Piramidaning lateral yuzasi uchun formula. Parallelepipedning maydonini qanday hisoblash mumkin
Ixtiyoriy piramidaning lateral yuzasining maydoni uning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam piramida holatida ushbu maydonni ifodalash uchun maxsus formulani berish mantiqan. Demak, bizga oddiy piramida berilsin, uning negizida tomoni a ga teng muntazam n-gon joylashgan. h yon yuzning balandligi bo'lsin, shuningdek, deyiladi apotema piramidalar. Bir yon yuzning maydoni 1/2ah, va butun yon yuzasi piramida n/2 ga teng maydonga ega bo'lgani uchun, na piramida asosining perimetri bo'lgani uchun topilgan formulani quyidagi ko'rinishda yozishimiz mumkin.
Yon sirt maydoni Muntazam piramidaning ko'rsatkichi uning apotemasining ko'paytmasiga va poydevorning yarim perimetriga teng.
Haqida hudud to'liq sirt , keyin biz shunchaki taglikning maydonini yon tomonga qo'shamiz.
Yozilgan va chegaralangan shar va shar. Shuni ta'kidlash kerakki, piramidaga chizilgan sharning markazi piramidaning ichki ikki tomonlama burchaklarining bissektrisa tekisliklari kesishmasida yotadi. Piramida yaqinida tasvirlangan sharning markazi piramida qirralarining o'rta nuqtalaridan o'tadigan va ularga perpendikulyar bo'lgan tekisliklarning kesishmasida yotadi.
Kesilgan piramida. Agar piramida asosiga parallel tekislik bilan kesilsa, kesuvchi tekislik bilan poydevor orasiga o'ralgan qism deyiladi. kesilgan piramida. Rasmda piramida ko'rsatilgan, uning qismini kesish tekisligi ustida yotqizib, biz kesilgan piramidani olamiz; Ko'rinib turibdiki, tashlangan kichik piramida gomotetika markazi tepada joylashgan katta piramidaga gomotetikdir. O'xshashlik koeffitsienti balandliklar nisbatiga teng: k=h 2 /h 1, yoki yon qirralarning yoki ikkala piramidaning boshqa mos keladigan chiziqli o'lchamlari. Bizga ma'lumki, o'xshash figuralarning maydonlari chiziqli o'lchamdagi kvadratlar kabi bog'langan; shuning uchun ikkala piramida asoslarining maydonlari (ya'ni, kesilgan piramida asoslari maydoni) bir-biriga bog'langan.
Bu erda S 1 - pastki poydevorning maydoni va S 2 - kesilgan piramidaning yuqori poydevorining maydoni. Piramidalarning lateral sirtlari bir xil munosabatda. Xuddi shunday qoida jildlar uchun ham mavjud.
Shu kabi jismlarning hajmlari ularning chiziqli o'lchamlari kublari kabi bog'langan; masalan, piramidalarning hajmlari ularning balandliklari va poydevorlar maydonining mahsuloti sifatida bog'liq bo'lib, bizning qoidamiz darhol olinadi. Mutlaqo bor umumiy xarakter va bu to'g'ridan-to'g'ri hajm har doim uzunlikning uchinchi darajasining o'lchamiga ega ekanligidan kelib chiqadi. Ushbu qoidadan foydalanib, biz kesilgan piramidaning hajmini poydevorlarning balandligi va maydoni orqali ifodalovchi formulani olamiz.
Balandligi h va tayanch maydonlari S 1 va S 2 bo'lgan kesilgan piramida berilsin. Agar biz uni to'liq piramidagacha kengaytirilgan deb tasavvur qilsak, u holda to'liq piramida va kichik piramida o'rtasidagi o'xshashlik koeffitsientini S 2 /S 1 nisbatining ildizi sifatida osongina topish mumkin. Kesilgan piramidaning balandligi h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) shaklida ifodalanadi. Endi bizda kesilgan piramidaning hajmi bor (V 1 va V 2 to'liq va kichik piramidalarning hajmlarini bildiradi)
kesilgan piramida hajmining formulasi
Muntazam kesilgan piramidaning lateral yuzasining S maydonini asoslarning P 1 va P 2 perimetrlari va apotema uzunligi bo‘yicha formulasini chiqaramiz. Biz hajm formulasini olishda xuddi shunday fikr yuritamiz. Biz piramidani yuqori qism bilan to'ldiramiz, bizda P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1 bor, bu erda k - o'xshashlik koeffitsienti, P 1 va P 2 - asoslarning perimetri va S 1 va S 2 butun hosil bo'lgan piramidaning lateral yuzalarining maydonlari va shunga mos ravishda uning yuqori qismidir. Yon sirt uchun biz topamiz (a 1 va 2 - piramidalarning apotemalari, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasi uchun formula
asosi ixtiyoriy ko‘pburchak bo‘lgan figura va yon yuzlar uchburchaklar bilan ifodalanadi. Ularning uchlari bir xil nuqtada yotadi va piramidaning yuqori qismiga to'g'ri keladi.
Piramida turli xil bo'lishi mumkin - uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli va boshqalar. Uning nomi taglikka ulashgan burchaklar soniga qarab aniqlanishi mumkin.
To'g'ri piramida asosning tomonlari, burchaklari va qirralari teng bo'lgan piramida deb ataladi. Shuningdek, bunday piramidada yon yuzlarning maydoni teng bo'ladi.
Piramidaning yon yuzasining maydoni formulasi uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir: 
Ya'ni, ixtiyoriy piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblash uchun siz har bir alohida uchburchakning maydonini topishingiz va ularni bir-biriga qo'shishingiz kerak. Agar piramida kesilgan bo'lsa, unda uning yuzlari trapezoidlar bilan ifodalanadi. Muntazam piramida uchun yana bir formula mavjud. Unda lateral sirt maydoni poydevorning yarim perimetri va apotem uzunligi orqali hisoblanadi:
Keling, piramidaning lateral yuzasi maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Muntazam to'rtburchak piramida berilsin. Asosiy tomoni b= 6 sm, apothem a= 8 sm lateral yuzaning maydonini toping.
Muntazam to'rtburchak piramidaning poydevorida kvadrat joylashgan. Birinchidan, uning perimetrini topamiz:
Endi biz piramidamizning lateral yuzasi maydonini hisoblashimiz mumkin: 
Topish uchun to'liq maydon ko'pburchak, siz uning asosining maydonini topishingiz kerak. Piramida asosining maydoni formulasi qaysi ko'pburchak poydevorda joylashganligiga qarab farq qilishi mumkin. Buning uchun uchburchakning maydoni uchun formuladan foydalaning, parallelogramm maydoni va hokazo.
Bizning shartlarimiz bilan berilgan piramida poydevorining maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqing. Piramida muntazam bo'lgani uchun uning tagida kvadrat mavjud.
Kvadrat maydon formula bo'yicha hisoblanadi: ,
bu erda a - kvadratning tomoni. Biz uchun bu 6 sm, bu piramida poydevorining maydonini bildiradi: 
Endi ko'pburchakning umumiy maydonini topish qoladi. Piramidaning maydoni formulasi uning asosi va lateral yuzasining maydoni yig'indisidan iborat.
Piramida- ko'pburchaklar va uchburchaklardan hosil bo'lgan ko'pburchakning poydevorida yotadigan va uning yuzlari bo'lgan navlaridan biri.
Bundan tashqari, piramidaning tepasida (ya'ni, bir nuqtada) barcha yuzlar birlashtirilgan.
Piramidaning maydonini hisoblash uchun uning lateral yuzasi bir nechta uchburchaklardan iborat ekanligini aniqlash kerak. Va biz ulardan foydalanib, ularning hududlarini osongina topishimiz mumkin
turli formulalar. Uchburchaklar haqida qanday ma'lumotlarni bilishimizga qarab, biz ularning maydonini qidiramiz.
Biz uchburchaklar maydonini topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ba'zi formulalarni sanab o'tamiz:
- S = (a*h)/2 . IN Ushbu holatda Biz uchburchakning balandligini bilamiz h , bu yon tomonga tushiriladi a .
- S = a*b*sinb . Mana uchburchakning tomonlari a , b , va ular orasidagi burchak β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Mana uchburchakning tomonlari a, b, c . Uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi r .
- S = (a*b*c)/4*R . Uchburchak atrofida aylana radiusi R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ushbu formula faqat uchburchak to'g'ri burchakli bo'lganda qo'llanilishi kerak.
- S = (a²*√3)/4 . Ushbu formulani teng tomonli uchburchakka qo'llaymiz.
Piramidamizning yuzlari bo'lgan barcha uchburchaklarning maydonlarini hisoblagandan keyingina uning lateral yuzasining maydonini hisoblashimiz mumkin. Buning uchun yuqoridagi formulalardan foydalanamiz.
Piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblash uchun hech qanday qiyinchiliklar yuzaga kelmaydi: siz barcha uchburchaklar maydonlarining yig'indisini topishingiz kerak. Buni formula bilan ifodalaymiz:
Sp = Ssi
Bu yerga Si birinchi uchburchakning maydoni va S P - piramidaning lateral yuzasi maydoni.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Muntazam piramidani hisobga olsak, uning lateral yuzlari bir nechta teng qirrali uchburchaklardan tashkil topgan,
« Geometriya aqliy qobiliyatimizni charxlash uchun eng kuchli vositadir».
Galileo Galiley.
kvadrat esa piramidaning asosidir. Bundan tashqari, piramidaning chetining uzunligi 17 sm. Maydonni topamiz bu piramidaning lateral yuzasi.
Biz shunday fikr yuritamiz: biz bilamizki, piramidaning yuzlari uchburchaklar, ular teng tomonli. Ushbu piramidaning chekka uzunligi qancha ekanligini ham bilamiz. Bundan kelib chiqadiki, barcha uchburchaklar teng tomonlarga ega va ularning uzunligi 17 sm.
Ushbu uchburchaklarning har birining maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 sm²
Shunday qilib, biz piramidaning tagida kvadrat yotishini bilganimiz sababli, bizda to'rtta teng qirrali uchburchak borligi ma'lum bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, piramidaning lateral sirt maydonini quyidagi formula yordamida osongina hisoblash mumkin: 125,137 sm² * 4 = 500,548 sm²
Bizning javobimiz quyidagicha: 500,548 sm² - bu piramidaning lateral yuzasining maydoni.
Piramidaning sirt maydoni. Ushbu maqolada biz oddiy piramidalar bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqamiz. Eslatib o'taman, muntazam piramida asosi muntazam ko'pburchak bo'lgan piramida bo'lib, piramidaning tepasi shu ko'pburchakning markaziga proyeksiyalangan.
Bunday piramidaning yon yuzi teng yonli uchburchakdir.Muntazam piramida cho'qqisidan chizilgan bu uchburchakning balandligi apothem, SF - apotema deyiladi:
Quyida keltirilgan muammo turida siz butun piramidaning sirt maydonini yoki uning lateral yuzasining maydonini topishingiz kerak. Blog allaqachon oddiy piramidalar bilan bog'liq bir nechta muammolarni muhokama qilgan, bu erda savol elementlarni (balandlik, taglik qirrasi, yon chekka) topish haqida edi.
IN Yagona davlat imtihon topshiriqlari Qoida tariqasida, muntazam uchburchak, to'rtburchak va olti burchakli piramidalar ko'rib chiqiladi. Muntazam beshburchak va yetti burchakli piramidalar bilan bog'liq muammolarni ko'rmadim.
Butun yuzaning maydoni uchun formula oddiy - siz piramida asosining maydoni va uning lateral yuzasi maydonining yig'indisini topishingiz kerak:
Keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:
Muntazam to'rtburchakli piramida poydevorining tomonlari 72, yon qirralari 164. Ushbu piramidaning sirt maydonini toping.
Piramidaning sirt maydoni lateral yuzasi va poydevori maydonlarining yig'indisiga teng:
*Yan yuzasi teng maydonli to'rtta uchburchakdan iborat. Piramidaning asosi kvadratdir.
Piramidaning yon tomonining maydonini hisoblashimiz mumkin:
Shunday qilib, piramidaning sirt maydoni:
Javob: 28224
Muntazam olti burchakli piramida asosining tomonlari 22 ga, yon qirralari 61 ga teng. Ushbu piramidaning lateral sirt maydonini toping.
Muntazam olti burchakli piramidaning asosi muntazam olti burchakli.
Ushbu piramidaning lateral yuzasi tomonlari 61,61 va 22 bo'lgan teng uchburchaklarning oltita maydonidan iborat:
Keling, Heron formulasidan foydalanib, uchburchakning maydonini topamiz:
Shunday qilib, lateral sirt maydoni:
Javob: 3240
*Yuqorida keltirilgan masalalarda yon yuzning maydonini boshqa uchburchak formulasi yordamida topish mumkin, ammo buning uchun siz apotemni hisoblashingiz kerak.
27155. Asos tomonlari 6, balandligi 4 ga teng bo‘lgan muntazam to‘rtburchak piramidaning sirt maydonini toping.
Piramidaning sirt maydonini topish uchun biz poydevorning maydoni va lateral yuzaning maydonini bilishimiz kerak:
Poydevorning maydoni 36 ga teng, chunki u 6 tomoni bo'lgan kvadrat.
Yon yuzasi to'rtta yuzdan iborat bo'lib, ular teng uchburchaklardir. Bunday uchburchakning maydonini topish uchun siz uning asosi va balandligini bilishingiz kerak (apotem):
*Uchburchakning maydoni poydevor va bu asosga chizilgan balandlikning yarmiga teng.
Baza ma'lum, u oltiga teng. Keling, balandlikni topamiz. Keling, ko'rib chiqaylik to'g'ri uchburchak(sariq rang bilan belgilangan):
Bir oyoq 4 ga teng, chunki bu piramidaning balandligi, ikkinchisi esa 3 ga teng, chunki u poydevorning yarmiga teng. Pifagor teoremasi yordamida gipotenuzani topishimiz mumkin:
Bu shuni anglatadiki, piramidaning lateral yuzasi maydoni:
Shunday qilib, butun piramidaning sirt maydoni:
Javob: 96
27069. Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining tomonlari 10 ga, yon qirralari 13 ga teng. Ushbu piramidaning sirt maydonini toping.
27070. Muntazam olti burchakli piramida asosining tomonlari 10 ga, yon qirralari 13 ga teng. Ushbu piramidaning lateral sirt maydonini toping.
Oddiy piramidaning lateral yuzasi uchun formulalar ham mavjud. Oddiy piramidada asos lateral yuzaning ortogonal proyeksiyasidir, shuning uchun:
P- asosiy perimetri, l- piramidaning apothemi
*Ushbu formula uchburchak maydoni formulasiga asoslangan.
Agar siz ushbu formulalar qanday olinganligi haqida ko'proq bilmoqchi bo'lsangiz, uni o'tkazib yubormang, maqolalar nashrini kuzatib boring.Ana xolos. Sizga omad!
Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.
P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.
Ushbu darsda:
- Muammo 1. Piramidaning umumiy sirtini toping
- Masala 2. Muntazam uchburchak piramidaning lateral sirt maydonini toping
.
Eslatma . Agar siz bu erda bo'lmagan geometriya masalasini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Vazifalarda "kvadrat ildiz" belgisi o'rniga sqrt () funktsiyasi qo'llaniladi, bunda sqrt belgidir. kvadrat ildiz, va radikal ifoda qavs ichida ko'rsatilgan. Oddiy radikal iboralar uchun "√" belgisidan foydalanish mumkin.
Muammo 1. Oddiy piramidaning umumiy sirt maydonini toping
Muntazam uchburchakli piramida poydevorining balandligi 3 sm, yon yuzi va piramida asosi orasidagi burchak 45 daraja.Piramidaning umumiy sirtini toping
Yechim.
Muntazam uchburchakli piramidaning negizida teng yonli uchburchak yotadi.
Shuning uchun muammoni hal qilish uchun biz oddiy uchburchakning xususiyatlaridan foydalanamiz: 
Biz uchburchakning balandligini bilamiz, uning maydonini qaerdan topishimiz mumkin.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Shunday qilib, poydevorning maydoni quyidagilarga teng bo'ladi:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Yon yuzning maydonini topish uchun biz KM balandligini hisoblaymiz. Muammoga ko'ra, OKM burchagi 45 daraja.
Shunday qilib:
OK / MK = cos 45
Keling, trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari jadvalidan foydalanamiz va almashtiramiz ma'lum qiymatlar.
OK / MK = √2/2
OK ning chizilgan aylana radiusiga teng ekanligini hisobga olamiz. Keyin
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Keyin
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
Keyin yon tomonning maydoni uchburchakning balandligi va poydevorining yarmiga teng bo'ladi.
Yon tomoni = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Shunday qilib, piramidaning umumiy sirt maydoni teng bo'ladi
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Javob: 3√3 + 18/√6
Muammo 2. Muntazam piramidaning lateral sirt maydonini toping
Muntazam uchburchak piramidada balandligi 10 sm, poydevorning yon tomoni 16 sm. . Yon sirt maydonini toping .Yechim.
Muntazam uchburchak piramidaning asosi teng qirrali uchburchak bo'lganligi sababli, AO asos atrofida chegaralangan aylananing radiusidir.
(Bu dan kelib chiqadi)
Teng yonli uchburchak atrofida aylana radiusini uning xossalaridan topamiz
Shunday qilib, oddiy uchburchak piramidaning qirralarining uzunligi teng bo'ladi:
AM 2 = MO 2 + AO 2
piramidaning balandligi shart bilan ma'lum (10 sm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Piramidaning har bir tomoni teng yonli uchburchakdir. Quyida keltirilgan birinchi formuladan teng yonli uchburchakning maydonini topamiz 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Muntazam piramidaning uchta yuzi teng bo'lganligi sababli, lateral sirt maydoni teng bo'ladi
3S = 48 √(91/3)
Javob: 48 √(91/3)
Muammo 3. Muntazam piramidaning umumiy sirt maydonini toping
Muntazam uchburchak piramidaning yon tomoni 3 sm, yon yuzi bilan piramida asosi orasidagi burchak 45 gradus. Piramidaning umumiy sirtini toping.
Yechim.
Piramida muntazam bo'lgani uchun uning tagida teng tomonli uchburchak mavjud. Shuning uchun bazaning maydoni 
Shunday qilib = 9 * √3/4
Yon yuzning maydonini topish uchun biz KM balandligini hisoblaymiz. Muammoga ko'ra, OKM burchagi 45 daraja.
Shunday qilib:
OK / MK = cos 45
Keling, foyda keltiraylik