Prizmaning yon yuzasi nimadan iborat? Prizma haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa (2019)

Stereometriya - geometriyaning bir tekislikda yotmaydigan figuralarni o'rganadigan bo'limi. Stereometriyani o'rganish ob'ektlaridan biri prizmalardir. Maqolada biz prizmani aniqlaymiz geometrik nuqta ko'rish, shuningdek, unga xos bo'lgan xususiyatlarni qisqacha sanab o'ting.

Geometrik shakl

Geometriyada prizmaning ta’rifi quyidagicha: u parallel tekisliklarda joylashgan, bir-biri bilan uchlari orqali tutashgan ikkita bir xil n-gonlardan tashkil topgan fazoviy figuradir.

Prizma olish qiyin emas. Tasavvur qilaylik, ikkita bir xil n-gon bor, bu erda n - tomonlar yoki uchlari soni. Keling, ularni bir-biriga parallel bo'lishi uchun joylashtiramiz. Shundan so'ng, bir ko'pburchakning uchlari boshqasining mos keladigan uchlari bilan bog'lanishi kerak. Olingan rasm asoslar deb ataladigan ikkita n burchakli tomondan va umuman parallelogramm bo'lgan n ta to'rtburchak tomondan iborat bo'ladi. Paralelogrammalar to'plami shaklning lateral yuzasini tashkil qiladi.

Ko'rib chiqilayotgan raqamni geometrik tarzda olishning yana bir usuli bor. Shunday qilib, agar biz n-burchakni olib, uni teng uzunlikdagi parallel segmentlar yordamida boshqa tekislikka o'tkazsak, yangi tekislikda biz asl ko'pburchakni olamiz. Ikkala ko'pburchaklar ham, ularning cho'qqilaridan chizilgan barcha parallel segmentlar prizma hosil qiladi.

Yuqoridagi rasm buni ko'rsatadi, chunki uning asoslari uchburchaklardir.

Shaklni tashkil etuvchi elementlar

Yuqorida prizmaning ta'rifi berilgan bo'lib, undan ko'rinib turibdiki, figuraning asosiy elementlari uning qirralari yoki tomonlari bo'lib, ular hamma narsani cheklaydi. ichki nuqtalar tashqi makondan prizmalar. Ko'rib chiqilayotgan raqamning har qanday yuzi ikkita turdan biriga tegishli:

• lateral;
• asoslar.

n ta lateral bo'lak mavjud va ular parallelogrammlar yoki ularning alohida turlari (to'rtburchaklar, kvadratlar). Umuman olganda, yon yuzlar bir-biridan farq qiladi. Bazaning faqat ikkita yuzi bor, ular n-gon va bir-biriga teng; Shunday qilib, har bir prizmaning n+2 tomoni bor.

Yonlarga qo'shimcha ravishda, rasm o'zining uchlari bilan tavsiflanadi. Ular uchta yuz bir vaqtning o'zida tegadigan nuqtalarni ifodalaydi. Bundan tashqari, uchta yuzdan ikkitasi har doim yon yuzaga, biri esa poydevorga tegishli. Shunday qilib, prizmada maxsus ajratilgan bitta cho'qqi yo'q, masalan, piramidada ularning barchasi teng; Shaklning uchlari soni 2*n (har bir asos uchun n dona).

Nihoyat, prizmaning uchinchi muhim elementi uning qovurg'alaridir. Bu figuraning yon tomonlarini kesish natijasida hosil bo'lgan ma'lum uzunlikdagi segmentlardir. Yuzlar singari, qirralarning ham ikkitasi bor turli xil turlari:

• yoki faqat tomonlar tomonidan tuzilgan;
• yoki parallelogramma va n-burchak asosining yon tomonining tutashgan joyida paydo bo'ladi.

Shunday qilib, qirralarning soni 3 * n ga teng bo'lib, ulardan 2 * n nomli turlarning ikkinchisiga tegishli.

Prizmalarning turlari

Prizmalarni tasniflashning bir necha usullari mavjud. Biroq, ularning barchasi rasmning ikkita xususiyatiga asoslanadi:

• n-uglerod asosining turi bo'yicha;
• yon turi.

Birinchidan, ikkinchi xususiyatga murojaat qilamiz va to'g'ri chiziqqa ta'rif beramiz. Agar kamida bitta tomoni umumiy parallelogramm bo'lsa, u holda bu raqam qiya yoki qiya deyiladi. Agar barcha parallelogrammalar to'rtburchaklar yoki kvadrat bo'lsa, prizma to'g'ri bo'ladi.

Ta'rif biroz boshqacha tarzda ham berilishi mumkin: to'g'ri shakl - bu yon qirralari va yuzlari asoslariga perpendikulyar bo'lgan prizma. Rasmda ikkita to'rtburchak shakl ko'rsatilgan. Chap tomoni tekis, o'ng tomoni moyil.

Endi asoslarda yotadigan n-gon turiga ko'ra tasnifga o'tamiz. Uning tomonlari va burchaklari bir xil yoki har xil bo'lishi mumkin. Birinchi holda, ko'pburchak muntazam deb ataladi. Agar ko'rib chiqilayotgan rasmda ko'pburchak bo'lsa teng tomonlar va burchaklar va to'g'ri chiziq bo'lsa, u muntazam deyiladi. Ushbu ta'rifga ko'ra, uning asosidagi muntazam prizma teng tomonli uchburchak, kvadrat, muntazam beshburchak yoki olti burchakli va hokazo bo'lishi mumkin. Ro'yxatda keltirilgan oddiy raqamlar rasmda keltirilgan.

Prizmalarning chiziqli parametrlari

Ko'rib chiqilayotgan raqamlarning o'lchamlarini tavsiflash uchun foydalaning quyidagi parametrlar:

• balandligi;
• poydevorning yon tomonlari;
• lateral qovurg'alar uzunligi;
• hajmli diagonallar;
• tomonlar va asoslarning diagonallari.

Muntazam prizmalar uchun bu miqdorlarning barchasi bir-biri bilan bog'liq. Misol uchun, yon qovurg'alarning uzunligi bir xil va balandlikka teng. Muayyan n-gonal uchun to'g'ri raqam Har qanday ikkita chiziqli parametr yordamida qolganlarini aniqlashga imkon beruvchi formulalar mavjud.

Shaklning yuzasi

Agar biz yuqorida keltirilgan prizma ta'rifiga murojaat qilsak, unda figuraning yuzasi nimani anglatishini tushunish qiyin bo'lmaydi. Sirt - bu barcha yuzlarning maydoni. To'g'ri prizma uchun u quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

S = 2*S o + P o *h

Bu erda S o - asosning maydoni, P o - poydevordagi n-gonning perimetri, h - balandlik (poydevorlar orasidagi masofa).

Rasm hajmi

Amaliyot uchun sirt bilan bir qatorda, prizma hajmini bilish ham muhimdir. Uni quyidagi formula yordamida aniqlash mumkin:

Bu ibora mutlaqo har qanday turdagi prizmalarga, shu jumladan eğimli va tartibsiz ko'pburchaklar tomonidan tuzilgan prizmalarga ham tegishli.

To'g'ri bo'lganlar uchun bu poydevorning yon tomonining uzunligi va rasm balandligining funktsiyasidir. Tegishli n-gonal prizma uchun V ning formulasi o'ziga xos shaklga ega.

IN maktab o'quv dasturi Stereometriya kursida uch o'lchamli figuralarni o'rganish odatda oddiy geometrik jismdan - prizma ko'pburchakdan boshlanadi. Uning asoslari rolini parallel tekisliklarda yotgan 2 ta teng ko'pburchak bajaradi. Maxsus holat - bu muntazam to'rtburchak prizma. Uning asoslari ikkita bir xil muntazam to'rtburchaklar bo'lib, tomonlari perpendikulyar bo'lib, parallelogramm shakliga ega (yoki prizma qiya bo'lmasa, to'rtburchaklar).

Prizma nimaga o'xshaydi?

Muntazam to'rtburchak prizma olti burchakli bo'lib, uning asoslari 2 kvadrat, yon yuzlari to'rtburchaklar bilan ifodalanadi. Ushbu geometrik figuraning yana bir nomi to'g'ri parallelepipeddir.

Quyida to'rtburchak prizma ko'rsatilgan chizma ko'rsatilgan.

Rasmda ham ko'rishingiz mumkin muhim elementlar, undan geometrik jism iborat. Bularga quyidagilar kiradi:

Ba'zan geometriya masalalarida kesim tushunchasiga duch kelishingiz mumkin. Ta'rif shunday bo'ladi: kesma - bu kesuvchi tekislikka tegishli bo'lgan hajmli tananing barcha nuqtalari. Bo'lim perpendikulyar bo'lishi mumkin (rasmning qirralarini 90 graduslik burchak ostida kesib o'tadi). To'g'ri to'rtburchaklar prizma uchun diagonal kesma ham ko'rib chiqiladi (qurilishi mumkin bo'lgan bo'limlarning maksimal soni 2 ta), 2 chetidan va poydevorning diagonallaridan o'tadi.

Agar kesma kesuvchi tekislik na asoslarga, na yon yuzlarga parallel bo'lmagan tarzda chizilgan bo'lsa, natijada kesilgan prizma hosil bo'ladi.

Qisqartirilgan prizmatik elementlarni topish uchun turli munosabatlar va formulalar qo'llaniladi. Ulardan ba'zilari planimetriya kursidan ma'lum (masalan, prizma asosining maydonini topish uchun kvadrat maydoni formulasini eslash kifoya).

Sirt maydoni va hajmi

Prizma hajmini formuladan foydalanib aniqlash uchun siz uning asosining maydoni va balandligini bilishingiz kerak:

V = Sbas h

Muntazam tetraedral prizma asosi tomoni bo'lgan kvadrat bo'lgani uchun a, Siz formulani batafsilroq shaklda yozishingiz mumkin:

V = a²·h

Agar biz kub haqida gapiradigan bo'lsak - oddiy prizma teng uzunlik, kengligi va balandligi, hajmi quyidagicha hisoblanadi:

Prizmaning lateral sirt maydonini qanday topishni tushunish uchun uning rivojlanishini tasavvur qilish kerak.

Chizmadan ko'rinib turibdiki yon yuzasi 4 ta teng toʻrtburchakdan iborat. Uning maydoni poydevor perimetri va rasm balandligining mahsuloti sifatida hisoblanadi:

Sside = Posn h

Kvadratning perimetri teng ekanligini hisobga olgan holda P = 4a, formula quyidagi shaklni oladi:

Yon tomoni = 4a soat

Kub uchun:

Yon tomoni = 4a²

Hududni hisoblash uchun to'liq sirt prizma uchun siz lateral maydonga 2 ta asosiy maydonni qo'shishingiz kerak:

Sfull = Sside + 2Smain

To'rtburchak muntazam prizmaga nisbatan formula quyidagicha ko'rinadi:

Jami = 4a h + 2a²

Kubning sirt maydoni uchun:

Sfull = 6a²

Hajmi yoki sirt maydonini bilib, siz geometrik jismning alohida elementlarini hisoblashingiz mumkin.

Prizma elementlarini topish

Ko'pincha, hajm berilgan yoki sirtning lateral maydoni ma'lum bo'lgan muammolar mavjud, bu erda taglikning yon tomonining uzunligini yoki balandligini aniqlash kerak. Bunday hollarda formulalar olinishi mumkin:

• Asosiy tomon uzunligi: a = Sside / 4h = √(V / h);
• balandligi yoki yon qovurg'a uzunligi: h = Sside / 4a = V / a²;
• baza maydoni: Sbas = V / h;
• yon yuz maydoni: Yon gr = Sside / 4.

Diagonal qismning qancha maydoni borligini aniqlash uchun diagonalning uzunligini va raqamning balandligini bilishingiz kerak. Kvadrat uchun d = a√2. Shuning uchun:

Sdiag = ah√2

Prizma diagonalini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

dprize = √(2a² + h²)

Berilgan munosabatlarni qanday qo'llashni tushunish uchun siz bir nechta oddiy vazifalarni mashq qilishingiz va hal qilishingiz mumkin.

Yechimlari bilan muammolarga misollar

Mana, matematikadan davlat yakuniy imtihonlarida topilgan ba'zi vazifalar.

1-mashq.

Qum odatdagi to'rtburchak prizma shaklidagi qutiga quyiladi. Uning balandligi 10 sm, agar siz uni bir xil shakldagi idishga o'tkazsangiz, lekin ikki baravar uzunroq taglik bilan qum darajasi qanday bo'ladi?

Buni quyidagicha asoslash kerak. Birinchi va ikkinchi idishlardagi qum miqdori o'zgarmadi, ya'ni ulardagi hajmi bir xil. Poydevorning uzunligini quyidagicha belgilashingiz mumkin a. Bunday holda, birinchi quti uchun moddaning hajmi quyidagicha bo'ladi:

V₁ = ha² = 10a²

Ikkinchi quti uchun taglikning uzunligi 2a, lekin qum sathining balandligi noma'lum:

V₂ = h (2a)² = 4ga²

Chunki V₁ = V₂, biz ifodalarni tenglashtirishimiz mumkin:

10a² = 4ga²

Tenglamaning ikkala tomonini a² ga kamaytirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Natijada, yangi qum darajasi bo'ladi h = 10/4 = 2,5 sm.

Vazifa 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to'g'ri prizma. Ma'lumki, BD = AB₁ = 6√2. Tananing umumiy sirt maydonini toping.

Qaysi elementlar ma'lum ekanligini tushunishni osonlashtirish uchun siz rasm chizishingiz mumkin.

Biz muntazam prizma haqida gapirayotganimiz sababli, asosda diagonali 6√2 bo'lgan kvadrat bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yon yuzning diagonali bir xil o'lchamga ega, shuning uchun yon yuz ham poydevorga teng kvadrat shakliga ega. Ma'lum bo'lishicha, barcha uch o'lcham - uzunlik, kenglik va balandlik tengdir. ABCDA₁B₁C₁D₁ kub degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Har qanday qirraning uzunligi ma'lum diagonal orqali aniqlanadi:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Umumiy sirt maydoni kub formulasi yordamida topiladi:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Vazifa 3.

Xona ta'mirlanmoqda. Ma'lumki, uning qavati maydoni 9 m² bo'lgan kvadrat shakliga ega. Xonaning balandligi 2,5 m, agar 1 m² 50 rubl bo'lsa, xonani devor qog'ozi bilan qoplashning eng past narxi qancha?

Zamin va ship kvadratchalar, ya'ni muntazam to'rtburchaklar va uning devorlari gorizontal sirtlarga perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz uni muntazam prizma deb xulosa qilishimiz mumkin. Uning lateral yuzasining maydonini aniqlash kerak.

Xonaning uzunligi a = √9 = 3 m.

Hudud devor qog'ozi bilan qoplanadi Yon tomoni = 4 3 2,5 = 30 m².

Bu xona uchun devor qog'ozi eng past narxi bo'ladi 50·30 = 1500 rubl

Shunday qilib, to'rtburchaklar prizma bilan bog'liq masalalarni hal qilish uchun kvadrat va to'rtburchakning maydoni va perimetrini hisoblay olish, shuningdek, hajm va sirt maydonini topish formulalarini bilish kifoya.

Kubning maydonini qanday topish mumkin

Ko'p yuzli

Stereometriyaning asosiy tadqiqot ob'ekti fazoviy jismlardir. Tana ma'lum bir sirt bilan chegaralangan makon qismini ifodalaydi.

Ko'p yuzli sirti chekli sonli tekis ko'pburchaklardan tashkil topgan jismdir. Ko'pburchak o'z yuzasidagi har bir tekis ko'pburchak tekisligining bir tomonida joylashgan bo'lsa, u qavariq deyiladi. Bunday tekislikning umumiy qismi va ko'pburchak yuzasi deyiladi chekka. Qavariq ko'pburchakning yuzlari tekis qavariq ko'pburchaklardir. Yuzlarning yon tomonlari deyiladi ko'pburchakning qirralari, va uchlari ko'pburchakning uchlari.

Masalan, kub oltita kvadratdan iborat bo'lib, uning yuzlari. U 12 ta chekka (kvadratlarning yon tomonlari) va 8 ta cho'qqilarni (kvadratlarning tepalari) o'z ichiga oladi.

Eng oddiy ko'pburchaklar prizmalar va piramidalar bo'lib, biz ularni batafsilroq o'rganamiz.

Prizma

Prizmaning ta'rifi va xossalari

Prizma parallel koʻchirish yoʻli bilan birlashtirilgan parallel tekisliklarda yotgan ikkita yassi koʻpburchak va bu koʻpburchaklarning mos nuqtalarini bogʻlovchi barcha segmentlardan iborat koʻpburchakdir. Ko'pburchaklar deyiladi prizma asoslari, va ko'pburchaklarning mos keladigan uchlarini bog'laydigan segmentlar prizmaning lateral qirralari.

Prizma balandligi uning asoslari tekisliklari orasidagi masofa () deyiladi. Prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchini bog'lovchi segment deyiladi prizma diagonali(). Prizma deyiladi n-uglerod, agar uning asosi n-gon bo'lsa.

Har qanday prizma prizma asoslari parallel translatsiya orqali birlashtirilganligidan kelib chiqadigan quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Prizmaning asoslari teng.

2. Prizmaning yon qirralari parallel va teng.

Prizmaning sirti asoslardan iborat va lateral yuzasi. Prizmaning yon yuzasi parallelogrammalardan iborat (bu prizmaning xususiyatlaridan kelib chiqadi). Prizmaning lateral yuzasining maydoni lateral yuzlar maydonlarining yig'indisidir.

To'g'ri prizma

Prizma deyiladi Streyt, uning lateral qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lsa. Aks holda prizma deyiladi moyil.

To'g'ri prizmaning yuzlari to'rtburchaklardir. To'g'ri prizmaning balandligi uning yon yuzlariga teng.

To'liq prizma yuzasi lateral sirt maydoni va asoslar maydonlarining yig'indisi deyiladi.

To'g'ri prizma bilan asosida muntazam ko'pburchak bo'lgan to'g'ri prizma deyiladi.

13.1 teorema. To'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni perimetri va prizma balandligining mahsulotiga teng (yoki bir xil bo'lsa, lateral qirra bilan).

Isbot. Yon yuzlar To'g'ri prizmada to'rtburchaklar mavjud bo'lib, ularning asoslari prizma asoslaridagi ko'pburchaklarning tomonlari, balandliklari esa prizmaning lateral qirralaridir. Keyin, ta'rifga ko'ra, lateral sirt maydoni:

,

to'g'ri prizma asosining perimetri qayerda.

Parallelepiped

Agar parallelogrammalar prizma asoslarida yotsa, u deyiladi parallelepiped. Parallelepipedning barcha yuzlari parallelogrammdir. Bunda parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.

13.2 teorema. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

Isbot. Masalan, ikkita ixtiyoriy diagonalni ko'rib chiqing va . Chunki parallelepipedning yuzlari parallelogrammlar, keyin va , ya'ni To ga ko'ra uchinchisiga parallel ikkita to'g'ri chiziq mavjud. Bundan tashqari, bu to'g'ri chiziqlar va bir xil tekislikda (tekislikda) yotishini anglatadi. Bu tekislik parallel tekisliklarni va parallel chiziqlar bo'ylab va . Shunday qilib, to'rtburchak parallelogramm bo'lib, parallelogrammning xususiyatiga ko'ra, uning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi, bu isbotlanishi kerak edi.

Poydevori to‘rtburchak bo‘lgan to‘g‘ri parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar parallelepiped. To'rtburchaklar parallelepipedning barcha yuzlari to'rtburchaklardir. To'g'ri burchakli parallelepipedning parallel bo'lmagan qirralarining uzunliklari uning chiziqli o'lchamlari (o'lchamlari) deb ataladi. Bunday uchta o'lcham mavjud (kenglik, balandlik, uzunlik).

13.3 teorema. To'rtburchaklar parallelepipedda har qanday diagonalning kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng. (Pifagor T ni ikki marta qo'llash orqali isbotlangan).

Barcha qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub.

Vazifalar

13.1 Uning nechta diagonali bor? n-uglerod prizmasi

13.2 Nishabli uchburchak prizmada yon qirralarning orasidagi masofalar 37, 13 va 40 ga teng. Kattaroq yon chekka bilan qarama-qarshi tomon orasidagi masofani toping.

13.3 Muntazam uchburchak prizmaning pastki poydevorining yon tomoni orqali yon yuzlarini ular orasidagi burchakka ega bo'lgan segmentlar bo'ylab kesib o'tadigan tekislik o'tkaziladi. Bu tekislikning prizma asosiga qiyalik burchagini toping.

Ta'rif 1. Prizmatik sirt
Teorema 1. Prizmatik sirtning parallel kesmalari haqida
Ta'rif 2. Prizmatik sirtning perpendikulyar kesimi
Ta'rif 3. Prizma
Ta'rif 4. Prizma balandligi
Ta'rif 5. To'g'ri prizma
Teorema 2. Prizmaning lateral yuzasi

Parallelepiped:
Ta'rif 6. Parallelepiped
Teorema 3. Paralelepiped diagonallarining kesishishi haqida
Ta'rif 7. To'g'ri parallelepiped
Ta'rif 8. To'rtburchaklar parallelepiped
Ta'rif 9. Parallelepipedning o'lchovlari
Ta'rif 10. Kub
Ta'rif 11. Rombedr
Teorema 4. To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari haqida
Teorema 5. Prizma hajmi
Teorema 6. To'g'ri prizmaning hajmi
Teorema 7. To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi

Prizma ikki yuzi (asoslari) parallel tekisliklarda yotgan va bu yuzlarda yotmaydigan qirralari bir-biriga parallel boʻlgan koʻpburchakdir.
Asoslardan boshqa yuzlar deyiladi lateral.
Yon yuzalar va tayanchlarning yon tomonlari deyiladi prizma qovurg'alari, qirralarning uchlari deyiladi prizmaning uchlari. Yanal qovurg'alar asoslarga tegishli bo'lmagan qirralar deyiladi. Yanal yuzlarning birlashishi deyiladi prizmaning lateral yuzasi, va barcha yuzlarning birlashishi deyiladi prizmaning to'liq yuzasi. Prizma balandligi ustki asos nuqtasidan pastki asos tekisligiga tushirilgan perpendikulyar yoki bu perpendikulyarning uzunligi deyiladi. To'g'ri prizma yon qovurg'alari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma deyiladi. To'g'ri to'g'ri prizma deb ataladi (3-rasm), uning asosida muntazam ko'pburchak yotadi.

Belgilar:
l - yon qovurg'a;
P - asosiy perimetri;
S o - tayanch maydoni;
H - balandlik;
P^ - perpendikulyar kesma perimetri;
S b - lateral sirt maydoni;
V - hajm;
S p - prizmaning umumiy sirtining maydoni.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Ta'rif 1 . Prizmatik sirt - bir to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan bir nechta tekislik qismlaridan hosil bo'lgan, bu tekisliklar bir-birini ketma-ket kesib o'tadigan to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figura*; bu chiziqlar bir-biriga parallel va deyiladi prizmatik yuzaning qirralari.
*Har ikki ketma-ket tekislik kesishadi va oxirgi tekislik birinchisini kesishadi deb taxmin qilinadi

Teorema 1 . Prizmatik sirtning bir-biriga parallel bo'lgan (lekin uning chetlariga parallel bo'lmagan) tekisliklardagi kesmalari teng ko'pburchaklardir.
ABCDE va ​​A"B"C"D"E" prizmatik sirtning ikkita parallel tekislik kesmalari bo'lsin.Bu ikki ko'pburchak teng ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ABC va A"B"C" uchburchaklar ekanligini ko'rsatish kifoya. teng bo'ladi va bir xil aylanish yo'nalishiga ega va xuddi shu narsa ABD va A "B" D, ABE va A "B" E uchburchaklar uchun ham amal qiladi. Lekin bu uchburchaklarning mos tomonlari parallel (masalan, AC AC ga parallel) ma'lum bir tekislikning ikkita parallel tekislik bilan kesishish chizig'i kabi; shundan kelib chiqadiki, bu tomonlar parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari kabi teng (masalan, AC A «C» ga teng), bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng va bir xil yo'nalishga ega.

Ta'rif 2 . Prizmatik sirtning perpendikulyar kesimi bu sirtning qirralariga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismidir. Oldingi teoremaga asoslanib, bir xil prizmatik sirtning barcha perpendikulyar kesimlari teng ko'pburchaklar bo'ladi.

Ta'rif 3 . Prizma - bu prizmatik sirt va bir-biriga parallel bo'lgan ikkita tekislik bilan chegaralangan ko'pburchak (lekin prizmatik yuzaning chetlariga parallel emas)
Ushbu oxirgi tekisliklarda yotgan yuzlar deyiladi prizma asoslari; prizmatik sirtga tegishli yuzlar - yon yuzlar; prizmatik yuzaning qirralari - prizmaning yon qovurg'alari. Oldingi teoremaga ko'ra, prizmaning asosi teng ko'pburchaklar. Prizmaning barcha lateral yuzlari - parallelogrammalar; barcha yon qovurg'alar bir-biriga teng.
Ko'rinib turibdiki, agar ABCDE prizmasining asosi va qirralarning biri AA" o'lchami va yo'nalishi berilgan bo'lsa, u holda BB", CC", ... AA chetiga teng va parallel" qirralarini chizish orqali prizma qurish mumkin. .

Ta'rif 4 . Prizma balandligi - bu uning asoslari tekisliklari orasidagi masofa (HH").

Ta'rif 5 . Prizma to'g'ri deb ataladi, agar uning asoslari prizmatik sirtning perpendikulyar kesimlari bo'lsa. Bunday holda, prizmaning balandligi, albatta, uning yon qovurg'a; yon qirralari bo'ladi to'rtburchaklar.
Prizmalarni uning asosi bo'lib xizmat qiladigan ko'pburchak tomonlari soniga teng bo'lgan lateral yuzlar soniga ko'ra tasniflash mumkin. Shunday qilib, prizmalar uchburchak, to'rtburchak, beshburchak va boshqalar bo'lishi mumkin.

Teorema 2 . Prizmaning lateral yuzasining maydoni lateral qirrasi va perpendikulyar kesimning perimetri mahsulotiga teng.
ABCDEA"B"C"D"E" berilgan prizma bo'lsin va uning perpendikulyar kesmasi abcde bo'lsin, shunda ab, bc, .. segmentlari uning lateral qirralariga perpendikulyar bo'lsin. ABA"B" yuzi parallelogramm; uning maydoni AA asosining "ab"ga to'g'ri keladigan balandlikka ko'paytmasiga teng; VSV "S" yuzining maydoni miloddan avvalgi balandlikdagi "VV" asosining mahsulotiga teng va hokazo. Shunday qilib, yon yuza (ya'ni, yon yuzlar maydonlarining yig'indisi) mahsulotga teng. yon chetining, boshqacha qilib aytganda, AA", VV", .. segmentlarining umumiy uzunligi ab+bc+cd+de+ea miqdori uchun.

Ta'rif.

Bu olti burchakli bo'lib, uning asoslari ikkita teng kvadrat va yon yuzlari teng to'rtburchaklardir.

Yon qovurg'a- Bu umumiy tomoni ikkita qo'shni yon yuzlar

Prizma balandligi- bu prizma asoslariga perpendikulyar segment

Prizma diagonali- bir yuzga tegishli bo'lmagan asoslarning ikkita uchini bog'lovchi segment

Diagonal tekislik- prizma diagonali va uning lateral qirralari orqali o'tadigan tekislik

Diagonal qism- prizma va diagonal tekislikning kesishish chegaralari. Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir

Perpendikulyar kesma (ortogonal kesma)- bu prizma va uning lateral qirralariga perpendikulyar chizilgan tekislikning kesishishi.

Muntazam to'rtburchak prizmaning elementlari

Rasmda ikkita oddiy to'rtburchak prizma ko'rsatilgan, ular tegishli harflar bilan ko'rsatilgan:

• ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 asoslari bir-biriga teng va parallel
• Yon yuzlar AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C va CC 1 D 1 D, ularning har biri to'rtburchak
• Lateral sirt - prizmaning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi
• Umumiy sirt - barcha asoslar va yon yuzalar maydonlarining yig'indisi (yon yuza va asoslar maydoni yig'indisi)
• Yon qovurg'alar AA 1, BB 1, CC 1 va DD 1.
• Diagonali B 1 D
• Asosiy diagonali BD
• Diagonal kesma BB 1 D 1 D
• Perpendikulyar kesma A 2 B 2 C 2 D 2.

Muntazam to'rtburchak prizmaning xossalari

• Asoslar ikkita teng kvadratdir
• Bazalar bir-biriga parallel
• Yon tomonlari to'rtburchaklardir
• Yon qirralar bir-biriga teng
• Yon tomonlari asoslarga perpendikulyar
• Yanal qovurg'alar bir-biriga parallel va tengdir
• Barcha yon qovurg'alarga perpendikulyar va asoslarga parallel perpendikulyar kesim
• Perpendikulyar kesimning burchaklari - tekis
• Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir
• Asoslarga parallel ravishda perpendikulyar (ortogonal kesma).

Muntazam to'rtburchak prizma uchun formulalar

Muammolarni hal qilish bo'yicha ko'rsatmalar

Mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda " muntazam to'rtburchak prizma" shuni anglatadiki:

To'g'ri prizma- prizma, uning poydevorida muntazam ko'pburchak yotqizilgan, yon qirralari esa asos tekisliklariga perpendikulyar. Ya'ni, oddiy to'rtburchak prizma uning tagida joylashgan kvadrat. (yuqoridagi oddiy to'rtburchak prizmaning xususiyatlariga qarang) Eslatma. Bu geometriya masalalari (kesim stereometriya - prizma) bilan darsning bir qismidir. Bu erda hal qilish qiyin bo'lgan muammolar mavjud. Agar siz bu erda bo'lmagan geometriya masalasini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Qabul qilish harakatini ko'rsatish uchun kvadrat ildiz ramz masalalarni yechishda ishlatiladi√ .

Vazifa.

Muntazam to'rtburchak prizmada asos maydoni 144 sm 2, balandligi 14 sm.

Yechim.
Muntazam to'rtburchak kvadratdir.
Shunga ko'ra, taglikning tomoni teng bo'ladi

√144 = 12 sm.
Muntazam to'rtburchaklar prizma asosining diagonali qayerdan teng bo'ladi
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Muntazam prizmaning diagonali asosning diagonali va prizma balandligi bilan hosil bo'ladi. to'g'ri uchburchak. Shunga ko'ra, Pifagor teoremasiga ko'ra, berilgan muntazam to'rtburchak prizmaning diagonali quyidagilarga teng bo'ladi:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 sm

Javob: 22 sm

Vazifa

Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonali 5 sm va yon yuzining diagonali 4 sm bo'lsa, uning umumiy sirtini aniqlang.

Yechim.
Muntazam to'rtburchak prizmaning asosi kvadrat bo'lganligi sababli, Pifagor teoremasidan foydalanib, asosning tomonini (a bilan belgilanadi) topamiz:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Yon yuzning balandligi (h bilan belgilanadi) keyin teng bo'ladi:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Umumiy sirt maydoni lateral yuzaning yig'indisiga va taglik maydonining ikki barobariga teng bo'ladi

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Javob: 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.