Sinus, kosinus, tangens i kotangens: definicije u trigonometriji, primjeri, formule. Sinus, kosinus, tangens, kotangens oštrog kuta. Trigonometrijske funkcije
Jedno od područja matematike s kojim se učenici najviše muče je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa pomoću formula, pojednostavljivanje izraza i sposobnost korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, potrebno je znati koristiti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Porijeklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangensa kuta, no prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.
Povijesno gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke znanosti bili su pravokutni trokuti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje različitih operacija koje omogućuju određivanje vrijednosti svih parametara predmetne figure pomoću dvije strane i jednog kuta ili dva kuta i jedne strane. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj uzorak i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak iu umjetnosti.
Prva razina
U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnog trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica uporabe u Svakidašnjica ovu granu matematike.
Učenje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega učenici koriste stečena znanja u fizici i rješavanju apstraktnih problema. trigonometrijske jednadžbe, rad s kojim počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je znanost dosegla sljedeći stupanj razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangensom i kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede drugačija pravila, a zbroj kutova u trokutu uvijek je veći od 180 stupnjeva. Ovaj odjeljak se ne uči u školi, ali je potrebno znati za njegovo postojanje barem zato što je zemljina površina, kao i površina bilo kojeg drugog planeta, konveksna, što znači da će svaka površinska oznaka za tri biti “lučna” -dimenzionalni prostor.
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Napominjemo - poprimilo je oblik luka. Takvim oblicima bavi se sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.
Pravokutni trokut
Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangens, koji se proračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Najduži je. Sjećamo se da je prema Pitagorinom teoremu njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije strane.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 odnosno 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.
Dvije preostale stranice, koje tvore pravi kut, nazivaju se krakovi. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu jednak 180 stupnjeva.
Definicija
Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se okrenuti definiciji sinusa, kosinusa i tangensa kuta.
Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. stranice nasuprot željenog kuta) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjedne stranice i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Budući da je hipotenuza prema zadanim postavkama najduža, bez obzira na duljinu katete, bit će kraća od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili obrazloženju. Ovaj je odgovor očito netočan.
Konačno, tangens kuta je omjer suprotne strane prema susjednoj strani. Dijeljenje sinusa s kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice podijelimo s hipotenuzom, zatim podijelimo s duljinom druge stranice i pomnožimo s hipotenuzom. Time dobivamo isti odnos kao u definiciji tangente.
Kotangens je, prema tome, omjer stranice koja je uz ugao i suprotne strane. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedan s tangentom.
Dakle, pogledali smo definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa i možemo prijeći na formule.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangens, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što se traži pri rješavanju problema.
Prva formula koju morate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova je formula izravna posljedica Pitagorinog teorema, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu kuta, a ne stranice.
Mnogi se učenici ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna pri rješavanju školskih zadataka: zbroj jedan i kvadrata tangente kuta jednak je jedinici podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte bolje: ovo je ista tvrdnja kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispada da jednostavna matematička operacija može trigonometrijska formula potpuno neprepoznatljiv. Zapamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangens i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku izvesti tražene složenije formule na listu papira.
Formule za dvostruke kutove i zbrajanje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Predstavljeni su na slici ispod. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje umnožak sinusa i kosinusa u paru.
Postoje i formule povezane s argumentima dvostrukog kuta. Oni su potpuno izvedeni iz prethodnih - kao praksu, pokušajte ih dobiti sami uzimajući alfa kut jednak beta kutu.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangensa alfa.
Teoremi
Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangens, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Sinusni teorem kaže da dijeljenje duljine svake stranice trokuta sa suprotnim kutom rezultira istim brojem. Štoviše, taj će broj biti jednak dvama radijusima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke danog trokuta.
Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicirajući ga na sve trokute. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen s dvostrukim kosinusom susjednog kuta - dobivena vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Stoga se Pitagorin teorem ispostavlja kao poseban slučaj kosinusnog teorema.
Greške iz nepažnje
Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog odsutnosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, pogledajmo one najpopularnije.
Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao obični razlomak, osim ako nije drugačije navedeno u uvjetima. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koji bi se, prema ideji autora, trebali smanjiti. U tom ćete slučaju gubiti vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen iz tri ili korijen iz dva, jer se one nalaze u problemima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem odnosi na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite oduzeti dva puta umnožak stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete također pokazati potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od pogreške iz nepažnje.
Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Primjena
Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju jer ne razumiju njezino praktično značenje. Što je sinus, kosinus, tangens za inženjera ili astronoma? To su pojmovi pomoću kojih možete izračunati udaljenost do dalekih zvijezda, predvidjeti pad meteorita ili poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.
Konačno
Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangens. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske zadatke.
Cijela poanta trigonometrije svodi se na činjenicu da pomoću poznatih parametara trokuta morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: duljina tri strane i veličine tri kuta. Jedina razlika u zadacima je u tome što su zadani različiti ulazni podaci.
Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangens na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze. Budući da ovi izrazi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, Glavni cilj Trigonometrijski problem postaje pronalaženje korijena obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.
Prosječna razina
Pravokutni trokut. Potpuni ilustrirani vodič (2019.)
PRAVOKUT TROKUT. PRVI RAZINA.
U problemima, pravi kut uopće nije potreban - donji lijevi, pa morate naučiti prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,
i u ovome
i u ovome 
Što je dobro u pravokutnom trokutu? Pa... prije svega, postoje posebni lijepa imena za njegove strane.
Pozor na crtež!
Upamtite i nemojte zbuniti: postoje dvije katete, a postoji samo jedna hipotenuza(jedan jedini, jedinstveni i najduži)!
Pa, razgovarali smo o imenima, a sada ono najvažnije: Pitagorin teorem.
Pitagorin poučak.
Ovaj je teorem ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora u posve pradavna vremena i od tada je donijela mnogo koristi onima koji je poznaju. A najbolja stvar kod njega je to što je jednostavan.
Tako, Pitagorin poučak:
Sjećate li se šale: “Pitagorine hlače jednake su na sve strane!”?
Nacrtajmo te iste Pitagorine hlače i pogledajmo ih. 
Ne liči li na nekakve kratke hlače? Pa, na kojim stranama i gdje su ravnopravni? Zašto i odakle šala? A ova šala povezana je upravo s Pitagorinim teoremom, točnije s načinom na koji je sam Pitagora formulirao svoj teorem. A on je to formulirao ovako:
"Iznos površine kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina, izgrađen na hipotenuzi."
Zvuči li stvarno malo drugačije? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svog teorema, upravo je ova slika nastala.
Na ovoj slici je zbroj površina malih kvadrata jednak površini velikog kvadrata. A kako bi djeca bolje zapamtila da je zbroj kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze, netko se dosjetljiv dosjetio ovog vica o Pitagorinim hlačama.
Zašto sada formuliramo Pitagorin teorem?
Je li Pitagora patio i govorio o kvadratima?
Vidite, u davna vremena nije bilo... algebre! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo nikakvih natpisa. Možete li zamisliti kako je jadnim davnim studentima bilo strašno sve pamtiti riječima??! I možemo se radovati što imamo jednostavnu formulaciju Pitagorinog teorema. Ponovimo opet da bolje zapamtimo:
Sada bi trebalo biti lako:
| Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta. |
Pa, najvažniji teorem o pravokutnom trokutu je raspravljen. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće razine teorije, a sad idemo dalje... u mračnu šumu... trigonometrije! Strašnim riječima sinus, kosinus, tangens i kotangens.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens u pravokutnom trokutu.
Zapravo, sve uopće nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Ali stvarno ne želim, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:
Zašto je sve samo oko ugla? Gdje je kut? Da biste to razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledaj, razumi i zapamti!
1.
Zapravo zvuči ovako:
Što je s kutom? Postoji li krak koji je nasuprot kutu, odnosno suprotni (za kut) krak? Naravno da jesu! Ovo je noga!
Što je s kutom? Gledaj pažljivo. Koji je krak uz kut? Naravno, noga. To znači da je za kut krak susjedan, i
Sada, obratite pozornost! Pogledajte što imamo:
Pogledajte kako je cool:
Sada prijeđimo na tangens i kotangens.
Kako da to sada zapišem riječima? Koliki je krak u odnosu na kut? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot kutu. Što je s nogom? Uz ugao. Dakle, što imamo?
Vidite kako su brojnik i nazivnik zamijenili mjesta?
A sad opet korneri i napravili razmjenu:
Sažetak
Zapišimo ukratko sve što smo naučili.
 |
Pitagorin poučak: |
Glavni teorem o pravokutnom trokutu je Pitagorin teorem.
Pitagorin poučak
Usput, sjećate li se dobro što su katete i hipotenuza? Ako nije baš dobro, pogledajte sliku - obnovite svoje znanje
Vrlo je moguće da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, no jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit? Kako to mogu dokazati? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom.
Vidite kako smo mu pametno podijelili stranice na duljine i!
Sada spojimo označene točke
Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledajte crtež i razmislite zašto je to tako.
Kolika je površina većeg kvadrata? Točno, . Što je s manjim područjem? Sigurno, . Ostaje ukupna površina četiri ugla. Zamislimo da smo ih uzeli po dva i hipotenuzama prislonili jedan na drugi. Što se dogodilo? Dva pravokutnika. To znači da je površina "rezova" jednaka.
Idemo sad sve spojiti.
Preobrazimo se:
Pa smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na antički način.
Pravokutni trokut i trigonometrija
Za pravokutni trokut vrijede relacije:
Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotne strane i hipotenuze
Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze.
Tangens šiljastog kuta jednak je omjeru suprotne stranice prema susjednoj stranici.
Kotangens šiljastog kuta jednak je omjeru susjedne i suprotne stranice.
I još jednom sve to u obliku tablete:
Vrlo je udoban!
Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta
I. Na dvije strane
II. Po kateti i hipotenuzi
III. Hipotenuzom i oštrim kutom
IV. Uz krak i oštar kut
a) 
b) 
Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su noge "prikladne". Na primjer, ako ide ovako:
TADA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.
Moram u oba trokuta krak je bio susjedan, ili u oba bio je nasuprot.
Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu “i obratite pozornost da za jednakost “običnih” trokuta moraju biti jednaka tri njihova elementa: dvije stranice i kut između njih, dva kuta i stranica između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Sjajno, zar ne?
Približno je ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.
Znaci sličnosti pravokutnog trokuta
I. Uz oštar kut
II. Na dvije strane
III. Po kateti i hipotenuzi
Medijana u pravokutnom trokutu
Zašto je to tako?
Umjesto pravokutnog trokuta, razmotrite cijeli pravokutnik.
Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku – točku sjecišta dijagonala. Što se zna o dijagonalama pravokutnika?
I što iz ovoga slijedi?
Tako se pokazalo da
- - medijan:
Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!
Ono što je još iznenađujuće je da je istina i suprotno.
Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen na hipotenuzu jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku
Gledaj pažljivo. Imamo: , to jest, ispostavilo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednake. Ali u trokutu postoji samo jedna točka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE KRUGA. Dakle, što se dogodilo?
Pa počnimo s ovim “osim...”.
Pogledajmo i.
Ali svi slični trokuti imaju jednake kutove!
Isto se može reći i za i
Sada to zajedno nacrtajmo:
Koja se korist može izvući iz ove "trostruke" sličnosti?
Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.
Zapišimo odnose korespondentnih strana:
Da bismo pronašli visinu, riješimo proporciju i dobijemo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":
Dakle, primijenimo sličnost: .
Što će se sada dogoditi?
Opet rješavamo udio i dobivamo drugu formulu:
Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja vam je prikladnija. Zapišimo ih opet
Pitagorin poučak:
U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .
Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:
- na dvije strane:
- po kateti i hipotenuzi: ili
- uz krak i susjedni šiljasti kut: ili
- uz krak i nasuprot šiljasti kut: odn
- hipotenuzom i šiljastim kutom: ili.
Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:
- jedan oštar kut: ili
- iz proporcionalnosti dvaju krakova:
- iz proporcionalnosti katete i hipotenuze: odn.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens u pravokutnom trokutu
- Sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne stranice i hipotenuze:
- Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze:
- Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne stranice i susjedne stranice:
- Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjedne i suprotne stranice: .
Visina pravokutnog trokuta: odn.
U pravokutnom trokutu medijan povučen iz vrha pravog kuta jednak je polovici hipotenuze: .
Površina pravokutnog trokuta:
- preko nogu:
upute
Video na temu
Bilješka
Pri izračunavanju stranica pravokutnog trokuta, poznavanje njegovih karakteristika može igrati ulogu:
1) Ako krak pravog kuta leži nasuprot kutu od 30 stupnjeva, tada je jednak polovici hipotenuze;
2) Hipotenuza je uvijek duža od bilo koje katete;
3) Ako je krug opisan oko pravokutnog trokuta, tada njegovo središte mora ležati u sredini hipotenuze.
Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Da bi se izračunala njegova duljina, dovoljno je znati duljinu jedne od krakova i veličinu jednog od oštrih kutova trokuta.
upute
Neka nam je poznata jedna od krakova i kut koji je uz njega. Da budemo precizni, neka to budu stranice |AB| i kut α. Tada možemo koristiti formulu za trigonometrijski kosinus– kosinus omjera susjednog kraka prema . Oni. u našem zapisu cos α = |AB| / |AC|. Iz toga dobivamo duljinu hipotenuze |AC| = |AB| / cos α.
Ako znamo stranicu |BC| i kut α, tada ćemo pomoću formule izračunati sinus kuta - sinus kuta jednak je omjeru suprotne katete i hipotenuze: sin α = |BC| / |AC|. Nalazimo da je duljina hipotenuze |AC| = |BC| / cos α.
Radi jasnoće, pogledajmo primjer. Neka je dana duljina kraka |AB|. = 15. A kut α = 60°. Dobivamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pogledajmo kako možete provjeriti svoj rezultat pomoću Pitagorinog teorema. Da bismo to učinili, moramo izračunati duljinu drugog kraka |BC|. Pomoću formule za tangens kuta tan α = |BC| / |AC|, dobivamo |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Zatim primjenjujemo Pitagorin teorem, dobivamo 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera završena.
Nakon izračuna hipotenuze, provjerite zadovoljava li dobivena vrijednost Pitagorin teorem.
Izvori:
- Tablica prostih brojeva od 1 do 10000
Noge su dvije kraće stranice pravokutnog trokuta koje čine vrh čija je veličina 90°. Treća stranica u takvom trokutu naziva se hipotenuza. Sve te strane i kutovi trokuta međusobno su povezani određenim odnosima koji omogućuju izračunavanje duljine kraka ako je poznato nekoliko drugih parametara.
upute
Upotrijebite Pitagorin poučak za krak (A) ako znate duljinu druge dvije stranice (B i C) pravokutnog trokuta. Ovaj teorem tvrdi da je zbroj kvadrata duljina kateta jednak kvadratu hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je duljina svakog kraka jednaka korijen iz duljina hipotenuze i druge katete: A=√(C²-B²).
Upotrijebite definiciju izravne trigonometrijske funkcije "sinus" za šiljasti kut ako znate veličinu kuta (α) koji leži nasuprot izračunatom kraku i duljinu hipotenuze (C). Ovo kaže da je sinus ovog poznatog omjera duljine željene katete i duljine hipotenuze. To znači da je duljina željenog kraka jednaka umnošku duljine hipotenuze i sinusa poznatog kuta: A=C∗sin(α). Za iste poznate količine također možete koristiti kosekans i izračunati potrebnu duljinu dijeljenjem duljine hipotenuze s kosekantom poznatog kuta A=C/cosec(α).
Upotrijebite definiciju izravne trigonometrijske kosinusne funkcije ako je osim duljine hipotenuze (C) poznata i veličina šiljastog kuta (β) uz željeni. Kosinus tog kuta je omjer duljina željene katete i hipotenuze, a iz toga možemo zaključiti da je duljina katete jednaka umnošku duljine hipotenuze i kosinusa poznatog kuta: A=C∗cos(β). Možete upotrijebiti definiciju funkcije sekante i izračunati željenu vrijednost dijeljenjem duljine hipotenuze sa sekantom poznatog kuta A=C/sec(β).
Izvedite traženu formulu iz slične definicije za derivaciju tangente trigonometrijske funkcije, ako je osim vrijednosti šiljastog kuta (α) koji leži nasuprot željenog kraka (A), poznata duljina drugog kraka (B). . Tangens kuta nasuprot željenom kraku je omjer duljine ovog kraka i duljine drugog kraka. To znači da će tražena količina biti jednaka umnošku duljine poznata noga na tangentu poznatog kuta: A=B∗tg(α). Iz istih poznatih veličina može se izvesti druga formula ako se poslužimo definicijom kotangens funkcije. U ovom slučaju, za izračunavanje duljine kraka bit će potrebno pronaći omjer duljine poznatog kraka i kotangensa poznatog kuta: A=B/ctg(α).
Video na temu
Riječ "kathet" došla je u ruski iz grčkog. U točnom prijevodu to znači visak, odnosno okomito na površinu zemlje. U matematici, katete su stranice koje tvore prave kutove pravokutnog trokuta. Stranica nasuprot ovom kutu naziva se hipotenuza. Pojam "cathet" također se koristi u arhitekturi i tehnici zavarivački radovi.
Sjekant zadani kut dobiva se dijeljenjem hipotenuze sa susjednom stranicom, to jest secCAB = c/b. Rezultat je recipročna vrijednost kosinusa, odnosno može se izraziti pomoću formule secCAB=1/cosSAB.
Kosekant je jednak kvocijentu hipotenuze podijeljenom sa suprotnom stranom i recipročna je vrijednost sinusa. Može se izračunati pomoću formule cosecCAB=1/sinCAB
Oba kraka povezana su međusobno i kotangensom. U u ovom slučaju tangenta će biti omjer stranice a prema strani b, odnosno suprotne strane prema susjednoj strani. Ovaj odnos se može izraziti formulom tgCAB=a/b. Prema tome, inverzni omjer bit će kotangens: ctgCAB=b/a.
Odnos između veličina hipotenuze i obiju kateta odredio je stari Grk Pitagora. Ljudi još uvijek koriste teorem i njegovo ime. Kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata kateta, odnosno c2 = a2 + b2. Prema tome, svaka će kateta biti jednaka kvadratnom korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i druge katete. Ova se formula može napisati kao b=√(c2-a2).
Duljina kraka može se izraziti i vama poznatim odnosima. Prema teoremima sinusa i kosinusa, kateta je jednaka umnošku hipotenuze i jedne od tih funkcija. Može se izraziti kao i ili kotangens. Noga a može se pronaći, na primjer, pomoću formule a = b*tan CAB. Na potpuno isti način, ovisno o zadanoj tangenti ili , određuje se i drugi krak.
Izraz "cathet" također se koristi u arhitekturi. Apliciran je na jonski kapitel i vodi se kroz sredinu njegove stražnje strane. To jest, u ovom slučaju, ovaj izraz je okomit na zadanu liniju.
U tehnologiji zavarivanja postoji "krak kutnog zavarivanja". Kao iu drugim slučajevima, ovo je najkraća udaljenost. Ovdje govorimo o razmaku između jednog od dijelova koji je zavaren do granice šava koji se nalazi na površini drugog dijela.
Video na temu
Izvori:
- koliko su kateta i hipotenuza u 2019
Što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta pomoći će vam da razumijete pravokutni trokut.
Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica \(AC\)); noge su dvije preostale strane \(AB\) i \(BC\) (one koje graniče s pravi kut), a ako uzmemo u obzir krake u odnosu na kut \(BC\), tada je krak \(AB\) susjedni krak, a krak \(BC\) suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?
Sinus kuta– ovo je omjer suprotne (udaljene) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus kuta– ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.
U našem trokutu:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangens kuta– to je odnos suprotne (daleke) strane prema susjednoj (bliskoj).
U našem trokutu:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens kuta– ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (dalekoj).
U našem trokutu:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens I kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
Kosinus→dodir→dodir→susjedni;
Kotangens→dodir→dodir→susjedan.
Prije svega, trebate zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod istim kutom). Nemoj vjerovati? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta \(\beta \) . Prema definiciji, iz trokuta \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus kuta \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!
Za trokut \(ABC \) prikazan na donjoj slici nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)
Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut \(\beta \) .
odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Jedinična (trigonometrijska) kružnica
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug s polumjerom jednakim \(1\) . Takav se krug zove singl. Bit će vrlo koristan pri proučavanju trigonometrije. Stoga, pogledajmo ga malo detaljnije.
Kao što vidite, ovaj krug je konstruiran u Kartezijanski sustav koordinate Polumjer kružnice jednak je jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu koordinata, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi \(x\) (u našem primjeru to je polumjer \(AB\)).
Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati duž \(x\) osi i koordinati duž \(y\) osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Promotrimo trokut \(ACG\) . Pravokutan je jer je \(CG\) okomit na os \(x\).
Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \)? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC\) polumjer jedinične kružnice, što znači \(AC=1\) . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo što se događa:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Čemu je jednako \(\sin \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \)? Pa naravno, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Zamijenite vrijednost radijusa \(AC\) u ovu formulu i dobijte:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Dakle, možete li reći koje koordinate ima točka \(C\) koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Što ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x\)! A kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Tako je, koordiniraj \(y\)! Dakle, točka \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Čemu su onda jednaki \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \)? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Što ako je kut veći? Na primjer, kao na ovoj slici:
Što se promijenilo u u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovno pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kut (kao susjedni kutu \(\beta \) ). Koja je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati \(y\) ; vrijednost kosinusa kuta - koordinate \(x\) ; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije vrijede za bilo koju rotaciju radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi \(x\). Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa izvanredno, dobit ćete i kut određene vrijednosti, ali samo negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu – negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Je li moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \)? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), stoga će radijus vektor napraviti jedan puni krug i zaustaviti se na poziciji \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .
U drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri puna kruga i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj), odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Donja slika prikazuje kut \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara kutu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Imate poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(niz)\)
Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim kutnim mjerama. Pa, krenimo redom: kut unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara točki s koordinatama \(\left(0;1 \right) \), dakle:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju točkama s koordinatama \(\lijevo(-1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0;-1 \desno),\tekst( )\lijevo(1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\tekst(tg)\ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji
\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\tekst(ctg)\lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:
Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate ga zapamtiti ili moći prikazati!! \) !}
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) navedeni u tablici u nastavku, morate zapamtiti:
Nemojte se bojati, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:
Za korištenje ove metode bitno je zapamtiti sinusne vrijednosti za sve tri mjere kuta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kao i vrijednost tangensa kuta u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4\) vrijednosti, vrlo je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\kraj(niza)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, možete vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojnik "\(1 \)" će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a nazivnik "\(\sqrt(\text(3)) \)" će odgovarati \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4\) vrijednosti iz tablice.
Koordinate točke na kružnici
Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na krugu, znajući koordinate središta kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa naravno da možete! Izvedimo opću formulu za pronalaženje koordinata točke. Na primjer, ovdje je krug ispred nas:
Dobili smo tu točku \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centar kruga. Polumjer kruga je \(1,5\) . Potrebno je pronaći koordinate točke \(P\) dobivene rotacijom točke \(O\) za \(\delta \) stupnjeva.
Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \(x\) točke \(P\) odgovara duljini segmenta \(TP=UQ=UK+KQ\) . Duljina segmenta \(UK\) odgovara koordinati \(x\) središta kruga, odnosno jednaka je \(3\) . Duljina segmenta \(KQ\) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Zatim to imamo za točku \(P\) koordinatu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za točku \(P\) . Tako,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Dakle, u opći pogled koordinate točaka određuju se formulama:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), Gdje
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središta kruga,
\(r\) - polumjer kruga,
\(\delta \) - kut rotacije polumjera vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta jednake nuli, a polumjer jednak jedan:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.Da biste izvršili izračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!
Sinusšiljasti kut α pravokutnog trokuta je omjer suprotan krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: sin α.
Kosinus Oštri kut α pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.
Tangensšiljasti kut α je omjer suprotne strane prema susjednoj stranici.
Označava se na sljedeći način: tg α.
Kotangensšiljasti kut α je omjer susjedne i suprotne stranice.
Označava se na sljedeći način: ctg α.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta ovise samo o veličini kuta.
Pravila:
Osnovni, temeljni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:
(α – oštri kut nasuprot kraku b a uz nogu a . Strana S – hipotenuza. β – drugi šiljasti kut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
grijeh α |
Kako se šiljasti kut povećavasin α itan α povećanje, icos α opada.
Za bilo koji oštri kut α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Primjer-objašnjenje:
Neka je unutra pravokutni trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
kut A = 30º.
Odredimo sinus kuta A i kosinus kuta B.
Riješenje .
1) Prvo, nalazimo vrijednost kuta B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbroj oštrih kutova 90º, tada je kut B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Izračunajmo sinus A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotne strane prema hipotenuzi. Za kut A, suprotna stranica je stranica BC. Tako:
BC 3 1
grijeh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Sada izračunajmo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjedne katete i hipotenuze. Za kut B, susjedni krak je iste stranice BC. To znači da ponovno moramo podijeliti BC s AB - to jest, izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iz toga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog kuta jednak kosinusu drugog oštrog kuta - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Uvjerimo se još jednom u ovo:
1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u formulu sinusa dobivamo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u formulu kosinusa dobivamo:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Za više informacija o trigonometriji pogledajte odjeljak Algebra)