Teng yon tomonli trapesiya formulasining maydoni. Trapezoid. Ta'rif, formulalar va xususiyatlar

VA . Endi biz trapezoidning maydonini qanday topish kerakligi haqidagi savolni ko'rib chiqishni boshlashimiz mumkin. Bu vazifa kundalik hayotda juda kam uchraydi, lekin ba'zida, masalan, qurilishda tobora ko'proq foydalaniladigan trapezoid shaklidagi xonaning maydonini topish kerak bo'ladi. zamonaviy kvartiralar, yoki ta'mirlash dizayn loyihalarida.

Trapetsiya to'rtta kesishuvchi segmentlardan hosil bo'lgan geometrik figura bo'lib, ulardan ikkitasi bir-biriga parallel va trapetsiyaning asoslari deb ataladi. Qolgan ikkita segment trapetsiyaning yon tomonlari deb ataladi. Bundan tashqari, bizga keyinroq yana bir ta'rif kerak bo'ladi. Bu trapezoidning o'rta chizig'i bo'lib, u tomonlarning o'rta nuqtalarini va trapetsiya balandligini bog'laydigan segment bo'lib, u asoslar orasidagi masofaga teng.
Uchburchaklar singari, trapetsiyalarning ham tomonlari uzunligi bir xil bo'lgan teng yonli (teng qirrali) trapetsiya va tomonlardan biri asoslari bilan to'g'ri burchak hosil qiladigan to'rtburchaklar trapesiya shaklida maxsus turlari mavjud.

Trapetsiyalar bir nechta qiziqarli xususiyatlarga ega:

1. Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslar yig'indisining yarmiga teng va ularga parallel.
   
2. Izoscellar trapesiyalari teng tomonlarga va ularning asoslari bilan hosil qiladigan burchaklariga ega.
   
3. Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalari va uning diagonallarining kesishish nuqtasi bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan.
   
4. Agar trapetsiya tomonlarining yig'indisi asoslari yig'indisiga teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.
   
5. Agar trapetsiyaning har qanday poydevoridagi tomonlari hosil qilgan burchaklar yig’indisi 90 ga teng bo’lsa, asoslarning o’rta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentning uzunligi ularning yarim farqiga teng bo’ladi.
   
6. Teng yonli trapesiyani aylana bilan tasvirlash mumkin. Va teskari. Agar trapezoid aylanaga to'g'ri keladigan bo'lsa, u bir xil yon tomonli bo'ladi.
   
7. Asoslarning o'rta nuqtalaridan o'tadigan segment izoskelli trapesiya uning asoslariga perpendikulyar bo'ladi va simmetriya o'qini ifodalaydi.
   

Trapezoidning maydonini qanday topish mumkin.

Trapezoidning maydoni uning asoslari yig'indisining yarmiga uning balandligiga ko'paytirilishiga teng bo'ladi. Formula shaklida bu ifoda sifatida yoziladi:

Bu erda S - trapetsiyaning maydoni, a, b - trapetsiya asoslarining har birining uzunligi, h - trapetsiyaning balandligi.

Siz ushbu formulani quyidagicha tushunishingiz va eslab qolishingiz mumkin. Quyidagi rasmdan kelib chiqqan holda, markaziy chiziqdan foydalanib, trapezoidni to'rtburchakga aylantirish mumkin, uning uzunligi asoslar yig'indisining yarmiga teng bo'ladi.

Bundan tashqari, har qanday trapezoidni ko'proq kengaytirishingiz mumkin oddiy raqamlar: to'rtburchak va bitta yoki ikkita uchburchak va agar bu sizga osonroq bo'lsa, trapezoidning maydonini uning tarkibiy qismlarining maydonlarining yig'indisi sifatida toping.

Uning maydonini hisoblash uchun yana bir oddiy formula mavjud. Unga ko'ra, trapetsiyaning maydoni uning o'rta chizig'ining trapetsiya balandligiga ko'paytmasiga teng va quyidagi ko'rinishda yoziladi: S = m * h, bu erda S - maydon, m - uzunligi. o'rta chiziq, h - trapetsiya balandligi. Ushbu formula kundalik masalalardan ko'ra matematika muammolari uchun ko'proq mos keladi, chunki real sharoitda siz markazsiz chiziqning uzunligini bila olmaysiz. dastlabki hisob-kitoblar. Va siz faqat tagliklar va tomonlarning uzunligini bilib olasiz.

Bunday holda, trapezoidning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

Bu erda S - maydon, a, b - asoslar, c, d - trapetsiya tomonlari.

Trapezoidning maydonini topishning yana bir qancha usullari mavjud. Biroq, ular oxirgi formula kabi noqulaydir, ya'ni ular ustida to'xtashning ma'nosi yo'q. Shuning uchun, maqoladagi birinchi formuladan foydalanishni tavsiya qilamiz va har doim aniq natijalarga erishishingizni tilaymiz.

Trapezoidning maydoni. Salom! Ushbu nashrda biz ushbu formulani ko'rib chiqamiz. Nega u aynan shunday va uni qanday tushunish kerak. Agar tushunish bo'lsa, uni o'rgatishning hojati yo'q. Agar siz ushbu formulani zudlik bilan ko'rib chiqmoqchi bo'lsangiz, darhol sahifani pastga aylantiring))

Endi batafsil va tartibda.

Trapezoid to'rtburchakdir, bu to'rtburchakning ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas. Parallel bo'lmaganlar trapetsiyaning asoslari hisoblanadi. Qolgan ikkitasi tomonlar deb ataladi.

Agar tomonlar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli deb ataladi. Agar tomonlardan biri asoslarga perpendikulyar bo'lsa, unda bunday trapezoid to'rtburchaklar deb ataladi.

Klassik shaklda trapezoid quyidagicha tasvirlangan - kattaroq taglik pastda, mos ravishda kichikroq esa tepada. Ammo hech kim uni tasvirlashni taqiqlamaydi va aksincha. Mana eskizlar:

Keyingi muhim tushuncha.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir. O'rta chiziq trapetsiya asoslariga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.

Endi chuqurroq o'rganamiz. Nega bunday?

Asoslari bo'lgan trapesiyani ko'rib chiqing a va b va o'rta chiziq bilan l, va ba'zi qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaramiz: asoslar orqali to'g'ri chiziqlar va o'rta chiziqning uchlari orqali ular asoslar bilan kesishguncha perpendikulyarlarni o'tkazamiz:

*Chuqurlar va boshqa nuqtalar uchun harf belgilari keraksiz belgilarni oldini olish uchun ataylab kiritilmagan.

Qarang, uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisiga ko'ra 1 va 2 uchburchaklar teng, 3 va 4 uchburchaklar bir xil. Uchburchaklar tengligidan elementlarning, ya'ni oyoqlarning tengligi kelib chiqadi (ular mos ravishda ko'k va qizil rangda ko'rsatilgan).

Endi diqqat! Agar biz pastki poydevordan ko'k va qizil segmentlarni aqliy ravishda "kesib" olsak, biz o'rta chiziqqa teng segment (bu to'rtburchakning tomoni) bilan qolamiz. Keyinchalik, agar biz kesilgan ko'k va qizil segmentlarni trapetsiyaning yuqori poydevoriga "yopishtirsak", biz trapezoidning o'rta chizig'iga teng bo'lgan segmentni ham olamiz (bu ham to'rtburchakning tomoni).

Tushundim? Ma'lum bo'lishicha, asoslar yig'indisi trapetsiyaning ikkita o'rta chizig'iga teng bo'ladi:

Boshqa tushuntirishni ko'ring

Keling, quyidagilarni bajaramiz - trapetsiyaning pastki poydevoridan o'tadigan to'g'ri chiziqni va A va B nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziqni quramiz:

Biz 1 va 2 uchburchaklarni olamiz, ular yon va qo'shni burchaklar bo'ylab tengdir (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi). Bu shuni anglatadiki, natijada olingan segment (eskizda u ko'k rangda ko'rsatilgan) trapezoidning yuqori poydevoriga teng.

Endi uchburchakni ko'rib chiqing:

*Ushbu trapetsiyaning oʻrta chizigʻi va uchburchakning oʻrta chizigʻi bir-biriga toʻgʻri keladi.

Ma'lumki, uchburchak unga parallel asosning yarmiga teng, ya'ni:

OK, biz buni aniqladik. Endi trapezoidning maydoni haqida.

Trapezoid maydoni formulasi:

Ular aytadilar: trapezoidning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng.

Ya'ni, u o'rta chiziq va balandlikning mahsulotiga teng ekanligi ma'lum bo'ldi:

Ehtimol, bu aniq ekanligini allaqachon payqagandirsiz. Geometrik jihatdan buni shunday ifodalash mumkin: agar biz 2 va 4 uchburchaklarni trapetsiyadan aqliy ravishda kesib tashlasak va ularni mos ravishda 1 va 3 uchburchaklarga joylashtirsak:

Keyin biz maydonda to'rtburchaklar olamiz maydoniga teng bizning trapezoidimiz. Ushbu to'rtburchakning maydoni markaziy chiziq va balandlikning mahsulotiga teng bo'ladi, ya'ni biz yozishimiz mumkin:

Lekin bu yerda gap, albatta, yozishda emas, tushunishda.

Maqola materialini *pdf formatida yuklab oling (ko'ring).

Ana xolos. Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr.

Ko'rsatmalar

Ikkala usulni ham tushunarli qilish uchun biz bir nechta misollar keltiramiz.

1-misol: trapetsiyaning o'rta chizig'ining uzunligi 10 sm, uning maydoni 100 sm². Ushbu trapezoidning balandligini topish uchun siz quyidagilarni qilishingiz kerak:

h = 100/10 = 10 sm

Javob: bu trapetsiyaning balandligi 10 sm

2-misol: trapetsiyaning maydoni 100 sm², asoslarning uzunligi 8 sm va 12 sm. Ushbu trapetsiyaning balandligini topish uchun siz quyidagi amalni bajarishingiz kerak.

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 sm

Javob: bu trapetsiyaning balandligi 20 sm

Eslatma

Trapezoidlarning bir nechta turlari mavjud:
Tomonlari bir-biriga teng bo'lgan trapesiya teng yon tomonli trapesiyadir.
To'g'ri to'rtburchak trapezoid trapetsiya bo'lib, unda bittasi ichki burchaklar 90 darajaga teng.
Shuni ta'kidlash kerakki, to'rtburchaklar trapetsiyada balandlik yon tomonning uzunligiga to'g'ri keladi. to'g'ri burchak.
Siz trapezoid atrofidagi doirani tasvirlashingiz yoki uni ma'lum bir shaklga joylashtirishingiz mumkin. Agar aylana asoslari yig‘indisi qarama-qarshi tomonlari yig‘indisiga teng bo‘lsagina chizib qo‘yishingiz mumkin. Aylana faqat teng yonli trapesiya atrofida tasvirlanishi mumkin.

Foydali maslahat

Paralelogramma trapetsiyaning alohida holatidir, chunki trapetsiyaning ta'rifi parallelogramma ta'rifiga hech qanday tarzda zid kelmaydi. Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari bir-biriga parallel bo'lgan to'rtburchakdir. Trapezoid uchun ta'rif faqat uning bir juft tomoni bilan bog'liq. Demak, har qanday parallelogramm ham trapetsiyadir. Teskari bayonot to'g'ri emas.

Manbalar:

• trapetsiya formulasining maydonini qanday topish mumkin

Maslahat 2: Agar maydon ma'lum bo'lsa, trapesiya balandligini qanday topish mumkin

Trapetsiya - bu to'rtburchak, uning to'rt tomonining ikkitasi bir-biriga parallel. Parallel tomonlar berilgan tomonning asosi, qolgan ikkitasi esa berilgan tomonning lateral tomonlari. trapezoidlar. Toping balandligi trapezoidlar, agar ma'lum bo'lsa kvadrat, bu juda oson bo'ladi.

Ko'rsatmalar

Siz qanday hisoblashni tushunishingiz kerak kvadrat original trapezoidlar. Buning uchun dastlabki ma'lumotlarga qarab bir nechta formulalar mavjud: S = ((a+b)*h)/2, bu erda a va b asoslardir. trapezoidlar, va h - uning balandligi (Balandlik trapezoidlar- perpendikulyar, bir asosdan tushirilgan trapezoidlar boshqasiga);
S = m*h, bu erda m - chiziq trapezoidlar(O'rta chiziq - bu asoslari bo'lgan segment trapezoidlar va uning yon tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'lash).

Aniqroq bo'lishi uchun shunga o'xshash masalalarni ko'rib chiqish mumkin: 1-misol: bilan trapetsiya berilgan kvadrat 68 sm², o'rta chizig'i 8 sm, siz topishingiz kerak balandligi berilgan trapezoidlar. Ushbu muammoni hal qilish uchun siz ilgari olingan formuladan foydalanishingiz kerak:
h = 68/8 = 8,5 sm Javob: buning balandligi trapezoidlar 8,5 sm 2-misol: y bo'lsin trapezoidlar kvadrat 120 sm² ga teng, bu asoslarning uzunligi trapezoidlar 8 sm va 12 sm mos ravishda topishingiz kerak balandligi bu trapezoidlar. Buning uchun siz olingan formulalardan birini qo'llashingiz kerak:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 smJavob: berilgan balandlik trapezoidlar 12 sm ga teng

Mavzu bo'yicha video

Eslatma

Har qanday trapezoid bir qator xususiyatlarga ega:

Trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng;

Trapetsiyaning diagonallarini tutashtiruvchi segment uning asoslari farqining yarmiga teng;

Agar asoslarning o'rta nuqtalari orqali to'g'ri chiziq o'tkazilsa, u holda trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasini kesib o'tadi;

Agar trapetsiya asoslarining yig'indisi uning tomonlari yig'indisiga teng bo'lsa, aylana trapetsiyaga yozilishi mumkin.

Muammolarni hal qilishda ushbu xususiyatlardan foydalaning.

Maslahat 3: Agar asoslari ma'lum bo'lsa, trapezoidning maydonini qanday topish mumkin

Geometrik ta'rifga ko'ra, trapezoid to'rtburchak bo'lib, faqat bir juft tomoni parallel bo'ladi. Bu tomonlar uniki sabablar. Orasidagi masofa sabablar balandlik deb ataladi trapezoidlar. Toping kvadrat trapezoidlar foydalanish mumkin geometrik formulalar.

Ko'rsatmalar

Bazalarni o'lchash va trapezoidlar A B C D. Odatda ular topshiriqlarda beriladi. Ichkariga ruxsat bering bu misolda vazifalar poydevori AD (a) trapezoidlar 10 sm ga teng bo'ladi, asos BC (b) - 6 sm, balandligi trapezoidlar BK (h) - 8 sm maydonni topish uchun geometrikdan foydalaning trapezoidlar, agar uning asoslari uzunliklari va balandliklari ma'lum bo'lsa - S= 1/2 (a+b)*h, bu erda: - a - AD asosining o'lchami. trapezoidlar ABCD, - b - BC asosining qiymati, - h - BK balandligining qiymati.

Bo'limda trapezoidlar haqidagi geometriya masalalari (planimetriya bo'limi) mavjud. Agar muammoning yechimini topmagan bo'lsangiz, bu haqda forumda yozing. Kurs, albatta, to'ldiriladi.

Trapezoid. Ta'rif, formulalar va xususiyatlar

Trapezoid (qadimgi yunonchadan - “stol”; trapeta - “stol, ovqat”) toʻgʻri bir juft qarama-qarshi tomonlari parallel boʻlgan toʻrtburchakdir.

Trapezoid - qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchak.

Eslatma. Bunday holda, parallelogramm trapezoidning maxsus holatidir.

Parallel qarama-qarshi tomonlar trapetsiyaning asoslari, qolgan ikkitasi esa yon tomonlari deyiladi.

Trapetsiyalar quyidagilardir:

- ko'p tomonli ;

- teng qirrali;

- to'rtburchaklar

.
Qizil va jigarrang ranglar yon tomonlarini, yashil va ko'k ranglar trapezoidning asosini bildiradi.

A - teng yon tomonli (ikki tomonli, teng yon tomonli) trapesiya
B - to'rtburchaklar trapezoid
C - skalenli trapezoid

Skalen trapesiyaning barcha tomonlari turli uzunlikdagi va asoslari parallel.

Yonlari teng, asoslari parallel.

Asoslar parallel, bir tomoni asoslarga perpendikulyar, ikkinchi tomoni esa asoslarga moyil.

Trapetsiyaning xossalari

• Trapezoidning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng
• Diagonallarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment, asoslar farqining yarmiga teng va o'rta chiziqda yotadi. Uning uzunligi
• Trapetsiyaning istalgan burchagining tomonlarini kesib o'tuvchi parallel chiziqlar burchakning yon tomonlaridan proportsional segmentlarni kesib tashlaydi (Qarang: Thales teoremasi)
• Trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasi, uning yon tomonlari kengaytmalarining kesishish nuqtasi va asoslarining oʻrtasi bir xil toʻgʻri chiziqda yotadi (yana q. Toʻrtburchakning xossalari )
• Poydevorda yotgan uchburchaklar cho'qqilari diagonallarining kesishish nuqtasi bo'lgan trapezoidlar o'xshashdir. Bunday uchburchaklar maydonlarining nisbati trapetsiya asoslari nisbati kvadratiga teng.
• Yonlarda yotgan uchburchaklar cho'qqilari diagonallarining kesishish nuqtasi bo'lgan trapezoidlar maydoni teng (maydon bo'yicha teng)
• Trapetsiyaga siz doira yozishingiz mumkin, agar trapetsiya asoslari uzunliklari yig'indisi uning tomonlari uzunliklari yig'indisiga teng bo'lsa. Bu holda o'rta chiziq tomonlar yig'indisi 2 ga bo'lingan (chunki trapezoidning o'rta chizig'i asoslar yig'indisining yarmiga teng)
• Poydevorlarga parallel segment va diagonallarning kesishish nuqtasidan o'tib, ikkinchisiga yarmiga bo'linadi va asoslarning ikki baravar ko'paytmasini ularning yig'indisiga bo'lingan 2ab / (a ​​+ b) ga teng (Burakov formulasi)

Trapezoid burchaklar

Trapezoid burchaklar o'tkir, to'g'ri va to'mtoq bor.
Faqat ikkita burchak to'g'ri.

To'rtburchak trapezoid ikkita to'g'ri burchakka ega, qolgan ikkitasi o'tkir va o'tkir. Boshqa turdagi trapezoidlar mavjud: ikkita o'tkir burchaklar va ikkita ahmoq.

Trapetsiyaning o'tmas burchaklari kichikroq burchakka tegishli taglikning uzunligi bo'ylab, va achchiq - ko'proq asos.

Har qanday trapezoidni hisobga olish mumkin kesilgan uchburchak kabi, uning kesim chizig'i uchburchak asosiga parallel.
Muhim. Shuni esda tutingki, shu yo'l bilan (qo'shimcha ravishda uchburchakgacha trapetsiya qurish orqali) trapetsiyaga oid ba'zi masalalarni yechish va ba'zi teoremalarni isbotlash mumkin.

Trapetsiyaning yon tomonlari va diagonallarini qanday topish mumkin

Trapetsiyaning yon tomonlari va diagonallarini topish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:

Ushbu formulalarda ishlatiladigan yozuv rasmdagi kabi.

a - trapetsiya asoslarining kichigi
b - trapetsiya asoslari qanchalik katta bo'lsa
c,d - tomonlar
h 1 h 2 - diagonallar

Trapetsiya diagonallari kvadratlari yig'indisi trapetsiya asoslarining ikki baravar ko'paytmasiga va yon tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng (Formula 2)

Teng yon tomonli trapezoid nima? Bu qarama-qarshi, parallel bo'lmagan tomonlari teng bo'lgan geometrik figura. Trapezoidning maydonini topish uchun bir nechta turli formulalar mavjud turli sharoitlar, topshiriqlarda berilgan. Ya'ni, agar balandlik, tomonlar, burchaklar, diagonallar va boshqalar berilgan bo'lsa, maydonni topish mumkin. Shuningdek, ikki yonli trapezoidlar uchun ba'zi "istisnolar" mavjudligini eslatib o'tmaslik mumkin emas, buning natijasida maydonni qidirish va formulaning o'zi sezilarli darajada soddalashtirilgan. Quyida har bir holat uchun misollar bilan batafsil echimlar keltirilgan.

Teng yonli trapezoidning maydonini topish uchun zarur xususiyatlar

Qarama-qarshi, parallel emas, balki teng tomonlari bo'lgan geometrik figura trapetsiya va teng yon tomonli ekanligini allaqachon bilib oldik. Trapezoid teng yon tomonli deb hisoblangan alohida holatlar mavjud.

• Bu burchaklarning tengligi uchun shartlar. Shunday qilib, majburiy nuqta: taglikdagi burchaklar (quyidagi rasmni oling) teng bo'lishi kerak. Bizning holatda, BAD burchagi = CDA burchagi va ABC burchagi = BCD burchagi
• Ikkinchi muhim qoida- bunday trapetsiyada diagonallar teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, AC = BD.
• Uchinchi jihat: qarama-qarshi burchaklar trapezoidlar 180 gradusgacha qo'shilishi kerak. Bu ABC burchagi + CDA burchagi = 180 daraja degan ma'noni anglatadi. Xuddi shu narsa BCD va BAD burchaklariga ham tegishli.
• To'rtinchidan, agar trapezoid uning atrofida aylana tasvirlanishiga imkon bersa, demak u izoskeldir.

Teng yonli trapezoidning maydonini qanday topish mumkin - formulalar va ularning tavsifi

• S = (a+b)h/2 - maydonni topishning eng keng tarqalgan formulasi, bu erda A - pastki poydevor, b ustki asos, h esa balandlik.

• Agar balandlik noma'lum bo'lsa, uni shunga o'xshash formuladan foydalanib qidirishingiz mumkin: h = c*sin(x), bu erda c - AB yoki CD. sin(x) - ixtiyoriy asosdagi burchakning sinusi, ya'ni DAB burchagi = CDA = x burchagi. Oxir-oqibat, formula quyidagi shaklni oladi: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Balandlikni ushbu formula yordamida ham topish mumkin:

• Yakuniy formula quyidagicha ko'rinadi:

• Teng yonli trapezoidning maydonini o'rta chiziq va balandlik orqali topish mumkin. Formula quyidagicha: S = mh.

Trapetsiyaga aylana chizilgandagi holatni ko'rib chiqamiz.

Rasmda ko'rsatilgan holatda,

QN = D = H - aylananing diametri va bir vaqtning o'zida trapezoidning balandligi;

LO, ON, OQ = R – aylana radiuslari;

DC = a - yuqori tayanch;

AB = b – pastki tayanch;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – trapetsiya asoslarining burchaklari.

Shunga o'xshash holat quyidagi formulalar yordamida maydonni topishga imkon beradi:

• Endi diagonallar va ular orasidagi burchaklar orqali maydonni topishga harakat qilaylik.

Rasmda AC, DB - diagonallarni - d ni belgilaymiz. Burchaklar COB, DOB – alfa; DOC, AOB - beta. Diagonallar va ular orasidagi burchakdan foydalangan holda teng yonli trapezoidning maydoni uchun formula, ( S ) bu: