Çözüm nok'u bulmaktan geçiyor. Sayıların nod'u ve nok'u - birkaç sayının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı
İki veya daha fazla sayının en küçük ortak katını incelemeye başlayalım. Bu bölümde terimi tanımlayacağız, en küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki bağlantıyı kuran teoremi ele alacağız ve problem çözme örnekleri vereceğiz.
Ortak katlar – tanım, örnekler
Bu başlıkta sadece sıfır dışındaki tam sayıların ortak katlarıyla ilgileneceğiz.
Tanım 1
Tam sayıların ortak katı verilen tüm sayıların katı olan bir tamsayıdır. Aslında verilen sayılardan herhangi birine bölünebilen herhangi bir tam sayıdır.
Ortak katların tanımı iki, üç veya daha fazla tam sayıyı ifade eder.
örnek 1
Yukarıda verilen tanıma göre 12 sayısının ortak katları 3 ve 2'dir. Ayrıca 12 sayısı 2, 3 ve 4 sayılarının ortak katı olacaktır. 12 ve -12 sayıları ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 sayılarının ortak katlarıdır.
Aynı zamanda, 2 ve 3 sayılarının ortak katı 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 sayıları ve bir dizi başka sayı olacaktır.
Bir çiftin ilk sayısına bölünebilen ve ikincisine bölünmeyen sayıları alırsak, bu sayılar ortak kat olmayacaktır. Yani 2 ve 3 sayıları için 16, − 27, 5009, 27001 sayıları ortak kat olmayacaktır.
0, sıfır dışındaki herhangi bir tam sayı kümesinin ortak katıdır.
Bölünebilme özelliğini hatırlarsak zıt sayılar, o zaman bazı k tamsayılarının, tıpkı - k sayısı gibi, bu sayıların ortak katı olacağı ortaya çıkar. Bu, ortak bölenlerin pozitif veya negatif olabileceği anlamına gelir.
Tüm numaraların LCM'sini bulmak mümkün mü?
Herhangi bir tam sayının ortak katı bulunabilir.
Örnek 2
Diyelim ki bize verildi k tamsayılar a 1 , a 2 , … , a k. Sayıları çarptığımızda elde ettiğimiz sayı a 1 · a 2 · … · a k bölünebilme özelliğine göre orijinal üründe yer alan faktörlerin her birine bölünecektir. Bu, sayıların çarpımı anlamına gelir a 1 , a 2 , … , a k bu sayıların en küçük ortak katıdır.
Bu tam sayıların kaç tane ortak katı olabilir?
Bir grup tamsayı olabilir çok sayıda ortak katlar. Aslında sayıları sonsuzdur.
Örnek 3
Diyelim ki elimizde bir k sayısı var. O zaman z'nin bir tam sayı olduğu k · z sayılarının çarpımı, k ve z sayılarının ortak katı olacaktır. Sayıların sayısı sonsuz olduğuna göre ortak katların sayısı da sonsuzdur.
En Küçük Ortak Kat (LCM) – Tanım, Gösterim ve Örnekler
En küçük sayı kavramını hatırlayalım. verilen set“Tam Sayıları Karşılaştırma” bölümünde incelediğimiz sayılar. Bu kavramı dikkate alarak, tüm ortak katlar arasında pratik açıdan en büyük öneme sahip olan en küçük ortak katın tanımını formüle ediyoruz.
Tanım 2
Verilen tam sayıların en küçük ortak katı bu sayıların en küçük pozitif ortak katıdır.
Verilen sayıların herhangi bir sayısı için bir en küçük ortak kat mevcuttur. Referans literatüründe kavramın en yaygın kullanılan kısaltması NOC'dir. Sayıların en küçük ortak katının kısa gösterimi a 1 , a 2 , … , a k LOC formuna sahip olacak (bir 1, bir 2,…, bir k).
Örnek 4
6 ve 7'nin en küçük ortak katı 42'dir. Onlar. LCM(6, 7) = 42. 2, 12, 15 ve 3 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır. Kısa bir gösterim LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60 gibi görünecektir.
Verilen sayıların tüm grupları için en küçük ortak kat açık değildir. Çoğu zaman hesaplanması gerekir.
NOC ve GCD arasındaki ilişki
En az ortak kat ve en büyük ortak bölen birbirine bağlı. Kavramlar arasındaki ilişki teorem ile kurulur.
Teorem 1
İki pozitif tamsayı a ve b'nin en küçük ortak katı, a ve b'nin çarpımının a ve b'nin en büyük ortak bölenine bölünmesine eşittir, yani LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) ).
Kanıt 1
Diyelim ki elimizde a ve b sayılarının katı olan bir M sayısı var. M sayısı a'ya bölünebiliyorsa z tam sayısı da vardır. , eşitliğin doğru olduğu koşullar altında M = a k. Bölünebilme tanımına göre M şuna bölünebilir: B, e sonra a · k bölü B.
Eğer gcd (a, b) için yeni bir gösterim eklersek: D, o zaman eşitlikleri kullanabiliriz a = a 1 d ve b = b 1 · d. Bu durumda her iki eşitlik de göreceli asal sayılar olacaktır.
Yukarıda zaten belirledik a · k bölü B. Şimdi bu koşul şu şekilde yazılabilir:
1 gün bölü b 1 gün koşuluna eşdeğerdir 1 bin bölü b 1 Bölünebilme özelliklerine göre.
Eş asal sayıların özelliğine göre; 1 Ve b 1– eş asal sayılar, 1 bölünemez b 1 Aslında buna rağmen 1 bin bölü b 1, O b 1 paylaşılmalıdır k.
Bu durumda bir sayının var olduğunu varsaymak doğru olacaktır. T, hangisi için k = b 1 t, dan beri b 1 = b: d, O k = b: d t.
Şimdi bunun yerine k eşitliğin yerine koyalım M = a k formun ifadesi b: d t. Bu eşitliği sağlamamızı sağlar M = a b: d t. Şu tarihte: t = 1 a ve b'nin en küçük pozitif ortak katını alabiliriz , eşit bir b: d a ve b sayıları şartıyla pozitif.
Böylece LCM (a, b) = a · b: OBEB olduğunu kanıtladık (a, b).
LCM ile GCD arasında bir bağlantı kurmak, verilen iki veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni aracılığıyla en küçük ortak katı bulmanızı sağlar.
Tanım 3
Teoremin iki önemli sonucu vardır:
- iki sayının en küçük ortak katının katları, bu iki sayının ortak katlarıyla aynıdır;
- karşılıklı asal pozitif sayılar a ve b'nin en küçük ortak katı, çarpımlarına eşittir.
Bu iki gerçeği kanıtlamak zor değil. a ve b sayılarının herhangi bir ortak katı, bir t tamsayı değeri için M = LCM (a, b) · t eşitliği ile tanımlanır. a ve b göreceli olarak asal olduğundan, gcd (a, b) = 1 olur, dolayısıyla gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı
Birkaç sayının en küçük ortak katını bulmak için iki sayının LCM'sini sırayla bulmak gerekir.
Teorem 2
Öyleymiş gibi yapalım a 1 , a 2 , … , a k- bunlar bazı tam sayılardır pozitif sayılar. LCM'yi hesaplamak için mk bu sayıları sırayla hesaplamamız gerekiyor m2 = LCM(a 1 , a 2) , m3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .
Kanıt 2
Bu konuda tartışılan ilk teoremin ilk sonucu, ikinci teoremin geçerliliğini kanıtlamamıza yardımcı olacaktır. Gerekçe aşağıdaki algoritmaya dayanmaktadır:
- sayıların ortak katları 1 Ve bir 2 LCM'lerinin katlarıyla çakışırlar, aslında sayının katlarıyla çakışırlar m2;
- sayıların ortak katları 1, bir 2 Ve 3 m2 Ve 3 m3;
- sayıların ortak katları a 1 , a 2 , … , a k sayıların ortak katlarıyla çakışmak m k - 1 Ve bir k bu nedenle sayının katlarıyla çakışır mk;
- sayının en küçük pozitif katının olması nedeniyle mk sayının kendisi mi mk, ardından sayıların en küçük ortak katı a 1 , a 2 , … , a k dır-dir mk.
Teoremi bu şekilde kanıtladık.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Tanım. a ve b sayılarını kalansız olarak bölen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak bölen (GCD) bu sayılar.
24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayılarıdır; 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayılarıdır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. Bu tür sayılara denir karşılıklı olarak asal.
Tanım. Doğal sayılara denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri (GCD) 1 ise.
En Büyük Ortak Bölen (GCD) verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.
48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırdığımızda şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan ilkinin açılımında yer alan faktörlerden, ikinci sayının açılımında yer almayanları (yani iki ikiyi) çıkarıyoruz.
Geriye kalan çarpanlar 2*2*3'tür. Çarpımları 12'ye eşittir. Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak böleni olur. Üç veya daha fazla sayının da en büyük ortak böleni bulunur.
Bulmak en büyük ortak böleni
2) bu sayılardan birinin genişletilmesine dahil edilen faktörlerden, diğer sayıların genişletilmesine dahil olmayanların üzerini çizin;
3) Kalan faktörlerin çarpımını bulun.
Verilen sayıların tümü bunlardan birine bölünebiliyorsa bu sayı en büyük ortak böleni verilen rakamlar.
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180 sayılarının en büyük ortak böleni 15 sayısıdır, çünkü diğer tüm sayılar ona bölünebilir: 45, 75 ve 180.
En küçük ortak kat (LCM)
Tanım. En küçük ortak kat (LCM) a ve b doğal sayıları hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: 75 = 3 * 5 * 5 ve 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazalım ve bunlara ikinci sayının açılımında eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekleyelim (yani çarpanları birleştirelim).
Çarpımı 300 olan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 şeklinde beş çarpan elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.
Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını da bulurlar.
İle en küçük ortak katları bul birkaç doğal sayıya ihtiyacınız var:
1) bunları asal faktörlere ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri bunlara ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.
Bu sayılardan biri diğer tüm sayılara bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğunu unutmayın.
Örneğin 12, 15, 20 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı 60'tır çünkü bu sayıların tümüne bölünebilir.
Pisagor (MÖ VI. yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit olan (sayı hariç) bir sayıya mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33.550.336'dır. Pisagorcular yalnızca ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. N. e. Beşincisi (33.550.336) 15. yüzyılda bulundu. 1983 yılına gelindiğinde 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak bilim adamları hala tek mükemmel sayıların mı yoksa en büyük mükemmel sayıların mı olduğunu bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da asal sayıların bir çarpımı olarak temsil edilebilmesinden kaynaklanmaktadır; yani asal sayılar, geri kalanların inşa edildiği tuğlalar gibidir. tamsayılar.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların eşit olmayan bir şekilde oluştuğunu fark etmişsinizdir - serinin bazı kısımlarında daha fazla, bazılarında ise daha az vardır. Ama ne kadar ileri gidersek sayı serisi asal sayılar daha az yaygındır. Şu soru ortaya çıkıyor: Son (en büyük) bir asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Elementler” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayının olduğunu, yani her asal sayının arkasında daha büyük bir asal sayının bulunduğunu kanıtladı. sayı.
Asal sayıları bulmak için aynı dönemdeki bir başka Yunan matematikçi Eratosthenes bu yöntemi ortaya attı. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı, sonra ne asal ne de bileşik sayı olan bir sayının üzerini çizdi, sonra 2'den sonra gelen tüm sayıların (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8, vb.). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Daha sonra ikiden sonra 3'ten sonra gelen tüm sayıların (3'ün katı olan sayılar yani 6, 9, 12 vb.) üzeri çizildi. sonunda yalnızca asal sayılar çaprazlanmadan kaldı.
Çevrimiçi hesap makinesi, iki veya herhangi başka sayıda sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar.
GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi
GCD ve LOC'yi bulun
Bulunan GCD ve LOC: 5806
Hesap makinesi nasıl kullanılır?
- Giriş alanına sayıları girin
- Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
- "GCD ve LCM'yi Bul" düğmesini tıklayın
Sayılar nasıl girilir
- Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
- Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil
GCD ve NOC nedir?
En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.
Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?
Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.
Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler
1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.
2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.
3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.
4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.
İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?
İki sayının gcd'si nasıl bulunur
En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.
Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:
- Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
- Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.
İki sayının LCM'si nasıl bulunur?
İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.
LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:
- 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
- OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
- LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .
Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma
En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrıştırılır ve bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).
Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.
- Öncelikle sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
- Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
- Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
- Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.
Örneğin:
12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;
36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.
Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .
12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.
Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır; bu durumda bu 90. Bu sayıya denir en küçükortak kat (CMM).
LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.
En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.
Değişebilirlik:
İlişkisellik:
Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:
İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).
Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.
Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:
Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).
Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.
En küçük ortak katı (LCM) bulma.
NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:
1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:
2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:
Nerede p 1 ,...,p k- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,d k Ve e 1 ,...,ek- negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).
Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:
Başka bir deyişle, LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.
Örnek:
Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:
Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;
- en büyük genişlemeyi (istenen ürünün faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın çok sayıda verilenlerden) ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya daha az sayıda görünen diğer sayıların açılımından faktörleri ekleyin;
— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.
Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.
28 sayısının asal çarpanlarına (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) eklenir, elde edilen çarpım (84), 21 ve 28'e bölünebilen en küçük sayı olacaktır.
En büyük 30 sayısının asal çarpanları 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır, sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı en büyük 30 sayısından büyüktür ve hepsine bölünebilir verilen sayılar iz bırakmadan. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).
2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.
Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.
Başka seçenek:
Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:
1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;
4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;
5) bu güçleri çarpın.
Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.
Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Ortaokul 5. sınıfta “Çoklu Sayılar” konusu işleniyor. Amacı yazılı ve sözlü matematiksel hesaplama becerilerini geliştirmektir. Bu derste yeni kavramlar tanıtılıyor - “katlı sayılar” ve “bölenler”, bir doğal sayının bölenlerini ve katlarını bulma tekniği ve LCM'yi çeşitli yollarla bulma yeteneği.
Bu konu çok önemlidir. Kesirli örnekleri çözerken bu bilgi uygulanabilir. Bunu yapmak için en küçük ortak katı (LCM) hesaplayarak ortak paydayı bulmanız gerekir.
A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir tamsayıdır.
Her doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. Kendisi en küçük olarak kabul edilir. Kat, sayının kendisinden küçük olamaz.
125 sayısının 5'in katı olduğunu kanıtlamanız gerekiyor. Bunun için ilk sayıyı ikinciye bölmeniz gerekiyor. 125, 5'e kalansız bölünüyorsa cevap evettir.
Bu yöntem küçük sayılar için geçerlidir.
LOC hesaplanırken özel durumlar vardır.
1. Biri (80) diğerine (20) bölünebilen 2 sayının (örneğin 80 ve 20) ortak katını bulmanız gerekiyorsa, bu sayı (80) bunların en küçük katıdır. iki sayı.
LCM(80, 20) = 80.
2. Eğer ikisinin ortak böleni yoksa, onların LCM'lerinin bu iki sayının çarpımı olduğunu söyleyebiliriz.
LCM(6, 7) = 42.
Son örneğe bakalım. 6 ve 7'nin 42 ile ilişkisi bölenlerdir. Bir sayının katlarını kalansız bölerler.
Bu örnekte 6 ve 7 eşleştirilmiş faktörlerdir. Çarpımları en çok çarpan sayıya (42) eşittir.
Bir sayı yalnızca kendisine veya 1'e (3:1=3; 3:3=1) bölünebiliyorsa asal sayı olarak adlandırılır. Geri kalanlara kompozit denir.
Başka bir örnek, 9'un 42'nin böleni olup olmadığının belirlenmesini içerir.
42:9=4 (kalan 6)
Cevap: 9, 42'nin böleni değildir çünkü cevabın bir kalanı vardır.
Bölen, doğal sayıların bölündüğü sayı olması ve katın kendisinin de bu sayıya bölünebilmesi açısından bir çokludan farklıdır.
Sayıların en büyük ortak böleni A Ve B, en küçük katlarıyla çarpıldığında sayıların çarpımını verir A Ve B.
Yani: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Daha karmaşık sayıların ortak katları aşağıdaki şekilde bulunur.
Örneğin 168, 180, 3024'ün LCM'sini bulun.
Bu sayıları asal çarpanlara ayırıp kuvvetlerin çarpımı olarak yazıyoruz:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.