Περιοχή τριγώνου με διαφορετικές πλευρές. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου

Το τρίγωνο είναι μια φιγούρα γνωστή σε όλους. Και αυτό παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι διαφορετικό κατά κάποιο τρόπο. Αλλά για οποιονδήποτε πρέπει να μάθετε το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n σε, n με.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, μιας πλευράς και του ύψους που αφαιρείται από αυτό. S = ½ * a * n a. Οι τύποι για τις άλλες δύο πλευρές πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνήθως συμβολίζεται με το μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος για την ημιπερίμετρο είναι: p = (a+b+c) / 2. Τότε η ισότητα για το εμβαδόν του ​​το σχήμα μοιάζει με αυτό: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε ένας τύπος που περιέχει μόνο τα μήκη των πλευρών θα είναι χρήσιμος: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι ελαφρώς μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν έχετε ξεχάσει πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι που αφορούν τις γωνίες ενός τριγώνου

Σημειώσεις που απαιτούνται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από μία πλευρά και τρεις γνωστές γωνίες. S = (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης ένας τύπος με μια γνωστή πλευρά και δύο γειτονικές γωνίες. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι αρκετά δύσκολο να τα θυμάστε.

Γενικοί τύποι για καταστάσεις όπου είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R - ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Ένας άλλος τρόπος για να το γράψετε είναι: S = ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με το τετραπλάσιο της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Στην κυριολεκτική έκφραση μοιάζει με αυτό: S = (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά θα χρειαστείτε τις τιμές και των τριών γωνιών. S = 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Ονομάζονται με τα λατινικά γράμματα a και b. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι το πιο εύκολο να θυμάστε. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δείχνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι έχει δύο ίσες πλευρές, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Αν το μεταμορφώσεις, θα γίνει πιο κοντό. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Ο τύπος εμβαδού φαίνεται κάπως απλούστερος από ό,τι για ένα αυθαίρετο τρίγωνο εάν οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστές. S = ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως στα προβλήματα η πλευρά σχετικά με αυτό είναι γνωστή ή μπορεί να βρεθεί με κάποιο τρόπο. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Προβλήματα εύρεσης της περιοχής εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Τότε το σχήμα που θα προκύψει θα έχει 3 τρίγωνα. Το ένα είναι αυτό που δίνεται στο πρόβλημα. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Το εμβαδόν του τριγώνου καθορίζεται.

Η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού αποδεικνύεται πολύ πιο περίπλοκη. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο, έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Παράδειγμα προβλήματος που χρησιμοποιεί τον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει γνωστές πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 εκ. Πρέπει να μάθετε την περιοχή του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √(4 * 14) = 2 √(14).

Εάν δεν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι ίση με 3,74. Τότε η περιοχή θα είναι 7,48.

Απάντηση. S = 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 31 cm μεγαλύτερο από το δεύτερο. Πρέπει να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Λύση. Θα πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο σχετίζεται με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 = ½ a * b;

α = β + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 = ½ (σε + 31) * ίντσες. Έχει μόνο μία άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Αφού ανοίξουμε τις αγκύλες παίρνουμε τετραγωνική εξίσωση: σε 2 + 31 σε - 360 = 0. Δίνει δύο τιμές για το "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση, καθώς το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητικό αξία.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε το 31 στον αριθμό που προκύπτει. Βγαίνει 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Πρόβλημα εύρεσης πλευράς μέσω του εμβαδού, της πλευράς και της γωνίας ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν ενός συγκεκριμένου τριγώνου είναι 60 cm 2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Λύση. Με βάση τον αποδεκτό συμβολισμό, η επιθυμητή πλευρά είναι "a", η γνωστή πλευρά είναι "b", η δεδομένη γωνία είναι "γ". Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 = ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η απαιτούμενη πλευρά είναι 16 cm.

Πρόβλημα σχετικά με ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο βρίσκονται στα πλάγια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός από τα πόδια είναι 42 εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου;

Λύση. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο είναι αυτό που καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται σε διάσημο πόδιτο αρχικό τρίγωνο. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι ίσα με 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένου σκέλους 42 cm αφαιρούμε την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Τα αντίστοιχα σκέλη ενός μεγάλου τριγώνου είναι 42 cm και x cm. Είναι αυτό το «x» που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 = 24/x, δηλαδή x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42 διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η απαιτούμενη επιφάνεια είναι 1176 cm 2.

Οδηγίες

Κόμματακαι οι γωνίες θεωρούνται βασικά στοιχεία ΕΝΑ. Ένα τρίγωνο ορίζεται πλήρως από οποιοδήποτε από τα ακόλουθα βασικά στοιχεία του: είτε τρεις πλευρές, είτε μία πλευρά και δύο γωνίες, είτε δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους. Για την ύπαρξη τρίγωνοπου δίνονται από τις τρεις πλευρές a, b, c, είναι απαραίτητο και αρκετό για να ικανοποιηθούν οι ανισότητες που ονομάζονται ανισότητες τρίγωνο:
α+β > γ,
a+c > b,
β+γ > α.

Για το χτίσιμο τρίγωνοστις τρεις πλευρές a, b, c, είναι απαραίτητο από το σημείο C του τμήματος CB = a να σχεδιάσετε έναν κύκλο ακτίνας b χρησιμοποιώντας μια πυξίδα. Στη συνέχεια, με παρόμοιο τρόπο σχεδιάστε έναν κύκλο από το σημείο Β με ακτίνα ίσο με την πλευράντο. Το σημείο τομής τους Α είναι η τρίτη κορυφή του επιθυμητού τρίγωνο ABC, όπου AB=c, CB=a, CA=b - πλευρές τρίγωνο. Το πρόβλημα έχει , αν οι πλευρές a, b, c, ικανοποιούν τις ανισότητες τρίγωνοκαθορίζεται στο βήμα 1.

Η περιοχή S κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο τρίγωνοΤο ABC με γνωστές πλευρές a, b, c, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
όπου α, β, γ είναι πλευρές τρίγωνο, p – ημιπερίμετρος.
p = (a+b+c)/2

Αν ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο, δηλαδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες (a=b=c). τρίγωνουπολογίζεται με τον τύπο:
S=(a^2 v3)/4

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, δηλαδή μια από τις γωνίες του είναι ίση με 90° και οι πλευρές που το σχηματίζουν είναι σκέλη, η τρίτη πλευρά είναι η υποτείνουσα. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση τετράγωνοισούται με το γινόμενο των ποδιών διαιρούμενο με δύο.
S=ab/2

Να βρω τετράγωνο τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους πολλούς τύπους. Επιλέξτε έναν τύπο ανάλογα με τα δεδομένα που είναι ήδη γνωστά.

Θα χρειαστείτε

• γνώση τύπων για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Οδηγίες

Εάν γνωρίζετε το μέγεθος μιας από τις πλευρές και την τιμή του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά από την αντίθετη γωνία προς αυτήν, τότε μπορείτε να βρείτε την περιοχή χρησιμοποιώντας τα εξής: S = a*h/2, όπου S είναι η περιοχή του τριγώνου, το a είναι μία από τις πλευρές του τριγώνου και το h - ύψος, στην πλευρά α.

Υπάρχει μια γνωστή μέθοδος για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός τριγώνου εάν είναι γνωστές οι τρεις πλευρές του. Είναι η φόρμουλα του Heron. Για να απλοποιηθεί η καταγραφή του, εισάγεται μια ενδιάμεση τιμή - ημιπερίμετρος: p = (a+b+c)/2, όπου a, b, c - . Τότε ο τύπος του Heron έχει ως εξής: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ εκθετική.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε μία από τις πλευρές ενός τριγώνου και τρεις γωνίες. Στη συνέχεια, είναι εύκολο να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), όπου β είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά a, και α και γ είναι γωνίες δίπλα στην πλευρά.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Σημείωση

Η πιο γενική φόρμουλα που είναι κατάλληλη για όλες τις περιπτώσεις είναι η φόρμουλα του Heron.

Πηγές:

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις τρεις πλευρές

Η εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου είναι ένα από τα πιο κοινά προβλήματα στη σχολική επιπεδομετρία. Η γνώση των τριών πλευρών ενός τριγώνου είναι αρκετή για να προσδιορίσει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου. Σε ειδικές περιπτώσεις ισόπλευρων τριγώνων, αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των δύο και της μίας πλευράς, αντίστοιχα.

Θα χρειαστείτε

• μήκη πλευρών τριγώνων, τύπος Heron, θεώρημα συνημιτόνου

Οδηγίες

Ο τύπος του Heron για το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ο εξής: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Αν γράψουμε την ημιπερίμετρο p, παίρνουμε: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Μπορείτε να εξαγάγετε έναν τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου από θεωρήσεις, για παράδειγμα, εφαρμόζοντας το θεώρημα συνημιτόνου.

Με το θεώρημα συνημιτόνου, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Χρησιμοποιώντας τις εισαγόμενες σημειώσεις, αυτές μπορούν επίσης να γραφτούν με τη μορφή: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Επομένως, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται επίσης με τον τύπο S = a*c*sin(ABC)/2 χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Το ημίτονο της γωνίας ABC μπορεί να εκφραστεί ως προς αυτό χρησιμοποιώντας το βασικό τριγωνομετρική ταυτότητα: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Αντικαθιστώντας το ημίτονο στον τύπο για την περιοχή και γράφοντάς το, μπορείτε να φτάσετε στον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου ABC.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Για εργασίες επισκευήςμπορεί να είναι απαραίτητο να μετρηθεί τετράγωνοτοίχους Είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί απαιτούμενο ποσόχρώμα ή ταπετσαρία. Για μετρήσεις, είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε μεζούρα ή μεζούρα. Οι μετρήσεις πρέπει να γίνουν μετά τοίχουςισοπεδώθηκαν.

Θα χρειαστείτε

• -ρουλέτα;
• -σκάλα.

Οδηγίες

Να μετρήσει τετράγωνοτοίχους, πρέπει να γνωρίζετε το ακριβές ύψος των οροφών και επίσης να μετρήσετε το μήκος κατά μήκος του δαπέδου. Αυτό γίνεται ως εξής: πάρτε ένα εκατοστό και τοποθετήστε το πάνω από τη βάση. Συνήθως ένα εκατοστό δεν είναι αρκετό για όλο το μήκος, γι' αυτό ασφαλίστε το στη γωνία και μετά ξετυλίξτε το στο μέγιστο μήκος. Σε αυτό το σημείο, βάλτε ένα σημάδι με ένα μολύβι, σημειώστε το αποτέλεσμα που προέκυψε και πραγματοποιήστε περαιτέρω μετρήσεις με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από το τελευταίο σημείο μέτρησης.

Τυπικές οροφέςστα τυπικά - 2 μέτρα 80 εκατοστά, 3 μέτρα και 3 μέτρα 20 εκατοστά, ανάλογα με το σπίτι. Εάν το σπίτι χτίστηκε πριν από τη δεκαετία του '50, τότε πιθανότατα το πραγματικό ύψος είναι ελαφρώς χαμηλότερο από το υποδεικνυόμενο. Αν υπολογίζεις τετράγωνογια εργασίες επισκευής, τότε μια μικρή προσφορά δεν θα βλάψει - εξετάστε με βάση το πρότυπο. Εάν εξακολουθείτε να χρειάζεται να γνωρίζετε το πραγματικό ύψος, κάντε μετρήσεις. Η αρχή είναι παρόμοια με τη μέτρηση του μήκους, αλλά θα χρειαστείτε μια σκάλα.

Πολλαπλασιάστε τους δείκτες που προκύπτουν - αυτό είναι τετράγωνοδικος σου τοίχους. Αλήθεια, πότε έργα ζωγραφικήςή γιατί είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τετράγωνοανοίγματα θυρών και παραθύρων. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε ένα εκατοστό κατά μήκος του ανοίγματος. Εάν μιλάμε για μια πόρτα που πρόκειται να αλλάξετε στη συνέχεια, πραγματοποιήστε με την αφαίρεση κάσωμα πόρτας, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τετράγωνοαπευθείας στο ίδιο το άνοιγμα. Η περιοχή του παραθύρου υπολογίζεται κατά μήκος της περιμέτρου του πλαισίου του. Μετά τετράγωνουπολογισμένο παράθυρο και πόρτα, αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τη συνολική επιφάνεια του δωματίου που προκύπτει.

Λάβετε υπόψη ότι η μέτρηση του μήκους και του πλάτους του δωματίου πραγματοποιείται από δύο άτομα, κάτι που διευκολύνει τη στερέωση ενός εκατοστού ή μιας μεζούρας και, κατά συνέπεια, τη λήψη πιο ακριβούς αποτελέσματος. Κάντε την ίδια μέτρηση πολλές φορές για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που λαμβάνετε είναι ακριβείς.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Η εύρεση του όγκου ενός τριγώνου είναι πραγματικά μια μη τετριμμένη εργασία. Το γεγονός είναι ότι ένα τρίγωνο είναι ένα δισδιάστατο σχήμα, δηλ. βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι απλά δεν έχει όγκο. Φυσικά, δεν μπορείς να βρεις κάτι που δεν υπάρχει. Αλλά ας μην τα παρατάμε! Μπορούμε να δεχτούμε την ακόλουθη υπόθεση: ο όγκος ενός δισδιάστατου σχήματος είναι το εμβαδόν του. Θα αναζητήσουμε το εμβαδόν του τριγώνου.

Θα χρειαστείτε

• φύλλο χαρτί, μολύβι, χάρακα, αριθμομηχανή

Οδηγίες

Σχεδιάστε σε ένα κομμάτι χαρτί χρησιμοποιώντας χάρακα και μολύβι. Εξετάζοντας προσεκτικά το τρίγωνο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όντως δεν έχει τρίγωνο, αφού είναι σχεδιασμένο σε επίπεδο. Επισημάνετε τις πλευρές του τριγώνου: αφήστε τη μία πλευρά να είναι πλευρά "a", η άλλη πλευρά "b" και η τρίτη πλευρά "c". Σημειώστε τις κορυφές του τριγώνου με τα γράμματα "A", "B" και "C".

Μετρήστε οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου με ένα χάρακα και σημειώστε το αποτέλεσμα. Μετά από αυτό, επαναφέρετε μια κάθετη στη μετρούμενη πλευρά από την κορυφή απέναντι από αυτήν, μια τέτοια κάθετη θα είναι το ύψος του τριγώνου. Στην περίπτωση που φαίνεται στο σχήμα, η κάθετη "h" επαναφέρεται στην πλευρά "c" από την κορυφή "A". Μετρήστε το ύψος που προκύπτει με ένα χάρακα και σημειώστε το αποτέλεσμα της μέτρησης.

Μπορεί να σας είναι δύσκολο να επαναφέρετε την ακριβή κάθετο. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε διαφορετικό τύπο. Μετρήστε όλες τις πλευρές του τριγώνου με έναν χάρακα. Μετά από αυτό, υπολογίστε την ημιπερίμετρο του τριγώνου "p" προσθέτοντας τα προκύπτοντα μήκη των πλευρών και διαιρώντας το άθροισμά τους στο μισό. Έχοντας την τιμή της ημιπεριμέτρου στη διάθεσή σας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron. Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε εξαγωγή Τετραγωνική ρίζααπό τα ακόλουθα: p(p-a)(p-b)(p-c).

Έχετε αποκτήσει την απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου. Το πρόβλημα της εύρεσης του όγκου ενός τριγώνου δεν έχει λυθεί, αλλά όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο όγκος δεν έχει λυθεί. Μπορείτε να βρείτε έναν όγκο που είναι ουσιαστικά ένα τρίγωνο στον τρισδιάστατο κόσμο. Αν φανταστούμε ότι το αρχικό μας τρίγωνο έχει γίνει μια τρισδιάστατη πυραμίδα, τότε ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας θα είναι το γινόμενο του μήκους της βάσης της με την περιοχή του τριγώνου που έχουμε αποκτήσει.

Σημείωση

Όσο πιο προσεκτικά μετράτε, τόσο πιο ακριβείς θα είναι οι υπολογισμοί σας.

Πηγές:

• Αριθμομηχανή "Όλα σε όλα" - μια πύλη για τιμές αναφοράς
• όγκος τριγώνου το 2019

Τρία σημεία που ορίζουν μοναδικά ένα τρίγωνο Καρτεσιανό σύστημαοι συντεταγμένες είναι οι κορυφές του. Γνωρίζοντας τη θέση τους σε σχέση με κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε οποιεσδήποτε παραμέτρους αυτού επίπεδη φιγούρα, συμπεριλαμβανομένης και περιορισμένης από την περίμετρό του τετράγωνο. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Οδηγίες

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε το εμβαδόν τρίγωνο. Περιλαμβάνει τις διαστάσεις των τριών πλευρών του σχήματος, οπότε ξεκινήστε τους υπολογισμούς σας με . Το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι ίσο με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μηκών των προεξοχών της στους άξονες συντεταγμένων. Αν συμβολίσουμε τις συντεταγμένες A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) και C(X3,Y3,Z3), τα μήκη των πλευρών τους μπορούν να εκφραστούν ως εξής: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, εισαγάγετε μια βοηθητική μεταβλητή - ημιπερίμετρο (P). Από το γεγονός ότι αυτό είναι το ήμισυ του αθροίσματος των μηκών όλων των πλευρών: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Περιοχή τριγώνου - τύποι και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Παρακάτω είναι τύποι για την εύρεση του εμβαδού ενός αυθαίρετου τριγώνουτα οποία είναι κατάλληλα για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου, ανεξάρτητα από τις ιδιότητες, τις γωνίες ή τα μεγέθη του. Οι τύποι παρουσιάζονται σε μορφή εικόνας, με επεξηγήσεις για την εφαρμογή τους ή αιτιολόγηση της ορθότητάς τους. Οι αντιστοιχίες υποδεικνύονται επίσης σε ξεχωριστό σχήμα ονομασίες γραμμάτωνσε τύπους και γραφικά σύμβολα στο σχέδιο.

Σημείωση . Αν το τρίγωνο έχει ειδικές ιδιότητες(ισοσκελές, ορθογώνιο, ισόπλευρο), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που δίνονται παρακάτω, καθώς και πρόσθετους ειδικούς τύπους που ισχύουν μόνο για τρίγωνα με αυτές τις ιδιότητες:

• "Τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου"

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

Επεξηγήσεις για τύπους:
α, β, γ- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου του οποίου το εμβαδόν θέλουμε να βρούμε
r- ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο
R- ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο
η- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στο πλάι
Π- ημιπερίμετρος τριγώνου, 1/2 του αθροίσματος των πλευρών του (περίμετρος)
α - γωνία απέναντι από την πλευρά α του τριγώνου
β - γωνία απέναντι από την πλευρά β του τριγώνου
γ - γωνία απέναντι από την πλευρά c του τριγώνου
η ένα, η σι , η ντο- ύψος του τριγώνου χαμηλωμένο στις πλευρές a, b, c

Σημειώστε ότι οι σημειώσεις που δίνονται αντιστοιχούν στο παραπάνω σχήμα, έτσι ώστε κατά την επίλυση ενός πραγματικού προβλήματος γεωμετρίας θα είναι ευκολότερο για εσάς να αντικαταστήσετε οπτικά τα σωστά μέρηοι τύποι είναι σωστές τιμές.

• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ήμισυ του γινόμενου του ύψους του τριγώνου και του μήκους της πλευράς κατά την οποία το ύψος αυτό χαμηλώνει(Φόρμουλα 1). Η ορθότητα αυτού του τύπου μπορεί να γίνει κατανοητή λογικά. Το ύψος που χαμηλώνει στη βάση θα χωρίσει ένα αυθαίρετο τρίγωνο σε δύο ορθογώνια. Εάν χτίσετε καθένα από αυτά σε ένα ορθογώνιο με διαστάσεις b και h, τότε προφανώς το εμβαδόν αυτών των τριγώνων θα είναι ίσο με ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου (Spr = bh)
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό γινόμενο των δύο πλευρών του και το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας(Τύπος 2) (δείτε ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο παρακάτω). Παρόλο που φαίνεται διαφορετικό από το προηγούμενο, μπορεί εύκολα να μεταμορφωθεί σε αυτό. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία Β στην πλευρά β, προκύπτει ότι το γινόμενο της πλευράς α και του ημιτόνου της γωνίας γ, σύμφωνα με τις ιδιότητες του ημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνοίσο με το ύψος του τριγώνου που σχεδιάσαμε, που θα μας δώσει τον προηγούμενο τύπο
• Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου διά μέσου δουλειάτο ήμισυ της ακτίνας του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό από το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του(Τύπος 3), με απλά λόγια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ημιπερίμετρο του τριγώνου με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (αυτό είναι πιο εύκολο να το θυμάστε)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο όλων των πλευρών του με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περικλείεται γύρω του (Τύπος 4)
• Η Formula 5 βρίσκει το εμβαδόν ενός τριγώνου στα μήκη των πλευρών του και στην ημιπερίμετρό του (το μισό άθροισμα όλων των πλευρών του)
• Η φόρμουλα του HeronΤο (6) είναι μια αναπαράσταση του ίδιου τύπου χωρίς τη χρήση της έννοιας της ημιπεριμέτρου, μόνο μέσω του μήκους των πλευρών
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς του τριγώνου και των ημιτόνων των γωνιών που γειτνιάζουν με αυτήν την πλευρά διαιρούμενα με το διπλό ημίτονο της γωνίας απέναντι από αυτήν την πλευρά (Τύπος 7)
• Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο δύο τετραγώνων του κύκλου που οριοθετούνται γύρω του από τα ημίτονο κάθε γωνίας του. (Φόρμουλα 8)
• Εάν είναι γνωστά το μήκος μιας πλευράς και οι τιμές δύο γειτονικών γωνιών, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το τετράγωνο αυτής της πλευράς διαιρούμενο με το διπλό άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών (Τύπος 9)
• Εάν είναι γνωστό μόνο το μήκος καθενός από τα ύψη του τριγώνου (Formula 10), τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου είναι αντιστρόφως ανάλογο με τα μήκη αυτών των υψών, όπως σύμφωνα με τον τύπο του Heron
• Η Formula 11 σας επιτρέπει να υπολογίζετε εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση τις συντεταγμένες των κορυφών του, οι οποίες καθορίζονται ως τιμές (x;y) για κάθε μια από τις κορυφές. Λάβετε υπόψη ότι η προκύπτουσα τιμή πρέπει να ληφθεί modulo, καθώς οι συντεταγμένες των μεμονωμένων (ή ακόμα και όλων) κορυφών μπορεί να βρίσκονται στην περιοχή των αρνητικών τιμών

Σημείωση. Τα παρακάτω είναι παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων γεωμετρίας για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου. Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας που δεν είναι παρόμοιο εδώ, γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Στις λύσεις, αντί για το σύμβολο "τετραγωνική ρίζα", μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση sqrt(), στην οποία sqrt είναι το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας και η ριζική έκφραση υποδεικνύεται σε παρένθεση.Μερικές φορές για απλές ριζοσπαστικές εκφράσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο √

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν των δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους

Οι πλευρές του τριγώνου είναι 5 και 6 εκ. Η γωνία μεταξύ τους είναι 60 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο από το θεωρητικό μέρος του μαθήματος.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί μέσα από τα μήκη δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και θα είναι ίσο με
S=1/2 ab sin γ

Εφόσον έχουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για τη λύση (σύμφωνα με τον τύπο), μπορούμε μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές από τις συνθήκες του προβλήματος στον τύπο:
S = 1/2 * 5 * 6 * αμαρτία 60

Στον πίνακα των αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσειςΑς βρούμε και ας αντικαταστήσουμε την τιμή του ημιτόνου 60 μοίρες στην έκφραση. Θα είναι ίσο με τη ρίζα του τρεις φορές δύο.
S = 15 √3 / 2

Απάντηση: 7,5 √3 (ανάλογα με τις απαιτήσεις του δασκάλου, μπορείτε πιθανώς να αφήσετε 15 √3/2)

Εργο. Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά 3 cm.

Λύση .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Εφόσον a = b = c, ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου παίρνει τη μορφή:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Απάντηση: 9 √3 / 4.

Εργο. Αλλαγή στην περιοχή κατά την αλλαγή του μήκους των πλευρών

Πόσες φορές θα αυξηθεί το εμβαδόν του τριγώνου αν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές;

Λύση.

Εφόσον οι διαστάσεις των πλευρών του τριγώνου είναι άγνωστες σε εμάς, για να λύσουμε το πρόβλημα θα υποθέσουμε ότι τα μήκη των πλευρών είναι αντίστοιχα ίσα με αυθαίρετους αριθμούς a, b, c. Στη συνέχεια, για να απαντήσουμε στην προβληματική ερώτηση, ας βρούμε την περιοχήδίνεται τρίγωνο και, στη συνέχεια, βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερες. Η αναλογία των εμβαδών αυτών των τριγώνων θα μας δώσει την απάντηση στο πρόβλημα.

Παρακάτω παρέχουμε μια γραπτή εξήγηση της λύσης του προβλήματος βήμα προς βήμα. Ωστόσο, στο τέλος, αυτή η ίδια λύση παρουσιάζεται σε μια πιο βολική γραφική μορφή. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να κατεβούν άμεσα τις λύσεις.

Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Heron (δείτε παραπάνω στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος). Μοιάζει με αυτό:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πρώτη γραμμή της εικόνας παρακάτω)

Τα μήκη των πλευρών ενός αυθαίρετου τριγώνου καθορίζονται από τις μεταβλητές a, b, c.
Εάν οι πλευρές αυξηθούν κατά 4 φορές, τότε το εμβαδόν του νέου τριγώνου c θα είναι:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(δείτε τη δεύτερη γραμμή στην παρακάτω εικόνα)

Όπως μπορείτε να δείτε, το 4 είναι ένας κοινός παράγοντας που μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες και από τις τέσσερις εκφράσεις σύμφωνα με γενικοί κανόνεςμαθηματικά.
Επειτα

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - στην τρίτη γραμμή της εικόνας
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - τέταρτη γραμμή

Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 256 έχει εξαχθεί τέλεια, οπότε ας την βγάλουμε κάτω από τη ρίζα
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(δείτε την πέμπτη γραμμή της παρακάτω εικόνας)

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση που τέθηκε στο πρόβλημα, πρέπει απλώς να διαιρέσουμε την περιοχή του τριγώνου που προκύπτει με την περιοχή του αρχικού.
Ας προσδιορίσουμε τους λόγους εμβαδών διαιρώντας τις εκφράσεις μεταξύ τους και μειώνοντας το κλάσμα που προκύπτει.

Από την αντίθετη κορυφή) και διαιρέστε το γινόμενο που προκύπτει με το δύο. Αυτό μοιάζει με αυτό:

S = ½ * a * h,

Οπου:
S – εμβαδόν του τριγώνου,
a είναι το μήκος της πλευράς του,
h είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.

Το μήκος και το ύψος της πλευράς πρέπει να παρουσιάζονται στις ίδιες μονάδες μέτρησης. Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν του τριγώνου θα ληφθεί στις αντίστοιχες μονάδες "".

Παράδειγμα.
Στη μία πλευρά ενός τριγώνου σκαληνής μήκους 20 cm, μια κάθετη από την αντίθετη κορυφή μήκους 10 cm είναι χαμηλωμένη.
Απαιτείται το εμβαδόν του τριγώνου.
Λύση.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Εάν είναι γνωστά τα μήκη οποιωνδήποτε δύο πλευρών ενός τριγώνου κλίμακας και η μεταξύ τους γωνία, τότε χρησιμοποιήστε τον τύπο:

S = ½ * a * b * sinγ,

όπου: α, β είναι τα μήκη δύο αυθαίρετων πλευρών και γ η μεταξύ τους γωνία.

Στην πράξη, για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση οικόπεδα, η χρήση των παραπάνω τύπων είναι μερικές φορές δύσκολη, καθώς απαιτεί πρόσθετες κατασκευές και μετρήσεις γωνίας.

Εάν γνωρίζετε τα μήκη και των τριών πλευρών ενός τριγώνου κλίμακας, χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

α, β, γ – τα μήκη των πλευρών του τριγώνου,
p – ημιπερίμετρος: p = (a+b+c)/2.

Εάν, εκτός από τα μήκη όλων των πλευρών, είναι γνωστή η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο, τότε χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο συμπαγή τύπο:

όπου: r – ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου (ρ – ημιπερίμετρος).

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου κλίμακας και το μήκος των πλευρών του, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

όπου: R – ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εάν το μήκος μιας από τις πλευρές του τριγώνου και οι τρεις γωνίες είναι γνωστό (καταρχήν, δύο είναι αρκετές - η τιμή της τρίτης υπολογίζεται από την ισότητα του αθροίσματος των τριών γωνιών του τριγώνου - 180º), τότε χρησιμοποιήστε ο τύπος:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sina,

όπου α είναι η τιμή της γωνίας απέναντι από την πλευρά a.
β, γ – τιμές των υπόλοιπων δύο γωνιών του τριγώνου.

Η ανάγκη εύρεσης διαφόρων στοιχείων, συμπεριλαμβανομένης της περιοχής τρίγωνο, εμφανίστηκε πολλούς αιώνες π.Χ επιστήμονες αστρονόμους Αρχαία Ελλάδα. τετράγωνο τρίγωνομπορεί να υπολογιστεί διαφορετικοί τρόποιχρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους. Η μέθοδος υπολογισμού εξαρτάται από ποια στοιχεία τρίγωνογνωστός.

Οδηγίες

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές των δύο πλευρών b, c και τη γωνία που σχηματίζουν αυτές;, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = (bcsin?)/2.

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές δύο πλευρών a, b και τη γωνία που δεν σχηματίζουν αυτές;, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται ως εξής:
Βρίσκοντας τη γωνία;, αμαρτία; = bsin?/a, στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τον πίνακα για να προσδιορίσετε την ίδια τη γωνία.
Βρίσκοντας τη γωνία;, ? = 180°-?-?.
Βρίσκουμε την ίδια την περιοχή S = (absin;)/2.

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές μόνο τριών πλευρών τρίγωνοα, β και γ και μετά η περιοχή τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), όπου p είναι η ημιπερίμετρος p = (a+b+c)/2

Αν από τις προβληματικές συνθήκες γνωρίζουμε το ύψος τρίγωνο h και την πλευρά στην οποία έχει χαμηλώσει αυτό το ύψος, μετά την περιοχή τρίγωνο ABC σύμφωνα με τον τύπο:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Αν γνωρίζουμε τις έννοιες των πλευρών τρίγωνοα, β, γ και την ακτίνα που περιγράφεται σχετικά τρίγωνο R, τότε η περιοχή αυτού τρίγωνοΤο ABC καθορίζεται από τον τύπο:
S = abc/4R.
Αν είναι γνωστές τρεις πλευρές a, b, c και η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = pr, όπου p είναι η ημιπερίμετρος, p = (a+b+c)/2.

Αν το ABC είναι ισόπλευρο, τότε το εμβαδόν βρίσκεται με τον τύπο:
S = (a^2v3)/4.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, όπου c – τρίγωνο.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = ab/2, όπου τα a και b είναι σκέλη τρίγωνο.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = c^2/4 = a^2/2, όπου c είναι η υποτείνουσα τρίγωνο, a=b – πόδι.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Πηγές:

• πώς να μετρήσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου εάν η γωνία είναι γνωστή

Η γνώση μιας μόνο παραμέτρου (της γωνίας) δεν αρκεί για να βρεθεί η περιοχή τρε τετράγωνο . Εάν υπάρχουν πρόσθετες διαστάσεις, τότε για να προσδιορίσετε την περιοχή μπορείτε να επιλέξετε έναν από τους τύπους στους οποίους η τιμή της γωνίας χρησιμοποιείται επίσης ως μία από τις γνωστές μεταβλητές. Αρκετοί από τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους τύπους δίνονται παρακάτω.

Οδηγίες

Αν εκτός από το μέγεθος της γωνίας (γ) που σχηματίζουν οι δύο πλευρές τρε τετράγωνο , τα μήκη αυτών των πλευρών (Α και Β) είναι επίσης γνωστά, λοιπόν τετράγωνοΤο (S) ενός σχήματος μπορεί να οριστεί ως το μισό του γινόμενου των μηκών των πλευρών και του ημιτόνου αυτής της γνωστής γωνίας: S=½×A×B×sin(γ).