Nađimo trokut pomoću Heronove formule. Površina trokuta. Primjeri zadataka s Heronovom formulom

Teorema. Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice i nadmorske visine:

Dokaz je vrlo jednostavan. Ovaj trokut ABC(Sl. 1.15) sastavimo ga do paralelograma ABDC. Trokuti ABC I DCB su jednake na tri strane, pa su im površine jednake. Dakle, površina trokuta ABC jednaka polovini površine paralelograma ABDC, tj.

Ali ovdje se postavlja sljedeće pitanje: zašto su tri moguća poluproizvoda baze i visine za bilo koji trokut isti? To je, međutim, lako dokazati iz sličnosti pravokutnika sa zajedničkim oštar kut. Razmotrimo trokut ABC(Slika 1.16):

I stoga

Međutim, to se ne radi u školskim udžbenicima. Naprotiv, jednakost triju poluproizvoda utvrđuje se na temelju toga što svi ti poluproizvodi izražavaju površinu trokuta. Stoga se postojanje jedne funkcije implicitno iskorištava. Ali ovdje dolazi zgodna i poučna prilika za demonstraciju primjera matematičkog modeliranja. Uistinu, postoji fizička stvarnost iza koncepta površine, ali izravna provjera jednakosti triju poluproizvoda pokazuje kvalitetu prijevoda ovog pojma na jezik matematike.

Koristeći gornji teorem o površini trokuta, često je zgodno usporediti površine dvaju trokuta. U nastavku predstavljamo neke očite, ali važne posljedice teorema.

Korolar 1. Ako se vrh trokuta pomiče po ravnoj liniji paralelnoj s njegovom osnovicom, tada se njegova površina ne mijenja.

Na sl. 1.17 trokuta ABC I ABD imaju zajedničku osnovu AB i jednake visine spuštene na ovu bazu, budući da je ravna linija A, koji sadrži vrhove S I D paralelno s bazom AB, pa su stoga površine tih trokuta jednake.

Korolar 1 može se preformulirati na sljedeći način.

Korolar 1?. Neka je zadan segment AB. Mnogo bodova M tako da površina trokuta AMV jednak navedenoj vrijednosti S, postoje dvije linije paralelne segmentu AB i one koje se nalaze na udaljenosti od njega (Sl. 1. 18)

Korolar 2. Ako se jedna od stranica trokuta susjedna zadanom kutu poveća za k puta, tada će se i njegova površina povećati za k jednom.

Na sl. 1.19 trokuta ABC I ABD imaju zajedničku visinu bh, stoga je omjer njihovih površina jednak omjeru baza

Važni posebni slučajevi slijede iz korolara 2:

1. Medijan dijeli trokut na dva mala dijela.

2. Simetrala kuta trokuta, zatvorenog između njegovih stranica A I b, dijeli ga na dva trokuta, čija su područja povezana kao a : b.

Korolar 3. Ako dva trokuta imaju zajednički kut, tada su njihove površine proporcionalne umnošku stranica koje taj kut zatvaraju.

To proizlazi iz činjenice da (sl. 1.19)

Konkretno, vrijedi sljedeća izjava:

Ako su dva trokuta slična i stranica jednog od njih je k puta veća od odgovarajućih strana druge, tada je njegova površina k 2 puta veća od površine druge.

Heronovu formulu za površinu trokuta izvodimo na sljedeća dva načina. U prvom koristimo kosinusni teorem:

gdje su a, b, c duljine stranica trokuta, r je kut nasuprot stranici c.

Iz (1.3) nalazimo.

Primijetivši to

gdje je poluopseg trokuta, dobivamo.

Ova formula vam omogućuje da izračunate površinu trokuta na temelju njegovih stranica a, b i c:
S=√(r(r-a)(r-b)(r-s),gdje je p poluopseg trokuta, tj. p = (a + b + c)/2.
Formula je dobila ime po starogrčkom matematičaru Heronu iz Aleksandrije (oko 1. stoljeća). Heron je razmatrao trokute s cijelim brojevima stranica čije su površine također cijeli brojevi. Takvi se trokuti nazivaju Heronovi trokuti. Na primjer, to su trokuti sa stranicama 13, 14, 15 ili 51, 52, 53.

Postoje analozi Heronove formule za četverokute. Zbog činjenice da zadatak konstruiranja četverokuta duž njegovih stranica a, b, c i d nema jedina odluka, za izračunavanje površine četverokuta u općem slučaju nije dovoljno samo znati duljine stranica. Morate unijeti dodatne parametre ili nametnuti ograničenja. Na primjer, površina upisanog četverokuta nalazi se po formuli: S=√(r-a)(r-b)(r-s)(p-d)

Ako je četverokut istovremeno i upisan i opisan, njegova površina je pomoću jednostavnije formule: S=√(abcd).

Heron iz Aleksandrije - grčki matematičar i mehaničar.

Prvi je izumio automatska vrata, automatsko kazalište lutaka, automat za prodaju, brzometni samopunjivi samostrel, parnu turbinu, automatske dekoracije, uređaj za mjerenje duljine cesta (stari odometar) itd. On je prvi stvorio programibilne uređaje (osovinu s klinovima oko kojih je omotano uže).

Studirao je geometriju, mehaniku, hidrostatiku i optiku. Glavna djela: Metrika, Pneumatika, Automatopoetika, Mehanika (djelo je u cijelosti sačuvano u arapskom prijevodu), Katoptrika (znanost o zrcalima; sačuvana samo u latinskom prijevodu) itd. Godine 1814. pronađen je Heronov spis “O dioptriji” koji je postavlja pravila zemljomjerstva, zapravo temeljena na korištenju pravokutnih koordinata. Heron je koristio postignuća svojih prethodnika: Euklida, Arhimeda, Stratona Lampsakijskog. Mnoge su njegove knjige nepovratno izgubljene (svitci su se čuvali u Aleksandrijskoj knjižnici).

U svojoj raspravi "Mehanika", Heron je opisao pet vrsta jednostavnih strojeva: polugu, vrata, klin, vijak i blok.

U svojoj raspravi "Pneumatika", Heron je opisao razne sifone, pametno dizajnirane posude i automate koje pokreće komprimirani zrak ili para. Riječ je o eolipilu, koji je bio prva parna turbina - kugla koja se okreće silom mlaza vodene pare; automat za otvaranje vrata, aparat za prodaju “svete” vodice, vatrogasna pumpa, vodene orgulje, mehaničko kazalište lutaka.

Knjiga “O dioptriji” opisuje dioptriju - najjednostavniji uređaj, koristi se za geodetske radove. Heron postavlja u svojoj raspravi pravila za mjerenje zemljišta, temeljena na korištenju pravokutnih koordinata.

Heron u Katoptriku potkrepljuje pravocrtnost svjetlosnih zraka s beskonačno velikom brzinom širenja. Heron smatra Različite vrste zrcala, s posebnim osvrtom na cilindrična zrcala.

Heronova "Metrika" i "Geometrija" i "Stereometrija" izvučeni iz nje su referentne knjige o primijenjenoj matematici. Među podacima sadržanim u Metrici:

Formule za površine pravilnih mnogokuta.


Volumeni pravilnih poliedra, piramide, stošca, krnjeg stošca, torusa, sfernog segmenta.


Heronova formula za izračunavanje površine trokuta iz duljina njegovih stranica (otkrio ju je Arhimed).


Pravila za numeričko rješavanje kvadratnih jednadžbi.


Algoritmi za vađenje kvadratnih i kubnih korijena.

Heronova knjiga "Definicije" opsežna je zbirka geometrijskih definicija, koje se najvećim dijelom podudaraju s definicijama Euklidovih "Elemenata".

Sažetak lekcije

Predmet: "Heronova formula i druge formule za površinu trokuta."

Vrsta lekcije : sat otkrivanja novih znanja.

Klasa: 10.

Ciljevi lekcije: tijekom lekcije osigurati svjesno ponavljanje formula za izračunavanje površine trokuta, koje se proučavaju u školski plan i program. Pokazati potrebu poznavanja Heronove formule II, formule za površinu trokuta zadanog u pravokutnom koordinatnom sustavu. Osigurajte svjesno usvajanje i primjenu ovih formula pri rješavanju problema.

Zadaci:

Obrazovni: razvoj logično mišljenje, sposobnost samostalnog rješavanja obrazovnih problema; razvoj radoznalostiučenici, spoznajni interes za predmet; razvoj kreativno razmišljanje, matematički govor učenika;

Obrazovni: njegovanje interesa za matematiku; stvaranje uvjeta zaformiranje komunikacijskih vještina i voljnih kvaliteta pojedinca.

Obrazovni: produbljivanje znanjath modul realnog broja; naučiti sposobnost rješavanja tipičnih problema.

Univerzalne aktivnosti učenja:

Osobno: poštivanje pojedinca i njegova dostojanstva; održivi kognitivni interes; sposobnost vođenja dijaloga na temelju ravnopravnih odnosa i međusobnog uvažavanja.

Regulatorno: postaviti ciljeve za aktivnosti u lekciji; planirati načine za postizanje cilja; donositi odluke u problemskoj situaciji na temelju pregovora.

Kognitivni: V ovladati općim tehnikama rješavanja problema, izvođenja zadataka i izračuna; izvoditi zadatke koji se temelje na korištenju svojstava modula realnog broja.

Komunikativan: A adekvatno koristiti govor za planiranje i reguliranje svojih aktivnosti; formulirati vlastito mišljenje.

Tehnička podrška Oprema: računalo, projektor, interaktivna ploča.

Struktura lekcije

Motivacijski stupanj – 2 min.

Domaća zadaća – 1 min.

Faza ažuriranja znanja o predloženoj temi i izvođenje prve probne radnje – 10 minuta.

Prepoznavanje poteškoća: kolika je složenost novog gradiva, što točno stvara problem, traženje proturječnosti - 4 min.

Razvoj projekta, plan za prevladavanje postojećih poteškoća, razmatranje mnogih opcija, traženje optimalno rješenje- 2 minute.

Provedba odabranog plana rješavanja poteškoće - 5 min.

Primarno učvršćivanje novih znanja - 10 min.

Samostalni rad i provjera prema standardu - 5 min.

Refleksija, koja uključuje refleksiju obrazovne aktivnosti, te introspekcija i refleksija osjećaja i emocija – 1 min.

Tijekom nastave.

Motivacijski stadij.

Pozdrav ljudi, sjednite. Danas će naša lekcija slijediti sljedeći plan: tijekom lekcije ćemo učiti nova tema: « Heronova formula i druge formule za površinu trokuta "; Ponovimo formule koje znate; Naučimo kako primijeniti ove formule pri rješavanju problema. Dakle, bacimo se na posao.

Faza ažuriranja znanja o predloženoj temi i izvođenje prve probne radnje.

Slajd 1.

Zapišite temu lekcije. Prije nego što prijeđemo izravno na formule, sjetimo se koje formule za izračunavanje površine trokuta znate?

Slajd 2.

Napiši ove formule.

Koje formule znate za izračunavanje površine trokuta?(učenici se prisjećaju svih formula koje su naučili)

Slajd 3.

Površina pravokutnog trokuta. S=ab. Zapiši formulu

Slajd 4.

Površina bilo kojeg trokuta. S= A . a = , = Zapiši formulu.

Slajd 5. Površina trokuta koja se temelji na dvije strane i kutu između njih.

S=½·ab·sinα. Zapiši formulu.

Sada ćemo proučiti nove formule za pronalaženje površine.

Slajd 6.

Površina trokuta izražena polumjerom upisane kružnice. S= P r. Zapiši formulu.

Slajd 7.

Površina trokuta u smislu R-radijusa opisane kružnice.

Zapiši formulu.

Slajd 8.

Heronova formula.

Prije nego započnemo dokaz, prisjetimo se dva geometrijska teorema - teorema sinusa i teorema kosinusa.

1., a=2R; b=2R; c=2R

2., cosγ = .

Slajd 9-10

Dokaz Heronove formule. Zapiši formulu.

Slajd 11.

Formulu za površinu trokuta koji se temelji na tri strane otkrio je Arhimed u 3. stoljeću pr. Međutim, odgovarajući rad nije stigao do naših dana. Ova formula je sadržana u “Metrici” Herona iz Aleksandrije (1. stoljeće nove ere) i po njemu je nazvana. Herona su zanimali trokuti s cijelim brojem stranica čije su površine također cijeli brojevi. Takvi se trokuti nazivaju Heronovi trokuti. Najjednostavniji Heronov trokut je egipatski trokut

Prepoznavanje poteškoća: koja je složenost novog gradiva, što točno stvara problem, traženje proturječja.

Slajd 12.

Odredite površinu trokuta sa zadanim stranicama: 4,6,8. Ima li dovoljno informacija za rješavanje problema? Koju formulu možete koristiti za rješavanje ovog problema?

Izrada projekta, plan rješavanja postojećih poteškoća, razmatranje mnogih opcija, traženje optimalnog rješenja.

Ovaj problem se može riješiti pomoću Heronove formule. Prvo morate pronaći polu-perimetar trokuta, a zatim zamijeniti dobivene vrijednosti u formulu.

Provedba odabranog plana za rješavanje poteškoće.

Nalaz str

str=(13+14+15)/2=21

str- a=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

Odgovor :84

Zadatak br. 2

Nađi stranice trokutaABC, ako je površina trokutaABO, BCO, ACO, gdje je O središte upisane kružnice, jednako 17,65,80 dc 2 .

Riješenje:

S=17+65+80=162 – zbrojite površine trokuta. Prema formuli

S ABO =1/2 AB* r, dakle 17=1/2AB* r; 65=1/2VS* r; 80=1/2 A.C.* r

34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC

Pronađite str

str= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2

(R- b)=162-130=32

Prema Heronovoj formuliS=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Jer S=162, dakler =  1152/162=3128/18

Odgovor: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.

Primarno učvršćivanje novih znanja.

№10(1)

Odredite površinu trokuta sa zadanim stranicama:

№12

Samostalni rad i testiranje prema standardu.

№10.(2)

Domaća zadaća . Str.83, br.10(3), br.15

Refleksija, koja uključuje refleksiju obrazovnih aktivnosti, introspekciju i refleksiju osjećaja i emocija.

Koje ste formule danas ponovili?

Koje ste formule naučili upravo danas?

Može se pronaći poznavanjem baze i visine. Cijela jednostavnost dijagrama leži u činjenici da visina dijeli bazu a na dva dijela a 1 i a 2, a sam trokut na dva pravokutna trokuta, čija je površina i. Tada će površina cijelog trokuta biti zbroj dviju navedenih površina, a ako uzmemo jednu sekundu visine iz zagrade, tada u zbroju dobivamo natrag bazu:

Teža metoda za izračun je Heronova formula za koju morate znati sve tri strane. Za ovu formulu prvo morate izračunati poluopseg trokuta: Sama Heronova formula podrazumijeva kvadratni korijen poluobuha, pomnožen njegovom razlikom na svakoj strani.

Sljedeća metoda, također relevantna za bilo koji trokut, omogućuje vam da pronađete područje trokuta kroz dvije strane i kut između njih. Dokaz tome dolazi iz formule s visinom - povučemo visinu na bilo koju od poznatih strana i kroz sinus kuta α dobijemo da je h=a⋅sinα. Da biste izračunali površinu, pomnožite polovicu visine s drugom stranom.

Drugi način je pronaći područje trokuta, znajući 2 kuta i stranu između njih. Dokaz ove formule je vrlo jednostavan i može se jasno vidjeti iz dijagrama.

Spuštamo visinu s vrha trećeg kuta na poznatu stranicu i tako dobivene segmente nazivamo x. Iz pravokutni trokuti jasno je da je prvi segment x jednak umnošku

Heronova formula Heronova formula

izražava područje s trokuta kroz duljine njegovih triju stranica A, b I S i poluperimetar R = (A + b + S)/2: . Ime je dobio po Heronu iz Aleksandrije.

FORMULA HERONA

HERONA FORMULA, izražava područje S trokuta kroz duljine njegovih triju stranica a, b I c i poluperimetar P = (a + b + c)/2
Ime je dobio po Heronu iz Aleksandrije.

enciklopedijski rječnik . 2009 .

Pogledajte što je "Heronova formula" u drugim rječnicima:

Izražava površinu S trokuta kroz duljine njegovih triju stranica a, b i c i poluopsega P = (a + b + c)/2Nazvan po Heronu iz Aleksandrije... Veliki enciklopedijski rječnik

Formula koja izražava površinu trokuta kroz njegove tri stranice. Naime, ako su a, b, C duljine stranica trokuta, a S njegova površina, tada je G. f. ima oblik: gdje p označava poluopseg trokuta G. f.... ...

Formula koja izražava površinu trokuta kroz njegove stranice a, b, c: gdje Nazvan po Heronu (c. 1. stoljeće nove ere), A. B. Ivanov ... Matematička enciklopedija

Izražava površinu 5 trokuta kroz duljine njegovih triju stranica a, b i c i poluopsega p = (a + b + c)/2: s = kvadrat. korijen p(p a)(p b)(p c). Nazvan po Heronu iz Aleksandrije... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

- ... Wikipedija

Omogućuje vam izračunavanje površine trokuta (S) na temelju njegovih stranica a, b, c: gdje je p poluopseg trokuta: . Dokaz gdje je kut trokutast... Wikipedia

Izražava površinu četverokuta upisanog u krug kao funkciju duljina njegovih stranica. Ako upisani četverokut ima duljine stranica i poluopseg, tada je njegova površina ... Wikipedia

U ovom članku nedostaju poveznice na izvore informacija. Podaci moraju biti provjerljivi, inače mogu biti dovedeni u pitanje i izbrisani. Možete urediti ovaj članak kako biste uključili poveznice na vjerodostojne izvore. Ova oznaka... ... Wikipedia

- (Heronus Alexandrinus) (godine rođenja i smrti nepoznate, vjerojatno 1. stoljeće), starogrčki znanstvenik koji je djelovao u Aleksandriji. Autor djela u kojima je sustavno ocrtao glavna postignuća drevni svijet u području primijenjene mehanike, V... ... Velika sovjetska enciklopedija

Aleksandrijac (Heronus Alexandrinus) (godine rođenja i smrti nepoznate, vjerojatno 1. stoljeće), starogrčki znanstvenik koji je djelovao u Aleksandriji. Autor je djela u kojima je sustavno ocrtao glavna dostignuća antičkog svijeta na području... ... Velika sovjetska enciklopedija