tüm nesnenin ikinci parçası denir; eğer bir nesne üç parçadan oluşuyorsa, bunlardan herhangi birine üçüncü parça denir vb.
Bir saniyelik paylaşımın özel bir adı vardır - yarım. Üçte biri denir üçüncü ve çeyrek kısım – çeyrek.
Kısaltmak adına aşağıdakiler tanıtıldı: sembolleri yenmek. İkinci bir pay veya 1/2, üçüncü bir pay veya 1/3 olarak belirlenir; dörtte bir pay - beğen veya 1/4 vb. Yatay çubuklu gösterimin daha sık kullanıldığını unutmayın. Konuyu pekiştirmek için bir örnek daha verelim: Madde bütünün yüz altmış yedinci parçasını ifade ediyor.
Paylaşım kavramı doğal olarak nesnelerden miktarlara kadar uzanır. Örneğin uzunluk ölçülerinden biri metredir. Bir metreden daha kısa uzunlukları ölçmek için bir metrenin kesirleri kullanılabilir. Yani örneğin yarım metreyi veya metrenin onda birini veya binde birini kullanabilirsiniz. Diğer miktarların payları da benzer şekilde uygulanır.
Ortak kesirler, kesirlerin tanımı ve örnekleri
Kullandığımız hisse sayısını açıklamak için ortak kesirler. Adi kesirlerin tanımına yaklaşmamızı sağlayacak bir örnek verelim.
Portakalın 12 parçadan oluşmasına izin verin. Bu durumda her pay bir tam portakalın on ikide birini temsil eder, yani. İki atım olarak, üç atım olarak ve bu şekilde 12 atım olarak belirtiyoruz. Verilen girdilerin her birine sıradan kesir denir.
Şimdi bir genel bilgi verelim ortak kesirlerin tanımı.
Sıradan kesirlerin sesli tanımı şunu vermemizi sağlar: ortak kesir örnekleri: 5/10, , 21/1, 9/4, . Ve işte kayıtlar 
sıradan kesirlerin belirtilen tanımına uymazlar, yani sıradan kesirler değildirler.
Pay ve payda
Kolaylık sağlamak için sıradan kesirler ayırt edilir pay ve payda.
Tanım.
Pay ortak kesir (m/n) bir m doğal sayısıdır.
Tanım.
Payda ortak kesir (m/n) bir doğal sayıdır n.
Yani pay, kesir çizgisinin üstünde (eğik çizginin solunda) ve payda, kesir çizgisinin altında (eğik çizginin sağında) bulunur. Örneğin 17/29 ortak kesirini ele alalım, bu kesrin payı 17, paydası ise 29 sayısıdır.
Sıradan bir kesrin pay ve paydasında yer alan anlamı tartışmaya devam ediyor. Bir kesrin paydası bir nesnenin kaç parçadan oluştuğunu gösterir ve pay da bu parçaların sayısını gösterir. Örneğin 12/5 kesirinin paydası 5, bir nesnenin beş hisseden oluştuğunu, payı 12 ise bu tür 12 hissenin alındığını gösterir.
Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı
Ortak bir kesrin paydası bire eşit olabilir. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğunu yani bir bütünü temsil ettiğini düşünebiliriz. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. Dolayısıyla m/1 formundaki sıradan bir kesir, m doğal sayısı anlamına gelir. m/1=m eşitliğinin geçerliliğini bu şekilde kanıtladık.
Son eşitliği şu şekilde yeniden yazalım: m=m/1. Bu eşitlik herhangi bir m doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmemizi sağlar. Örneğin 4 sayısı 4/1 kesridir ve 103.498 sayısı 103.498/1 kesrine eşittir.
Bu yüzden, herhangi bir m doğal sayısı, m/1 olarak paydası 1 olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve m/1 formundaki herhangi bir sıradan kesir, bir m doğal sayısı ile değiştirilebilir..
Bölme işareti olarak kesir çubuğu
Orijinal nesneyi n pay şeklinde temsil etmek, n eşit parçaya bölmekten başka bir şey değildir. Bir öğe n hisseye bölündükten sonra, onu n kişiye eşit olarak bölebiliriz - her biri bir pay alacaktır.
Başlangıçta her biri n parçaya bölünmüş m adet özdeş nesnemiz varsa, o zaman bu m nesneyi n kişi arasında eşit olarak bölebilir ve her kişiye m nesnenin her birinden bir pay verebiliriz. Bu durumda, her kişi m adet 1/n hisseye sahip olacaktır ve m adet 1/n hisse, m/n ortak kesirini verecektir. Böylece, m/n ortak kesri, m öğenin n kişi arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabilir.
Sıradan kesirler ve bölme arasında açık bir bağlantıyı bu şekilde elde ettik (doğal sayıları bölmenin genel fikrine bakın). Bu bağlantı şu şekilde ifade edilir: kesir çizgisi bir bölme işareti olarak anlaşılabilir, yani m/n=m:n.
Ortak bir kesir kullanarak ikiye bölmenin sonucunu yazabilirsiniz. doğal sayılar, bunun için integral bölme işlemi gerçekleştirilmez. Örneğin 5 elmayı 8 kişiye bölmenin sonucu 5/8 olarak yazılabilir, yani herkes bir elmanın sekizde beşini alacaktır: 5:8 = 5/8.
Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması
Oldukça doğal bir eylem kesirleri karşılaştırmaÇünkü bir portakalın 1/12'sinin 5/12'sinden farklı olduğu ve bir elmanın 1/6'sının bu elmanın diğer 1/6'sıyla aynı olduğu açıktır.
İki sıradan kesirin karşılaştırılması sonucunda şu sonuçlardan biri elde edilir: Kesirler ya eşittir ya da eşit değildir. İlk durumda elimizde eşit ortak kesirler ve ikincisinde – eşit olmayan sıradan kesirler. Eşit ve eşit olmayan sıradan kesirlerin tanımını verelim.
Tanım.
eşit a·d=b·c eşitliği doğruysa.
Tanım.
İki ortak kesir a/b ve c/d eşit değil a·d=b·c eşitliği sağlanmıyorsa.
İşte eşit kesirlerin bazı örnekleri. Örneğin, 1·4=2·2 olduğundan ortak kesir 1/2, 2/4 kesrine eşittir (gerekirse, doğal sayılarla çarpma kurallarına ve örneklerine bakın). Netlik sağlamak için, iki özdeş elmayı hayal edebilirsiniz, birincisi ikiye bölünmüş, ikincisi ise 4 parçaya bölünmüştür. Bir elmanın dörtte ikisinin 1/2 paya eşit olduğu açıktır. Eşit ortak kesirlerin diğer örnekleri 4/7 ve 36/63 kesirleri ve 81/50 ve 1.620/1.000 kesir çiftidir.
Ancak 4/13 ve 5/14 sıradan kesirleri eşit değildir, çünkü 4·14=56 ve 13·5=65, yani 4·14≠13·5. Eşit olmayan ortak kesirlerin diğer örnekleri 17/7 ve 6/4 kesirleridir.
İki ortak kesiri karşılaştırırken eşit olmadıkları ortaya çıkarsa, bu ortak kesirlerden hangisinin olduğunu bulmanız gerekebilir. az farklı ve hangisi - Daha. Bunu bulmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralı kullanılır; bunun özü, karşılaştırılan kesirleri ortak bir paydaya getirmek ve ardından payları karşılaştırmaktır. Bu konuyla ilgili ayrıntılı bilgi kesirlerin karşılaştırılması makalesinde toplanmıştır: kurallar, örnekler, çözümler.
Kesirli sayılar
Her kesir bir gösterimdir kesirli sayı. Yani kesir, kesirli bir sayının yalnızca bir "kabuğudur"; dış görünüş ve tüm anlamsal yük kesirli sayıda bulunur. Bununla birlikte, kısalık ve kolaylık sağlamak için kesir ve kesirli sayı kavramları birleştirilir ve basitçe kesir olarak adlandırılır. Burada iyi bilinen bir deyişi başka kelimelerle ifade etmek yerinde olacaktır: kesir diyoruz - demek istiyoruz kesirli bir sayı, kesirli bir sayı diyoruz - bir kesri kastediyoruz.
Koordinat ışınındaki kesirler
Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayıların kendilerine ait eşsiz yer yani kesirler ile koordinat ışınının noktaları arasında bire bir yazışma vardır.
Koordinat ışınında m/n oranına karşılık gelen noktaya ulaşmak için, başlangıç noktasından pozitif yönde, uzunluğu bir birim parçanın 1/n kesri kadar olan m parçayı ayırmanız gerekir. Bu tür bölümler, bir birim parçanın n eşit parçaya bölünmesiyle elde edilebilir; bu her zaman bir pergel ve bir cetvel kullanılarak yapılabilir.
Örneğin koordinat ışınında 14/10 kesrine karşılık gelen M noktasını gösterelim. Uçları O noktasında ve ona en yakın nokta olan küçük çizgi ile işaretlenmiş bir doğru parçasının uzunluğu, bir birim parçanın 1/10'udur. 14/10 koordinatına sahip nokta, başlangıç noktasından bu tür 14 parça uzaklıkta kaldırılır.
Eşit kesirler aynı kesirli sayıya karşılık gelir, yani eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarıdır. Örneğin, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatları, tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınındaki bir noktaya karşılık gelir (bir birim parçanın yarısı kadar bir mesafede bulunur) orijinden pozitif yönde).
Yatay ve sağa yönlendirilmiş bir koordinat ışınında, koordinatı daha büyük olan nokta, koordinatı daha küçük olan noktanın sağında yer alır. Benzer şekilde, koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alır.
Doğru ve yanlış kesirler, tanımlar, örnekler
Sıradan kesirler arasında şunlar vardır: doğru ve yanlış kesirler. Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.
Doğru ve yanlış sıradan kesirleri tanımlayalım.
Tanım.
Uygun kesir payı paydasından küçük olan sıradan bir kesirdir, yani m ise Tanım.
Uygunsuz kesir payın paydadan büyük veya ona eşit olduğu sıradan bir kesirdir; yani m≥n ise sıradan kesir uygunsuzdur. İşte bazı doğru kesir örnekleri: 1/4, , 32,765/909,003. Aslında, yazılı sıradan kesirlerin her birinde pay, paydadan küçüktür (gerekirse, doğal sayıları karşılaştıran makaleye bakın), dolayısıyla tanım gereği doğrudurlar. İşte uygunsuz kesirlerin örnekleri: 9/9, 23/4, . Nitekim yazılı adi kesirlerden birincisinin payı paydaya eşittir, geri kalan kesirlerde pay paydadan büyüktür. Kesirlerin bir ile karşılaştırılmasına dayanan doğru ve yanlış kesirlerin tanımları da vardır. Tanım. doğru birden küçükse. Tanım. Sıradan bir kesir denir yanlış 1'e eşit veya 1'den büyükse. Yani 7/11 ortak kesri doğrudur, çünkü 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 ve 27/27=1. Paydası paydadan büyük veya paydaya eşit olan sıradan kesirlerin nasıl böyle bir adı hak ettiğini düşünelim - "uygunsuz". Örneğin 9/9 bileşik kesirini ele alalım. Bu kesir, dokuz parçadan oluşan bir nesnenin dokuz parçasının alınması anlamına gelir. Yani elimizdeki dokuz parçadan bütün bir nesneyi oluşturabiliriz. Yani bileşik kesir 9/9 esasen nesnenin tamamını verir, yani 9/9 = 1. Genel olarak, payı paydaya eşit olan uygunsuz kesirler bir tam nesneyi belirtir ve böyle bir kesir, doğal sayı 1 ile değiştirilebilir. Şimdi 7/3 ve 12/4 bileşik kesirlerini düşünün. Bu yedi üçüncü parçadan iki tam nesne oluşturabileceğimiz oldukça açıktır (bir tam nesne 3 parçadan oluşur, o zaman iki tam nesneyi oluşturmak için 3 + 3 = 6 parçaya ihtiyacımız olacak) ve geriye hala üçte bir parça kalacak . Yani uygunsuz kesir 7/3, esasen 2 nesne ve ayrıca böyle bir nesnenin 1/3'ü anlamına gelir. Ve on iki çeyrek parçadan üç tam nesne (her biri dört parçalı üç nesne) yapabiliriz. Yani 12/4 kesri aslında 3 tam nesne anlamına gelir. Ele alınan örnekler bizi şu sonuca götürüyor: uygunsuz kesirler, pay paydaya eşit olarak bölündüğünde doğal sayılarla (örneğin, 9/9=1 ve 12/4=3) veya toplamla değiştirilebilir. Payın paydaya tam olarak bölünemediği durumlarda bir doğal sayının ve bir uygun kesrin kullanılması (örneğin, 7/3=2+1/3). Belki de uygunsuz kesirlere "düzensiz" adını kazandıran şey tam olarak budur. Özellikle ilgi çekici olan, uygun olmayan bir kesrin bir doğal sayı ile bir uygun kesirin (7/3=2+1/3) toplamı olarak temsil edilmesidir. Bu işleme, bütün parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak denir ve ayrı ve daha dikkatli bir değerlendirmeyi hak eder. Uygunsuz kesirler ile karışık sayılar arasında çok yakın bir ilişki olduğunu da belirtmekte fayda var. Her ortak kesir, pozitif bir kesirli sayıya karşılık gelir (pozitif ve negatif sayılar hakkındaki makaleye bakın). Yani sıradan kesirler pozitif kesirler. Örneğin 1/5, 56/18, 35/144 sıradan kesirler pozitif kesirlerdir. Bir kesrin pozitifliğini vurgulamanız gerektiğinde önüne bir artı işareti yerleştirilir, örneğin +3/4, +72/34. Ortak bir kesrin önüne eksi işareti koyarsanız, bu giriş negatif bir kesirli sayıya karşılık gelecektir. Bu durumda konuşabiliriz negatif kesirler. Negatif kesirlerin bazı örnekleri şunlardır: −6/10, −65/13, −1/18. Pozitif ve negatif kesirler m/n ve −m/n zıt sayılardır. Örneğin 5/7 ve −5/7 kesirleri zıt kesirlerdir. Pozitif kesirler, genel olarak pozitif sayılar gibi, bir eklemeyi, geliri, herhangi bir değerdeki yukarı doğru değişimi vb. ifade eder. Negatif kesirler gidere, borca veya herhangi bir miktardaki azalmaya karşılık gelir. Örneğin negatif kesir −3/4, değeri 3/4 olan bir borç olarak yorumlanabilir. Yatay ve sağa doğru negatif kesirler orijinin solunda bulunur. Koordinatları pozitif kesir m/n ve negatif kesir -m/n olan koordinat çizgisinin noktaları, orijinden aynı uzaklıkta, ancak O noktasının zıt taraflarında bulunur. Burada 0/n formundaki kesirlerden bahsetmeye değer. Bu kesirler sıfır sayısına eşittir yani 0/n=0. Pozitif kesirler, negatif kesirler ve 0/n kesirler birleşerek rasyonel sayılar oluşturur. Yukarıda sıradan kesirlerle ilgili bir eylemi - kesirleri karşılaştırarak - tartışmıştık. Dört aritmetik fonksiyon daha tanımlandı kesirlerle işlemler– Kesirlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Her birine bakalım. Kesirli işlemlerin genel özü, doğal sayılarla karşılık gelen işlemlerin özüne benzer. Bir benzetme yapalım. Kesirlerin Çarpılması kesirden kesir bulma eylemi olarak düşünülebilir. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Bir elmanın 1/6'sını alalım, 2/3'ünü almamız lazım. İhtiyacımız olan kısım 1/6 ve 2/3 kesirlerinin çarpılması sonucudur. İki sıradan kesirin çarpılmasının sonucu, sıradan bir kesirdir (özel bir durumda bu, bir doğal sayıya eşittir). Daha sonra Kesirlerde Çarpma - Kurallar, Örnekler ve Çözümler makalesindeki bilgileri incelemenizi öneririz. Kaynakça. Pay ve bölünen ise paydadır. Kesir yazmak için önce payı yazın, sonra sayının altına yatay bir çizgi çizin ve paydayı çizginin altına yazın. Pay ve paydayı ayıran yatay çizgiye kesir çizgisi denir. Bazen eğik "/" veya "∕" şeklinde gösterilir. Bu durumda pay satırın soluna, payda ise sağına yazılır. Yani örneğin “üçte iki” kesri 2/3 olarak yazılacaktır. Açıklık sağlamak için, pay genellikle satırın üstüne, payda ise altta yazılır, yani 2/3 yerine şunu bulabilirsiniz: ⅔. Kesirlerin çarpımını hesaplamak için önce payını bir ile çarpmanız gerekir. kesirler payda farklıdır. Sonucu yeninin payına yazın kesirler. Bundan sonra paydaları çarpın. Yeni alana toplam değeri girin kesirler. Örneğin 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15). Bir kesri diğerine bölmek için önce birincinin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız gerekir. Aynısını ikinci kesir (bölen) için de yapın. Veya, tüm eylemleri gerçekleştirmeden önce, sizin için daha uygunsa, önce böleni "çevirin": pay yerine payda görünmelidir. Daha sonra bölenin paydasını bölenin yeni paydasıyla çarpın ve payları çarpın. Örneğin, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3). Kaynaklar: Kesirli sayılar, bir miktarın tam değerini farklı şekillerde ifade etmenize olanak tanır. Tam sayılarla yapabildiğiniz matematik işlemlerinin aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı aritmetik işlemler, yürütme sonrasında sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirir. İhtiyacın olacak Talimatlar Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve alttaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Tamsayı kısmı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Bu değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Sonucun tamamını yazın kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. Tamsayı kısmı olan kesirler için, önce tamsayı, sonra kesirli kısım için ayrı ayrı işlem yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir: Bunları “:” ayırıcısını kullanarak yeniden yazın ve normal bölme işlemine devam edin. Nihai sonucu elde etmek için, pay ve paydayı bu durumda mümkün olan en büyük tam sayıya bölerek elde edilen kesri azaltın. Bu durumda çizginin üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır. Not Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur. Yararlı tavsiye Kesirli sayılar yazarken bölünen kısım çizginin üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası çizginin altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilogram pirincin kesri şu şekilde yazılacaktır: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yanlış biçimde yazılabilir: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. Bu örnekte 2'ye bölebilirsiniz. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun. Öğrenciler 5. sınıfta kesirlerle tanıştırılıyor. Daha önce kesirlerle işlem yapmayı bilen kişilerin çok akıllı olduğu düşünülüyordu. İlk kesir 1/2 idi, yani yarımdı, sonra 1/3 ortaya çıktı vb. Birkaç yüzyıl boyunca örneklerin çok karmaşık olduğu düşünüldü. Artık kesirlerin dönüştürülmesi, toplama, çarpma ve diğer işlemler için ayrıntılı kurallar geliştirildi. Malzemeyi biraz anlamak yeterli, çözüm de kolay olacaktır. Basit kesir olarak adlandırılan sıradan bir kesir, iki sayının bölümü olarak yazılır: m ve n. M, bölünendir, yani kesrin payıdır ve bölene n'ye payda denir. Uygun kesirleri tanımlayın (m< n) а также неправильные (m >N). Basit kesirlerle aşağıdakileri yapabilirsiniz: Aşağıda kesirli işlem örneklerine bakalım. Azaltma, bir kesrin üstünü ve altını eşit bir sayıya bölmektir. Şekilde basit azaltma örnekleri gösterilmektedir. İlk seçenekte pay ve paydanın 2'ye bölünebileceğini hemen tahmin edebilirsiniz. Bir notta! Eğer sayı çift ise 2'ye herhangi bir şekilde bölünebilir. Çift sayılar 2, 4, 6...32'dir. 8
(çift sayıyla biter) vb. İkinci durumda 6'yı 18'e böldüğümüzde sayıların 2'ye bölünebildiği hemen anlaşılıyor. Bölerek 3/9 elde ediyoruz. Bu kesir yine 3'e bölünür. O zaman cevap 1/3 olur. Her iki böleni de 2 ile 3 ile çarparsanız 6 elde edersiniz. Kesirin altıya bölündüğü ortaya çıkar. Bu kademeli bölünmeye denir Kesirlerin ortak bölenlerle ardışık indirgenmesi. Bazı insanlar hemen 6'ya böler, bazıları ise parçalara bölmek zorunda kalır. Önemli olan, sonunda hiçbir şekilde azaltılamayan bir kesirin kalmasıdır. Bir sayının toplamı 3'e bölünebilen bir sayıyla sonuçlanan rakamlardan oluşuyorsa, orijinal sayının da 3'e kadar azaltılabileceğini unutmayın. Örnek: sayı 341. Sayıları toplayın: 3 + 4 + 1 = 8 (8) 3'e bölünmez, yani 341 sayısı 3'e kalansız indirgenemez). Başka bir örnek: 264. Toplayın: 2 + 6 + 4 = 12 (3'e bölünebilir). Şunu elde ederiz: 264: 3 = 88. Bu, büyük sayıları azaltmayı kolaylaştıracaktır. Kesirleri ortak bölenlerle sırayla azaltma yöntemine ek olarak başka yöntemler de vardır. Tüm uygunsuz kesirler, tamamı onlardan ayrılarak karışık kesirlere dönüştürülebilir. Sayının tamamı solda yazılmıştır. Çoğu zaman uygunsuz bir kesirden karışık bir sayı elde etmeniz gerekir. Dönüşüm işlemi aşağıdaki örnekte gösterilmektedir: 22/4 = 22'yi 4'e bölersek 5 tam sayı elde ederiz (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. 5 tam sayı ve 2/4 elde ederiz (payda değişmez). Kesir azaltılabileceği için üst ve alt kısımları 2'ye bölüyoruz. Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesire dönüştürmek kolaydır (bu, kesirleri bölerken ve çarparken gereklidir). Bunu yapmak için: tam sayıyı kesrin alt kısmıyla çarpın ve payı ona ekleyin. Hazır. Payda değişmez. Karışık sayılar eklenebilir. Paydalar aynıysa, bunu yapmak kolaydır: tamsayı kısımları ve payları ekleyin, payda yerinde kalır. Sayıları eklerken farklı paydalar süreç daha karmaşıktır. Öncelikle sayıları en küçük paydaya (LSD) indiriyoruz. Aşağıdaki örnekte 9 ve 6 sayıları için payda 18 olacaktır. Bundan sonra ek çarpanlara ihtiyaç vardır. Bunları bulmak için 18'i 9'a bölmelisiniz, ek sayıyı - 2 bu şekilde bulacaksınız. 8/18 kesirini elde etmek için bunu pay 4 ile çarpıyoruz. Aynısını ikinci kesir için de yapıyorlar. Dönüştürülen kesirleri zaten ekliyoruz (tamsayılar ve paylar ayrı ayrı, paydayı değiştirmiyoruz). Örnekte cevabın uygun kesre dönüştürülmesi gerekiyordu (başlangıçta payın paydadan büyük olduğu ortaya çıktı). Kesirlerde çarpma yapılırken her ikisinin de aynı çizginin altına yerleştirilmesi önemlidir. Sayı karışıksa, onu dönüştürürüz basit kesir. Daha sonra üst ve alt kısımları çarpın ve cevabı yazın. Kesirlerin azaltılabileceği açıksa hemen azaltırız. Yukarıdaki örnekte hiçbir şeyi kesmenize gerek yoktu, sadece cevabı yazdınız ve tüm kısmı vurguladınız. Bu örnekte sayıları tek satır altına indirmek zorunda kaldık. Yine de hazır cevabı kısaltabilirsiniz. Bölme sırasında algoritma neredeyse aynıdır. İlk önce karışık kesri bileşik kesre dönüştürüyoruz, sonra sayıları tek satır altına yazıyoruz, bölmenin yerine çarpmayı koyuyoruz. İkinci kesrin üst ve alt kısımlarını yer değiştirmeyi unutmayın (bu, kesirleri bölme kuralıdır). Gerekirse sayıları azaltıyoruz (aşağıdaki örnekte sayıları beşe iki azalttık). Bütün parçayı vurgulayarak uygunsuz kesri dönüştürüyoruz. Videoda birkaç görev daha gösteriliyor. Netlik için kullanılır grafik görseller Kesirleri görselleştirmenize yardımcı olacak çözümler. Kesirleri karşılaştırmak için iki basit kuralı hatırlamanız gerekir. Kural 1. Paydalar farklıysa Kesirleri daha iyi temsil etmek için, bir nesnenin parçalara bölündüğü (örneğin bir pasta) netlik sağlamak amacıyla resimler kullanabilirsiniz. 4/7 ile 2/3'ü karşılaştırmak istiyorsanız ilk durumda pasta 7 parçaya bölünür ve bunlardan 4'ü seçilir. İkincisinde ise 3 parçaya bölüp 2 parçayı alıyorlar. Çıplak gözle 2/3'ün 4/7'den büyük olacağı görülecektir. Aşağıdaki görevleri pratik olarak tamamlayabilirsiniz. İpucu: Kesirler için en düşük ortak paydayı bulmak zorsa (özellikle değerleri küçükse), o zaman birinci ve ikinci kesirlerin paydasını çarpabilirsiniz. Örnek: 2/8 ve 5/9. Paydalarını bulmak basittir: 8'i 9 ile çarparsanız 72 elde edersiniz. Denklemleri çözmek, kesirlerle yapılan işlemleri hatırlamayı gerektirir: çarpma, bölme, çıkarma ve toplama. Faktörlerden biri bilinmiyorsa, ürün (toplam) bilinen faktöre bölünür, yani kesirler çarpılır (ikincisi ters çevrilir). Bölünme bilinmiyorsa, payda bölenle çarpılır ve böleni bulmak için böleni bölüme bölmeniz gerekir. Hayal edelim basit örnekler denklemlerin çözümleri: Cevap uygunsuz bir kesir olarak ortaya çıktı. 1 tam ve 3/5'e dönüştürülebilir. İkinci yöntemde, paydayı ters çevirmek yerine alt kısmı iptal etmek için pay ve payda 4 ile çarpıldı.Pozitif ve negatif kesirler
Kesirlerle işlemler
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terimlerin ayrı ayrı tamsayı ve kesirli kısımlarının toplamı:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Uygun kesir birden küçüktür (örneğin, 5/6 - bu, birinden 5 parçanın alındığı anlamına gelir; 2/8 - birinden 2 parçanın alındığı anlamına gelir). Uygun olmayan kesir 1'e eşit veya daha büyüktür (8/7 - birimi 7/7'dir ve bir kısım daha artı olarak alınır).
Yani, pay ve paydanın çakıştığı zamandır (3/3, 12/12, 100/100 ve diğerleri).Adi kesirlerle işlemler, 6. sınıf
Azaltılmış kesirler 6. sınıf
GCD en çok büyük bölen numara için. Payda ve pay için gcd'yi bulduktan sonra kesri hemen istediğiniz sayıya azaltabilirsiniz. Arama, her sayının kademeli olarak bölünmesiyle gerçekleştirilir. Daha sonra hangi bölenlerin çakıştığına bakarlar; eğer birkaç tane varsa (aşağıdaki resimde olduğu gibi), o zaman çarpmanız gerekir.
Karışık Kesirler 6. Sınıf
Kesirlerle hesaplamalar 6. sınıf
Kesirler farklı olduğunda eylem algoritmasının aynı olduğunu lütfen unutmayın.
Temel kesir problemleri 6. sınıf
Açıklamalarla birlikte 6. sınıf kesirlerle çarpma örnekleri
Çarpan kesirler tek satır altına yazılır. Daha sonra aynı sayılara bölünerek azaltılırlar (örneğin paydada 15 ve payda 5 beşe bölünebilir).Kesirlerin karşılaştırılması 6. sınıf
Kural 2. Paydalar aynı olduğunda
Örneğin 7/12 ve 2/3 kesirlerini karşılaştırın.Eğitim için 6. sınıf kesirler ile örnekler
Kesirlerle denklem çözme 6. sınıf
Burada ortak bir paydaya varmadan sadece kesirlerin farkını bulmanız gerekiyor.