Sinus, kosinus, tangens va kotangens: trigonometriyada ta'riflar, misollar, formulalar. O'tkir burchakning sinus, kosinus, tangensi, kotangensi. Trigonometrik funktsiyalar
Talabalar eng ko'p qiynaladigan matematika sohalaridan biri trigonometriyadir. Buning ajablanarli joyi yo'q: bilimning ushbu sohasini erkin o'zlashtirish uchun sizga fazoviy fikrlash, formulalar yordamida sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlarni topish, ifodalarni soddalashtirish va pi sonidan foydalanish qobiliyati kerak. hisob-kitoblar. Bundan tashqari, siz teoremalarni isbotlashda trigonometriyadan foydalana olishingiz kerak va buning uchun yo rivojlangan matematik xotira yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni chiqarish qobiliyati talab etiladi.
Trigonometriyaning kelib chiqishi
Ushbu fan bilan tanishish sinus, kosinus va burchakning tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin birinchi navbatda trigonometriya umuman nima qilishini tushunishingiz kerak.
Tarixiy jihatdan matematika fanining ushbu bo'limining asosiy tadqiqot ob'ekti to'g'ri burchakli uchburchaklar edi. 90 graduslik burchakning mavjudligi turli xil operatsiyalarni bajarishga imkon beradi, bu esa ikki tomon va bitta burchak yoki ikkita burchak va bir tomondan ko'rib chiqilayotgan rasmning barcha parametrlarining qiymatlarini aniqlashga imkon beradi. Ilgari odamlar bu naqshni payqashdi va uni binolarni qurishda, navigatsiyada, astronomiyada va hatto san'atda faol qo'llashni boshladilar.
Birinchi bosqich
Dastlab, odamlar burchaklar va tomonlar o'rtasidagi munosabatlar haqida faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar misolida gaplashdilar. Keyin foydalanish chegaralarini kengaytirishga imkon beradigan maxsus formulalar topildi Kundalik hayot matematikaning ushbu bo'limi.
Bugungi kunda maktabda trigonometriyani o'rganish to'g'ri burchakli uchburchaklardan boshlanadi, shundan so'ng o'quvchilar fizika va mavhum masalalarni yechishda olingan bilimlardan foydalanadilar. trigonometrik tenglamalar, o'rta maktabda boshlanadigan ish.
Sferik trigonometriya
Keyinchalik fan rivojlanishning keyingi bosqichiga ko'tarilgach, sferik geometriyada sinus, kosinus, tangens va kotangensli formulalar qo'llanila boshlandi, bu erda turli qoidalar qo'llaniladi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim 180 darajadan yuqori bo'ladi. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, lekin uning mavjudligi haqida hech bo'lmaganda bilish kerak, chunki er yuzasi va boshqa har qanday sayyoraning yuzasi qavariq, ya'ni har qanday sirt belgisi uch yilda "yoy shaklida" bo'ladi. - o'lchovli fazo.
Globus va ipni oling. Ipni globusning istalgan ikkita nuqtasiga mahkamlang, shunda u tarang bo'ladi. E'tibor bering - u yoy shaklini oldi. Sferik geometriya geodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda qo'llaniladigan bunday shakllar bilan shug'ullanadi.
To'g'ri uchburchak
Trigonometriyadan foydalanish usullari haqida bir oz ma'lumotga ega bo'lgandan so'ng, sinus, kosinus, tangens nima ekanligini, ularning yordami bilan qanday hisob-kitoblarni bajarish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni tushunish uchun asosiy trigonometriyaga qaytaylik.
Birinchi qadam to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq tushunchalarni tushunishdir. Birinchidan, gipotenuza 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomondir. Bu eng uzuni. Pifagor teoremasiga ko'ra, uning son qiymati qolgan ikki tomon kvadratlari yig'indisining ildiziga teng ekanligini eslaymiz.
Misol uchun, agar ikki tomon mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.
To'g'ri burchakni tashkil etuvchi qolgan ikkita tomon oyoqlar deb ataladi. Bundan tashqari, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi 180 gradusga teng ekanligini unutmasligimiz kerak.
Ta'rif
Nihoyat, geometrik asosni qat'iy tushungan holda, burchakning sinus, kosinus va tangensining ta'rifiga murojaat qilish mumkin.
Burchakning sinusi - qarama-qarshi oyoqning (ya'ni, kerakli burchakka qarama-qarshi tomoni) gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusi - qo'shni tomonning gipotenuzaga nisbati.
Yodingizda bo'lsin, na sinus, na kosinus birdan katta bo'lishi mumkin emas! Nega? Gipotenuza sukut bo'yicha eng uzun bo'lgani uchun, oyoq qancha uzun bo'lmasin, u gipotenuzadan qisqaroq bo'ladi, ya'ni ularning nisbati har doim birdan kichik bo'ladi. Shunday qilib, agar muammoga javob berishda siz 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinusni olsangiz, hisob-kitoblarda yoki fikrlashda xatolikni qidiring. Bu javob aniq noto'g'ri.
Nihoyat, burchakning tangensi - bu qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Sinusni kosinusga bo'lish ham xuddi shunday natijani beradi. Qarang: formula bo'yicha biz tomonning uzunligini gipotenuzaga ajratamiz, keyin ikkinchi tomonning uzunligiga bo'linib, gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifida bo'lgani kabi bir xil munosabatga ega bo'lamiz.
Kotangent, shunga ko'ra, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati. Birni tangensga bo'lish orqali biz bir xil natijaga erishamiz.
Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini ko'rib chiqdik va formulalarga o'tishimiz mumkin.
Eng oddiy formulalar
Trigonometriyada siz formulalarsiz qilolmaysiz - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Ammo muammolarni hal qilishda aynan shu narsa talab qilinadi.
Trigonometriyani o'rganishni boshlaganingizda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada aytilishicha, burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi birga teng. Ushbu formula Pifagor teoremasining to'g'ridan-to'g'ri natijasidir, lekin agar siz tomonni emas, balki burchakning o'lchamini bilishingiz kerak bo'lsa, vaqtni tejaydi.
Ko'pgina o'quvchilar ikkinchi formulani eslay olmaydilar, bu maktab muammolarini hal qilishda ham juda mashhur: birning yig'indisi va burchak tangensining kvadrati burchak kosinusining kvadratiga bo'lingan birga teng. Yaxshilab ko'ring: bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil bayonot, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinus kvadratiga bo'lingan. Ma'lum bo'lishicha, oddiy matematik amal qiladi trigonometrik formula butunlay tanib bo'lmaydigan. Esingizda bo'lsin: sinus, kosinus, tangens va kotangent nima ekanligini, o'zgartirish qoidalari va bir nechta asosiy formulalarni bilib, istalgan vaqtda qog'oz varag'ida kerakli murakkabroq formulalarni olishingiz mumkin.
Ikki burchakli formulalar va argumentlar qo'shish
Siz o'rganishingiz kerak bo'lgan yana ikkita formulalar burchaklar yig'indisi va farqi uchun sinus va kosinus qiymatlari bilan bog'liq. Ular quyidagi rasmda keltirilgan. E'tibor bering, birinchi holatda sinus va kosinus ikkala marta ko'paytiriladi, ikkinchisida esa sinus va kosinusning juft mahsuloti qo'shiladi.
Ikki burchakli argumentlar bilan bog'liq formulalar ham mavjud. Ular butunlay oldingilaridan olingan - amaliyot sifatida, beta burchagiga teng alfa burchagini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling.
Va nihoyat, sinus, kosinus, tangens alfa kuchini kamaytirish uchun ikki burchakli formulalarni qayta tartibga solish mumkinligini unutmang.
Teoremalar
Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasidir. Ushbu teoremalardan foydalanib, siz sinus, kosinus va tangensni, shuning uchun rasmning maydonini va har bir tomonning o'lchamini va hokazolarni qanday topishni osongina tushunishingiz mumkin.
Sinus teoremasi shuni ko'rsatadiki, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchakka bo'lish bir xil songa olib keladi. Bundan tashqari, bu raqam chegaralangan doiraning ikkita radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.
Kosinus teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi, uni har qanday uchburchaklarga proyeksiyalaydi. Ma'lum bo'lishicha, ikki tomonning kvadratlari yig'indisidan ularning mahsulotini qo'shni burchakning ikki baravar kosinusiga ko'paytiring - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining maxsus holati bo'lib chiqadi.
Ehtiyotsiz xatolar
Sinus, kosinus va tangens nima ekanligini bilgan holda ham, beparvolik yoki eng oddiy hisob-kitoblardagi xatolik tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun keling, eng mashhurlarini ko'rib chiqaylik.
Birinchidan, siz yakuniy natijaga erishmaguningizcha, kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirmasligingiz kerak - javobni shunday qoldirishingiz mumkin. oddiy kasr, agar shartlarda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa. Bunday o'zgarishni xato deb atash mumkin emas, lekin esda tutish kerakki, muammoning har bir bosqichida yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, muallifning fikriga ko'ra, ularni kamaytirish kerak. Bunday holda, vaqtingizni keraksiz matematik operatsiyalarga sarflaysiz. Bu, ayniqsa, uchtaning ildizi yoki ikkitaning ildizi kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har qadamda muammolarda topiladi. Xuddi shu narsa "chirkin" raqamlarni yaxlitlash uchun ham amal qiladi.
Bundan tashqari, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qiladi, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning ikki baravar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni noto'g'ri unutib qo'ysangiz, siz nafaqat mutlaqo noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzuni to'liq tushunmasligingizni ham ko'rsatasiz. Bu ehtiyotsizlikdan ko'ra yomonroqdir.
Uchinchidan, sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlar uchun 30 va 60 daraja burchaklar qiymatlarini chalkashtirmang. Ushbu qiymatlarni eslang, chunki 30 graduslik sinus 60 kosinusga teng va aksincha. Ularni chalkashtirib yuborish oson, buning natijasida siz muqarrar ravishda noto'g'ri natijaga erishasiz.
Ilova
Ko'pgina talabalar trigonometriyani o'rganishni boshlashga shoshilmayaptilar, chunki ular uning amaliy ma'nosini tushunmaydilar. Muhandis yoki astronom uchun sinus, kosinus, tangens nima? Bu tushunchalar bo'lib, ular yordamida siz uzoq yulduzlargacha bo'lgan masofani hisoblashingiz, meteoritning tushishini bashorat qilishingiz yoki boshqa sayyoraga tadqiqot zondi yuborishingiz mumkin. Ularsiz bino qurish, avtomobilni loyihalash, sirtdagi yukni yoki ob'ektning traektoriyasini hisoblash mumkin emas. Va bu faqat eng aniq misollar! Axir, trigonometriya u yoki bu shaklda musiqadan tortib tibbiyotgacha hamma joyda qo'llaniladi.
Nihoyat
Demak, siz sinus, kosinus, tangenssiz. Siz ularni hisob-kitoblarda ishlatishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.
Trigonometriyaning butun nuqtasi uchburchakning ma'lum parametrlaridan foydalanib, siz noma'lumlarni hisoblashingiz kerakligidan kelib chiqadi. Jami oltita parametr mavjud: uzunlik uch tomon va uchta burchakning o'lchamlari. Vazifalardagi yagona farq turli xil kirish ma'lumotlari berilganligidadir.
Endi siz oyoqlarning ma'lum uzunliklari yoki gipotenuza asosida sinus, kosinus, tangensni qanday topishni bilasiz. Chunki bu atamalar nisbatdan boshqa narsani anglatmaydi, nisbat esa kasrdir. asosiy maqsad Trigonometrik masala oddiy tenglama yoki tenglamalar tizimining ildizlarini topishga aylanadi. Va bu erda oddiy maktab matematikasi sizga yordam beradi.
O'rtacha darajasi
To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)
O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.
Muammolarda to'g'ri burchak umuman kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni tanib olishni o'rganishingiz kerak,
va bunda
va bunda 
To'g'ri burchakli uchburchakning nimasi yaxshi? Xo'sh ... birinchi navbatda, maxsus bor chiroyli ismlar uning tomonlari uchun.
Chizmaga diqqat!
Eslab qoling va chalkashtirmang: ikkita oyoq bor va faqat bitta gipotenuz mavjud(yagona va yagona, yagona va eng uzun)!
Xo'sh, biz nomlarni muhokama qildik, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.
Pifagor teoremasi.
Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq ko'plab muammolarni hal qilishning kalitidir. Bu Pifagor tomonidan butunlay qadim zamonlarda isbotlangan va o'shandan beri u buni biladiganlarga juda ko'p foyda keltirdi. Va buning eng yaxshi tomoni shundaki, u oddiy.
Shunday qilib, Pifagor teoremasi:
Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?
Keling, xuddi shu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik. 
Bu qandaydir shortikga o'xshamaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil aniq Pifagor teoremasi bilan yoki aniqrog'i Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni quyidagicha shakllantirdi:
"sum kvadrat maydonlari, oyoqlarda qurilgan, tengdir kvadrat maydon, gipotenuzaga qurilgan."
Bu haqiqatan ham biroz boshqacha eshitiladimi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, aynan shu rasm paydo bo'ldi.
Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslab qolishlari uchun, kimdir Pifagor shimlari haqida hazil bilan chiqdi.
Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?
Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?
Ko‘rdingizmi, qadimda... algebra yo‘q edi! Hech qanday belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Tasavvur qila olasizmi, qadimiy kambag'al talabalar uchun hamma narsani so'z bilan eslab qolish qanchalik dahshatli edi??! Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslab qolish uchun yana takrorlaymiz:
Endi oson bo'lishi kerak:
| Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng. |
To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz uning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning quyidagi darajalarini o'qing va endi keling, oldinga boraylik ... qorong'u o'rmonga ... trigonometriya! Sinus, kosinus, tangens va kotangens degan dahshatli so'zlarga.
To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin men chindan ham xohlamayman, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:
Nega hamma narsa burchak ostida? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!
1.
Aslida bu shunday eshitiladi:
Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq, ya'ni qarama-qarshi (burchak uchun) oyoq bormi? Albatta bor! Bu oyoq!
Burchak haqida nima deyish mumkin? Ehtiyotkorlik bilan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, oyoq. Bu burchak uchun oyoq qo'shni ekanligini anglatadi va
Endi, e'tibor bering! Qarang, bizda nima bor:
Bu qanchalik salqin ekanligini ko'ring:
Endi tangens va kotangensga o'tamiz.
Endi buni qanday qilib so'z bilan yozishim mumkin? Oyoq burchakka nisbatan qanday? Albatta, qarama-qarshi - burchak qarshisida "yotadi". Oyoq haqida nima deyish mumkin? Burchakka ulashgan. Xo'sh, bizda nima bor?
Hisoblagich va maxraj o'rinlarini qanday almashtirganiga qarang?
Va endi burchaklar yana va almashuv qildi:
Xulosa
Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.
 |
Pifagor teoremasi: |
To'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi asosiy teorema Pifagor teoremasi hisoblanadi.
Pifagor teoremasi
Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar unchalik yaxshi bo'lmasa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang
Siz allaqachon Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlashim mumkin? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.
Qarang, biz uning tomonlarini qanday mohirlik bilan uzunliklarga ajratdik va!
Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz
Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganini o'ylaysiz.
Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ularni bir vaqtning o'zida ikkitasini oldik va gipotenuslari bilan bir-biriga suyandik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Bu "kesish" maydoni teng ekanligini anglatadi.
Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.
Keling, aylantiramiz:
Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.
To'g'ri uchburchak va trigonometriya
To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar mavjud:
O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng
O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.
O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbatiga teng.
O'tkir burchakning kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbatiga teng.
Va yana bir bor bularning barchasi planshet shaklida:
Bu juda qulay!
To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari
I. Ikki tomondan
II. Oyoq va gipotenuza bilan
III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan
IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab
a) 
b) 
Diqqat! Bu erda oyoqlarning "mos" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar shunday bo'lsa:
SHUNDA UCHBURCHLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.
Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida ham qarama-qarshi edi.
To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementi teng bo'lishi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uchta tomon. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Ajoyib, to'g'rimi?
To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan vaziyat taxminan bir xil.
To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari
I. Oʻtkir burchak boʻylab
II. Ikki tomondan
III. Oyoq va gipotenuza bilan
To'g'ri uchburchakdagi median
Nega bunday?
To'g'ri burchakli uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.
Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?
Va bundan nima kelib chiqadi?
Shunday qilib, shunday bo'ldi
- - median:
Bu haqiqatni unutmang! Ko'p yordam beradi!
Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.
Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik
Ehtiyotkorlik bilan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta bor, bu uchburchakning uchta uchidan masofalar teng bo'lib, bu AYLANA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?
Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.
Keling, va ni ko'rib chiqaylik.
Ammo shunga o'xshash uchburchaklarning barchasi teng burchaklarga ega!
va haqida ham shunday deyish mumkin
Endi uni birga chizamiz:
Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foyda olish mumkin?
Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.
Keling, tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:
Balandlikni topish uchun biz proporsiyani echamiz va olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":
Shunday qilib, o'xshashlikni qo'llaymiz: .
Endi nima bo'ladi?
Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:
Siz ushbu ikkala formulani juda yaxshi eslab qolishingiz va qulayroq bo'lganidan foydalanishingiz kerak. Keling, ularni yana yozamiz
Pifagor teoremasi:
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng: .
To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:
- ikki tomondan:
- oyoq va gipotenuz tomonidan: yoki
- oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
- oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
- gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.
To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:
- bitta o'tkir burchak: yoki
- ikki oyoqning mutanosibligidan:
- oyoq va gipotenuzaning mutanosibligidan: yoki.
To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi sinusi qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati:
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinasi qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati:
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati: .
To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.
To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: .
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:
- oyoqlar orqali:
Ko'rsatmalar
Mavzu bo'yicha video
Eslatma
To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini hisoblashda uning xususiyatlarini bilish muhim rol o'ynashi mumkin:
1) To'g'ri burchakning oyog'i 30 gradus burchakka qarama-qarshi bo'lsa, u gipotenuzaning yarmiga teng;
2) Gipotenuza har qanday oyoqdan hamisha uzunroq;
3) To'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylana chizilgan bo'lsa, uning markazi gipotenuzaning o'rtasida bo'lishi kerak.
Gipotenuza - to'g'ri burchakli uchburchakning 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomoni. Uning uzunligini hisoblash uchun oyoqlardan birining uzunligini va uchburchakning o'tkir burchaklaridan birining o'lchamini bilish kifoya.
Ko'rsatmalar
Bizga oyoqlardan birini va unga ulashgan burchakni bilib olaylik. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, bular |AB| tomoni bo'lsin va burchak a. Keyin formuladan foydalanishimiz mumkin trigonometrik kosinus– qo‘shni oyoqning nisbati kosinusu. Bular. yozuvimizda cos a = |AB| / |AC|. Bundan |AC| gipotenuza uzunligini olamiz = |AB| / cos a.
Agar |BC| tomonini bilsak va burchak a bo'lsa, u holda burchak sinusini hisoblash uchun formuladan foydalanamiz - burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng: sin a = |BC| / |AC|. Gipotenuzaning uzunligi |AC| ekanligini topamiz = |BC| / cos a.
Aniqlik uchun, keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Oyoqning uzunligi |AB| berilsin. = 15. Va burchak a = 60 °. Biz |AC|ni olamiz = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Keling, Pifagor teoremasi yordamida natijangizni qanday tekshirish mumkinligini ko'rib chiqaylik. Buning uchun biz |BC| ikkinchi oyoq uzunligini hisoblashimiz kerak. Tangen burchak tangensi formulasidan foydalanib a = |BC| / |AC|, biz |BC| olamiz = |AB| * tan a = 15 * tan 60 ° = 15 * √3. Keyinchalik, biz Pifagor teoremasini qo'llaymiz, biz 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 ni olamiz. Tekshirish tugallandi.
Gipotenuzani hisoblagandan so'ng, natijada olingan qiymat Pifagor teoremasini qanoatlantirishini tekshiring.
Manbalar:
- 1 dan 10000 gacha tub sonlar jadvali
Oyoqlar oʻlchami 90° boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakning ikkita qisqa tomoni. Bunday uchburchakdagi uchinchi tomon gipotenuza deyiladi. Uchburchakning barcha tomonlari va burchaklari ma'lum munosabatlar bilan o'zaro bog'liq bo'lib, agar bir nechta boshqa parametrlar ma'lum bo'lsa, oyoq uzunligini hisoblash imkonini beradi.
Ko'rsatmalar
To'g'ri uchburchakning qolgan ikki tomonining (B va C) uzunligini bilsangiz, oyoq (A) uchun Pifagor teoremasidan foydalaning. Bu teorema, oyoqlarning kvadrat uzunliklarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini aytadi. Bundan kelib chiqadiki, oyoqlarning har birining uzunligi tengdir kvadrat ildiz gipotenuza va ikkinchi oyoq uzunliklaridan: A=√(C²-B²).
Agar hisoblanayotgan oyoqqa qarama-qarshi yotgan burchakning (a) kattaligi va gipotenuzaning uzunligi (C) ma'lum bo'lsa, o'tkir burchak uchun "sinus" to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik funksiyasining ta'rifidan foydalaning. Bu shuni ko'rsatadiki, bu ma'lum bo'lgan sinusning kerakli oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati. Bu shuni anglatadiki, kerakli oyoq uzunligi gipotenuzaning uzunligi va ma'lum burchak sinusining ko'paytmasiga teng: A=C∗sin(a). Xuddi shu ma'lum miqdorlar uchun siz kosekantdan ham foydalanishingiz va gipotenuzaning uzunligini ma'lum burchak A=C/kosek(a) kosekantiga bo'lish orqali kerakli uzunlikni hisoblashingiz mumkin.
To'g'ridan-to'g'ri trigonometrik kosinus funksiyasining ta'rifidan foydalaning, agar gipotenuzaning uzunligi (C) dan tashqari, kerakli burchakka qo'shni o'tkir burchakning (b) kattaligi ham ma'lum bo'lsa. Bu burchakning kosinusi kerakli oyoq va gipotenuzaning uzunliklarining nisbati bo'lib, shundan xulosa qilishimiz mumkinki, oyoq uzunligi gipotenuzaning uzunligi va ma'lum burchak kosinusining ko'paytmasiga teng: A=C∗cos(b). Siz sekant funksiyasining ta'rifidan foydalanishingiz va gipotenuzaning uzunligini ma'lum burchak A=C/sek(b) sekantiga bo'lish orqali kerakli qiymatni hisoblashingiz mumkin.
Trigonometrik funktsiya tangensining hosilasi uchun shunga o'xshash ta'rifdan kerakli formulani oling, agar kerakli oyoq (A) qarshisida joylashgan o'tkir burchakning (a) qiymatiga qo'shimcha ravishda, ikkinchi oyoqning uzunligi (B) ma'lum bo'lsa. . Kerakli oyoqqa qarama-qarshi burchakning tangensi - bu oyoq uzunligining ikkinchi oyoq uzunligiga nisbati. Bu shuni anglatadiki, kerakli miqdor uzunlik mahsulotiga teng bo'ladi mashhur oyoq ma’lum burchakning tangensiga: A=B∗tg(a). Xuddi shu ma'lum miqdorlardan, agar biz kotangent funksiyaning ta'rifidan foydalansak, boshqa formulani olish mumkin. Bunday holda, oyoq uzunligini hisoblash uchun ma'lum oyoq uzunligining ma'lum burchak kotangentiga nisbatini topish kerak bo'ladi: A=B/ctg(a).
Mavzu bo'yicha video
"Kathet" so'zi rus tiliga yunon tilidan kelgan. Aniq tarjimada bu plumb chizig'ini, ya'ni er yuzasiga perpendikulyar degan ma'noni anglatadi. Matematikada oyoqlar to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchagini tashkil etuvchi tomonlardir. Bu burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza deyiladi. "Katet" atamasi arxitektura va texnologiyada ham qo'llaniladi payvandlash ishlari.
Sekant berilgan burchak gipotenuzani qo'shni tomonga bo'lish yo'li bilan olinadi, ya'ni secCAB = c/b. Natijada kosinusning o'zaro nisbati hosil bo'ladi, ya'ni uni secCAB=1/cosSAB formulasi yordamida ifodalash mumkin.
Kosekant gipotenuzaning qarama-qarshi tomoniga bo'lingan qismiga teng va sinusning o'zaro qismidir. Uni cosecCAB=1/sinCAB formulasi yordamida hisoblash mumkin
Ikkala oyoq ham bir-biriga va kotangent bilan bog'langan. IN Ushbu holatda tangens a tomonning b tomoniga nisbati, ya'ni qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati bo'ladi. Bu munosabatni tgCAB=a/b formula bilan ifodalash mumkin. Shunga ko'ra, teskari nisbat kotangent bo'ladi: ctgCAB=b/a.
Gipotenuzaning va ikkala oyoqning o'lchamlari o'rtasidagi munosabatlar qadimgi yunon Pifagorlari tomonidan aniqlangan. Odamlar hali ham teorema va uning nomini ishlatishadi. Unda aytilishicha, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng, ya'ni c2 = a2 + b2. Shunga ko'ra, har bir oyoq gipotenuza va boshqa oyoq kvadratlari orasidagi farqning kvadrat ildiziga teng bo'ladi. Bu formulani b=√(c2-a2) shaklida yozish mumkin.
Oyoqning uzunligi sizga ma'lum bo'lgan munosabatlar orqali ham ifodalanishi mumkin. Sinuslar va kosinuslar teoremalariga ko'ra, oyoq gipotenuza va ushbu funktsiyalardan birining mahsulotiga teng. U va yoki kotangens shaklida ifodalanishi mumkin. A oyog'ini, masalan, a = b*tan CAB formulasi yordamida topish mumkin. Aynan shu tarzda berilgan tangens yoki ga qarab ikkinchi oyoq aniqlanadi.
"Katet" atamasi arxitekturada ham qo'llaniladi. U ion kapitaliga qo'llaniladi va orqa tomonining o'rtasidan o'tadi. Ya'ni, bu holda, bu atama berilgan chiziqqa perpendikulyar.
Payvandlash texnologiyasida "filetli payvand oyog'i" mavjud. Boshqa hollarda bo'lgani kabi, bu eng qisqa masofa. Bu erda biz boshqa qismning yuzasida joylashgan tikuvning chegarasiga payvandlanadigan qismlardan biri orasidagi bo'shliq haqida gapiramiz.
Mavzu bo'yicha video
Manbalar:
- 2019 yilda oyoq va gipotenuza nima
Burchakning sinus, kosinus, tangensi, kotangensi nima degani to'g'ri burchakli uchburchakni tushunishga yordam beradi.
To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari nima deyiladi? To'g'ri, gipotenuza va oyoqlar: gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan tomon (bizning misolimizda bu tomon \(AC\)); oyoqlar qolgan ikkita tomondir \(AB\) va \(BC\) (qo'shnilar to'g'ri burchak), va, agar oyoqlarni \(BC\) burchakka nisbatan ko'rib chiqsak, u holda \(AB\) oyoq qo'shni oyoq, \(BC\) esa aksincha. Xo'sh, endi savolga javob beraylik: burchakning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi nima?
Burchak sinusi- bu qarama-qarshi (uzoq) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Burchak kosinusu- bu qo'shni (yaqin) oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Burchakning tangensi- bu qarama-qarshi (uzoq) tomonning qo'shni (yaqin) nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Burchak kotangensi- bu qo'shni (yaqin) oyoqning qarama-qarshi (uzoq) nisbati.
Bizning uchburchakda:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Bu ta'riflar zarur eslab qoling! Qaysi oyoqni nimaga bo'lish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun siz buni aniq tushunishingiz kerak tangens Va kotangent faqat oyoqlar o'tiradi va gipotenuz faqat ichida paydo bo'ladi sinus Va kosinus. Va keyin siz birlashmalar zanjiri bilan kelishingiz mumkin. Masalan, bu:
Kosinus → teginish → teginish → ulashgan;
Kotangent → teginish → teginish → qo‘shni.
Avvalo, sinus, kosinus, tangens va kotangens uchburchak tomonlarining nisbati bu tomonlarning uzunligiga (bir xil burchak ostida) bog'liq emasligini yodda tutishingiz kerak. Ishonma? Keyin rasmga qarab ishonch hosil qiling:
Misol uchun, burchakning kosinusini ko'rib chiqing \(\beta \) . Ta'rifga ko'ra, uchburchakdan \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lekin biz uchburchakdan \(\beta \) burchakning kosinusini \(AHI \) hisoblashimiz mumkin: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Ko'ryapsizmi, tomonlarning uzunligi har xil, lekin bir burchakning kosinus qiymati bir xil. Shunday qilib, sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari faqat burchakning kattaligiga bog'liq.
Agar siz ta'riflarni tushunsangiz, davom eting va ularni birlashtiring!
Quyidagi rasmda ko'rsatilgan \(ABC \) uchburchak uchun biz topamiz \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(massiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiv) \)
Xo'sh, tushundingizmi? Keyin o'zingiz sinab ko'ring: burchak uchun xuddi shunday hisoblang \(\beta \) .
Javoblar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Birlik (trigonometrik) doira
Darajalar va radianlar tushunchalarini tushunib, biz radiusi \(1\) ga teng bo'lgan doirani ko'rib chiqdik. Bunday doira deyiladi yagona. Bu trigonometriyani o'rganishda juda foydali bo'ladi. Shuning uchun, keling, buni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, bu doira ichida qurilgan Dekart tizimi koordinatalar Doira radiusi birga teng, aylananing markazi koordinatalar boshida joylashgan bo'lsa, radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi \(x\) o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab o'rnatiladi (bizning misolimizda bu radiusi \(AB\)).
Doiradagi har bir nuqta ikkita raqamga to'g'ri keladi: \(x\) o'qi bo'ylab koordinata va \(y\) o'qi bo'ylab koordinata. Bu koordinata raqamlari nima? Va umuman olganda, ularning mavzuga qanday aloqasi bor? Buning uchun biz ko'rib chiqilgan to'g'ri burchakli uchburchak haqida eslashimiz kerak. Yuqoridagi rasmda siz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rishingiz mumkin. Uchburchakni ko'rib chiqing \(ACG\) . U to'rtburchakdir, chunki \(CG\) \(x\) o'qiga perpendikulyar.
\(ACG \) uchburchakdan \(\cos \ \alpha \) nima? Hammasi to'g'ri \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bundan tashqari, biz bilamizki, \(AC\) birlik aylanasining radiusi, ya'ni \(AC=1\) . Keling, bu qiymatni kosinus formulamizga almashtiramiz. Mana nima sodir bo'ladi:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(ACG \) uchburchakdan \(\sin \ \alfa \) nimaga teng? Xo'sh, albatta, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Ushbu formulaga \(AC\) radiusining qiymatini qo'ying va quyidagini oling:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Xo'sh, aylanaga tegishli \(C\) nuqtasi qanday koordinatalarga ega ekanligini ayta olasizmi? Xo'sh, yo'qmi? Agar \(\cos \ \alpha \) va \(\sin \alpha \) shunchaki raqamlar ekanligini tushunsangiz-chi? \(\cos \alpha \) qaysi koordinataga mos keladi? Albatta, \(x\) koordinatasi! Va \(\sin \alpha \) qaysi koordinataga mos keladi? To'g'ri, \(y\) koordinatsiyasi! Demak, nuqta \(C(x;y)=C(\cos \alpha;\sin \alpha) \).
U holda \(tg \alpha \) va \(ctg \alpha \) nimaga teng? To'g'ri, keling, tangens va kotangensning tegishli ta'riflaridan foydalanamiz va buni olamiz \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Agar burchak kattaroq bo'lsa-chi? Masalan, ushbu rasmdagi kabi:
Nima o'zgargan bu misolda? Keling, buni aniqlaylik. Buning uchun yana to'g'ri burchakli uchburchakka o'taylik. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : burchak (burchakka ulashgan \(\beta \) ). Burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qanday qiymatga ega \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? To'g'ri, biz trigonometrik funktsiyalarning tegishli ta'riflariga amal qilamiz:
\(\begin(massiv)(l)\sin \burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\burchak ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\burchak ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiv) \)
Ko'rib turganingizdek, burchak sinusining qiymati hali ham koordinataga mos keladi \(y\) ; burchak kosinusining qiymati - koordinata \(x\) ; va mos keladigan nisbatlarga tangens va kotangens qiymatlari. Shunday qilib, bu munosabatlar radius vektorining har qanday aylanishiga taalluqlidir.
Radius vektorining boshlang'ich pozitsiyasi \(x\) o'qining musbat yo'nalishi bo'ylab joylashganligi allaqachon aytib o'tilgan. Hozirgacha biz bu vektorni soat sohasi farqli ravishda aylantirdik, lekin agar biz uni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirsak nima bo'ladi? Hech qanday g'ayrioddiy narsa yo'q, siz ham ma'lum bir qiymatning burchagini olasiz, lekin u faqat salbiy bo'ladi. Shunday qilib, radius vektorini soat sohasi farqli ravishda aylantirganda, biz olamiz ijobiy burchaklar, va soat yo'nalishi bo'yicha aylanganda - salbiy.
Shunday qilib, biz bilamizki, radius vektorining aylana atrofidagi butun aylanishi \(360()^\circ \) yoki \(2\pi \) ga teng. Radius vektorini \(390()^\circ \) yoki \(-1140()^\circ \) ga aylantirish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Birinchi holda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), shunday qilib, radius vektori bir marta toʻliq aylanish qiladi va \(30()^\circ \) yoki \(\dfrac(\pi )(6) \) pozitsiyasida toʻxtaydi.
Ikkinchi holda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ya'ni radius vektori uchta to'liq aylanishni amalga oshiradi va \(-60()^\circ \) yoki \(-\dfrac(\pi )(3) \) pozitsiyasida to'xtaydi.
Shunday qilib, yuqoridagi misollardan xulosa qilishimiz mumkinki, burchaklar bir-biridan \(360()^\circ \cdot m \) yoki \(2\pi \cdot m \) bilan farqlanadi (bu erda \(m \) har qanday butun son ), radius vektorining bir xil holatiga mos keladi.
Quyidagi rasm burchakni ko'rsatadi \(\beta =-60()^\circ \) . Xuddi shu rasm burchakka mos keladi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) va hokazo. Ushbu ro'yxatni cheksiz davom ettirish mumkin. Bu burchaklarning barchasi umumiy formula bilan yozilishi mumkin \(\beta +360()^\circ \cdot m\) yoki \(\beta +2\pi \cdot m \) (bu erda \(m \) har qanday butun son)
\(\begin(massiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiv) \)
Endi, asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini bilib, birlik doirasidan foydalanib, qiymatlar nima ekanligiga javob berishga harakat qiling:
\(\begin(massiv)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiv) \)
Mana sizga yordam beradigan birlik doirasi:
Qiyinchiliklar bormi? Keyin buni aniqlaylik. Shunday qilib, biz buni bilamiz:
\(\begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(massiv)\)
Bu erdan ma'lum burchak o'lchovlariga mos keladigan nuqtalarning koordinatalarini aniqlaymiz. Keling, tartibda boshlaylik: burchak \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) koordinatalari \(\left(0;1 \o'ng) \) bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi, shuning uchun:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\O‘ng strelka \text(tg)\ 90()^\circ \)- mavjud emas;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Bundan tashqari, xuddi shu mantiqqa rioya qilgan holda, biz burchaklar ichida ekanligini bilib olamiz \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatali nuqtalarga mos keladi \(\left(-1;0 \o'ng),\text( )\left(0;-1 \o'ng),\text( )\left(1;0 \o'ng),\text( )\left(0 ;1 \o'ng) \), mos ravishda. Buni bilib, tegishli nuqtalarda trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini aniqlash oson. Avval o'zingiz sinab ko'ring, keyin javoblarni tekshiring.
Javoblar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0\)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\O'ng strelka \text(ctg)\ \pi \)- mavjud emas
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\O'ng strelka \text(tg)\ 270()^\circ \)- mavjud emas
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\O'ng strelka \text(ctg)\ 2\pi \)- mavjud emas
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\O'ng strelka \text(tg)\ 450()^\circ \)- mavjud emas
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Shunday qilib, biz quyidagi jadvalni tuzishimiz mumkin:
Bu barcha qadriyatlarni eslab qolishning hojati yo'q. Birlik aylanasidagi nuqtalar koordinatalari va trigonometrik funktsiyalar qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni eslash kifoya:
\(\chap. \begin(massiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiv) \o'ng\)\ \matn(Uni eslab qolishingiz yoki ko'rsata olishingiz kerak!! \) !}
Ammo burchaklarning trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari va \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Quyidagi jadvalda siz eslab qolishingiz kerak:
Qo'rqmang, endi biz sizga mos keladigan qiymatlarni juda oddiy yodlashning bitta misolini ko'rsatamiz:
Ushbu usuldan foydalanish uchun burchakning uchta o'lchovi uchun sinus qiymatlarini eslab qolish juda muhimdir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), shuningdek, \(30()^\circ \) dagi burchak tangensining qiymati. Ushbu \(4\) qiymatlarni bilib, butun jadvalni tiklash juda oddiy - kosinus qiymatlari strelkalar bo'yicha uzatiladi, ya'ni:
\(\begin(massiv)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(massiv)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), buni bilib, siz uchun qiymatlarni tiklashingiz mumkin \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). "\(1 \)" soni \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ga va "\(\sqrt(\text(3)) \)" maxrajiga mos keladi. \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangent qiymatlari rasmda ko'rsatilgan o'qlarga muvofiq o'tkaziladi. Agar siz buni tushunsangiz va o'qlar bilan diagrammani eslab qolsangiz, jadvaldan faqat \(4\) qiymatlarni eslab qolish kifoya qiladi.
Doiradagi nuqtaning koordinatalari
Aylana markazining koordinatalarini, uning radiusi va burilish burchagini bilib, aylana ustidagi nuqtani (uning koordinatalarini) topish mumkinmi? Xo'sh, albatta qila olasiz! Nuqtaning koordinatalarini topishning umumiy formulasini chiqaramiz. Masalan, oldimizda aylana bor:
Bizga shu nuqta berilgan \(K(((x)_(0));((y)_(0)=K(3;2) \)- doira markazi. Doira radiusi \(1,5\) ga teng. \(O\) nuqtani \(\delta \) gradusga aylantirish natijasida olingan \(P\) nuqtaning koordinatalarini topish kerak.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, \(P\) nuqtaning \(x\) koordinatasi segment uzunligiga mos keladi \(TP=UQ=UK+KQ\) . \(UK\) segmentining uzunligi aylana markazining \(x\) koordinatasiga mos keladi, ya'ni \(3\) ga teng. \(KQ\) segmentining uzunligini kosinus ta'rifi yordamida ifodalash mumkin:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
Keyin biz \(P\) nuqtasi uchun koordinataga ega bo'lamiz \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Xuddi shu mantiqdan foydalanib, \(P\) nuqta uchun y koordinata qiymatini topamiz. Shunday qilib,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Shunday qilib, ichida umumiy ko'rinish Nuqtalarning koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end (massiv) \), Qayerda
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - aylana markazining koordinatalari,
\(r\) - aylana radiusi,
\(\delta \) - vektor radiusining burilish burchagi.
Ko'rib turganingizdek, biz ko'rib chiqayotgan birlik doirasi uchun bu formulalar sezilarli darajada kamayadi, chunki markazning koordinatalari nolga teng va radius birga teng:
\(\begin(massiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiv) \)
Brauzeringizda Javascript o‘chirib qo‘yilgan.Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!
Sinus to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi a nisbati qarama-qarshi oyoq gipotenuzaga.
U quyidagicha ifodalanadi: sin a.
Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi a - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: cos a.
Tangent o'tkir burchak a - qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: tg a.
Kotangent o'tkir burchak a - qo'shni tomonning qarama-qarshi tomoniga nisbati.
U quyidagicha belgilanadi: ctg a.
Burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi faqat burchak kattaligiga bog'liq.
Qoidalar:
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar to'g'ri uchburchakda:
(α - oyoqqa qarama-qarshi o'tkir burchak b va oyoqqa ulashgan a . Yon Bilan - gipotenuza. β - ikkinchi o'tkir burchak).
b | sin 2 a + cos 2 a = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
gunoh a |
O'tkir burchak ortishi bilangunoh a vatan a ortishi, vachunki a kamayadi.
Har qanday o'tkir burchak a uchun:
sin (90° – a) = cos a
cos (90° – a) = sin a
Misol - tushuntirish:
ABC to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsin
AB = 6,
BC = 3,
burchak A = 30º.
A burchakning sinusini va B burchakning kosinusini aniqlaymiz.
Yechim.
1) Birinchidan, biz B burchakning qiymatini topamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: chunki to'g'ri burchakli uchburchakda o'tkir burchaklar yig'indisi 90º, keyin B burchagi = 60º:
B = 90º - 30º = 60º.
2) Sin A ni hisoblaymiz. Biz bilamizki, sinus qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbatiga teng. A burchak uchun qarama-qarshi tomon BC tomondir. Shunday qilib:
Miloddan avvalgi 3 1
gunoh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Endi cos B ni hisoblaymiz. Biz bilamizki, kosinus yondosh oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng. B burchagi uchun qo'shni oyoq bir xil BC tomonidir. Bu shuni anglatadiki, biz yana BC ni AB ga bo'lishimiz kerak - ya'ni A burchak sinusini hisoblashda xuddi shunday harakatlarni bajaring:
Miloddan avvalgi 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Natijada:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Bundan kelib chiqadiki, to'g'ri burchakli uchburchakda bitta o'tkir burchakning sinusi boshqa o'tkir burchakning kosinusiga teng va aksincha. Bu bizning ikkita formulamiz nimani anglatadi:
sin (90° – a) = cos a
cos (90° – a) = sin a
Keling, bunga yana bir bor ishonch hosil qilaylik:
1) a = 60º bo'lsin. a qiymatini sinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
gunoh (90º - 60º) = cos 60º.
gunoh 30º = cos 60º.
2) a = 30º bo'lsin. a qiymatini kosinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Trigonometriya haqida ko'proq ma'lumot olish uchun Algebra bo'limiga qarang)