Función inversa para logaritmo natural. Entendiendo el logaritmo natural

Esto podría ser, por ejemplo, una calculadora de conjunto básico programas Sistema operativo Ventanas. El enlace para iniciarlo está bastante oculto en el menú principal del sistema operativo: ábralo haciendo clic en el botón "Inicio", luego abra su sección "Programas", vaya a la subsección "Estándar" y luego a "Utilidades". sección y, finalmente, haga clic en el elemento "Calculadora" " En lugar de usar el mouse y navegar por los menús, puede usar el teclado y el cuadro de diálogo de inicio del programa: presione la combinación de teclas WIN + R, escriba calc (este es el nombre del archivo ejecutable de la calculadora) y presione Enter.

Cambie la interfaz de la calculadora al modo avanzado, que le permite hacer... De forma predeterminada, se abre en la vista "normal", pero necesita "ingeniería" o " " (dependiendo de la versión del sistema operativo que esté utilizando). Expanda la sección "Ver" en el menú y seleccione la línea apropiada.

Ingrese el argumento cuyo valor natural desea evaluar. Esto se puede hacer desde el teclado o haciendo clic en los botones correspondientes en la interfaz de la calculadora en la pantalla.

Haga clic en el botón etiquetado como ln; el programa calculará el logaritmo en base e y mostrará el resultado.

Utilice una de las calculadoras como cálculo alternativo del valor. logaritmo natural. Por ejemplo, el que se encuentra en http://calc.org.ua. Su interfaz es extremadamente simple: hay un único campo de entrada donde debe escribir el valor del número cuyo logaritmo debe calcular. Entre los botones, busque y haga clic en el que dice ln. El script de esta calculadora no requiere enviar datos al servidor ni una respuesta, por lo que recibirá el resultado del cálculo casi al instante. La única característica que se debe tener en cuenta es que el separador entre las partes fraccionaria y entera del número ingresado debe ser un punto y no .

El término " logaritmo"Proviene de dos palabras griegas, una que significa "número" y la otra que significa "proporción". Denota la operación matemática de calcular una cantidad variable (exponente) a la que se debe elevar valor constante(base) para obtener el número indicado debajo del signo logaritmo A. Si la base es igual a una constante matemática llamada número "e", entonces logaritmo llamado "natural".

Necesitará

• Acceso a Internet, oficina de microsoft Excel o calculadora.

Instrucciones

Utilice las numerosas calculadoras disponibles en Internet; quizás esta sea una forma sencilla de calcular a natural. No es necesario buscar el servicio adecuado, ya que muchos los motores de búsqueda y ellos mismos tienen calculadoras incorporadas, muy adecuadas para trabajar con logaritmo amigo. Por ejemplo, vaya a la página principal del motor de búsqueda en línea más grande: Google. Aquí no se requieren botones para ingresar valores o seleccionar funciones; simplemente ingrese la acción matemática deseada en el campo de entrada de consulta. digamos, para calcular logaritmo y el número 457 en base "e", ingrese ln 457; esto será suficiente para que Google lo muestre con una precisión de ocho decimales (6.12468339) incluso sin presionar el botón para enviar una solicitud al servidor.

Utilice la función incorporada adecuada si necesita calcular el valor de un natural logaritmo y ocurre cuando se trabaja con datos en el popular editor de hojas de cálculo Microsoft Office Excel. Esta función se llama aquí usando la notación común. logaritmo y en mayúsculas - LN. Seleccione la celda en la que se debe mostrar el resultado del cálculo e ingrese un signo igual; así es como en este editor de hojas de cálculo deben comenzar los registros en las celdas que se encuentran en la subsección "Estándar" de la sección "Todos los programas" del menú principal. Cambie la calculadora a un modo más funcional presionando Alt + 2. Luego ingrese el valor, natural logaritmo que desea calcular, y haga clic en la interfaz del programa en el botón indicado por los símbolos ln. La aplicación realizará el cálculo y mostrará el resultado.

Vídeo sobre el tema.

Logaritmo natural

Gráfica de la función logaritmo natural. La función se acerca lentamente al infinito positivo a medida que aumenta. X y rápidamente se acerca al infinito negativo cuando X tiende a 0 ("lento" y "rápido" en comparación con cualquier función de potencia de X).

Logaritmo natural es el logaritmo a la base , Dónde mi- una constante irracional igual a aproximadamente 2,718281 828. El logaritmo natural se suele escribir como ln( X), registro mi (X) o a veces simplemente iniciar sesión ( X), si la base mi implícito.

Logaritmo natural de un número X(Escrito como en(x)) es el exponente al que se debe elevar el número mi, Para obtener X. Por ejemplo, En(7.389...) es igual a 2 porque mi 2 =7,389... . Logaritmo natural del número mismo. mi (en(e)) es igual a 1 porque mi 1 = mi, y el logaritmo natural es 1 ( en(1)) es igual a 0 porque mi 0 = 1.

El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo. a como el área bajo la curva y = 1/X de 1 a a. La simplicidad de esta definición, que es consistente con muchas otras fórmulas que usan el logaritmo natural, dio lugar al nombre "natural". Esta definición se puede extender a números complejos, como se analiza a continuación.

Si consideramos el logaritmo natural como función real de una variable real, entonces es la función inversa de la función exponencial, lo que lleva a las identidades:

Como todos los logaritmos, el logaritmo natural relaciona la multiplicación con la suma:

Así, la función logarítmica es un isomorfismo del grupo de números reales positivos respecto de la multiplicación por el grupo de números reales respecto de la suma, que se puede representar como una función:

El logaritmo se puede definir para cualquier base positiva distinta de 1, no solo mi, pero los logaritmos para otras bases difieren del logaritmo natural sólo por un factor constante y generalmente se definen en términos del logaritmo natural. Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones que involucran incógnitas como exponentes. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para encontrar la constante de desintegración para una vida media conocida o para encontrar el tiempo de desintegración al resolver problemas de radiactividad. Desempeñan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias aplicadas, y se utilizan en finanzas para resolver muchos problemas, incluida la búsqueda de interés compuesto.

Historia

La primera mención del logaritmo natural la hizo Nicholas Mercator en su obra. logaritmotecnia, publicado en 1668, aunque el profesor de matemáticas John Spidell compiló una tabla de logaritmos naturales allá por 1619. Anteriormente se llamaba logaritmo hiperbólico porque corresponde al área debajo de la hipérbola. A veces se le llama logaritmo de Napier, aunque el significado original de este término era algo diferente.

Convenciones de designación

El logaritmo natural normalmente se denota por “ln( X)", logaritmo en base 10 - vía "lg( X)", y otros motivos suelen indicarse explícitamente con el símbolo "log".

En muchos trabajos sobre matemáticas discretas, cibernética e informática, los autores utilizan la notación “log( X)" para logaritmos en base 2, pero esta convención no es generalmente aceptada y requiere aclaración ya sea en la lista de notaciones utilizadas o (en ausencia de dicha lista) mediante una nota a pie de página o un comentario cuando se usa por primera vez.

Los paréntesis alrededor del argumento de los logaritmos (si esto no lleva a una lectura errónea de la fórmula) generalmente se omiten, y al elevar un logaritmo a una potencia, el exponente se asigna directamente al signo del logaritmo: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ en ( 3 )] 2 .

sistema angloamericano

Los matemáticos, estadísticos y algunos ingenieros suelen utilizar para denotar el logaritmo natural o “log( X)" o "ln( X)", y para denotar el logaritmo en base 10 - "log 10 ( X)».

Algunos ingenieros, biólogos y otros especialistas siempre escriben “ln( X)" (u ocasionalmente "log e ( X)") cuando se refieren al logaritmo natural, y la notación "log( X)" significan log 10 ( X).

registro mi Es un logaritmo "natural" porque ocurre automáticamente y aparece muy a menudo en matemáticas. Por ejemplo, consideremos el problema de la derivada de una función logarítmica:

si la base b es igual mi, entonces la derivada es simplemente 1/ X, y cuando X= 1 esta derivada es igual a 1. Otra razón por la cual la base mi Lo más natural del logaritmo es que se puede definir de forma bastante sencilla en términos de una integral simple o de una serie de Taylor, lo que no se puede decir de otros logaritmos.

Otras justificaciones de la naturalidad no están relacionadas con la notación. Por ejemplo, existen varias series simples con logaritmos naturales. Pietro Mengoli y Nicholas Mercator los llamaron logaritmo natural varias décadas hasta que Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial e integral.

Definición

Formalmente en ( a) se puede definir como el área bajo la curva del gráfico 1/ X de 1 a a, es decir, como una integral:

Es verdaderamente un logaritmo porque satisface la propiedad fundamental del logaritmo:

Esto se puede demostrar suponiendo lo siguiente:

Valor numérico

Para calcular el valor numérico del logaritmo natural de un número, puedes utilizar su expansión en serie de Taylor en la forma:

Para obtener mejor velocidad convergencia, podemos usar la siguiente identidad:

siempre que y = (X−1)/(X+1) y X > 0.

Para en( X), Dónde X> 1, cuanto más cerca esté el valor X a 1, entonces velocidad más rápida convergencia. Las identidades asociadas al logaritmo se pueden utilizar para lograr el objetivo:

Estos métodos se utilizaron incluso antes de la aparición de las calculadoras, para las cuales se utilizaron tablas numéricas y se realizaron manipulaciones similares a las descritas anteriormente.

Alta precisión

Para calcular el logaritmo natural con gran cantidad números de precisión, la serie de Taylor no es eficiente porque su convergencia es lenta. Una alternativa es utilizar el método de Newton para invertir en una función exponencial cuya serie converge más rápidamente.

Una alternativa para una muy alta precisión El cálculo es la fórmula:

Dónde METRO denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4/s, y

metro elegido para que pag Se logran marcas de precisión. (En la mayoría de los casos, un valor de 8 para m es suficiente). De hecho, si se utiliza este método, se puede aplicar el inverso del logaritmo natural de Newton para calcular eficientemente la función exponencial. (Las constantes ln 2 y pi se pueden calcular previamente con la precisión deseada utilizando cualquiera de las series rápidamente convergentes conocidas).

Complejidad computacional

La complejidad computacional de los logaritmos naturales (usando la media aritmético-geométrica) es O( METRO(norte)en norte). Aquí norte es el número de dígitos de precisión para los cuales se debe evaluar el logaritmo natural, y METRO(norte) es la complejidad computacional de multiplicar dos norte-números de dígitos.

fracciones continuas

Aunque no existen fracciones continuas simples para representar un logaritmo, se pueden utilizar varias fracciones continuas generalizadas, entre ellas:

Logaritmos complejos

La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo de la forma mi X para cualquier número complejo arbitrario X, en este caso una serie infinita con complejo X. Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo, que tendrá la mayoría de las propiedades de los logaritmos ordinarios. Sin embargo, hay dos dificultades: no hay X, para cual mi X= 0, y resulta que mi 2πi = 1 = mi 0. Dado que la propiedad de la multiplicatividad es válida para una función exponencial compleja, entonces mi z = mi z+2nπi para todos los complejos z y entero norte.

El logaritmo no se puede definir en todo el plano complejo y, aun así, tiene varios valores: cualquier logaritmo complejo se puede sustituir por un logaritmo "equivalente" sumando cualquier múltiplo entero de 2. πi. El logaritmo complejo sólo puede tener un solo valor en una porción del plano complejo. Por ejemplo, en i = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, etc., y aunque i 4 = 1,4 registro i se puede definir como 2 πi, o 10 πi o −6 πi, etcétera.

ver también

• John Napier - inventor de los logaritmos

Notas

1. Matemáticas para la química física. - 3º. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Extracto de la página 9
2. J J O "Connor y E F Robertson El número e. Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas (septiembre de 2001). Archivado
3. Florian Cajori Una historia de las matemáticas, 5ª ed. - Librería AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martín Estimación de integrales mediante polinomios. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2012.

Nada mal, ¿verdad? Mientras los matemáticos buscan palabras para dar una definición larga y confusa, echemos un vistazo más de cerca a esta simple y clara.

El número e significa crecimiento.

El número e significa crecimiento continuo. Como vimos en el ejemplo anterior, e x nos permite vincular interés y tiempo: 3 años con un crecimiento del 100% es lo mismo que 1 año con un 300%, suponiendo "interés compuesto".

Puede sustituir cualquier porcentaje y valor de tiempo (50% durante 4 años), pero es mejor establecer el porcentaje en 100% por conveniencia (resulta 100% durante 2 años). Al pasar al 100%, podemos centrarnos únicamente en el componente de tiempo:

e x = e porcentaje * tiempo = e 1,0 * tiempo = e tiempo

Obviamente e x significa:

• ¿Cuánto crecerá mi contribución después de x unidades de tiempo (suponiendo un crecimiento continuo del 100 %).
• por ejemplo, después de 3 intervalos de tiempo recibiré e 3 = 20,08 veces más “cosas”.

e x es un factor de escala que muestra a qué nivel creceremos en x cantidad de tiempo.

Logaritmo natural significa tiempo

El logaritmo natural es el inverso de e, un término elegante para opuesto. Hablando de peculiaridades; en latín se llama logarithmus naturali, de ahí la abreviatura ln.

¿Y qué significa esta inversión u opuesto?

• e x nos permite sustituir el tiempo y conseguir crecimiento.
• ln(x) nos permite tomar el crecimiento o el ingreso y averiguar el tiempo que lleva generarlo.

Por ejemplo:

• e 3 es igual a 20,08. Después de tres períodos de tiempo, tendremos 20,08 veces más de lo que teníamos al principio.
• ln(20/08) sería aproximadamente 3. Si está interesado en un crecimiento de 20,08 veces, necesitará 3 períodos de tiempo (nuevamente, suponiendo un crecimiento continuo del 100%).

¿Seguir leyendo? El logaritmo natural muestra el tiempo necesario para alcanzar el nivel deseado.

Este conteo logarítmico no estándar

¿Has repasado los logaritmos? Son criaturas extrañas. ¿Cómo lograron convertir la multiplicación en suma? ¿Qué pasa con la división en resta? Echemos un vistazo.

¿A qué es igual ln(1)? Intuitivamente, la pregunta es: ¿cuánto tiempo debo esperar para obtener 1 vez más de lo que tengo?

Cero. Cero. De nada. Ya lo tienes una vez. No lleva mucho tiempo pasar del nivel 1 al nivel 1.

• en(1) = 0

Bien, ¿qué pasa con el valor fraccionario? ¿Cuánto tiempo nos llevará tener la mitad de la cantidad disponible? Sabemos que con un crecimiento 100% continuo, ln(2) significa el tiempo que lleva duplicarse. Si nosotros retrocedamos el tiempo(es decir, esperar una cantidad de tiempo negativa), entonces obtendremos la mitad de lo que tenemos.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Lógico, ¿verdad? Si retrocedemos (el tiempo atrás) a 0,693 segundos, encontraremos la mitad de la cantidad disponible. En general, puedes darle la vuelta a la fracción y tomar significado negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Esto significa que si retrocedemos en el tiempo hasta 1,09 veces, solo encontraremos un tercio del número actual.

Bien, ¿qué pasa con el logaritmo de un número negativo? ¿Cuánto tiempo se tarda en "hacer crecer" una colonia de bacterias de 1 a -3?

¡Esto es imposible! No se puede obtener un recuento de bacterias negativo, ¿verdad? Puedes obtener un máximo (er... mínimo) de cero, pero no hay manera de que puedas obtener un número negativo de estos pequeños bichos. Un recuento negativo de bacterias simplemente no tiene sentido.

• ln(número negativo) = indefinido

"Indefinido" significa que no hay ningún período de tiempo que deba esperar para obtener un valor negativo.

La multiplicación logarítmica es simplemente divertidísima

¿Cuánto tiempo tardará en cuadruplicarse? Por supuesto, puedes simplemente tomar ln(4). Pero esto es demasiado sencillo, iremos por el otro lado.

Se puede pensar que el crecimiento cuádruple se duplica (lo que requiere ln(2) unidades de tiempo) y luego se duplica nuevamente (lo que requiere otras ln(2) unidades de tiempo):

• Tiempo para crecer 4 veces = ln(4) = Tiempo para duplicar y luego duplicar nuevamente = ln(2) + ln(2)

Interesante. Cualquier tasa de crecimiento, digamos 20, puede considerarse una duplicación justo después de un aumento de 10 veces. O crecer 4 veces y luego 5 veces. O triplicar y luego aumentar 6,666 veces. ¿Ves el patrón?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

El logaritmo de A por B es log(A) + log(B). Esta relación cobra inmediatamente sentido cuando se la analiza en términos de crecimiento.

Si está interesado en un crecimiento de 30x, puede esperar ln(30) de una sola vez, o esperar ln(3) para triplicarlo, y luego otro ln(10) para 10x. El resultado final es el mismo, por lo que, por supuesto, el tiempo debe permanecer constante (y lo es).

¿Qué pasa con la división? Específicamente, ln(5/3) significa: ¿cuánto tiempo tomará crecer 5 veces y luego obtener 1/3 de eso?

Genial, el crecimiento 5 veces es ln(5). Un aumento de 1/3 veces tomará -ln(3) unidades de tiempo. Entonces,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Esto significa: déjalo crecer 5 veces y luego “regresa en el tiempo” hasta el punto en que solo quede un tercio de esa cantidad, para obtener un crecimiento de 5/3. En general resulta

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Espero que la extraña aritmética de los logaritmos empiece a tener sentido para usted: multiplicar tasas de crecimiento se convierte en sumar unidades de tiempo de crecimiento, y dividir se convierte en restar unidades de tiempo. No es necesario memorizar las reglas, intenta entenderlas.

Usando el logaritmo natural para un crecimiento arbitrario

Bueno, por supuesto”, dices, “todo esto está bien si el crecimiento es del 100%, pero ¿qué pasa con el 5% que recibo?”

Ningún problema. El "tiempo" que calculamos con ln() es en realidad una combinación de tasa de interés y tiempo, la misma X de la ecuación e x. Simplemente decidimos establecer el porcentaje en 100% por simplicidad, pero somos libres de usar cualquier número.

Digamos que queremos lograr un crecimiento 30x: toma ln(30) y obtén 3,4. Esto significa:

• e x = altura
• mi 3,4 = 30

Obviamente, esta ecuación significa que "un rendimiento del 100% en 3,4 años genera un crecimiento 30 veces mayor". Podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera:

• e x = e tasa*tiempo
• e 100% * 3,4 años = 30

Podemos cambiar los valores de “apuesta” y “tiempo”, siempre y cuando la apuesta*tiempo siga siendo 3,4. Por ejemplo, si estamos interesados ​​en un crecimiento de 30 veces, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar con una tasa de interés del 5%?

• En(30) = 3,4
• tasa * tiempo = 3.4
• 0,05 * tiempo = 3,4
• tiempo = 3,4 / 0,05 = 68 años

Razono así: "ln(30) = 3,4, por lo que con un crecimiento del 100% se necesitarán 3,4 años. Si duplico la tasa de crecimiento, el tiempo necesario se reducirá a la mitad".

• 100% durante 3,4 años = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% en 1,7 años = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% durante 6,8 años = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% mayores de 68 años = .05 * 68 = 3.4.

Genial, ¿verdad? El logaritmo natural se puede utilizar con cualquier tasa de interés y tiempo porque su producto permanece constante. Puedes mover los valores de las variables tanto como quieras.

Buen ejemplo: regla del setenta y dos

La Regla del Setenta y Dos es una técnica matemática que te permite estimar cuánto tiempo tardará tu dinero en duplicarse. Ahora lo deduciremos (¡sí!), y además intentaremos comprender su esencia.

¿Cuánto tiempo llevará duplicar su dinero al 100% de interés compuesto anualmente?

Ups. Usamos el logaritmo natural para el caso de crecimiento continuo, ¿y ahora estás hablando de capitalización anual? ¿No resultaría esta fórmula inadecuada para tal caso? Sí, lo será, pero para tipos de interés reales como el 5%, el 6% o incluso el 15%, la diferencia entre la capitalización anual y el crecimiento continuo será pequeña. Entonces, la estimación aproximada funciona, aproximadamente, así que supondremos que tenemos una acumulación completamente continua.

Ahora la pregunta es simple: ¿Qué tan rápido se puede duplicar con un crecimiento del 100%? En(2) = 0,693. Se necesitan 0,693 unidades de tiempo (años en nuestro caso) para duplicar nuestra cantidad con un aumento continuo del 100%.

Entonces, ¿qué pasa si la tasa de interés no es del 100%, sino del 5% o del 10%?

¡Fácilmente! Como apuesta * tiempo = 0,693, duplicaremos la cantidad:

• tasa * tiempo = 0,693
• tiempo = 0,693 / apuesta

Resulta que si el crecimiento es del 10%, se necesitarán 0,693/0,10 = 6,93 años para duplicarse.

Para simplificar los cálculos, multipliquemos ambos lados por 100, entonces podremos decir "10" en lugar de "0,10":

• tiempo para duplicar = 69,3 / apuesta, donde la apuesta se expresa como porcentaje.

Ahora toca duplicar a una tasa del 5%, 69,3/5 = 13,86 años. Sin embargo, 69,3 no es el dividendo más conveniente. Elijamos un número cercano, 72, que conviene dividir entre 2, 3, 4, 6, 8 y otros números.

• tiempo para doblar = 72 / apuesta

que es la regla de setenta y dos. Todo está cubierto.

Si necesita encontrar el tiempo para triplicar, puede usar ln(3) ~ 109.8 y obtener

• tiempo para triplicar = 110 / apuesta

¿Qué es otro? regla útil. La "Regla del 72" se aplica al crecimiento de las tasas de interés, el crecimiento de la población, los cultivos bacterianos y cualquier cosa que crezca exponencialmente.

¿Que sigue?

Espero que ahora el logaritmo natural tenga sentido para ti: muestra el tiempo que tarda cualquier número en crecer exponencialmente. Creo que se llama natural porque e es una medida universal de crecimiento, por lo que ln puede considerarse de manera universal determinar cuánto tiempo tarda en crecer.

Cada vez que vea ln(x), recuerde "el tiempo que tarda en crecer X veces". En un próximo artículo describiré e y ln conjuntamente para que el fresco aroma de las matemáticas llene el aire.

Anexo: Logaritmo natural de e

Prueba rápida: ¿qué es ln(e)?

• un robot matemático dirá: dado que se definen como la inversa entre sí, es obvio que ln(e) = 1.
• Persona comprensiva: ln (e) es el número de veces que se necesita para que "e" crezca (aproximadamente 2,718). Sin embargo, el número e en sí mismo es una medida de crecimiento por un factor de 1, por lo que ln(e) = 1.

Piensa claro.

9 de septiembre de 2013

El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser un número positivo que no sea igual a 1. Por ejemplo, si elevamos al cuadrado -2, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 sea igual a 2.

Identidad logarítmica básica

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Es importante que el alcance de la definición de los lados derecho e izquierdo de esta fórmula sea diferente. El lado izquierdo se define sólo para b>0, a>0 y a ≠ 1. El lado derecho se define para cualquier b y no depende de a en absoluto. Por tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica al resolver ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en la OD.

Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

De hecho, cuando elevamos el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y cuando lo elevamos a la potencia cero, obtenemos uno.

Logaritmo del producto y logaritmo del cociente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Me gustaría advertir a los escolares que no apliquen irreflexivamente estas fórmulas al resolver ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Al usarlos "de izquierda a derecha", la ODZ se estrecha, y al pasar de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.

De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son menores que cero.

Al transformar esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x), nos vemos obligados a limitarnos solo al caso en que f(x)>0 y g(x)>0. Hay una reducción del rango de valores aceptables, y esto es categóricamente inaceptable, ya que puede conducir a una pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).

El grado se puede sacar del signo del logaritmo.

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Y nuevamente me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

El lado izquierdo de la igualdad está obviamente definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Al quitar el grado del logaritmo, estrechamos nuevamente la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores aceptables. Todas estas observaciones se aplican no sólo a la potencia 2, sino también a cualquier potencia par.

Fórmula para pasar a una nueva fundación

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ese raro caso en el que la ODZ no cambia durante la transformación. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es completamente segura.

Si elegimos el número b como nueva base c, obtenemos una importante caso especial fórmulas (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Algunos ejemplos sencillos con logaritmos

Ejemplo 1. Calcular: log2 + log50.
Solución. log2 + log50 = log100 = 2. Usamos la fórmula de suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.

Ejemplo 2. Calcular: lg125/lg5.
Solución. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos la fórmula para movernos a una nueva base (8).

Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos.

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

iniciar sesión a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

El logaritmo de un número b en base a es el exponente al que se debe elevar el número a para obtener el número b.

Si entonces.

Logaritmo - extremo importante cantidad matemática , ya que el cálculo logarítmico permite no solo resolver ecuaciones exponenciales, pero también operar con indicadores, diferenciar exponenciales y funciones logarítmicas, integrarlos y llevarlos a una forma más aceptable para su cálculo.

En contacto con

Todas las propiedades de los logaritmos están directamente relacionadas con las propiedades. funciones exponenciales. Por ejemplo, el hecho de que significa que:

Cabe señalar que al resolver Tareas específicas, las propiedades de los logaritmos pueden ser más importantes y útiles que las reglas para trabajar con potencias.

Presentemos algunas identidades:

Aquí están las expresiones algebraicas básicas:

;

.

¡Atención! sólo puede existir para x>0, x≠1, y>0.

Intentemos comprender la cuestión de qué son los logaritmos naturales. Interés especial por las matemáticas. representan dos tipos- el primero tiene el número “10” en la base, y se llama “ logaritmo decimal" El segundo se llama natural. La base del logaritmo natural es el número “e”. De esto es de lo que hablaremos en detalle en este artículo.

Designaciones:

• lgx - decimal;
• En x - natural.

Usando la identidad, podemos ver que ln e = 1, así como el hecho de que lg 10=1.

Gráfico de logaritmo natural

Construyamos una gráfica del logaritmo natural usando el método clásico estándar punto por punto. Si lo desea, puede comprobar si estamos construyendo la función correctamente examinándola. Sin embargo, tiene sentido aprender a construirlo "manualmente" para saber calcular correctamente el logaritmo.

Función: y = lnx. Anotemos una tabla de puntos por los que pasará la gráfica:

Expliquemos por qué elegimos estos valores particulares del argumento x. Se trata de identidad: . Para el logaritmo natural esta identidad se verá así:

Por conveniencia, podemos tomar cinco puntos de referencia:

;

;

.

;

.

Así, calcular logaritmos naturales es una tarea bastante sencilla, además, simplifica los cálculos de operaciones con potencias, convirtiéndolas en; multiplicación ordinaria.

Al trazar un gráfico punto por punto, obtenemos un gráfico aproximado:

El dominio de definición del logaritmo natural (es decir, todos valores válidos argumento X): todos los números son mayores que cero.

¡Atención! El dominio de definición del logaritmo natural incluye sólo numeros positivos! El alcance de la definición no incluye x=0. Esto es imposible según las condiciones de existencia del logaritmo.

El rango de valores (es decir, todos los valores válidos de la función y = ln x) son todos los números del intervalo.

Límite de registro natural

Al estudiar la gráfica, surge la pregunta: ¿cómo se comporta la función en y?<0.

Obviamente, la gráfica de la función tiende a cruzar el eje y, pero no podrá hacerlo, ya que el logaritmo natural de x<0 не существует.

Límite de natural registro se puede escribir de esta manera:

Fórmula para reemplazar la base de un logaritmo.

Trabajar con un logaritmo natural es mucho más fácil que con un logaritmo que tiene una base arbitraria. Por eso intentaremos aprender a reducir cualquier logaritmo a uno natural, o expresarlo a una base arbitraria mediante logaritmos naturales.

Empecemos con la identidad logarítmica:

Entonces cualquier número o variable y se puede representar como:

donde x es cualquier número (positivo según las propiedades del logaritmo).

Esta expresión se puede tomar logarítmicamente en ambos lados. Hagamos esto usando una base z arbitraria:

Usemos la propiedad (sólo que en lugar de “c” tenemos la expresión):

De aquí obtenemos la fórmula universal:

.

En particular, si z=e, entonces:

.

Pudimos representar un logaritmo en una base arbitraria mediante la relación de dos logaritmos naturales.

Resolvemos problemas

Para comprender mejor los logaritmos naturales, veamos ejemplos de varios problemas.

Problema 1. Es necesario resolver la ecuación ln x = 3.

Solución: Usando la definición del logaritmo: si , entonces , obtenemos:

Problema 2. Resuelve la ecuación (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solución: Usando la definición del logaritmo: si , entonces , obtenemos:

.

Usemos nuevamente la definición de logaritmo:

.

De este modo:

.

Puedes calcular aproximadamente la respuesta o puedes dejarla en este formulario.

Tarea 3. Resuelve la ecuación.

Solución: Hagamos una sustitución: t = ln x. Entonces la ecuación tomará la siguiente forma:

.

Tenemos una ecuación cuadrática. Encontremos su discriminante:

Primera raíz de la ecuación:

.

Segunda raíz de la ecuación:

.

Recordando que hicimos la sustitución t = ln x, obtenemos:

En estadística y teoría de la probabilidad, las cantidades logarítmicas se encuentran con mucha frecuencia. Esto no es sorprendente, porque el número e a menudo refleja la tasa de crecimiento de cantidades exponenciales.

En informática, programación y teoría de la computación, los logaritmos se encuentran con bastante frecuencia, por ejemplo, para almacenar N bits en la memoria.

En las teorías de fractales y dimensiones, los logaritmos se utilizan constantemente, ya que las dimensiones de los fractales se determinan sólo con su ayuda.

En mecánica y física. No hay ninguna sección donde no se hayan utilizado logaritmos. La distribución barométrica, todos los principios de la termodinámica estadística, la ecuación de Tsiolkovsky, etc. son procesos que sólo pueden describirse matemáticamente utilizando logaritmos.

En química, los logaritmos se utilizan en las ecuaciones de Nernst y en las descripciones de procesos redox.

Sorprendentemente, incluso en música, para saber el número de partes de una octava, se utilizan logaritmos.

Logaritmo natural Función y=ln x sus propiedades

Prueba de la propiedad principal del logaritmo natural.