Hangi ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır? İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?
5x(x-4) = 0
5 x = 0 veya x - 4 = 0
x = ± √ 25/4
Birinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikten sonra, elbette başkalarıyla, özellikle ikinci dereceden denklemlerle, aksi takdirde ikinci dereceden olarak adlandırılanlarla çalışmak istersiniz.
İkinci dereceden denklemler- bunlar ax² + bx + c = 0 tipinde denklemlerdir, burada değişken x'tir, sayılar a, b, c'dir, burada a sıfıra eşit değildir.
İkinci dereceden bir denklemde katsayılardan biri veya diğeri (c veya b) sıfıra eşitse, bu denklem tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak sınıflandırılacaktır.
Öğrenciler şimdiye kadar yalnızca birinci dereceden denklemleri çözebildiyse, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri düşünün farklı şekiller ve bunları çözmenin basit yolları.
a) Eğer c katsayısı 0'a eşitse ve b katsayısı sıfıra eşit değilse, ax ² + bx + 0 = 0, ax ² + bx = 0 formundaki bir denkleme indirgenir.
Böyle bir denklemi çözmek için, eksik ikinci dereceden bir denklemi çözme formülünü bilmeniz gerekir; bu, sol tarafının çarpanlara ayrılmasından ve daha sonra ürünün sıfıra eşit olması koşulunun kullanılmasından oluşur.
Örneğin, 5x² - 20x = 0. Her zamanki matematik işlemini gerçekleştirirken denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz: ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz
5x(x-4) = 0
Çarpımların sıfıra eşit olması koşulunu kullanıyoruz.
5 x = 0 veya x - 4 = 0
Cevap şu olacaktır: ilk kök 0'dır; ikinci kök 4'tür.
b) Eğer b = 0 ve serbest terim sıfıra eşit değilse, ax ² + 0x + c = 0 denklemi ax ² + c = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Denklemler iki şekilde çözülür. : a) Denklemin sol tarafındaki polinomunu çarpanlara ayırarak; b) aritmetik karekökün özelliklerini kullanmak. Böyle bir denklem aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılarak çözülebilir:
x = ± √ 25/4
x = ± 5/2. Cevap şu olacak: ilk kök 5/2; ikinci kök - 5/2'ye eşittir.
c) Eğer b 0'a ve c 0'a eşitse, ax ² + 0 + 0 = 0, ax ² = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Böyle bir denklemde x, 0'a eşit olacaktır.
Gördüğünüz gibi, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin ikiden fazla kökü olamaz.
Daha basit bir şekilde. Bunu yapmak için z'yi parantezlerin dışına çıkarın. Şunu elde edersiniz: z(аz + b) = 0. Her ikisi de sıfırla sonuçlanabileceğinden, çarpanlar şu şekilde yazılabilir: z=0 ve аz + b = 0. az + b = 0 notasyonunda ikinciyi farklı bir işaretle sağa kaydırıyoruz. Buradan z1 = 0 ve z2 = -b/a elde ederiz. Bunlar orijinalin kökleridir.
аz² + с = 0 formunda tamamlanmamış bir denklem varsa, bu durumda serbest terimi denklemin sağ tarafına taşıyarak bulunur. Ayrıca işaretini de değiştirin. Sonuç az² = -с olacaktır. z² = -c/a'yı ifade edin. Kökünü alın ve iki çözümü yazın - pozitif ve olumsuz anlam kare kök.
Not
Denklemde kesirli katsayılar varsa kesirlerden kurtulmak için denklemin tamamını uygun faktörle çarpın.
İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bilgi hem okul çocukları hem de öğrenciler için gereklidir; bazen bu bir yetişkine de günlük yaşamda yardımcı olabilir. Birkaç özel çözüm yöntemi vardır.
İkinci Dereceden Denklemleri Çözme
a*x^2+b*x+c=0 formundaki ikinci dereceden denklem. Katsayı x istenilen değişkendir, a, b, c ise sayısal katsayılardır. “+” işaretinin “-” işaretine dönüşebileceğini unutmayın.Bu denklemi çözmek için Vieta teoremini kullanmak veya diskriminantı bulmak gerekir. En yaygın yöntem diskriminantı bulmaktır çünkü a, b, c'nin bazı değerleri için Vieta teoremini kullanmak mümkün değildir.
Diskriminantı (D) bulmak için D=b^2 - 4*a*c formülünü yazmanız gerekir. D değeri sıfırdan büyük, küçük veya sıfıra eşit olabilir. D sıfırdan büyük veya küçükse iki kök olacaktır, D = 0 ise yalnızca bir kök kalacaktır; daha doğrusu bu durumda D'nin iki eşdeğer kökü olduğunu söyleyebiliriz. Bilinen a, b, c katsayılarını formülde yerine koyun ve değeri hesaplayın.
Diskriminantı bulduktan sonra x'i bulmak için formülleri kullanın: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, burada sqrt, belirli bir sayının karekökünü almak anlamına gelen bir fonksiyondur. Bu ifadeleri hesapladıktan sonra denkleminizin iki kökünü bulacaksınız, bundan sonra denklem çözülmüş sayılır.
D sıfırdan küçükse hala kökleri vardır. Bu bölüm pratik olarak okulda çalışılmamaktadır. Üniversite öğrencileri kökün altında negatif bir sayının göründüğünün farkında olmalıdır. Hayali kısmı vurgulayarak bundan kurtulurlar, yani kökün altındaki -1 her zaman aynı pozitif sayı ile kök ile çarpılan hayali eleman “i”ye eşittir. Örneğin, eğer D=sqrt(-20) ise, dönüşümden sonra D=sqrt(20)*i ortaya çıkar. Bu dönüşümden sonra denklemin çözümü yukarıda anlatıldığı gibi aynı kök bulma işlemine indirgenir.
Vieta teoremi x(1) ve x(2) değerlerinin seçilmesinden oluşur. İki özdeş denklem kullanılır: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Ve çok önemli nokta b katsayısının önündeki işarettir, bu işaretin denklemdeki işaretin tersi olduğunu unutmayın. İlk bakışta x(1) ve x(2)'yi hesaplamak çok basit gibi görünse de çözerken sayıları seçmeniz gerektiği gerçeğiyle karşı karşıya kalacaksınız.
İkinci dereceden denklemleri çözmenin unsurları
Matematik kurallarına göre bazıları çarpanlara ayrılabilir: (a+x(1))*(b-x(2))=0, eğer bu ikinci dereceden denklemi matematik formüllerini kullanarak benzer şekilde dönüştürmeyi başardıysanız, o zaman çekinmeyin cevabını yaz. x(1) ve x(2) parantez içindeki bitişik katsayılara eşit ancak ters işaretli olacaktır.Ayrıca tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri de unutmayın. Bazı terimleri kaçırıyor olabilirsiniz; öyleyse tüm katsayılar sıfıra eşittir. Eğer x^2 veya x'in önünde hiçbir şey yoksa a ve b katsayıları 1'e eşittir.
İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0 verilsin.
y = ax 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin bir parabol olduğu teoremini kanıtlarken § 13'te uyguladığımız dönüşümlerin aynısını ikinci dereceden trinomial ax 2 + bx + c'ye uygulayalım.
Sahibiz
Genellikle b 2 - 4ac ifadesi D harfiyle gösterilir ve ikinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı (veya ikinci dereceden trinomial ax + bx + c'nin diskriminantı) olarak adlandırılır.
Böylece
Bu, ikinci dereceden ax 2 + onlar + c = O denkleminin şu şekilde yeniden yazılabileceği anlamına gelir:
İkinci dereceden herhangi bir denklem, ikinci dereceden bir denklemin kök sayısını belirlemek ve bu kökleri bulmak için, şimdi göreceğimiz gibi uygun olan (1) formuna dönüştürülebilir.
Kanıt. Eğer D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.
Örnek 1. 2x 2 + 4x + 7 = 0 denklemini çözün.
Çözüm. Burada a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
D'den beri< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Kanıt. D = 0 ise denklem (1) şu formu alır:
denklemin tek köküdür.
Not 1.
X = -'nin, y = ax 2 + onlar + c fonksiyonunun grafiği olarak görev yapan parabolün tepe noktasının apsisi olduğunu hatırlıyor musunuz? Neden bu
değerinin ikinci dereceden denklem ax 2 + onlar + c - 0'ın tek kökü olduğu ortaya çıktı. “Tabut” basitçe açılır: Eğer D 0 ise, o zaman, daha önce belirlediğimiz gibi,
Aynı fonksiyonun grafiği 
bir noktada tepe noktasına sahip bir paraboldür (bkz. örneğin Şekil 98). Bu, parabolün tepe noktasının apsisi ile ikinci dereceden denklemin D = 0 için tek kökünün aynı sayı olduğu anlamına gelir.
Örnek 2. 4x 2 - 20x + 25 = 0 denklemini çözün.
Çözüm. Burada a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.
D = 0 olduğundan, Teorem 2'ye göre bu ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır. Bu kök formülle bulunur
Cevap: 2.5.
Not 2.
4x 2 - 20x +25'in tam kare olduğuna dikkat edin: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Bunu hemen fark etmiş olsaydık denklemi şu şekilde çözerdik: (2x - 5) 2 = 0 yani 2x - 5 = 0, buradan x = 2,5 sonucunu elde ederiz. Genel olarak, eğer D = 0 ise, o zaman
ax 2 + bx + c = - bunu daha önce Açıklama 1'de belirtmiştik.
D > 0 ise ikinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denkleminin iki kökü vardır ve bunlar aşağıdaki formüllerle bulunur
Kanıt. İkinci dereceden denklem ax 2 + b x + c = 0'ı (1) formunda yeniden yazalım.
Hadi koyalım 
Koşula göre D > 0, yani denklemin sağ tarafı pozitif sayı. Daha sonra denklem (2)'den şunu elde ederiz:
Dolayısıyla verilen ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır:
Not 3.
Matematikte, tanıtılan terimin mecazi anlamda gündelik bir arka plana sahip olmaması nadiren olur. Yeni bir şey alalım
kavram - ayırt edici. “Ayrımcılık” sözcüğünü unutmayın. Bu ne anlama geliyor? Bu, bazılarının aşağılanması ve bazılarının yükseltilmesi anlamına gelir, yani. farklı tutum
çeşitli kişilere. Her iki kelime de (ayrımcı ve ayrımcılık) Latince diskriminans - "ayrımcı" kelimesinden gelmektedir. Diskriminant ikinci dereceden denklemleri kök sayısına göre ayırır.
Örnek 3. 3x 2 + 8x - 11 = 0 denklemini çözün.
Çözüm. Burada a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
D > 0 olduğundan, Teorem 3'e göre bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Bu kökler formüllere göre bulunur (3)
Aslında aşağıdaki kuralı geliştirdik:
Denklemin çözümü için kural
balta 2 + bx + c = 0
Bu kural evrenseldir; hem tam hem de eksik ikinci dereceden denklemler için geçerlidir. Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler genellikle bu kural kullanılarak çözülmez; bunları önceki paragrafta yaptığımız gibi çözmek daha uygundur.
Örnek 4. Denklemleri çözün:
a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.
Çözüm a) Burada a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1. (- 5) = 9 + 20 = 29.
D > 0 olduğundan bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Bu kökleri formülleri kullanarak buluyoruz (3)
B) Deneyimlerin gösterdiği gibi, baş katsayının pozitif olduğu ikinci dereceden denklemlerle uğraşmak daha uygundur. Bu nedenle önce denklemin her iki tarafını da -1 ile çarparsak, şunu elde ederiz:
9x2 - 6x + 1 = 0.
Burada a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
D = 0 olduğundan bu ikinci dereceden denklemin tek kökü vardır. Bu kök x = - formülüyle bulunur. Araç,
Bu denklem farklı şekilde çözülebilir: çünkü
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, o zaman (Зх - I) 2 = 0 denklemini elde ederiz, buradan Зх - 1 = 0'ı buluruz, yani x = .
c) Burada a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. D'den beri< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Matematikçiler pratik ve ekonomik insanlardır. Neden bunu kullanıyorlar diyorlar? uzun kural ikinci dereceden bir denklemi çözerken, genel formülü hemen yazmak daha iyidir:
Diskriminant D = b 2 - 4ac'nin negatif bir sayı olduğu ortaya çıkarsa, yazılı formül mantıklı değildir (karekök işaretinin altında negatif bir sayı vardır), bu da köklerin olmadığı anlamına gelir. Diskriminantın sıfıra eşit olduğu ortaya çıkarsa, o zaman şunu elde ederiz:
Yani, bir kök (bu durumda ikinci dereceden denklemin iki özdeş kökü olduğunu da söylüyorlar:
Son olarak, b 2 - 4ac > 0 olduğu ortaya çıkarsa, yukarıda belirtilen aynı formüller (3) kullanılarak hesaplanan iki kök x 1 ve x 2 elde ederiz.
Bu durumda sayının kendisi pozitiftir (herhangi bir Kare kök pozitif bir sayıdan) ve önündeki çift işaret, bir durumda (x 1 bulunurken) bu pozitif sayının - b sayısına eklendiği ve başka bir durumda (x 2 bulunurken) bu pozitif sayının olduğu anlamına gelir. kaldırıldı
numaradan okuyun - b.
Seçme özgürlüğünüz var. Yukarıda formüle edilen kuralı kullanarak ikinci dereceden denklemi ayrıntılı olarak çözmek ister misiniz? İsterseniz hemen formül (4)'ü yazın ve ondan gerekli sonuçları çıkarmak için kullanın.
Örnek 5. Denklemleri çözün:
Çözüm, a) Elbette bu durumda (4) veya (3) numaralı formülleri kullanabilirsiniz. 
Peki tam sayılarla uğraşmak daha kolay ve en önemlisi daha zevkliyken neden kesirli işler yapılıyor? Paydalardan kurtulalım. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını da 12 ile, yani denklemin katsayıları görevi gören kesirlerin en küçük ortak paydasıyla çarpmanız gerekir. Aldık
dolayısıyla 8x 2 + 10x - 7 = 0.
Şimdi formül (4)’ü kullanalım
B) Yine kesirli katsayıları olan bir denklemimiz var: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Denklemin her iki tarafını da 100 ile çarpalım, sonra tamsayı katsayılı bir denklem elde edelim:
300x2 - 20x + 277 = 0.
Daha sonra formül (4)'ü kullanıyoruz:
Basit bir hesaplama, diskriminantın (radikal ifade) negatif bir sayı olduğunu gösterir. Bu, denklemin köklerinin olmadığı anlamına gelir.
Örnek 6. Denklemi çözün 
Çözüm. Burada önceki örnekten farklı olarak kısaltılmış formül (4) yerine kurala göre hareket edilmesi tercih edilmektedir.
a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4'ümüz var. 5. 1 = 60 - 20 = 40. D > 0 olduğundan, ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır ve bunu (3) formülünü kullanarak arayacağız.
Örnek 7. Denklemi çözün
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0
Çözüm. Bu ikinci dereceden denklem, katsayıların belirli sayılar değil, harf ifadeleri olması nedeniyle şimdiye kadar ele alınan tüm ikinci dereceden denklemlerden farklıdır. Bu tür denklemlere harf katsayılı denklemler veya parametreli denklemler denir. Bu durumda p parametresi (harf) denklemin ikinci katsayısına ve serbest terimine dahil edilir.
Diskriminantı bulalım:
Örnek 8. px 2 + (1 - p) x - 1 = 0 denklemini çözün.
Çözüm. Bu aynı zamanda p parametreli bir denklemdir, ancak önceki örnekten farklı olarak (4) veya (3) formülleri kullanılarak hemen çözülemez. Gerçek şu ki, belirtilen formüller ikinci dereceden denklemlere uygulanabilir, ancak bunu belirli bir denklem için henüz söyleyemeyiz. Gerçekten de p = 0 ise ne olur? Daha sonra
denklem 0 formunu alacaktır. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, yani x - 1 = 0, bundan x = 1 elde ederiz. Şimdi, eğer bundan eminseniz, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri uygulayabilirsiniz. denklem:
İkinci dereceden denklemi düşünün:
(1)
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
;
.
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci dereceden bir polinom, faktörlerin (çarpanlarına alınmış) bir ürünü olarak temsil edilebilir:
.
Daha sonra bunların gerçek sayılar olduğunu varsayacağız.
Hadi düşünelim ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı:
.
Diskriminant pozitifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki farklı gerçek kökü vardır:
;
.
O halde ikinci dereceden trinomiyalin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Diskriminant sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklemin (1) iki çoklu (eşit) gerçek kökü vardır:
.
Faktorizasyon:
.
Diskriminant negatifse ikinci dereceden denklemin (1) iki karmaşık eşlenik kökü vardır:
;
.
İşte sanal birim;
ve köklerin gerçek ve sanal kısımları:
;
.
Daha sonra
.
Grafik yorumlama
Eğer inşa edersen bir fonksiyonun grafiği
,
bu bir parabol ise, grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
noktasında grafik x eksenini (ekseni) iki noktada keser.
Grafik x eksenine bir noktada dokunduğunda.
Grafik x eksenini kesmediğinde.
Aşağıda bu tür grafiklerin örnekleri verilmiştir.
İkinci Dereceden Denklemlerle İlgili Yararlı Formüller
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi
Dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve (f.1) ve (f.3) formüllerini uyguluyoruz:
,
Nerede
;
.
Böylece ikinci dereceden bir polinomun formülünü şu şekilde elde ettik:
.
Bu, denklemin
gerçekleştirilen
Ve .
Yani ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
.
İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri
örnek 1
(1.1)
.
Çözüm
.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.
Bundan ikinci dereceden üç terimlinin çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.
y = fonksiyonunun grafiği 2 x 2 + 7 x + 3 x eksenini iki noktada keser.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) iki noktada keser:
Ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.
Cevap
;
;
.
Örnek 2
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1)
.
Çözüm
İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant sıfır olduğundan denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.
O halde trinomiyalin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
y = x fonksiyonunun grafiği 2 - 4 x + 4 x eksenine bir noktada dokunuyor.
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenine (ekseni) bir noktada dokunuyor:
.
Bu nokta orijinal denklemin (2.1) köküdür. Çünkü bu kök iki kez çarpanlara ayrılır:
,
o zaman böyle bir köke genellikle kat denir. Yani iki eşit kökün olduğuna inanıyorlar:
.
Cevap
;
.
Örnek 3
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1)
.
Çözüm
İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazalım:
(1)
.
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırarak katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant negatiftir. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.
Karmaşık kökleri bulabilirsiniz:
;
;
Fonksiyonun grafiğini çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. X eksenini (ekseni) kesmez. Bu nedenle gerçek kökler yoktur.
Cevap
Gerçek kökler yoktur. Karmaşık kökler:
;
;
.
Bunun, a, b ve c'nin bilinmeyen x için gerçek katsayılar olduğu ve a ≠ o ile b ve c'nin aynı anda sıfır olacağı ax 2 + bx + c = o eşitliğinin özel bir versiyonu olduğu bilinmektedir. ayrı ayrı. Örneğin, c = o, b ≠ o veya tam tersi. İkinci dereceden denklemin tanımını neredeyse hatırladık.
İkinci derece trinomial sıfırdır. İlk katsayısı a ≠ o, b ve c herhangi bir değeri alabilir. X değişkeninin değeri, ikame onu doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğünde olacaktır. Gerçek köklere odaklanalım, ancak denklemler çözüm de olabilir. Katsayılardan hiçbirinin o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o'ya eşit olmadığı bir denklemi tam olarak adlandırmak gelenekseldir.
Bir örnek çözelim. 2x 2 -9x-5 = ah, buluyoruz
D = 81+40 = 121,
D pozitiftir, yani kökler vardır, x 1 = (9+√121):4 = 5 ve ikinci x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrol etmek doğru olduklarından emin olmanıza yardımcı olacaktır.
Burada adım adım çözüm ikinci dereceden denklem
Diskriminant kullanarak, sol tarafında a ≠ o için bilinen ikinci dereceden üç terimli herhangi bir denklemi çözebilirsiniz. Örneğimizde. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)
Bakalım neler var tamamlanmamış denklemler ikinci derece
- ax 2 +in = o. Serbest terim, x 0'daki c katsayısı, burada ≠ o'da sıfıra eşittir.
Bu türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Parantez içinde x'i çıkaralım. İki faktörün çarpımının sıfıra eşit olduğu zamanı hatırlayalım.
x(ax+b) = o, bu x = o veya ax+b = o olduğunda olabilir.
2.yi çözdükten sonra x = -в/а elde ederiz.
Sonuç olarak, x 2 = -b/a hesaplamalarına göre köklerimiz x 1 = 0'dır. - Şimdi x'in katsayısı o'ya eşittir ve c (≠) o'ya eşit değildir.
x 2 +c = o. C'yi eşitliğin sağ tarafına taşıyalım, x 2 = -с elde ederiz. Bu denklemin yalnızca -c pozitif bir sayı (c ‹ o) olduğunda gerçel kökleri vardır.
x 1 sırasıyla √(-c)'ye eşit olur, x 2 ise -√(-c) olur. Aksi takdirde denklemin hiçbir kökü yoktur. - Son seçenek: b = c = o, yani ax 2 = o. Doğal olarak bu kadar basit bir denklemin tek kökü vardır: x = o.
Özel durumlar
Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceğine baktık ve şimdi herhangi bir türü ele alalım.
- İkinci dereceden tam bir denklemde x'in ikinci katsayısı çift sayıdır.
k = o.5b olsun. Diskriminant ve kökleri hesaplamak için formüllerimiz var.
D/4 = k 2 - ac, D › o için kökler x 1,2 = (-k±√(D/4))/a olarak hesaplanır.
D = o'da x = -k/a.
D ‹ o için kök yoktur. - İkinci dereceden denklemler verilmiştir, x kare katsayısı 1'e eşit olduğunda genellikle x 2 + рх + q = o şeklinde yazılır. Yukarıdaki formüllerin tümü onlar için geçerlidir, ancak hesaplamalar biraz daha basittir.
Örnek, x 2 -4x-9 = 0. D: 2 2 +9, D = 13'ü hesaplayın.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13. - Ayrıca verilenlere uygulanması da kolaydır, denklemin köklerinin toplamının -p'ye eşit olduğunu, ikinci katsayının eksi (karşıt işaret anlamına gelir) olduğunu ve aynı köklerin çarpımının olacağını söylüyor. serbest terim olan q'ya eşit olsun. Bu denklemin köklerini sözlü olarak belirlemenin ne kadar kolay olacağını görün. İndirgenmemiş katsayılar için (sıfıra eşit olmayan tüm katsayılar için), bu teorem şu şekilde uygulanabilir: x 1 + x 2 toplamı -b/a'ya eşittir, x 1 · x 2 çarpımı c/a'ya eşittir.
Serbest terim c ile birinci katsayı a'nın toplamı b katsayısına eşittir. Bu durumda, denklemin en az bir kökü vardır (kanıtlanması kolaydır), birincisi zorunlu olarak -1'e ve varsa ikincisi -c/a'ya eşit olacaktır. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi kendiniz nasıl çözeceğinizi kontrol edebilirsiniz. Çocuk oyuncağı. Katsayılar birbirleriyle belirli ilişkiler içinde olabilir.
- x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
- Tüm katsayıların toplamı o'ya eşittir.
Böyle bir denklemin kökleri 1 ve c/a'dır. Örnek, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.
Çeşitli ikinci derece denklemleri çözmenin başka yolları da vardır. Örneğin burada belirli bir polinomdan tam bir kare çıkarmak için bir yöntem var. Birkaç grafiksel yöntem vardır. Bu tür örneklerle sık sık karşılaştığınızda, tohum gibi “tıklamayı” öğreneceksiniz çünkü tüm yöntemler otomatik olarak aklınıza geliyor.