Y = xn, y = x-n burada n belirli bir doğal sayıdır. Doğal sayı
En basit sayı doğal sayı. Onlar kullanılır Gündelik Yaşam saymak için nesneler, yani sayısını ve sırasını hesaplamak için.
Doğal sayı nedir: doğal sayılar kullanılan sayıları adlandırın Tüm homojen öğelerden herhangi bir öğenin seri numarasını belirtmek veya saymak içinöğeler.
Tamsayılar - bunlar birden başlayan sayılardır. Sayarken doğal olarak oluşurlar.Örneğin, 1,2,3,4,5... -ilk doğal sayılar.
En küçük doğal sayı- bir. En büyük doğal sayı yoktur. Sayıyı sayarken Sıfır kullanılmadığından sıfır bir doğal sayıdır.
Doğal sayı serisi tüm doğal sayıların dizisidir. Doğal sayıların yazılması:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Doğal seride her sayı bir öncekinden birer birer büyüktür.
Doğal seride kaç sayı vardır? Doğal seri sonsuzdur; en büyük doğal sayı mevcut değildir.
Herhangi bir rakamın 10 birimi en yüksek rakamın 1 birimini oluşturduğundan ondalık sayı. Konumsal olarak öyle Bir rakamın anlamının sayı içindeki yerine nasıl bağlı olduğu, yani. yazıldığı kategoriden.
Doğal sayıların sınıfları.
Herhangi bir doğal sayı 10 Arap rakamı kullanılarak yazılabilir:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Doğal sayıları okumak için sağdan başlayarak 3'er basamaklı gruplara ayrılırlar. ilk 3 sağdaki sayılar birim sınıfını, sonraki 3 tanesi binlik sınıfını, sonra da milyonluk, milyarlık ve milyarlık sınıfları göstermektedir.vesaire. Bir sınıfın rakamlarının her birine onun adı verilirdeşarj.
Doğal sayıların karşılaştırılması.
2 doğal sayıdan küçük olanı sayarken daha önce çağrılan sayıdır. Örneğin, sayı 7 az 11 (şöyle yazın:7 < 11 ). Bir sayı ikinciden büyük olduğunda şu şekilde yazılır:386 > 99 .
Rakam tablosu ve sayı sınıfları.
|
1. sınıf ünitesi |
Birimin 1. rakamı 2. rakam onlar 3. sırada yüzlerce |
|
2. sınıf bin |
Binlik biriminin 1. basamağı 2. hane onbinler 3. kategori yüz binlerce |
|
3. sınıf milyonlar |
Milyonlar biriminin 1. rakamı 2. kategori on milyonlarca 3. kategori yüz milyonlarca |
|
4. sınıf milyarlar |
Milyarlar biriminin 1. basamağı 2. kategori on milyarlarca 3. kategori yüz milyarlarca |
|
5. sınıf ve üzeri sayılar büyük sayılar. 5. sınıfın birimleri trilyonlar, 6. sınıfın birimleri sınıf - katrilyonlar, 7. sınıf - kentilyonlar, 8. sınıf - sekstilyonlar, 9. sınıf - eptillionlar. Doğal sayıların temel özellikleri.
Doğal sayılarla ilgili işlemler. 4. Doğal sayıların bölünmesi çarpma işleminin tersidir. Eğer b ∙ c = bir, O
Bölme formülleri: bir: 1 = bir a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Sayısal ifadeler ve sayısal eşitlikler. Sayıların eylem işaretleriyle bağlandığı bir gösterim sayısal ifade. Örneğin, 10∙3+4; (60-2∙5):10. 2 sayısal ifadenin eşittir işaretiyle birleştirildiği kayıtlar sayısal eşitlikler. Eşitliğin sağ ve sol tarafları vardır. Aritmetik işlemleri gerçekleştirme sırası. Sayılarda toplama ve çıkarma birinci dereceden işlemler, çarpma ve bölme ise ikinci dereceden işlemlerdir. Sayısal bir ifade yalnızca bir derecelik eylemlerden oluştuğunda bunlar sırayla gerçekleştirilir. soldan sağa. İfadeler yalnızca birinci ve ikinci dereceden eylemlerden oluştuğunda, eylemler ilk önce gerçekleştirilir. ikinci derece ve ardından birinci derecenin eylemleri. Bir ifadede parantez varsa önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir. Örneğin, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Matematik, MÖ altıncı yüzyılda genel felsefeden ortaya çıktı. e. ve o andan itibaren dünya çapında muzaffer yürüyüşü başladı. Gelişimin her aşaması yeni bir şey ortaya çıkardı - temel sayma gelişti, diferansiyel ve integral hesaba dönüştü, yüzyıllar geçti, formüller giderek daha kafa karıştırıcı hale geldi ve "en karmaşık matematiğin başladığı - tüm sayıların ondan kaybolduğu" an geldi. Ama temeli neydi?
Zamanın başlangıcı
Doğal sayılar ilk matematiksel işlemlerle birlikte ortaya çıktı. Bir omurga, iki diken, üç diken... İlk konumsal yöntemi geliştiren Hintli bilim adamları sayesinde ortaya çıktılar.
"Konumsallık" kelimesi, bir sayıdaki her rakamın konumunun kesin olarak tanımlanmış olması ve sırasına karşılık gelmesi anlamına gelir. Örneğin, 784 ve 487 sayıları aynı sayılardır, ancak sayılar eşdeğer değildir, çünkü birincisi 7 yüzlük, ikincisi ise yalnızca 4'ü içermektedir. Hint yeniliği, sayıları forma getiren Araplar tarafından benimsenmiştir. Artık biliyoruz.
Antik çağda sayılara mistik bir anlam veriliyordu; Pisagor, ateş, su, toprak, hava gibi temel unsurlarla birlikte sayının dünyanın yaratılışının temelinde olduğuna inanıyordu. Her şeyi yalnızca matematiksel açıdan ele alırsak, doğal sayı nedir? Doğal sayılar alanı N olarak gösterilir ve tam sayı ve pozitif olan sonsuz bir sayı dizisidir: 1, 2, 3, … + ∞. Sıfır hariçtir. Öncelikle öğeleri saymak ve sırayı belirtmek için kullanılır.
Matematikte ne var? Peano'nun aksiyomları
Alan N, temel matematiğin dayandığı temel alandır. Zamanla, tamsayı alanları, rasyonel,
İtalyan matematikçi Giuseppe Peano'nun çalışması aritmetiğin daha ileri yapılanmasını mümkün kıldı, formalitesini elde etti ve N alan alanının ötesine geçen daha ileri sonuçlara giden yolu hazırladı.
Doğal sayının ne olduğu daha önce açıklığa kavuşturuldu basit bir dille Aşağıda Peano'nun aksiyomlarına dayanan matematiksel bir tanımı ele alacağız.
- Bir doğal sayı olarak kabul edilir.
- Bir doğal sayının ardından gelen sayı bir doğal sayıdır.
- Birden önce doğal sayı yoktur.
- Eğer b sayısı hem c sayısını hem de d sayısını takip ediyorsa c=d olur.
- Bir doğal sayının ne olduğunu gösteren bir tümevarım aksiyomu: Bir parametreye bağlı olan bir ifade 1 sayısı için doğruysa, o zaman bunun N doğal sayıları alanındaki n sayısı için de geçerli olduğunu varsayarız. bu ifade aynı zamanda N doğal sayıları alanından n =1 için de doğrudur.
Doğal sayılar alanında temel işlemler
N alanı matematiksel hesaplamalar için ilk olduğundan, aşağıdaki bir dizi işlemin hem tanım alanları hem de değer aralıkları ona aittir. Kapalılar ve değiller. Temel fark, kapalı işlemlerin, hangi sayıların dahil olduğuna bakılmaksızın, sonucu N kümesi içinde bırakmanın garantili olmasıdır. Doğal olmaları yeterlidir. Diğer sayısal etkileşimlerin sonucu artık o kadar açık değildir ve ana tanımla çelişebileceği için doğrudan ifadede ne tür sayıların yer aldığına bağlıdır. Yani kapalı işlemler:
- ekleme - x + y = z, burada x, y, z N alanına dahil edilir;
- çarpma - x * y = z, burada x, y, z N alanına dahildir;
- üstelleştirme - x y, burada x, y N alanına dahil edilir.
“Doğal sayı nedir” tanımı bağlamında sonucu bulunamayacak olan geri kalan işlemler şunlardır:
N alanına ait sayıların özellikleri
Bundan sonraki tüm matematiksel akıl yürütmeler, en önemsiz olan, ancak daha az önemli olmayan aşağıdaki özelliklere dayanacaktır.
- Toplamanın değişme özelliği x + y = y + x'tir; burada x, y sayıları N alanına dahil edilir. Veya iyi bilinen "terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplam değişmez."
- Çarpmanın değişme özelliği x * y = y * x'tir; burada x, y sayıları N alanına dahildir.
- Toplama işleminin birleşimsel özelliği (x + y) + z = x + (y + z) olup, burada x, y, z N alanına dahildir.
- Çarpmanın eşleştirme özelliği (x * y) * z = x * (y * z) olup, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.
- dağılma özelliği - x (y + z) = x * y + x * z, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.
Pisagor tablosu
Öğrencilerin hangi sayılara doğal sayılar dendiğini kendileri anladıktan sonra ilköğretim matematiğin tüm yapısını bilmelerindeki ilk adımlardan biri Pisagor tablosudur. Sadece bilim açısından değil, aynı zamanda çok değerli bir bilimsel anıt olarak da değerlendirilebilir.
Bu çarpım tablosu zamanla bir takım değişikliklere uğramıştır: sıfır kaldırılmıştır ve 1'den 10'a kadar olan sayılar, sıralar (yüzler, binler...) dikkate alınmadan kendilerini temsil etmektedir. Satır ve sütun başlıklarının sayılardan oluştuğu, kesiştikleri hücrelerin içeriklerinin çarpımlarına eşit olduğu tablodur.
Son yıllardaki öğretim uygulamalarında Pisagor tablosunun “sırayla” ezberlenmesine ihtiyaç duyulmuştur, yani ezberleme ilk sırada yer almıştır. Sonuç 1 veya daha büyük bir çarpan olduğundan 1 ile çarpma hariç tutuldu. Bu arada tabloda çıplak gözle bir model fark edebilirsiniz: sayıların çarpımı bir adım artar, bu da satırın başlığına eşittir. Böylece ikinci faktör bize istenilen ürünü elde etmek için birinciyi kaç kez almamız gerektiğini gösterir. Bu sistem, Orta Çağ'da uygulanan sistemden çok daha kullanışlıdır: Doğal sayının ne olduğunu ve ne kadar önemsiz olduğunu anlayan insanlar, ikinin kuvvetlerine dayanan bir sistem kullanarak günlük sayımlarını karmaşıklaştırmayı başardılar.
Matematiğin beşiği olarak altküme
Açık şu an doğal sayılar alanı N yalnızca karmaşık sayıların alt kümelerinden biri olarak kabul edilir, ancak bu onları bilimde daha az değerli yapmaz. Doğal sayı, bir çocuğun kendi kendine çalışırken öğrendiği ilk şeydir ve Dünya. Bir parmak, iki parmak... Onun sayesinde insan gelişir mantıksal düşünme nedeni belirleme ve sonuç çıkarma yeteneğinin yanı sıra büyük keşiflerin önünü açıyor.
Doğal sayılar en eski matematiksel kavramlardan biridir.
Uzak geçmişte insanlar sayıları bilmiyorlardı ve nesneleri (hayvanlar, balıklar vb.) saymaları gerektiğinde bunu bizim şimdi yaptığımızdan farklı şekilde yapıyorlardı.
Nesnelerin sayısı vücudun bölümleriyle, örneğin bir eldeki parmaklarla karşılaştırıldı ve şöyle dediler: "Elimde parmakların sayısı kadar fındık var."
Zamanla insanlar beş cevizin, beş keçinin ve beş tavşanın olduğunu fark etti. ortak mülkiyet- sayıları beş.
Hatırlamak!
Tamsayılar- bunlar 1'den başlayarak nesnelerin sayılmasıyla elde edilen sayılardır.
1, 2, 3, 4, 5…
En küçük doğal sayı — 1 .
En büyük doğal sayı bulunmuyor.
Sayarken sıfır rakamı kullanılmaz. Bu nedenle sıfır doğal sayı olarak kabul edilmez.
İnsanlar sayı yazmayı saymaktan çok daha sonra öğrendiler. Her şeyden önce, birini tek çubukla, sonra iki çubukla - 2 numara, üç - 3 numarayla tasvir etmeye başladılar.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Daha sonra, modern sayıların öncülleri olan sayıları belirtmek için özel işaretler ortaya çıktı. Sayıları yazarken kullandığımız rakamlar yaklaşık 1500 yıl önce Hindistan'da ortaya çıkmıştır. Araplar onları Avrupa'ya getirdiler, bu yüzden onlara denir. Arap rakamları.
Toplamda on sayı vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bu sayıları kullanarak herhangi bir doğal sayıyı yazabilirsiniz.
Hatırlamak!
Doğal seri tüm doğal sayıların dizisidir:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Doğal seride her sayı bir öncekinden 1 büyüktür.
Doğal seri sonsuzdur; içinde en büyük doğal sayı yoktur.
Kullandığımız sayma sisteminin adı ondalık konumsal.
Ondalık sayı çünkü her rakamın 10 birimi en anlamlı rakamın 1 birimini oluşturur. Konumsaldır çünkü bir rakamın anlamı sayı kaydındaki yerine yani yazıldığı rakama bağlıdır.
Önemli!
Milyardan sonra gelen sınıflar sayıların Latince adlarına göre isimlendirilir. Sonraki her birim, binlerce önceki birimi içerir.
- 1.000 milyar = 1.000.000.000.000 = 1 trilyon (“üç” Latince “üç” anlamına gelir)
- 1.000 trilyon = 1.000.000.000.000.000 = 1 katrilyon (“quadra” Latince “dört” anlamına gelir)
- 1.000 katrilyon = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kentilyon (“quinta” Latince “beş” anlamına gelir)
Ancak fizikçiler, tüm Evrendeki tüm atomların (maddenin en küçük parçacıkları) sayısını aşan bir sayı buldular.
Bu numaraya özel bir isim verildi - gogol. Googol 100 sıfırlı bir sayıdır.
“İkinci dereceden fonksiyon” - Özellikler: -a için monotonluk aralıkları > a için 0< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение ikinci dereceden fonksiyon 2 Bir fonksiyonun özellikleri 3 Bir fonksiyonun grafikleri 4 İkinci dereceden eşitsizlikler 5 Sonuç. İkinci dereceden fonksiyonlar uzun yıllardan beri kullanılmaktadır.
“Güç fonksiyonu derecesi 9” - Fonksiyonlara aşinayız. Güç fonksiyonu. U. 0. 9. sınıf öğretmeni Ladoshkina I.A. Y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, ... Gösterge bir çift doğal sayıdır (2n). Y = x. Parabol. Kübik parabol. y=x2n fonksiyonu çifttir çünkü (–x)2n = x2n.
“8. sınıf ikinci dereceden fonksiyon” - 1) Bir parabolün tepe noktasını oluşturun. -1. Fonksiyonun grafiğini oluşturun. 2) x=-1 simetri eksenini oluşturun. y. Cebir 8. sınıf Öğretmeni 496 Bovina T.V. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin çizilmesi. X. -7. Inşaat planı.
“Y X fonksiyonunun grafiği” - y=x2 + n fonksiyonunun grafiği, tepe noktası (0; n) noktasında olan bir paraboldür. y=(x - m)2 fonksiyonunun grafiği, tepe noktası (m; 0) noktasında olan bir paraboldür. Grafikleri görmek için fareye tıklayın. Sayfa tıklandığında görüntülenir. Yukarıdakilerden, y=(x - m)2 + n fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktası (m; n) noktasında olan bir parabol olduğu sonucu çıkar.
“Doğal logaritma” - 0.1. "Logaritmik Dart" 0.04. 121. Doğal logaritmalar. 7. 4.
“İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği” - Yazar: Ilya Granov. Problemlerin çözümü: Çözüm.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-aittir. 4. y=4x fonksiyonunun grafiği noktası: A(0.5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0.1:0.4) mı? a=1 olduğunda y=ax formülü alınır.
Konuda toplam 25 sunum bulunmaktadır.