To'rt tomondan trapetsiyaning maydoni. Trapetsiya maydonini topishning barcha variantlari
VA . Endi biz trapezoidning maydonini qanday topish kerakligi haqidagi savolni ko'rib chiqishni boshlashimiz mumkin. Bu vazifa kundalik hayotda juda kam uchraydi, lekin ba'zida, masalan, qurilishda tobora ko'proq foydalaniladigan trapezoid shaklidagi xonaning maydonini topish kerak bo'ladi. zamonaviy kvartiralar, yoki ta'mirlash dizayn loyihalarida.
Trapetsiya to'rtta kesishuvchi segmentlardan hosil bo'lgan geometrik figura bo'lib, ulardan ikkitasi bir-biriga parallel va trapetsiyaning asoslari deb ataladi. Qolgan ikkita segment trapezoidning tomonlari deb ataladi. Bundan tashqari, bizga keyinroq yana bir ta'rif kerak bo'ladi. Bu trapezoidning o'rta chizig'i bo'lib, u tomonlarning o'rta nuqtalarini va trapetsiya balandligini bog'laydigan segment bo'lib, u asoslar orasidagi masofaga teng.
Uchburchaklar singari, trapetsiyalarning ham tomonlari uzunligi bir xil bo'lgan teng yonli (teng qirrali) trapetsiya va tomonlardan biri asoslari bilan to'g'ri burchak hosil qiladigan to'rtburchaklar trapesiya shaklida maxsus turlari mavjud.
Trapetsiyalar bir nechta qiziqarli xususiyatlarga ega:
- Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslar yig'indisining yarmiga teng va ularga parallel.
- Izoscellar trapesiyalari teng tomonlarga va ularning asoslari bilan hosil qiladigan burchaklariga ega.
- Trapetsiya diagonallarining o'rta nuqtalari va uning diagonallarining kesishish nuqtasi bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan.
- Agar trapetsiya tomonlarining yig'indisi asoslari yig'indisiga teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.
- Agar trapetsiyaning har qanday poydevoridagi tomonlari hosil qilgan burchaklar yig’indisi 90 ga teng bo’lsa, asoslarning o’rta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentning uzunligi ularning yarim farqiga teng bo’ladi.
- Teng yonli trapesiyani aylana bilan tasvirlash mumkin. Va teskari. Agar trapezoid aylanaga to'g'ri kelsa, u teng yon tomonli bo'ladi.
- Asoslarning o'rta nuqtalaridan o'tadigan segment teng yonli trapezoid uning asoslariga perpendikulyar bo'ladi va simmetriya o'qini ifodalaydi.
Trapezoidning maydonini qanday topish mumkin.
Trapezoidning maydoni uning asoslari yig'indisining yarmiga uning balandligiga ko'paytirilishiga teng bo'ladi. Formula shaklida bu ifoda sifatida yoziladi:
Bu erda S - trapetsiyaning maydoni, a, b - trapetsiya asoslarining har birining uzunligi, h - trapetsiyaning balandligi.
Siz ushbu formulani quyidagicha tushunishingiz va eslab qolishingiz mumkin. Quyidagi rasmdan kelib chiqqan holda, markaziy chiziqdan foydalanib, trapezoidni to'rtburchakga aylantirish mumkin, uning uzunligi asoslar yig'indisining yarmiga teng bo'ladi.
Bundan tashqari, har qanday trapezoidni ko'proq kengaytirishingiz mumkin oddiy raqamlar: to'rtburchak va bitta yoki ikkita uchburchak va agar bu sizga osonroq bo'lsa, trapezoidning maydonini uning tarkibiy qismlarining maydonlari yig'indisi sifatida toping.
Uning maydonini hisoblash uchun yana bir oddiy formula mavjud. Unga ko'ra, trapetsiyaning maydoni uning o'rta chizig'ining trapetsiya balandligiga ko'paytmasiga teng va quyidagi ko'rinishda yoziladi: S = m * h, bu erda S - maydon, m - uzunligi. o'rta chiziq, h - trapetsiya balandligi. Ushbu formula kundalik masalalardan ko'ra matematika muammolari uchun ko'proq mos keladi, chunki real sharoitda siz markazsiz chiziqning uzunligini bilmaysiz. dastlabki hisob-kitoblar. Va siz faqat tagliklar va tomonlarning uzunligini bilib olasiz.
Bunday holda, trapezoidning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
Bu erda S - maydon, a, b - asoslar, c, d - trapetsiya tomonlari.
Trapezoidning maydonini topishning yana bir qancha usullari mavjud. Biroq, ular oxirgi formula kabi noqulaydir, ya'ni ular ustida to'xtashning ma'nosi yo'q. Shuning uchun, maqoladagi birinchi formuladan foydalanishni tavsiya qilamiz va har doim aniq natijalarga erishishingizni tilaymiz.
Trapesiya ga tegishli to'rtburchak deyiladi faqat ikkita tomonlar bir-biriga parallel.
Ular shaklning asoslari deb ataladi, qolganlari tomonlar deb ataladi. Paralelogrammalar shaklning maxsus holatlari hisoblanadi. Bundan tashqari, funktsiya grafigini o'z ichiga olgan egri trapesiya mavjud. Trapetsiya maydoni uchun formulalar uning deyarli barcha elementlarini o'z ichiga oladi va Eng yaxshi qaror belgilangan qiymatlarga qarab tanlanadi.
Trapezoiddagi asosiy rollar balandlik va o'rta chiziqqa tayinlangan. o'rta chiziq- Bu tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziq. Balandligi dan to'g'ri burchak ostida trapezoid tutiladi yuqori burchak bazaga.
Trapetsiyaning balandligi bo'ylab maydoni poydevor uzunligining yarmi yig'indisining balandlikka ko'paytmasiga teng:
Agar o'rtacha chiziq shartlarga muvofiq ma'lum bo'lsa, unda bu formula sezilarli darajada soddalashtirilgan, chunki u asoslar uzunligi yig'indisining yarmiga teng:
Agar shartlarga ko'ra, barcha tomonlarning uzunligi berilgan bo'lsa, biz ushbu ma'lumotlardan foydalangan holda trapezoidning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqishimiz mumkin: 
Aytaylik, bizga asoslari a = 3 sm, b = 7 sm va tomonlari c = 5 sm, d = 4 sm bo'lgan trapetsiya berilgan. maydonni topamiz raqamlar: 
Teng yonli trapesiyaning maydoni
Teng yon tomonli trapesiya yoki u ham deyilganidek, teng yonli trapesiya alohida holat hisoblanadi.
Maxsus holat - bu teng yonli (teng qirrali) trapezoidning maydonini topish. Formuladan olingan turli yo'llar bilan– diagonallar orqali, asosga ulashgan burchaklar va chizilgan doira radiusi orqali.
Agar diagonallarning uzunligi shartlarga muvofiq ko'rsatilgan bo'lsa va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
Diagonallarni unutmang teng yonli trapezoid bir-biriga teng!
Ya'ni, ularning asoslari, tomoni va burchagidan birini bilib, siz maydonni osongina hisoblashingiz mumkin.
Egri trapezoidning maydoni
Maxsus holat kavisli trapezoid. U koordinata o'qida joylashgan va uzluksiz musbat funksiya grafigi bilan chegaralangan.
Uning asosi X o'qida joylashgan va ikkita nuqta bilan cheklangan:
Integrallar egri trapezoidning maydonini hisoblashda yordam beradi.
Formula quyidagicha yozilgan:
Keling, egri trapezoidning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Formula ma'lum integrallar bilan ishlash uchun ma'lum bilimlarni talab qiladi. Birinchidan, aniq integralning qiymatini ko'rib chiqamiz: 
Bu yerda F(a) f(x) ga qarshi hosila funksiyasining a nuqtadagi qiymati, F(b) xuddi shu f(x) funksiyaning b nuqtadagi qiymati. 
Endi muammoni hal qilaylik. Rasmda funktsiya bilan chegaralangan egri trapezoid ko'rsatilgan. Funktsiya 
Yuqorida grafik bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoid bo'lgan tanlangan rasmning maydonini o'ngda x =(-8) to'g'ri chiziq bilan, chapda x =(-10) to'g'ri chiziq bilan topishimiz kerak. ) va pastdagi OX o'qi.
Ushbu raqamning maydonini formuladan foydalanib hisoblaymiz: 
Muammoning shartlari bizga funktsiyani beradi. Undan foydalanib, biz har bir nuqtada antiderivativ qiymatlarini topamiz:
Hozir
Javob: Berilgan egri trapezoidning maydoni 4 ga teng.
Ushbu qiymatni hisoblashda murakkab narsa yo'q. Muhim bo'lgan yagona narsa - hisob-kitoblarda o'ta ehtiyotkorlik.
Ushbu kalkulyator "Trapezoidning maydoni" mavzusi bo'yicha 2192 ta masalani hisoblab chiqdi.
TRAPEZOIDANING MAYODI
Sizga berilgan muammoni hal qilish uchun foydalanmoqchi bo'lgan trapezoidning maydonini hisoblash formulasini tanlang:
Trapezoidning maydonini hisoblashning umumiy nazariyasi.
Trapezoid - Bu to'rtta nuqtadan iborat tekis figura, ularning uchtasi bir xil to'g'rida yotmaydi va bu to'rtta nuqtani juft-juft qilib bog'laydigan to'rtta segment (tomon), bunda qarama-qarshi ikkita tomon parallel (parallel chiziqlar ustida joylashgan) va qolgan ikkitasi parallel emas.
Nuqtalar chaqiriladi trapezoidning uchlari va katta lotin harflari bilan ko'rsatilgan.
Segmentlar deyiladi trapezoid tomonlari va segmentlarni bog'laydigan cho'qqilarga mos keladigan bosh lotin harflari juftligi bilan belgilanadi.
Trapetsiyaning ikkita parallel tomoni deyiladi trapezoid asoslar .
Trapetsiyaning ikkita parallel bo'lmagan tomoni deyiladi trapetsiyaning yon tomonlari .
Shakl № 1: ABCD trapesiya
1-rasmda ABCD trapetsiyasi ko'rsatilgan A, B uchlari,C, D va tomonlari AB, BC, CD, DA.
AB ǁ DC - ABCD trapesiyaning asoslari.
AD, BC - ABCD trapesiyaning lateral tomonlari.
AB va AD nurlari hosil qilgan burchak A uchidagi burchak deb ataladi. U ÐA yoki ÐBAD yoki ÐDAB deb belgilanadi.
BA va BC nurlari hosil qilgan burchak B cho'qqidagi burchak deb ataladi. U ÐB yoki ÐABC yoki ÐCBA sifatida belgilanadi.
CB va CD nurlari hosil qilgan burchak C cho'qqi burchagi deb ataladi. U ÐC yoki ÐDCB yoki ÐBCD sifatida belgilanadi.
AD va CD nurlari hosil qilgan burchak D cho'qqi burchagi deb ataladi. U ÐD yoki ÐADC yoki ÐCDA sifatida belgilanadi.
2-rasm: ABCD trapesiya
2-rasmda lateral tomonlarning o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi MN segmenti deyiladi trapetsiyaning o'rta chizig'i.
Trapezoidning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng. Ya'ni, 
.
Shakl No 3: ABCD izoskelli trapesiya
3-rasmda AD=BC.
Trapezoid deyiladi teng yon tomonli, agar uning tomonlari teng bo'lsa.
Shakl No 4: ABCD to'rtburchak trapesiya
4-rasmda D burchagi to'g'ri (90 ° ga teng).
Trapezoid deyiladi to'rtburchaklar, yon tomondagi burchak to'g'ri bo'lsa.
S maydoni tekis trapezoidni o'z ichiga olgan raqamlar cheklangan deb ataladi yopiq joy yuzada. Kvadrat tekis shakl bu raqamning o'lchamini ko'rsatadi.
Hudud bir nechta xususiyatlarga ega:
1. Bu salbiy bo'lishi mumkin emas.
2. Agar tekislikda bir-birini kesib o'tmaydigan bir nechta figuralardan tashkil topgan ba'zi bir yopiq maydon berilgan bo'lsa (ya'ni, raqamlar umumiy bo'lmaydi). ichki nuqtalar, lekin bir-biriga yaxshi tegishi mumkin), keyin bunday maydonning maydoni uni tashkil etuvchi raqamlarning maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
3. Agar ikkita raqam teng bo'lsa, ularning maydonlari teng bo'ladi.
4. Birlik segmentida qurilgan kvadratning maydoni birga teng.
Orqada birlik o'lchovlar hudud tomoni teng bo'lgan kvadratning maydonini oling birlik o'lchovlar segmentlar.
Muammolarni hal qilishda ko'pincha trapezoidning maydonini hisoblash uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:
1. Trapetsiyaning maydoni uning asoslari yig‘indisining yarmiga uning balandligiga ko‘paytirilganiga teng:
2. Trapetsiyaning maydoni uning o‘rta chizig‘i va balandligi ko‘paytmasiga teng:
3. Trapetsiya asoslari va tomonlari uzunligi ma’lum bo‘lgan holda, uning maydoni quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin: 
4. Trapetsiya ichiga chizilgan aylana radiusining ma’lum uzunligi va ma'lum ma'no quyidagi formula bo'yicha poydevorda burchak:
1-misol: Asoslari a=7, b=3 va balandligi h=15 boʻlgan trapetsiyaning maydonini hisoblang.
Yechim:
Javob:
2-misol: Maydoni S = 35 sm 2, balandligi h = 7 sm va ikkinchi asosi b = 2 sm bo'lgan trapetsiya asosining tomonini toping.
Yechim:
Trapetsiya asosining tomonini topish uchun biz maydonni hisoblash formulasidan foydalanamiz:
Ushbu formuladan trapetsiya asosining tomonini ifodalaymiz:
Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
Javob:
3-misol: Maydoni S = 17 sm 2 va asoslari a = 30 sm, b = 4 sm bo'lgan trapetsiya balandligini toping.
Yechim:
Trapezoidning balandligini topish uchun biz maydonni hisoblash formulasidan foydalanamiz:
Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
Javob:
4-misol: Balandligi h=24 va markaziy chizigʻi m=5 boʻlgan trapetsiyaning maydonini hisoblang.
Yechim:
Trapezoidning maydonini topish uchun biz maydonni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
Javob:
5-misol: Maydoni S = 48 sm 2 va markaz chizig'i m = 6 sm bo'lgan trapetsiyaning balandligini toping.
Yechim:
Trapetsiyaning balandligini topish uchun biz trapezoidning maydonini hisoblash formulasidan foydalanamiz:
Trapetsiya balandligini ushbu formuladan ifodalaymiz:
Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud:
Javob:
6-misol: Maydoni S = 56 va balandligi h=4 bo'lgan trapetsiyaning o'rta chizig'ini toping.
Yechim:
Trapetsiyaning o'rta chizig'ini topish uchun biz trapezoidning maydonini hisoblash formulasidan foydalanamiz:
Trapetsiyaning o'rta chizig'ini ushbu formuladan ifodalaymiz:
Shunday qilib, bizda quyidagilar mavjud.
Trapezoidning maydoni. Salom! Ushbu nashrda biz ushbu formulani ko'rib chiqamiz. Nega u aynan shunday va uni qanday tushunish kerak. Agar tushunish bo'lsa, uni o'rgatishning hojati yo'q. Agar siz ushbu formulani zudlik bilan ko'rib chiqmoqchi bo'lsangiz, darhol sahifani pastga aylantiring))
Endi batafsil va tartibda.
Trapezoid to'rtburchakdir, bu to'rtburchakning ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas. Parallel bo'lmaganlar trapetsiyaning asoslari hisoblanadi. Qolgan ikkitasi tomonlar deb ataladi.
Agar tomonlar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli deb ataladi. Agar tomonlardan biri asoslarga perpendikulyar bo'lsa, unda bunday trapezoid to'rtburchaklar deb ataladi.
Klassik shaklda trapezoid quyidagicha tasvirlangan - kattaroq taglik pastda, mos ravishda kichikroq esa tepada. Ammo hech kim uni tasvirlashni taqiqlamaydi va aksincha. Mana eskizlar:
Keyingi muhim tushuncha.
Trapetsiyaning o'rta chizig'i tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir. O'rta chiziq trapetsiya asoslariga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.
Endi chuqurroq o'rganamiz. Nega bunday?
Asosli trapezoidni ko'rib chiqing a va b va o'rta chiziq bilan l, va ba'zi qo'shimcha konstruktsiyalarni bajaramiz: asoslar orqali to'g'ri chiziqlar va o'rta chiziqning uchlari orqali ular asoslar bilan kesishguncha perpendikulyarlarni o'tkazamiz:
*Chuqurlar va boshqa nuqtalar uchun harf belgilari keraksiz belgilarni oldini olish uchun ataylab kiritilmagan.
Qarang, uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisiga ko'ra 1 va 2 uchburchaklar teng, 3 va 4 uchburchaklar bir xil. Uchburchaklar tengligidan elementlarning, ya'ni oyoqlarning tengligi kelib chiqadi (ular mos ravishda ko'k va qizil rangda ko'rsatilgan).
Endi diqqat! Agar biz pastki poydevordan ko'k va qizil segmentlarni aqliy ravishda "kesib" olsak, biz o'rta chiziqqa teng segment (bu to'rtburchakning tomoni) bilan qolamiz. Keyinchalik, agar biz kesilgan ko'k va qizil segmentlarni trapetsiyaning yuqori poydevoriga "yopishtirsak", biz trapezoidning o'rta chizig'iga teng bo'lgan segmentni ham olamiz (bu ham to'rtburchakning tomoni).
Tushundim? Ma'lum bo'lishicha, asoslar yig'indisi trapezoidning ikkita o'rta chizig'iga teng bo'ladi:
Boshqa tushuntirishni ko'ring
Keling, quyidagilarni bajaramiz - trapetsiyaning pastki poydevoridan o'tadigan to'g'ri chiziqni va A va B nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziqni quramiz:
Biz 1 va 2 uchburchaklarni olamiz, ular yon va qo'shni burchaklar bo'ylab tengdir (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi). Bu shuni anglatadiki, hosil bo'lgan segment (eskizda u ko'k rangda ko'rsatilgan) trapezoidning yuqori poydevoriga teng.
Endi uchburchakni ko'rib chiqing:
*Ushbu trapetsiyaning oʻrta chizigʻi va uchburchakning oʻrta chizigʻi bir-biriga toʻgʻri keladi.
Ma'lumki, uchburchak unga parallel asosning yarmiga teng, ya'ni:
OK, biz buni aniqladik. Endi trapezoidning maydoni haqida.
Trapezoid maydoni formulasi:
Ular aytadilar: trapezoidning maydoni uning asoslari va balandligi yig'indisining yarmiga teng.
Ya'ni, u o'rta chiziq va balandlikning mahsulotiga teng ekanligi ma'lum bo'ldi:
Ehtimol, bu aniq ekanligini allaqachon payqagandirsiz. Geometrik jihatdan buni shunday ifodalash mumkin: agar biz 2 va 4 uchburchaklarni trapetsiyadan aqliy ravishda kesib tashlasak va ularni mos ravishda 1 va 3 uchburchaklarga joylashtirsak:
Keyin biz maydonda to'rtburchaklar olamiz maydoniga teng bizning trapezoidimiz. Ushbu to'rtburchakning maydoni markaziy chiziq va balandlikning mahsulotiga teng bo'ladi, ya'ni biz yozishimiz mumkin:
Lekin bu yerda gap, albatta, yozishda emas, tushunishda.
Maqola materialini *pdf formatida yuklab oling (ko'ring).
Ana xolos. Sizga omad!
Hurmat bilan, Aleksandr.