Kesirli denklemler nasıl çözülür? ODZ. Geçerli Aralık

Şimdiye kadar sadece bilinmeyene göre tamsayı denklemlerini, yani paydaları (eğer varsa) bilinmeyeni içermeyen denklemleri çözdük.

Genellikle paydalarda bilinmeyeni içeren denklemleri çözmeniz gerekir: bu tür denklemlere kesirli denir.

Bu denklemi çözmek için, her iki tarafı da bununla, yani bilinmeyeni içeren bir polinomla çarparız. Yeni denklem verilene eşdeğer olacak mı? Soruyu cevaplamak için bu denklemi çözelim.

Her iki tarafı da ile çarparsak şunu elde ederiz:

Birinci dereceden bu denklemi çözerek şunu buluruz:

Yani, denklem (2) tek bir köke sahiptir

Bunu denklem (1)'de değiştirerek şunu elde ederiz:

Dolayısıyla, aynı zamanda (1) denkleminin köküdür.

Denklem (1)'in başka kökü yoktur. Örneğimizde bu, örneğin denklem (1)'deki gerçeğinden görülebilir.

Bilinmeyen bölen, bölünen 1 bölü bölüm 2'ye nasıl eşit olmalıdır, yani

Yani, (1) ve (2) denklemleri tek bir köke sahiptir ve bu nedenle eşdeğerdirler.

2. Şimdi aşağıdaki denklemi çözelim:

En basit ortak payda: ; denklemin tüm terimlerini bununla çarpın:

İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:

Parantezleri genişletelim:

Benzer terimleri getirerek, elimizde:

Bu denklemi çözerek şunu buluruz:

Denklemde (1) ikame ederek şunu elde ederiz:

Sol tarafta anlam ifade etmeyen ifadeler aldık.

Dolayısıyla, denklemin (1) kökü değildir. Bu, denklemlerin (1) ve eşdeğer olmadığı anlamına gelir.

Bu durumda, denklem (1)'in yabancı bir kök kazandığını söylüyoruz.

Denklem (1)'in çözümünü daha önce ele aldığımız denklemlerin çözümüyle karşılaştıralım (bkz. § 51). Bu denklemi çözerken, daha önce karşılaşmadığımız iki işlem yapmak zorunda kaldık: birincisi, denklemin her iki tarafını bilinmeyen (ortak payda) içeren bir ifadeyle çarptık ve ikincisi, cebirsel kesirleri aşağıdakileri içeren çarpanlara indirgedik: bir bilinmeyen

Denklem (1) ile Denklem (2) karşılaştırıldığında, Denklem (2) için geçerli olan tüm x değerlerinin Denklem (1) için geçerli olmadığını görürüz.

Denklem (1) için bilinmeyenin kabul edilebilir değerleri olmayan 1 ve 3 sayılarıdır ve dönüşüm sonucunda denklem (2) için kabul edilebilir hale geldiler. Bu sayılardan birinin (2) denkleminin çözümü olduğu ortaya çıktı, ancak elbette (1) denkleminin çözümü olamaz. Denklem (1)'in çözümü yoktur.

Bu örnek, denklemin her iki tarafının bilinmeyeni içeren bir çarpanla çarpıldığında ve cebirsel kesirler verilene eşdeğer olmayan bir denklem elde edilebilir, yani: yabancı kökler görünebilir.

Dolayısıyla şu sonuca varıyoruz. Paydasında bir bilinmeyen bulunan bir denklemi çözerken, ortaya çıkan kökler, orijinal denklemde ikame edilerek kontrol edilmelidir. Yabancı kökler atılmalıdır.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve sizi bilgilendirmemizi sağlar. benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, yargı düzenine uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu amaçları için gerekli veya uygun olduğuna karar verirsek, hakkınızdaki bilgileri de ifşa edebiliriz. önemli durumlar.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Kesirlerle Denklem Çözmeörneklere bakalım. Örnekler basit ve açıklayıcıdır. Onların yardımıyla en anlaşılır şekilde anlayabilirsiniz.
Örneğin, basit bir x/b + c = d denklemini çözmeniz gerekir.

Bu tür bir denklem doğrusal olarak adlandırılır, çünkü payda yalnızca sayıları içerir.

Çözüm, denklemin her iki tarafını b ile çarparak gerçekleştirilir, ardından denklem x = b*(d - c) şeklini alır, yani sol taraftaki kesrin paydası azalır.

Örneğin, kesirli bir denklem nasıl çözülür:
x/5+4=9
Her iki parçayı da 5 ile çarparız. Şunu elde ederiz:
x+20=45
x=45-20=25

Bilinmeyenlerin paydada olduğu başka bir örnek:

Bu tür denklemlere kesirli rasyonel veya basitçe kesirli denir.

Kesirli bir denklemi kesirlerden kurtularak çözerdik, ardından bu denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme dönüşür ve bu da çözülür. her zamanki gibi. Yalnızca aşağıdaki noktaları dikkate almalısınız:

• paydayı 0'a çeviren bir değişkenin değeri bir kök olamaz;
• =0 ifadesiyle denklemi bölemez veya çarpamazsınız.

İşte izin verilen değerlerin alanı (ODZ) gibi bir kavram yürürlüğe giriyor - bunlar, denklemin mantıklı olduğu denklemin köklerinin değerleridir.

Bu nedenle, denklemi çözerken kökleri bulmak ve ardından ODZ'ye uygunluk açısından kontrol etmek gerekir. DHS'mize uymayan kökler yanıtın dışında tutulur.

Örneğin, bir kesirli denklemi çözmeniz gerekir:

Yukarıdaki kurala göre, x = 0 olamaz, yani ODZ içinde bu durum: x - sıfır dışında herhangi bir değer.

Denklemin tüm terimlerini x ile çarparak paydadan kurtuluruz

Ve olağan denklemi çöz

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Cevap: x = 1/3

Denklemi daha karmaşık çözelim:

ODZ burada da mevcuttur: x -2.

Bu denklemi çözerek, her şeyi tek bir yöne aktarmayacağız ve kesirleri ortak bir paydaya getirmeyeceğiz. Denklemin her iki tarafını da hemen tüm paydaları tek seferde indirecek bir ifadeyle çarpıyoruz.

Paydaları azaltmak için sol tarafı x + 2 ve sağ tarafı 2 ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, denklemin her iki tarafı da 2 (x + 2) ile çarpılmalıdır:

Bu, yukarıda tartıştığımız kesirlerin en yaygın çarpımıdır.

Aynı denklemi biraz farklı bir şekilde yazıyoruz.

Sol taraf (x + 2) ve sağ taraf 2 azaltılır. İndirgemeden sonra normal olanı elde ederiz Doğrusal Denklem:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, bu bizim ODZ'mize karşılık gelir

Cevap: x = 2.

Kesirlerle Denklem Çözme göründüğü kadar zor değil. Bu yazımızda bunu örneklerle gösterdik. Eğer herhangi bir zorluk yaşıyorsanız kesirler ile denklemler nasıl çözülür, ardından yorumlarda abonelikten çıkın.

hakkında konuşmaya devam ediyoruz denklemlerin çözümü. Bu yazıda odaklanacağız rasyonel denklemler ve tek değişkenli rasyonel denklemleri çözme ilkeleri. Öncelikle hangi tür denklemlere rasyonel denildiğini bulalım, tamsayılı rasyonel ve kesirli rasyonel denklemlerin tanımını verelim ve örnekler verelim. Daha sonra, rasyonel denklemleri çözmek için algoritmalar elde ederiz ve elbette çözümleri dikkate alırız. karakteristik örnekler gerekli tüm açıklamalarla birlikte.

Sayfa gezintisi.

Sesli tanımlara dayanarak, birkaç rasyonel denklem örneği veriyoruz. Örneğin, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , rasyonel denklemlerdir.

Gösterilen örneklerden, diğer türdeki denklemlerin yanı sıra rasyonel denklemlerin de bir değişkenli veya iki, üç, vb. olabileceği görülebilir. değişkenler. İlerleyen paragraflarda tek değişkenli rasyonel denklemleri çözmekten bahsedeceğiz. İki Değişkenli Denklemleri Çözme ve onları Büyük bir sayıözel ilgiyi hak ediyor.

Rasyonel denklemler bilinmeyen değişken sayısına göre bölünmenin yanı sıra tamsayı ve kesirli olarak da bölünürler. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

rasyonel denklem isminde tüm, hem sol hem de sağ kısımları tamsayı rasyonel ifadeler ise.

Tanım.

Bir rasyonel denklemin parçalarından en az biri kesirli bir ifade ise, böyle bir denkleme denir. kesirli rasyonel(veya kesirli rasyonel).

Tamsayı denklemlerinin bir değişkene göre bölme içermediği açıktır; aksine, kesirli rasyonel denklemler zorunlu olarak bir değişkene (veya paydadaki bir değişkene) bölmeyi içerir. Yani 3x+2=0 ve (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 rasyonel denklemlerin tamamıdır, her iki kısmı da tamsayı ifadeleridir. A ve x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5, kesirli rasyonel denklem örnekleridir.

Bu paragrafı bitirirken, şu ana kadar bilinen lineer denklemlerin ve ikinci dereceden denklemlerin tamamen rasyonel denklemler olduğuna dikkat edelim.

tamsayı denklemlerini çözme

Denklemlerin tamamını çözmeye yönelik ana yaklaşımlardan biri, bunların eşdeğere indirgenmesidir. cebirsel denklemler. Bu, her zaman denklemin aşağıdaki eşdeğer dönüşümlerini gerçekleştirerek yapılabilir:

• ilk olarak, orijinal tamsayı denkleminin sağ tarafındaki ifade, sağ tarafta sıfır olacak şekilde sol tarafa ters işaretli olarak aktarılır;
• bundan sonra, denklemin sol tarafında, elde edilen standart görünüm.

Sonuç cebirsel denklem, orijinal tüm denkleme eşdeğerdir. Bu nedenle, en basit durumlarda, tüm denklemlerin çözümü, doğrusal veya ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ve genel durumda - n dereceli bir cebirsel denklemin çözümüne indirgenir. Anlaşılır olması için örneğin çözümünü inceleyelim.

Örnek.

Tüm denklemin köklerini bulun 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Çözüm.

Bütün bu denklemin çözümünü eşdeğer bir cebirsel denklemin çözümüne indirgeyelim. Bunun için öncelikle sağ taraftaki ifadeyi sola aktarıyoruz ve sonuç olarak denkleme ulaşıyoruz. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. İkinci olarak da sol tarafta oluşan ifadeyi gerekli işlemleri yaparak standart formun bir polinomuna dönüştürüyoruz: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Böylece, orijinal tamsayı denkleminin çözümü ikinci dereceden x 2 −5·x−6=0 denkleminin çözümüne indirgenir.

Ayrımcılığını hesapla D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, pozitiftir, yani denklemin ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü ile bulduğumuz iki gerçek kökü vardır:

Tamamen emin olmak için yapalım denklemin bulunan köklerini kontrol etme. İlk olarak, kök 6'yı kontrol ediyoruz, orijinal tamsayı denklemindeki x değişkeni yerine onu değiştiriyoruz: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, aynı olan 63=63 . Bu geçerli bir sayısal denklemdir, dolayısıyla x=6 aslında denklemin köküdür. Şimdi −1 kökünü kontrol ediyoruz, 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, bu nedenle, 0=0 . x=−1 için orijinal denklem de gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştü, bu nedenle x=−1 aynı zamanda denklemin köküdür.

Cevap:

6 , −1 .

Burada, "tüm denklemin gücü" teriminin, tüm denklemin cebirsel bir denklem biçiminde temsil edilmesiyle ilişkili olduğuna da dikkat edilmelidir. İlgili tanımı veriyoruz:

Tanım.

Bütün denklemin derecesi cebirsel bir denklemin derecesini ona eşdeğer olarak adlandırın.

Bu tanıma göre, önceki örnekteki denklemin tamamı ikinci dereceye sahiptir.

Bu konuda, biri için olmasa da tüm rasyonel denklemlerin çözümü ile bitirilebilir ama .... Bilindiği gibi, derecesi ikinciden yüksek olan cebirsel denklemlerin çözümü önemli güçlüklerle ilişkilidir ve derecesi dördüncüden yüksek olan denklemler için kökler için hiçbir genel formül yoktur. Bu nedenle, üçüncü, dördüncü ve daha fazlasının tüm denklemlerini çözmek için yüksek dereceler genellikle başka çözüm yöntemlerine başvurmak zorunda kalırlar.

Bu gibi durumlarda, bazen tüm rasyonel denklemleri çözme yaklaşımı çarpanlarına ayırma yöntemi. Aynı zamanda, aşağıdaki algoritma izlenir:

• önce denklemin sağ tarafında sıfır olmasını isterler, bunun için tüm denklemin sağ tarafındaki ifadeyi sola aktarırlar;
• daha sonra, sol tarafta ortaya çıkan ifade birkaç faktörün bir ürünü olarak sunulur, bu da bir dizi daha basit denkleme gitmenizi sağlar.

Tüm denklemi çarpanlara ayırma yoluyla çözmek için yukarıdaki algoritma, bir örnek kullanılarak ayrıntılı bir açıklama gerektirir.

Örnek.

Tüm denklemi çöz (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Çözüm.

İlk olarak, her zamanki gibi, ifadeyi denklemin sağ tarafından sol tarafına aktarıyoruz, işaretini değiştirmeyi unutmadan, şunu elde ediyoruz: (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ortaya çıkan denklemin sol tarafını standart formun bir polinomuna dönüştürmenin tavsiye edilmediği burada oldukça açıktır, çünkü bu, formun dördüncü dereceden bir cebirsel denklem verecektir. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, kimin çözümü zor.

Öte yandan, x 2 −10·x+13'ün ortaya çıkan denklemin sol tarafında bulunabileceği ve dolayısıyla onu bir çarpım olarak temsil edebileceği açıktır. Sahibiz (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ortaya çıkan denklem, orijinal tüm denkleme eşdeğerdir ve sırayla, x 2 −10·x+13=0 ve x 2 −2·x−1=0 olmak üzere iki ikinci dereceden denklem seti ile değiştirilebilir. Diskriminant üzerinden bilinen kök formüllerini kullanarak köklerini bulmak zor değildir, kökler eşittir. Orijinal denklemin istenen kökleridir.

Cevap:

Tüm rasyonel denklemleri çözmek için de kullanışlıdır. yeni bir değişken tanıtma yöntemi. Bazı durumlarda derecesi orijinal tamsayı denklemin derecesinden küçük olan denklemlere geçilmesini sağlar.

Örnek.

Rasyonel bir denklemin gerçek köklerini bulun (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Çözüm.

Tüm bu rasyonel denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek, en hafif tabirle pek iyi bir fikir değildir, çünkü bu durumda rasyonel kökleri olmayan dördüncü dereceden bir denklemi çözme ihtiyacına geleceğiz. Bu nedenle, başka bir çözüm aramanız gerekecek.

Burada yeni bir y değişkeni ekleyebileceğinizi ve x 2 +3 x ifadesini bununla değiştirebileceğinizi görmek kolaydır. Böyle bir yer değiştirme bizi (y+1) 2 +10=−2 (y−4) denkleminin tamamına götürür; bu, −2 (y−4) ifadesini sol tarafa aktardıktan ve ardından burada oluşan ifadenin dönüşümünden sonra , y 2 +4 y+3=0 denklemine indirgenir. Bu denklemin y=−1 ve y=−3 köklerini bulmak kolaydır, örneğin, Vieta teoreminin ters teoremine dayanarak bulunabilirler.

Şimdi yeni bir değişken tanıtma yönteminin ikinci kısmına, yani ters ikame yapmaya geçelim. Ters ikameyi gerçekleştirdikten sonra, x 2 +3 x=−1 ve x 2 +3 x=−3 olarak yeniden yazılabilen iki denklem elde ederiz, bunlar x 2 +3 x+1=0 ve x 2 +3 x+3 = 0 İkinci dereceden denklemin köklerinin formülüne göre birinci denklemin köklerini buluyoruz. Ve ikinci ikinci dereceden denklem ayırıcısı negatif olduğu için gerçek kökleri yoktur (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Cevap:

Genel olarak, yüksek dereceli tamsayı denklemleriyle uğraşırken, her zaman aramaya hazır olmalıyız. standart olmayan yöntem veya çözümleri için yapay bir cihaz.

Kesirli Rasyonel Denklemlerin Çözümü

İlk olarak, p(x) ve q(x)'in rasyonel tamsayı ifadeleri olduğu formun kesirli rasyonel denklemlerinin nasıl çözüleceğini anlamak faydalı olacaktır. Ve sonra kalan kesirli rasyonel denklemlerin çözümünün belirtilen formdaki denklemlerin çözümüne nasıl indirgeneceğini göstereceğiz.

Denklemi çözmeye yönelik yaklaşımlardan biri aşağıdaki ifadeye dayanmaktadır: u/v sayısal kesri, burada v sıfır olmayan bir sayıdır (aksi takdirde tanımlanmamış olan ile karşılaşacağız), ancak ve ancak şu durumlarda sıfıra eşittir: payı sıfıra eşittir, o zaman ancak ve ancak u=0 ise vardır. Bu ifade sayesinde, denklemin çözümü p(x)=0 ve q(x)≠0 olmak üzere iki koşulun sağlanmasına indirgenir.

Bu sonuç aşağıdakilerle tutarlıdır kesirli rasyonel bir denklemi çözmek için algoritma. Formun kesirli bir rasyonel denklemini çözmek için

• tüm rasyonel denklemi çöz p(x)=0 ;
• ve bulunan her kök için q(x)≠0 koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin.
• doğruysa, bu kök orijinal denklemin köküdür;
• değilse, o zaman bu kök yabancıdır, yani orijinal denklemin kökü değildir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken sesli algoritmayı kullanmanın bir örneğini inceleyelim.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu, p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 şeklinde kesirli rasyonel bir denklemdir.

Bu tür kesirli rasyonel denklemleri çözme algoritmasına göre, önce 3·x−2=0 denklemini çözmemiz gerekir. Bu, kökü x=2/3 olan doğrusal bir denklemdir.

Geriye bu kökü kontrol etmek, yani 5·x 2 −2≠0 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek kalır. 5 x 2 −2 ifadesinde x yerine 2/3 sayısını değiştirirsek, elde ederiz. Koşul karşılanır, yani x=2/3 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

2/3 .

Kesirli bir rasyonel denklemin çözümüne biraz farklı bir konumdan yaklaşılabilir. Bu denklem, orijinal denklemin x değişkeni üzerindeki p(x)=0 denkleminin tamamına eşdeğerdir. Yani, bunu takip edebilirsiniz kesirli rasyonel bir denklemi çözmek için algoritma :

• p(x)=0 denklemini çöz;
• x ODZ değişkenini bulun;
• kabul edilebilir değerler bölgesine ait kökleri alın - bunlar orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir.

Örneğin, bu algoritmayı kullanarak kesirli bir rasyonel denklemi çözelim.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Önce x 2 −2·x−11=0 ikinci dereceden denklemi çözüyoruz. Kökleri, çift ikinci bir katsayı için kök formülü kullanılarak hesaplanabilir. D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, Ve .

İkinci olarak, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sini buluyoruz. x 2 +3 x≠0 , x (x+3)≠0 ile aynı olan ve dolayısıyla x≠0 , x≠−3 olan tüm sayılardan oluşur.

Geriye ilk adımda bulunan köklerin ODZ'ye dahil olup olmadığını kontrol etmek kalır. Açıkçası evet. Bu nedenle, orijinal kesirli rasyonel denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

ODZ kolaylıkla bulunursa bu yaklaşımın birinci yaklaşımdan daha karlı olduğuna ve özellikle p(x)=0 denkleminin köklerinin irrasyonel, örneğin , veya rasyonel, ancak oldukça büyük olması durumunda daha faydalı olduğuna dikkat edin. pay ve/veya payda, örneğin, 127/1101 ve -31/59 . Bunun nedeni, bu tür durumlarda q(x)≠0 koşulunun kontrol edilmesinin önemli hesaplama çabaları gerektirmesi ve yabancı kökleri ODZ'den dışlamanın daha kolay olmasıdır.

Diğer durumlarda, denklemi çözerken, özellikle p(x)=0 denkleminin kökleri tamsayı olduğunda, yukarıdaki algoritmalardan birincisini kullanmak daha avantajlıdır. Yani, hemen tüm denklemin köklerini p(x)=0 bulmanız ve ardından q(x)≠0 koşulunun bunlar için sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmeniz ve ODZ'yi bulmamanız ve ardından denklemi çözmeniz önerilir. Bu ODZ'de p(x)=0 . Bunun nedeni, bu tür durumlarda kontrol yapmanın ODZ'yi bulmaktan genellikle daha kolay olmasıdır.

Öngörülen nüansları göstermek için iki örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce tüm denklemin köklerini buluruz (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, kesrin payı kullanılarak derlenmiştir. Bu denklemin sol tarafı bir çarpım ve sağ tarafı sıfırdır, bu nedenle, çarpanlara ayırma yoluyla denklem çözme yöntemine göre, bu denklem dört denklem kümesine eşdeğerdir 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Bu denklemlerin üçü lineer ve biri ikinci dereceden, onları çözebiliriz. Birinci denklemden x=1/2, ikinciden - x=6, üçüncüden - x=7, x=−2, dördüncüden - x=−1 buluyoruz.

Bulunan köklerle, orijinal denklemin sol tarafında yer alan kesrin paydasının kaybolup kaybolmadığını görmek için onları kontrol etmek oldukça kolaydır ve ODZ'yi belirlemek o kadar kolay değildir, çünkü bunun çözülmesi gerekecektir. beşinci dereceden bir cebirsel denklem. Bu nedenle, kökleri kontrol etmek için ODZ'yi bulmayı reddedeceğiz. Bunu yapmak için, ifadedeki x değişkeni yerine sırayla onları değiştiririz. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, ikameden sonra elde edilir ve sıfır ile karşılaştırılır: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Bu nedenle, 1/2, 6 ve -2, orijinal kesirli rasyonel denklemin istenen kökleridir ve 7 ve -1, konu dışı köklerdir.

Cevap:

1/2 , 6 , −2 .

Örnek.

Kesirli bir rasyonel denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

İlk önce denklemin köklerini buluruz (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Bu denklem iki denklem grubuna eşdeğerdir: kare 5·x 2 −7·x−1=0 ve doğrusal x−2=0 . İkinci dereceden denklemin köklerinin formülüne göre iki kök buluyoruz ve ikinci denklemden x=2 elde ediyoruz.

Paydanın x'in bulunan değerlerinde kaybolmadığını kontrol etmek oldukça tatsızdır. Ve orijinal denklemde x değişkeninin kabul edilebilir değerlerinin aralığını belirlemek oldukça basittir. Bu nedenle ODZ üzerinden hareket edeceğiz.

Bizim durumumuzda, orijinal kesirli rasyonel denklemin x değişkeninin ODZ'si, x 2 +5·x−14=0 koşulunun sağlandığı sayılar dışındaki tüm sayılardan oluşur. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri x=−7 ve x=2'dir, buradan ODZ hakkında sonuca varırız: x'in tamamından oluşur, öyle ki .

Geriye, bulunan köklerin ve x=2'nin kabul edilebilir değerler bölgesine ait olup olmadığını kontrol etmek kalır. Kökler - aittir, bu nedenle orijinal denklemin kökleridir ve x=2 ait değildir, bu nedenle yabancı bir köktür.

Cevap:

Ayrıca, formun kesirli bir rasyonel denkleminin payda bir sayı içerdiği, yani p (x)'in bir sayı ile temsil edildiği durumlar üzerinde ayrıca durmak yararlı olacaktır. nerede

• bu sayı sıfırdan farklıysa, o zaman denklemin kökleri yoktur, çünkü kesir ancak ve ancak payı sıfırsa sıfırdır;
• bu sayı sıfırsa, denklemin kökü ODZ'den herhangi bir sayıdır.

Örnek.

Çözüm.

Denklemin sol tarafındaki kesrin payında sıfır olmayan bir sayı olduğuna göre, hiçbir x için bu kesrin değeri sıfıra eşit olamaz. Bu nedenle, bu denklemin kökleri yoktur.

Cevap:

kök yok

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Bu kesirli rasyonel denklemin sol tarafındaki kesrin payı sıfırdır, dolayısıyla bu kesrin değeri, mantıklı olduğu herhangi bir x için sıfırdır. Başka bir deyişle, bu denklemin çözümü, bu değişkenin DPV'sinden herhangi bir x değeridir.

Bu kabul edilebilir değerler aralığını belirlemeye devam ediyor. X 4 +5 x 3 ≠0 olan tüm x değerlerini içerir. x 4 +5 x 3 \u003d 0 denkleminin çözümleri 0 ve -5'tir, çünkü bu denklem x 3 (x + 5) \u003d 0 denklemine eşdeğerdir ve sırayla kombinasyona eşdeğerdir iki denklemin x 3 \u003d 0 ve x +5=0 , bu köklerin göründüğü yerden. Bu nedenle, istenen kabul edilebilir değerler aralığı, x=0 ve x=−5 dışında herhangi bir x'tir.

Bu nedenle, kesirli rasyonel bir denklemin, sıfır ve eksi beş dışında herhangi bir sayı olan sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Son olarak, keyfi kesirli rasyonel denklemleri çözme hakkında konuşmanın zamanı geldi. r(x)=s(x) şeklinde yazılabilirler, burada r(x) ve s(x) rasyonel ifadelerdir ve bunlardan en az biri kesirlidir. İleriye baktığımızda, çözümlerinin bize zaten aşina olduğumuz formdaki denklemleri çözmeye indirgendiğini söylüyoruz.

Bir terimin denklemin bir kısmından ters işaretli başka bir kısmına aktarılmasının eşdeğer bir denklem oluşturduğu bilinmektedir, bu nedenle r(x)=s(x) denklemi r(x)−s denklemine eşdeğerdir. (x)=0 .

Ayrıca, herhangi birinin bu ifadeye özdeş olarak eşit olabileceğini de biliyoruz. Böylece, r(x)−s(x)=0 denkleminin sol tarafındaki rasyonel ifadeyi her zaman formun aynı şekilde eşit bir rasyonel kesrine dönüştürebiliriz.

Böylece orijinal kesirli rasyonel denklem r(x)=s(x)'ten denkleme geçiyoruz ve bunun çözümü, yukarıda bulduğumuz gibi, p(x)=0 denklemini çözmeye indirgeniyor.

Ancak burada, r(x)−s(x)=0 ile ve ardından p(x)=0 ile değiştirildiğinde, x değişkeninin izin verilen değerleri aralığının genişleyebileceği gerçeğini hesaba katmak gerekir. .

Bu nedenle, orijinal denklem r(x)=s(x) ile ulaştığımız p(x)=0 denklemi eşdeğer olmayabilir ve p(x)=0 denklemini çözerek kökler elde edebiliriz. bu, r(x)=s(x) orijinal denkleminin dışsal kökleri olacaktır. Gerek kontrol ederek gerekse orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek yabancı kökleri belirlemek ve cevaba dahil etmemek mümkündür.

Bu bilgiyi özetliyoruz kesirli bir rasyonel denklemi çözmek için algoritma r(x)=s(x). R(x)=s(x) kesirli rasyonel denklemini çözmek için,

• Ters işaretli sağ taraftaki ifadeyi hareket ettirerek sağdaki sıfırı elde edin.
• Denklemin sol tarafında kesirler ve polinomlarla eylemler gerçekleştirin, böylece onu formun rasyonel bir kesrine dönüştürün.
• p(x)=0 denklemini çözün.
• Bunları orijinal denklemde değiştirerek veya orijinal denklemin ODZ'sine ait olduklarını kontrol ederek yapılan yabancı kökleri tanımlayın ve hariç tutun.

Daha fazla netlik için, kesirli rasyonel denklemleri çözme zincirinin tamamını göstereceğiz:
.

ile birkaç örneğe bir göz atalım detaylı açıklama verilen bilgi bloğunu açıklığa kavuşturma kararının seyri.

Örnek.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözün.

Çözüm.

Yeni elde edilen çözüm algoritmasına göre hareket edeceğiz. Ve önce denklemin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa aktarıyoruz, sonuç olarak denkleme geçiyoruz.

İkinci adımda elde edilen denklemin sol tarafındaki kesirli rasyonel ifadeyi kesir şekline dönüştürmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için bir döküm gerçekleştiriyoruz rasyonel kesirler ortak bir paydaya ve elde edilen ifadeyi basitleştirin: . Böylece denkleme geliyoruz.

Bir sonraki adımda, −2·x−1=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. x=−1/2'yi bulun.

Geriye, bulunan −1/2 sayısının orijinal denklemin harici bir kökü olup olmadığını kontrol etmek kalır. Bunu yapmak için orijinal denklemin ODZ değişkeni x'i kontrol edebilir veya bulabilirsiniz. Her iki yaklaşımı da gösterelim.

Bir çekle başlayalım. Orijinal denklemde x değişkeni yerine −1/2 sayısını koyarsak, aynı olan −1=−1 elde ederiz. Yerine koyma doğru sayısal eşitliği verir, bu nedenle x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Şimdi algoritmanın son adımının ODZ üzerinden nasıl yapıldığını göstereceğiz. Orijinal denklemin kabul edilebilir değerleri aralığı, -1 ve 0 dışındaki tüm sayıların kümesidir (x=−1 ve x=0 olduğunda, kesirlerin paydaları kaybolur). Önceki adımda bulunan x=−1/2 kökü ODZ'ye aittir, dolayısıyla x=−1/2 orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

−1/2 .

Başka bir örneği ele alalım.

Örnek.

Denklemin köklerini bulun.

Çözüm.

Kesirli rasyonel bir denklemi çözmemiz gerekiyor, hadi algoritmanın tüm adımlarını inceleyelim.

İlk önce terimi sağdan sola aktarıyoruz, elde ediyoruz.

İkinci olarak sol tarafta oluşan ifadeyi dönüştürüyoruz: . Sonuç olarak, x=0 denklemine ulaşırız.

Kökü açıktır - sıfırdır.

Dördüncü adımda, bulunan kökün orijinal kesirli rasyonel denklem için bir dış kök olup olmadığını bulmak kalır. Orijinal denklemde yerine yazıldığında, ifade elde edilir. Açıkçası, sıfıra bölmeyi içerdiği için mantıklı değil. Buradan 0'ın yabancı bir kök olduğu sonucuna varıyoruz. Bu nedenle, orijinal denklemin kökleri yoktur.

7 , bu da denkleme yol açar . Bundan, sol tarafın paydasındaki ifadenin sağ taraftan eşit olması gerektiği sonucuna varabiliriz, yani . Şimdi üçlünün her iki kısmından da çıkarıyoruz: . Benzetme yoluyla, nereden ve daha ileri.

Kontrol, bulunan her iki kökün orijinal kesirli rasyonel denklemin kökleri olduğunu gösterir.

Cevap:

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı - M. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Cebir. 8. sınıf. 14.00'te Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Cebir: 9. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı - M. : Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Bir tamsayı ifadesi, toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini kullanan sayılardan ve gerçek değişkenlerden oluşan matematiksel bir ifadedir. Tamsayılar ayrıca sıfırdan başka bir sayıya bölmeyi içeren ifadeleri de içerir.

Kesirli rasyonel ifade kavramı

Kesirli ifade, sayılar ve değişmez değişkenlerle yapılan toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölme işlemlerinin yanı sıra değişmez değişkenli ifadelere bölmeyi de içeren matematiksel ifadedir.

Rasyonel ifadelerin tümü tamsayı ve kesirli ifadelerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ tarafları rasyonel ifadeler olan denklemlerdir. Rasyonel bir denklemde sol ve sağ kısımlar tamsayı ifadeleri ise, böyle bir rasyonel denkleme tamsayı denir.

Rasyonel bir denklemde sol veya sağ kısımlar kesirli ifadeler ise, böyle bir rasyonel denkleme kesirli denir.

Kesirli rasyonel ifade örnekleri

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Kesirli bir rasyonel denklemi çözme şeması

1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.

2. Denklemin her iki tarafını da ortak bir payda ile çarpın.

3. Ortaya çıkan tüm denklemi çözün.

4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı sıfıra çevirenleri hariç tutun.

Kesirli rasyonel denklemleri çözdüğümüz için kesirlerin paydalarında değişkenler olacaktır. Yani ortak bir paydada olacaklar. Ve algoritmanın ikinci paragrafında ortak bir payda ile çarpıyoruz, o zaman yabancı kökler görünebilir. Ortak paydanın sıfıra eşit olacağı, yani onunla çarpmanın anlamsız olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, sonunda elde edilen kökleri kontrol ettiğinizden emin olun.

Bir örnek düşünün:

Kesirli bir rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))).

Genel şemaya bağlı kalacağız: önce tüm kesirlerin ortak paydasını buluyoruz. x*(x-5) elde ederiz.

Her kesri ortak bir payda ile çarpın ve elde edilen tüm denklemi yazın.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. Biz:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Basit bir indirgenmiş ikinci dereceden denklemimiz var. Herhangi biriyle çözeriz bilinen yollar, x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz.

Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz:

-2 ve 5 sayılarını ortak payda yerine koyuyoruz. x=-2'de, x*(x-5) ortak paydası kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Yani -2 sayısı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacaktır.

x=5'te, x*(x-5) ortak paydası sıfır olur. Bu nedenle, sıfıra bölme olacağı için bu sayı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü değildir.