3 2 es un número natural. ¿Qué es un número natural? Historia, alcance, propiedades.

¿Qué son los números naturales y no naturales? ¿Cómo explicarle a un niño, o tal vez no a un niño, cuáles son las diferencias entre ellos? Vamos a resolverlo. Hasta donde sabemos, los números naturales y no naturales se estudian en quinto grado, y nuestro objetivo es explicarles a los estudiantes para que realmente entiendan y aprendan qué y cómo.

Historia

Enteros- este es uno de los viejos conceptos. Hace mucho tiempo, cuando la gente aún no sabía contar y no tenía idea de los números, cuando necesitaba contar algo, por ejemplo, peces, animales, tachaban puntos o rayas en varios objetos, como descubrieron más tarde los arqueólogos. . La vida era muy difícil para ellos en ese momento, pero la civilización se desarrolló primero con el sistema numérico romano y luego con el sistema numérico decimal. Hoy en día casi todo el mundo utiliza números arábigos.

Todo sobre los números naturales.

Los números naturales son números primos que utilizamos en nuestra vida diaria para contar objetos con el fin de determinar la cantidad y el orden. Actualmente, utilizamos el sistema numérico decimal para escribir números. Para escribir cualquier número, utilizamos diez dígitos, del cero al nueve.

Los números naturales son aquellos números que utilizamos a la hora de contar objetos o indicar el número de serie de algo. Ejemplo: 5, 368, 99, 3684.

Una serie numérica se refiere a números naturales que están ordenados en orden ascendente, es decir del uno al infinito. Esta serie comienza con número más pequeño- 1, y no existe el mayor número natural, ya que la serie de números es simplemente infinita.

En general, el cero no se considera un número natural, ya que significa la ausencia de algo, y tampoco se cuentan los objetos.

El sistema numérico arábigo es sistema moderno que utilizamos todos los días. Es una variante del indio (decimal).

Este sistema numérico se volvió moderno gracias al número 0, que fue inventado por los árabes. Antes de esto, no estaba disponible en el sistema indio.

Números antinaturales. ¿Qué es esto?

Los números naturales no incluyen números negativos ni números no enteros. Esto significa que son números no naturales.

A continuación se muestran ejemplos.

Los números no naturales son:

• Números negativos, por ejemplo: -1, -5, -36... y así sucesivamente.
• Números racionales que se expresan como decimales: 4,5, -67, 44,6.
• En forma de fracción simple: 1/2, 40 2/7, etc.

Números irracionales como e = 2,71828, √2 = 1,41421 y similares.

Esperamos haberte ayudado mucho a comprender los números naturales y no naturales. Ahora te resultará más fácil explicarle este tema a tu bebé, ¡y él lo aprenderá tan bien como los grandes matemáticos!

Enteros– los números naturales son números que se utilizan para contar objetos. El conjunto de todos los números naturales a veces se denomina serie natural: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, etc. .

Para escribir números naturales se utilizan diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Utilizándolos, puedes escribir cualquier número natural. Esta notación de números se llama decimal.

La serie natural de números puede continuar indefinidamente. No existe tal número que sea el último, porque siempre puedes sumar uno al último número y obtendrás un número que ya es mayor que el que estás buscando. En este caso dicen que no existe el mayor número en la serie natural.

Lugares de números naturales.

Al escribir cualquier número usando dígitos, el lugar en el que aparece el dígito en el número es fundamental. Por ejemplo, el número 3 significa: 3 unidades, si aparece en el último lugar del número; 3 decenas, si ocupa el penúltimo lugar del número; 4cientos si queda en tercer lugar desde el final.

El último dígito significa el lugar de las unidades, el penúltimo dígito significa el lugar de las decenas y el 3 del final significa el lugar de las centenas.

Números de uno y varios dígitos

Si algún dígito de un número contiene el dígito 0, esto significa que no hay unidades en ese dígito.

El número 0 se utiliza para indicar el número cero. Cero es "no uno".

El cero no es un número natural. Aunque algunos matemáticos piensan diferente.

Si un número consta de una cifra se llama de un solo dígito, si consta de dos cifras se llama de dos cifras, si consta de tres cifras se llama de tres cifras, etc.

Los números que no son de un solo dígito también se llaman de varios dígitos.

Clases de dígitos para leer números naturales grandes.

Para leer números naturales grandes, el número se divide en grupos de tres dígitos, comenzando desde el borde derecho. Estos grupos se llaman clases.

Los primeros tres dígitos del lado derecho forman la clase de unidades, los tres siguientes son la clase de miles y los tres siguientes son la clase de millones.

Millón – mil mil; la abreviatura millón se utiliza para registrar 1 millón = 1.000.000.

Mil millones = mil millones. Para registrar, utilice la abreviatura mil millones = 1.000.000.000.

Ejemplo de escritura y lectura.

Este número tiene 15 unidades en la clase de miles de millones, 389 unidades en la clase de millones, cero unidades en la clase de miles y 286 unidades en la clase de unidades.

Este número dice así: 15 mil millones 389 millones 286.

Lee los números de izquierda a derecha. Túrnense para decir el número de unidades de cada clase y luego sumar el nombre de la clase.

En el siglo V a.C. filósofo griego antiguo Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía de “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no salte a recíprocos. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Para el próximo intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga gateará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Aplicable teoría matemática conjuntos para los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...

Y ahora tengo más interés preguntar: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. seleccionamos estadios de futbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos, con la ayuda del cual escribimos números y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de números. numero dado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. CON un número grande 12345 No quiero engañarme, veamos el número 26 del artículo sobre . Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlos, significa que no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

firmar en la puerta Abre la puerta y dice:

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en sistema hexadecimal Estimación Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

Las matemáticas surgieron de la filosofía general alrededor del siglo VI a.C. e., y a partir de ese momento comenzó su marcha victoriosa alrededor del mundo. Cada etapa del desarrollo introdujo algo nuevo: el conteo elemental evolucionó, se transformó en cálculo diferencial e integral, pasaron los siglos, las fórmulas se volvieron cada vez más confusas y llegó el momento en que "comenzaron las matemáticas más complejas: todos los números desaparecieron de ellas". ¿Pero cuál fue la base?

El comienzo de los tiempos

Los números naturales aparecieron junto con las primeras operaciones matemáticas. Una columna, dos espinas, tres espinas... Aparecieron gracias a los científicos indios que desarrollaron la primera columna posicional.

La palabra "posicionalidad" significa que la ubicación de cada dígito en un número está estrictamente definida y corresponde a su rango. Por ejemplo, los números 784 y 487 son los mismos números, pero los números no son equivalentes, ya que el primero incluye 7 centenas, mientras que el segundo solo 4. La innovación india fue recogida por los árabes, quienes llevaron los números a la forma que sabemos ahora.

En la antigüedad, a los números se les daba un significado místico; Pitágoras creía que los números son la base de la creación del mundo junto con los elementos básicos: fuego, agua, tierra, aire. Si consideramos todo sólo desde el punto de vista matemático, ¿qué es un número natural? El cuerpo de los números naturales se denota como N y es una serie infinita de números enteros y positivos: 1, 2, 3,… + ∞. Se excluye el cero. Se utiliza principalmente para contar artículos e indicar el orden.

¿Qué es en matemáticas? axiomas de peano

El campo N es el básico en el que se basan las matemáticas elementales. Con el tiempo, los campos de números enteros, racionales,

El trabajo del matemático italiano Giuseppe Peano hizo posible una mayor estructuración de la aritmética, logró su formalidad y preparó el camino para futuras conclusiones que iban más allá del área de campo N.

¿Qué es un número natural se aclaró anteriormente? en lenguaje sencillo, a continuación consideraremos una definición matemática basada en los axiomas de Peano.

• La unidad se considera un número natural.
• El número que sigue a un número natural es un número natural.
• No hay ningún número natural antes del uno.
• Si el número b sigue tanto al número c como al número d, entonces c=d.
• Un axioma de inducción, que a su vez muestra qué es un número natural: si alguna afirmación que depende de un parámetro es verdadera para el número 1, entonces asumimos que también funciona para el número n del campo de los números naturales N. Entonces la afirmación también es cierta para n =1 del campo de los números naturales N.

Operaciones básicas para el campo de los números naturales.

Dado que el campo N fue el primero en realizar cálculos matemáticos, le pertenecen tanto los dominios de definición como los rangos de valores de una serie de operaciones siguientes. Están cerrados y no. La principal diferencia es que se garantiza que las operaciones cerradas dejarán el resultado dentro del conjunto N, independientemente de los números involucrados. Basta con que sean naturales. El resultado de otras interacciones numéricas ya no es tan claro y depende directamente de qué números están involucrados en la expresión, ya que puede contradecir la definición principal. Entonces, operaciones cerradas:

• suma - x + y = z, donde x, y, z están incluidos en el campo N;
• multiplicación - x * y = z, donde x, y, z están incluidos en el campo N;
• exponenciación - x y, donde x, y están incluidos en el campo N.

El resto de operaciones, cuyo resultado puede no existir en el contexto de la definición de “qué es un número natural”, son las siguientes:

Propiedades de los números pertenecientes al campo N.

Todo razonamiento matemático posterior se basará en las siguientes propiedades, las más triviales, pero no menos importantes.

• La propiedad conmutativa de la suma es x + y = y + x, donde los números x, y se incluyen en el campo N. O el conocido “la suma no cambia cambiando los lugares de los términos”.
• La propiedad conmutativa de la multiplicación es x * y = y * x, donde los números x, y están incluidos en el campo N.
• La propiedad combinacional de la suma es (x + y) + z = x + (y + z), donde x, y, z están incluidos en el campo N.
• La propiedad coincidente de la multiplicación es (x * y) * z = x * (y * z), donde los números x, y, z se incluyen en el campo N.
• propiedad distributiva - x (y + z) = x * y + x * z, donde los números x, y, z están incluidos en el campo N.

mesa pitagórica

Uno de los primeros pasos en el conocimiento de toda la estructura de las matemáticas elementales por parte de los estudiantes, después de haber comprendido por sí mismos qué números se llaman números naturales, es la tabla de Pitágoras. Puede considerarse no sólo desde el punto de vista científico, sino también como un monumento científico muy valioso.

Esta tabla de multiplicar ha sufrido una serie de cambios a lo largo del tiempo: se le ha eliminado el cero y los números del 1 al 10 se representan a sí mismos, sin tener en cuenta órdenes (centenas, miles...). Es una tabla en la que los encabezados de filas y columnas son números, y el contenido de las celdas donde se cruzan es igual a su producto.

En la práctica de la enseñanza en las últimas décadas, ha surgido la necesidad de memorizar la tabla pitagórica “en orden”, es decir, la memorización era lo primero. Se excluyó la multiplicación por 1 porque el resultado era un multiplicador de 1 o mayor. Mientras tanto, en la tabla a simple vista se puede notar un patrón: el producto de los números aumenta en un paso, lo que es igual al título de la línea. Así, el segundo factor nos muestra cuántas veces debemos tomar el primero para obtener el producto deseado. Este sistema es mucho más cómodo que el que se practicaba en la Edad Media: incluso entendiendo qué es un número natural y cuán trivial es, la gente logró complicar su conteo cotidiano utilizando un sistema basado en potencias de dos.

Subconjunto como cuna de las matemáticas.

En este momento El campo de los números naturales N se considera sólo como uno de los subconjuntos de números complejos, pero esto no los hace menos valiosos en la ciencia. El número natural es lo primero que aprende un niño cuando se estudia a sí mismo y el mundo. Un dedo, dos dedos... Gracias a él, una persona se desarrolla. pensamiento lógico, así como la capacidad de determinar causa y deducir efecto, allanando el camino para grandes descubrimientos.

Enteros Nos resultan muy familiares y naturales. Y esto no es de extrañar, ya que su conocimiento comienza desde los primeros años de nuestra vida en un nivel intuitivo.

La información contenida en este artículo crea una comprensión básica de los números naturales, revela su propósito e inculca las habilidades para escribir y leer números naturales. Para una mejor comprensión del material, se proporcionan los ejemplos e ilustraciones necesarios.

Navegación de páginas.

Números naturales – representación general.

La siguiente opinión no carece de lógica: el surgimiento de la tarea de contar objetos (primer, segundo, tercer objeto, etc.) y la tarea de indicar el número de objetos (uno, dos, tres objetos, etc.) llevó a la creación de una herramienta para solucionarlo, este fue el instrumento números enteros.

De esta frase queda claro El objetivo principal de los números naturales.– llevar información sobre el número de cualquier artículo o el número de serie de un artículo determinado en el conjunto de artículos considerados.

Para que una persona pueda utilizar números naturales, deben ser de alguna manera accesibles tanto a la percepción como a la reproducción. Si expresa cada número natural, será perceptible de oído, y si representa un número natural, podrá verlo. Estos son los mas formas naturales, permitiéndole transmitir y percibir números naturales.

Entonces, comencemos a adquirir las habilidades de representar (escribir) y expresar (leer) números naturales, mientras aprendemos su significado.

Notación decimal de un número natural.

Primero debemos decidir desde dónde comenzaremos al escribir números naturales.

Recordemos las imágenes de los siguientes personajes (las mostraremos separadas por comas): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Las imágenes mostradas son una grabación del llamado números. Acordemos de inmediato no voltear, inclinar ni distorsionar los números al grabar.

Ahora aceptemos que en la notación de cualquier número natural solo pueden estar presentes los dígitos indicados y no pueden estar presentes otros símbolos. Convengamos también en que los dígitos en la notación de un número natural tienen la misma altura, están dispuestos en una línea uno tras otro (casi sin sangría) y a la izquierda hay un dígito distinto del dígito 0 .

A continuación se muestran algunos ejemplos de escritura correcta de números naturales: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (tenga en cuenta: las sangrías entre los números no siempre son las mismas; se discutirá más sobre esto al revisar). De los ejemplos anteriores queda claro que la notación de un número natural no necesariamente contiene todos los dígitos. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; algunos o todos los dígitos involucrados en la escritura de un número natural pueden repetirse.

Publicaciones 014 , 0005 , 0 , 0209 No son registros de números naturales, ya que hay un dígito a la izquierda. 0 .

Escribir un número natural, realizado teniendo en cuenta todos los requisitos descritos en este párrafo, se llama notación decimal de un número natural.

Además, no distinguiremos entre números naturales y su notación. Expliquemos esto: más adelante en el texto usaremos frases como “dado un número natural 582 ", lo que significará que se da un número natural, cuya notación tiene la forma 582 .

Números naturales en el sentido del número de objetos.

Ha llegado el momento de comprender el significado cuantitativo que conlleva el número natural escrito. El significado de los números naturales en términos de numeración de objetos se analiza en el artículo Comparación de números naturales.

Comencemos con números naturales, cuyas entradas coinciden con las entradas de dígitos, es decir, con números. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Y 9 .

Imaginemos que abrimos los ojos y vemos algún objeto, por ejemplo, como este. En este caso, podemos escribir lo que vemos. 1 artículo. El número natural 1 se lee como " uno"(declinación del número "uno", así como otros números, los daremos en el párrafo), para el número 1 se ha adoptado otro nombre - “ unidad».

Sin embargo, el término “unidad” tiene varios valores, además del número natural. 1 , llamar a algo considerado en su conjunto. Por ejemplo, cualquier elemento entre muchos puede denominarse unidad. Por ejemplo, cualquier manzana de un conjunto de manzanas es una unidad, cualquier bandada de pájaros de un conjunto de bandadas de pájaros también es una unidad, etc.

Ahora abrimos los ojos y vemos: . Es decir, vemos un objeto y otro objeto. En este caso, podemos escribir lo que vemos. 2 sujeto. Número natural 2 , se lee " dos».

Asimismo, - 3 Asunto (leer " tres" sujeto), - 4 (« cuatro") del sujeto, - 5 (« cinco»), - 6 (« seis»), - 7 (« Siete»), - 8 (« ocho»), - 9 (« nueve") elementos.

Entonces, desde la posición considerada, los números naturales. 1 , 2 , 3 , …, 9 indicar cantidad elementos.

Un número cuya notación coincide con la notación de un dígito. 0 , llamado " cero" El número cero NO es un número natural, sin embargo, se suele considerar junto con los números naturales. Recuerde: cero significa la ausencia de algo. Por ejemplo, cero elementos no son un solo elemento.

En los siguientes párrafos del artículo continuaremos revelando el significado de los números naturales en términos de indicar cantidades.

Números naturales de una sola cifra.

Obviamente, el registro de cada uno de los números naturales. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 consta de un carácter, un número.

Definición.

números naturales de una sola cifra– estos son números naturales, cuya escritura consta de un signo: un dígito.

Enumeremos todos los números naturales de un solo dígito: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . En total hay nueve números naturales de un solo dígito.

Números naturales de dos y tres cifras.

Primero, definamos los números naturales de dos dígitos.

Definición.

Números naturales de dos cifras– estos son números naturales, cuyo registro consta de dos signos: dos dígitos (diferentes o iguales).

Por ejemplo, un número natural 45 – números de dos dígitos 10 , 77 , 82 también de dos dígitos, y 5 490 , 832 , 90 037 – no de dos dígitos.

Averigüemos qué significado tienen los números de dos dígitos, mientras nos basaremos en el significado cuantitativo de los números naturales de un solo dígito que ya conocemos.

Para empezar, introduzcamos el concepto. diez.

Imaginemos esta situación: abrimos los ojos y vimos un conjunto que consta de nueve objetos y un objeto más. En este caso hablan de 1 diez (una docena) de artículos. Si se consideran juntos una decena y otra decena, entonces se habla de 2 decenas (dos docenas). Si sumamos otra decena a dos decenas, tendremos tres decenas. Siguiendo este proceso, obtendremos cuatro decenas, cinco decenas, seis decenas, siete decenas, ocho decenas y finalmente nueve decenas.

Ahora podemos pasar a la esencia de los números naturales de dos cifras.

Para hacer esto, considere un número de dos dígitos como dos números de un solo dígito– uno está a la izquierda escribiendo un número de dos dígitos, el otro está a la derecha. El número de la izquierda indica el número de decenas y el número de la derecha indica el número de unidades. Además, si hay un dígito en el lado derecho de un número de dos dígitos, 0 , entonces esto significa la ausencia de unidades. Este es el objetivo de los números naturales de dos dígitos en términos de indicar cantidades.

Por ejemplo, un número natural de dos cifras. 72 corresponde 7 docenas y 2 unidades (es decir, 72 manzanas es un conjunto de siete docenas de manzanas y dos manzanas más), y el número 30 respuestas 3 docenas y 0 no hay unidades, es decir, unidades que no se combinan en decenas.

Respondamos la pregunta: "¿Cuántos números naturales de dos cifras hay?" Contéstales 90 .

Pasemos a la definición de números naturales de tres cifras.

Definición.

Números naturales cuya notación consta de 3 señales - 3 Los números (diferentes o repetidos) se llaman. tres dígitos.

Ejemplos de números naturales de tres dígitos son 372 , 990 , 717 , 222 . Enteros 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 no son de tres dígitos.

Para comprender el significado inherente a los números naturales de tres dígitos, necesitamos el concepto cientos.

El conjunto de diez decenas es 1 cien (cien). ciento cien es 2 cientos. Doscientos cien son trescientos. Y así sucesivamente, tenemos cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos y finalmente novecientos.

Ahora veamos un número natural de tres dígitos como tres números naturales de un solo dígito, uno detrás del otro de derecha a izquierda en la notación de un número natural de tres dígitos. El número de la derecha indica el número de unidades. siguiente numero indica el número de decenas, el siguiente número indica el número de centenas. Números 0 por escrito, un número de tres dígitos significa la ausencia de decenas y (o) unidades.

Por tanto, un número natural de tres cifras 812 corresponde 8 cientos, 1 diez y 2 unidades; número 305 - trescientos ( 0 decenas, es decir, no hay decenas que no se combinen en centenas) y 5 unidades; número 470 – cuatro centenas y siete decenas (no hay unidades que no se combinen en decenas); número 500 – cinco centenas (no hay decenas que no se combinen en centenas, ni unidades que no se combinen en decenas).

De manera similar, se pueden definir cuatro dígitos, cinco dígitos, seis dígitos, etc. números naturales.

Números naturales de varios dígitos.

Entonces, pasemos a la definición de números naturales multivaluados.

Definición.

Números naturales de varios dígitos- estos son números naturales, cuya notación consta de dos, tres o cuatro, etc. señales. En otras palabras, los números naturales de varios dígitos son de dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, etc. números.

Digamos de inmediato que un conjunto que consta de mil cien es mil, mil mil es un millón, mil millones es mil millones, mil billones es un billón. A mil billones, mil billones, etc., también se les puede dar su propio nombre, pero no hay ninguna necesidad especial de ello.

Entonces, ¿cuál es el significado de los números naturales de varios dígitos?

Consideremos un número natural de varios dígitos como números naturales de un solo dígito que se suceden uno tras otro de derecha a izquierda. El número de la derecha indica el número de unidades, el siguiente número es el número de decenas, el siguiente es el número de centenas, luego el número de miles, luego el número de decenas de miles, luego cientos de miles, luego el número de millones, luego el número de decenas de millones, luego cientos de millones, luego – el número de miles de millones, luego – el número de decenas de miles de millones, luego – cientos de miles de millones, luego – billones, luego – decenas de billones, luego – cientos de billones y así sucesivamente.

Por ejemplo, un número natural de varios dígitos. 7 580 521 corresponde 1 unidad, 2 docenas, 5 cientos, 0 miles, 8 Decenas de miles, 5 cientos de miles y 7 millones.

Así, aprendimos a agrupar unidades en decenas, decenas en centenas, centenas en millares, miles en decenas de millares, etc., y descubrimos que los números en la notación de un número natural de varios dígitos indican el número correspondiente del grupos anteriores.

Lectura de números naturales, clases.

Ya hemos mencionado cómo se leen los números naturales de un solo dígito. Aprendamos el contenido. siguientes tablas de memoria.

¿Cómo se leen los números restantes de dos dígitos?

Expliquemos con un ejemplo. Leamos el número natural. 74 . Como descubrimos anteriormente, este número corresponde a 7 docenas y 4 unidades, es decir, 70 Y 4 . Pasamos a las tablas que acabamos de registrar, y el número 74 lo leemos como: “Setenta y cuatro” (no pronunciamos la conjunción “y”). Si necesitas leer un número 74 en la frase: "No 74 manzanas" ( Genitivo), entonces sonará así: "No hay setenta y cuatro manzanas". Otro ejemplo. Número 88 - Este 80 Y 8 , por lo tanto, leemos: “Ochenta y ocho”. Y he aquí un ejemplo de frase: "Está pensando en ochenta y ocho rublos".

Pasemos a leer números naturales de tres cifras.

Para ello tendremos que aprender algunas palabras nuevas más.

Queda por mostrar cómo se leen los números naturales restantes de tres dígitos. En este caso, utilizaremos las habilidades que ya hemos adquirido en la lectura de números de una y dos cifras.

Veamos un ejemplo. leamos el numero 107 . Este número corresponde 1 ciento y 7 unidades, es decir, 100 Y 7 . Pasando a las tablas, leemos: “Ciento siete”. Ahora digamos el número. 217 . Este número es 200 Y 17 , por lo tanto, leemos: “Doscientos diecisiete”. Asimismo, 888 - Este 800 (ochocientos) y 88 (ochenta y ocho), leemos: “Ochocientos ochenta y ocho”.

Pasemos a leer números de varios dígitos.

Para leer, la entrada de un número natural de varios dígitos se divide, comenzando desde la derecha, en grupos de tres dígitos, y en el grupo más a la izquierda puede haber 1 , o 2 , o 3 números. Estos grupos se llaman clases. La clase de la derecha se llama clase de unidades. La clase que le sigue (de derecha a izquierda) se llama clase de miles, siguiente clase - millones de clase, próximo - clase de mil millones, viene lo siguiente clase de billón. Puede dar los nombres de las siguientes clases, pero números naturales, cuya notación consiste en 16 , 17 , 18 etc. Los signos no suelen leerse, ya que son muy difíciles de percibir de oído.

Mire ejemplos de cómo dividir números de varios dígitos en clases (para mayor claridad, las clases están separadas entre sí por una pequeña sangría): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Pongamos los números naturales escritos en una tabla que facilite aprender a leerlos.

Para leer un número natural, llamamos a sus números constituyentes por clase de izquierda a derecha y sumamos el nombre de la clase. Al mismo tiempo, no pronunciamos el nombre de la clase de unidades y también nos saltamos aquellas clases que constan de tres dígitos. 0 . Si la entrada de clase tiene un número a la izquierda 0 o dos dígitos 0 , entonces ignoramos estos números 0 y lee el número obtenido al descartar estos números 0 . P.ej, 002 leerse como “dos”, y 025 - como en "veinticinco".

leamos el numero 489 002 según las reglas dadas.

Leemos de izquierda a derecha,

• lee el numero 489 , que representa la clase de miles, es “cuatrocientos ochenta y nueve”;
• sumamos el nombre de la clase, obtenemos “cuatrocientos ochenta y nueve mil”;
• Más adelante en la clase de unidades vemos. 002 , hay ceros a la izquierda, los ignoramos, por lo tanto 002 leer como "dos";
• no es necesario añadir el nombre de la clase de unidad;
• al final tenemos 489 002 - “cuatrocientos ochenta y nueve mil dos”.

Empecemos a leer el número. 10 000 501 .

• A la izquierda en la clase de millones vemos el número. 10 , léase “diez”;
• agregamos el nombre de la clase, tenemos “diez millones”;
• luego vemos la entrada 000 en la clase de miles, ya que los tres dígitos son dígitos 0 , luego nos saltamos esta clase y pasamos a la siguiente;
• la clase de unidades representa el número 501 , que leemos “quinientos uno”;
• De este modo, 10 000 501 - diez millones quinientos uno.

hagámoslo sin explicaciones detalladas: 1 789 090 221 214 - “un billón setecientos ochenta y nueve mil noventa millones doscientos veintiún mil doscientos catorce”.

Entonces, la base de la habilidad de leer números naturales de varios dígitos es la capacidad de descomponer números de varios dígitos en clases, conocimiento de los nombres de las clases y capacidad para leer números de tres dígitos.

Los dígitos de un número natural, el valor del dígito.

Al escribir un número natural, el significado de cada dígito depende de su posición. Por ejemplo, un número natural 539 corresponde 5 cientos, 3 docenas y 9 unidades, por lo tanto, la cifra 5 por escrito el numero 539 determina el número de centenas, dígito 3 – el número de decenas y el dígito 9 - número de unidades. Al mismo tiempo dicen que la cifra. 9 costos en dígitos de unidades y numero 9 es valor del dígito unitario, número 3 costos en lugar de las decenas y numero 3 es valor posicional de las decenas, y el número 5 -V lugar de cientos y numero 5 es valor posicional de centenas.

De este modo, descargar- por un lado, esta es la posición de un dígito en la notación de un número natural y, por otro lado, el valor de este dígito, determinado por su posición.

Las categorías reciben nombres. Si observa los números en la notación de un número natural de derecha a izquierda, corresponderán a los siguientes dígitos: unidades, decenas, centenas, miles, decenas de miles, cientos de miles, millones, decenas de millones y pronto.

Es conveniente recordar los nombres de las categorías cuando se presentan en forma de tabla. Escribamos una tabla que contenga los nombres de 15 categorías.

Tenga en cuenta que la cantidad de dígitos de un número natural dado es igual a la cantidad de caracteres involucrados en escribir este número. Por tanto, la tabla grabada contiene los nombres de los dígitos de todos los números naturales, cuya grabación contiene hasta 15 caracteres. Los siguientes rangos también tienen sus propios nombres, pero rara vez se utilizan, por lo que no tiene sentido mencionarlos.

Utilizando una tabla de dígitos es conveniente determinar los dígitos de un número natural dado. Para hacer esto, debes escribir este número natural en esta tabla de modo que haya un dígito en cada dígito y el dígito más a la derecha esté en el dígito de las unidades.

Pongamos un ejemplo. Escribamos un número natural. 67 922 003 942 en la tabla, y los dígitos y los significados de estos dígitos serán claramente visibles.

El número en este número es 2 se encuentra en el lugar de las unidades, dígito 4 – en el lugar de las decenas, dígito 9 – en el lugar de las centenas, etc. Deberías prestar atención a los números. 0 , ubicado en las categorías de decenas de miles y cientos de miles. Números 0 en estos dígitos significa la ausencia de unidades de estos dígitos.

También vale la pena mencionar los llamados dígitos más bajo (menor) y más alto (más significativo) de un número natural de varios dígitos. Rango más bajo (junior) de cualquier número natural de varios dígitos es el dígito de las unidades. El dígito más alto (más significativo) de un número natural. es el dígito correspondiente al dígito más a la derecha en el registro de este número. Por ejemplo, el dígito de orden inferior del número natural 23.004 es el dígito de las unidades y el dígito más alto es el dígito de las decenas de miles. Si en la notación de un número natural nos movemos por dígitos de izquierda a derecha, entonces cada dígito posterior más bajo (más joven) el anterior. Por ejemplo, el rango de miles es inferior al rango de decenas de miles, y más aún el rango de miles es inferior al rango de cientos de miles, millones, decenas de millones, etc. Si en la notación de un número natural nos movemos por dígitos de derecha a izquierda, entonces cada dígito subsiguiente más alto (mayor) el anterior. Por ejemplo, el dígito de las centenas es más antiguo que el de las decenas y, más aún, que el de las unidades.

En algunos casos (por ejemplo, al realizar sumas o restas), no se utiliza el número natural en sí, sino la suma de los términos de los dígitos de este número natural.

Brevemente sobre el sistema numérico decimal.

Entonces, nos familiarizamos con los números naturales, el significado inherente a ellos y la forma de escribir números naturales usando diez dígitos.

En general, el método de escribir números usando signos se llama sistema de numeración. El significado de un dígito en una notación numérica puede depender o no de su posición. Los sistemas numéricos en los que el valor de un dígito en un número depende de su posición se denominan posicional.

Por lo tanto, los números naturales que examinamos y el método para escribirlos indican que utilizamos un sistema numérico posicional. Cabe señalar que el número tiene un lugar especial en este sistema numérico. 10 . De hecho, el conteo se realiza en decenas: diez unidades se combinan para formar una decena, una docena de decenas se combinan para formar una centena, una docena de centenas se combinan para formar un millar, y así sucesivamente. Número 10 llamado base sistema numérico dado, y el sistema numérico en sí se llama decimal.

Además del sistema numérico decimal, existen otros, por ejemplo, en informática se utiliza el sistema numérico posicional binario, y cuando se trata de medir el tiempo nos encontramos con el sistema sexagesimal.

Bibliografía.

• Matemáticas. Cualquier libro de texto para quinto grado de instituciones de educación general.