Suma con distintos denominadores. Cómo aprender a restar fracciones con distintos denominadores

¡Nota! Antes de escribir tu respuesta final, mira si puedes acortar la fracción que recibiste.

Restar fracciones con igual denominador, ejemplos:

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Restar una fracción propia de uno.

Si es necesario restar una fracción a una unidad propia, la unidad se convierte a la forma de fracción impropia, su denominador es igual al denominador de la fracción restada.

Un ejemplo de restar una fracción propia de uno:

Denominador de la fracción a restar = 7 , es decir, representamos uno como una fracción impropia 7/7 y lo restamos según la regla para restar fracciones con denominadores iguales.

Restar una fracción propia de un número entero.

Reglas para restar fracciones - correcto a partir de un número entero (número natural):

• Convertimos fracciones dadas que contienen una parte entera en fracciones impropias. Obtenemos términos normales (no importa si son con diferentes denominadores), que calculamos según las reglas dadas anteriormente;
• A continuación, calculamos la diferencia entre las fracciones que recibimos. Como resultado, casi encontraremos la respuesta;
• Realizamos la transformación inversa, es decir, nos deshacemos de la fracción impropia: seleccionamos la parte entera en la fracción.

Restar una fracción propia de un número entero: representar el número natural como un número mixto. Aquellos. Tomamos una unidad de un número natural y la convertimos a la forma de fracción impropia, siendo el denominador el mismo que el de la fracción restada.

Ejemplo de resta de fracciones:

En el ejemplo, reemplazamos uno con la fracción impropia 7/7 y en lugar de 3 escribimos un número mixto y restamos una fracción de la parte fraccionaria.

Restar fracciones con diferentes denominadores.

O, para decirlo de otra manera, restando diferentes fracciones.

Regla para restar fracciones con distintos denominadores. Para restar fracciones con diferentes denominadores, primero es necesario reducir estas fracciones al mínimo común denominador (LCD), y solo después de esto, realizar la resta como con fracciones con el mismo denominador.

El denominador común de varias fracciones es MCM (mínimo común múltiplo) números naturales, que son los denominadores de estas fracciones.

¡Atención! Si en la fracción final el numerador y el denominador tienen factores comunes, entonces se debe reducir la fracción. Una fracción impropia se representa mejor como una fracción mixta. ¡Dejar el resultado de la resta sin reducir la fracción cuando sea posible es una solución incompleta del ejemplo!

Procedimiento para restar fracciones con distintos denominadores.

• encuentre el MCM para todos los denominadores;
• poner factores adicionales para todas las fracciones;
• multiplica todos los numeradores por un factor adicional;
• Escribimos los productos resultantes en el numerador, firmando el denominador común debajo de todas las fracciones;
• restar los numeradores de fracciones, firmando el denominador común debajo de la diferencia.

De la misma forma se realiza la suma y resta de fracciones si hay letras en el numerador.

Restar fracciones, ejemplos:

Restar fracciones mixtas.

En restar fracciones mixtas (números) por separado, la parte entera se resta de la parte entera y la parte fraccionaria se resta de la parte fraccionaria.

La primera opción para restar fracciones mixtas.

Si las partes fraccionarias lo mismo denominadores y numerador de la parte fraccionaria del minuendo (lo restamos) ≥ numerador de la parte fraccionaria del sustraendo (lo restamos).

Por ejemplo:

La segunda opción para restar fracciones mixtas.

Cuando partes fraccionarias diferente denominadores. Para empezar, llevamos las partes fraccionarias a un denominador común, y luego restamos la parte entera de la parte entera y la parte fraccionaria de la parte fraccionaria.

Por ejemplo:

La tercera opción para restar fracciones mixtas.

La parte fraccionaria del minuendo es menor que la parte fraccionaria del sustraendo.

Ejemplo:

Porque Las partes fraccionarias tienen diferentes denominadores, lo que significa que, como en la segunda opción, primero llevamos las fracciones ordinarias a un denominador común.

El numerador de la parte fraccionaria del minuendo es menor que el numerador de la parte fraccionaria del sustraendo.3 < 14. Esto significa que tomamos una unidad de la parte entera y reducimos esta unidad a la forma de una fracción impropia con el mismo denominador y numerador. = 18.

En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, luego abrimos los paréntesis en el numerador del lado derecho, es decir, multiplicamos todo y damos similares. No abrimos los paréntesis en el denominador. Se acostumbra dejar el producto en los denominadores. Obtenemos:

El numerador, y lo que se divide por es el denominador.

Para escribir una fracción, primero escribe el numerador, luego dibuja una línea horizontal debajo del número y escribe el denominador debajo de la línea. La línea horizontal que separa el numerador y el denominador se llama línea de fracción. A veces se representa como una "/" o "∕" oblicua. En este caso, el numerador se escribe a la izquierda de la línea y el denominador a la derecha. Así, por ejemplo, la fracción “dos tercios” se escribirá como 2/3. Para mayor claridad, el numerador generalmente se escribe en la parte superior de la línea y el denominador en la parte inferior, es decir, en lugar de 2/3 puedes encontrar: ⅔.

Para calcular el producto de fracciones, primero multiplica el numerador de uno fracciones al numerador es diferente. Escribe el resultado en el numerador del nuevo fracciones. Después de esto, multiplica los denominadores. Introduzca el valor total en el nuevo fracciones. Por ejemplo, ¿1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir una fracción entre otra, primero multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. Haz lo mismo con la segunda fracción (divisor). O, antes de realizar todas las acciones, primero “voltea” el divisor, si te resulta más conveniente: el denominador debe aparecer en lugar del numerador. Luego multiplica el denominador del dividendo por el nuevo denominador del divisor y multiplica los numeradores. Por ejemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).

Fuentes:

• Problemas básicos de fracciones

Los números fraccionarios se pueden expresar en en diferentes formas valor exacto de la cantidad. Puedes hacer las mismas operaciones matemáticas con fracciones que con números enteros: resta, suma, multiplicación y división. para aprender a decidir fracciones, debemos recordar algunas de sus características. Dependen del tipo fracciones, la presencia de una parte entera, un denominador común. Algunas operaciones aritméticas requieren que la parte fraccionaria del resultado se reduzca después de la ejecución.

Necesitará

• - calculadora

Instrucciones

Mire de cerca los números. Si entre las fracciones hay decimales e irregulares, a veces es más conveniente realizar primero operaciones con decimales y luego convertirlas a la forma irregular. Puedes traducir fracciones de esta forma inicialmente, escribiendo el valor después del punto decimal en el numerador y poniendo 10 en el denominador. Si es necesario, reduce la fracción dividiendo los números de arriba y de abajo por un divisor. Las fracciones en las que se aísla una parte entera deben convertirse a la forma incorrecta multiplicándola por el denominador y sumando el numerador al resultado. Este valor se convertirá en el nuevo numerador. fracciones. Para seleccionar una parte entera a partir de una inicialmente incorrecta fracciones, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resultado completo de fracciones. Y el resto de la división se convertirá en el nuevo numerador, denominador. fracciones no cambia. Para fracciones con parte entera, es posible realizar acciones por separado, primero para la parte entera y luego para las partes fraccionarias. Por ejemplo, se puede calcular la suma de 1 2/3 y 2 ¾:
- Convertir fracciones a la forma incorrecta:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Suma de partes de términos, enteras y fraccionarias por separado:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Vuelve a escribirlos usando el separador “:” y continúa con la división normal.

Para obtener el resultado final, se reduce la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por un número entero, el mayor posible en en este caso. En este caso, debe haber números enteros encima y debajo de la línea.

nota

No realices aritmética con fracciones cuyos denominadores sean diferentes. Elige un número tal que al multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por él, el resultado sea que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.

Consejo útil

Al grabar números fraccionarios El dividendo está escrito encima de la línea. Esta cantidad se designa como numerador de la fracción. El divisor o denominador de la fracción se escribe debajo de la línea. Por ejemplo, un kilo y medio de arroz como fracción se escribirá de la siguiente manera: 1 ½ kg de arroz. Si el denominador de una fracción es 10, la fracción se llama decimal. En este caso, el numerador (dividendo) se escribe a la derecha de la parte entera, separado por una coma: 1,5 kg de arroz. Para facilitar el cálculo, esta fracción siempre se puede escribir en forma incorrecta: 1 2/10 kg de patatas. Para simplificar, puedes reducir los valores del numerador y denominador dividiéndolos por un número entero. EN en este ejemplo Se puede dividir entre 2. El resultado será 1 1/5 kg de patatas. Asegúrate de que los números con los que vas a realizar aritmética se presenten en la misma forma.

Las expresiones fraccionarias son difíciles de entender para un niño. La mayoría de la gente tiene dificultades con. Al estudiar el tema “suma de fracciones con números enteros”, el niño cae en un estupor y le resulta difícil resolver el problema. En muchos ejemplos, antes de realizar una acción, se deben realizar una serie de cálculos. Por ejemplo, convertir fracciones o convertir una fracción impropia en una fracción propia.

Expliquemoslo claramente al niño. Cogemos tres manzanas, dos de las cuales estarán enteras, y cortamos la tercera en 4 partes. Separa una rodaja de la manzana cortada y coloca las tres restantes junto a dos frutas enteras. Nos salen ¼ de manzana por un lado y 2 ¾ por el otro. Si las combinamos obtenemos tres manzanas. Intentemos reducir 2 ¾ manzanas a ¼, es decir, quitamos otra rodaja, obtenemos 2 2/4 manzanas.

Echemos un vistazo más de cerca a las operaciones con fracciones que contienen números enteros:

Primero, recordemos la regla de cálculo para expresiones fraccionarias con denominador común:

A primera vista, todo es fácil y sencillo. Pero esto sólo se aplica a expresiones que no requieren conversión.

Cómo encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes

En algunas tareas necesitas encontrar el significado de una expresión donde los denominadores son diferentes. Veamos un caso concreto:
3 2/7+6 1/3

Encontremos el valor de esta expresión encontrando un denominador común para dos fracciones.

Para los números 7 y 3, esto es 21. Dejamos las partes enteras iguales y llevamos las partes fraccionarias a 21, para esto multiplicamos la primera fracción por 3, la segunda por 7, obtenemos:
21/06+21/07, no olvide que las partes enteras no se pueden convertir. Como resultado, obtenemos dos fracciones con el mismo denominador y calculamos su suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
¿Qué pasa si el resultado de la suma es una fracción impropia que ya tiene una parte entera?
2 1/3+3 2/3
En este caso sumamos las partes enteras y fraccionarias, obtenemos:
5 3/3, como sabes, 3/3 es uno, lo que significa 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Encontrar la suma está todo claro, veamos la resta:

De todo lo dicho se desprende la regla para operaciones con números mixtos:

• Si necesitas restar un número entero de una expresión fraccionaria, no necesitas representar el segundo número como una fracción; basta con realizar la operación solo en las partes enteras.

Intentemos calcular nosotros mismos el significado de las expresiones:

Echemos un vistazo más de cerca al ejemplo bajo la letra "m":

4 5/11-2 8/11, el numerador de la primera fracción es menor que el de la segunda. Para hacer esto, tomamos prestado un número entero de la primera fracción, obtenemos,
3 5/11+11/11=3 entero 16/11, resta la segunda a la primera fracción:
3 16/11-2 8/11=1 entero 8/11

• Tenga cuidado al completar la tarea, no olvide convertir fracciones impropias en fracciones mixtas, resaltando la parte completa. Para hacer esto, necesitas dividir el valor del numerador por el valor del denominador, luego lo que sucede toma el lugar de la parte entera, el resto será el numerador, por ejemplo:

19/4=4 ¾, comprobemos: 4*4+3=19, el denominador 4 permanece sin cambios.

Resumir:

Antes de iniciar una tarea relacionada con fracciones, es necesario analizar qué tipo de expresión es, qué transformaciones se deben realizar sobre la fracción para que la solución sea correcta. Busque una solución más racional. No vayas por el camino difícil. Planifica todas las acciones, resuélvelas primero en forma de borrador y luego transfiérelas a tu cuaderno escolar.

Para evitar confusiones al resolver expresiones fraccionarias, debes seguir la regla de coherencia. Decide todo con cuidado, sin prisas.

Acciones con fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Entonces, ¿qué son las fracciones, los tipos de fracciones, las transformaciones? Lo recordamos. Vayamos al tema principal.

¿Qué puedes hacer con las fracciones? Sí, todo es igual que con los números normales. Sumar, restar, multiplicar, dividir.

Todas estas acciones con decimal trabajar con fracciones no es diferente de trabajar con números enteros. En realidad, eso es lo bueno de ellos, los decimales. Lo único es que debes poner la coma correctamente.

Numeros mezclados, como ya dije, son de poca utilidad para la mayoría de acciones. Todavía es necesario convertirlos a fracciones ordinarias.

Pero las acciones con fracciones ordinarias Serán más astutos. ¡Y mucho más importante! Déjame recordarte: todas las acciones con expresiones fraccionarias con letras, senos, incógnitas, etc., no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias.! Las operaciones con fracciones ordinarias son la base de todo el álgebra. Es por ello que aquí analizaremos toda esta aritmética con gran detalle.

Sumar y restar fracciones.

Todos pueden sumar (restar) fracciones con los mismos denominadores (¡eso realmente lo espero!). Bueno, permítanme recordarles a los que son completamente olvidadizos: al sumar (restar), el denominador no cambia. Los numeradores se suman (resta) para dar el numerador del resultado. Tipo:

En resumen, en vista general:

¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? Luego, usando la propiedad básica de una fracción (¡aquí vuelve a ser útil!), ¡hacemos que los denominadores sean iguales! Por ejemplo:

Aquí teníamos que formar la fracción 4/10 a partir de la fracción 2/5. Con el único propósito de igualar los denominadores. Déjame señalar, por si acaso, que 2/5 y 4/10 son la misma fracción! Sólo 2/5 nos resultan incómodos y 4/10 están realmente bien.

Por cierto, esta es la esencia de la resolución de cualquier problema matemático. cuando nosotros de incómodo hacemos expresiones Lo mismo, pero más conveniente para resolver..

Otro ejemplo:

La situación es similar. Aquí hacemos 48 de 16. Por simple multiplicación en 3. Todo esto está claro. Pero nos encontramos con algo como:

¡¿Cómo ser?! ¡Es difícil sacar un nueve de un siete! ¡Pero somos inteligentes, conocemos las reglas! transformemos cada fracción para que los denominadores sean iguales. A esto se le llama “reducir a un denominador común”:

¡Guau! ¿Cómo supe del 63? ¡Muy simple! 63 es un número que es divisible por 7 y 9 al mismo tiempo. Este número siempre se puede obtener multiplicando los denominadores. Si multiplicamos un número por 7, por ejemplo, ¡el resultado seguramente será divisible por 7!

Si necesitas sumar (restar) varias fracciones, no es necesario hacerlo de dos en dos, paso a paso. Sólo necesitas encontrar el denominador común a todas las fracciones y reducir cada fracción a este mismo denominador. Por ejemplo:

¿Y cuál será el denominador común? Por supuesto, puedes multiplicar 2, 4, 8 y 16. Obtenemos 1024. Pesadilla. Es más fácil estimar que el número 16 es perfectamente divisible entre 2, 4 y 8. Por lo tanto, a partir de estos números es fácil obtener 16. Este número será el denominador común. Convirtamos 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, y así sucesivamente.

Por cierto, si tomas 1024 como denominador común, todo saldrá bien, al final todo se reducirá. Pero no todos llegarán a este extremo, debido a los cálculos...

Complete el ejemplo usted mismo. No es una especie de logaritmo... Debería ser 29/16.

Entonces, espero que la suma (resta) de fracciones sea clara. Por supuesto, es más fácil trabajar en una versión abreviada, con multiplicadores adicionales. Pero este placer está al alcance de quienes trabajaron honestamente en los grados inferiores... Y no olvidaron nada.

Y ahora haremos las mismas acciones, pero no con fracciones, sino con expresiones fraccionarias. Aquí se revelará un nuevo rastrillo, sí...

Entonces, necesitamos sumar dos expresiones fraccionarias:

Necesitamos que los denominadores sean iguales. Y solo con la ayuda multiplicación! Esto es lo que dicta la propiedad principal de una fracción. Por lo tanto, no puedo sumar uno a X en la primera fracción del denominador. (¡pero eso estaría bien!). Pero si multiplicas los denominadores, verás, ¡todo crece junto! Entonces escribimos la línea de la fracción, dejamos un espacio vacío en la parte superior, luego la sumamos y escribimos el producto de los denominadores debajo, para no olvidar:

Y, por supuesto, no multiplicamos nada del lado derecho, ¡no abrimos los paréntesis! Y ahora, mirando el denominador común del lado derecho, nos damos cuenta: para obtener el denominador x(x+1) en la primera fracción, necesitas multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por (x+1) . Y en la segunda fracción - a x. Esto es lo que obtienes:

¡Nota! ¡Aquí están los paréntesis! Éste es el rastrillo que mucha gente pisa. No los paréntesis, por supuesto, sino su ausencia. Los paréntesis aparecen porque estamos multiplicando. todo numerador y todo¡denominador! Y no sus piezas individuales...

En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, todo es como en fracciones numéricas, luego abrimos los corchetes en el numerador del lado derecho, es decir. Multiplicamos todo y damos otros similares. ¡No es necesario abrir los paréntesis en los denominadores ni multiplicar nada! En general, en denominadores (cualquiera) ¡el producto siempre es más agradable! Obtenemos:

Entonces obtuvimos la respuesta. El proceso parece largo y difícil, pero depende de la práctica. Una vez que resuelvas los ejemplos, acostúmbrate, todo te resultará sencillo. Aquellos que dominan las fracciones a su debido tiempo hacen todas estas operaciones con una mano izquierda, ¡automáticamente!

Y una nota más. Muchos manejan inteligentemente fracciones, pero se quedan estancados en ejemplos con entero números. Como: 2 + 1/2 + 3/4 =? ¿Dónde sujetar el dos piezas? No es necesario fijarlo en ningún lado, es necesario hacer una fracción de dos. ¡No es fácil, pero sí muy sencillo! 2=2/1. Como esto. Cualquier número entero se puede escribir como fracción. El numerador es el número mismo, el denominador es uno. 7 es 7/1, 3 es 3/1 y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las letras. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Y luego trabajamos con estas fracciones según todas las reglas.

Bueno, se refrescaron los conocimientos de suma y resta de fracciones. Se repitió la conversión de fracciones de un tipo a otro. También puedes hacerte un chequeo. ¿Lo arreglamos un poco?)

Calcular:

Respuestas (en desorden):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplicación/división de fracciones - en la próxima lección. También hay tareas para todas las operaciones con fracciones.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Tu hijo trajo tarea del colegio y no sabes como solucionarlo? ¡Entonces esta mini lección es para ti!

Cómo sumar decimales

Es más conveniente sumar fracciones decimales en una columna. Para realizar la suma decimales, debes cumplir con una regla simple:

• El lugar debe estar debajo del lugar, la coma debajo de la coma.

Como puede ver en el ejemplo, las unidades enteras están ubicadas una debajo de la otra, las décimas y las centésimas están ubicadas una debajo de la otra. Ahora sumamos los números, ignorando la coma. ¿Qué hacer con la coma? La coma se mueve al lugar donde estaba en la categoría de números enteros.

Sumar fracciones con iguales denominadores

Para realizar una suma con un denominador común, debes mantener el denominador sin cambios, encontrar la suma de los numeradores y obtener una fracción que será la suma total.

Sumar fracciones con diferentes denominadores usando el método del múltiplo común

Lo primero a lo que debes prestar atención son los denominadores. Los denominadores son diferentes, ya sea que uno sea divisible por el otro o que sean números primos. Primero necesitas llevarlo a un denominador común; hay varias maneras de hacerlo:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, para resolver este ejemplo necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) que será divisible por 2 denominadores. Para denotar el múltiplo más pequeño de a y b – MCM (a;b). En este ejemplo MCM (3;4)=12. Comprobamos: 12:3=4; 12:4=3.
• Multiplicamos los factores y sumamos los números resultantes, obtenemos 13/12, una fracción impropia.

• Para convertir una fracción impropia en propia, dividimos el numerador por el denominador, obtenemos el número entero 1, el resto 1 es el numerador y 12 es el denominador.

Sumar fracciones usando el método de multiplicación cruzada

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, existe otro método que utiliza la fórmula “cruz a cruz”. Esta es una forma garantizada de igualar los denominadores; para ello, debes multiplicar los numeradores por el denominador de una fracción y viceversa. Si solo estás en etapa inicial Al estudiar fracciones, entonces este método es la forma más sencilla y precisa de obtener el resultado correcto al sumar fracciones con diferentes denominadores.