maison/ Plinthes

Que sont les quantités inversement proportionnelles ? Proportionnalité inverse

Exemple

1,6 / 2 = 0,8 ; 4/5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8, etc.

Facteur de proportionnalité

Une relation constante de quantités proportionnelles est appelée facteur de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité correspondent à une unité d'une autre.

Proportionnalité directe

Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une certaine quantité dépend d'une autre quantité de telle sorte que leur rapport reste constant. En d'autres termes, ces variables changent proportionnellement, en parts égales, c'est-à-dire que si l'argument change deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.

Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :

F(X) = unX,un = const

Proportionnalité inverse

Proportionnalité inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).

Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme d'une formule :

Propriétés de la fonction :

Sources

Fondation Wikimédia. 2010.

Objectifs de base :

introduire le concept de dépendance proportionnelle directe et inverse des quantités ;
apprendre à résoudre des problèmes en utilisant ces dépendances ;
promouvoir le développement de compétences en résolution de problèmes ;
consolider l'habileté de résoudre des équations à l'aide de proportions ;
répétez les étapes avec des fractions ordinaires et décimales ;
développer pensée logiqueétudiants.

PENDANT LES COURS

JE. Autodétermination pour l'activité(Temps d'organisation)

- Les gars! Aujourd'hui, dans la leçon, nous allons nous familiariser avec les problèmes résolus à l'aide de proportions.

II. Actualisation des connaissances et enregistrement des difficultés dans les activités

2.1. Travail oral (3 minutes)

– Trouvez le sens des expressions et découvrez le mot crypté dans les réponses.

14 - s ; 0,1 – et ; 7-l; 0,2 – une ; 17 – po ; 25 – à

– Le mot qui en résulte est force. Bien joué!
– La devise de notre leçon d’aujourd’hui : Le pouvoir est dans la connaissance ! Je cherche, cela veut dire que j'apprends !
– Composez une proportion à partir des nombres obtenus. (14:7 = 0,2:0,1 etc.)

2.2. Considérons la relation entre les quantités que nous connaissons (7 minutes)

– la distance parcourue par la voiture à vitesse constante, et le temps de son déplacement : S = vt ( avec l'augmentation de la vitesse (du temps), la distance augmente) ;
– vitesse du véhicule et temps passé sur le trajet : v=S:t(à mesure que le temps pour parcourir le chemin augmente, la vitesse diminue) ;
– le coût des biens achetés à un prix unique et sa quantité : C = a · n (avec une augmentation (diminution) du prix, le coût d'achat augmente (diminue)) ;
– prix du produit et sa quantité : a = C : n (avec une augmentation de la quantité, le prix diminue)
– aire du rectangle et sa longueur (largeur) : S = a · b (avec l'augmentation de la longueur (largeur), l'aire augmente ;
– longueur et largeur du rectangle : a = S : b (à mesure que la longueur augmente, la largeur diminue ;
– le nombre de travailleurs effectuant un travail avec la même productivité du travail, et le temps nécessaire pour accomplir ce travail : t = A : n (avec une augmentation du nombre de travailleurs, le temps consacré à l'exécution du travail diminue), etc. .

Nous avons obtenu des dépendances dans lesquelles, avec une augmentation d'une quantité plusieurs fois, une autre augmente immédiatement du même montant (des exemples sont montrés par des flèches) et des dépendances dans lesquelles, avec une augmentation d'une quantité plusieurs fois, la deuxième quantité diminue de le même nombre de fois.
De telles dépendances sont appelées proportionnalité directe et inverse.
Directement- dépendance proportionnelle – une relation dans laquelle lorsqu’une valeur augmente (diminue) plusieurs fois, la deuxième valeur augmente (diminue) du même montant.
Relation inversement proportionnelle– une relation dans laquelle lorsqu’une valeur augmente (diminue) plusieurs fois, la deuxième valeur diminue (augmente) du même montant.

III. Définir une tâche d'apprentissage

– Quel est le problème auquel nous sommes confrontés ? (Apprenez à distinguer les dépendances directes et inverses)
- Ce - cible notre leçon. Formulez maintenant sujet leçon. (Relation proportionnelle directe et inverse).
- Bien joué! Notez le sujet de la leçon dans vos cahiers. (L'enseignant écrit le sujet au tableau.)

IV. "Découverte" de nouvelles connaissances(10 minutes)

Regardons le problème n°199.

1. L'imprimante imprime 27 pages en 4,5 minutes. Combien de temps faudra-t-il pour imprimer 300 pages ?

27 pages – 4,5 minutes.
300 pages - x ?

2. La boîte contient 48 paquets de thé de 250 g chacun. Combien de sachets de 150 g de ce thé recevrez-vous ?

48 paquets – 250 g.
X? – 150g.

3. La voiture a parcouru 310 km avec 25 litres d’essence. Quelle distance une voiture peut-elle parcourir avec un réservoir plein de 40 litres ?

310 km – 25 litres
X? – 40 litres

4. L'un des pignons d'embrayage a 32 dents et l'autre 40. Combien de tours le deuxième pignon fera-t-il tandis que le premier fera 215 tours ?

32 dents – 315 tours.
40 dents – x ?

Pour établir une proportion, un sens des flèches est nécessaire ; pour cela, en proportionnalité inverse, un rapport est remplacé par l'inverse.

Au tableau, les élèves trouvent la signification des quantités ; sur place, les élèves résolvent un problème de leur choix.

– Formuler une règle pour résoudre des problèmes avec dépendance proportionnelle directe et inverse.

Un tableau apparaît au tableau :

V. Consolidation primaire dans le discours externe(10 minutes)

Devoirs de feuille de travail :

A partir de 21 kg de graines de coton, on a obtenu 5,1 kg d'huile. Quelle quantité d’huile sera obtenue à partir de 7 kg de graines de coton ?
Pour construire le stade, 5 bulldozers ont dégagé le site en 210 minutes. Combien de temps faudrait-il à 7 bulldozers pour nettoyer ce site ?

VI. Travail indépendant avec autotest par rapport à la norme(5 minutes)

Deux étudiants accomplissent la tâche n° 225 indépendamment sur des tableaux cachés, et le reste - dans des cahiers. Ils vérifient ensuite le travail de l’algorithme et le comparent à la solution inscrite au tableau. Les erreurs sont corrigées et leurs causes sont déterminées. Si la tâche est terminée correctement, les élèves mettent un signe « + » à côté d'eux.
Les étudiants qui commettent des erreurs dans leur travail indépendant peuvent faire appel à des consultants.

VII. Inclusion dans le système de connaissances et répétition№ 271, № 270.

Six personnes travaillent au conseil d'administration. Après 3-4 minutes, les élèves travaillant au tableau présentent leurs solutions, et les autres vérifient les devoirs et participent à leur discussion.

VIII. Réflexion sur l'activité (résumé de la leçon)

– Qu’avez-vous appris de nouveau pendant la leçon ?
- Qu'ont-ils répété ?
– Quel est l’algorithme pour résoudre les problèmes de proportions ?
– Avons-nous atteint notre objectif ?
– Comment évaluez-vous votre travail ?

§ 129. Précisions préliminaires.

Une personne est constamment confrontée à une grande variété de quantités. Un employé et un ouvrier tentent de se rendre au travail à une certaine heure, un piéton est pressé d'arriver à Lieu connu En bref, le chauffeur de chauffage à vapeur s'inquiète de la montée lente de la température dans la chaudière, le chef d'entreprise envisage de réduire les coûts de production, etc.

On pourrait citer de nombreux exemples de ce type. Temps, distance, température, coût - ce sont autant de grandeurs différentes. Dans la première et la deuxième parties de cet ouvrage, nous avons fait connaissance avec quelques grandeurs particulièrement courantes : surface, volume, poids. Nous rencontrons de nombreuses quantités lorsque nous étudions la physique et d’autres sciences.

Imaginez que vous voyagez dans un train. De temps en temps, vous regardez votre montre et remarquez combien de temps vous avez passé sur la route. Vous dites par exemple que 2, 3, 5, 10, 15 heures se sont écoulées depuis le départ de votre train, etc. Ces chiffres représentent différentes périodes de temps ; on les appelle les valeurs de cette quantité (temps). Ou vous regardez par la fenêtre et suivez les poteaux routiers pour voir la distance parcourue par votre train. Les chiffres 110, 111, 112, 113, 114 km clignotent devant vous. Ces chiffres représentent les différentes distances parcourues par le train depuis son point de départ. On les appelle aussi valeurs, cette fois d'une grandeur différente (chemin ou distance entre deux points). Ainsi, une grandeur, par exemple le temps, la distance, la température, peut prendre autant de différentes significations.

Veuillez noter qu'une personne ne considère presque jamais une seule quantité, mais la relie toujours à d'autres quantités. Il doit faire face à deux, trois et un grand nombre quantités Imaginez que vous deviez arriver à l'école à 9 heures. Vous regardez votre montre et voyez qu’il vous reste 20 minutes. Vous déterminez ensuite rapidement si vous devez prendre le tram ou si vous pouvez marcher jusqu'à l'école. Après réflexion, vous décidez de marcher. Remarquez que pendant que vous réfléchissiez, vous résolviez un problème. Cette tâche est devenue simple et familière puisque vous résolvez de tels problèmes chaque jour. Dans celui-ci, vous avez rapidement comparé plusieurs quantités. C'est vous qui avez regardé l'horloge, c'est-à-dire que vous avez pris en compte l'heure, puis vous avez imaginé mentalement la distance entre votre domicile et l'école ; enfin, vous avez comparé deux grandeurs : la vitesse de votre pas et la vitesse du tramway, et vous avez conclu que temps donné(20 min.) Vous aurez le temps de marcher. De ceci exemple simple vous voyez que dans notre pratique certaines quantités sont interconnectées, c'est-à-dire qu'elles dépendent les unes des autres

Le chapitre douze parlait de la relation entre quantités homogènes. Par exemple, si un segment mesure 12 m et l'autre 4 m, alors le rapport de ces segments sera de 12 : 4.

Nous avons dit que c'est le rapport de deux quantités homogènes. Une autre façon de dire cela est que c'est le rapport de deux nombres un nom.

Maintenant que nous sommes plus familiers avec les quantités et que nous avons introduit le concept de valeur d'une quantité, nous pouvons exprimer la définition d'un rapport d'une nouvelle manière. En fait, lorsque nous considérons deux segments de 12 m et 4 m, nous parlions d'une seule valeur - la longueur, et 12 m et 4 m n'étaient que deux différentes significations cette valeur.

Par conséquent, à l'avenir, lorsque nous commencerons à parler de rapports, nous considérerons deux valeurs d'une quantité, et le rapport d'une valeur d'une quantité à une autre valeur de la même quantité sera appelé le quotient de division du premier valeur à la seconde.

§ 130. Les valeurs sont directement proportionnelles.

Considérons un problème dont la condition comprend deux grandeurs : la distance et le temps.

Tache 1. Un corps se déplaçant de manière rectiligne et uniforme parcourt 12 cm chaque seconde. Déterminez la distance parcourue par le corps en 2, 3, 4, ..., 10 secondes.

Créons un tableau qui peut être utilisé pour suivre les changements de temps et de distance.

Le tableau nous donne l'occasion de comparer ces deux séries de valeurs. On en voit que lorsque les valeurs de la première quantité (temps) augmentent progressivement de 2, 3,..., 10 fois, alors les valeurs de la deuxième quantité (distance) augmentent également de 2, 3, ..., 10 fois. Ainsi, lorsque les valeurs d'une grandeur augmentent plusieurs fois, les valeurs d'une autre grandeur augmentent du même montant, et lorsque les valeurs d'une grandeur diminuent plusieurs fois, les valeurs d'une autre grandeur diminuent du même montant. même nombre.

Considérons maintenant un problème qui implique deux de ces quantités : la quantité de matière et son coût.

Tâche 2. 15 m de tissu coûtent 120 roubles. Calculez le coût de ce tissu pour plusieurs autres quantités de mètres indiquées dans le tableau.

A l'aide de ce tableau, on peut retracer comment le coût d'un produit augmente progressivement en fonction de l'augmentation de sa quantité. Malgré le fait que ce problème implique des quantités complètement différentes (dans le premier problème - le temps et la distance, et ici - la quantité de biens et sa valeur), de grandes similitudes peuvent néanmoins être trouvées dans le comportement de ces quantités.

En fait, sur la ligne supérieure du tableau se trouvent des chiffres indiquant le nombre de mètres de tissu ; sous chacun d'eux se trouve un chiffre exprimant le coût de la quantité de marchandise correspondante. Un simple coup d'œil à ce tableau montre que les chiffres dans les rangées du haut et du bas augmentent ; en examinant de plus près le tableau et en comparant les colonnes individuelles, on découvre que dans tous les cas, les valeurs de la deuxième quantité augmentent du même nombre de fois que les valeurs de la première augmentation, c'est-à-dire si la valeur de la la première quantité augmente, disons, 10 fois, puis la valeur de la deuxième quantité augmente également 10 fois.

Si nous parcourons le tableau de droite à gauche, nous constaterons que les valeurs de quantités indiquées diminueront du même nombre de fois. En ce sens, il existe une similitude inconditionnelle entre la première tâche et la seconde.

Les paires de quantités que nous avons rencontrées dans les premier et deuxième problèmes sont appelées directement proportionnel.

Ainsi, si deux quantités sont liées l'une à l'autre de telle manière qu'à mesure que la valeur de l'une d'elles augmente (diminue) plusieurs fois, la valeur de l'autre augmente (diminue) du même montant, alors ces quantités sont appelées directement proportionnelles. .

On dit également que ces quantités sont liées les unes aux autres par une relation directement proportionnelle.

Il existe de nombreuses quantités similaires dans la nature et dans la vie qui nous entoure. Voici quelques exemples:

1. Temps travail (jour, deux jours, trois jours, etc.) et gains, reçu pendant cette période avec un salaire journalier.

2. Volume tout objet constitué d'un matériau homogène, et poids cet objet.

§ 131. Propriété des quantités directement proportionnelles.

Prenons un problème qui implique les deux quantités suivantes : temps de travail et les gains. Si les gains journaliers sont de 20 roubles, alors les gains pour 2 jours seront de 40 roubles, etc. Il est plus pratique de créer un tableau dans lequel un certain nombre de jours correspondra à un certain gain.

En regardant ce tableau, nous voyons que les deux quantités prenaient 10 valeurs différentes. Chaque valeur de la première valeur correspond à une certaine valeur de la deuxième valeur, par exemple, 2 jours correspondent à 40 roubles ; 5 jours correspondent à 100 roubles. Dans le tableau, ces nombres sont écrits les uns en dessous des autres.

Nous savons déjà que si deux quantités sont directement proportionnelles, alors chacune d'elles, au cours de son changement, augmente autant de fois que l'autre augmente. Il en découle immédiatement : si l'on prend le rapport de deux valeurs quelconques de la première quantité, alors il sera égal au rapport des deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité. En effet:

Pourquoi cela arrive-t-il? Mais parce que ces valeurs sont directement proportionnelles, c'est-à-dire lorsque l'une d'elles (le temps) a augmenté de 3 fois, alors l'autre (les gains) a augmenté de 3 fois.

Nous sommes donc arrivés à la conclusion suivante : si nous prenons deux valeurs de la première quantité et les divisons l'une par l'autre, puis divisons par une les valeurs correspondantes de la deuxième quantité, alors dans les deux cas nous obtiendrons le même numéro, c'est-à-dire la même relation. Cela signifie que les deux relations que nous avons écrites ci-dessus peuvent être reliées par un signe égal, c'est-à-dire

Il n'est pas douteux que si l'on prenait non pas ces rapports, mais d'autres, et non dans cet ordre, mais dans l'ordre inverse, on obtiendrait aussi l'égalité des rapports. En fait, nous considérerons les valeurs de nos quantités de gauche à droite et prendrons les troisième et neuvième valeurs :

60:180 = 1 / 3 .

On peut donc écrire :

Cela conduit à la conclusion suivante : si deux grandeurs sont directement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises de la première grandeur est égal au rapport des deux valeurs correspondantes de la deuxième grandeur.

§ 132. Formule de proportionnalité directe.

Créons un tableau des coûts diverses quantités bonbons, si 1 kg coûte 10,4 roubles.

Maintenant, procédons de cette façon. Prenez n’importe quel nombre de la deuxième ligne et divisez-le par le nombre correspondant de la première ligne. Par exemple:

Vous voyez que dans le quotient, le même nombre est toujours obtenu. Par conséquent, pour une paire donnée de quantités directement proportionnelles, le quotient de la division de toute valeur d'une quantité par la valeur correspondante d'une autre quantité est un nombre constant (c'est-à-dire qui ne change pas). Dans notre exemple, ce quotient est de 10,4. Ce nombre constant est appelé facteur de proportionnalité. DANS dans ce cas il exprime le prix d'une unité de mesure, soit un kilogramme de marchandise.

Comment trouver ou calculer le coefficient de proportionnalité ? Pour ce faire, vous devez prendre n'importe quelle valeur d'une quantité et la diviser par la valeur correspondante de l'autre.

Notons cette valeur arbitraire d'une quantité par la lettre à , et la valeur correspondante d'une autre quantité - la lettre X , puis le coefficient de proportionnalité (on le note À) on trouve par division :

Dans cette égalité à - divisible, X - diviseur et À- quotient, et puisque, par la propriété de division, le dividende est égal au diviseur multiplié par le quotient, on peut écrire :

y= K X

L’égalité résultante s’appelle formule de proportionnalité directe. En utilisant cette formule, nous pouvons calculer n'importe quel nombre de valeurs de l'une des quantités directement proportionnelles si nous connaissons les valeurs correspondantes de l'autre quantité et le coefficient de proportionnalité.

Exemple. De la physique, nous savons que le poids R. de tout corps est égal à sa gravité spécifique d , multiplié par le volume de ce corps V, c'est à dire. R. = d V.

Prenons cinq barres de fer de volumes différents ; connaissance densité spécifique fer (7.8), on peut calculer les poids de ces flans à l'aide de la formule :

R. = 7,8 V.

En comparant cette formule avec la formule à = À X , on voit ça y = R., X = V, et le coefficient de proportionnalité À= 7,8. La formule est la même, seules les lettres sont différentes.

A l'aide de cette formule, faisons un tableau : que le volume du 1er flan soit égal à 8 mètres cubes. cm, alors son poids est de 7,8 8 = 62,4 (g). Le volume du 2ème flan est de 27 mètres cubes. cm Son poids est de 7,8 27 = 210,6 (g). Le tableau ressemblera à ceci :

Calculez les nombres manquants dans ce tableau en utilisant la formule R.= d V.

§ 133. Autres méthodes de résolution de problèmes avec des quantités directement proportionnelles.

Dans le paragraphe précédent, nous avons résolu un problème dont la condition incluait des quantités directement proportionnelles. À cette fin, nous avons d’abord dérivé la formule de proportionnalité directe, puis appliqué cette formule. Nous allons maintenant montrer deux autres manières de résoudre des problèmes similaires.

Créons un problème en utilisant les données numériques données dans le tableau du paragraphe précédent.

Tâche. Blanc d'un volume de 8 mètres cubes. cm pèse 62,4 g. Combien pèsera un flan d'un volume de 64 mètres cubes ? cm?

Solution. Le poids du fer, comme on le sait, est proportionnel à son volume. Si 8 cu. cm pèsent 62,4 g, puis 1 cu. cm pèsera 8 fois moins, soit

62,4:8 = 7,8 (g).

Blanc d'un volume de 64 mètres cubes. cm pèsera 64 fois plus qu'un flan de 1 mètre cube. cm, c'est-à-dire

7,8 64 = 499,2(g).

Nous avons résolu notre problème en nous réduisant à l'unité. La signification de ce nom est justifiée par le fait que pour le résoudre il fallait trouver le poids d'une unité de volume dans la première question.

2. Méthode de proportion. Résolvons le même problème en utilisant la méthode des proportions.

Puisque le poids du fer et son volume sont des quantités directement proportionnelles, le rapport de deux valeurs d'une quantité (volume) est égal au rapport de deux valeurs correspondantes d'une autre quantité (poids), c'est-à-dire

(lettre R. nous avons désigné le poids inconnu du flan). D'ici:

(G).

Le problème a été résolu en utilisant la méthode des proportions. Cela signifie que pour le résoudre, une proportion a été calculée à partir des nombres inclus dans la condition.

§ 134. Les valeurs sont inversement proportionnelles.

Considérons le problème suivant : « Cinq maçons peuvent ajouter Mur de briquesà la maison en 168 jours. Déterminez en combien de jours 10, 8, 6, etc. les maçons pourraient accomplir le même travail.

Si 5 maçons posaient les murs d'une maison en 168 jours, alors (avec la même productivité du travail) 10 maçons pourraient le faire en deux fois moins de temps, puisqu'en moyenne 10 personnes font deux fois plus de travail que 5 personnes.

Établissons un tableau grâce auquel nous pourrions suivre l'évolution du nombre de travailleurs et des heures de travail.

Par exemple, pour savoir combien de jours il faut à 6 travailleurs, vous devez d'abord calculer combien de jours il faut à un travailleur (168 5 = 840), puis combien de jours il faut à six travailleurs (840 : 6 = 140). En regardant ce tableau, nous voyons que les deux quantités ont pris six valeurs différentes. Chaque valeur de la première grandeur correspond à une valeur spécifique ; la valeur de la deuxième quantité, par exemple, 10 correspond à 84, le nombre 8 correspond au nombre 105, etc.

Si l'on considère les valeurs des deux quantités de gauche à droite, nous verrons que les valeurs de la quantité supérieure augmentent et les valeurs de la quantité inférieure diminuent. L'augmentation et la diminution sont soumises à la loi suivante : les valeurs du nombre de travailleurs augmentent dans le même temps que les valeurs du temps de travail passé diminuent. Cette idée peut être exprimée encore plus simplement comme suit : plus les travailleurs sont engagés dans une tâche, moins ils ont besoin de temps pour accomplir un certain travail. Les deux quantités que nous avons rencontrées dans ce problème sont appelées inversement proportionnel.

Ainsi, si deux quantités sont liées l'une à l'autre de telle manière que, à mesure que la valeur de l'une d'elles augmente (diminue) plusieurs fois, la valeur de l'autre diminue (augmente) du même montant, alors ces quantités sont appelées inversement proportionnelles. .

Il existe de nombreuses quantités similaires dans la vie. Donnons des exemples.

1. Si pour 150 roubles. Si vous devez acheter plusieurs kilogrammes de bonbons, le nombre de bonbons dépendra du prix d'un kilogramme. Plus le prix est élevé, moins vous pouvez acheter de biens avec cet argent ; cela peut être vu dans le tableau :

À mesure que le prix des bonbons augmente plusieurs fois, le nombre de kilogrammes de bonbons pouvant être achetés pour 150 roubles diminue du même montant. Dans ce cas, deux quantités (le poids du produit et son prix) sont inversement proportionnelles.

2. Si la distance entre deux villes est de 1 200 km, elle peut alors être parcourue à des moments différents en fonction de la vitesse de déplacement. Exister différentes façons transport : à pied, à cheval, à vélo, en bateau, en voiture, en train, en avion. Plus la vitesse est faible, plus le déplacement prend du temps. Cela peut être vu dans le tableau :

Avec une augmentation de la vitesse plusieurs fois, le temps de trajet diminue du même montant. Cela signifie que dans ces conditions, la vitesse et le temps sont des quantités inversement proportionnelles.

§ 135. Propriété des quantités inversement proportionnelles.

Prenons le deuxième exemple, que nous avons vu dans le paragraphe précédent. Là, nous avons traité de deux grandeurs : la vitesse et le temps. Si l'on regarde le tableau des valeurs de ces grandeurs de gauche à droite, on verra que les valeurs de la première grandeur (vitesse) augmentent, et les valeurs de la seconde (temps) diminuent, et la vitesse augmente d’autant que le temps diminue. Il n'est pas difficile de comprendre que si vous écrivez le rapport de certaines valeurs d'une quantité, alors il ne sera pas égal au rapport des valeurs correspondantes d'une autre quantité. En fait, si l'on prend le rapport de la quatrième valeur de la valeur supérieure à la septième valeur (40 : 80), alors il ne sera pas égal au rapport des quatrième et septième valeurs de la valeur inférieure (30 : 80) 15). Cela peut s'écrire ainsi :

40:80 n'est pas égal à 30:15, ou 40:80 =/=30:15.

Mais si, au lieu d'une de ces relations, nous prenons le contraire, alors nous obtenons l'égalité, c'est-à-dire qu'à partir de ces relations, il sera possible de créer une proportion. Par exemple:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Sur la base de ce qui précède, nous pouvons tirer la conclusion suivante : si deux quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs arbitrairement prises d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes d'une autre quantité.

§ 136. Formule de proportionnalité inverse.

Considérez le problème : « Il y a 6 morceaux de tissu en soie des tailles différentes Et différentes variétés. Toutes les pièces coûtent le même prix. Une pièce contient 100 m de tissu, au prix de 20 roubles. par mètre Combien de mètres y a-t-il dans chacune des cinq autres pièces, si un mètre de tissu dans ces pièces coûte respectivement 25, 40, 50, 80, 100 roubles ? Pour résoudre ce problème, créons un tableau :

Nous devons remplir les cellules vides de la rangée supérieure de ce tableau. Essayons d'abord de déterminer combien de mètres il y a dans la deuxième pièce. Cela peut être fait comme suit. D'après les conditions du problème, on sait que le coût de toutes les pièces est le même. Le coût de la première pièce est facile à déterminer : elle contient 100 mètres et chaque mètre coûte 20 roubles, ce qui signifie que la première pièce de soie vaut 2 000 roubles. Puisque le deuxième morceau de soie contient le même montant de roubles, divisez donc 2 000 roubles. pour le prix d'un mètre, soit 25, on retrouve la taille de la deuxième pièce : 2 000 : 25 = 80 (m). De la même manière, nous trouverons la taille de toutes les autres pièces. Le tableau ressemblera à :

Il est facile de constater qu’il existe une relation inversement proportionnelle entre le nombre de mètres et le prix.

Si vous faites vous-même les calculs nécessaires, vous remarquerez qu'à chaque fois vous devez diviser le nombre 2 000 par le prix de 1 m. Au contraire, si vous commencez maintenant à multiplier la taille de la pièce en mètres par le prix de 1 m. , vous obtiendrez toujours le numéro 2 000. Et il a fallu attendre, puisque chaque pièce coûte 2 000 roubles.

De là, nous pouvons tirer la conclusion suivante : pour une paire donnée de quantités inversement proportionnelles, le produit de toute valeur d'une quantité par la valeur correspondante d'une autre quantité est un nombre constant (c'est-à-dire qui ne change pas).

Dans notre problème, ce produit est égal à 2 000. Vérifiez que dans le problème précédent, qui parlait de la vitesse de déplacement et du temps nécessaire pour se déplacer d'une ville à une autre, il y avait également un nombre constant pour ce problème (1 200).

Tout bien considéré, il est facile de dériver la formule de proportionnalité inverse. Notons une certaine valeur d'une quantité par la lettre X , et la valeur correspondante d'une autre quantité est représentée par la lettre à . Ensuite, sur la base de ce qui précède, le travail X sur à doit être égal à une valeur constante, que nous désignons par la lettre À, c'est à dire.

xy = À.

Dans cette égalité X - multiplicande à - multiplicateur et K- travail. Selon la propriété de multiplication, un multiplicateur est égal au produit divisé par le multiplicande. Moyens,

C'est la formule de proportionnalité inverse. En l'utilisant, nous pouvons calculer n'importe quel nombre de valeurs de l'une des quantités inversement proportionnelles, connaissant les valeurs de l'autre et le nombre constant À.

Considérons un autre problème : « L'auteur d'un essai a calculé que si son livre est dans un format régulier, il comportera 96 pages, mais s'il s'agit d'un format de poche, il comportera 300 pages. Il a essayé différentes variantes, a commencé avec 96 pages, puis il a eu 2 500 lettres par page. Ensuite, il a pris les numéros de page indiqués dans le tableau ci-dessous et a de nouveau calculé le nombre de lettres qu'il y aurait sur la page.

Essayons de calculer combien de lettres il y aura sur une page si le livre compte 100 pages.

Il y a 240 000 lettres dans tout le livre, puisque 2 500 96 = 240 000.

Compte tenu de cela, nous utilisons la formule de proportionnalité inverse ( à - nombre de lettres sur la page, X - nombre de pages):

Dans notre exemple À= 240 000 donc

Il y a donc 2 400 lettres sur la page.

De même, on apprend que si un livre comporte 120 pages, alors le nombre de lettres sur la page sera :

Notre tableau ressemblera à :

Remplissez vous-même les cellules restantes.

§ 137. Autres méthodes de résolution de problèmes avec des quantités inversement proportionnelles.

Dans le paragraphe précédent, nous avons résolu des problèmes dont les conditions incluaient des quantités inversement proportionnelles. Nous avons d’abord dérivé la formule de proportionnalité inverse, puis appliqué cette formule. Nous allons maintenant montrer deux autres solutions à de tels problèmes.

1. Méthode de réduction à l'unité.

Tâche. 5 tourneurs peuvent effectuer du travail en 16 jours. En combien de jours 8 tourneurs peuvent-ils réaliser ce travail ?

Solution. Il existe une relation inverse entre le nombre de tourneurs et la durée du travail. Si 5 tourneurs effectuent le travail en 16 jours, alors une personne aura besoin de 5 fois plus de temps pour cela, c'est-à-dire

5 tourneurs réalisent le travail en 16 jours,

1 tourneur le terminera en 16 5 = 80 jours.

Le problème demande combien de jours il faudra à 8 tourneurs pour terminer le travail. Évidemment, ils feront le travail 8 fois plus vite qu'un tourneur, c'est-à-dire en

80 : 8 = 10 (jours).

C'est la solution au problème en le réduisant à l'unité. Ici, il fallait tout d'abord déterminer le temps nécessaire pour terminer le travail par un seul ouvrier.

2. Méthode de proportion. Résolvons le même problème de la deuxième manière.

Puisqu'il existe une relation inversement proportionnelle entre le nombre d'ouvriers et le temps de travail, on peut écrire : durée de travail de 5 tourneurs nouveau nombre de tourneurs (8) durée de travail de 8 tourneurs nombre de tourneurs précédent (5) Notons le durée de travail requise par la lettre X et substituez-le dans la proportion exprimée en mots, numéros requis:

Le même problème est résolu par la méthode des proportions. Pour le résoudre, nous avons dû créer une proportion à partir des nombres inclus dans l'énoncé du problème.

Note. Dans les paragraphes précédents, nous avons examiné la question de la proportionnalité directe et inverse. La nature et la vie nous donnent de nombreux exemples de dépendance proportionnelle directe et inverse des quantités. Il convient toutefois de noter que ces deux types de dépendance ne sont que les plus simples. A côté d'eux, il existe d'autres dépendances plus complexes entre les quantités. De plus, il ne faut pas penser que si deux quantités augmentent simultanément, il existe nécessairement une proportionnalité directe entre elles. C'est loin d'être vrai. Par exemple, les péages pour chemin de fer augmente en fonction de la distance : plus on voyage, plus on paie cher, mais cela ne veut pas dire que le paiement est proportionnel à la distance.

Exemple

1,6 / 2 = 0,8 ; 4/5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8, etc.

Facteur de proportionnalité

Proportionnalité directe

Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :

F(X) = unX,un = const

Proportionnalité inverse

Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme d'une formule :

Propriétés de la fonction :

Sources

Fondation Wikimédia. 2010.

Complété par : Chepkasov Rodion

élève de 6ème

MBOU "Lycée N°53"

Barnaoul

Responsable : Boulykina O.G.

professeur de mathématiques

MBOU "Lycée N°53"

Barnaoul

Introduction. 1

Relations et proportions. 3

Relations proportionnelles directes et inverses. 4

Application de la proportionnelle directe et inverse 6

dépendances lors de la résolution de divers problèmes.

Conclusion. onze

Littérature. 12

Introduction.

Le mot proportion vient du mot latin proportion, qui signifie généralement proportionnalité, alignement des parties (un certain rapport des parties les unes par rapport aux autres). Dans l’Antiquité, la doctrine des proportions était tenue en haute estime par les Pythagoriciens. Aux proportions, ils associaient des pensées sur l'ordre et la beauté de la nature, sur les accords de consonnes dans la musique et l'harmonie dans l'univers. Ils appelaient certains types de proportions musicales ou harmoniques.

Même dans les temps anciens, l'homme a découvert que tous les phénomènes de la nature sont liés les uns aux autres, que tout est en mouvement et en changement continus et, lorsqu'il est exprimé en chiffres, révèle des modèles étonnants.

Les Pythagoriciens et leurs disciples cherchaient une expression numérique pour tout ce qui existe dans le monde. Ils ont découvert; que les proportions mathématiques sont à la base de la musique (le rapport entre la longueur de la corde et la hauteur, la relation entre les intervalles, le rapport des sons dans les accords qui donnent un son harmonique). Les Pythagoriciens ont tenté de justifier mathématiquement l'idée de l'unité du monde et ont soutenu que la base de l'univers était constituée de formes géométriques symétriques. Les Pythagoriciens recherchaient une base mathématique pour la beauté.

À la suite des Pythagoriciens, le scientifique médiéval Augustin appelait la beauté « égalité numérique ». Le philosophe scolastique Bonaventure a écrit : « Il n’y a pas de beauté et de plaisir sans proportionnalité, et la proportionnalité existe avant tout dans les nombres. Il faut que tout soit dénombrable. » Léonard de Vinci a écrit à propos de l'utilisation des proportions dans l'art dans son traité sur la peinture : « Le peintre incarne sous la forme des proportions les mêmes modèles cachés dans la nature que le scientifique connaît sous la forme de la loi numérique. »

Les proportions ont été utilisées pour résoudre divers problèmes tant dans l’Antiquité qu’au Moyen Âge. Certains types les problèmes sont désormais résolus facilement et rapidement en utilisant des proportions. Les proportions et la proportionnalité étaient et sont utilisées non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture et en art. La proportion en architecture et en art signifie maintenir certaines relations entre les tailles Différents composants bâtiment, figure, sculpture ou autre œuvre d’art. Dans de tels cas, la proportionnalité est une condition pour une construction et une représentation correctes et belles.

Dans mon travail, j'ai essayé d'envisager l'utilisation de relations proportionnelles directes et inverses dans divers domaines la vie environnante, tracer des liens avec les matières académiques à travers des tâches.

Relations et proportions.

Le quotient de deux nombres s'appelle attitude ces Nombres.

Spectacles d'attitude, combien de fois le premier nombre est supérieur au second ou quelle partie le premier nombre représente du second.

Tâche.

2,4 tonnes de poires et 3,6 tonnes de pommes ont été apportées au magasin. Quelle proportion des fruits apportés sont des poires ?

Solution . Voyons combien de fruits ils ont apporté : 2,4+3,6=6(t). Pour savoir quelle partie des fruits apportés sont des poires, on fait le rapport 2,4:6=. La réponse peut également être écrite sous la forme décimal ou en pourcentage : = 0,4 = 40 %.

Mutuellement inverse appelé Nombres, dont les produits sont égaux à 1. Donc la relation est appelée l'inverse de la relation.

Considérons deux ratios égaux : 4,5 : 3 et 6 : 4. Mettons un signe égal entre eux et obtenons la proportion : 4,5:3=6:4.

Proportion est l'égalité de deux relations : a : b =c :d ou = , où a et d sont termes de proportion extrêmes, c et b – membres moyens(tous les termes de la proportion sont différents de zéro).

Propriété de base de proportion:

dans la bonne proportion, le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.

En appliquant la propriété commutative de la multiplication, nous constatons que dans la bonne proportion, les termes extrêmes ou moyens peuvent être intervertis. Les proportions résultantes seront également correctes.

En utilisant la propriété de base de proportion, vous pouvez trouver son terme inconnu si tous les autres termes sont connus.

Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, vous devez multiplier les termes moyens et diviser par le terme extrême connu. x : b = c : ré , x =

Pour trouver le terme moyen inconnu d’une proportion, vous devez multiplier les termes extrêmes et diviser par le terme moyen connu. une : b =x : ré , x = .

Relations proportionnelles directes et inverses.

Les valeurs de deux grandeurs différentes peuvent dépendre mutuellement. Ainsi, l'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté, et vice versa - la longueur du côté d'un carré dépend de son aire.

Deux quantités sont dites proportionnelles si, avec l'augmentation

(diminuer) l'un d'eux plusieurs fois, l'autre augmente (diminue) le même nombre de fois.

Si deux quantités sont directement proportionnelles, alors les rapports des valeurs correspondantes de ces quantités sont égaux.

Exemple dépendance proportionnelle directe .

Dans une station-service 2 litres d'essence pèsent 1,6 kg. Combien pèseront-ils 5 litres d'essence ?

Solution:

Le poids du kérosène est proportionnel à son volume.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Réponse : 4 kg.

Ici, le rapport poids/volume reste inchangé.

Deux quantités sont dites inversement proportionnelles si, lorsque l'une d'elles augmente (diminue) plusieurs fois, l'autre diminue (augmente) du même montant.

Si les quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport des valeurs d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes d'une autre quantité.

P. exemplerelation inversement proportionnelle.

Deux rectangles ont la même aire. La longueur du premier rectangle est de 3,6 m et la largeur est de 2,4 m. La longueur du deuxième rectangle est de 4,8 m. Trouvez la largeur du deuxième rectangle.

Solution:

1 rectangle 3,6 m 2,4 m

2 rectangles 4,8 mx m

3,6 mx m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Réponse : 1,8 m.

Comme vous pouvez le constater, les problèmes impliquant des quantités proportionnelles peuvent être résolus en utilisant des proportions.

Toutes les deux quantités ne sont pas directement proportionnelles ou inversement proportionnelles. Par exemple, la taille d’un enfant augmente à mesure que son âge augmente, mais ces valeurs ne sont pas proportionnelles, puisque lorsque l’âge double, la taille de l’enfant ne double pas.

Utilisation pratique dépendance proportionnelle directe et inverse.

Tâche n°1

DANS bibliothèque de l'école 210 manuels de mathématiques, soit 15 % de l'ensemble de la collection de la bibliothèque. Combien de livres y a-t-il dans la collection de la bibliothèque ?

Solution:

Total des manuels - ? - 100%

Mathématiciens - 210 -15%

15% 210 académique

X = 100* 210 = 1400 manuels

100 % x compte. 15

Réponse : 1 400 manuels.

Problème n°2

Un cycliste parcourt 75 km en 3 heures. Combien de temps faudra-t-il à un cycliste pour parcourir 125 km à la même vitesse ?

Solution:

3h – 75km

H – 125 km

Le temps et la distance sont des quantités directement proportionnelles, donc

3 : x = 75 : 125,

x=
,

x=5.

Réponse : dans 5 heures.

Problème n°3

8 tuyaux identiques remplissent une piscine en 25 minutes. Combien de minutes faudra-t-il pour remplir une piscine avec 10 de ces tuyaux ?

Solution:

8 tuyaux – 25 minutes

10 tuyaux - ? minutes

Le nombre de tuyaux est inversement proportionnel au temps, donc

8h10 = x:25,

X =

x = 20

Réponse : dans 20 minutes.

Problème n°4

Une équipe de 8 ouvriers réalise la tâche en 15 jours. Combien de travailleurs peuvent accomplir la tâche en 10 jours tout en travaillant avec la même productivité ?

Solution:

8 jours ouvrables – 15 jours

Travailleurs - 10 jours

Le nombre de travailleurs est inversement proportionnel au nombre de jours, donc

x : 8 = 15 : 10,

x=
,

x=12.

Réponse : 12 ouvriers.

Problème n°5

A partir de 5,6 kg de tomates, on obtient 2 litres de sauce. Combien de litres de sauce peut-on obtenir avec 54 kg de tomates ?

Solution:

5,6kg – 2l

54 kg- ? je

Le nombre de kilogrammes de tomates est directement proportionnel à la quantité de sauce obtenue, donc

5,6:54 = 2:x,

X =
,

x = 19.

Réponse : 19 l.

Problème n°6

Pour chauffer le bâtiment scolaire, le charbon a été stocké pendant 180 jours au rythme de la consommation

0,6 tonne de charbon par jour. Combien de jours cet approvisionnement durera-t-il si 0,5 tonne est dépensée quotidiennement ?

Solution:

Nombre de jours

Taux de consommation

Le nombre de jours est inversement proportionnel au taux de consommation de charbon, donc

180 : x = 0,5 : 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Réponse : 216 jours.

Problème n°7

Dans le minerai de fer, pour 7 parts de fer, il y a 3 parts d’impuretés. Combien de tonnes d’impuretés y a-t-il dans le minerai qui contient 73,5 tonnes de fer ?

Solution:

Nombre de pièces

Poids

Fer

73,5

Impuretés

Le nombre de pièces est directement proportionnel à la masse, donc

7 : 73,5 = 3 : x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Réponse : 31,5 t

Problème n°8

La voiture a parcouru 500 km avec 35 litres d'essence. Combien de litres d’essence faudra-t-il pour parcourir 420 km ?

Solution:

Distance, km

Essence, l

La distance est directement proportionnelle à la consommation d'essence, donc

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Réponse : 29,4 l

Problème n°9

En 2 heures, nous avons attrapé 12 carassins. Combien de carassins seront capturés en 3 heures ?

Solution:

Le nombre de carassins ne dépend pas du temps. Ces quantités ne sont ni directement proportionnelles ni inversement proportionnelles.

Réponse : Il n'y a pas de réponse.

Problème n°10

Une entreprise minière doit acheter 5 nouvelles machines pour une certaine somme d'argent au prix de 12 000 roubles chacune. Combien de ces machines une entreprise peut-elle acheter si le prix d'une machine atteint 15 000 roubles ?

Solution:

Nombre de voitures, pcs.

Prix, mille roubles

Le nombre de voitures est inversement proportionnel au coût, donc

5 : x = 15 : 12,

x=5*12:15,

x=4.

Réponse : 4 voitures.

Problème n°11

Dans la ville N sur la place P, il y a un magasin dont le propriétaire est si strict qu'en cas de retard, il déduit 70 roubles du salaire pour 1 retard par jour. Deux filles, Yulia et Natasha, travaillent dans un même département. Leur salaire dépend du nombre de jours ouvrables. Yulia a reçu 4 100 roubles en 20 jours et Natasha aurait dû en recevoir plus en 21 jours, mais elle a été en retard pendant 3 jours consécutifs. Combien de roubles Natasha recevra-t-elle ?

Solution:

Jours de travail

Salaire, frottez.

Julia

4100

Natasha

Le salaire est directement proportionnel au nombre de jours travaillés, donc

20h21 = 4100:x,

x=4305.

4305 roubles. Natasha aurait dû le recevoir.

4305 – 3 * 70 = 4095 (frotter.)

Réponse : Natasha recevra 4 095 roubles.

Problème n°12

La distance entre deux villes sur la carte est de 6 cm. Trouvez la distance entre ces villes au sol si l'échelle de la carte est de 1 : 250 000.

Solution:

Notons la distance entre les villes au sol par x (en centimètres) et trouvons le rapport entre la longueur du segment sur la carte et la distance au sol, qui sera égal à l'échelle de la carte : 6 : x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1 500 000.

1 500 000 cm = 15 km

Réponse : 15 km.

Problème n°13

4000 g de solution contiennent 80 g de sel. Quelle est la concentration de sel dans cette solution ?

Solution:

Poids, g

Concentration, %

Solution

4000

Sel

4000 : 80 = 100 : x,

X =
,

x = 2.

Réponse : La concentration en sel est de 2 %.

Problème n°14

La banque accorde un prêt à 10 % par an. Vous avez reçu un prêt de 50 000 roubles. Combien devez-vous reverser à la banque par an ?

Solution:

50 000 roubles.

100%

x frotter.

50000 : x = 100 : 10,

x= 50 000*10:100,

x=5000.

5000 roubles. est de 10 %.

50 000 + 5 000=55 000 (frottement)

Réponse : dans un an, la banque récupérera 55 000 roubles.

Conclusion.

Comme nous pouvons le voir à partir des exemples ci-dessus, les relations proportionnelles directes et inverses sont applicables dans divers domaines de la vie :

Économie,

Commerce,

Dans la production et l'industrie,

Vie scolaire,

Cuisson,

Construction et architecture.

Des sports,

Élevage,

Topographies,

Physiciens,

Chimie, etc

Dans la langue russe, il existe également des proverbes et des dictons qui établissent directement et relation inverse:

À son retour, il réagira également.

Plus la souche est haute, plus l'ombre est haute.

Plus il y a de monde, moins il y a d'oxygène.

Et c'est prêt, mais stupide.

Les mathématiques sont l’une des sciences les plus anciennes ; elles sont nées des besoins et des désirs de l’humanité. Ayant parcouru l'histoire de la formation depuis La Grèce ancienne, il reste toujours pertinent et nécessaire dans Vie courante toute personne. Le concept de proportionnalité directe et inverse est connu depuis l'Antiquité, puisque ce sont les lois de proportion qui motivaient les architectes lors de toute construction ou création de toute sculpture.

La connaissance des proportions est largement utilisée dans toutes les sphères de la vie et de l'activité humaines - on ne peut s'en passer lorsqu'on peint (paysages, natures mortes, portraits, etc.), elle est également répandue chez les architectes et les ingénieurs - en général, il est difficile de imaginez créer quelque chose sans utiliser la connaissance des proportions et de leurs relations.

Littérature.

Mathématiques-6, N.Ya. Vilenkin et coll.

Algèbre -7, G.V. Dorofeev et autres.

Mathématiques-9, GIA-9, édité par F.F. Lyssenko, S.Yu. Koulaboukhova

Mathématiques-6, matériel didactique, P.V. Chulkov, A.B. Ouédinov

Problèmes de mathématiques pour les classes 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Recueil de problèmes et d'exemples en mathématiques de la 5e à la 6e année, N.A. Tereshine,

T.N. Tereshina, M. « Aquarium » 1997

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