Doğal logaritma için ters fonksiyon. Doğal logaritmayı anlamak

Bu, örneğin bir hesap makinesi olabilir. temel set programlar işletim sistemi Pencereler. Başlatma bağlantısı işletim sisteminin ana menüsünde oldukça gizlidir - "Başlat" düğmesine tıklayarak açın, ardından "Programlar" bölümünü açın, "Standart" alt bölümüne ve ardından "Yardımcı Programlar" a gidin bölümüne gidin ve son olarak “Hesap Makinesi” öğesine tıklayın " Fareyi kullanmak ve menülerde gezinmek yerine klavyeyi ve program başlatma iletişim kutusunu kullanabilirsiniz - WIN + R tuş bileşimine basın, calc yazın (bu, hesap makinesinin çalıştırılabilir dosyasının adıdır) ve Enter tuşuna basın.

Hesap makinesi arayüzünü aşağıdakileri yapmanıza olanak tanıyan gelişmiş moda geçirin: Varsayılan olarak "normal" görünümde açılır, ancak "mühendislik" veya " " (kullandığınız işletim sisteminin sürümüne bağlı olarak) gerekir. Menüdeki “Görünüm” bölümünü genişletin ve uygun satırı seçin.

Doğal değerini değerlendirmek istediğiniz bağımsız değişkeni girin. Bu, klavyeden veya ekrandaki hesap makinesi arayüzündeki ilgili düğmelere tıklayarak yapılabilir.

ln etiketli düğmeye tıklayın - program e tabanına göre logaritmayı hesaplayacak ve sonucu gösterecektir.

Değerin alternatif hesaplaması için -hesaplayıcılardan birini kullanın doğal logaritma. Örneğin, şurada bulunan http://calc.org.ua. Arayüzü son derece basittir - logaritmasını hesaplamanız gereken sayının değerini yazmanız gereken tek bir giriş alanı vardır. Düğmeler arasında ln yazanı bulun ve tıklayın. Bu hesap makinesinin komut dosyası, sunucuya veri gönderilmesini ve yanıt verilmesini gerektirmez, dolayısıyla hesaplama sonucunu neredeyse anında alırsınız. Dikkate alınması gereken tek özellik, girilen sayının kesirli ve tam sayı kısımları arasındaki ayırıcının nokta değil, nokta olmasıdır.

Dönem " logaritma", biri "sayı", diğeri "oran" anlamına gelen iki Yunanca kelimeden gelir. Yükseltilmesi gereken değişken bir miktarın (üs) hesaplanmasına ilişkin matematiksel işlemi ifade eder. sabit değer(taban) işaretinin altında belirtilen numarayı almak için logaritma A. Taban "e" sayısı olarak adlandırılan bir matematik sabitine eşitse, o zaman logaritma"doğal" denir.

İhtiyacın olacak

• İnternet erişimi, Microsoft Office Excel veya hesap makinesi.

Talimatlar

İnternette bulunan birçok hesap makinesini kullanın; bu belki de doğal a'yı hesaplamanın kolay bir yoludur. Pek çok kişi uygun hizmeti aramanıza gerek yok. arama motorları ve kendilerinin yerleşik hesap makineleri var, çalışmak için oldukça uygun logaritma ben miyim. Örneğin, en büyük çevrimiçi arama motoru olan Google'ın ana sayfasına gidin. Değerleri girmek veya işlevleri seçmek için burada herhangi bir düğmeye gerek yoktur; yalnızca istediğiniz matematiksel eylemi sorgu giriş alanına girin. Diyelim ki hesaplamak için logaritma ve "e" tabanındaki 457 sayısını girin, ln 457'yi girin - bu, Google'ın, sunucuya bir istek göndermek için düğmeye basmadan bile sekiz ondalık basamak doğruluğuyla (6.12468339) görüntülemesi yeterli olacaktır.

Doğal bir değerin değerini hesaplamanız gerekiyorsa uygun yerleşik işlevi kullanın. logaritma ve popüler elektronik tablo düzenleyicisi Microsoft Office Excel'de verilerle çalışırken ortaya çıkar. Bu fonksiyon burada ortak gösterim kullanılarak çağrılmaktadır. logaritma ve büyük harf - LN. Hesaplama sonucunun görüntüleneceği hücreyi seçin ve eşittir işareti girin - bu elektronik tablo düzenleyicide, ana menünün "Tüm Programlar" bölümünün "Standart" alt bölümünde yer alan hücrelerde kayıtlar bu şekilde başlamalıdır. Alt + 2 tuşlarına basarak hesap makinesini daha işlevsel bir moda geçirin. Ardından doğal değeri girin logaritma hesaplamak istediğinizi seçin ve program arayüzünde ln sembolleriyle gösterilen düğmeye tıklayın. Uygulama hesaplamayı gerçekleştirecek ve sonucu gösterecektir.

Konuyla ilgili video

Doğal logaritma

Doğal logaritma fonksiyonunun grafiği. Fonksiyon arttıkça yavaş yavaş pozitif sonsuza yaklaşır. X ve hızla negatif sonsuza yaklaşırken X herhangi bir değerle karşılaştırıldığında 0'a ("yavaş" ve "hızlı") eğilimlidir. güç fonksiyonu itibaren X).

Doğal logaritma tabanın logaritması , Nerede e- yaklaşık 2,718281 828'e eşit irrasyonel bir sabit. Doğal logaritma genellikle şu şekilde yazılır: ln( X), kayıt e (X) veya bazen sadece log( X), eğer taban e ima edildi.

Bir sayının doğal logaritması X(olarak yazılır ln(x)) sayının yükseltilmesi gereken üs e, Elde etmek üzere X. Örneğin, ln(7,389...) 2'ye eşit çünkü e 2 =7,389... . Sayının kendisinin doğal logaritması e (ln(e)) 1'e eşittir çünkü e 1 = e ve doğal logaritma 1'dir ( (1)) 0'a eşittir çünkü e 0 = 1.

Doğal logaritma herhangi bir pozitif gerçek sayı için tanımlanabilir. A eğrinin altındaki alan olarak sen = 1/X 1'den A. Doğal logaritmayı kullanan diğer birçok formülle tutarlı olan bu tanımın basitliği, "doğal" ismine yol açmıştır. Bu tanım aşağıda tartışıldığı gibi karmaşık sayılara genişletilebilir.

Doğal logaritmayı gerçek bir değişkenin gerçek bir fonksiyonu olarak düşünürsek, bu üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur ve bu da özdeşliklere yol açar:

Tüm logaritmalar gibi, doğal logaritma da çarpmayı toplamaya eşler:

Dolayısıyla logaritmik fonksiyon, pozitif gerçek sayılar grubunun toplamaya göre gerçek sayılar grubuyla çarpmaya göre bir izomorfizmidir ve bu, bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:

Logaritma yalnızca 1 dışında herhangi bir pozitif taban için tanımlanabilir. e ancak diğer tabanlara ilişkin logaritmalar, doğal logaritmadan yalnızca sabit bir faktörle farklılık gösterir ve genellikle doğal logaritma cinsinden tanımlanır. Logaritmalar, bilinmeyenleri üs olarak içeren denklemleri çözmek için kullanışlıdır. Örneğin, bilinen bir yarı ömür için bozunma sabitini bulmak veya radyoaktivite problemlerini çözerken bozunma süresini bulmak için logaritmalar kullanılır. Matematiğin ve uygulamalı bilimlerin birçok alanında önemli bir rol oynarlar ve finansta bileşik faiz bulmak da dahil olmak üzere birçok sorunu çözmek için kullanılırlar.

Hikaye

Doğal logaritmanın ilk sözü Nicholas Mercator'un eserinde yapılmıştır. Logaritmoteknik 1668'de yayınlandı, ancak matematik öğretmeni John Spidell 1619'da bir doğal logaritma tablosu derledi. Daha önce hiperbolik logaritma olarak adlandırılıyordu çünkü hiperbolün altındaki alana karşılık geliyordu. Bu terimin orijinal anlamı biraz farklı olmasına rağmen bazen Napier logaritması olarak da adlandırılır.

Tanımlama kuralları

Doğal logaritma genellikle "ln(" ile gösterilir. X)", 10 tabanına göre logaritma - "lg( X)" ve diğer nedenler genellikle "log" sembolüyle açıkça belirtilir.

Ayrık matematik, sibernetik ve bilgisayar bilimi üzerine birçok çalışmada yazarlar “log(” gösterimini kullanırlar. X)", ancak bu kural genel olarak kabul edilmez ve ilk kullanıldığında ya kullanılan notasyon listesinde ya da (böyle bir listenin yokluğunda) bir dipnot ya da yorumla açıklama yapılmasını gerektirir.

Logaritma argümanının etrafındaki parantezler (eğer bu formülün hatalı okunmasına yol açmıyorsa) genellikle atlanır ve bir logaritmayı bir kuvvete yükseltirken üs doğrudan logaritmanın işaretine atanır: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ içinde ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerikan sistemi

Matematikçiler, istatistikçiler ve bazı mühendisler genellikle doğal logaritmayı veya "log(" değerini belirtmek için kullanırlar. X)" veya "ln( X)" ve 10 tabanındaki logaritmayı belirtmek için - "log 10 ( X)».

Bazı mühendisler, biyologlar ve diğer uzmanlar her zaman “ln( X)" (veya bazen "log e ( X)") doğal logaritmayı kastettikleri zaman ve "log( X)", log 10'u kastediyorlar ( X).

kayıt e"doğal" bir logaritmadır çünkü otomatik olarak oluşur ve matematikte çok sık görülür. Örneğin logaritmik bir fonksiyonun türevi problemini düşünün:

Eğer baz B eşittir e, o zaman türev basitçe 1/ X, ve ne zaman X= 1 bu türev 1'e eşittir. Tabanın başka bir nedeni e Logaritmanın en doğal yanı, diğer logaritmalar için söylenemeyen basit bir integral veya Taylor serisi cinsinden oldukça basit bir şekilde tanımlanabilmesidir.

Doğallığa ilişkin diğer gerekçeler notasyonla ilgili değildir. Örneğin, doğal logaritmalara sahip birkaç basit seri vardır. Pietro Mengoli ve Nicholas Mercator onları aradı logaritma doğallığı Newton ve Leibniz diferansiyel ve integral hesabı geliştirene kadar birkaç on yıl sürdü.

Tanım

Resmi olarak ln( A) grafiğin eğrisinin altındaki alan olarak tanımlanabilir 1/ X 1'den A, yani bir integral olarak:

Bu gerçekten bir logaritmadır çünkü logaritmanın temel özelliğini karşılar:

Bu, aşağıdaki gibi varsayılarak gösterilebilir:

Sayısal değer

Bir sayının doğal logaritmasının sayısal değerini hesaplamak için Taylor serisi açılımını şu şekilde kullanabilirsiniz:

Elde etmek üzere daha iyi hız yakınsama için aşağıdaki özdeşliği kullanabiliriz:

şartıyla sen = (X−1)/(X+1) ve X > 0.

ln için( X), Nerede X> 1, değer ne kadar yakınsa X 1'e, o zaman daha yüksek hız yakınsama. Logaritmayla ilişkili kimlikler hedefe ulaşmak için kullanılabilir:

Bu yöntemler, sayısal tabloların kullanıldığı ve yukarıda açıklananlara benzer manipülasyonların yapıldığı hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce bile kullanılıyordu.

Yüksek doğruluk

Doğal logaritmayı hesaplamak için büyük miktar Doğruluk sayılarında Taylor serisi yakınsaması yavaş olduğu için verimli değildir. Bir alternatif, serisi daha hızlı yakınsayan üstel bir fonksiyona tersine çevirmek için Newton yöntemini kullanmaktır.

Çok uygun bir alternatif yüksek hassasiyet hesaplama formüldür:

Nerede M 1 ve 4/s'nin aritmetik-geometrik ortalamasını belirtir ve

Möyle seçilmiş P doğruluk işaretleri elde edilir. (Çoğu durumda m için 8 değeri yeterlidir.) Aslında, eğer bu yöntem kullanılırsa, üstel fonksiyonu verimli bir şekilde hesaplamak için Newton'un doğal logaritmasının tersi uygulanabilir. (In 2 ve pi sabitleri, bilinen hızlı yakınsak serilerden herhangi biri kullanılarak istenen doğrulukta önceden hesaplanabilir.)

Hesaplama karmaşıklığı

Doğal logaritmanın hesaplama karmaşıklığı (aritmetik-geometrik ortalama kullanılarak) O( M(N)in N). Burada N doğal logaritmanın değerlendirilmesi gereken hassas basamak sayısıdır ve M(N) ikiyi çarpmanın hesaplama karmaşıklığıdır N-haneli sayılar.

Devam eden kesirler

Bir logaritmayı temsil edecek basit sürekli kesirler olmamasına rağmen, aşağıdakiler de dahil olmak üzere çeşitli genelleştirilmiş sürekli kesirler kullanılabilir:

Karmaşık logaritmalar

Üstel fonksiyon, karmaşık sayı formunu veren bir fonksiyona genişletilebilir. e X herhangi bir rastgele karmaşık sayı için X, bu durumda karmaşık bir sonsuz seri X. Bu üstel fonksiyon, sıradan logaritmanın özelliklerinin çoğuna sahip olacak karmaşık bir logaritma oluşturacak şekilde ters çevrilebilir. Ancak iki zorluk var: X, hangisi için e X= 0 ve öyle görünüyor ki e 2πi = 1 = e 0. Çarpma özelliği karmaşık bir üstel fonksiyon için geçerli olduğundan, o zaman e z = e z+2hayır tüm karmaşıklar için z ve bütün N.

Logaritma tüm karmaşık düzlem üzerinde tanımlanamaz ve bu durumda bile çok değerlidir; herhangi bir karmaşık logaritma, 2'nin herhangi bir tamsayı katının eklenmesiyle "eşdeğer" bir logaritma ile değiştirilebilir. πi. Karmaşık logaritma yalnızca karmaşık düzlemin bir diliminde tek değerli olabilir. Örneğin, ln Ben = 1/2 πi veya 5/2 πi veya −3/2 πi, vb. ve buna rağmen Ben 4 = 1,4 günlük Ben 2 olarak tanımlanabilir πi veya 10 πi veya −6 πi, ve benzeri.

Ayrıca bakınız

• John Napier - logaritmanın mucidi

Notlar

1. Fiziksel kimya için matematik. - 3 üncü. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Sayfa 9'dan alıntı
2. JJ O"Connor ve EF Robertson Numara e. MacTutor Matematik Tarihi arşivi (Eylül 2001). Arşivlendi
3. Cajori Florian Matematik Tarihi, 5. baskı. - AMS Kitabevi, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Polinomları Kullanarak İntegralleri Tahmin Etmek. 12 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Hiç de fena değil, değil mi? Matematikçiler size uzun ve kafa karıştırıcı bir tanım verecek kelimeleri ararken, gelin bu basit ve net tanıma daha yakından bakalım.

E sayısı büyüme anlamına gelir

E sayısı sürekli büyüme anlamına gelir. Önceki örnekte gördüğümüz gibi, e x faiz ile zamanı birbirine bağlamamızı sağlar: "bileşik faiz" varsayımıyla, %100 büyümede 3 yıl, %300 büyümede 1 yıl ile aynıdır.

Herhangi bir yüzde ve zaman değerini (4 yıl için %50) değiştirebilirsiniz, ancak kolaylık olması açısından yüzdeyi %100 olarak ayarlamak daha iyidir (2 yıl için %100 olur). %100'e geçerek yalnızca zaman bileşenine odaklanabiliriz:

e x = e yüzde * zaman = e 1,0 * zaman = e zaman

Açıkçası e x şu anlama gelir:

• x birim zaman sonra katkım ne kadar artacak (%100 sürekli büyüme varsayılarak).
• örneğin, 3 zaman aralığından sonra e 3 = 20,08 kat daha fazla "şey" alacağım.

e x, x kadar sürede hangi seviyeye büyüyeceğimizi gösteren bir ölçeklendirme faktörüdür.

Doğal logaritma zaman demektir

Doğal logaritma, zıt anlamına gelen süslü bir terim olan e'nin tersidir. Tuhaflıklardan bahsetmişken; Latince'de buna logarithmus naturali denir, dolayısıyla ln kısaltması kullanılır.

Peki bu ters çevirme veya tersi ne anlama geliyor?

• e x, zamanı değiştirmemize ve büyüme elde etmemize olanak tanır.
• ln(x), büyümeyi veya geliri almamıza ve onu oluşturmak için gereken süreyi bulmamıza olanak tanır.

Örneğin:

• e 3 eşittir 20,08. Üç dönem sonra başladığımızdan 20,08 kat daha fazlasına sahip olacağız.
• ln(08/20) yaklaşık 3 olacaktır. 20,08 kat büyümeyle ilgileniyorsanız, 3 zaman dilimine ihtiyacınız olacaktır (yine %100 sürekli büyüme varsayarsak).

Hala okuyor? Doğal logaritma istenilen seviyeye ulaşmak için gereken süreyi gösterir.

Bu standart dışı logaritmik sayım

Logaritmalardan geçtiniz mi - onlar tuhaf yaratıklar. Çarpmayı toplamaya dönüştürmeyi nasıl başardılar? Peki çıkarma işlemine bölme işlemine ne dersiniz? Hadi bir göz atalım.

ln(1) neye eşittir? Sezgisel olarak soru şudur: Sahip olduğumdan 1 kat daha fazlasını elde etmek için ne kadar beklemeliyim?

Sıfır. Sıfır. Hiç de bile. Zaten bir kez ona sahipsin. 1. seviyeden 1. seviyeye geçmek çok uzun sürmez.

• ln(1) = 0

Tamam, kesirli değer ne olacak? Mevcut miktarın 1/2'sinin kalması ne kadar zaman alır? %100 sürekli büyümede ln(2)'nin iki katına çıkması için gereken süre anlamına geldiğini biliyoruz. Eğer biz hadi zamanı geri çevirelim(yani negatif bir süre bekleyin), o zaman sahip olduğumuzun yarısını alırız.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Mantıklı, değil mi? 0,693 saniyeye geri dönersek mevcut miktarın yarısını buluruz. Genel olarak kesri ters çevirip alabilirsiniz. olumsuz anlam: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Bu, zamanda 1,09 katına gidersek mevcut sayının yalnızca üçte birini bulacağımız anlamına geliyor.

Peki ya negatif bir sayının logaritması? Bir bakteri kolonisinin 1'den -3'e "büyümesi" ne kadar sürer?

Bu imkansız! Negatif bakteri sayımı elde edemezsin, değil mi? Maksimum (yani...minimum) sıfır elde edebilirsiniz, ancak bu küçük yaratıklardan negatif bir sayı almanın hiçbir yolu yoktur. Negatif bir bakteri sayımı mantıklı değil.

• ln(negatif sayı) = tanımsız

"Tanımsız", negatif bir değer elde etmek için beklenmesi gereken sürenin olmadığı anlamına gelir.

Logaritmik çarpma çok komik

Dört kat büyümek ne kadar sürer? Elbette ln(4)'ü de alabilirsiniz. Ama bu çok basit, diğer tarafa gideceğiz.

Dörtlü büyümeyi ikiye katlama (ln(2) birim zaman gerektirir) ve sonra tekrar ikiye katlama (başka bir ln(2) birim zaman gerektirir) olarak düşünebilirsiniz:

• 4 kat büyüme zamanı = ln(4) = İki katına çıkma ve sonra tekrar ikiye katlama zamanı = ln(2) + ln(2)

İlginç. Herhangi bir büyüme oranı, örneğin 20, 10 katlık bir artışın hemen ardından ikiye katlanması olarak değerlendirilebilir. Veya önce 4 kat, sonra 5 kat büyüme. Veya üçe katlanıyor ve ardından 6.666 kat artıyor. Deseni görüyor musun?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A çarpı B'nin logaritması log(A) + log(B)'dir. Bu ilişki, büyüme açısından bakıldığında hemen anlam kazanır.

30 kat büyümeyle ilgileniyorsanız, bir oturuşta ln(30) bekleyebilir veya üçe katlamak için ln(3)'ü ve ardından 10 kat için başka bir ln(10) bekleyebilirsiniz. Nihai sonuç aynıdır, dolayısıyla elbette zamanın sabit kalması gerekir (ve öyle de kalır).

Peki ya bölme? Spesifik olarak, ln(5/3) şu anlama gelir: 5 kat büyümek ve sonra bunun 1/3'ünü elde etmek ne kadar sürer?

Harika, 5 kat büyüme ln(5)'tir. 1/3 katlık bir artış -ln(3) birim zaman alacaktır. Bu yüzden,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Bu şu anlama gelir: 5 kat büyümesine izin verin ve ardından bu miktarın yalnızca üçte birinin kaldığı noktaya kadar "zamanda geriye gidin", böylece 5/3 büyüme elde edersiniz. Genel olarak ortaya çıkıyor

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Logaritmaların garip aritmetiğinin size anlamlı gelmeye başladığını umuyorum: Büyüme hızlarını çarpmak, büyüme zaman birimlerini eklemek, bölmek ise zaman birimlerini çıkarmak olur. Kuralları ezberlemenize gerek yok, anlamaya çalışın.

Keyfi büyüme için doğal logaritmanın kullanılması

Tabii ki,” diyorsunuz, “büyüme yüzde 100 ise her şey yolunda, peki ya benim aldığım yüzde 5?”

Sorun değil. ln() ile hesapladığımız "zaman" aslında faiz oranı ve zamanın bir birleşimidir, x denklemindeki X'in aynısıdır. Basitlik açısından yüzdeyi %100'e ayarlamaya karar verdik, ancak herhangi bir rakamı kullanmakta özgürüz.

Diyelim ki 30 kat büyüme elde etmek istiyoruz: ln(30)'u alalım ve 3,4 elde edelim. Bunun anlamı:

• e x = yükseklik
• e3,4 = 30

Açıkçası, bu denklem "3,4 yılda %100 getiri, 30 kat büyüme sağlar" anlamına geliyor. Bu denklemi şu şekilde yazabiliriz:

• e x = e hız*zaman
• e %100 * 3,4 yıl = 30

Bahis * süresi 3,4 kaldığı sürece “bahis” ve “zaman” değerlerini değiştirebiliriz. Mesela 30 kat büyüme istiyorsak %5 faizde ne kadar beklememiz gerekecek?

• ln(30) = 3,4
• oran * zaman = 3,4
• 0,05 * süre = 3,4
• süre = 3,4 / 0,05 = 68 yıl

Ben şu şekilde mantık yürütüyorum: "ln(30) = 3,4, yani %100 büyüme 3,4 yıl sürecek. Büyüme oranını iki katına çıkarırsam gereken süre yarı yarıya azalacak."

• 3,4 yıl için %100 = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 1,7 yılda %200 = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 6,8 yıl için %50 = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 68 yaş üzerinde %5 = 0,05 * 68 = 3,4.

Harika, değil mi? Doğal logaritma, çarpımları sabit kaldığı için herhangi bir faiz oranı ve zamanla kullanılabilir. Değişken değerlerini dilediğiniz kadar taşıyabilirsiniz.

Harika bir örnek: Yetmiş iki kuralı

Yetmiş İki Kuralı, paranızın ikiye katlanmasının ne kadar süreceğini tahmin etmenizi sağlayan matematiksel bir tekniktir. Şimdi onu çıkaracağız (evet!) ve dahası onun özünü anlamaya çalışacağız.

Yıllık %100 bileşik faizle paranızı ikiye katlamak ne kadar sürer?

Hata. Sürekli büyüme durumu için doğal logaritmayı kullandık ve şimdi siz yıllık bileşik hesaplamadan mı bahsediyorsunuz? Bu formül böyle bir duruma uygun düşmez mi? Evet öyle olacak ama %5, %6 ve hatta %15 gibi reel faiz oranları için yıllık bileşik faiz ile sürekli büyüme arasındaki fark küçük olacaktır. Yani kaba tahmin kabaca işe yarıyor, yani tamamen sürekli bir tahakkuğa sahip olduğumuzu varsayacağız.

Şimdi soru basit: %100 büyümeyle ne kadar hızlı iki katına çıkabilirsiniz? ln(2) = 0,693. Tutarımızın sürekli %100 artışla ikiye katlanması 0,693 birim (bizim durumumuzda yıl) alır.

Peki ya faiz oranı %100 değilse %5 veya %10 diyelim?

Kolayca! Bahis * süre = 0,693 olduğundan miktarı iki katına çıkaracağız:

• oran * zaman = 0,693
• süre = 0,693 / bahis

Büyümenin %10 olması durumunda iki katına çıkmasının 0,693 / 0,10 = 6,93 yıl süreceği ortaya çıktı.

Hesaplamaları basitleştirmek için her iki tarafı da 100 ile çarpalım, o zaman "0,10" yerine "10" diyebiliriz:

• ikiye katlama süresi = 69,3 / bahis, burada bahis yüzde olarak ifade edilir.

Şimdi %5 oranında ikiye katlama zamanı, 69,3/5 = 13,86 yıl. Ancak 69,3 en uygun temettü değildir. 2, 3, 4, 6, 8 ve diğer sayılara bölmeye uygun yakın bir sayı olan 72'yi seçelim.

• ikiye katlama süresi = 72 / bahis

yetmiş iki kuralı budur. Her şey kaplıdır.

Üç katına çıkmak için zaman bulmanız gerekiyorsa ln(3) ~ 109.8'i kullanabilir ve

• Üç katına çıkma süresi = 110 / bahis

Başka ne var faydalı kural. "72 Kuralı" faiz oranlarındaki artış, nüfus artışı, bakteri kültürleri ve katlanarak büyüyen her şey için geçerlidir.

Sıradaki ne?

Umarım doğal logaritma artık sizin için anlamlıdır; herhangi bir sayının katlanarak artması için gereken süreyi gösterir. Bence buna doğal deniyor çünkü e büyümenin evrensel bir ölçüsü, yani ln düşünülebilir evrensel bir şekilde Büyümenin ne kadar süreceğini belirlemek.

ln(x)'i her gördüğünüzde, "X kat büyümek için gereken süreyi" hatırlayın. Gelecek yazımda e ve ln'yi birlikte anlatacağım ki havayı matematiğin taze kokusu doldursun.

Ek: e'nin doğal logaritması

Hızlı test: ln(e) nedir?

• bir matematik robotu şunu söyleyecektir: Birbirlerinin tersi olarak tanımlandıkları için ln(e) = 1 olduğu açıktır.
• Anlayan kişi: ln(e), "e" kat büyümek için gereken sayıdır (yaklaşık 2,718). Bununla birlikte, e sayısının kendisi büyümenin 1 çarpanıyla ölçüsüdür, dolayısıyla ln(e) = 1'dir.

Açıkça düşünün.

9 Eylül 2013

Pozitif bir b sayısının a tabanına göre logaritması (a>0, a, 1'e eşit değildir), a c = b olacak şekilde bir c sayısıdır: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Pozitif olmayan bir sayının logaritmasının tanımsız olduğunu unutmayın. Ayrıca logaritmanın tabanının 1'e eşit olmayan pozitif bir sayı olması gerekir. Örneğin -2'nin karesini alırsak 4 sayısını elde ederiz ancak bu, -2 tabanının logaritmasının 4'e eşit olduğu anlamına gelmez. 2'ye.

Temel logaritmik kimlik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formülün sağ ve sol taraflarının tanım kapsamının farklı olması önemlidir. Sol taraf yalnızca b>0, a>0 ve a ≠ 1 için tanımlanır. Sağ taraf herhangi bir b için tanımlanır ve a'ya hiçbir şekilde bağlı değildir. Bu nedenle, denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken temel logaritmik "özdeşliğin" uygulanması OD'de bir değişikliğe yol açabilir.

Logaritmanın tanımının iki belirgin sonucu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Nitekim a sayısını birinci kuvvetine yükselttiğimizde aynı sayıyı, sıfır kuvvetine yükselttiğimizde ise bir elde ederiz.

Çarpımın logaritması ve bölümün logaritması

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Okul çocuklarını, çözerken bu formülleri düşüncesizce uygulamamaları konusunda uyarmak isterim. logaritmik denklemler ve eşitsizlikler. Bunları "soldan sağa" kullanırken ODZ daralır ve logaritmaların toplamından veya farkından ürünün veya bölümün logaritmasına geçerken ODZ genişler.

Aslında, log a (f (x) g (x)) ifadesi iki durumda tanımlanır: her iki fonksiyon da kesinlikle pozitif olduğunda veya f (x) ve g (x) her ikisi de sıfırdan küçük olduğunda.

Bu ifadeyi log a f (x) + log a g (x) toplamına dönüştürdüğümüzde, kendimizi yalnızca f(x)>0 ve g(x)>0 durumuyla sınırlamak zorunda kalırız. Kabul edilebilir değerler aralığında bir daralma vardır ve bu, çözüm kaybına yol açabileceğinden kategorik olarak kabul edilemez. Benzer bir sorun formül (6) için de mevcuttur.

Derece logaritmanın işaretinden çıkarılabilir

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ve yine doğruluk için çağrıda bulunmak istiyorum. Aşağıdaki örneği düşünün:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Eşitliğin sol tarafı, f(x)'in sıfır dışındaki tüm değerleri için açıkça tanımlanmıştır. Sağ taraf sadece f(x)>0 içindir! Logaritmadan dereceyi çıkararak ODZ'yi tekrar daraltıyoruz. Ters prosedür, kabul edilebilir değerler aralığının genişlemesine yol açar. Bütün bu açıklamalar sadece 2. kuvvet için değil aynı zamanda herhangi bir çift kuvvet için de geçerlidir.

Yeni bir temele geçmenin formülü

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ODZ'nin dönüşüm sırasında değişmediği nadir durum. Eğer c tabanını akıllıca seçtiyseniz (pozitif ve 1'e eşit değil), yeni bir tabana geçme formülü tamamen güvenlidir.

Yeni c tabanı olarak b sayısını seçersek önemli bir sonuç elde ederiz. özel durum formüller (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Logaritmalarla ilgili bazı basit örnekler

Örnek 1. Hesaplayın: log2 + log50.
Çözüm. log2 + log50 = log100 = 2. Logaritma toplamı formülünü (5) ve ondalık logaritmanın tanımını kullandık.

Örnek 2. Hesaplayın: lg125/lg5.
Çözüm. log125/log5 = log 5 125 = 3. Yeni bir tabana (8) geçmek için formülü kullandık.

Logaritmalarla ilgili formül tablosu

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Bir b sayısının a tabanına göre logaritması, b sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken üstür.

Eğer öyleyse.

Logaritma - aşırı önemli matematiksel miktar logaritmik hesaplama sadece çözmeye izin vermediğinden üstel denklemler, ancak aynı zamanda göstergelerle çalışır, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bunları entegre edin ve hesaplanacak daha kabul edilebilir bir forma getirin.

Temas halinde

Logaritmanın tüm özellikleri doğrudan özelliklerle ilgilidir. üstel fonksiyonlar. Örneğin, gerçek şu ki anlamına gelir:

Çözerken şunu belirtmek gerekir. özel görevler Logaritmanın özellikleri, kuvvetlerle çalışma kurallarından daha önemli ve faydalı olabilir.

Bazı kimlikleri sunalım:

Temel cebirsel ifadeler şunlardır:

;

.

Dikkat! yalnızca x>0, x≠1, y>0 için var olabilir.

Doğal logaritmanın ne olduğu sorusunu anlamaya çalışalım. Matematiğe özel ilgi iki türü temsil eder- birincisinin tabanında “10” rakamı vardır ve “ ondalık logaritma" İkincisine doğal denir. Doğal logaritmanın tabanı “e” sayısıdır. Bu yazımızda detaylı olarak konuşacağımız şey budur.

Tanımlar:

• lg x - ondalık;
• ln x - doğal.

Özdeşliği kullanarak ln e = 1 olduğunu ve lg 10=1 gerçeğini görebiliriz.

Doğal logaritma grafiği

Standart klasik yöntemi nokta nokta kullanarak doğal logaritmanın bir grafiğini oluşturalım. Dilerseniz fonksiyonu inceleyerek fonksiyonu doğru kurup kurmadığımızı kontrol edebilirsiniz. Ancak logaritmanın nasıl doğru şekilde hesaplanacağını bilmek için onu "manuel" olarak nasıl oluşturacağınızı öğrenmek mantıklıdır.

Fonksiyon: y = ln x. Grafiğin geçeceği noktaların bir tablosunu yazalım:

X argümanının neden bu özel değerlerini seçtiğimizi açıklayalım. Her şey kimlikle ilgili: . Doğal logaritma için bu özdeşlik şöyle görünecektir:

Kolaylık sağlamak için beş referans noktası alabiliriz:

;

;

.

;

.

Dolayısıyla doğal logaritmaların hesaplanması oldukça basit bir iştir; üstelik kuvvetlerle yapılan işlemlerin hesaplamalarını basitleştirir ve bunları logaritmalara dönüştürür. sıradan çarpma.

Bir grafiği noktadan noktaya çizerek yaklaşık bir grafik elde ederiz:

Doğal logaritmanın tanım alanı (yani tümü geçerli değerler argüman X) - tüm sayılar sıfırdan büyüktür.

Dikkat! Doğal logaritmanın tanım alanı yalnızca pozitif sayılar! Tanımın kapsamına x=0 dahil değildir. Logaritmanın varlığına ilişkin koşullar göz önüne alındığında bu imkansızdır.

Değer aralığı (yani y = ln x fonksiyonunun tüm geçerli değerleri), aralıktaki tüm sayılardır.

Doğal log sınırı

Grafiği incelerken şu soru ortaya çıkıyor: fonksiyon y noktasında nasıl davranıyor?<0.

Açıkçası, fonksiyonun grafiği y eksenini geçme eğilimindedir, ancak x'in doğal logaritması nedeniyle bunu yapamayacaktır.<0 не существует.

Doğallığın sınırı kayıtşu şekilde yazılabilir:

Logaritmanın tabanını değiştirme formülü

Doğal bir logaritmayla uğraşmak, keyfi bir tabanı olan bir logaritmayla uğraşmaktan çok daha kolaydır. Bu nedenle herhangi bir logaritmayı doğal logaritmaya nasıl indirgeyebileceğimizi veya doğal logaritmalar aracılığıyla keyfi bir tabana nasıl ifade edebileceğimizi öğrenmeye çalışacağız.

Logaritmik özdeşlikle başlayalım:

O zaman herhangi bir sayı veya değişken y şu şekilde temsil edilebilir:

burada x herhangi bir sayıdır (logaritmanın özelliklerine göre pozitif).

Bu ifade her iki tarafta logaritmik olarak alınabilir. Bunu keyfi bir z tabanı kullanarak yapalım:

Özelliği kullanalım (sadece “c” yerine şu ifadeyi kullanalım):

Buradan evrensel formülü elde ederiz:

.

Özellikle z=e ise:

.

İki doğal logaritmanın oranı aracılığıyla bir logaritmayı keyfi bir tabana göre temsil edebildik.

Sorunları çözüyoruz

Doğal logaritmaları daha iyi anlamak için çeşitli problem örneklerine bakalım.

Sorun 1. ln x = 3 denklemini çözmek gerekir.

Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if ,then ise şunu elde ederiz:

Sorun 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 denklemini çözün.

Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if ,then ise şunu elde ederiz:

.

Logaritmanın tanımını tekrar kullanalım:

.

Böylece:

.

Cevabı yaklaşık olarak hesaplayabilir veya bu formda bırakabilirsiniz.

Görev 3. Denklemi çözün.

Çözüm: Bir değişiklik yapalım: t = ln x. O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:

.

İkinci dereceden bir denklemimiz var. Diskriminantını bulalım:

Denklemin ilk kökü:

.

Denklemin ikinci kökü:

.

t = ln x yerine koyma işlemi yaptığımızı hatırlayarak şunu elde ederiz:

İstatistik ve olasılık teorisinde logaritmik büyüklüklere çok sık rastlanır. Bu şaşırtıcı değil, çünkü e sayısı genellikle üstel niceliklerin büyüme oranını yansıtır.

Bilgisayar bilimi, programlama ve bilgisayar teorisinde, örneğin N biti bellekte depolamak için logaritmalarla oldukça sık karşılaşılır.

Fraktallar ve boyut teorilerinde logaritmalar sürekli olarak kullanılmaktadır, çünkü fraktalların boyutları yalnızca onların yardımıyla belirlenmektedir.

Mekanik ve fizikte Logaritmanın kullanılmadığı bölüm bulunmamaktadır. Barometrik dağılım, istatistiksel termodinamiğin tüm ilkeleri, Tsiolkovsky denklemi vb. yalnızca logaritma kullanılarak matematiksel olarak tanımlanabilecek süreçlerdir.

Kimyada Nernst denklemlerinde ve redoks işlemlerinin açıklamalarında logaritmalar kullanılır.

Şaşırtıcı bir şekilde, müzikte bile bir oktavın parça sayısını bulmak için logaritmalar kullanılıyor.

Doğal logaritma Fonksiyon y=ln x özellikleri

Doğal logaritmanın ana özelliğinin kanıtı