Çapraz çarpım - tanımlar, özellikler, formüller, örnekler ve çözümler. Vektörlerin çapraz çarpımı. Vektörlerin karışık çarpımı

Tanım. a vektörünün (çarpılan) ve doğrusal olmayan bir vektörün (çarpılan) vektör çarpımı, aşağıdaki gibi oluşturulan üçüncü vektör c'dir (çarpım):

1) modülü sayısaldır alana eşitŞekil 2'deki paralelkenar 155), vektörler üzerine inşa edilmiştir, yani bahsedilen paralelkenarın düzlemine dik yöne eşittir;

3) bu durumda, c vektörünün yönü (olası iki seçenek arasından), c vektörleri sağ yönlü bir sistem oluşturacak şekilde seçilir (§ 110).

Tanım: veya

Tanıma ek. Vektörler eşdoğrusal ise, şeklin (şartlı olarak) bir paralelkenar olduğu düşünüldüğünde, sıfır alan atamak doğaldır. Bu nedenle vektör çarpımı eşdoğrusal vektörler boş vektöre eşit kabul edilir.

Boş vektöre herhangi bir yön atanabileceği için bu anlaşma tanımın 2. ve 3. paragraflarıyla çelişmez.

Açıklama 1. "Vektör çarpımı" terimindeki ilk kelime, eylem sonucunun bir vektör olduğunu belirtir (skaler çarpımın aksine; bkz. § 104, açıklama 1).

Örnek 1. Doğru koordinat sisteminin ana vektörlerinin olduğu vektör çarpımını bulun (Şekil 156).

1. Ana vektörlerin uzunlukları bir ölçek birimine eşit olduğundan paralelkenarın (kare) alanı sayısal olarak bire eşittir. Bu, vektör çarpımının modülünün bire eşit olduğu anlamına gelir.

2. Düzleme dik olan eksen bir eksen olduğundan, istenen vektör çarpımı k vektörüne eşdoğrusal bir vektördür; ve her ikisinin de modülü 1 olduğundan, istenen vektör çarpımı ya k'ya ya da -k'ye eşittir.

3. Bu iki olası vektörden ilki seçilmelidir, çünkü k vektörleri sağ yönlü bir sistem oluşturur (ve vektörler sol yönlü bir sistem oluşturur).

Örnek 2. Çapraz çarpımı bulun

Çözüm. Örnek 1'de olduğu gibi, vektörün k ya da -k'ye eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Ancak şimdi -k'yi seçmemiz gerekiyor çünkü vektörler sağ yönlü bir sistem oluşturuyor (ve vektörler sol yönlü bir sistem oluşturuyor). Bu yüzden,

Örnek 3. Vektörlerin uzunlukları sırasıyla 80 ve 50 cm'dir ve 30°'lik bir açı oluştururlar. Uzunluk birimi olarak metreyi alarak vektör çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı eşittir İstenilen vektör ürününün uzunluğu eşittir

Örnek 4. Aynı vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu uzunluk birimi olarak santimetre alarak bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın alanı eşit olduğundan vektör çarpımının uzunluğu 2000 cm'ye eşittir, yani.

Örnek 3 ve 4'ün karşılaştırılmasından, vektörün uzunluğunun sadece faktörlerin uzunluklarına değil aynı zamanda uzunluk birimi seçimine de bağlı olduğu açıktır.

Bir vektör çarpımının fiziksel anlamı. Birçoğunun fiziksel özellikler Vektör çarpımı ile temsil edilen, yalnızca kuvvet momentini dikkate alıyoruz.

A, kuvvetin uygulama noktası olsun. O noktasına göre kuvvet momentine vektör çarpımı denir. Bu vektör çarpımının modülü sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit olduğundan (Şekil 157), o zaman Momentin modülü taban ve yüksekliğin çarpımına, yani kuvvetin O noktasından kuvvetin etkidiği düz çizgiye olan mesafeyle çarpımına eşittir.

Mekanikte, katı bir cismin dengede olabilmesi için, cisme uygulanan kuvvetleri temsil eden vektörlerin toplamının yanı sıra kuvvetlerin momentlerinin toplamının da sıfıra eşit olması gerektiği kanıtlanmıştır. Tüm kuvvetlerin bir düzleme paralel olması durumunda, momentleri temsil eden vektörlerin toplamı, bunların büyüklüklerinin toplanması ve çıkarılmasıyla değiştirilebilir. Ancak kuvvetlerin keyfi yönleriyle böyle bir yer değiştirme imkansızdır. Buna göre vektör çarpımı bir sayı olarak değil, tam olarak bir vektör olarak tanımlanır.

Birim vektör- Bu vektör Mutlak değeri (modülü) birliğe eşit olan. Bir birim vektörü belirtmek için e alt simgesini kullanacağız. Yani eğer bir vektör veriliyorsa. A, o zaman birim vektörü vektör olacaktır A e. Bu birim vektör, vektörün kendisiyle aynı yöndedir. A ve modülü bire eşittir, yani a e = 1.

Açıkça, A= bir A e (bir - vektör modülü A). Bu, bir skaleri bir vektörle çarpma işleminin gerçekleştirildiği kuraldan kaynaklanır.

Birim vektörler genellikle bir koordinat sisteminin koordinat eksenleriyle (özellikle Kartezyen koordinat sisteminin eksenleriyle) ilişkilendirilir. Bunların yönleri vektörler karşılık gelen eksenlerin yönleriyle çakışır ve kökenleri genellikle koordinat sisteminin kökeni ile birleştirilir.

Sana şunu hatırlatmama izin ver Kartezyen koordinat sistemi uzayda, geleneksel olarak koordinatların kökeni adı verilen bir noktada kesişen karşılıklı dik eksenlerden oluşan üçlüye denir. Koordinat eksenleri genellikle X, Y, Z harfleriyle gösterilir ve sırasıyla apsis ekseni, ordinat ekseni ve uygulama ekseni olarak adlandırılır. Descartes'ın kendisi, üzerine apsislerin çizildiği yalnızca bir eksen kullandı. Kullanım değeri sistemler baltalar öğrencilerine aittir. Bu nedenle ifade Kartezyen koordinat sistemi tarihsel olarak yanlış. Konuşmak daha iyi dikdörtgen koordinat sistemi veya ortogonal koordinat sistemi. Ancak gelenekleri değiştirmeyeceğiz ve gelecekte Kartezyen ve dikdörtgen (dik) koordinat sistemlerinin bir ve aynı olduğunu varsayacağız.

Birim vektör X ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir Ben, birim vektör Y ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir J, A birim vektör Z ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir k. Vektörler Ben, J, k arandı ort(Şekil 12, sol), tek modülleri var, yani
ben = 1, j = 1, k = 1.

Eksenler ve birim vektörleri dikdörtgen koordinat sistemi bazı durumlarda farklı adları ve tanımları vardır. Böylece, apsis ekseni X'e teğet eksen adı verilebilir ve birim vektörü gösterilir. τ (Yunanca küçük harf tau), ordinat ekseni normal eksendir, ordu gösterilir N, uygulama ekseni binormal eksendir, birim vektörü gösterilir B. Öz aynı kalırsa neden isimleri değiştirelim?

Gerçek şu ki, örneğin mekanikte cisimlerin hareketini incelerken dikdörtgen koordinat sistemi çok sık kullanılıyor. Dolayısıyla, koordinat sisteminin kendisi sabitse ve hareketli bir nesnenin koordinatlarındaki değişiklik bu sabit sistemde takip ediliyorsa, o zaman genellikle eksenler X, Y, Z olarak gösterilir ve bunların eksenleri birim vektörleri sırasıyla Ben, J, k.

Ancak çoğu zaman, bir nesne bir tür eğrisel yol boyunca (örneğin bir daire içinde) hareket ettiğinde, bu nesneyle birlikte hareket eden koordinat sistemindeki mekanik süreçleri dikkate almak daha uygundur. Böyle hareketli bir koordinat sistemi için diğer eksen adları ve bunların birim vektörleri kullanılır. Sadece o yol var. Bu durumda X ekseni yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir. şu an bu nesne bulunur. Ve sonra bu eksene artık X ekseni değil, teğet eksen adı veriliyor ve birim vektörü artık belirlenmiyor Ben, A τ . Y ekseni yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir (bir daire içinde hareket durumunda - dairenin merkezine). Yarıçap teğete dik olduğundan, eksene normal eksen denir (dik ve normal aynı şeydir). Bu eksenin birim vektörü artık gösterilmiyor J, A N. Üçüncü eksen (eski adıyla Z) önceki ikisine diktir. Bu orthlu bir iki normal B(Şekil 12, sağ). Bu arada, bu durumda böyle dikdörtgen koordinat sistemi genellikle "doğal" veya doğal olarak anılır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vektör çarpımı kavramını vermeden önce, üç boyutlu uzayda sıralı bir a →, b →, c → vektör üçlüsünün yönelimi sorununa dönelim.

Başlangıç ​​olarak, bir noktadan itibaren a → , b → , c → vektörlerini bir kenara bırakalım. a → , b → , c → üçlüsünün yönelimi, c → vektörünün yönüne bağlı olarak sağa veya sola olabilir. a → , b → , c → üçlüsünün türü, a → vektöründen b → c → vektörünün ucundan itibaren en kısa dönüşün yapıldığı yönden belirlenecektir.

En kısa dönüş saat yönünün tersine yapılırsa, a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü denir Sağ, saat yönünde ise – sol.

Daha sonra, doğrusal olmayan iki a → ve b → vektörünü alın. Daha sonra A noktasından A B → = a → ve A C → = b → vektörlerini çizelim. Hem A B → hem de A C →'ye aynı anda dik olan bir AD → = c → vektörü oluşturalım. Böylece, AD → = c → vektörünün kendisini oluştururken, ona bir yön veya ters yön vererek iki şey yapabiliriz (resme bakın).

a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsü, öğrendiğimiz gibi, vektörün yönüne bağlı olarak sağ veya sol olabilir.

Yukarıdakilerden bir vektör çarpımının tanımını tanıtabiliriz. Bu tanım, üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

Tanım 1

İki vektörün vektör çarpımı a → ve b → üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan böyle bir vektörü şöyle adlandıracağız:

• a → ve b → vektörleri eşdoğrusal ise sıfır olacaktır;
• hem a vektörüne hem de b vektörüne dik olacaktır, yani. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• uzunluğu şu formülle belirlenir: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü verilen koordinat sistemiyle aynı yönelime sahiptir.

vektör çizimleri a → ve b → vektörleri aşağıdaki gösterime sahiptir: a → × b → .

Vektör çarpımının koordinatları

Herhangi bir vektörün koordinat sisteminde belirli koordinatları olduğundan, vektör çarpımının ikinci bir tanımını sunabiliriz; bu, vektörlerin verilen koordinatlarını kullanarak koordinatlarını bulmamızı sağlayacaktır.

Tanım 2

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde a → = (a x ; a y ; a z) ve b → = (b x ; b y ; b z) iki vektörünün vektör çarpımı bir vektör olarak adlandırılır c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , burada i → , j → , k → koordinat vektörleridir.

Vektör çarpımı üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı olarak temsil edilebilir; burada ilk satır i → , j → , k → vektör vektörlerini içerir, ikinci satır a → vektörünün koordinatlarını içerir ve üçüncü satır belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde b → vektörünün koordinatlarını içerir, bu matrisin determinantı şu şekilde görünür: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek eşitliği elde ederiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ben → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) ben → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çapraz çarpımın özellikleri

Koordinatlardaki vektör çarpımının c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matrisinin determinantı olarak temsil edildiği bilinmektedir. matris determinantının özellikleri aşağıdakiler görüntülenir bir vektör ürününün özellikleri:

1. antideğişme a → × b → = - b → × a → ;
2. dağılım a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → veya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + bir → × b (2) → ;
3. ilişkilendirilebilirlik λ a → × b → = λ a → × b → veya a → × (λ b →) = λ a → × b →, burada λ isteğe bağlı bir gerçek sayıdır.

Bu özelliklerin basit kanıtları vardır.

Örnek olarak, bir vektör çarpımının anti-değişme özelliğini kanıtlayabiliriz.

Antideğişmenin kanıtı

Tanım gereği, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ve b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Ve eğer matrisin iki satırı değiştirilirse, matrisin determinantının değeri ters yönde değişmelidir, bu nedenle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , bu da vektör çarpımının ters-değişmeli olduğunu kanıtlar.

Vektör çarpımı - örnekler ve çözümler

Çoğu durumda üç tür sorun vardır.

Birinci tür problemlerde genellikle iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir ve vektör çarpımının uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda aşağıdaki formülü kullanın c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

örnek 1

a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4'ü biliyorsanız, a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu belirleyerek bu sorunu çözeriz: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2.

Cevap: 15 2 2 .

İkinci tip problemlerin vektörlerin koordinatları, vektör çarpımı, uzunluğu vb. ile bağlantısı vardır. Verilen vektörlerin bilinen koordinatları üzerinden arama yapılır bir → = (a x; a y; a z) Ve b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tür bir problem için birçok görev seçeneğini çözebilirsiniz. Örneğin, a → ve b → vektörlerinin koordinatları belirtilemez, ancak bunların formun koordinat vektörlerine açılımları belirtilebilir. b → = b x · ben → + b y · j → + b z · k → ve c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → veya a → ve b → vektörleri başlangıç ​​koordinatlarıyla belirtilebilir ve bitiş noktaları.

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun.

Örnek 2

Dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektör verilir: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Çapraz çarpımlarını bulun.

Çözüm

İkinci tanıma göre, verilen koordinatlardaki iki vektörün vektör çarpımını buluruz: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · ben → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Vektör çarpımını matrisin determinantına göre yazarsak çözüm bu örnekşuna benzer: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Cevap: a → × b → = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Örnek 3

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu bulun; burada i →, j →, k → dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleridir.

Çözüm

Öncelikle, belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımının koordinatlarını bulalım.

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin sırasıyla (1; - 1; 0) ve (1; 1; 1) koordinatlarına sahip olduğu bilinmektedir. Matrisin determinantını kullanarak vektör çarpımının uzunluğunu bulalım, o zaman i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Bu nedenle, i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımı verilen koordinat sisteminde (- 1 ; - 1 ; 2) koordinatlara sahiptir.

Vektör çarpımının uzunluğunu şu formülü kullanarak buluruz (bir vektörün uzunluğunu bulma bölümüne bakın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cevap: ben → - j → × ben → + j → + k → = 6 . .

Örnek 4

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) üç noktasının koordinatları verilmektedir. A B → ve A C →'ye aynı anda dik olan bir vektör bulun.

Çözüm

A B → ve A C → vektörleri sırasıyla (- 1 ; 2 ; 2) ve (0 ; 4 ; 1) koordinatlarına sahiptir. A B → ve AC → vektörlerinin vektör çarpımını bulduktan sonra, bunun tanımı gereği hem A B → hem de AC →'ye dik bir vektör olduğu, yani sorunumuza bir çözüm olduğu açıktır. Bunu bulalım A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Cevap: - 6 ben → + j → - 4 k → . - dik vektörlerden biri.

Üçüncü tip problemler, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerinin kullanılmasına odaklanmıştır. Bunu uyguladıktan sonra verilen soruna bir çözüm elde edeceğiz.

Örnek 5

a → ve b → vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → vektör çarpımının uzunluğunu bulun + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Çözüm

Bir vektör çarpımının dağılma özelliği ile 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yazabiliriz. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

İlişkilendirilebilirlik özelliğiyle, son ifadedeki vektör çarpımlarının işaretinden sayısal katsayıları alıyoruz: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → ve b → × b → vektör çarpımları 0'a eşittir, çünkü a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ve b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, sonra 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Vektör çarpımının antideğişme özelliğinden şu sonuç çıkar: - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Vektör çarpımının özelliklerini kullanarak 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → eşitliğini elde ederiz.

Koşul gereği, a → ve b → vektörleri diktir, yani aralarındaki açı π 2'ye eşittir. Şimdi geriye kalan tek şey, bulunan değerleri uygun formüllerde değiştirmektir: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · günah (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · günah π 2 = 60 .

Cevap: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Tanım gereği vektörlerin vektör çarpımının uzunluğu şuna eşittir: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Zaten bilindiği için ( okul kursu) bir üçgenin alanının, iki kenarının uzunluklarının çarpımının yarısı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşit olduğu. Sonuç olarak, vektör ürününün uzunluğu paralelkenarın alanına eşittir - çift üçgen, yani kenarların a → ve b → vektörleri biçimindeki çarpımı, bir noktadan sinüs ile ortaya konur. aralarındaki açı sin ∠ a →, b →.

Bu bir vektör çarpımının geometrik anlamıdır.

Vektör çarpımının fiziksel anlamı

Fiziğin dallarından biri olan mekanikte vektör çarpımı sayesinde bir kuvvetin uzaydaki bir noktaya göre momenti belirlenebilmektedir.

Tanım 3

A noktasına göre B noktasına F → kuvveti uygulandığında, aşağıdaki A B → × F → vektör çarpımını anlayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı (İhtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin skaler çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına giriyormuşuz gibi görünebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az tahta bulunur. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynı materyalden neredeyse hiç karmaşık değildir. skaler çarpım, eşit tipik görevler daha az olacak. Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin ikna olacağı veya zaten ikna olduğu gibi, HESAPLAMALARDA HATA YAPMMAKTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa fark etmez, dersten başlayın Aptallar için vektörler vektörler hakkındaki temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden edinmek. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilirler; pratik çalışmalarda sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım;

Seni hemen ne mutlu edecek? Küçükken iki hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Şimdi dikkate alacağımız için hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. yalnızca uzaysal vektörler ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlem, tıpkı skaler çarpım gibi, şunları içerir: iki vektör. Bunlar ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi ile gösterilir Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ancak ben vektörlerin vektör çarpımını bu şekilde köşeli parantez içinde ve çarpı işaretiyle göstermeye alışkınım.

Ve hemen soru: eğer içerideyse vektörlerin skaler çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Bariz fark, her şeyden önce SONUÇ'tadır:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu SAYI'dır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu VEKTÖRdür: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında operasyonun adı da buradan geliyor. Farklı eğitim literatüründe tanımlamalar da farklılık gösterebilir; mektubu kullanacağım.

Çapraz çarpımın tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Vektör çarpımı doğrusal olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı VEKTÖR adı verilen, uzunluk sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine inşa edilmiş; vektör vektörlere dik, ve tabanın doğru yönelime sahip olacağı şekilde yönlendirilir:

Tanımı biraz açalım, burada pek çok ilginç şey var!

Dolayısıyla aşağıdaki önemli noktalar vurgulanabilir:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen orijinal vektörler doğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Vektörler alınır kesin olarak tanımlanmış bir sırayla: – "a" "olmak" ile çarpılır, ve “a” ile “olmak” değil. Vektör çarpımının sonucu mavi renkle gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa eşit uzunlukta ve zıt yönde (ahududu rengi) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik doğrudur .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın ALANI'na eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve doğal olarak vektör ürününün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Bir tanesini hatırlayalım geometrik formüller: Paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplamak için kullanılan formül geçerlidir:

Formülün vektörün kendisi ile değil, vektörün UZUNLUĞU ile ilgili olduğunu vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde paralelkenarın alanının genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunmasıdır:

İkinci önemli formülü elde edelim. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeli) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

4) Daha az değil önemli gerçek vektörün vektörlere dik olması, yani . Elbette zıt yönlü vektör (ahududu oku) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel Var Sağ oryantasyon. Konuyla ilgili derste yeni bir temele geçiş hakkında yeterince ayrıntılı konuştum düzlem yönelimi ve şimdi uzay yöneliminin ne olduğunu bulacağız. Parmaklarınla ​​açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak – vektör çarpımı yukarı bakacak. Bu sağ odaklı bir temeldir (şekildeki budur). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı zaten aşağıya bakacak. Bu aynı zamanda sağ odaklı bir temeldir. Bir sorunuz olabilir: Hangi temelin sola yönelimi var? Aynı parmaklara “atama” sol el vektörleri kullanın ve uzayın sol tabanını ve sol yönelimini elde edin (bu durumda başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi anlamda konuşursak, bu tabanlar uzayı "büküyor" veya yönlendiriyor. farklı taraflar. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, uzayın yönelimi en sıradan ayna tarafından değiştirilir ve eğer "yansıyan nesneyi aynanın dışına çekerseniz", o zaman genel durumda onu “orijinal” ile birleştirmek mümkün olmayacak. Bu arada, üç parmağınızı aynaya doğru tutun ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu biliyor olman ne kadar iyi sağ ve sol odaklıçünkü bazı hocaların yönelim değişikliğine dair açıklamaları korkutucu =)

Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak tartışıldı, vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olacağını bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgiye yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin söylediği gibi, bunun alanı, dejenere paralelkenar sıfıra eşittir. Aynı şey formülden de gelir - sıfır veya 180 derecenin sinüsü sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece eğer öyleyse . Kesin olarak konuşursak, vektör çarpımının kendisi sıfır vektörüne eşittir, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve bunun basitçe sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel durum– bir vektörün kendisiyle vektör çarpımı:

Vektör çarpımını kullanarak üç boyutlu vektörlerin eşdoğrusallığını kontrol edebilirsiniz; diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.

İhtiyacınız olabilecek pratik örnekleri çözmek için trigonometrik tablo sinüslerin değerlerini ondan bulmak için.

Hadi ateşi yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz:

b) Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun, eğer

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, cümlelerdeki başlangıç ​​verilerini bilinçli olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Koşula göre bulmanız gerekir uzunluk vektör (çapraz çarpım). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk hakkında soru sorulursa, cevapta boyut birimlerini belirtiriz.

b) Koşula göre bulmanız gerekir kare vektörler üzerine kurulu paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak vektör ürününün uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Cevabın bize sorulan vektör çarpımından hiç bahsetmediğini lütfen unutmayın; şeklin alanı buna göre boyut birim karedir.

Her zaman duruma göre NE bulmamız gerektiğine bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. temizlemek cevap. Bu, gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında çok sayıda gerçekçilik vardır ve ödevin gözden geçirilmek üzere geri gönderilme şansı yüksektir. Her ne kadar bu çok abartılı bir kelime oyunu olmasa da - eğer cevap yanlışsa, o zaman kişinin basit şeyleri anlamadığı ve/veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Yüksek matematikte ve diğer konularda herhangi bir problemi çözerken bu noktanın daima kontrol altında tutulması gerekir.

Büyük “en” harfi nereye gitti? Prensip olarak çözüme ek olarak eklenebilirdi ama girişi kısaltmak için bunu yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve bu da aynı şeyin tanımıdır.

için popüler bir örnek bağımsız karar:

Örnek 2

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun:

Bir üçgenin alanını vektör çarpımı aracılığıyla bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Pratikte bu görev gerçekten çok yaygındır; üçgenler genellikle size eziyet edebilir.

Diğer sorunları çözmek için ihtiyacımız olacak:

Vektörlerin vektör çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten değerlendirdik, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

Rastgele vektörler ve rastgele bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında bu madde genellikle özelliklerde vurgulanmaz ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) – mülkiyet de yukarıda tartışılmıştır, bazen denir antideğişme. Başka bir deyişle vektörlerin sırası önemlidir.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal vektör çarpım kanunları. Sabitler kolayca vektör çarpımının dışına taşınabilir. Gerçekten orada ne yapmaları gerekiyor?

4) – dağıtım veya dağıtıcı vektör çarpım kanunları. Braketlerin açılmasında da herhangi bir sorun yoktur.

Göstermek için kısa bir örneğe bakalım:

Örnek 3

Eğer varsa bul

Çözüm: Koşul yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmayı gerektirir. Minyatürümüzü çizelim:

(1) Birleşim yasalarına göre sabitleri vektör çarpımının kapsamı dışında tutuyoruz.

(2) Sabiti modülün dışına taşırız ve modül eksi işaretini “yer”. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Gerisi açıktır.

Cevap:

Ateşe daha fazla odun eklemenin zamanı geldi:

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın:

Çözüm: Formülü kullanarak üçgenin alanını bulun . İşin püf noktası, "tse" ve "de" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak sunulmasıdır. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatmaktadır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik sağlamak için çözümü üç aşamaya ayıracağız:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, bir vektörü bir vektör cinsinden ifade edelim. Uzunluklarla ilgili henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak tüm sabitleri vektör çarpımlarının ötesine taşırız. Biraz tecrübe ile 2. ve 3. adımlar aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Nice özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde bir vektör çarpımının antideğişme özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimleri sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı; bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3. aşamaları tek satırda yazılabilirdi.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır testler, işte bağımsız bir çözüm için bir örnek:

Örnek 5

Eğer varsa bul

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap. Bakalım önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davranmışsınız ;-)

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı

ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:

Formül gerçekten basit: Determinantın üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, ikinci ve üçüncü satırlara vektörlerin koordinatlarını "koyuyoruz" ve şunu koyuyoruz: sıkı bir düzende– önce “ve” vektörünün koordinatları, ardından “çift-ve” vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa satırların yeri değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Kontrol, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler doğrusalsa, vektör çarpımları sıfıra eşittir (sıfır vektör): .

a) Vektör çarpımını bulun:

Bu nedenle vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör çarpımını bulun:

Cevap: a) eşdoğrusal değil, b)

Burada belki de vektörlerin vektör çarpımına ilişkin tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Vektörlerin karma çarpımının kullanıldığı yerlerde çok az sorun olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında her şey tanıma, geometrik anlama ve birkaç çalışma formülüne bağlı olacaktır.

Vektörlerin karışık bir çarpımı üç vektörün çarpımıdır:

Yani bir tren gibi sıraya girdiler ve kimliklerinin tespit edilmesi için sabırsızlanıyorlar.

Öncelikle yine bir tanım ve resim:

Tanım: Karma çalışma eş düzlemli olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, isminde paralel yüzlü hacim, bu vektörler üzerine kuruludur ve taban doğruysa “+” işaretiyle, taban soldaysa “–” işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim için görünmeyen çizgiler noktalı çizgilerle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Vektörler alınır belli bir sırayla yani çarpımdaki vektörlerin yeniden düzenlenmesi tahmin edebileceğiniz gibi sonuçsuz olmuyor.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce bariz bir gerçeğe dikkat çekeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir; ben karma bir ürünü ve hesaplamaların sonucunu “pe” harfiyle belirtmeye alışkınım.

A-tarikatı karışık ürün paralelyüzlü hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani sayı, belirli bir paralel yüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve mekanın yönelimi kavramını bir daha dert etmeyelim. Son kısmın anlamı ise hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Doğrudan tanımdan, vektörler üzerine kurulu bir paralel borunun hacmini hesaplamak için formül gelir.

Tanım (x 1 , x 2 , ... , x n) n adet reel sayının sıralı bir koleksiyonuna denir n boyutlu vektör, ve sayılar x i (i = ) - bileşenler, veya koordinatlar,

Örnek. Örneğin belirli bir otomobil fabrikasının 50 adet üretmesi gerekiyorsa yolcu arabaları 100 adet kamyon, 10 adet otobüs, 50 adet otomobil yedek parçası ve 150 adet otomobil yedek parçası kamyonlar ve otobüsler olduğuna göre bu tesisin üretim programı beş bileşenli bir vektör (50, 100, 10, 50, 150) şeklinde yazılabilir.

Gösterim. Vektörler kalın küçük harflerle veya üstte bir çubuk veya ok bulunan harflerle gösterilir; A veya. İki vektör denir eşit, eğer aynı sayıda bileşene sahiplerse ve bunlara karşılık gelen bileşenler eşitse.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörler.
Vektörler üzerinde işlemler.İş X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) gerçek sayıya göreλ vektör denirλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MiktarX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ve sen= (y 1 , y 2 , ... ,y n)'ye vektör denir x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektör Uzayı. N -boyutlu vektör uzayı R n, gerçek sayılarla çarpma ve toplama işlemlerinin tanımlandığı tüm n boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır.

Ekonomik illüstrasyon. N boyutlu vektör uzayının ekonomik gösterimi: mal alanı (mal). Altında mal satışa çıkan bazı mal veya hizmetleri anlayacağız kesin zaman belli bir yerde. Varsayalım ki, n adet mevcut mal var; Tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarı bir dizi malla karakterize edilir.

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i. malın miktarını belirtir. Tüm malların keyfi bölünebilme özelliğine sahip olduğunu, böylece her birinden negatif olmayan herhangi bir miktarın satın alınabileceğini varsayacağız. O halde tüm olası mal kümeleri C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ben ≥ 0, ben = ).

Doğrusal bağımsızlık. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörlere denir doğrusal bağımlı eğer böyle sayılar varsaλ 1 , λ 2 , ... , λ m en az biri sıfırdan farklı olan eşitlik sağlanacak şekildeλ1 e 1 + λ2 e 2 +... + λ m e m = 0; aksi takdirde bu vektörler sistemine denir Doğrusal bağımsız yani belirtilen eşitlik ancak tümünün olması durumunda mümkündür. . Geometrik anlam vektörlerin doğrusal bağımlılığı RŞekil 3'te yönlendirilmiş bölümler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

Teorem 1. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektörün sıfır olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün doğrusal bağımlı olabilmesi için eşdoğrusal (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Teorem 3 . Üç vektörün doğrusal olarak bağımlı olabilmesi için eş düzlemli olmaları (aynı düzlemde yer almaları) gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü a, b, c isminde Sağ, eğer ortak kökenden gelen gözlemci vektörlerin uçlarını atlarsa a, b, c verilen sıraya göre saat yönünde gerçekleştiği görülmektedir. Aksi takdirde a, b, c -üç sola. Vektörlerin tüm sağ (veya sol) üçlülerine denir aynısı odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemli olmayan vektör R 3 denir temel ve vektörlerin kendisi e 1, e 2 , e 3 - temel. Herhangi bir vektör A temel vektörlere benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani formda temsil edilebilir

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

(1.1) açılımındaki x 1 , x 2 , x 3 sayılarına denir koordinatlarA temelde e 1, e 2 , e 3 ve belirlenmiş A(x1,x2,x3).

Ortonormal temel. Eğer vektörler e 1, e 2 , e 3 çift birbirine diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, bu durumda taban denir ortonormal ve koordinatlar x 1 , x 2 , x 3 - dikdörtgen. Bir ortonormal bazın temel vektörleri şu şekilde gösterilecektir: ben, j, k.

Uzayda olduğunu varsayacağız R 3 Kartezyen dikdörtgen koordinatların doğru sistemi seçilir (0, ben, j, k}.

Vektör çizimi. vektör çizimleri A vektöre B vektör denir C aşağıdaki üç koşulla belirlenir:

1. Vektör uzunluğu C vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir A Ve B, yani.
C= |a||b| günah ( A^B).

2. Vektör C vektörlerin her birine dik A Ve B.

3. Vektörler A, B Ve C belirtilen sıraya göre alındığında sağ üçlü oluşturur.

Çapraz çarpım için C atama tanıtıldı c =[ab] veya
c = bir × B.

Eğer vektörler A Ve B eşdoğrusal ise günah( a^b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Birim vektörlerin vektör çarpımları: [ ben]=k, [jk] = Ben, [ki]=J.

Eğer vektörler A Ve B esasında belirtilen ben, j, k koordinatlar A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), o zaman

Karışık çalışma. İki vektörün vektör çarpımı ise A Ve Büçüncü vektörle skaler olarak çarpılır C, o zaman üç vektörün böyle bir çarpımına denir karma çalışma ve sembolüyle gösterilir A M.Ö.

Eğer vektörler a, b Ve C temelde ben, j, k koordinatları tarafından verilir
A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), o zaman

.

Karışık ürünün basit bir geometrik yorumu vardır - bu, verilen üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmine mutlak değerde eşit olan bir skalerdir.

Vektörler bir dik üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç ise a, b, c - sola, sonra a b c<0 и V = - a b c, dolayısıyla V =|a b c|.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının dik ortonormal tabana göre verildiği varsayılmaktadır. Birim vektör vektörle eş yönlü A, sembolüyle gösterilir AÖ. Sembol R=OM M noktasının yarıçap vektörüyle gösterilir, semboller a, AB veya|bir|, | AB|vektörlerin modülleri gösterilir A Ve AB.

Örnek 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun A= 2M+4N Ve B= m-n, Nerede M Ve N- birim vektörler ve aralarındaki açı M Ve N 120 o'ya eşit.

Çözüm. Elimizde: çünkü φ = ab/ab ab =(2M+4N) (m-n) = 2M 2 - 4N 2 +2milyon=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; bir = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16milyon+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, bu da a = anlamına gelir. b = ; B 2 =
= (m-n)(m-n) = M 2 -2milyon+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, yani b = . Sonunda elimizde: çünküφ = = -1/2, φ = 120 o.

Örnek 1.3.Vektörleri bilmek AB(-3,-2.6) ve M.Ö.(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğinin uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm. ABC üçgeninin alanını S ile göstererek şunu elde ederiz:
S = MÖ 1/2 MS. Daha sonra AD=2S/MÖ, M.Ö= = = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, yani vektör AC. koordinatları var
. .

Örnek 1.4 . İki vektör verilmiştir A(11,10,2) ve B(4,0,3). Birim vektörü bulun C, vektörlere dik A Ve B ve vektörlerin sıralı üçlüsü olacak şekilde yönlendirildi a, b, c haklıydı.

Çözüm.Vektörün koordinatlarını gösterelim C x, y, z cinsinden belirli bir dik ortonormal tabana göre.

Çünkü C ⊥ AC ⊥B, O CA= 0,cb= 0. Problemin koşullarına göre c = 1 olması gerekmektedir ve a b c >0.

için bir denklem sistemimiz var. x,y,z'yi bulma: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden z = -4/3 x, y = -5/6 x elde ediyoruz. Üçüncü denklemde y ve z'yi yerine koyarsak: x 2 = 36/125 elde ederiz, dolayısıyla
x =± . Durumu kullanma a b c > 0, eşitsizliği elde ederiz

Z ve y ifadelerini dikkate alarak ortaya çıkan eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz: 625/6 x > 0, bu da x>0 anlamına gelir. Yani x = , y = - , z =- .