Cómo encontrar el máximo común múltiplo de dos números. Mínimo común múltiplo (MCM)

Consideremos resolver el siguiente problema. El paso del niño es de 75 cm y el de la niña es de 60 cm. Es necesario encontrar la distancia más pequeña a la que ambos dan un número entero de pasos.

Solución. Todo el camino que recorrerán los niños debe ser divisible entre 60 y 70, ya que cada uno debe dar un número entero de pasos. En otras palabras, la respuesta debe ser múltiplo de 75 y 60.

Primero, escribiremos todos los múltiplos del número 75. Obtenemos:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ahora anotamos los números que serán múltiplos de 60. Obtenemos:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ahora encontramos los números que están en ambas filas.

• Los múltiplos comunes de números serían 300, 600, etc.

El más pequeño de ellos es el número 300. Está en en este caso se llamará mínimo común múltiplo de 75 y 60.

Volviendo a la condición del problema, la distancia más pequeña a la que los chicos darán un número entero de pasos será de 300 cm. El niño recorrerá este camino en 4 pasos y la niña deberá dar 5 pasos.

Determinar el mínimo común múltiplo

• Mínimo común múltiplo de dos números naturales a y b es el número natural más pequeño que es múltiplo de a y b.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números, no es necesario anotar todos los múltiplos de estos números seguidos.

Puede utilizar el siguiente método.

Cómo encontrar el mínimo común múltiplo

Primero necesitas factorizar estos números en factores primos.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ahora anotemos todos los factores que están en la expansión del primer número (2,2,3,5) y sumemos todos los factores que faltan de la expansión del segundo número (5).

Como resultado, obtenemos una serie de números primos: 2,2,3,5,5. El producto de estos números será el mínimo común divisor de estos números. 2*2*3*5*5 = 300.

Esquema general para encontrar el mínimo común múltiplo.

• 1. Dividir números en factores primos.
• 2. Escribe los factores primos que forman parte de uno de ellos.
• 3. Sumar a estos factores todos los que están en la expansión de los demás, pero no en el seleccionado.
• 4. Encuentra el producto de todos los factores anotados.

Este método es universal. Se puede utilizar para encontrar el mínimo común múltiplo de cualquier número de números naturales.

Veamos tres formas de encontrar el mínimo común múltiplo.

Hallar por factorización

El primer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo factorizando los números dados en factores primos.

Digamos que necesitamos encontrar el MCM de los números: 99, 30 y 28. Para hacer esto, factoricemos cada uno de estos números en factores primos:

Para que el número deseado sea divisible entre 99, 30 y 28, es necesario y suficiente que incluya todos los factores primos de estos divisores. Para hacer esto, necesitamos llevar todos los factores primos de estos números a la mayor potencia posible y multiplicarlos entre sí:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Por lo tanto, MCM (99, 30, 28) = 13,860 ningún otro número menor que 13,860 es divisible por 99, 30 o 28.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de números dados, los factorizas en sus factores primos, luego tomas cada factor primo con el exponente más grande en el que aparece y multiplicas esos factores.

Como los números primos relativos no tienen factores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números. Por ejemplo, tres números: 20, 49 y 33 son primos relativos. Es por eso

MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Se debe hacer lo mismo al encontrar el mínimo común múltiplo de varios números primos. Por ejemplo, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Encontrar por selección

El segundo método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo mediante selección.

Ejemplo 1. Cuando el mayor de los números dados se divide por otro número dado, entonces el MCM de estos números es igual al mayor de ellos. Por ejemplo, dados cuatro números: 60, 30, 10 y 6. Cada uno de ellos es divisible por 60, por lo tanto:

MCM(60, 30, 10, 6) = 60

En otros casos, para encontrar el mínimo común múltiplo se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determina el número más grande de los números dados.
2. A continuación, encontramos los números que son múltiplos del número mayor multiplicándolo por números naturales en orden creciente y comprobando si el producto resultante es divisible por los números dados restantes.

Ejemplo 2. Dados tres números 24, 3 y 18. Determinamos el mayor de ellos: este es el número 24. A continuación, encontramos los números que son múltiplos de 24, verificando si cada uno de ellos es divisible por 18 y 3:

24 · 1 = 24 - divisible por 3, pero no divisible por 18.

24 · 2 = 48 - divisible por 3, pero no divisible por 18.

24 · 3 = 72 - divisible por 3 y 18.

Por tanto, MCM (24, 3, 18) = 72.

Encontrar encontrando secuencialmente el MCM

El tercer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo encontrando secuencialmente el MCM.

El MCM de dos números dados es igual al producto de estos números dividido por su mayor común divisor.

Ejemplo 1. Encuentra el MCM de dos números dados: 12 y 8. Determina su máximo común divisor: MCD (12, 8) = 4. Multiplica estos números:

Dividimos el producto por su mcd:

Por tanto, MCM (12, 8) = 24.

Para encontrar el MCM de tres o más números, utilice el siguiente procedimiento:

1. Primero, encuentre el MCM de dos de estos números.
2. Luego, MCM del mínimo común múltiplo encontrado y el tercer número dado.
3. Luego, el MCM del mínimo común múltiplo resultante y el cuarto número, etc.
4. Así, la búsqueda del LCM continúa mientras haya números.

Ejemplo 2. Encontremos el MCM de tres números dados: 12, 8 y 9. Ya encontramos el MCM de los números 12 y 8 en el ejemplo anterior (este es el número 24). Queda por encontrar el mínimo común múltiplo del número 24 y el tercer número dado: 9. Determinar su máximo común divisor: MCD (24, 9) = 3. Multiplicar el MCM por el número 9:

Dividimos el producto por su mcd:

Por tanto, MCM (12, 8, 9) = 72.

El mínimo común múltiplo de dos números está directamente relacionado con el máximo común divisor de esos números. Este conexión entre GCD y NOC está determinada por el siguiente teorema.

Teorema.

El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es igual al producto de a y b dividido por el máximo común divisor de a y b, es decir, MCM(a, b)=a b:MCD(a, b).

Prueba.

Dejar M es algún múltiplo de los números a y b. Es decir, M es divisible por a, y según la definición de divisibilidad, existe algún número entero k tal que la igualdad M=a·k es verdadera. Pero M también es divisible por b, entonces a·k es divisible por b.

Denotemos mcd(a, b) como d. Entonces podemos escribir las igualdades a=a 1 ·d y b=b 1 ·d, y a 1 =a:d y b 1 =b:d serán números primos relativos. En consecuencia, la condición obtenida en el párrafo anterior de que a · k es divisible por b se puede reformular de la siguiente manera: a 1 · d · k se divide entre b 1 · d , y esto, por propiedades de divisibilidad, equivale a la condición que a 1 · k es divisible por b 1 .

También es necesario escribir dos corolarios importantes del teorema considerado.

Los múltiplos comunes de dos números son iguales que los múltiplos de su mínimo común múltiplo.

De hecho, este es el caso, ya que cualquier múltiplo común de M de los números a y b está determinado por la igualdad M=LMK(a, b)·t para algún valor entero t.

Mínimo común múltiplo de coprime numeros positivos a y b son iguales a su producto.

La razón de este hecho es bastante obvia. Dado que a y b son primos relativos, entonces mcd(a, b)=1, por lo tanto, MCD(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.

Mínimo común múltiplo de tres o más números

Encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el MCM de dos números. Cómo se hace esto se indica en el siguiente teorema a 1 , a 2 , …, a k coinciden con los múltiplos comunes de los números m k-1 y a k , por tanto, coinciden con los múltiplos comunes del número m k . Y dado que el múltiplo positivo más pequeño del número m k es el número m k en sí, entonces el múltiplo común más pequeño de los números a 1, a 2, ..., a k es m k.

Bibliografía.

• Vilenkin N.Ya. y otros. 6to grado: libro de texto para instituciones de educación general.
• Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
• Mikhelovich Sh.H. Teoría de los números.
• Kulikov L.Ya. y otros. Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Tutorial para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de institutos pedagógicos.

Máximo común divisor

Definición 2

Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$ y $a$ se llama múltiplo de $b$.

Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto de $a$ como de $b$.

El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto significa que entre estos divisores hay uno más grande, que se llama máximo común divisor de los números $a$ y $b$ y se denota con la siguiente notación:

$MCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$

Para encontrar el máximo común divisor de dos números necesitas:

1. Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

Ejemplo 1

Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Elige los números que se incluyen en la expansión de estos números.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$MCD=2\cdot 11=22$

Ejemplo 2

Encuentra el mcd de los monomios $63$ y $81$.

Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto:

Factoricemos los números en factores primos.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Encontremos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$MCD=3\cdot 3=9$

Puedes encontrar el mcd de dos números de otra manera, usando un conjunto de divisores de números.

Ejemplo 3

Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.

Solución:

Encontremos el conjunto de divisores del número $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ahora encontremos el conjunto de divisores del número $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 $. Elemento más grande en conjunto dado el número será $12$. Esto significa que el máximo común divisor de los números $48$ y $60$ es $12$.

Definición de morosidad

Definición 3

Múltiplos comunes de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.

Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por los números originales sin resto. Por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.

El múltiplo común más pequeño se llamará mínimo común múltiplo y se denotará LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:

1. Factorizar números en factores primos
2. Escribe los factores que forman parte del primer número y súmales los factores que forman parte del segundo y no forman parte del primero.

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.

Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto

Factorizar números en factores primos

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Anota los factores incluidos en el primero.

agregarles multiplicadores que sean parte del segundo y no del primero

Encuentre el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilar listas de divisores de números suele ser una tarea que requiere mucha mano de obra. Hay una manera de encontrar MCD llamada algoritmo euclidiano.

Afirmaciones en las que se basa el algoritmo euclidiano:

Si $a$ y $b$ son números naturales y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$

Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reducir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tales que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.

Propiedades de GCD y LCM

1. Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
2. Si $a\vdots b$ , entonces К$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ y $m$ es un número natural, entonces K$(am;bm)=km$

Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es el múltiplo común de $a$ y $b$

Para cualquier número natural $a$ y $b$ se cumple la igualdad

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Cualquier divisor común de los números $a$ y $b$ es divisor del número $D(a;b)$

Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.

Por ejemplo:

El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de numeros. Divisor de un número natural a- es un número natural que divide a un número dado a sin dejar rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto .

Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12. El divisor común de estos dos números a Y b- este es el número por el cual se dividen ambos números dados sin resto a Y b.

Múltiplos comunes varios números es un número que es divisible por cada uno de estos números. Por ejemplo, los números 9, 18 y 45 tienen un múltiplo común de 180. Pero 90 y 360 también son sus múltiplos comunes. Entre todos los múltiplos comunes siempre hay uno más pequeño, en este caso es 90. Este número se llama el mas pequeñomúltiplo común (MMC).

El MCM es siempre un número natural que debe ser mayor que el mayor de los números para los que está definido.

Mínimo común múltiplo (MCM). Propiedades.

Conmutatividad:

Asociatividad:

En particular, si y son números coprimos, entonces:

Mínimo común múltiplo de dos números enteros metro Y norte es divisor de todos los demás múltiplos comunes metro Y norte. Además, el conjunto de múltiplos comunes metro, norte coincide con el conjunto de múltiplos del MCM( metro, norte).

Las asintóticas para se pueden expresar en términos de algunas funciones de teoría de números.

Entonces, función de Chebyshev. Y:

Esto se desprende de la definición y propiedades de la función Landau. g(n).

Lo que se sigue de la ley de distribución de números primos.

Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM).

NOC( a, b) se puede calcular de varias maneras:

1. Si se conoce el máximo común divisor, se puede utilizar su conexión con el MCM:

2. Conozcamos la descomposición canónica de ambos números en factores primos:

Dónde p 1 ,...,p k- varios números primos, y re 1 ,..., re k Y mi 1 ,...,e k— números enteros no negativos (pueden ser ceros si el primo correspondiente no está en la expansión).

Entonces NOC ( a,b) se calcula mediante la fórmula:

En otras palabras, la descomposición MCM contiene todos los factores primos incluidos en al menos una de las descomposiciones de números. a, b, y se toma el mayor de los dos exponentes de este factor.

Ejemplo:

El cálculo del mínimo común múltiplo de varios números se puede reducir a varios cálculos secuenciales del MCM de dos números:

Regla. Para encontrar el MCM de una serie de números, necesitas:

- descomponer números en factores primos;

- transferir la expansión más grande (el producto de los factores del producto deseado) a los factores del producto deseado gran número de los dados), y luego sumar factores de la expansión de otros números que no aparecen en el primer número o están en él número más pequeño una vez;

— el producto resultante de factores primos será el MCM de los números dados.

Dos o más números naturales cualesquiera tienen su propio MCM. Si los números no son múltiplos entre sí o no tienen los mismos factores en la expansión, entonces su MCM es igual al producto de estos números.

Los factores primos del número 28 (2, 2, 7) se complementan con un factor de 3 (el número 21), el producto resultante (84) será el número más pequeño que sea divisible entre 21 y 28.

Los factores primos del número mayor 30 se complementan con el factor 5 del número 25, el producto resultante 150 es mayor que el número mayor 30 y es divisible por todos los números dados sin resto. Este es el producto más pequeño posible (150, 250, 300...) que es múltiplo de todos los números dados.

Los números 2,3,11,37 son números primos, por lo que su MCM es igual al producto de los números dados.

Regla. Para calcular el MCM de números primos, debes multiplicar todos estos números.

Otra opción:

Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de varios números necesitas:

1) representar cada número como producto de sus factores primos, por ejemplo:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) escribe las potencias de todos los factores primos:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) escriba todos los divisores primos (multiplicadores) de cada uno de estos números;

4) elegir el mayor grado de cada uno de ellos, que se encuentra en todas las expansiones de estos números;

5) multiplicar estos poderes.

Ejemplo. Encuentra el MCM de los números: 168, 180 y 3024.

Solución. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Anotamos las potencias mayores de todos los divisores primos y las multiplicamos:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.