Farklı işaretlere sahip modüllerin hesaplanması. Farklı işaretlere, kurallara, örneklere sahip sayıların eklenmesi
Ders planı:
I. Organizasyon anı
Bireysel doğrulama Ev ödevi.
II. Güncelleme arkaplan bilgisiöğrenciler
1. Karşılıklı eğitim. Kontrol soruları(buhar odası organizasyon formu iş - karşılıklı doğrulama).
2. Yorumlamalı sözlü çalışma (grup organizasyonel çalışma biçimi).
3. Bağımsız iş(bireysel organizasyonel çalışma biçimi, kendi kendine test).
III. Ders konusu mesajı
Grup organizasyonel çalışma şekli, hipotez ileri sürme, kural oluşturma.
1. Eğitim görevlerinin ders kitabına göre tamamlanması (grup organizasyonel çalışma şekli).
2. Güçlü öğrencilerin kartlar kullanarak çalışması (bireysel organizasyonel çalışma biçimi).
VI. Fiziksel duraklama
IX. Ev ödevi.
Hedef: sayıları toplama becerisini geliştirmek farklı işaretler.
Görevler:
- Farklı işaretlere sahip sayıları toplamak için bir kural oluşturun.
- Farklı işaretlere sahip sayıları toplama alıştırması yapın.
- Mantıksal düşünmeyi geliştirin.
- Çiftler halinde çalışma ve karşılıklı saygı yeteneğini geliştirin.
Ders için materyal: karşılıklı eğitim için kartlar, çalışma sonuçları tabloları, materyalin tekrarı ve güçlendirilmesi için bireysel kartlar, bireysel çalışma sloganı, kurallı kartlar.
DERSLER SIRASINDA
BEN. Zamanı organize etmek
– Bireysel ödevleri kontrol ederek derse başlayalım. Dersimizin sloganı Jan Amos Kamensky'nin sözleri olacak. Evde onun sözleri hakkında düşünmen gerekiyordu. Bunu nasıl anlıyorsun? (“Yeni bir şey öğrenmediğiniz ve eğitiminize hiçbir şey katmadığınız o gün veya saatte mutsuz olduğunuzu düşünün”)
–
Yazarın sözlerini nasıl anlıyorsunuz? (Yeni bir şey öğrenmezsek, yeni bilgi edinmezsek, bu günü kayıp veya mutsuz olarak değerlendirebiliriz. Yeni bilgiler edinmek için çabalamalıyız).
– Ve bugün mutsuz olmayacağız çünkü yine yeni bir şeyler öğreneceğiz.
II. Öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesi
- Ders çalışmak için yeni materyal, öğrendiklerinizi tekrarlamanız gerekir.
Evde bir görev vardı - kuralları tekrarlamak ve şimdi test sorularıyla çalışarak bilginizi göstereceksiniz.
(“Pozitif ve Negatif Sayılar” konulu test soruları)
Çiftler halinde çalışın. Akran değerlendirmesi. Çalışmanın sonuçları tabloda belirtilmiştir)
| Orijinin sağında bulunan sayılara ne denir? | Pozitif |
| Hangi sayılara zıt denir? | Birbirinden yalnızca işaret bakımından farklı olan iki sayıya zıt sayılar denir |
| Bir sayının modülü nedir? | Noktadan uzaklık A(a) geri sayımın başlamasından önce, yani noktaya kadar Ç(0), bir sayının modülü denir |
| Bir sayının modülünü nasıl belirtirsiniz? | Düz parantezler |
| Negatif sayıların eklenmesi kuralını formüle edin? | İki negatif sayıyı eklemek için yapmanız gerekenler: modüllerini ekleyin ve eksi işareti koyun |
| Orijinin solunda bulunan sayılara ne denir? | Olumsuz |
| Sıfırın karşısında hangi sayı var? | 0 |
| Herhangi bir sayının modülü negatif bir sayı olabilir mi? | HAYIR. Mesafe asla olumsuz değildir |
| Negatif sayıları karşılaştırma kuralını belirtin | İki negatif sayıdan modülü küçük olan daha büyük, modülü daha büyük olan ise daha küçüktür. |
| Zıt sayıların toplamı kaçtır? | 0 |
“+” soruların cevapları doğru, “-” yanlış Değerlendirme kriterleri: 5 – “5”; 4 – “4”;3 – “3”
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Seviye | |
| Soru/sorular | ||||||
| Kişisel/iş | ||||||
| Giriş/iş | ||||||
| Sonuç olarak |
– En zor sorular hangileriydi?
- Neye ihtiyacın var? başarılı tamamlama güvenlik SORULARI? (Kuralları bilin)
2. Yorumlamalı sözlü çalışma
– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)
– 1-5 örneği çözmek için hangi bilgiye ihtiyacınız vardı?
3. Bağımsız çalışma
| – 86, 52 + (– 6, 3) = | – 92,82 |
| – 49/91 + (– 27/91) = | – 76/91 |
| – 76 + (– 99) = | – 175 |
| – 14 + (– 47) = | – 61 |
| – 123,5 + (– 25, 18) = | – 148,68 |
| 6 + (– 10) = |
(Kendi kendini test edin. Kontrol ederken cevapları açın)
– Son örnek neden sizi zorladı?
– Bulunması gereken sayıların toplamı ve hangi sayıların toplamının nasıl bulunacağını biliyoruz?
III. Ders konusu mesajı
– Bugün sınıfta farklı işaretli sayıları toplama kuralını öğreneceğiz. Farklı işaretli sayıları toplamayı öğreneceğiz. Dersin sonunda bağımsız çalışma ilerlemenizi gösterecektir.
IV. Yeni materyal öğrenme
– Defterleri açalım, tarihi, ders çalışmasını, “Farklı işaretli sayıların toplanması” ders konusunu yazalım.
– Tahtada ne gösteriliyor? (Koordinat çizgisi)
– Bunun bir koordinat çizgisi olduğunu kanıtlayabilir misiniz? (Bir referans noktası, bir referans yönü, bir birim segment vardır)
– Şimdi koordinat doğrusunu kullanarak farklı işaretlere sahip sayıları toplamayı birlikte öğreneceğiz.
(Öğretmen rehberliğinde öğrencilerin anlatımı.)
– Koordinat doğrusunda 0 sayısını bulalım. 6 sayısını 0’a eklememiz gerekiyor. Orijinin sağ tarafına doğru 6 adım atıyoruz çünkü. 6 sayısı pozitiftir (ortaya çıkan 6 sayısına renkli bir mıknatıs koyarız). 6’ya (– 10) sayısını ekliyoruz, orijinin soluna 10 adım atıyoruz, çünkü (– 10) negatif bir sayıdır (sonuçta çıkan sayının (– 4) üzerine renkli bir mıknatıs koyarız.)
– Hangi cevabı aldınız? (- 4)
– 4 sayısını nasıl buldunuz? (10 – 6)
Bir sonuç çıkarın: Modülü daha büyük olan bir sayıdan, modülü daha küçük olan bir sayıyı çıkarın.
– Cevaptaki eksi işaretini nasıl aldınız?
Sonuç çıkaralım: Modülü büyük olan bir sayının işaretini aldık.
– Bir deftere örnek yazalım:
6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Benzer şekilde çözün)
Giriş kabul edildi:
6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7
– Çocuklar, artık farklı işaretlere sahip sayıların eklenmesi kuralını kendiniz formüle ettiniz. Tahminlerinizi anlatacağız hipotez. Çok önemli bir entelektüel çalışma yaptınız. Bilim adamları gibi onlar da bir hipotez ortaya attılar ve yeni bir kural keşfettiler. Hipotezinizi kuralla karşılaştıralım (masa üzerinde basılı kural bulunan bir kağıt parçası). Koro halinde okuyalım kural farklı işaretli sayıların toplanması
– Kural çok önemli! Koordinat çizgisi kullanmadan farklı sayıda işaret eklemenizi sağlar.
- Açık olmayan ne?
– Nerede hata yapabilirsiniz?
– Pozitif ve negatif sayılar içeren görevleri doğru ve hatasız hesaplamak için kuralları bilmeniz gerekir.
V. Çalışılan materyalin konsolidasyonu
– Koordinat doğrusunda bu sayıların toplamını bulabilir misiniz?
– Böyle bir örneği koordinat çizgisi kullanarak çözmek zordur, bu yüzden çözmek için bulduğunuz kuralı kullanacağız.
Görev tahtaya yazılmıştır:
Ders kitabı – s. 45; 179 (c, d); 180 (a, b); 181 (b, c)
(Güçlü bir öğrenci bu konuyu ek bir kartla pekiştirmeye çalışır.)
VI. Fiziksel duraklama(Ayakta dururken gerçekleştirin)
– Bir kişinin olumlu ve olumsuz nitelikleri vardır. Bu nitelikleri koordinat çizgisine dağıtın.
(Olumlu nitelikler başlangıç noktasının sağında, olumsuz nitelikler ise başlangıç noktasının solundadır.)
– Kalite negatifse bir kere, pozitifse iki kere alkışlayın. Dikkat olmak!
– Nezaket, öfke, açgözlülük , karşılıklı yardım,
anlayış, kabalık ve tabii ki, irade gücü Ve kazanma arzusu, ileride bağımsız çalışmanız olduğu için şimdi ihtiyacınız olacak)
VII. Bireysel çalışma ardından karşılıklı doğrulama
| seçenek 1 | seçenek 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
Bireysel çalışma ( güçlüöğrenciler) ardından karşılıklı doğrulama yapılır
| seçenek 1 | seçenek 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
| 100 + (– 28) = | 100 + (– 39) = |
| 56 + (– 27) = | 73 + (– 24) = |
| – 4,61 + (– 2,22) = | – 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 68 = | – 43 + 39 = |
VIII. Dersi özetlemek. Refleks
– Aktif, özenli çalıştığınıza, yeni bilgilerin keşfedilmesine katıldığınıza, fikrinizi dile getirdiğinize inanıyorum, artık çalışmanızı değerlendirebilirim.
– Söyleyin arkadaşlar, hangisi daha etkili: hazır bilgi almak mı, yoksa kendiniz düşünmek mi?
– Derste yeni ne öğrendik? (Farklı işaretli sayıları toplamayı öğrendik.)
– Farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını adlandırın.
– Söylesene bugünkü dersimiz boşa gitmedi mi?
- Neden? (Yeni bilgiler edindik.)
- Slogana dönelim. Bu, Jan Amos Kamensky'nin şunları söylerken haklı olduğu anlamına geliyor: “Yeni bir şey öğrenmediğiniz, eğitiminize hiçbir şey katmadığınız o günü veya saati mutsuz düşünün.”
IX. Ev ödevi
Kuralı öğrenin (kart), s. 45, No. 184.
Bireysel ödev - Roger Bacon'un sözlerini anladığınız gibi: “Matematik bilmeyenin başka hiçbir bilime yeteneği yoktur. Üstelik cehaletinin derecesini bile takdir edemiyor mu?
Talimatlar
Dört tür matematiksel işlem vardır: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Bu nedenle dört tür örnek olacaktır. Örnekteki negatif sayılar matematiksel işlemi karıştırmamak için vurgulanmıştır. Örneğin, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) veya 34:(-17).
Ek. Bu eylem şu şekilde görünebilir: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Değiştirme eylemi: önce parantez açılır, “+” işareti tersine çevrilir, daha sonra büyük (modülo) sayıdaki “6” sayısından küçük olan “3” çıkarılır ve ardından cevaba bir sayı atanır. daha büyük işaret, yani “-”.
2) -3+6=3. Bu, ("6-3") ilkesine göre veya "küçük olanı büyükten çıkarın ve cevaba büyüğün işaretini atayın" ilkesine göre yazılabilir.
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Açarken, toplama eyleminin yerini çıkarma işlemi alır, ardından modüller toplanır ve sonuca eksi işareti verilir.
Çıkarma.1) 8-(-5)=8+5=13. Parantez açılır, eylemin işareti ters çevrilir ve bir toplama örneği elde edilir.
2) -9-3=-12. Örneğin elemanları eklenir ve elde edilir genel işaret "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Parantez açıldığında işaret yeniden “+”ya, ardından da “+”ya dönüşür. Daha cevaptan küçük olan sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti kaldırılır.
Çarpma ve bölme: Çarpma veya bölme işlemi yapılırken işaret, işlemin kendisini etkilemez. Sayıları cevapla çarparken veya bölerken “eksi” işareti atanır; sayılar aynı işaretlere sahipse sonuç her zaman “artı” işaretine sahiptir 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Kaynaklar:
- eksileri olan tablo
Nasıl karar verilir? örnekler? Ev ödevlerinin evde yapılması gerekiyorsa çocuklar genellikle bu soruyu ebeveynlerine sorarlar. Çok basamaklı sayıları toplama ve çıkarma örneklerinin çözümü bir çocuğa doğru şekilde nasıl açıklanır? Bunu çözmeye çalışalım.
İhtiyacın olacak
- 1. Matematik ders kitabı.
- 2. Kağıt.
- 3. Tutma.
Talimatlar
Örneği oku. Bunu yapmak için her bir çoklu değerliyi sınıflara bölün. Sayının sonundan başlayarak üç rakamı birer birer sayın ve bir nokta koyun (23.867.567). Sayının sonundan itibaren ilk üç rakamın birim, sonraki üç rakamın sınıf, ardından milyonlar geldiğini hatırlatalım. Sayıyı okuyoruz: yirmi üç sekiz yüz altmış yedi bin altmış yedi.
Bir örnek yazın. Lütfen her basamağın birimlerinin tam olarak birbirinin altına yazıldığını unutmayın: birimler altında birimler, onlar altında onlar, yüzler yüzler altında vb.
Toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştirin. Eylemi birimlerle gerçekleştirmeye başlayın. Sonucu işlemi gerçekleştirdiğiniz kategorinin altına yazın. Sonuç sayı() ise, cevabın yerine birimleri yazar ve rakamın birimlerine onlar sayısını ekleriz. Çıkarılan rakamın herhangi bir rakamının birim sayısı çıkan rakamdan az ise bir sonraki rakamın 10 birimini alıp işlemi gerçekleştiriyoruz.
Cevabı okuyun.
Konuyla ilgili video
Not
Bir örneğin çözümünü kontrol etmek için bile çocuğunuzun hesap makinesi kullanmasını yasaklayın. Toplama çıkarmayla, çıkarma da toplamayla test edilir.
Çocuk 1000 içinde yazılı hesaplama tekniklerini iyi biliyorsa, o zaman ile eylemler çok basamaklı sayılar benzer şekilde gerçekleştirilen, zorluklara neden olmayacaktır.
Çocuğunuza 10 dakikada kaç örnek çözebileceğini görmek için bir yarışma verin. Bu tür eğitim, hesaplama tekniklerinin otomatikleştirilmesine yardımcı olacaktır.
Çarpma, çok daha fazlasının temelini oluşturan dört temel matematik işleminden biridir. karmaşık işlevler. Aslında çarpma, toplama işlemine dayanır: bunun bilgisi, herhangi bir örneği doğru bir şekilde çözmenize olanak tanır.
Çarpma işleminin özünü anlamak için, burada üç ana bileşenin yer aldığını hesaba katmak gerekir. Bunlardan biri birinci faktör olarak adlandırılan ve çarpma işlemine konu olan bir sayıdır. Bu nedenle, daha az yaygın olan ikinci bir adı vardır - “çarpılabilir”. Çarpma işleminin ikinci bileşenine genellikle ikinci faktör denir: çarpılan sayıyı temsil eder. Bu nedenle, bu bileşenlerin her ikisine de çarpan adı verilir, bu da onların eşit durumlarının yanı sıra değiştirilebilecekleri gerçeğini de vurgular: çarpmanın sonucu değişmeyecektir. Son olarak çarpma işleminin sonucunda ortaya çıkan üçüncü bileşene çarpım adı verilir.
Çarpma işleminin sırası
Çarpma işleminin özü daha basit bir aritmetik işleme dayanmaktadır -. Aslında çarpma, birinci faktörün veya ikinci faktöre karşılık gelen sayıda çarpımın toplamıdır. Örneğin 8'i 4 ile çarpmak için 8 sayısını 4 kez toplayarak 32 elde etmeniz gerekir. Bu yöntem, çarpma işleminin özünün anlaşılmasını sağlamanın yanı sıra, elde edilen sonucu kontrol etmek için de kullanılabilir. İstenilen ürünü hesaplarken. Doğrulamanın zorunlu olarak toplama dahil edilen terimlerin aynı olduğunu ve birinci faktöre karşılık geldiğini varsaydığı unutulmamalıdır.Çarpma örneklerini çözme
Dolayısıyla çarpma işleminin yapılmasıyla ilgili problemi çözmek için yeterli olabilir. belirtilen miktar bir kez katla gerekli sayı ilk çarpanlar. Bu yöntem, bu işlemle ilgili hemen hemen her türlü hesaplamanın yapılması için uygun olabilir. Aynı zamanda matematikte genellikle standart tek basamaklı tam sayıları içeren tipik sayılar vardır. Hesaplamalarını kolaylaştırmak için, aşağıdakileri içeren sözde çarpma oluşturuldu: tam liste pozitif tamsayıların çarpımları tek haneli sayılar yani 1'den 9'a kadar sayılar. Böylece öğrendikten sonra bu sayıların kullanımına dayalı çarpma örneklerini çözme sürecini önemli ölçüde kolaylaştırabilirsiniz. Ancak daha karmaşık seçenekler için bu matematiksel işlemi kendinizin gerçekleştirmesi gerekecektir.Konuyla ilgili video
Kaynaklar:
- 2019'da çarpma
Çarpma, hem okulda hem de okulda sıklıkla kullanılan dört temel aritmetik işlemden biridir. Gündelik Yaşam. İki sayıyı hızlı bir şekilde nasıl çarpabilirsiniz?
En karmaşık matematiksel hesaplamaların temeli dört temel aritmetik işlemdir: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Üstelik bu operasyonlar, bağımsız olmalarına rağmen daha yakından incelendiğinde birbiriyle bağlantılı olduğu ortaya çıkıyor. Örneğin toplama ile çarpma arasında böyle bir bağlantı mevcuttur.
Sayı çarpma işlemi
Çarpma işleminde üç ana unsur vardır. Bunlardan ilki, genellikle birinci çarpan veya çarpan olarak adlandırılan, çarpma işlemine konu olacak sayıdır. İkinci faktör olarak adlandırılan ikinci, birinci faktörün çarpılacağı sayıdır. Son olarak, gerçekleştirilen çarpma işleminin sonucuna çoğunlukla çarpım adı verilir.Çarpma işleminin özünün aslında toplamaya dayandığı unutulmamalıdır: bunu gerçekleştirmek için belirli sayıda ilk faktörün bir araya getirilmesi gerekir ve bu toplamın terim sayısı ikinciye eşit olmalıdır. faktör. Bu algoritma, söz konusu iki faktörün çarpımını hesaplamanın yanı sıra, ortaya çıkan sonucu kontrol etmek için de kullanılabilir.
Çarpma problemini çözmeye bir örnek
Çarpma problemlerinin çözümlerine bakalım. Diyelim ki görevin koşullarına göre, birinci çarpanı 8 ve ikincisi 4 olan iki sayının çarpımını hesaplamak gerekiyor. Çarpma işleminin tanımına göre bu aslında şu anlama geliyor: 8 sayısını 4 kez eklemeniz gerekir. Sonuç 32'dir - bu, söz konusu sayıların çarpımıdır, yani bunların çarpımının sonucudur.Ayrıca çarpma işleminde, orijinal örnekte çarpanların yerlerinin değiştirilmesinin sonucu değiştirmeyeceğini belirten değişme kanununun geçerli olduğu da unutulmamalıdır. Böylece 4 sayısını 8 kez toplayarak aynı çarpımı elde edebilirsiniz - 32.
Çarpım tablosu
Bu şekilde çözüleceği açık çok sayıda aynı türden örnekler çizmek oldukça sıkıcı bir iştir. Bu görevi kolaylaştırmak için çarpma adı verilen icat icat edildi. Aslında bu, pozitif tek basamaklı tam sayıların çarpımlarının bir listesidir. Basitçe söylemek gerekirse, çarpım tablosu, 1'den 9'a kadar birbiriyle çarpmanın sonuçlarının bir kümesidir. Bu tabloyu öğrendikten sonra, bu kadar basit sayılar için bir örnek çözmeniz gerektiğinde artık çarpma işlemine başvuramazsınız, ancak basitçe sonucunu hatırlayın.Konuyla ilgili video
Bu derste öğreneceğiz tam sayılarda toplama ve çıkarma ve bunların eklenmesi ve çıkarılmasıyla ilgili kurallar.
Tam sayıların yanı sıra 0 sayısının da pozitif ve negatif sayılar olduğunu hatırlayın. Örneğin, aşağıdaki sayılar tamsayılardır:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Pozitif sayılar kolaydır ve. Ne yazık ki aynı şey, yeni başlayanların çoğunu her sayının önündeki eksileriyle karıştıran negatif sayılar için söylenemez. Uygulamada görüldüğü gibi, negatif sayılar nedeniyle yapılan hatalar öğrencileri en çok hayal kırıklığına uğratır.
Ders içeriğiTam sayılarda toplama ve çıkarma örnekleri
Öğrenmeniz gereken ilk şey, bir koordinat çizgisi kullanarak tamsayıları toplamak ve çıkarmaktır. Koordinat çizgisi çizmeye hiç gerek yok. Düşüncelerinizde hayal etmeniz ve negatif sayıların nerede, pozitif sayıların nerede olduğunu görmeniz yeterlidir.
En basit ifadeyi ele alalım: 1 + 3. Bu ifadenin değeri 4'tür:
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan itibaren sağa doğru üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız. Şekilde bunun nasıl gerçekleştiğini görebilirsiniz:
1+3 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini anlatır.
Örnek 2. 1 − 3 ifadesinin değerini bulalım.
Bu ifadenin değeri -2
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan sola üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi negatif −2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız. Resimde bunun nasıl olduğunu görebilirsiniz:
1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Genel olarak, ekleme yapılırsa artış yönünde sağa doğru hareket etmeniz gerektiğini hatırlamanız gerekir. Çıkarma yapılırsa, azalma yönünde sola doğru hareket etmeniz gerekir.
Örnek 3.−2 + 4 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 2'dir
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa doğru dört adım ilerlemeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi öyle bir noktada bulacağız ki pozitif sayı 2.
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa dört adım ilerleyerek pozitif 2 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 4 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 4.−1 − 3 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri -4
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -1 negatif sayısının bulunduğu noktadan itibaren üç adım sola gitmeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi negatif 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif -1 sayısının bulunduğu noktadan sol tarafa doğru üç adım ilerleyerek -4 negatif sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola gitmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 5.−2 + 2 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 0'dır
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan itibaren sağa iki adım atmanız gerekir. Sonuç olarak kendimizi 0 sayısının bulunduğu noktada bulacağız
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa doğru iki adım ilerleyerek 0 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 2 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Tam sayılarda toplama ve çıkarma kuralları
Tam sayıları toplamak veya çıkarmak için, her seferinde bir koordinat çizgisi hayal etmek, hatta çizmek bile gerekli değildir. Hazır kuralları kullanmak daha uygundur.
Kuralları uygularken işlemin işaretine ve toplanması veya çıkarılması gereken sayıların işaretlerine dikkat etmeniz gerekir. Bu hangi kuralın uygulanacağını belirleyecektir.
Örnek 1.−2 + 5 ifadesinin değerini bulun
Burada negatif bir sayıya pozitif bir sayı eklenir. Yani farklı işaretli sayılar toplanır. −2 negatif bir sayıdır ve 5 pozitif bir sayıdır. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Farklı işaretlere sahip sayıları toplamak için, daha küçük modülü daha büyük modülden çıkarmanız ve ortaya çıkan cevaptan önce, modülü daha büyük olan sayının işaretini koymanız gerekir.
Şimdi hangi modülün daha büyük olduğunu görelim:
5 sayısının modülü −2 sayısının modülünden daha büyüktür. Kural, küçük olanın büyük modülden çıkarılmasını gerektirir. Bu nedenle, 5'ten 2'yi çıkarmalıyız ve ortaya çıkan cevaptan önce modülü daha büyük olan sayının işaretini koymalıyız.
5 sayısının modülü daha büyük olduğundan bu sayının işareti cevapta olacaktır. Yani cevap olumlu olacaktır:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Genellikle daha kısa yazılır: −2 + 5 = 3
Örnek 2. 3 + (−2) ifadesinin değerini bulun
Burada önceki örnekte olduğu gibi farklı işaretli sayılar toplanmıştır. 3 pozitif bir sayıdır ve −2 negatif bir sayıdır. İfadeyi daha açık hale getirmek için -2'nin parantez içine alındığına dikkat edin. Bu ifadenin anlaşılması 3+−2 ifadesinden çok daha kolaydır.
Öyleyse farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını uygulayalım. Önceki örnekte olduğu gibi büyük modülden küçük modülü çıkarıyoruz ve cevabın önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyuyoruz:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
3 sayısının modülü -2 sayısının modülünden büyük olduğundan 3'ten 2'yi çıkardık ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü daha büyük olan sayının işaretini koyduk. 3 sayısı daha büyük bir modüle sahiptir, bu nedenle bu sayının işareti cevaba dahil edilmiştir. Yani cevap olumludur.
Genellikle daha kısa yazılır 3 + (−2) = 1
Örnek 3. 3 − 7 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadede daha küçük sayı fazlası düşülür. Böyle bir durumda aşağıdaki kural geçerlidir:
Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmak için, daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıdan çıkarmanız ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
Bu ifadede hafif bir yakalama var. Büyüklükler ve ifadeler birbirine eşit olduğunda arasına eşittir işaretinin (=) konulduğunu hatırlayalım.
3 − 7 ifadesinin değeri, öğrendiğimiz gibi, −4'e eşittir. Bu, bu ifadede yapacağımız herhangi bir dönüşümün -4'e eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Ama ikinci aşamada 7 − 3 ifadesinin olduğunu görüyoruz ki bu da −4'e eşit değil.
Bu durumu düzeltmek için 7 − 3 ifadesini parantez içine alıp bu parantezin önüne bir eksi koymanız gerekir:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
Bu durumda her aşamada eşitlik gözetilecektir:
İfade hesaplandıktan sonra parantezleri kaldırabiliriz, biz de öyle yaptık.
Yani daha kesin olmak gerekirse çözüm şöyle görünmeli:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Bu kural değişkenler kullanılarak yazılabilir. Bunun gibi görünecek:
a − b = − (b − a)
Çok sayıda parantez ve işlem işareti, görünüşte basit bir problemin çözümünü karmaşık hale getirebilir, bu nedenle bu tür örneklerin nasıl kısaca yazılacağını öğrenmek daha tavsiye edilir, örneğin 3 − 7 = − 4.
Aslında tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemi, toplama işleminden başka bir anlama gelmez. Bu, sayıları çıkarmanız gerekiyorsa, bu işlemin toplama işlemiyle değiştirilebileceği anlamına gelir.
O halde yeni kuralı tanıyalım:
Bir sayıdan diğerinden çıkarmak, çıkarılan sayının karşısındaki sayının eksilen sayıya eklenmesi anlamına gelir.
Örneğin en basit ifade olan 5 − 3'ü düşünün. Ilk aşamalar Matematik çalışırken eşittir işareti koyduk ve cevabı yazdık:
Ancak artık çalışmamızda ilerleme kaydediyoruz, dolayısıyla yeni kurallara uyum sağlamamız gerekiyor. Yeni kural, bir sayıyı diğerinden çıkarmanın, çıkan sayının aynısını eksilen sayıya eklemek anlamına geldiğini söylüyor.
Bu kuralı 5 − 3 ifadesi örneğini kullanarak anlamaya çalışalım. Bu ifadede eksi 5, çıkan ise 3'tür. Kural diyor ki, 5'ten 3 çıkarmak için 5'e 3'ün tersi bir sayı eklemek gerekir. 3 sayısının tersi -3'tür. . Yeni bir ifade yazalım:
Ve bu tür ifadelere nasıl anlam bulacağımızı zaten biliyoruz. Bu, daha önce incelediğimiz farklı işaretli sayıların toplamıdır. Farklı işaretli sayıları toplamak için, küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve ortaya çıkan cevabın önüne, modülü büyük olan sayının işaretini koyarız:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
5 sayısının modülü −3 sayısının modülünden daha büyüktür. Dolayısıyla 5'ten 3'ü çıkardık ve 2 elde ettik. 5 sayısının modülü daha büyük olduğundan cevaba bu sayının işaretini koyduk. Yani cevap olumludur.
İlk başta herkes çıkarma işlemini hızlı bir şekilde toplama işlemiyle değiştiremez. Bunun nedeni pozitif sayıların artı işareti olmadan yazılmasıdır.
Örneğin 3 − 1 ifadesinde çıkarma işlemini gösteren eksi işareti bir işlem işaretidir ve bir işlemi ifade etmez. Birim girişi bu durumda pozitif bir sayıdır ve kendine ait artı işareti vardır ancak pozitif sayıların önüne artı yazılmadığı için onu göremiyoruz.
Bu nedenle, açıklık sağlamak için bu ifade şu şekilde yazılabilir:
(+3) − (+1)
Kolaylık sağlamak için, kendi işaretlerine sahip sayılar parantez içine alınmıştır. Bu durumda çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmek çok daha kolaydır.
(+3) − (+1) ifadesinde çıkarılacak sayı (+1), karşıt sayı ise (−1) olur.
Çıkarmanın yerine toplama koyalım ve çıkan (+1) yerine karşıt sayıyı (−1) yazalım.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Daha fazla hesaplama zor olmayacak.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
İlk bakışta, eğer eski güzel yöntemi kullanarak eşittir işareti koyarsanız ve cevabı hemen 2'ye yazarsanız, bu ekstra hareketlerin hiçbir anlamı yokmuş gibi görünebilir. Aslında, bu kural bize birden fazla kez yardımcı olacaktır.
Önceki örnek 3 − 7'yi çıkarma kuralını kullanarak çözelim. Öncelikle her sayıya kendi işaretini atayarak ifadeyi net bir forma getirelim.
Üç, pozitif bir sayı olduğu için artı işaretine sahiptir. Çıkarmayı gösteren eksi işareti yediye uygulanmaz. Yedinin artı işareti vardır çünkü pozitif bir sayıdır:
Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Daha fazla hesaplama zor değildir:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Örnek 7.−4 − 5 ifadesinin değerini bulun
Yine bir çıkarma işlemimiz var. Bu işlemin eklemeyle değiştirilmesi gerekir. Eksilene (-4), çıkanın karşısındaki sayıyı (+5) ekliyoruz. Çıkarılan sayının (+5) karşısındaki sayı (-5) sayısıdır.
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Negatif sayıları toplamamız gereken bir duruma geldik. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
O halde kuralın gerektirdiği şekilde sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Modülleri içeren bir giriş parantez içine alınmalı ve bu parantezlerin önüne bir eksi işareti yerleştirilmelidir. Bu şekilde cevaptan önce görünmesi gereken bir eksiyi sağlayacağız:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Çözüm bu örnek kısaca yazılabilir:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
veya daha da kısası:
−4 − 5 = −9
Örnek 8.−3 − 5 − 7 − 9 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir forma getirelim. Burada -3 dışındaki tüm sayılar pozitiftir, dolayısıyla artı işaretlerine sahip olacaklardır:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Çıkarma işlemlerini eklemelerle değiştirelim. Üçün önündeki eksi hariç tüm eksiler artıya dönüşecek ve tüm pozitif sayılar tam tersi yönde değişecek:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Şimdi negatif sayıları toplama kuralını uygulayalım. Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Bu örneğin çözümü kısaca şöyle yazılabilir:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
veya daha da kısası:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Örnek 9.−10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir şekle getirelim:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Burada iki işlem var: toplama ve çıkarma. Toplamayı değiştirmeden bırakıyoruz ve çıkarma işlemini toplama ile değiştiriyoruz:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Gözlemleyerek, önceden öğrenilen kurallara göre her eylemi sırayla gerçekleştireceğiz. Modül içeren girişler atlanabilir:
İlk eylem:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
İkinci eylem:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Üçüncü eylem:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Dördüncü eylem:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Dolayısıyla −10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değeri −15'tir
Not. Rakamları parantez içerisine alarak ifadeyi anlaşılır bir hale getirmek hiç de gerekli değildir. Negatif sayılara alışkanlık oluştuğunda bu adım atlanabilir çünkü zaman alıcıdır ve kafa karıştırıcı olabilir.
Bu nedenle, tam sayıları toplamak ve çıkarmak için aşağıdaki kuralları hatırlamanız gerekir:
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın
Matematik dersinin neredeyse tamamı pozitif ve negatif sayılarla yapılan işlemlere dayanmaktadır. Sonuçta, koordinat çizgisini incelemeye başladığımız anda, artı ve eksi işaretli sayılar her yerde, her yerde bize görünmeye başlar. yeni Konu. Sıradan pozitif sayıları toplamaktan daha kolay bir şey yoktur; birini diğerinden çıkarmak zor değildir. İki negatif sayıyla aritmetik bile nadiren sorun olur.
Ancak birçok kişi, farklı işaretlere sahip sayıları toplama ve çıkarma konusunda kafası karışır. Bu eylemlerin gerçekleştiği kuralları hatırlayalım.
Farklı işaretli sayıların toplanması
Bir problemi çözmek için bir “a” sayısına negatif bir “-b” sayısını eklememiz gerekiyorsa, o zaman aşağıdaki gibi hareket etmemiz gerekir.
- Her iki sayının da modüllerini alalım - |a| ve |b| - ve bu mutlak değerleri birbiriyle karşılaştırın.
- Hangi modülün daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu not edelim ve büyük değerden küçük değeri çıkaralım.
- Ortaya çıkan sayının önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyalım.
Cevap bu olacak. Daha basit bir şekilde ifade edebiliriz: a + (-b) ifadesinde “b” sayısının modülü “a”nın modülünden büyükse o zaman “b”den “a”yı çıkarır ve bir “eksi” koyarız. ”Sonucun önünde. Eğer "a" modülü daha büyükse, "a"dan "b" çıkarılır ve çözüm "artı" işaretiyle elde edilir.
Ayrıca modüllerin eşit olduğu ortaya çıkıyor. Eğer öyleyse, o zaman bu noktada durabiliriz - bahsettiğimiz şey zıt sayılar ve bunların toplamı her zaman sıfır olacaktır.
Farklı işaretli sayıların çıkarılması
Toplama konusunu ele aldık, şimdi çıkarma kuralına bakalım. Aynı zamanda oldukça basittir - ve ayrıca iki negatif sayıyı çıkarmak için benzer bir kuralı tamamen tekrarlar.
Belirli bir "a" sayısından - keyfi, yani herhangi bir işaretle - negatif bir "c" sayısını çıkarmak için, keyfi "a" sayımıza "c" nin karşısındaki sayıyı eklemeniz gerekir. Örneğin:
- "a" pozitif bir sayıysa ve "c" negatifse ve "c"yi "a"dan çıkarmanız gerekiyorsa, bunu şu şekilde yazarız: a – (-c) = a + c.
- Eğer “a” negatif bir sayı ve “c” pozitif ise ve “c”nin “a”dan çıkarılması gerekiyorsa bunu şu şekilde yazarız: (- a)– c = - a+ (-c).
Böylece farklı işaretli sayıları çıkarırken toplama kurallarına, farklı işaretli sayıları toplarken ise çıkarma kurallarına dönmüş oluruz. Bu kuralları ezberlemek sorunları hızlı ve kolay bir şekilde çözmenizi sağlar.
Negatif sayıların eklenmesi.
Negatif sayıların toplamı negatif bir sayıdır. Toplamın modülü, terimlerin modüllerinin toplamına eşittir.
Negatif sayıların toplamının da neden negatif sayı olacağını bulalım. Üzerine -3 ve -5 sayılarını ekleyeceğimiz koordinat çizgisi bu konuda bize yardımcı olacaktır. Koordinat doğrusu üzerinde -3 sayısına karşılık gelen bir noktayı işaretleyelim.
-3 sayısına -5 sayısını eklememiz gerekiyor. -3 sayısına karşılık gelen noktadan nereye gidiyoruz? Bu doğru, sol! 5 birim segment için. Bir noktayı işaretleyip ona karşılık gelen sayıyı yazıyoruz. Bu sayı -8'dir.
Yani koordinat doğrusunu kullanarak negatif sayılar toplarken her zaman orijinin solundayız, dolayısıyla negatif sayıların eklenmesi sonucunun da negatif bir sayı olacağı açıktır.
Not.-3 ve -5 rakamlarını ekledik, yani. -3+(-5) ifadesinin değerini buldu. Genellikle rasyonel sayıları eklerken sanki eklenmesi gereken tüm sayıları listeliyormuş gibi bu sayıları işaretleriyle birlikte yazarlar. Bu gösterime cebirsel toplam denir. (Örneğimizde) şu girişi uygulayın: -3-5=-8.
Örnek. Negatif sayıların toplamını bulun: -23-42-54. (Bu girişin şu şekilde daha kısa ve daha kullanışlı olduğunu kabul ediyor musunuz: -23+(-42)+(-54))?
Haydi karar verelim Negatif sayıları toplama kuralına göre: 23+42+54=119 terimlerinin modüllerini topluyoruz. Sonuçta eksi işareti olacaktır.
Genellikle şu şekilde yazarlar: -23-42-54=-119.
Farklı işaretli sayıların eklenmesi.
Farklı işaretli iki sayının toplamı, mutlak değeri büyük bir terimin işaretine sahiptir. Bir toplamın modülünü bulmak için küçük modülü büyük modülden çıkarmanız gerekir..
Koordinat doğrusu kullanarak farklı işaretli sayıların toplama işlemini gerçekleştirelim.
1) -4+6. -4 sayısına 6 sayısını eklemeniz gerekiyor. Koordinat doğrusunda -4 sayısını nokta ile işaretleyelim. 6 sayısı pozitiftir yani koordinatı -4 olan noktadan itibaren 6 birim parça sağa gitmemiz gerekir. Kendimizi referans noktasının (sıfırdan itibaren) 2 birim segment sağında bulduk.
-4 ve 6 sayılarının toplamının sonucu pozitif sayı 2'dir:
- 4+6=2. 2 numarayı nasıl elde edebildin? 6'dan 4'ü çıkarın, yani küçük olanı büyük modülden çıkarın. Sonuç, modülü büyük olan terimle aynı işarete sahiptir.
2) Koordinat doğrusunu kullanarak -7+3'ü hesaplayalım. -7 sayısına karşılık gelen noktayı işaretleyin. 3 birim doğru sağa giderek koordinatı -4 olan bir nokta elde ediyoruz. Orjinin solundaydık ve öyle kalacağız: cevap negatif bir sayıdır.
— 7+3=-4. Bu sonucu şu şekilde elde edebiliriz: Büyük modülden küçük olanı çıkardık, yani. 7-3=4. Sonuç olarak, modülü daha büyük olan terimin işaretini koyarız: |-7|>|3|.
Örnekler. Hesaplamak: A) -4+5-9+2-6-3; B) -10-20+15-25.