Вычисление модулей с разными знаками. Сложение чисел с разными знаками, правило, примеры
План урока:
I. Организационный момент
Проверка индивидуального домашнего задания.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная
организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая
организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная
организационная форма работы, самопроверка).
III. Сообщение темы урока
Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.
1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику
(групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам
(индивидуальная организационная форма работы).
VI. Физпауза
IX. Домашнее задание.
Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.
Задачи:
- Сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.
- Отрабатывать умение складывать числа с разными знаками.
- Развивать логическое мышление.
- Воспитывать умение работать в паре, взаимоуважение.
Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
– Начнём урок с проверки
индивидуального домашнего задания. Девизом
нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского.
Дома вам нужно было подумать над его словами. Как
вы его понимаете? («Считай несчастным тот день
или тот час, в который ты не усвоил ничего нового
и ничего не прибавил к своему образованию»)
–
Как вы понимаете слова автора? (Если мы
не узнаём ничего нового, не получаем новые
знания, то этот день можно считать пропавшим или
несчастным. Надо стремиться к получению новых
знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому,
что мы опять будем узнавать что-то новое.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
– Для того чтобы изучать новый материал, надо
повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас
вы покажете свои знания, поработав с
контрольными вопросами.
(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)
Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)
| Как называются числа расположенные справа от начала координат? | Положительные |
| Какие числа называют противоположными? | Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными |
| Что называют модулем числа? | Расстояние от точки А(а) до начала отсчёта, т. е. до точки О(0), называют модулем числа |
| Как обозначают модуль числа? | Прямыми скобками |
| Сформулируй правило сложения отрицательных чисел? | Чтобы сложить два отрицательных числа надо: сложить их модули и поставить знак минус |
| Как называются числа расположенные слева от начала координат? | Отрицательные |
| Какое число противоположно нулю? | 0 |
| Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом? | Нет. Расстояние не бывает отрицательным |
| Назови правило сравнения отрицательных чисел | Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше и меньше то, у которого модуль больше |
| Чему равна сумма противоположных чисел? | 0 |
Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Оценка | |
| К/вопросы | ||||||
| Сам/работа | ||||||
| Инд/ работа | ||||||
| Итог |
– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных
вопросов? (Знать правила)
2. Устная работа с комментированием
– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)
– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?
3. Самостоятельная работа
| – 86, 52 + (– 6, 3) = | – 92,82 |
| – 49/91 + (– 27/91) = | – 76/91 |
| – 76 + (– 99) = | – 175 |
| – 14 + (– 47) = | – 61 |
| – 123,5 + (– 25, 18) = | – 148,68 |
| 6 + (– 10) = |
(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)
– Почему последний пример вызвал у вас
затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких
чисел мы знаем, как находить?
III. Сообщение темы урока
– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.
IV. Изучение нового материала
– Откроем тетради, запишем дату, классная
работа, тему урока «Сложение чисел с разными
знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная
прямая)
– Докажите, что это координатная прямая? (Есть
начало отсчёта, направление отсчёта, единичный
отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться
складывать числа с разными знаками с помощью
координатной прямой.
(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)
– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо
прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону
от начала координат, т.к. число 6 – положительное
(ставим цветной магнитик на получившееся число 6).
К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую
сторону от начала координат, т. к. (– 10) число
отрицательное (ставим цветной магнитик на
получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли
число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим
модулем.
– Запишем пример в тетрадь:
6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)
Принята запись:
6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7
– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками
– Правило очень важное! Оно позволяет сложить
числа разных знаков без помощи координатной
прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок
вычислять задания с положительными и
отрицательными числами, надо знать правила.
V. Закрепление изученного материала
– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на
координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример
решить трудно, поэтому будем использовать при
решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной
темы с дополнительной карточкой.)
VI. Физпауза (Выполняют стоя)
– Человек обладает положительными и
отрицательными качествами. Распределите эти
качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала
отсчёта, отрицательные – слева от начала
отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один
раз, положительное – два раза. Будьте
внимательны!
– Доброта
, злость, жадность, взаимовыручка
,
взаимопонимание
, грубость, и, конечно же, сила
воли
и стремление к победе
, которые
вам сейчас потребуются, так как впереди у вас
самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей
взаимопроверкой
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
| 100 + (– 28) = | 100 + (– 39) = |
| 56 + (– 27) = | 73 + (– 24) = |
| – 4,61 + (– 2,22) = | – 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 68 = | – 43 + 39 = |
VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия
– Я считаю, что вы поработали активно,
старательно, участвовали в открытии новых
знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу
оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать
готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились
складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными
знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский
был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот
день или тот час, в который ты не усвоил ничего
нового и ничего не прибавил к своему
образованию».
IX. Домашнее задание
Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова
Роджера Бэкона: «Человек, не знающий
математику, не способен ни к каким другим наукам.
Более того, он даже не способен оценить уровень
своего невежества?
Инструкция
Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров с будет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).
Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак "+" меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа "6" отнимается меньшее - "3", после чего ответу присваивается знак большего, то есть "-".
2) -3+6=3. Этот можно записать по- ("6-3") или по принципу "из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули и результату ставиться знак "минус".
Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и получает общий знак "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на "+", далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа - знак большего числа.
Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с ответу присваивается знак "минус", если числа с одинаковыми знаками - у результата всегда знак "плюс".1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Источники:
- таблица с минусами
Как решать примеры ? С таким вопросом часто обращаются дети к родителям, если уроки требуется сделать дома. Как правильно объяснить ребенку решение примеров на сложение и вычитание многозначных чисел? Попробуем в этом разобраться.
Вам понадобится
- 1. Учебник по математике.
- 2. Бумага.
- 3. Ручка.
Инструкция
Прочитайте пример. Для этого каждое многозначное разбить на классы. Начиная с конца числа, отсчитываем по три цифры и ставим точку (23.867.567). Напомним, что первые три цифры с конца числа к единиц, следующие три - к классу , далее идут миллионы. Читаем число: двадцать три восемьсот шестьдесят семь тысяч шестьдесят семь.
Запишите пример . Обратите внимание, что единицы каждого разряда записываются строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.
Выполните сложение или вычитание. Начинайте выполнять действие с единиц. Результат записывайте под тем разрядом, действие с которым выполняли. Если получилось число(), то единицы записываем на месте ответа, а число десятков прибавляем к единицам разряда. Если количество единиц какого-либо разряда в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, занимаем 10 единиц следующего разряда, выполняем действие.
Прочитайте ответ.
Видео по теме
Обратите внимание
Запретите ребенку использование калькулятора даже для проверки решения примера. Сложение проверяется вычитанием, а вычитание - сложением.
Если ребенок хорошо усвоит приемы письменных вычислений в пределах 1000, то действия с многозначными числами, выполненные по-аналогии, не вызовут затруднений.
Устройте ребенку соревнование: сколько примеров он может решить за 10 минут. Такие тренировки помогут автоматизировать вычислительные приемы.
Умножение - одна из четырех основных математических операций, которая лежит в основе многих более сложных функций. При этом фактически умножение основывается на операции сложения: знание об этом позволяет правильно решить любой пример.
Для понимания сущности операции умножения необходимо принять во внимание, что в ней участвуют три основных компонента. Один из них носит название первого множителя и представляет собой число, которое подвергается операции умножения. По этой причине у него имеется второе, несколько менее распространенное название - «множимое». Второй компонент операции умножения принято называть вторым множителем: он представляет собой число, на которое умножается множимое. Таким образом, оба эти компонента носят название множителей, что подчеркивает их равноправный статус, а также то, что их можно поменять местами: результат умножения от этого не изменится. Наконец, третий компонент операции умножения, получающийся в ее результате, носит название произведения.
Порядок операции умножения
Сущность операции умножения основывается на более простом арифметическом действии - . Фактически умножение представляет собой суммирование первого множителя, или множимого, такое количество раз, которое соответствует второму множителю. Например, для того, чтобы умножить 8 на 4 необходимо 4 раза сложить число 8, получив в результате 32. Этот способ, помимо обеспечения понимания сущности операции умножения, можно использовать для проверки результата, получившегося при вычислении искомого произведения. При этом следует иметь в виду, осуществление проверки обязательно предполагает, что слагаемые, участвующие в суммировании, одинаковы и соответствуют первому множителю.Решение примеров на умножение
Таким образом, для того, чтобы решить , связанный с необходимостью осуществления умножения, может быть достаточно заданное количество раз сложить необходимое число первых множителей. Такой способ может быть удобен для осуществления практически любых расчетов, связанных с этой операцией. Вместе с тем, в математике достаточно часто встречаются типовые , в которых участвуют стандартные целые однозначные числа. Для того, чтобы облегчить их расчет, была создана так называемая умножения, которая включает в себя полный перечень произведений целых положительных однозначных чисел, то есть чисел от 1 до 9. Таким образом, однажды выучив , можно существенно облегчить себе процесс решения примеров на умножение, основанных на использовании таких чисел. Однако для более сложных вариантов необходимо будет осуществлять эту математическую операцию самостоятельно.Видео по теме
Источники:
- Умножение в 2019
Умножение - одна из четырех основных арифметических операций, которая часто встречается как в учебе, так и в повседневной жизни. Как можно быстро перемножить два числа?
Основу самых сложных математических вычислений составляют четыре основных арифметических операции: вычитание, сложение, умножение и деление. При этом, несмотря на свою самостоятельность, эти операции при ближайшем рассмотрении оказываются связанными между собой. Такая связь существует, например, между сложением и умножением.
Операция умножения чисел
В операции умножения участвуют три основных элемента. Первый из них, который обычно называют первым множителем или множимым, представляет собой число, которое будет подвергнуто операции умножения. Второй, который именуют вторым множителем, является числом, на которое будет умножен первый множитель. Наконец, результат осуществленной операции умножения чаще всего носит название произведения.При этом следует помнить, что сущность операции умножения фактически основывается на сложении: для ее осуществления необходимо сложить между собой определенное количество первых множителей, причем количество слагаемых этой суммы должно быть равно второму множителю. Помимо вычисления самого произведения двух рассматриваемых множителей, этот алгоритм можно использовать также для проверки получившегося результата.
Пример решения задания на умножение
Рассмотрим решения задачи на умножение. Предположим, по условиям задания необходимо вычислить произведение двух чисел, среди которых первый множитель равен 8, а второй 4. В соответствии с определением операции умножения, это фактически означает, что нужно 4 раза сложить цифру 8. В результате получается 32 - это и есть произведение рассматриваемых чисел, то есть результат их умножения.Кроме того, необходимо помнить, что в отношении операции умножения действует так называемый переместительный закон, который устанавливает, что от изменения мест множителей в первоначальном примере его результат не изменится. Таким образом, можно 8 раз сложить цифру 4, получив в результате то же произведение - 32.
Таблица умножения
Понятно, что решать таким способом большое количество однотипных примеров - довольно утомительное занятие. Для того чтобы облегчить эту задачу, была придумана так называемая умножения. Фактически она представляет собой перечень произведений целых положительных однозначных чисел. Проще говоря, таблица умножения - это совокупность результатов перемножения между собой от 1 до 9. Один раз выучив эту таблицу, можно уже не прибегать к осуществлению умножения всякий раз, когда потребуется решить пример на такие простые числа, а просто вспомнить его результат.Видео по теме
В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел , а также правила для их сложения и вычитания.
Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Положительные числа легко , и . К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.
Содержание урокаПримеры сложения и вычитания целых чисел
Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.
Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:
Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.
Значение данного выражения равно −2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:
Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.
Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4
Значение данного выражения равно 2
Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.
Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3
Значение данного выражения равно −4
Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.
Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.
Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2
Значение данного выражения равно 0
Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0
Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.
Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.
Правила сложения и вычитания целых чисел
Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.
Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.
Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5
Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Итак, посмотрим какой модуль больше:
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.
У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3
Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)
Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+−2.
Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.
Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1
Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7
В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:
Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.
Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4
Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.
Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:
После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.
Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:
a − b = − (b − a)
Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.
На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.
Итак, знакомимся с новым правилом:
Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.
Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:
Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет вычитаемому.
На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:
А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.
Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.
Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.
А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:
(+3) − (+1)
Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.
В выражении (+3) − (+1) в ычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).
Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Дальнейшее вычисление не составит особого труда.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.
Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.
У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:
Заменим вычитание сложением:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Дальнейшее вычисление не составляет труда:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5
Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:
Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Решение для данного примера можно записать покороче:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
или ещё короче:
−4 − 5 = −9
Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9
Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Решение данного примера можно записать покороче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
или ещё короче:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Приведём выражение к понятному виду:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Соблюдая , выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:
Первое действие:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Второе действие:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Третье действие:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Четвёртое действие:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15
Примечание . Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.
Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.
Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.
Сложение чисел с разными знаками
Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.
- Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
- Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
- Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.
Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».
Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.
Вычитание чисел с разными знаками
Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.
Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:
- Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
- Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).
Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.
Сложение отрицательных чисел.
Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .
Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.
К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.
Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.
Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.
Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?
Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».
Записывают обычно так: -23-42-54=-119.
Сложение чисел с разными знаками.
Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .
Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.
1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.
Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:
— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.
2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.
— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.
Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.