Que signifie la dépendance directement proportionnelle ? Leçon "Relations proportionnelles directes et inverses"
Les deux quantités sont appelées directement proportionnel, si lorsque l'un d'eux augmente plusieurs fois, l'autre augmente du même montant. Ainsi, lorsque l'un d'eux diminue plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.
La relation entre ces quantités est une relation proportionnelle directe. Exemples de dépendance proportionnelle directe :
1) à vitesse constante, la distance parcourue est directement proportionnelle au temps ;
2) le périmètre du carré et son côté sont droits quantités proportionnelles;
3) le coût d'un produit acheté à un prix est directement proportionnel à sa quantité.
Pour distinguer une relation proportionnelle directe d’une relation inverse, vous pouvez utiliser le proverbe : « Plus on s’enfonce dans la forêt, plus il y a de bois de chauffage ».
Il est pratique de résoudre des problèmes impliquant des quantités directement proportionnelles à l’aide de proportions.
1) Pour fabriquer 10 pièces, il vous faut 3,5 kg de métal. Quelle quantité de métal faudra-t-il pour fabriquer 12 de ces pièces ?
(On raisonne ainsi :
1. Dans la colonne remplie, placez une flèche dans la direction de plusà moins.
2. Plus il y a de pièces, plus il faut de métal pour les fabriquer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.
Supposons que x kg de métal soient nécessaires pour fabriquer 12 pièces. On compose la proportion (dans le sens du début de la flèche vers sa fin) :
12:10=x:3,5
Pour trouver , vous devez diviser le produit des termes extrêmes par le terme moyen connu :
Cela signifie qu'il faudra 4,2 kg de métal.
Réponse : 4,2 kg.
2) Pour 15 mètres de tissu, ils ont payé 1 680 roubles. Combien coûtent 12 mètres d’un tel tissu ?
(1. Dans la colonne remplie, placez une flèche dans le sens du plus grand nombre vers le plus petit.
2. Moins vous achetez de tissu, moins vous devez le payer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.
3. Par conséquent, la deuxième flèche va dans la même direction que la première).
Supposons que x roubles coûtent 12 mètres de tissu. On fait une proportion (du début de la flèche jusqu'à sa fin) :
15:12=1680:x
Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, divisez le produit des termes médians par le terme extrême connu de la proportion :
Cela signifie que 12 mètres coûtent 1 344 roubles.
Réponse : 1344 roubles.
Exemple
1,6 / 2 = 0,8 ; 4/5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8, etc.Facteur de proportionnalité
Une relation constante de quantités proportionnelles est appelée facteur de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité il y a par unité d'une autre.
Proportionnalité directe
Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une certaine quantité dépend d'une autre quantité de telle sorte que leur rapport reste constant. En d'autres termes, ces variables changent proportionnellement, en parts égales, c'est-à-dire que si l'argument change deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.
Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :
F(X) = unX,un = const
Proportionnalité inverse
Proportionnalité inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une augmentation de la valeur indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la valeur dépendante (fonction).
Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme d'une formule :
Propriétés de la fonction :
Sources
Fondation Wikimédia. 2010.
- Deuxième loi de Newton
- Barrière coulombienne
Voyez ce qu’est la « proportionnalité directe » dans d’autres dictionnaires :
proportionnalité directe- - [A.S. Goldberg. Dictionnaire de l'énergie anglais-russe. 2006] Thèmes énergétiques en général EN rapport direct... Guide du traducteur technique
proportionnalité directe-tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. proportionnalité directe vok. direkte Proportionalität, f rus. proportionnalité directe, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORTIONNALITÉ- (du latin proportionalis proportionné, proportionnel). Proportionnalité. Dictionnaire de mots étrangers inclus dans la langue russe. Chudinov A.N., 1910. PROPORTIONNALITÉ lat. proportionnel, proportionnel. Proportionnalité. Explication 25000... ... Dictionnaire des mots étrangers de la langue russe
PROPORTIONNALITÉ- PROPORTIONNALITÉ, proportionnalité, pluriel. non, femme (livre). 1. résumé nom à la proportionnelle. Proportionnalité des pièces. Proportionnalité corporelle. 2. Un tel rapport entre les quantités lorsqu'elles sont proportionnelles (voir proportionnel... Dictionnaire Ouchakova
Proportionnalité- Deux grandeurs mutuellement dépendantes sont dites proportionnelles si le rapport de leurs valeurs reste inchangé Contenu 1 Exemple 2 Coefficient de proportionnalité... Wikipédia.
PROPORTIONNALITÉ- PROPORTIONNALITÉ, et, féminine. 1. voir proportionnel. 2. En mathématiques : une telle relation entre des quantités dans laquelle une augmentation de l'une d'elles entraîne une modification de l'autre du même montant. Ligne droite (avec une coupe avec une augmentation d'une valeur... ... Dictionnaire explicatif d'Ojegov
proportionnalité- Et; et. 1. à Proportionnel (1 valeur) ; proportionnalité. P. pièces. P. physique. P. représentation au parlement. 2. Mathématiques. Dépendance entre des quantités proportionnellement changeantes. Facteur de proportionnalité. Ligne directe (dans laquelle avec... ... Dictionnaire encyclopédique
Aujourd'hui, nous examinerons quelles quantités sont appelées inversement proportionnelles, à quoi ressemble un graphique de proportionnalité inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors de l'école.
Des proportions si différentes
Proportionnalité Nommez deux quantités qui dépendent mutuellement l’une de l’autre.
La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, les relations entre les quantités sont décrites par une proportionnalité directe et inverse.
Proportionnalité directe– il s'agit d'une telle relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une d'elles entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Ceux. leur attitude ne change pas.
Par exemple, plus vous consacrez d’efforts à étudier en vue des examens, plus vos notes sont élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus votre sac à dos sera lourd à transporter. Ceux. L'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnelle à son poids.
Proportionnalité inverse– il s’agit d’une dépendance fonctionnelle dans laquelle une diminution ou une augmentation plusieurs fois d’une valeur indépendante (c’est ce qu’on appelle un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c’est-à-dire le même nombre de fois) d’une valeur dépendante (c’est ce qu’on appelle un fonction).
Illustrons exemple simple. Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d’argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Ceux. Plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d’argent.
Fonction et son graphique
La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k/x. Dans lequel X≠ 0 et k≠ 0.
Cette fonction a les propriétés suivantes :
- Son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels sauf X = 0. D(oui): (-∞; 0) U (0; +∞).
- La plage est constituée de nombres réels sauf oui= 0. E(y) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
- N'a pas de valeurs maximales ou minimales.
- C'est étrange et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
- Non périodique.
- Son graphique ne coupe pas les axes de coordonnées.
- N'a pas de zéros.
- Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement sur chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- À mesure que l'argument augmente ( k> 0) valeurs négatives les fonctions sont dans l'intervalle (-∞; 0) et les fonctions positives sont (0; +∞). Lorsque l'argument diminue ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Le graphique d’une fonction de proportionnalité inverse s’appelle une hyperbole. Montré comme suit :
Problèmes de proportionnalité inverse
Pour que ce soit plus clair, examinons plusieurs tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et les résoudre vous aidera à visualiser ce qu'est la proportionnalité inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie quotidienne.
Tâche n°1. Une voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour arriver à destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s’il se déplace à une vitesse deux fois plus rapide ?
Nous pouvons commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D’accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps qu’une voiture passe sur la route et la vitesse à laquelle elle se déplace sont en proportion inverse.
Pour le vérifier, trouvons V 2, qui, selon la condition, est 2 fois plus élevé : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Or, il n'est pas difficile de connaître le temps t 2 qui nous est demandé en fonction des conditions du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.
Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en effet inversement proportionnels : à une vitesse 2 fois supérieure à la vitesse d'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.
La solution à ce problème peut également s’écrire sous forme de proportion. Faisons donc d'abord ce schéma :
↓ 60 km/h – 6 heures
↓120 km/h – xh
Les flèches indiquent une relation inversement proportionnelle. Ils suggèrent également que lors de l'établissement d'une proportion, il faut retourner le côté droit de la fiche : 60/120 = x/6. Où obtenons-nous x = 60 * 6/120 = 3 heures.
Tâche n°2. L'atelier emploie 6 ouvriers capables d'effectuer une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il aux travailleurs restants pour accomplir la même quantité de travail ?
Écrivons les conditions du problème sous la forme d'un schéma visuel :
↓ 6 ouvriers – 4 heures
↓ 3 ouvriers – x h
Écrivons cela sous forme de proportion : 6/3 = x/4. Et on obtient x = 6 * 4/3 = 8 heures S'il y a 2 fois moins de travailleurs, les autres passeront 2 fois plus de temps à faire tout le travail.
Tâche n°3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Grâce à un tuyau, l'eau s'écoule à une vitesse de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Grâce à un autre tuyau, la piscine se remplira en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?
Pour commencer, réduisons toutes les grandeurs qui nous sont données selon les conditions du problème aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime la vitesse de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Puisqu'il résulte de la condition que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit de l'eau est plus faible. La proportionnalité est inverse. Exprimons la vitesse inconnue par x et traçons le schéma suivant :
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Et puis on compose la proportion : 120/x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Dans le problème, la vitesse de remplissage de la piscine est exprimée en litres par seconde, réduisons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.
Tâche n°4. Une petite imprimerie privée imprime des cartes de visite. Un employé d'une imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille une journée complète - 8 heures. S’il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, combien de temps plus tôt pourrait-il rentrer chez lui ?
Nous suivons le chemin éprouvé et dressons un schéma en fonction des conditions du problème, désignant la valeur souhaitée par x :
↓ 42 cartes de visite/heure – 8 heures
↓ 48 cartes de visite/h – x h
Nous avons une relation inversement proportionnelle : le nombre de fois plus de cartes de visite qu'un employé d'une imprimerie imprime par heure, le même nombre de fois moins de temps dont il aura besoin pour effectuer le même travail. Sachant cela, créons une proportion :
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 heures.
Ainsi, après avoir terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.
Conclusion
Il nous semble que ces tâches sont proportionnalité inverse vraiment simple. Nous espérons que maintenant vous les considérez également de cette façon. Et l'essentiel est que la connaissance de la dépendance inversement proportionnelle des quantités puisse vraiment vous être utile plus d'une fois.
Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même alors, lorsque vous vous préparez à partir en voyage, à faire du shopping, à décider de gagner un peu d'argent supplémentaire pendant les vacances, etc.
Dites-nous dans les commentaires quels exemples de relations proportionnelles inverses et directes vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article sur dans les réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent également jouer.
site Web, lors de la copie du matériel en totalité ou en partie, un lien vers la source originale est requis.
Complété par : Chepkasov Rodion
élève de 6ème
MBOU "Lycée N°53"
Barnaoul
Responsable : Boulykina O.G.
professeur de mathématiques
MBOU "Lycée N°53"
Barnaoul
Introduction. 1
Relations et proportions. 3
Relations proportionnelles directes et inverses. 4
Application de la proportionnelle directe et inverse 6
dépendances lors de la résolution de divers problèmes.
Conclusion. onze
Littérature. 12
Introduction.
Le mot proportion vient du mot latin proportion, qui signifie généralement proportionnalité, alignement des parties (un certain rapport des parties les unes par rapport aux autres). Dans l’Antiquité, la doctrine des proportions était tenue en haute estime par les Pythagoriciens. Aux proportions, ils associaient des pensées sur l'ordre et la beauté de la nature, sur les accords de consonnes dans la musique et l'harmonie dans l'univers. Ils appelaient certains types de proportions musicales ou harmoniques.
Même dans les temps anciens, l'homme a découvert que tous les phénomènes de la nature sont liés les uns aux autres, que tout est en mouvement et en changement continus et, lorsqu'il est exprimé en chiffres, révèle des modèles étonnants.
Les Pythagoriciens et leurs disciples cherchaient une expression numérique pour tout ce qui existe dans le monde. Ils ont découvert; que les proportions mathématiques sont à la base de la musique (le rapport entre la longueur de la corde et la hauteur, la relation entre les intervalles, le rapport des sons dans les accords qui donnent un son harmonique). Les Pythagoriciens ont tenté de justifier mathématiquement l'idée de l'unité du monde et ont soutenu que la base de l'univers était constituée de formes géométriques symétriques. Les Pythagoriciens recherchaient une base mathématique pour la beauté.
À la suite des Pythagoriciens, le scientifique médiéval Augustin appelait la beauté « égalité numérique ». Le philosophe scolastique Bonaventure a écrit : « Il n’y a pas de beauté et de plaisir sans proportionnalité, et la proportionnalité existe avant tout dans les nombres. Il faut que tout soit dénombrable. » Léonard de Vinci a écrit à propos de l'utilisation des proportions dans l'art dans son traité sur la peinture : « Le peintre incarne sous la forme des proportions les mêmes modèles cachés dans la nature que le scientifique connaît sous la forme de la loi numérique. »
Les proportions ont été utilisées pour résoudre divers problèmes tant dans l’Antiquité qu’au Moyen Âge. Certains types les problèmes sont désormais résolus facilement et rapidement en utilisant des proportions. Les proportions et la proportionnalité étaient et sont utilisées non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture et en art. La proportion en architecture et en art signifie maintenir certaines relations entre les tailles Différents composants bâtiment, figure, sculpture ou autre œuvre d’art. Dans de tels cas, la proportionnalité est une condition pour une construction et une représentation correctes et belles.
Dans mon travail, j'ai essayé d'envisager l'utilisation de relations proportionnelles directes et inverses dans divers domaines la vie environnante, tracer des liens avec les matières académiques à travers des tâches.
Relations et proportions.
Le quotient de deux nombres s'appelle attitude ces Nombres.
Spectacles d'attitude, combien de fois le premier nombre est supérieur au second ou quelle partie le premier nombre représente du second.
Tâche.
2,4 tonnes de poires et 3,6 tonnes de pommes ont été apportées au magasin. Quelle proportion des fruits apportés sont des poires ?
Solution . Voyons combien de fruits ils ont apporté : 2,4+3,6=6(t). Pour savoir quelle partie des fruits apportés sont des poires, on fait le rapport 2,4:6=. La réponse peut également être écrite sous la forme décimal ou en pourcentage : = 0,4 = 40 %.
Mutuellement inverse appelé Nombres, dont les produits sont égaux à 1. Donc la relation est appelée l'inverse de la relation.
Considérons deux ratios égaux : 4,5 : 3 et 6 : 4. Mettons un signe égal entre eux et obtenons la proportion : 4,5:3=6:4.
Proportion est l'égalité de deux relations : a : b =c :d ou = 
, où a et d sont termes de proportion extrêmes, c et b – membres moyens(tous les termes de la proportion sont différents de zéro).
Propriété de base de proportion:
dans la bonne proportion, le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.
En appliquant la propriété commutative de la multiplication, nous constatons que dans la bonne proportion, les termes extrêmes ou moyens peuvent être intervertis. Les proportions résultantes seront également correctes.
En utilisant la propriété de base de proportion, vous pouvez trouver son terme inconnu si tous les autres termes sont connus.
Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, vous devez multiplier les termes moyens et diviser par le terme extrême connu. x : b = c : ré , x = 
Pour trouver le terme moyen inconnu d’une proportion, vous devez multiplier les termes extrêmes et diviser par le terme moyen connu. une : b =x : ré , x = 
.
Relations proportionnelles directes et inverses.
Les valeurs de deux grandeurs différentes peuvent dépendre mutuellement. Ainsi, l'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté, et vice versa - la longueur du côté d'un carré dépend de son aire.
Deux quantités sont dites proportionnelles si, avec l'augmentation
(diminuer) l'un d'eux plusieurs fois, l'autre augmente (diminue) le même nombre de fois.
Si deux quantités sont directement proportionnelles, alors les rapports des valeurs correspondantes de ces quantités sont égaux.
Exemple dépendance proportionnelle directe .
Dans une station-service 2 litres d'essence pèsent 1,6 kg. Combien pèseront-ils ? 5 litres d'essence ?
Solution:
Le poids du kérosène est proportionnel à son volume.
2l - 1,6kg
5l - xkg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Réponse : 4 kg.
Ici, le rapport poids/volume reste inchangé.
Deux quantités sont dites inversement proportionnelles si, lorsque l'une d'elles augmente (diminue) plusieurs fois, l'autre diminue (augmente) du même montant.
Si les quantités sont inversement proportionnelles, alors le rapport des valeurs d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes d'une autre quantité.
P. exemplerelation inversement proportionnelle.
Deux rectangles ont la même aire. La longueur du premier rectangle est de 3,6 m et la largeur est de 2,4 m. La longueur du deuxième rectangle est de 4,8 m. Trouvez la largeur du deuxième rectangle.
Solution:
1 rectangle 3,6 m 2,4 m
2 rectangles 4,8 mx m
3,6 mx m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6*2,4 = 1,8 m
Réponse : 1,8 m.
Comme vous pouvez le constater, les problèmes impliquant des quantités proportionnelles peuvent être résolus en utilisant des proportions.
Toutes les deux quantités ne sont pas directement proportionnelles ou inversement proportionnelles. Par exemple, la taille d’un enfant augmente à mesure que son âge augmente, mais ces valeurs ne sont pas proportionnelles, puisque lorsque l’âge double, la taille de l’enfant ne double pas.
Utilisation pratique dépendance proportionnelle directe et inverse.
Tâche n°1
DANS bibliothèque de l'école 210 manuels de mathématiques, soit 15 % de l'ensemble de la collection de la bibliothèque. Combien de livres y a-t-il dans la collection de la bibliothèque ?
Solution:
Total des manuels - ? - 100%
Mathématiciens - 210 -15%
15% 210 académique.
X = 100* 210 = 1400 manuels
100% x tel. 15
Réponse : 1 400 manuels.
Problème n°2
Un cycliste parcourt 75 km en 3 heures. Combien de temps faudra-t-il à un cycliste pour parcourir 125 km à la même vitesse ?
Solution:
3h – 75km
H – 125 km
Le temps et la distance sont des quantités directement proportionnelles, donc
3 : x = 75 : 125,
x= 
,
x=5.
Réponse : dans 5 heures.
Tâche n°3
8 tuyaux identiques remplissent une piscine en 25 minutes. Combien de minutes faudra-t-il pour remplir une piscine avec 10 de ces tuyaux ?
Solution:
8 tuyaux – 25 minutes
10 tuyaux - ? minutes
Le nombre de tuyaux est inversement proportionnel au temps, donc
8h10 = x:25,
X = 
x = 20
Réponse : dans 20 minutes.
Problème n°4
Une équipe de 8 ouvriers réalise la tâche en 15 jours. Combien de travailleurs peuvent accomplir la tâche en 10 jours tout en travaillant avec la même productivité ?
Solution:
8 jours ouvrables – 15 jours
Travailleurs - 10 jours
Le nombre de travailleurs est inversement proportionnel au nombre de jours, donc
x : 8 = 15 : 10,
x= 
,
x=12.
Réponse : 12 ouvriers.
Problème n°5
A partir de 5,6 kg de tomates, on obtient 2 litres de sauce. Combien de litres de sauce peut-on obtenir avec 54 kg de tomates ?
Solution:
5,6kg – 2l
54 kg- ? je
Le nombre de kilogrammes de tomates est directement proportionnel à la quantité de sauce obtenue, donc
5,6:54 = 2:x,
X = 
,
x = 19.
Réponse : 19 l.
Problème n°6
Pour chauffer le bâtiment scolaire, le charbon a été stocké pendant 180 jours au rythme de la consommation
0,6 tonne de charbon par jour. Combien de jours cet approvisionnement durera-t-il si 0,5 tonne est dépensée quotidiennement ?
Solution:
Nombre de jours
Taux de consommation
Le nombre de jours est inversement proportionnel au taux de consommation de charbon, donc
180 : x = 0,5 : 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Réponse : 216 jours.
Problème n°7
Dans le minerai de fer, pour 7 parts de fer, il y a 3 parts d’impuretés. Combien de tonnes d’impuretés y a-t-il dans le minerai qui contient 73,5 tonnes de fer ?
Solution:
Nombre de pièces
Poids
Fer
73,5
Impuretés
Le nombre de pièces est directement proportionnel à la masse, donc
7 : 73,5 = 3 : x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Réponse : 31,5 t
Problème n°8
La voiture a parcouru 500 km avec 35 litres d'essence. Combien de litres d’essence faudra-t-il pour parcourir 420 km ?
Solution:
Distance, km
Essence, l
La distance est directement proportionnelle à la consommation d'essence, donc
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Réponse : 29,4 l
Problème n°9
En 2 heures, nous avons attrapé 12 carassins. Combien de carassins seront capturés en 3 heures ?
Solution:
Le nombre de carassins ne dépend pas du temps. Ces quantités ne sont ni directement proportionnelles ni inversement proportionnelles.
Réponse : Il n'y a pas de réponse.
Problème n°10
Une entreprise minière doit acheter 5 nouvelles machines pour une certaine somme d'argent au prix de 12 000 roubles chacune. Combien de ces machines une entreprise peut-elle acheter si le prix d'une machine atteint 15 000 roubles ?
Solution:
Nombre de voitures, pcs.
Prix, mille roubles
Le nombre de voitures est inversement proportionnel au coût, donc
5 : x = 15 : 12,
x=5*12:15,
x=4.
Réponse : 4 voitures.
Problème n°11
Dans la ville N sur la place P, il y a un magasin dont le propriétaire est si strict qu'en cas de retard, il déduit 70 roubles du salaire pour 1 retard par jour. Deux filles, Yulia et Natasha, travaillent dans le même département. Leur salaire dépend du nombre de jours ouvrables. Yulia a reçu 4 100 roubles en 20 jours et Natasha aurait dû en recevoir plus en 21 jours, mais elle a été en retard pendant 3 jours consécutifs. Combien de roubles Natasha recevra-t-elle ?
Solution:
Jours de travail
Salaire, frottez.
Julia
4100
Natasha
Le salaire est directement proportionnel au nombre de jours travaillés, donc
20h21 = 4100:x,
x=4305.
4305 roubles. Natasha aurait dû le recevoir.
4305 – 3 * 70 = 4095 (frotter.)
Réponse : Natasha recevra 4 095 roubles.
Problème n°12
La distance entre deux villes sur la carte est de 6 cm. Trouvez la distance entre ces villes au sol si l'échelle de la carte est de 1 : 250 000.
Solution:
Notons la distance entre les villes au sol par x (en centimètres) et trouvons le rapport entre la longueur du segment sur la carte et la distance au sol, qui sera égal à l'échelle de la carte : 6 : x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1 500 000.
1 500 000 cm = 15 km
Réponse : 15 km.
Problème n°13
4000 g de solution contiennent 80 g de sel. Quelle est la concentration de sel dans cette solution ?
Solution:
Poids, g
Concentration, %
Solution
4000
Sel
4000 : 80 = 100 : x,
X = 
,
x = 2.
Réponse : La concentration en sel est de 2 %.
Problème n°14
La banque accorde un prêt à 10 % par an. Vous avez reçu un prêt de 50 000 roubles. Combien devez-vous reverser à la banque par an ?
Solution:
50 000 roubles.
100%
x frotter.
50000 : x = 100 : 10,
x= 50 000*10:100,
x=5000.
5000 roubles. est de 10 %.
50 000 + 5 000=55 000 (frottement)
Réponse : dans un an, la banque récupérera 55 000 roubles.
Conclusion.
Comme nous pouvons le voir à partir des exemples donnés, les relations proportionnelles directes et inverses sont applicables dans divers domaines de la vie :
Économie,
Commerce,
Dans la production et l'industrie,
Vie scolaire,
Cuisson,
Construction et architecture.
Des sports,
Élevage,
Topographies,
Physiciens,
Chimie, etc
Dans la langue russe, il existe également des proverbes et des dictons qui établissent des relations directes et inverses :
À son retour, il réagira également.
Plus la souche est haute, plus l'ombre est haute.
Plus il y a de monde, moins il y a d'oxygène.
Et c'est prêt, mais stupide.
Les mathématiques sont l’une des sciences les plus anciennes ; elles sont nées des besoins et des désirs de l’humanité. Ayant parcouru l'histoire de la formation depuis La Grèce ancienne, il reste toujours pertinent et nécessaire dans Vie courante toute personne. Le concept de proportionnalité directe et inverse est connu depuis l'Antiquité, puisque ce sont les lois de proportion qui motivaient les architectes lors de toute construction ou création de toute sculpture.
La connaissance des proportions est largement utilisée dans toutes les sphères de la vie et de l'activité humaines - on ne peut s'en passer lorsqu'on peint (paysages, natures mortes, portraits, etc.), elle est également répandue chez les architectes et les ingénieurs - en général, il est difficile de imaginez créer quelque chose sans utiliser la connaissance des proportions et de leurs relations.
Littérature.
Mathématiques-6, N.Ya. Vilenkin et coll.
Algèbre -7, G.V. Dorofeev et autres.
Mathématiques-9, GIA-9, édité par F.F. Lyssenko, S.Yu. Koulaboukhova
Mathématiques-6, matériel didactique, P.V. Chulkov, A.B. Ouédinov
Problèmes de mathématiques pour les classes 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988
Recueil de problèmes et d'exemples en mathématiques de la 5e à la 6e année, N.A. Tereshine,
T.N. Tereshina, M. « Aquarium » 1997
Types de dépendances
Voyons comment charger la batterie. Comme première quantité, prenons le temps de recharge. La deuxième valeur est la durée pendant laquelle il fonctionnera après le chargement. Plus vous chargez la batterie longtemps, plus elle durera longtemps. Le processus se poursuivra jusqu'à ce que la batterie soit complètement chargée.
Dépendance de la durée de fonctionnement de la batterie par rapport au temps de charge
Note 1
Cette dépendance est appelée droit:
À mesure qu’une valeur augmente, la seconde augmente également. À mesure qu’une valeur diminue, la deuxième valeur diminue également.
Regardons un autre exemple.
Comment plus de livres l'élève lira, puis moins d'erreurs je le ferai sous dictée. Ou plus vous montez haut dans les montagnes, plus la pression atmosphérique sera basse.
Note 2
Cette dépendance est appelée inverse:
À mesure qu’une valeur augmente, la seconde diminue. À mesure qu’une valeur diminue, la deuxième valeur augmente.
Ainsi, au cas où dépendance directe les deux quantités changent également (les deux augmentent ou diminuent), et dans le cas relation inverse – ci-contre (l’un augmente et l’autre diminue, ou vice versa).
Détermination des dépendances entre les quantités
Exemple 1
Le temps nécessaire pour rendre visite à un ami est de 20$ minutes. Si la vitesse (première valeur) augmente de 2$ fois, nous découvrirons comment le temps (deuxième valeur) qui sera consacré au chemin vers un ami changera.
Évidemment, le temps diminuera de 2$ fois.
Note 3
Cette dépendance est appelée proportionnel:
Le nombre de fois qu'une quantité change, le nombre de fois que la deuxième quantité change.
Exemple 2
Pour des miches de pain à 2 $ dans le magasin, vous devez payer 80 roubles. Si vous devez acheter des miches de pain à 4 $ (la quantité de pain augmente de 2 $), combien de fois devrez-vous payer plus ?
Évidemment, le coût augmentera également de 2 $. Nous avons un exemple de dépendance proportionnelle.
Dans les deux exemples, des dépendances proportionnelles ont été prises en compte. Mais dans l’exemple des miches de pain, les quantités changent dans un sens, donc la dépendance est droit. Et dans l’exemple d’aller chez un ami, la relation entre vitesse et temps est inverse. Il y a donc relation directement proportionnelle Et relation inversement proportionnelle.
Proportionnalité directe
Considérons des quantités proportionnelles à 2$ : le nombre de miches de pain et leur coût. Supposons que des miches de pain à 2 $ coûtent 80 $ en roubles. Si le nombre de petits pains augmente de 4 $ (petits pains de 8 $), leur coût total sera de 320 $ de roubles.
Le rapport du nombre de rouleaux : $\frac(8)(2)=4$.
Ratio de coût du petit pain : $\frac(320)(80)=4 $.
Comme vous pouvez le constater, ces relations sont égales les unes aux autres :
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Définition 1
L'égalité de deux rapports s'appelle proportion.
Avec une dépendance directement proportionnelle, une relation est obtenue lorsque la variation des première et deuxième quantités coïncide :
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Définition 2
Les deux quantités sont appelées directement proportionnel, si lorsque l'une d'elles change (augmente ou diminue), l'autre valeur change également (augmente ou diminue, respectivement) du même montant.
Exemple 3
La voiture a parcouru 180$ de km en 2$ d'heures. Trouvez le temps pendant lequel il parcourra 2$ fois la distance à la même vitesse.
Solution.
Le temps est directement proportionnel à la distance :
$t=\frac(S)(v)$.
De combien de fois la distance augmentera-t-elle, à vitesse constante, du même montant le temps augmentera-t-il :
$\frac(2S)(v)=2t$ ;
$\frac(3S)(v)=3t$.
La voiture a parcouru 180$ de km en 2$ d'heures
La voiture parcourra 180 $ \cdot 2=360$ km - en $x$ heures
Plus la voiture roule loin, plus cela prendra du temps. Par conséquent, le rapport entre les quantités est directement proportionnel.
Faisons une proportion :
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$ ;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Répondre: La voiture aura besoin de 4$$ heures.
Proportionnalité inverse
Définition 3
Solution.
Le temps est inversement proportionnel à la vitesse :
$t=\frac(S)(v)$.
De combien de fois la vitesse augmente-t-elle, avec le même trajet, le temps diminue du même montant :
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$ ;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Écrivons la condition problématique sous la forme d'un tableau :
La voiture a parcouru 60$ de km - en 6$ d'heures
La voiture parcourra 120 $ km – en $x$ heures
Plus la voiture roule vite, moins cela prendra de temps. Par conséquent, la relation entre les quantités est inversement proportionnelle.
Faisons une proportion.
Parce que la proportionnalité est inverse, la deuxième relation dans la proportion est inversée :
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$ ;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Répondre: La voiture aura besoin de 3$$ heures.