Sumar múltiples fracciones con diferentes denominadores. Operaciones con fracciones
§ 87. Suma de fracciones.
Sumar fracciones tiene muchas similitudes con sumar números enteros. La suma de fracciones es una acción que consiste en combinar varios números (términos) dados en un número (suma), que contiene todas las unidades y fracciones de las unidades de los términos.
Consideraremos tres casos secuencialmente:
1. Sumar fracciones con mismos denominadores.
2. Suma de fracciones con diferentes denominadores.
3. Suma de números mixtos.
1. Suma de fracciones con igual denominador.
Considere un ejemplo: 1/5 + 2/5.
Tomemos el segmento AB (Fig.17), lo tomamos como uno y lo dividimos en 5 partes iguales, entonces la parte AC de este segmento será igual a 1/5 del segmento AB, y la parte del mismo segmento CD será igual a 2/5AB.
Del dibujo se ve que si tomamos el segmento AD, será igual a 3/5 AB; pero el segmento AD es precisamente la suma de los segmentos AC y CD. Entonces podemos escribir:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando estos términos y la suma resultante, vemos que el numerador de la suma se obtuvo sumando los numeradores de los términos, y el denominador permaneció sin cambios.
De esto obtenemos la siguiente regla: Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el mismo denominador.
Veamos un ejemplo:
2. Suma de fracciones con distintos denominadores.
Sumemos las fracciones: 3/4 + 3/8 Primero hay que reducirlas al mínimo común denominador:
No se pudo escribir el enlace intermedio 6/8 + 3/8; lo hemos escrito aquí para mayor claridad.
Por lo tanto, para sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes reducirlas al mínimo común denominador, sumar sus numeradores y etiquetar el denominador común.
Consideremos un ejemplo (escribiremos factores adicionales encima de las fracciones correspondientes):
3. Suma de números mixtos.
Sumemos los números: 2 3/8 + 3 5/6.
Primero llevemos las partes fraccionarias de nuestros números a un denominador común y reescribámoslas nuevamente:
Ahora sumamos las partes enteras y fraccionarias de forma secuencial:
§ 88. Resta de fracciones.
La resta de fracciones se define de la misma manera que la resta de números enteros. Se trata de una acción mediante la cual, dada la suma de dos términos y uno de ellos, se encuentra otro término. Consideremos tres casos sucesivamente:
1. Restar fracciones con denominadores iguales.
2. Restar fracciones con distintos denominadores.
3. Resta de números mixtos.
1. Restar fracciones con denominadores iguales.
Veamos un ejemplo:
13 / 15 - 4 / 15
Tomemos el segmento AB (Fig. 18), tomémoslo como una unidad y dividámoslo en 15 partes iguales; entonces la parte AC de este segmento representará 1/15 de AB, y la parte AD del mismo segmento corresponderá a 13/15 AB. Apartamos otro segmento ED igual a 4/15 AB.
Necesitamos restar la fracción 4/15 de 13/15. En el dibujo, esto significa que el segmento ED debe restarse del segmento AD. Como resultado, quedará el segmento AE, que es 9/15 del segmento AB. Entonces podemos escribir:
El ejemplo que hicimos muestra que el numerador de la diferencia se obtuvo restando los numeradores, pero el denominador siguió siendo el mismo.
Por lo tanto, para restar fracciones con denominadores iguales, debes restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y dejar el mismo denominador.
2. Restar fracciones con distintos denominadores.
Ejemplo. 3/4 - 5/8
Primero, reduzcamos estas fracciones al mínimo común denominador:
El intermedio 6/8 - 5/8 está escrito aquí para mayor claridad, pero puede omitirse más adelante.
Por lo tanto, para restar una fracción de una fracción, primero debes reducirlas al mínimo común denominador, luego restar el numerador del minuendo del numerador del minuendo y firmar el denominador común debajo de su diferencia.
Veamos un ejemplo:
3. Resta de números mixtos.
Ejemplo. 10 3/4 - 7 2/3.
Reduzcamos las partes fraccionarias del minuendo y sustraendo al mínimo común denominador:
Restamos un entero de un entero y una fracción de una fracción. Pero hay casos en los que la parte fraccionaria de lo que se resta es mayor que la parte fraccionaria de lo que se reduce. En tales casos, es necesario tomar una unidad de la parte entera del minuendo, dividirla en aquellas partes en las que se expresa la parte fraccionaria y agregarla a la parte fraccionaria del minuendo. Y luego la resta se realizará de la misma forma que en el ejemplo anterior:
§ 89. Multiplicación de fracciones.
Al estudiar la multiplicación de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
2. Encontrar la fracción de un número dado.
3. Multiplicar un número entero por una fracción.
4. Multiplicar una fracción por una fracción.
5. Multiplicación de números mixtos.
6. El concepto de interés.
7. Encontrar el porcentaje de un número determinado. Considerémoslos secuencialmente.
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
Multiplicar una fracción por un número entero tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por un número entero. Multiplicar una fracción (multiplicando) por un número entero (factor) significa crear una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicando.
Esto significa que si necesitas multiplicar 1/9 por 7, puedes hacerlo así:
Obtuvimos fácilmente el resultado, ya que la acción se redujo a sumar fracciones con los mismos denominadores. Por eso,
La consideración de esta acción muestra que multiplicar una fracción por un número entero equivale a aumentar esta fracción tantas veces como unidades hay en el número entero. Y como aumentar una fracción se consigue aumentando su numerador
o reduciendo su denominador 
, entonces podemos multiplicar el numerador por un número entero o dividir el denominador por él, si dicha división es posible.
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar una fracción por un número entero, multiplicas el numerador por ese número entero y dejas el denominador igual o, si es posible, divides el denominador por ese número, dejando el numerador sin cambios.
Al multiplicar, son posibles abreviaturas, por ejemplo:
2. Encontrar la fracción de un número dado. Hay muchos problemas en los que hay que encontrar o calcular parte de un número determinado. La diferencia entre estos problemas de otros es que dan el número de algunos objetos o unidades de medida y es necesario encontrar una parte de este número, que aquí también se indica mediante una determinada fracción. Para facilitar la comprensión, primero daremos ejemplos de dichos problemas y luego presentaremos un método para resolverlos.
Tarea 1. Yo tenía 60 rublos; Gasté 1/3 de este dinero en comprar libros. ¿Cuánto costaron los libros?
Tarea 2. El tren debe recorrer una distancia entre las ciudades A y B igual a 300 km. Ya ha recorrido 2/3 de esta distancia. ¿Cuántos kilómetros es esto?
Tarea 3. Hay 400 casas en el pueblo, 3/4 de ellas son de ladrillo y el resto de madera. cuanto en total casas de ladrillo?
Estos son algunos de los muchos problemas que encontramos para encontrar una parte de un número determinado. Suelen denominarse problemas para encontrar la fracción de un número determinado.
Solución al problema 1. Desde 60 frotar. Gasté 1/3 en libros; Esto significa que para encontrar el costo de los libros necesitas dividir el número 60 entre 3:
Resolviendo el problema 2. El quid del problema es que necesitas encontrar 2/3 de 300 km. Primero calculemos 1/3 de 300; esto se consigue dividiendo 300 km entre 3:
300: 3 = 100 (eso es 1/3 de 300).
Para encontrar dos tercios de 300, debes duplicar el cociente resultante, es decir, multiplicar por 2:
100 x 2 = 200 (eso es 2/3 de 300).
Resolviendo el problema 3. Aquí necesitas determinar la cantidad de casas de ladrillo que componen 3/4 de 400. Primero encontremos 1/4 de 400,
400: 4 = 100 (eso es 1/4 de 400).
Para calcular tres cuartos de 400, hay que triplicar el cociente resultante, es decir, multiplicarlo por 3:
100 x 3 = 300 (eso es 3/4 de 400).
De la solución a estos problemas podemos derivar la siguiente regla:
Para encontrar el valor de una fracción de un número dado, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el cociente resultante por su numerador.
3. Multiplicar un número entero por una fracción.
Anteriormente (§ 26) se estableció que la multiplicación de números enteros debe entenderse como la suma de términos idénticos (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). En este párrafo (punto 1) se estableció que multiplicar una fracción por un número entero significa encontrar la suma de términos idénticos iguales a esta fracción.
En ambos casos, la multiplicación consistió en encontrar la suma de términos idénticos.
Ahora pasamos a multiplicar un número entero por una fracción. Aquí nos encontraremos, por ejemplo, con la multiplicación: 9 2/3. Está claro que la definición anterior de multiplicación no se aplica a este caso. Esto es evidente por el hecho de que no podemos reemplazar dicha multiplicación sumando números iguales.
Debido a esto, tendremos que dar una nueva definición de multiplicación, es decir, en otras palabras, responder a la pregunta de qué se debe entender por multiplicación por una fracción, cómo se debe entender esta acción.
El significado de multiplicar un número entero por una fracción queda claro a partir de la siguiente definición: multiplicar un número entero (multiplicando) por una fracción (multiplicando) significa encontrar esta fracción del multiplicando.
Es decir, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nueve unidades. En el párrafo anterior se resolvieron tales problemas; entonces es fácil saber que terminaremos con 6.
Pero ahora surge una pregunta interesante e importante: ¿por qué tales varias acciones¿Cómo es encontrar la suma de números iguales y encontrar la fracción de un número llamado con la misma palabra “multiplicación” en aritmética?
Esto sucede porque la acción anterior (repetir el número con términos varias veces) y la nueva acción (encontrar la fracción del número) dan respuestas a preguntas homogéneas. Esto significa que partimos aquí de la consideración de que cuestiones o tareas homogéneas se resuelven con la misma acción.
Para entender esto, consideremos el siguiente problema: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 4 m de esa tela?
Este problema se resuelve multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (4), es decir, 50 x 4 = 200 (rublos).
Tomemos el mismo problema, pero en él la cantidad de tela se expresará como una fracción: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 3/4 m de esa tela?
Este problema también debe resolverse multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (3/4).
Puede cambiar los números varias veces más sin cambiar el significado del problema, por ejemplo, tomar 9/10 mo 2 3/10 m, etc.
Dado que estos problemas tienen el mismo contenido y difieren solo en números, llamamos a las acciones utilizadas para resolverlos la misma palabra: multiplicación.
¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción?
Tomemos los números encontrados en el último problema:
Según la definición, debemos encontrar 3/4 de 50. Primero encontremos 1/4 de 50 y luego 3/4.
1/4 de 50 es 50/4;
3/4 del número 50 es .
Por eso.
Consideremos otro ejemplo: 12 5 / 8 =?
1/8 del número 12 es 12/8,
5/8 del número 12 es .
Por eso,
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar un número entero por una fracción, debes multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de esta fracción como denominador.
Escribamos esta regla usando letras:
Para que esta regla quede completamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para multiplicar un número por un cociente, que se establece en el § 38.
Es importante recordar que antes de realizar la multiplicación, debes hacer (si es posible) reducciones, Por ejemplo:
4. Multiplicar una fracción por una fracción. Multiplicar una fracción por una fracción tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por una fracción, es decir, al multiplicar una fracción por una fracción, necesitas encontrar la fracción en el factor de la primera fracción (el multiplicando).
Es decir, multiplicar 3/4 por 1/2 (la mitad) significa encontrar la mitad de 3/4.
¿Cómo se multiplica una fracción por una fracción?
Pongamos un ejemplo: 3/4 multiplicado por 5/7. Esto significa que necesitas encontrar 5/7 de 3/4. Primero encontremos 1/7 de 3/4 y luego 5/7.
1/7 del número 3/4 se expresará de la siguiente manera:
5/7 números 3/4 se expresarán de la siguiente manera:
De este modo,
Otro ejemplo: 5/8 multiplicado por 4/9.
1/9 de 5/8 es ,
4/9 del número 5/8 es .
De este modo, 
De estos ejemplos se puede deducir la siguiente regla:
Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador, y convertir el primer producto en el numerador y el segundo en el denominador del producto.
Esta es la regla en vista general se puede escribir así:
Al multiplicar, es necesario hacer (si es posible) reducciones. Veamos ejemplos:
5. Multiplicación de números mixtos. Dado que los números mixtos pueden sustituirse fácilmente por fracciones impropias, esta circunstancia se suele utilizar al multiplicar números mixtos. Esto significa que en los casos en que el multiplicando, o el multiplicador, o ambos factores se expresan como números mixtos, se reemplazan por fracciones impropias. Multipliquemos, por ejemplo, números mixtos: 2 1/2 y 3 1/5. Convirtamos cada uno de ellos en una fracción impropia y luego multipliquemos las fracciones resultantes de acuerdo con la regla para multiplicar una fracción por una fracción:
Regla. Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicarlos según la regla para multiplicar fracciones por fracciones.
Nota. Si uno de los factores es un número entero, entonces la multiplicación se puede realizar según la ley de distribución de la siguiente manera:
6. El concepto de interés. Al resolver problemas y realizar diversos cálculos prácticos, utilizamos todo tipo de fracciones. Pero hay que tener en cuenta que muchas cantidades no permiten divisiones cualquiera, sino naturales. Por ejemplo, puede tomar una centésima (1/100) de rublo, será un kopeck, dos centésimas son 2 kopeks, tres centésimas son 3 kopeks. Puedes tomar 1/10 de rublo, serán "10 kopeks, o una pieza de diez kopeks. Puedes tomar un cuarto de rublo, es decir, 25 kopeks, medio rublo, es decir, 50 kopeks (cincuenta kopeks). Pero prácticamente no aceptan, por ejemplo, 2/7 de rublo porque el rublo no se divide en séptimos.
La unidad de peso, es decir, el kilogramo, permite principalmente divisiones decimales, por ejemplo 1/10 kg o 100 g. Y fracciones de kilogramo como 1/6, 1/11, 1/13 no son comunes.
En general, nuestras medidas (métricas) son decimales y permiten divisiones decimales.
Sin embargo, cabe señalar que es extremadamente útil y conveniente en una amplia variedad de casos utilizar el mismo método (uniforme) para subdividir cantidades. Muchos años de experiencia han demostrado que una división tan justificada es la "centésima". Consideremos varios ejemplos relacionados con las más diversas áreas de la práctica humana.
1. El precio de los libros ha disminuido un 12/100 del precio anterior.
Ejemplo. El precio anterior del libro era de 10 rublos. Disminuyó en 1 rublo. 20 kopeks
2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes 2/100 del monto depositado para ahorros durante el año.
Ejemplo. Se depositan 500 rublos en la caja registradora, el ingreso de esta cantidad para el año es de 10 rublos.
3. El número de graduados de una escuela fue 5/100 del número total de estudiantes.
EJEMPLO En la escuela sólo había 1.200 estudiantes, de los cuales 60 se graduaron.
La centésima parte de un número se llama porcentaje..
La palabra "porcentaje" proviene de latín y su raíz "cent" significa cien. Junto con la preposición (pro centum), esta palabra significa "por cien". El significado de tal expresión se deriva del hecho de que inicialmente en antigua roma El interés era el dinero que el deudor pagaba al prestamista “por cada cien”. La palabra "cent" se escucha en palabras tan familiares: centner (cien kilogramos), centímetro (digamos centímetro).
Por ejemplo, en lugar de decir que durante el mes pasado la planta produjo 1/100 de todos los productos producidos por ella eran defectuosos, diremos esto: durante el mes pasado la planta produjo el uno por ciento de los defectos. En lugar de decir: la planta produjo 4/100 productos más que el plan establecido, diremos: la planta superó el plan en un 4 por ciento.
Los ejemplos anteriores se pueden expresar de manera diferente:
1. El precio de los libros ha disminuido un 12 por ciento respecto al precio anterior.
2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes un 2 por ciento anual sobre el monto depositado en ahorros.
3. El número de graduados de una escuela fue el 5 por ciento de todos los estudiantes de la escuela.
Para acortar la letra, se acostumbra escribir el símbolo % en lugar de la palabra “porcentaje”.
Sin embargo, es necesario recordar que en los cálculos el signo % generalmente no se escribe; puede escribirse en el enunciado del problema y en el resultado final. Al realizar cálculos, es necesario escribir una fracción con un denominador de 100 en lugar de un número entero con este símbolo.
Necesitas poder reemplazar un número entero con el ícono indicado por una fracción con denominador 100:
Por el contrario, debes acostumbrarte a escribir un número entero con el símbolo indicado en lugar de una fracción con un denominador de 100:
7. Encontrar el porcentaje de un número determinado.
Tarea 1. La escuela recibió 200 metros cúbicos. m de leña, representando el 30% la leña de abedul. ¿Cuánta leña de abedul había?
El significado de este problema es que la leña de abedul constituía sólo una parte de la leña que se entregaba a la escuela, y esta parte se expresa en la fracción 30/100. Esto significa que tenemos la tarea de encontrar una fracción de un número. Para resolverlo debemos multiplicar 200 por 30/100 (los problemas de encontrar la fracción de un número se resuelven multiplicando el número por la fracción).
Esto significa que el 30% de 200 es igual a 60.
La fracción 30/100 encontrada en este problema se puede reducir en 10. Esta reducción sería posible hacer desde el principio; la solución al problema no habría cambiado.
Tarea 2. En el campamento había 300 niños de distintas edades. Los niños de 11 años representaron el 21%, los niños de 12 años representaron el 61% y finalmente los niños de 13 años representaron el 18%. ¿Cuántos niños de cada edad había en el campamento?
En este problema es necesario realizar tres cálculos, es decir, encontrar secuencialmente el número de niños de 11 años, luego de 12 años y finalmente de 13 años.
Esto significa que aquí necesitarás encontrar la fracción del número tres veces. Vamos a hacerlo:
1) ¿Cuántos niños de 11 años había?
2) ¿Cuántos niños de 12 años había?
3) ¿Cuántos niños de 13 años había?
Después de resolver el problema, es útil sumar los números encontrados; su suma debe ser 300:
63 + 183 + 54 = 300
También cabe señalar que la suma de los porcentajes dados en el planteamiento del problema es 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Esto sugiere que numero total Los niños en el campamento fueron tomados al 100%.
3 a d a h a 3. El trabajador recibía 1.200 rublos al mes. De esta cantidad, gastó el 65% en comida, el 6% en apartamentos y calefacción, el 4% en gas, electricidad y radio, el 10% en necesidades culturales y el 15% en ahorros. ¿Cuánto dinero se gastó en las necesidades indicadas en el problema?
Para resolver este problema necesitas encontrar la fracción de 1200 5 veces.
1) ¿Cuánto dinero se gastó en comida? El problema dice que este gasto es el 65% de los ingresos totales, es decir, el 65/100 del número 1.200.
2) ¿Cuánto dinero pagaste por un apartamento con calefacción? Razonando de manera similar al anterior, llegamos al siguiente cálculo:
3) ¿Cuánto dinero pagaste por el gas, la electricidad y la radio?
4) ¿Cuánto dinero se gastó en necesidades culturales?
5) ¿Cuánto dinero ahorró el trabajador?
Para comprobarlo, es útil sumar los números que se encuentran en estas 5 preguntas. La cantidad debe ser de 1200 rublos. Todas las ganancias se toman como 100%, lo cual es fácil de verificar sumando los porcentajes indicados en el enunciado del problema.
Resolvimos tres problemas. A pesar de que estas tareas se referían a varias cosas(entrega de leña para la escuela, número de niños de diferentes edades, gastos del trabajador), se resolvieron de la misma manera. Esto sucedió porque en todos los problemas era necesario encontrar varios porcentajes de los números dados.
§ 90. División de fracciones.
Mientras estudiamos la división de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Dividir un número entero por un número entero.
2. Dividir una fracción por un número entero
3. Dividir un número entero por una fracción.
4. Dividir una fracción por una fracción.
5. División de números mixtos.
6. Encontrar un número a partir de su fracción dada.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
Considerémoslos secuencialmente.
1. Dividir un número entero por un número entero.
Como se indicó en el departamento de números enteros, la división es la acción que consiste en que dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de estos factores (divisor), se encuentra otro factor.
Vimos cómo dividir un número entero entre un número entero en la sección sobre números enteros. Allí encontramos dos casos de división: división sin resto, o “enteramente” (150: 10 = 15), y división con resto (100: 9 = 11 y 1 resto). Por tanto, podemos decir que en el campo de los números enteros la división exacta no siempre es posible, porque el dividendo no siempre es el producto del divisor por el número entero. Después de introducir la multiplicación por una fracción, podemos considerar posible cualquier caso de división de números enteros (solo se excluye la división por cero).
Por ejemplo, dividir 7 entre 12 significa encontrar un número cuyo producto por 12 sería igual a 7. Tal número es la fracción 7/12 porque 7/12 12 = 7. Otro ejemplo: 14: 25 = 14 / 25, porque 14 / 25 25 = 14.
Por lo tanto, para dividir un número entero entre un número entero, es necesario crear una fracción cuyo numerador sea igual al dividendo y el denominador sea igual al divisor.
2. Dividir una fracción por un número entero.
Divide la fracción 6/7 entre 3. Según la definición de división dada anteriormente, tenemos aquí el producto (6/7) y uno de los factores (3); se requiere encontrar un segundo factor que, multiplicado por 3, dé el producto dado 6/7. Evidentemente, debería ser tres veces más pequeño que este producto. Esto significa que la tarea que teníamos ante nosotros era reducir la fracción 6/7 en 3 veces.
Ya sabemos que la reducción de una fracción se puede hacer disminuyendo su numerador o aumentando su denominador. Por lo tanto puedes escribir:
EN en este caso El numerador de 6 es divisible por 3, por lo que el numerador debe dividirse por la mitad.
Tomemos otro ejemplo: 5/8 dividido por 2. Aquí el numerador 5 no es divisible por 2, lo que significa que habrá que multiplicar el denominador por este número:
En base a esto se puede formular una regla: Para dividir una fracción por un número entero, debes dividir el numerador de la fracción por ese número entero.(si es posible), dejando el mismo denominador, o multiplicar el denominador de la fracción por este número, dejando el mismo numerador.
3. Dividir un número entero por una fracción.
Sea necesario dividir 5 por 1/2, es decir, encontrar un número que, multiplicado por 1/2, dé el producto 5. Evidentemente, este número debe ser mayor que 5, ya que 1/2 es una fracción propia. , y al multiplicar un número el producto de una fracción propia debe ser menor que el producto que se multiplica. Para que esto quede más claro, escribamos nuestras acciones de la siguiente manera: 5: 1 / 2 = X , lo que significa x 1/2 = 5.
Debemos encontrar tal número. X , que, si se multiplica por 1/2, daría 5. Dado que multiplicar un determinado número por 1/2 significa encontrar la mitad de este número, entonces, por lo tanto, la mitad del número desconocido X es igual a 5 y el numero entero X el doble, es decir, 5 2 = 10.
Entonces 5: 1/2 = 5 2 = 10
Vamos a revisar: 
Veamos otro ejemplo. Digamos que quieres dividir 6 entre 2/3. Primero intentemos encontrar el resultado deseado usando el dibujo (Fig. 19).
Fig.19
Dibujemos un segmento AB igual a 6 unidades y dividamos cada unidad en 3 partes iguales. En cada unidad, tres tercios (3/3) de todo el segmento AB son 6 veces más grandes, es decir 18/3. Usando pequeños corchetes, conectamos los 18 segmentos resultantes de 2; Sólo habrá 9 segmentos. Esto significa que la fracción 2/3 está contenida en 6 unidades 9 veces, o, en otras palabras, la fracción 2/3 es 9 veces menor que 6 unidades enteras. Por eso,
¿Cómo obtener este resultado sin un dibujo utilizando únicamente cálculos? Razonemos así: necesitamos dividir 6 entre 2/3, es decir, debemos responder a la pregunta de cuántas veces 2/3 está contenido en 6. Averigüemos primero: ¿cuántas veces 1/3 está contenido en 6? En una unidad entera hay 3 tercios, y en 6 unidades hay 6 veces más, es decir, 18 tercios; para encontrar este número debemos multiplicar 6 por 3. Esto significa que 1/3 está contenido en b unidades 18 veces, y 2/3 está contenido en b unidades no 18 veces, sino la mitad de veces, es decir, 18: 2 = 9 Por tanto, al dividir 6 entre 2/3 hicimos lo siguiente:
De aquí obtenemos la regla para dividir un número entero por una fracción. Para dividir un número entero por una fracción, debes multiplicar este número entero por el denominador de la fracción dada y, haciendo de este producto el numerador, dividirlo por el numerador de la fracción dada.
Escribamos la regla usando letras:
Para que esta regla quede completamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para dividir un número por un cociente, que se establece en el § 38. Tenga en cuenta que allí se obtuvo la misma fórmula.
Al dividir, son posibles abreviaturas, por ejemplo:
4. Dividir una fracción por una fracción.
Digamos que necesitamos dividir 3/4 entre 3/8. ¿Qué significará el número que resulta de la división? Responderá a la pregunta cuántas veces la fracción 3/8 está contenida en la fracción 3/4. Para entender este problema, hagamos un dibujo (Fig. 20).
Tomemos un segmento AB, lo tomamos como uno, lo dividimos en 4 partes iguales y marcamos 3 de esas partes. El segmento AC será igual a 3/4 del segmento AB. Dividamos ahora cada uno de los cuatro segmentos originales por la mitad, luego el segmento AB se dividirá en 8 partes iguales y cada una de esas partes será igual a 1/8 del segmento AB. Conectemos 3 de esos segmentos con arcos, entonces cada uno de los segmentos AD y DC será igual a 3/8 del segmento AB. El dibujo muestra que un segmento igual a 3/8 está contenido en un segmento igual a 3/4 exactamente 2 veces; Esto significa que el resultado de la división se puede escribir de la siguiente manera:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Veamos otro ejemplo. Digamos que necesitamos dividir 15/16 entre 3/32:
Podemos razonar así: necesitamos encontrar un número que, multiplicado por 3/32, dé un producto igual a 15/16. Escribamos los cálculos así:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 número desconocido X son 15/16
1/32 de un número desconocido X es ,
32 / 32 números X constituir .
Por eso,
Por lo tanto, para dividir una fracción por una fracción, debes multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, y convertir el primer producto en el numerador. y el segundo el denominador.
Escribamos la regla usando letras:
Al dividir, son posibles abreviaturas, por ejemplo:
5. División de números mixtos.
Al dividir números mixtos, primero se deben convertir en fracciones impropias y luego las fracciones resultantes se deben dividir de acuerdo con las reglas para dividir fracciones. Veamos un ejemplo:
Convertimos números mixtos a fracciones impropias:
Ahora dividamos:
Por lo tanto, para dividir números mixtos, debes convertirlos en fracciones impropias y luego dividirlos usando la regla para dividir fracciones.
6. Encontrar un número a partir de su fracción dada.
Entre los diversos problemas de fracciones, a veces hay aquellos en los que se da el valor de alguna fracción de un número desconocido y es necesario encontrar este número. Este tipo de problema será el inverso del problema de encontrar la fracción de un número determinado; allí se dio un número y se pidió encontrar alguna fracción de este número, aquí se dio una fracción de un número y se pidió encontrar este número mismo. Esta idea quedará aún más clara si nos centramos en solucionar este tipo de problemas.
Tarea 1. El primer día, los vidrieros vidriaron 50 ventanas, lo que representa 1/3 de todas las ventanas de la casa construida. ¿Cuántas ventanas hay en esta casa?
Solución. El problema dice que 50 ventanas acristaladas constituyen 1/3 de todas las ventanas de la casa, lo que significa que hay 3 veces más ventanas en total, es decir.
La casa tenía 150 ventanas.
Tarea 2. La tienda vendió 1.500 kg de harina, que es 3/8 del total de existencias de harina que tenía la tienda. ¿Cuál fue el suministro inicial de harina de la tienda?
Solución. De las condiciones del problema se desprende claramente que 1.500 kg de harina vendidos constituyen 3/8 del stock total; Esto significa que 1/8 de esta reserva será 3 veces menor, es decir, para calcularlo es necesario reducir 1500 en 3 veces:
1.500: 3 = 500 (esto es 1/8 de la reserva).
Evidentemente, la oferta total será 8 veces mayor. Por eso,
500 8 = 4.000 (kg).
El stock inicial de harina en el almacén era de 4.000 kg.
De la consideración de este problema se puede derivar la siguiente regla.
Para encontrar un número a partir de un valor dado de su fracción, basta con dividir este valor por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción.
Resolvimos dos problemas para encontrar un número dada su fracción. Estos problemas, como se ve especialmente claramente en el último, se resuelven mediante dos acciones: división (cuando se encuentra una parte) y multiplicación (cuando se encuentra el número entero).
Sin embargo, una vez que hayamos aprendido la división de fracciones, los problemas anteriores se pueden resolver con una sola acción, a saber: dividir por una fracción.
Por ejemplo, la última tarea se puede resolver con una acción como esta:
En el futuro, resolveremos los problemas de encontrar un número a partir de su fracción con una sola acción: la división.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
En estos problemas necesitarás encontrar un número conociendo un pequeño porcentaje de ese número.
Tarea 1. A principios de este año recibí 60 rublos de la Caja de Ahorros. ingresos de la cantidad que ahorré hace un año. ¿Cuánto dinero he puesto en la caja de ahorros? (Las cajas dan a los depositantes un rendimiento del 2% anual).
El problema es que puse una cierta cantidad de dinero en una caja de ahorros y permanecí allí durante un año. Después de un año, recibí de ella 60 rublos. ingresos, que son 2/100 del dinero que deposité. ¿Cuánto dinero puse?
En consecuencia, conociendo parte de este dinero, expresado de dos maneras (en rublos y fracciones), debemos encontrar la cantidad total, aún desconocida. Este es un problema común de encontrar un número dada su fracción. Los siguientes problemas se resuelven por división:
Esto significa que se depositaron 3.000 rublos en la caja de ahorros.
Tarea 2. Los pescadores cumplieron el plan mensual en un 64% en dos semanas, capturando 512 toneladas de pescado. ¿Cuál era su plan?
Por las condiciones del problema se sabe que los pescadores cumplieron parte del plan. Esta parte equivale a 512 toneladas, lo que representa el 64% del plan. No sabemos cuántas toneladas de pescado hay que preparar según el plan. Encontrar este número será la solución al problema.
Estos problemas se resuelven mediante división:
Esto significa que, según el plan, es necesario preparar 800 toneladas de pescado.
Tarea 3. El tren iba de Riga a Moscú. Al pasar el kilómetro 276, uno de los pasajeros preguntó al conductor que pasaba cuánto tiempo había recorrido ya. A esto el conductor respondió: “Ya hemos recorrido el 30% de todo el viaje”. ¿Cuál es la distancia entre Riga y Moscú?
De las condiciones problemáticas se desprende claramente que el 30% de la ruta de Riga a Moscú tiene una longitud de 276 km. Necesitamos encontrar la distancia completa entre estas ciudades, es decir, para esta parte, encontrar el total:
§ 91. Números recíprocos. Reemplazo de división por multiplicación.
Tomemos la fracción 2/3 y reemplacemos el numerador en lugar del denominador, obtenemos 3/2. Obtenemos el inverso de esta fracción.
Para obtener el inverso de una fracción dada, debes colocar su numerador en lugar del denominador y el denominador en lugar del numerador. De esta forma podemos obtener el recíproco de cualquier fracción. Por ejemplo:
3/4, revertir 4/3; 5/6, revertir 6/5
Dos fracciones que tienen la propiedad de que el numerador de la primera es el denominador de la segunda, y el denominador de la primera es el numerador de la segunda, se llaman mutuamente inversas.
Ahora pensemos en qué fracción será el recíproco de 1/2. Obviamente, será 2/1, o simplemente 2. Al buscar la fracción inversa de la dada, obtuvimos un número entero. Y este caso no es aislado; por el contrario, para todas las fracciones con numerador 1 (uno), los recíprocos serán números enteros, por ejemplo:
1/3, revertir 3; 1/5, revertir 5
Dado que al encontrar fracciones recíprocas también encontramos números enteros, en lo que sigue no hablaremos de fracciones recíprocas, sino de números recíprocos.
Averigüemos cómo escribir el inverso de un número entero. Para las fracciones, esto se puede resolver de manera simple: debes colocar el denominador en lugar del numerador. De la misma manera, puedes obtener el inverso de un número entero, ya que cualquier número entero puede tener un denominador de 1. Esto significa que el inverso de 7 será 1/7, porque 7 = 7/1; para el número 10 la inversa será 1/10, ya que 10 = 10/1
Esta idea se puede expresar de otra manera: el recíproco de un número dado se obtiene dividiendo uno por un número dado. Esta afirmación es cierta no sólo para los números enteros, sino también para las fracciones. De hecho, si necesitamos escribir la inversa de la fracción 5/9, entonces podemos tomar 1 y dividirlo entre 5/9, es decir
Ahora señalemos una cosa propiedad números recíprocos, que nos serán de utilidad: el producto de números recíprocos es igual a uno. En efecto:
Usando esta propiedad, podemos encontrar números recíprocos de la siguiente manera. Digamos que necesitamos encontrar el inverso de 8.
Denotémoslo con la letra. X , entonces 8 X = 1, por lo tanto X = 1/8. Busquemos otro número que sea el inverso de 7/12 y denotémoslo con la letra X , luego 7/12 X = 1, por lo tanto X = 1: 7 / 12 o X = 12 / 7 .
Introducimos aquí el concepto de números recíprocos para complementar ligeramente la información sobre la división de fracciones.
Cuando dividimos el número 6 entre 3/5, hacemos lo siguiente:
Presta especial atención a la expresión y compárala con la dada: .
Si tomamos la expresión por separado, sin conexión con la anterior, entonces es imposible resolver la cuestión de dónde vino: de dividir 6 por 3/5 o de multiplicar 6 por 5/3. En ambos casos sucede lo mismo. Por lo tanto podemos decir que dividir un número por otro se puede sustituir multiplicando el dividendo por el inverso del divisor.
Los ejemplos que damos a continuación confirman plenamente esta conclusión.
Una de las ciencias más importantes, cuya aplicación se puede ver en disciplinas como la química, la física e incluso la biología, son las matemáticas. Estudiar esta ciencia te permite desarrollar algunas cualidades mentales y mejorar tu capacidad de concentración. Uno de los temas que merece especial atención en el curso de Matemáticas es la suma y resta de fracciones. A muchos estudiantes les resulta difícil estudiar. Quizás nuestro artículo ayude a comprender mejor este tema.
Cómo restar fracciones cuyos denominadores son iguales
Las fracciones son los mismos números con los que puedes realizar diversas operaciones. Su diferencia con los números enteros radica en la presencia de un denominador. Por eso, al realizar operaciones con fracciones, es necesario estudiar algunas de sus características y reglas. El caso más sencillo es la resta de fracciones ordinarias cuyos denominadores se representan como el mismo número. No será posible realizar esta acción. mano de obra especial si conoces una regla simple:
- Para restar un segundo de una fracción, es necesario restar el numerador de la fracción restada del numerador de la fracción que se está reduciendo. Escribimos este número en el numerador de la diferencia y dejamos el denominador igual: k/m - b/m = (k-b)/m.
Ejemplos de resta de fracciones cuyos denominadores son iguales
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Del numerador de la fracción “7” le restamos el numerador de la fracción “3” a restar, obtenemos “4”. Escribimos este número en el numerador de la respuesta y en el denominador ponemos el mismo número que estaba en los denominadores de la primera y segunda fracción: "19".
La siguiente imagen muestra varios ejemplos más similares.
Consideremos un ejemplo más complejo donde se restan fracciones con denominadores iguales:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Del numerador de la fracción "29" se resta restando a su vez los numeradores de todas las fracciones posteriores: "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtenemos el resultado "9", que escribimos en el numerador de la respuesta, y en el denominador escribimos el número que está en los denominadores de todas estas fracciones: "47".
Sumar fracciones que tienen el mismo denominador
Sumar y restar fracciones ordinarias sigue el mismo principio.
- Para sumar fracciones cuyos denominadores son iguales, debes sumar los numeradores. El número resultante es el numerador de la suma, y el denominador seguirá siendo el mismo: k/m + b/m = (k + b)/m.
Veamos cómo se ve esto usando un ejemplo:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Al numerador del primer término de la fracción - "1" - agregue el numerador del segundo término de la fracción - "2". El resultado - "3" - se escribe en el numerador de la suma y el denominador se deja igual que el presente en las fracciones - "4".
Fracciones con distintos denominadores y su resta
Ya hemos considerado la operación con fracciones que tienen el mismo denominador. Como vemos, sabiendo reglas simples, resolver este tipo de ejemplos es bastante fácil. Pero, ¿qué pasa si necesitas realizar una operación con fracciones que tienen diferentes denominadores? Muchos estudiantes de secundaria se sienten confundidos por estos ejemplos. Pero incluso aquí, si conoce el principio de la solución, los ejemplos ya no le resultarán difíciles. También hay una regla aquí, sin la cual resolver tales fracciones es simplemente imposible.
- 2/3 - faltan un tres y un dos en el denominador:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 o 7/(3 x 3) - al denominador le falta un dos:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 o 5/(2 x 3) - al denominador le falta un tres:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - El número 18 se compone de 3 x 2 x 3.
- El número 15 se compone de 5 x 3.
- El múltiplo común serán los siguientes factores: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 dividido por 15. El número resultante “6” será un multiplicador de 3/15.
- 90 dividido por 18. El número resultante “5” será un multiplicador de 4/18.
- Convierte todas las fracciones que tengan una parte entera a impropias. Discurso en palabras simples, retire toda la pieza. Para hacer esto, multiplica el número de la parte entera por el denominador de la fracción y suma el producto resultante al numerador. El número que sale después de estas acciones es el numerador de la fracción impropia. El denominador permanece sin cambios.
- Si las fracciones tienen distintos denominadores, se deben reducir al mismo denominador.
- Realizar sumas o restas con los mismos denominadores.
- Al recibir una fracción impropia, seleccione la parte entera.
Para restar fracciones con diferentes denominadores, se deben reducir al mismo denominador más pequeño.
Hablaremos con más detalle sobre cómo hacer esto.
Propiedad de una fracción
Para llevar varias fracciones al mismo denominador, debes usar la propiedad principal de una fracción en la solución: después de dividir o multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, obtienes una fracción igual a la dada.
Así, por ejemplo, la fracción 2/3 puede tener denominadores como “6”, “9”, “12”, etc., es decir, puede tener la forma de cualquier número que sea múltiplo de “3”. Después de multiplicar el numerador y el denominador por “2”, obtenemos la fracción 4/6. Después de multiplicar el numerador y denominador de la fracción original por “3”, obtenemos 6/9, y si realizamos una operación similar con el número “4”, obtenemos 8/12. Una igualdad se puede escribir de la siguiente manera:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Cómo convertir varias fracciones al mismo denominador
Veamos cómo reducir varias fracciones al mismo denominador. Por ejemplo, tomemos las fracciones que se muestran en la siguiente imagen. Primero debes determinar qué número puede convertirse en el denominador de todos ellos. Para facilitar las cosas, factoricemos los denominadores existentes.
El denominador de la fracción 1/2 y la fracción 2/3 no se puede factorizar. El denominador 7/9 tiene dos factores 7/9 = 7/(3 x 3), el denominador de la fracción 5/6 = 5/(2 x 3). Ahora necesitamos determinar qué factores serán los más pequeños para estas cuatro fracciones. Como la primera fracción tiene el número “2” en el denominador, significa que debe estar presente en todos los denominadores; en la fracción 7/9 hay dos tripletes, lo que significa que ambos también deben estar presentes en el denominador. Teniendo en cuenta lo anterior, determinamos que el denominador consta de tres factores: 3, 2, 3 y es igual a 3 x 2 x 3 = 18.
Consideremos la primera fracción: 1/2. En su denominador hay un “2”, pero no hay un solo “3”, sino que deberían ser dos. Para ello multiplicamos el denominador por dos triples, pero, según la propiedad de una fracción, debemos multiplicar el numerador por dos triples:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Hacemos lo mismo con las fracciones restantes.
En conjunto se ve así:
Cómo restar y sumar fracciones que tienen diferentes denominadores
Como se mencionó anteriormente, para sumar o restar fracciones que tienen diferentes denominadores, se deben reducir al mismo denominador y luego usar las reglas para restar fracciones que tienen el mismo denominador, que ya se han comentado.
Veamos esto como ejemplo: 18/4 - 15/3.
Encontrar el múltiplo de los números 18 y 15:
Una vez encontrado el denominador, es necesario calcular el factor que será diferente para cada fracción, es decir, el número por el cual será necesario multiplicar no solo el denominador, sino también el numerador. Para hacer esto, divida el número que encontramos (el múltiplo común) por el denominador de la fracción para la cual es necesario determinar factores adicionales.
La siguiente etapa de nuestra solución es reducir cada fracción al denominador "90".
Ya hemos hablado de cómo se hace esto. Veamos cómo se escribe esto en un ejemplo:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Si las fracciones tienen números pequeños, entonces puedes determinar el denominador común, como en el ejemplo que se muestra en la siguiente imagen.
Lo mismo ocurre con aquellos con diferentes denominadores.
Resta y tener partes enteras.
Ya hemos comentado en detalle la resta de fracciones y su suma. ¿Pero cómo restar si una fracción tiene parte entera? Nuevamente, usemos algunas reglas:
Hay otra forma de sumar y restar fracciones con partes enteras. Para hacer esto, las acciones se realizan por separado con partes enteras y las acciones con fracciones por separado, y los resultados se registran juntos.
El ejemplo dado consta de fracciones que tienen el mismo denominador. En el caso de que los denominadores sean diferentes, se deben llevar al mismo valor y luego realizar las acciones como se muestra en el ejemplo.
Restar fracciones de números enteros
Otro tipo de operación con fracciones es el caso en el que se debe restar una fracción. A primera vista, un ejemplo así parece difícil de resolver. Sin embargo, aquí todo es bastante sencillo. Para resolverlo es necesario convertir el número entero en fracción, y con el mismo denominador que está en la fracción restada. A continuación, realizamos una resta similar a la resta con denominadores idénticos. En un ejemplo se ve así:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
La resta de fracciones (grado 6) presentada en este artículo es la base para resolver más ejemplos complejos, que se analizan en clases posteriores. El conocimiento de este tema se utiliza posteriormente para resolver funciones, derivadas, etc. Por lo tanto, es muy importante comprender y comprender las operaciones con fracciones comentadas anteriormente.
Acciones con fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Entonces, ¿qué son las fracciones, los tipos de fracciones, las transformaciones? Lo recordamos. Vayamos al tema principal.
¿Qué puedes hacer con las fracciones? Sí, todo es igual que con los números normales. Sumar, restar, multiplicar, dividir.
Todas estas acciones con decimal trabajar con fracciones no es diferente de trabajar con números enteros. En realidad, eso es lo bueno de ellos, los decimales. Lo único es que debes poner la coma correctamente.
Numeros mezclados, como ya dije, son de poca utilidad para la mayoría de acciones. Todavía es necesario convertirlos a fracciones ordinarias.
Pero las acciones con fracciones ordinarias Serán más astutos. ¡Y mucho más importante! Déjame recordarte: todas las acciones con expresiones fraccionarias con letras, senos, incógnitas, etc., no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias.! Las operaciones con fracciones ordinarias son la base de todo álgebra. Es por ello que aquí analizaremos toda esta aritmética con gran detalle.
Sumar y restar fracciones.
Todos pueden sumar (restar) fracciones con los mismos denominadores (¡eso realmente lo espero!). Bueno, permítanme recordarles a los que son completamente olvidadizos: al sumar (restar), el denominador no cambia. Los numeradores se suman (resta) para dar el numerador del resultado. Tipo:
En resumen, en términos generales:
¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? Luego, usando la propiedad básica de una fracción (¡aquí vuelve a ser útil!), ¡hacemos que los denominadores sean iguales! Por ejemplo:
Aquí teníamos que formar la fracción 4/10 a partir de la fracción 2/5. Con el único propósito de igualar los denominadores. Déjame señalar, por si acaso, que 2/5 y 4/10 son la misma fracción! Sólo 2/5 son inconvenientes para nosotros y 4/10 están realmente bien.
Por cierto, esta es la esencia de la resolución de cualquier problema matemático. cuando nosotros de incómodo hacemos expresiones Lo mismo, pero más conveniente para resolver..
Otro ejemplo:
La situación es similar. Aquí hacemos 48 de 16. Por simple multiplicación por 3. Todo esto está claro. Pero nos encontramos con algo como:
¡¿Cómo ser?! ¡Es difícil sacar un nueve de un siete! ¡Pero somos inteligentes, conocemos las reglas! transformemos cada fracción para que los denominadores sean iguales. A esto se le llama “reducir a un denominador común”:
¡Guau! ¿Cómo supe del 63? ¡Muy simple! 63 es un número que es divisible por 7 y 9 al mismo tiempo. Este número siempre se puede obtener multiplicando los denominadores. Si multiplicamos un número por 7, por ejemplo, ¡el resultado seguramente será divisible por 7!
Si necesitas sumar (restar) varias fracciones, no es necesario hacerlo de dos en dos, paso a paso. Sólo necesitas encontrar el denominador común a todas las fracciones y reducir cada fracción a este mismo denominador. Por ejemplo:
¿Y cuál será el denominador común? Por supuesto, puedes multiplicar 2, 4, 8 y 16. Obtenemos 1024. Pesadilla. Es más fácil estimar que el número 16 es perfectamente divisible entre 2, 4 y 8. Por lo tanto, a partir de estos números es fácil obtener 16. Este número será el denominador común. Convirtamos 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, y así sucesivamente.
Por cierto, si tomas 1024 como denominador común, todo saldrá bien, al final todo se reducirá. Pero no todos llegarán a este extremo, debido a los cálculos...
Complete el ejemplo usted mismo. No es una especie de logaritmo... Debería ser 29/16.
Entonces, espero que la suma (resta) de fracciones sea clara. Por supuesto, es más fácil trabajar en una versión abreviada, con multiplicadores adicionales. Pero este placer está al alcance de quienes trabajaron honestamente en los grados inferiores... Y no olvidaron nada.
Y ahora haremos las mismas acciones, pero no con fracciones, sino con expresiones fraccionarias. Aquí se revelará un nuevo rastrillo, sí...
Entonces, necesitamos sumar dos expresiones fraccionarias:
Necesitamos que los denominadores sean iguales. Y solo con la ayuda multiplicación! Esto es lo que dicta la propiedad principal de una fracción. Por lo tanto, no puedo sumar uno a X en la primera fracción del denominador. (¡eso estaría bien!). Pero si multiplicas los denominadores, verás, ¡todo crece junto! Entonces escribimos la línea de la fracción, dejamos un espacio vacío en la parte superior, luego la sumamos y escribimos el producto de los denominadores debajo, para no olvidar:
Y, por supuesto, no multiplicamos nada del lado derecho, ¡no abrimos los paréntesis! Y ahora, mirando el denominador común del lado derecho, nos damos cuenta: para obtener el denominador x(x+1) en la primera fracción, necesitas multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por (x+1) . Y en la segunda fracción - a x. Esto es lo que obtienes:
¡Nota! ¡Aquí están los paréntesis! Éste es el rastrillo que mucha gente pisa. No los paréntesis, por supuesto, sino su ausencia. Los paréntesis aparecen porque estamos multiplicando. todo numerador y todo¡denominador! Y no sus piezas individuales...
En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, todo es como en fracciones numéricas, luego abrimos los corchetes en el numerador del lado derecho, es decir. Multiplicamos todo y damos otros similares. ¡No es necesario abrir los paréntesis en los denominadores ni multiplicar nada! En general, en denominadores (cualquiera) ¡el producto siempre es más agradable! Obtenemos:
Entonces obtuvimos la respuesta. El proceso parece largo y difícil, pero depende de la práctica. Una vez que resuelvas los ejemplos, acostúmbrate, todo te resultará sencillo. Aquellos que dominan las fracciones a su debido tiempo hacen todas estas operaciones con una mano izquierda, ¡automáticamente!
Y una nota más. Muchos manejan inteligentemente fracciones, pero se quedan estancados en ejemplos con entero números. Como: 2 + 1/2 + 3/4 =? ¿Dónde sujetar el dos piezas? No es necesario fijarlo en ningún lado, es necesario hacer una fracción de dos. ¡No es fácil, pero sí muy sencillo! 2=2/1. Como esto. Cualquier número entero se puede escribir como fracción. El numerador es el número mismo, el denominador es uno. 7 es 7/1, 3 es 3/1 y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las letras. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Y luego trabajamos con estas fracciones según todas las reglas.
Bueno, se refrescaron los conocimientos de suma y resta de fracciones. Se repitió la conversión de fracciones de un tipo a otro. También puedes hacerte un chequeo. ¿Lo arreglamos un poco?)
Calcular:
Respuestas (en desorden):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplicación/división de fracciones - en la próxima lección. También hay tareas para todas las operaciones con fracciones.
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Las expresiones fraccionarias son difíciles de entender para un niño. La mayoría de la gente tiene dificultades con. Al estudiar el tema “suma de fracciones con números enteros”, el niño cae en un estupor y le resulta difícil resolver el problema. En muchos ejemplos, antes de realizar una acción, se deben realizar una serie de cálculos. Por ejemplo, convertir fracciones o convertir una fracción impropia en una fracción propia.
Expliquemoslo claramente al niño. Cogemos tres manzanas, dos de las cuales estarán enteras, y cortamos la tercera en 4 partes. Separa una rodaja de la manzana cortada y coloca las tres restantes junto a dos frutas enteras. Nos salen ¼ de manzana por un lado y 2 ¾ por el otro. Si las combinamos obtenemos tres manzanas. Intentemos reducir 2 ¾ manzanas a ¼, es decir, quitamos otra rodaja, obtenemos 2 2/4 manzanas.
Echemos un vistazo más de cerca a las operaciones con fracciones que contienen números enteros:
Primero, recordemos la regla de cálculo para expresiones fraccionarias con denominador común:
A primera vista, todo es fácil y sencillo. Pero esto sólo se aplica a expresiones que no requieren conversión.
Cómo encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes
En algunas tareas necesitas encontrar el significado de una expresión donde los denominadores son diferentes. Veamos un caso concreto:
3 2/7+6 1/3
Encontremos el valor de esta expresión encontrando un denominador común para dos fracciones.
Para los números 7 y 3, esto es 21. Dejamos las partes enteras iguales y llevamos las partes fraccionarias a 21, para esto multiplicamos la primera fracción por 3, la segunda por 7, obtenemos:
21/06+21/07, no olvide que las partes enteras no se pueden convertir. Como resultado, obtenemos dos fracciones con el mismo denominador y calculamos su suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
¿Qué pasa si el resultado de la suma es una fracción impropia que ya tiene una parte entera?
2 1/3+3 2/3
En este caso sumamos las partes enteras y fraccionarias, obtenemos:
5 3/3, como sabes, 3/3 es uno, lo que significa 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Encontrar la suma está todo claro, veamos la resta:
De todo lo dicho se desprende la regla para operaciones con números mixtos:
- Si necesitas restar un número entero de una expresión fraccionaria, no necesitas representar el segundo número como una fracción; basta con realizar la operación solo en las partes enteras.
Intentemos calcular nosotros mismos el significado de las expresiones:
Echemos un vistazo más de cerca al ejemplo bajo la letra "m":
4 5/11-2 8/11, el numerador de la primera fracción es menor que el de la segunda. Para hacer esto, tomamos prestado un número entero de la primera fracción, obtenemos,
3 5/11+11/11=3 entero 16/11, resta la segunda a la primera fracción:
3 16/11-2 8/11=1 entero 8/11
- Tenga cuidado al completar la tarea, no olvide convertir fracciones impropias en fracciones mixtas, resaltando la parte completa. Para hacer esto, necesitas dividir el valor del numerador por el valor del denominador, luego lo que sucede toma el lugar de la parte entera, el resto será el numerador, por ejemplo:
19/4=4 ¾, comprobemos: 4*4+3=19, el denominador 4 permanece sin cambios.
Resumir:
Antes de iniciar una tarea relacionada con fracciones, es necesario analizar qué tipo de expresión es, qué transformaciones se deben realizar sobre la fracción para que la solución sea correcta. Busque una solución más racional. No vayas por el camino difícil. Planifica todas las acciones, resuélvelas primero en forma de borrador y luego transfiérelas a tu cuaderno escolar.
Para evitar confusiones al resolver expresiones fraccionarias, debes seguir la regla de coherencia. Decide todo con cuidado, sin prisas.
Considere la fracción $\frac63$. Su valor es 2, ya que $\frac63 =6:3 = 2$. ¿Qué pasa si el numerador y el denominador se multiplican por 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Obviamente, el valor de la fracción no ha cambiado, por lo que $\frac(12)(6)$ cuando y también es igual a 2. Puedes multiplicar numerador y denominador por 3 y obtenemos $\frac(18)(9)$, o por 27 y obtenemos $\frac(162)(81)$, o por 101 y obtenemos $\frac(606)(303)$. En cada uno de estos casos, el valor de la fracción que obtenemos al dividir el numerador por el denominador es 2. Esto significa que no ha cambiado.
El mismo patrón se observa en el caso de otras fracciones. Si el numerador y denominador de la fracción $\frac(120)(60)$ (igual a 2) se dividen por 2 (el resultado es $\frac(60)(30)$), o por 3 (el resultado es $\frac(40)(20) $), o por 4 (resultado $\frac(30)(15)$) y así sucesivamente, entonces en cada caso el valor de la fracción permanece sin cambios e igual a 2.
Esta regla también se aplica a fracciones que no son iguales. número entero.
Si el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(3)$ se multiplican por 2, obtenemos $\frac(2)(6)$, es decir, el valor de la fracción no ha cambiado. Y de hecho, si divides la tarta en 3 partes y coges una de ellas, o la divides en 6 partes y coges 2 partes, obtendrás la misma cantidad de tarta en ambos casos. Por lo tanto, los números $\frac(1)(3)$ y $\frac(2)(6)$ son idénticos. Formulemos una regla general.
El numerador y denominador de cualquier fracción se puede multiplicar o dividir por el mismo número sin cambiar el valor de la fracción.
Esta regla resulta muy útil. Por ejemplo, permite en algunos casos, pero no siempre, evitar operaciones con números grandes.
Por ejemplo, podemos dividir el numerador y el denominador de la fracción $\frac(126)(189)$ entre 63 y obtener la fracción $\frac(2)(3)$, que es mucho más fácil de calcular. Un ejemplo más. Podemos dividir el numerador y denominador de la fracción $\frac(155)(31)$ entre 31 y obtener la fracción $\frac(5)(1)$ o 5, ya que 5:1=5.
En este ejemplo, nos encontramos por primera vez una fracción cuyo denominador es 1. Estas fracciones juegan un papel importante en los cálculos. Cabe recordar que cualquier número se puede dividir entre 1 y su valor no cambiará. Es decir, $\frac(273)(1)$ es igual a 273; $\frac(509993)(1)$ es igual a 509993 y así sucesivamente. Por lo tanto, no tenemos que dividir números entre , ya que cada número entero se puede representar como una fracción con denominador 1.
Con tales fracciones, cuyo denominador es 1, puedes realizar las mismas operaciones aritméticas que con todas las demás fracciones: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Te preguntarás de qué sirve representar un número entero como una fracción con una unidad debajo de la línea, ya que es más conveniente trabajar con un número entero. Pero el hecho es que representar un número entero como una fracción nos da la oportunidad de realizar varias acciones de manera más efectiva cuando trabajamos tanto con números enteros como con números fraccionarios. Por ejemplo, para aprender sumar fracciones con diferentes denominadores. Supongamos que necesitamos sumar $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(5)$.
Sabemos que sólo podemos sumar fracciones cuyos denominadores sean iguales. Esto significa que necesitamos aprender a reducir fracciones a una forma en la que sus denominadores sean iguales. En este caso, nuevamente necesitaremos el hecho de que podemos multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número sin cambiar su valor.
Primero, multiplica el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(3)$ por 5. Obtenemos $\frac(5)(15)$, el valor de la fracción no ha cambiado. Luego multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción $\frac(1)(5)$ por 3. Obtenemos $\frac(3)(15)$, nuevamente el valor de la fracción no ha cambiado. Por lo tanto, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Ahora intentemos aplicar este sistema para sumar números que contengan partes enteras y fraccionarias.
Necesitamos sumar $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Primero, convertimos todos los términos en fracciones y obtenemos: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Ahora necesitamos llevar todas las fracciones a un denominador común, para ello multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por 12, la segunda por 4 y la tercera por 3. Como resultado obtenemos $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, que es igual a $\frac(55)(12)$. Si quieres deshacerte de fracción impropia, se puede convertir en un número que consta de un número entero y una fracción: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ o $4\frac(7 )( 12)$.
Todas las reglas que permiten operaciones con fracciones, que acabamos de estudiar, también son válidos en el caso de números negativos. Entonces, -1: 3 se puede escribir como $\frac(-1)(3)$, y 1: (-3) como $\frac(1)(-3)$.
Dado que tanto dividir un número negativo por un número positivo como dividir un número positivo por un negativo dan como resultado números negativos, en ambos casos la respuesta será un número negativo. Eso es
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ o $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. El signo menos, cuando se escribe de esta manera, se refiere a la fracción completa y no por separado al numerador o denominador.
Por otro lado, (-1) : (-3) se puede escribir como $\frac(-1)(-3)$, y como al dividir un número negativo por un número negativo obtenemos numero positivo, entonces $\frac(-1)(-3)$ se puede escribir como $+\frac(1)(3)$.
La suma y resta de fracciones negativas se realiza de acuerdo con el mismo esquema que la suma y resta de fracciones positivas. Por ejemplo, ¿qué es $1- 1\frac13$? Representemos ambos números como fracciones y obtengamos $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Llevemos las fracciones a un denominador común y obtengamos $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, es decir, $\frac(3)(3)-\ frac(4)(3)$, o $-\frac(1)(3)$.