Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı. Doğrusal vektörler

Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, aralarından en az birinin sıfırdan farklı olduğu sayılar varsa, eşitlik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Bu eşitlik yalnızca tümünün olması durumunda sağlanırsa, o zaman vektörler sistemine denir. Doğrusal bağımsız.

Teorem. Vektör sistemi olacak doğrusal bağımlı ancak ve ancak vektörlerinden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması durumunda.

Örnek 1. Polinom polinomların doğrusal bir kombinasyonudur https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomlar doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur, çünkü polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Örnek 2. Matris sistemi, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü doğrusal bir kombinasyon şuna eşittir: sıfır matris yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text durumunda /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> doğrusal bağımlı.

Çözüm.

Bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu yapalım https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" yükseklik = "22">.

Eşit vektörlerin aynı koordinatlarını eşitleyerek https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> elde ederiz.

Sonunda elde ettik

Ve

Sistemin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır, dolayısıyla bu vektörlerin doğrusal birleşimi yalnızca tüm katsayıların sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşittir. Dolayısıyla bu vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır.

Örnek 4. Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır. Vektör sistemleri nasıl olacak?

A).;

B).?

Çözüm.

A). Doğrusal bir kombinasyon yapalım ve bunu sıfıra eşitleyelim

Doğrusal uzayda vektörlerle yapılan işlemlerin özelliklerini kullanarak son eşitliği formda yeniden yazıyoruz.

Vektörler doğrusal olarak bağımsız olduğundan, at katsayıları sıfıra eşit olmalıdır, yani.gif" width="12" height="23 src=">

Ortaya çıkan denklem sisteminin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır .

Eşitlikten bu yana (*) yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – doğrusal olarak bağımsız olduğunda yürütülür;

B). Eşitlik yapalım https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Benzer akıl yürütmeyi uygulayarak şunu elde ederiz:

Denklem sistemini Gauss yöntemiyle çözerek şunu elde ederiz:

veya

İkinci sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dolayısıyla, olmayan bir çözüm vardır. eşitliği sağlayan sıfır katsayı seti (**) . Bu nedenle vektör sistemi – doğrusal bağımlı.

Örnek 5 Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır ve bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Eşitlik içinde (***) . Gerçekten de, sistem doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

ilişkiden (***) aldık veya Haydi belirtelim .

Aldık

Şunun için görevler: bağımsız karar(seyircilerin içinde)

1. Sıfır vektör içeren bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Bir vektörden oluşan sistem A, doğrusal olarak bağımlıdır ancak ve ancak şu durumda, a=0.

3. İki vektörden oluşan bir sistem, yalnızca vektörler orantılıysa (yani bunlardan biri diğerinden bir sayıyla çarpılarak elde edilirse) doğrusal olarak bağımlıdır.

4. Doğrusal bağımlı bir sisteme bir vektör eklerseniz doğrusal bağımlı bir sistem elde edersiniz.

5. Doğrusal olarak bağımsız bir sistemden bir vektör çıkarılırsa, ortaya çıkan vektör sistemi doğrusal olarak bağımsız olur.

6. Eğer sistem S doğrusal olarak bağımsızdır, ancak bir vektör eklenirken doğrusal olarak bağımlı hale gelir B, sonra vektör B sistem vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir S.

C).İkinci dereceden matrisler uzayında matris sistemi.

10. Vektörler sistemi olsun A,B,C vektör uzayı doğrusal olarak bağımsızdır. Aşağıdaki vektör sistemlerinin doğrusal bağımsızlığını kanıtlayın:

A).a+b, b, c.

B).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– Rasgele sayı

C).a+b, a+c, b+c.

11. İzin vermek A,B,C– bir üçgenin oluşturulabileceği düzlemde üç vektör. Bu vektörler doğrusal olarak bağımlı olacak mı?

12. İki vektör verilmiştir a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). İki tane daha dört boyutlu vektör bulun a3 vea4 böylece sistem a1,a2,a3,a4 doğrusal olarak bağımsızdı .

Vektörler, özellikleri ve bunlarla ilgili eylemler

Vektörler, vektörlerle eylemler, doğrusal vektör uzayı.

Vektörler sonlu sayıda gerçek sayıların sıralı bir koleksiyonudur.

Hareketler: 1.Bir vektörü bir sayıyla çarpmak: lambda*vektör x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Vektörlerin toplamı (aynı vektör uzayına ait) vektör x + vektör y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektör 0=(0,0…0)---n E n – n boyutlu (doğrusal uzay) vektör x + vektör 0 = vektör x

Teorem. n boyutlu bir doğrusal uzay olan n vektörden oluşan bir sistemin doğrusal olarak bağımlı olabilmesi için, vektörlerden birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Teorem. Olayların n boyutlu doğrusal uzayının n+ 1. vektörlerinin herhangi bir kümesi. doğrusal bağımlı.

Vektörlerin toplanması, vektörlerin sayılarla çarpılması. Vektörlerin çıkarılması.

İki vektörün toplamı, başlangıcın vektörün sonu ile çakışması koşuluyla, vektörün başlangıcından vektörün sonuna doğru yönlendirilmiş bir vektördür. Vektörler temel birim vektörlerdeki açılımlarıyla veriliyorsa, vektörler eklenirken karşılık gelen koordinatları da eklenir.

Bunu Kartezyen koordinat sistemi örneğini kullanarak ele alalım. İzin vermek

Hadi bunu gösterelim

Şekil 3'ten açıkça görülüyor ki

Herhangi bir sonlu sayıda vektörün toplamı, çokgen kuralı kullanılarak bulunabilir (Şekil 4): sonlu sayıda vektörün toplamını oluşturmak için, sonraki her vektörün başlangıcını bir öncekinin sonuyla birleştirmek yeterlidir. ve ilk vektörün başlangıcını sonuncunun sonuna bağlayan bir vektör oluşturun.

Vektör toplama işleminin özellikleri:

Bu ifadelerde m, n sayılardır.

Vektörler arasındaki farka vektör denir. İkinci terim, vektörün yönüne zıt fakat uzunluğu ona eşit olan bir vektördür.

Böylece vektörleri çıkarma işleminin yerini toplama işlemi alır

Başlangıcı orijinde ve sonu A noktasında (x1, y1, z1) olan bir vektöre A noktasının yarıçap vektörü denir ve basitçe gösterilir. Koordinatları A noktasının koordinatlarıyla çakıştığı için birim vektörlerdeki açılımı şu şekildedir:

A(x1, y1, z1) noktasında başlayıp B(x2, y2, z2) noktasında biten bir vektör şu şekilde yazılabilir:

burada r2, B noktasının yarıçap vektörüdür; r 1 - A noktasının yarıçap vektörü.

Bu nedenle, vektörün birim vektörlerdeki açılımı şu şekildedir:

Uzunluğu A ve B noktaları arasındaki mesafeye eşittir

ÇARPMA İŞLEMİ

Yani bir düzlem problemi durumunda, bir vektörün a = (ax; ay) ile b sayısının çarpımı formülle bulunur

a b = (ax b; ay b)

Örnek 1. a = (1; 2) vektörünün 3'e çarpımını bulun.

3 bir = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Yani uzaysal bir problem durumunda a = (ax; ay; az) vektörünün b sayısıyla çarpımı formülle bulunur.

a b = (ax b; ay b; az b)

Örnek 1. a = (1; 2; -5) vektörünün 2'ye çarpımını bulun.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektörlerin nokta çarpımı ve ve vektörleri arasındaki açı nerede; eğer öyleyse, o zaman

Skaler çarpımın tanımından şu sonuç çıkar:

örneğin vektörün vektör yönüne izdüşümünün büyüklüğü buradadır.

Skaler kare vektör:

Nokta çarpımın özellikleri:

Koordinatlarda nokta çarpımı

Eğer O

Vektörler arasındaki açı

Vektörler arasındaki açı - bu vektörlerin yönleri arasındaki açı (en küçük açı).

Çapraz çarpım (İki vektörün çapraz çarpımı.) - bu, üç boyutlu Öklid uzayındaki vektörler üzerinde "vektör çarpımı" ikili işleminin sonucu olan, iki faktörden oluşturulmuş bir düzleme dik bir sözde vektördür. Çarpım ne değişmeli ne de birleşmeli (anti-değişmeli) ve vektörlerin nokta çarpımından farklı. Pek çok mühendislik ve fizik probleminde, mevcut iki vektöre dik bir vektör oluşturabilmeniz gerekir; vektör çarpımı bu fırsatı sağlar. Çapraz çarpım, vektörlerin uzunluk - dikliğini "ölçmek" için kullanışlıdır. vektör çarpımı iki vektör birbirine dik ise uzunluklarının çarpımına eşit olur, paralel veya antiparalel ise sıfıra düşer.

Çapraz çarpım yalnızca üç boyutlu ve yedi boyutlu uzaylarda tanımlanır. Bir vektör çarpımının sonucu, tıpkı bir skaler çarpım gibi, Öklid uzayının metriğine bağlıdır.

Üç boyutlu dikdörtgen koordinat sistemindeki koordinatlardan skaler çarpım vektörlerini hesaplama formülünün aksine, çapraz çarpım formülü dikdörtgen koordinat sisteminin yönüne veya başka bir deyişle "kiralliğine" bağlıdır.

Vektörlerin doğrusallığı.

Sıfır olmayan (0'a eşit olmayan) iki vektör, paralel çizgiler üzerinde veya aynı çizgide yer alıyorsa eşdoğrusal olarak adlandırılır. Kabul edilebilir ancak tavsiye edilmeyen bir eşanlamlı "paralel" vektörlerdir. Doğrusal vektörler aynı şekilde yönlendirilmiş ("eş-yönlü") veya zıt yönlü olabilir (ikinci durumda bunlara bazen "antikoldoğrusal" veya "antiparalel" denir).

Vektörlerin karışık çarpımı( a, b, c)- a vektörünün skaler çarpımı ile b ve c vektörlerinin vektör çarpımı:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

bazen üçlü denir skaler çarpım vektörler, büyük olasılıkla sonucun bir skaler (daha kesin olarak bir sözde skaler) olması nedeniyle.

Geometrik anlam: Karışık çarpımın modülü sayısal olarak vektörlerin oluşturduğu paralelyüzün hacmine eşittir (ABC) .

Özellikler

Karışık parça tüm argümanlarına göre çarpık simetrik: yani e. herhangi iki faktörün yeniden düzenlenmesi çarpımın işaretini değiştirir. Bundan, sağ Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) Karışık çarpımın, vektörlerden oluşan bir matrisin determinantına eşit olduğu sonucu çıkar ve:

Sol Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) karışık çarpım, vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşittir ve eksi işaretiyle alınır:

Özellikle,

Herhangi iki vektör paralelse, herhangi bir üçüncü vektörle sıfıra eşit bir karma çarpım oluştururlar.

Üç vektör doğrusal olarak bağımlıysa (yani aynı düzlemde yer alıyorsa), bunların karışık çarpımı sıfıra eşittir.

Geometrik anlam - Karışık ürün, mutlak değer olarak vektörlerin oluşturduğu paralel borunun (şekle bakınız) hacmine eşittir ve; işaret, bu vektör üçlüsünün sağ el veya solak olmasına bağlıdır.

Vektörlerin eş düzlemliliği.

Üç vektör (veya daha büyük sayı) ortak bir kökene indirgenerek aynı düzlemde yer alıyorlarsa eş düzlemli olarak adlandırılırlar.

Eş düzlemliliğin özellikleri

Üç vektörden en az biri sıfır ise, bu durumda üç vektör de aynı düzlemde kabul edilir.

Bir çift doğrusal vektör içeren üçlü bir vektör aynı düzlemlidir.

Eş düzlemli vektörlerin karışık çarpımı. Bu, üç vektörün eş düzlemliliği için bir kriterdir.

Eş düzlemli vektörler doğrusal olarak bağımlıdır. Bu aynı zamanda eş düzlemlilik için de bir kriterdir.

3 boyutlu uzayda eş düzlemli olmayan 3 vektör bir temel oluşturur

Doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörler.

Doğrusal bağımlı ve bağımsız vektör sistemleri.Tanım. Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit en az bir önemsiz olmayan doğrusal kombinasyonu varsa. Aksi takdirde, yani Verilen vektörlerin yalnızca önemsiz bir doğrusal kombinasyonu boş vektöre eşitse, vektörlere denir. Doğrusal bağımsız.

Teorem (doğrusal bağımlılık kriteri). Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin doğrusal bağımlı olabilmesi için bu vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

1) Vektörler arasında en az bir sıfır vektör varsa, o zaman tüm vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Aslında, örneğin , varsayalım ki, önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimimiz var.▲

2) Vektörlerden bazıları doğrusal bağımlı bir sistem oluşturuyorsa, sistemin tamamı doğrusal bağımlıdır.

Aslında, vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. Bu, sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonun olduğu anlamına gelir. Ama sonra varsayarsak Ayrıca sıfır vektörüne eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyon da elde ederiz.

2. Temel ve boyut. Tanım. Doğrusal bağımsız vektörler sistemi vektör uzayı denir temel Bu uzayın herhangi bir vektörü bu sistemin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebiliyorsa, yani her vektör için gerçek sayılar vardır eşitliği sağlayacak şekildedir. Bu eşitliğe denir. vektör ayrışması esasa ve sayılara göre arandı vektörün tabana göre koordinatları(veya temelde) .

Teorem (tabana göre genişlemenin benzersizliği üzerine). Uzaydaki her vektör bir tabana genişletilebilir tek şekilde, yani tabandaki her vektörün koordinatları açık bir şekilde belirlenir.

Bir vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımlı olup olmadığını kontrol etmek için, bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu oluşturmak ve en az bir katsayı sıfıra eşitse sıfır olup olamayacağını kontrol etmek gerekir.

Durum 1. Bir vektör sistemi vektörlerle verilmektedir.

Doğrusal bir kombinasyon oluşturma

Homojen bir denklem sistemi elde ettik. Sıfırdan farklı bir çözümü varsa determinantın sıfıra eşit olması gerekir. Bir determinant oluşturup değerini bulalım.

Determinant sıfır olduğundan vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Durum 2. Vektör sistemi analitik fonksiyonlarla tanımlanır:

A)
Eğer özdeşlik doğru ise sistem doğrusal bağımlıdır.

Doğrusal bir kombinasyon yapalım.

Bu ifadenin sıfıra eşit olduğu a, b, c (en az biri sıfıra eşit olmayan) olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

Hiperbolik fonksiyonları yazalım

,
, Daha sonra

o zaman vektörlerin doğrusal kombinasyonu şu şekli alacaktır:

Nerede
örneğin, doğrusal kombinasyonun sıfır olduğunu, dolayısıyla sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğunu ele alalım.

Cevap: Sistem doğrusal bağımlıdır.

B)
, doğrusal bir kombinasyon yapalım

Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu, x'in herhangi bir değeri için sıfıra eşit olmalıdır.

Özel durumları kontrol edelim.

Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu, yalnızca tüm katsayıların sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşittir.

Bu nedenle sistem doğrusal olarak bağımsızdır.

Cevap: Sistem doğrusal bağımsızdır.

5.3. Bir temel bulun ve doğrusal çözüm uzayının boyutunu belirleyin.

Genişletilmiş bir matris oluşturalım ve onu Gauss yöntemini kullanarak yamuk formuna indirgeyelim.

Biraz temel oluşturmak için keyfi değerleri değiştirelim:

Geri kalan koordinatları alalım

Cevap:

5.4. Temelde verilmişse, X vektörünün koordinatlarını bulun.

Vektör koordinatlarını yeni bir temelde bulmak denklem sistemini çözmek anlamına gelir

Yöntem 1. Geçiş matrisini kullanarak bulma

Bir geçiş matrisi oluşturalım

Formülü kullanarak vektörü yeni temelde bulalım.

Ters matrisi bulalım ve çarpma işlemini yapalım

,

Yöntem 2. Bir denklem sistemi oluşturarak bulma.

Temel katsayılardan temel vektörleri oluşturalım

,
,

Vektörü yeni temelde bulma şu şekildedir:

, Nerede D bu verilen bir vektör X.

Ortaya çıkan denklem herhangi bir şekilde çözülebilir, cevap benzer olacaktır.

Cevap: yeni bir temelde vektör
.

5.5. x = olsun (X 1 , X 2 , X 3 ) . Aşağıdaki dönüşümler doğrusal mıdır?

Verilen vektörlerin katsayılarından doğrusal operatörlerin matrislerini oluşturalım.

Her doğrusal operatör matrisi için doğrusal işlem özelliğini kontrol edelim.

Matrisi çarparak sol tarafı buluruz A vektöre

Verilen vektörü bir skalerle çarparak sağ tarafı buluruz
.

Bunu görüyoruz
Bu, dönüşümün doğrusal olmadığı anlamına gelir.

Diğer vektörleri kontrol edelim.

dönüşüm doğrusal değildir.

dönüşüm doğrusaldır.

Cevap: Ah– doğrusal bir dönüşüm değil, İçinde– doğrusal değil, Cx- doğrusal.

Not. Verilen vektörlere dikkatlice bakarak bu görevi çok daha kolay tamamlayabilirsiniz. İÇİNDE Ah eleman içermeyen terimlerin olduğunu görüyoruz X doğrusal bir işlem sonucunda elde edilemeyen. İÇİNDE İçinde bir unsur var X bir vektörle çarpılarak da elde edilemeyen üçüncü kuvvete X.

5.6. Verilen X = { X 1 , X 2 , X 3 } , Balta = { X 2 – X 3 , X 1 , X 1 + X 3 } , Bx = { X 2 , 2 X 3 , X 1 } . Belirtilen işlemi gerçekleştirin: ( A ( B – A )) X .

Doğrusal operatörlerin matrislerini yazalım.

Matrisler üzerinde bir işlem yapalım

Ortaya çıkan matrisi X ile çarptığımızda şunu elde ederiz:

Cevap:

Bu yazıda şunları ele alacağız:

• eşdoğrusal vektörler nelerdir;
• vektörlerin eşdoğrusallık koşulları nelerdir;
• eşdoğrusal vektörlerin hangi özellikleri mevcuttur;
• Doğrusal vektörlerin doğrusal bağımlılığı nedir?

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

Doğrusal vektörler, bir doğruya paralel olan veya bir doğru üzerinde yer alan vektörlerdir.

örnek 1

Vektörlerin eşdoğrusallık koşulları

Aşağıdaki koşullardan herhangi biri doğruysa iki vektör eşdoğrusaldır:

• durum 1 . a ve b vektörleri, a = λ b olacak şekilde bir λ sayısı varsa doğrusaldır;
• durum 2 . a ve b vektörleri eşit koordinat oranlarıyla aynı doğrultudadır:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• durum 3 . Çapraz çarpım ve sıfır vektörünün eşit olması koşuluyla, a ve b vektörleri eşdoğrusaldır:

bir ∥ b ⇔ a, b = 0

Not 1

Durum 2 vektör koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda geçerli değildir.

Not 2

Durum 3 yalnızca uzayda belirtilen vektörlere uygulanır.

Vektörlerin doğrusallığını incelemek için problem örnekleri

örnek 1

Doğrusallık açısından a = (1; 3) ve b = (2; 1) vektörlerini inceliyoruz.

Nasıl çözülür?

İÇİNDE bu durumda 2. eşdoğrusallık koşulunun kullanılması gereklidir. Verilen vektörler için şöyle görünür:

Eşitlik yanlıştır. Buradan a ve b vektörlerinin doğrusal olmadığı sonucuna varabiliriz.

Cevap : bir | | B

Örnek 2

Vektörlerin doğrusal olması için a = (1; 2) ve b = (- 1; m) vektörünün hangi m değeri gereklidir?

Nasıl çözülür?

İkinci eşdoğrusallık koşulunu kullanarak, koordinatları orantılıysa vektörler eşdoğrusal olacaktır:

Bu m = - 2 olduğunu gösterir.

Cevap: m = - 2 .

Vektör sistemlerinin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı için kriterler

Teorem

Bir vektör uzayındaki bir vektör sistemi, yalnızca sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin geri kalan vektörleri cinsinden ifade edilebilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt

Sistem e 1 , e 2 , olsun. . . , e n doğrusal olarak bağımlıdır. Bu sistemin sıfır vektörüne eşit doğrusal birleşimini yazalım:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

burada kombinasyon katsayılarından en az biri sıfıra eşit değildir.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , olsun. . . , N.

Eşitliğin her iki tarafını da sıfır olmayan bir katsayıya bölüyoruz:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) ek + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Şunu belirtelim:

A k - 1 a m , burada m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Bu durumda:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

veya e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) ek + 1 + . . . + (- β n) e n

Buradan sistemin vektörlerinden birinin sistemin diğer tüm vektörleri aracılığıyla ifade edildiği sonucu çıkar. Kanıtlanması gereken şey buydu (vb.).

Yeterlilik

Vektörlerden birinin sistemin diğer tüm vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektörünü bu eşitliğin sağ tarafına taşırız:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

e k vektörünün katsayısı - 1 ≠ 0'a eşit olduğundan, e 1, e 2, vektörlerinden oluşan bir sistemle sıfırın önemsiz olmayan bir temsilini elde ederiz. . . , e n ve bu da bu vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir. Kanıtlanması gereken şey buydu (vb.).

Sonuçlar:

• Bir vektör sistemi, vektörlerinden hiçbiri sistemin diğer tüm vektörleri cinsinden ifade edilemediğinde doğrusal olarak bağımsızdır.
• Sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlı vektörlerin özellikleri

1. 2 ve 3 boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul karşılanır: doğrusal olarak bağımlı iki vektör aynı doğrultudadır. İki eşdoğrusal vektör doğrusal olarak bağımlıdır.
2. 3 boyutlu vektörler için koşul sağlanır: üç doğrusal bağımlı vektörler- aynı düzlemde. (3 eş düzlemli vektör doğrusal olarak bağımlıdır).
3. N boyutlu vektörler için aşağıdaki koşul sağlanır: n + 1 vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığını veya doğrusal bağımsızlığını içeren problemlerin çözümüne örnekler

Örnek 3

Doğrusal bağımsızlık için a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektörlerini kontrol edelim.

Çözüm. Vektörler doğrusal olarak bağımlıdır çünkü vektörlerin boyutu vektör sayısından azdır.

Örnek 4

Doğrusal bağımsızlık için a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektörlerini kontrol edelim.

Çözüm. Doğrusal kombinasyonun sıfır vektörüne eşit olacağı katsayıların değerlerini buluyoruz:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektör denklemini doğrusal biçimde yazıyoruz:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2. satırdan 1'inciyi, 3'üncü - 1'inci satırdan çıkarıyoruz:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1. satırdan 2.yi çıkarıyoruz, 3. satıra 2.yi ekliyoruz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Çözümden sistemin birçok çözümü olduğu sonucu çıkar. Bu, a, b, c'nin doğrusal kombinasyonunun sıfır vektörüne eşit olduğu x 1, x 2, x 3 gibi sayıların sıfır olmayan bir değer kombinasyonunun olduğu anlamına gelir. Bu nedenle a, b, c vektörleri doğrusal bağımlı.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Çözüm. Arıyorum ortak karar denklem sistemleri

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Gauss yöntemi. Bunu yapmak için bu homojen sistemi koordinatlara yazıyoruz:

Sistem Matrisi

İzin verilen sistem şu şekildedir: (r bir = 2, N= 3). Sistem işbirlikçi ve belirsizdir. Genel çözümü ( X 2 – serbest değişken): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Örneğin sıfır olmayan özel bir çözümün varlığı, vektörlerin olduğunu gösterir. A 1 , A 2 , A 3 doğrusal bağımlı.

Örnek 2.

Belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu öğrenin:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Çözüm. Homojen bir denklem sistemi düşünün A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

veya genişletilmiş biçimde (koordinatlara göre)

Sistem homojendir. Eğer dejenere değilse, o zaman tek karar. Homojen bir sistem durumunda sıfır (önemsiz) çözüm vardır. Bu, bu durumda vektörler sisteminin bağımsız olduğu anlamına gelir. Eğer sistem dejenere ise sıfırdan farklı çözümlere sahiptir ve dolayısıyla bağımlıdır.

Sistemi dejenerasyon açısından kontrol ediyoruz:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem dejenere değildir ve dolayısıyla vektörler A 1 , A 2 , A 3 Doğrusal bağımsız.

Görevler. Belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu öğrenin:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Aşağıdakileri içeriyorsa bir vektör sisteminin doğrusal bağımlı olacağını kanıtlayın:

a) iki eşit vektör;

b) iki orantılı vektör.